1.3正方形的性质与判定第一课时(更新)
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证明：Q四边形ABCD是平行四边形 OB OD,OA OC Q AB AD
AC BD三线合一
Q BAD=900 RtABD，OA是斜边BD的中线 OA=OB=OD OA=OC=OB=OD AC=BD 正方形的对角线相等且互相垂直平分
定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等
A
∟
∟ D 书写语言：
Q 正方形的对称性 正方形ABCD关于直线AC成轴对称
ADC ABCSAS
ADF ABF，DCF BCF
在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点， 连接BF，DF.
2 延长BF交CD于点E，若BFD=1400
65 求CEF=_______0_
E
P22习题1 对角线长为2cm的正方形，
1 求边长是___2__
四边形
两组 对边
分别 平行
平行四 边形
矩形
菱 形
1
菱形
平行四边形
矩形
思考：有没有菱形中的矩形 矩形中的菱形？
它即是菱形又是矩形的四边形， 它的特点是四边相等，四角都是直角 这是什么图形呢？
平行四边形
菱形
一组邻边相等
一内角是直角 矩形
正方形
图中的四边形都是特殊的平行四边形，观察 这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么 样的共同特征？
2
S
正方形
=
1 2
对角线2
复习题P2710
已知正方形的对角线的长为L
2L 2
1求这个正方形的周长_2___2_L_____ L 2 求这个正方形的面积___1__L_2 __
2
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上 一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE 与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
证明：Q四边形ABCD是平行四边形 AD PBC，A+B=1800 又Q A=900，B=900 同理可得C=D=900 四边形ABCD为矩形 AB=CD，AD=BC 又Q AB=BC
AB=BC=CD=DA
定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，BAD=900，AB=AD 求证：AC=BD,AC BD,OA=OC=OB=OD
正方形具有平行四边形，矩形和菱形的一切性质.
对边平行 正 边 四边相等 方 形 角 四个角相等且都是直角 性 质 对角线 对角线相等
互相垂直平分 每条对角线平分一组对角
定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，A=900，AB=BC 求证：A=B=C=D=900，AB=BC=CD=DA
2 2 S正方形 =________
条件：四边形ABCD是正方形
CBE是等边三角形
1 等腰三角形：
ABE DCE SAS 300, 750, 750 ADE 1500 ,150 ,150
在正方形ABCD的内部，作等边三角形ADE，连接BE，CE
1 求证：BE=AE
(2)求BEC的度数
在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE
A
D
O
B
C
正方形的图形特点
A 1
2
D
5 6
11 2 3 4 5 6 7 8 450
O
2OA OC OB OD
7
4
B8
3 C 38个等腰Rt
12对全等三角形
RtOAD RtOCD RtBOC RtAOB 6
RtBAD
RtADC
RtBCD
RtABC
6
源自文库方形的面积
1 S 正方形 =边长2
1 求证：BE=AE
(2)求BEC的度数
分析:1 全等，等角对等边，角平分线性质，线段垂直平分线性质
在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE
1 求证：BE=AE
(2)求BEC的度数
4
过正方形两条对角线的交点任意两条互相垂直的直线。 即可将正方形分成大小、形状完全相同的四部分
A
D
F G
BE
C
20
2．如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC 为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC 和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
(2) BH⊥AF
证明：
21
证明：连接AC交BD于点O
O
P25习题2
在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点， 连接BF，DF.你能找出图中的全等三角形吗？ 选择其中一对进行证明
过对称中心与正方形边上一点的任意一条线， 绕对称中心按同一方向连续旋转三次，每次旋转90度， 这四条线将正方形分成大小、形状完全相同的四部分
设计花坛
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路 使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的 四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？
2 13
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∟
∟
B
C AB=BC=CD=AD
定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分
A
D 书写语言
∵四边形ABCD是正方形
O
∴AC⊥BD,
AC=BD,
B
C
OA=OB=OC=OD
中心对称：对角线的交点就是对称中心
轴对称：有四条对称轴 即两条对角 线所在的直线 和对边中点连线所在的直线
图形之间的变化关系
矩形
平行四边形
有一组邻边相等 有一个角是直角
正方形
菱形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间既有联系又有区别，
3.已知：如图，ABCD和AKLM都是正 方形，求证：MD=KB。
49
有一组邻边相等，并且有一个角 是直角的平行四边形，叫做正方形.
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
平行四边形
正
矩形 方 菱形
形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，
也是特殊的菱形。
5
议一议
（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形有哪些性质？与同伴交流.
正方形既是矩形，又是菱形， 它具有平行四边形，矩形和菱形的一切性质.
理由如下： 2 延长BE交DF于点M
Q BCE DCF
CBE=CDF
Q DCF=900
CDF+F=900
CBE+F=900
BMF=900
BE DF
变式练习
1、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上， BE=CF. （1）AE与BF相等吗？为什么？ （2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。
解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
Q 四边形ABCD是正方形
BC=DC，BCE=900
DCF=1800 -BCE=900
BCE=DCF
Q CE=CF
BCE DCFSAS
BE=DF
18
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上 一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE 与DF之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE=DF,且BE⊥DF.
AC BD三线合一
Q BAD=900 RtABD，OA是斜边BD的中线 OA=OB=OD OA=OC=OB=OD AC=BD 正方形的对角线相等且互相垂直平分
定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等
A
∟
∟ D 书写语言：
Q 正方形的对称性 正方形ABCD关于直线AC成轴对称
ADC ABCSAS
ADF ABF，DCF BCF
在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点， 连接BF，DF.
2 延长BF交CD于点E，若BFD=1400
65 求CEF=_______0_
E
P22习题1 对角线长为2cm的正方形，
1 求边长是___2__
四边形
两组 对边
分别 平行
平行四 边形
矩形
菱 形
1
菱形
平行四边形
矩形
思考：有没有菱形中的矩形 矩形中的菱形？
它即是菱形又是矩形的四边形， 它的特点是四边相等，四角都是直角 这是什么图形呢？
平行四边形
菱形
一组邻边相等
一内角是直角 矩形
正方形
图中的四边形都是特殊的平行四边形，观察 这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么 样的共同特征？
2
S
正方形
=
1 2
对角线2
复习题P2710
已知正方形的对角线的长为L
2L 2
1求这个正方形的周长_2___2_L_____ L 2 求这个正方形的面积___1__L_2 __
2
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上 一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE 与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
证明：Q四边形ABCD是平行四边形 AD PBC，A+B=1800 又Q A=900，B=900 同理可得C=D=900 四边形ABCD为矩形 AB=CD，AD=BC 又Q AB=BC
AB=BC=CD=DA
定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，BAD=900，AB=AD 求证：AC=BD,AC BD,OA=OC=OB=OD
正方形具有平行四边形，矩形和菱形的一切性质.
对边平行 正 边 四边相等 方 形 角 四个角相等且都是直角 性 质 对角线 对角线相等
互相垂直平分 每条对角线平分一组对角
定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，A=900，AB=BC 求证：A=B=C=D=900，AB=BC=CD=DA
2 2 S正方形 =________
条件：四边形ABCD是正方形
CBE是等边三角形
1 等腰三角形：
ABE DCE SAS 300, 750, 750 ADE 1500 ,150 ,150
在正方形ABCD的内部，作等边三角形ADE，连接BE，CE
1 求证：BE=AE
(2)求BEC的度数
在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE
A
D
O
B
C
正方形的图形特点
A 1
2
D
5 6
11 2 3 4 5 6 7 8 450
O
2OA OC OB OD
7
4
B8
3 C 38个等腰Rt
12对全等三角形
RtOAD RtOCD RtBOC RtAOB 6
RtBAD
RtADC
RtBCD
RtABC
6
源自文库方形的面积
1 S 正方形 =边长2
1 求证：BE=AE
(2)求BEC的度数
分析:1 全等，等角对等边，角平分线性质，线段垂直平分线性质
在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE
1 求证：BE=AE
(2)求BEC的度数
4
过正方形两条对角线的交点任意两条互相垂直的直线。 即可将正方形分成大小、形状完全相同的四部分
A
D
F G
BE
C
20
2．如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC 为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC 和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
(2) BH⊥AF
证明：
21
证明：连接AC交BD于点O
O
P25习题2
在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点， 连接BF，DF.你能找出图中的全等三角形吗？ 选择其中一对进行证明
过对称中心与正方形边上一点的任意一条线， 绕对称中心按同一方向连续旋转三次，每次旋转90度， 这四条线将正方形分成大小、形状完全相同的四部分
设计花坛
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路 使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的 四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？
2 13
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∟
∟
B
C AB=BC=CD=AD
定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分
A
D 书写语言
∵四边形ABCD是正方形
O
∴AC⊥BD,
AC=BD,
B
C
OA=OB=OC=OD
中心对称：对角线的交点就是对称中心
轴对称：有四条对称轴 即两条对角 线所在的直线 和对边中点连线所在的直线
图形之间的变化关系
矩形
平行四边形
有一组邻边相等 有一个角是直角
正方形
菱形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间既有联系又有区别，
3.已知：如图，ABCD和AKLM都是正 方形，求证：MD=KB。
49
有一组邻边相等，并且有一个角 是直角的平行四边形，叫做正方形.
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
平行四边形
正
矩形 方 菱形
形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，
也是特殊的菱形。
5
议一议
（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形有哪些性质？与同伴交流.
正方形既是矩形，又是菱形， 它具有平行四边形，矩形和菱形的一切性质.
理由如下： 2 延长BE交DF于点M
Q BCE DCF
CBE=CDF
Q DCF=900
CDF+F=900
CBE+F=900
BMF=900
BE DF
变式练习
1、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上， BE=CF. （1）AE与BF相等吗？为什么？ （2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。
解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
Q 四边形ABCD是正方形
BC=DC，BCE=900
DCF=1800 -BCE=900
BCE=DCF
Q CE=CF
BCE DCFSAS
BE=DF
18
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上 一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE 与DF之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE=DF,且BE⊥DF.