高一函数单调性教案

§2.2.1 函数的单调性

一、教学目标

1、通过对函数概念的认识，了解函数的单调性、单调区间的概念

2、使学生能用自己的语言来表述函数单调性的概念，并能根据函数的图象指出单调性，写出单调区间

3、运用函数的单调性定义来证明一些简单函数的单调性

二、课型：新课程 三、课时：（略）

四、教学工具与教学方法

使用多媒体辅助教学工具；采用自主学习、合作探究的教学方法。

五、教学重点

函数单调性的概念

六、教学难点

利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性

七、教学过程

（一）知识导入

第2.1.1节开头的第三问题中，气温θ是关于时间t

个气温变化图（如图所示），问：

（1）从图中你能得出什么信息？

（2）说出在哪些时段内是逐渐升高的或下降的？

（3）怎样用数字语言刻画上述时段内“随时间的增加 气温逐渐升高”这一特征？ 讨论并与观察下例图象：

引出：什么是函数的单调性？单调区间？

（二）定义

设)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆。 如果对于区间I 内的任意两个值x x 2

1

,，当x

x 2

1

<时，都有

)()(

2

1

x x f f <

那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间

4

若对于区间I 内的任意两个值x x 2

1

,，当x

x 2

1

<时，都有

)()(

2

1

x x f f >

那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间

如果)(x f y =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数)(x f y =在区间I 上具有单调性；单调增区间和单调减区间统称为单调区间

（三）例题讲解

例1：画出下列函数图象，并写出单调区间： （1）22

+-=x

y

（2）)0(1

≠=

x x

y 解：（1）函数图象如图（1）所示，单调曾区间为]0,(-∞，单调减区间为),0[+∞

（2）函数图象如图（2）所示，)0,(-∞和),0(+∞是两个单调区间

注：先让学生练习，然后再讲解 例2：求证：函数11

)(--=x

x f 在区间)0,(-∞上是单调曾函数 证：设

x x 2

1

,为区间)0,(-∞上的任意两个值，且x

x 2

1

<，则

0,0212

1

><-x x x

x

因为 )11

()11

()()(

2

1

21-----

=-x

x

x x f f

x

x 2

1

1

1

-

=

x

x x x 2

1

21

-=

所以 0)()(2

1

<-x x f f

即 )()(

2

1

x x f f <

故11

)(--

=x

x f 在区间)0,(-∞上是单调曾函数 插入：

回到本节课刚开始讨论的图象，我们可以看出14时的气温为全天的最高气温，它表示0~24时，气温于14时达到最大值。从中可以看出，图象在这一点的位置最高。由此可以定义函数的最大值和最小值： 设)(x f y =的定义域为A 如果存在

A x ∈0

，使得对于任意的A x ∈，都有

)()(0

x f x f ≤

那么称)(

x f 为)(x f y = 的最大值，记为)(0max

x y

f =

如果存在

A x ∈0

，使得对于任意的A x ∈，都有

)()(0

x f x f ≥

那么称)(

0x f 为)(x f y = 的最小值，记为)(0min

x y

f =

例3：求下列函数的最小值

]

3,1[,1

)2(2)1(2

∈=-=x x

y x

y x 解：（1）因为 112)1(2

2

-≥-=-=

-x x

x y 当且尽当1=x 时1-=y

所以 函数值取得最小值-1，即

1min

-=y

（2）因为对于任意实数]3,1[∈x ，都有

311≥x ，且当3=x 时3

1

1=x 所以函数取得最小值31，即31

min =y

例4：如图为函数]7,4[),(--∈=x x f y 的图象，指出它的 最大值、最小值及单调区间。

注：先让学生自行练习

解：观察图象知，图象上最高点是（3，3），最低点 是（-1.5，-2）。所以

2,3min

max

-==y

y

单调增区间为]6,5[]3,5.1[⋃-；单调减区间为]7,6[]5,3[]5.1,4[⋃⋃-- 练习题：

p

40

习题（让学生先练习，然后再讲解）

八、小结

学习了函数的单调性、单调区间的概念，函数的最大值与最小值，以及简单的应用

九、作业

p

44

习题2、3、4

十、板书设计

在书写时，定义部分无论如何都不能擦去，例题部分当讲完题后不够写时可以擦去进入下一题，当要求学生上黑板做题时，擦去例题部分就可以了。 注意：必须保持黑板上书写整洁、清晰

黑板 黑板上引入 （1） 函数的单调性

一、定义 二、例题 （2）