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公式法
x b b2 4ac. b2 4ac 0.
2.什么叫分解因式? 2a
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
我思 我进步
分解因式法
小(x+结1)2-25拓当=0展. 一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 二的次因三 式项分式解个ax一2+bx次+c 因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 我∴x思+2=0,我或求进x-2步=解0. .这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分
例3 解方 2 x2 2 程 2 x 2 0
解 a1,b2 2,c2
b24ac(2 2)24120
x22022 2
2
2
x1x2 2
注意: 这个方程有两个相等的实数根.
归纳
当b2 4ac0时，一元二次a方x2 程 bxc 0(a 0) 有实数根
x1 b
b2 2a
4ac , x2
b
b2 4ac 2a
分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
(2)将方程左3边.因理式分论解; 依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
例题欣赏 ☞
分解因式法
用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).
解 : 1.5x2 4x 0, 分解因式法解一元二次方程的步骤是:
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
(❖1)化方程为(一4般)形两式;个一元一次方程的根就是原方程的根.
❖ 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示了“二次”转化为“一次”的过程.
独立 作业
公式法ppt课件
=36y - x
2
2
=(6y+ x)(6y- x).
(3)(2a-3b)2-16b2
=(2a-3b+4b)(2a-3b-4b)
=(2a+b)(2a-7b).
2
2
(3)(2a-3b) -16b .
提公因式法与平方差公式因式分解的综合应用
[例2-1] 把下列各式因式分解:
(1)a3-9a;
2
2
A.x +2x-1
B.x -x
2
C.x +xy+y
2
2
D.64+x -16x
2.若9x2+2mx+4是完全平方式,则m的值为( C )
A.6 B.±3
C.±6 D.12
3.已知正方形的面积是(x 2 -8x+16) cm 2 (x<4 cm),则正方形的边长是
(4-x) cm.
4.若2a-3b=6,ab=7,则代数式4a3b-12a2b2+9ab3的值为 252 .
3
第1课时
公式法
用平方差公式因式分解
用平方差公式因式分解
把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来,就得到a2-b2=(a+b)(a-b),利用公
2
2
式 a -b =(a+b)(a-b) 可以把a2-b2因式分解.
[例1-1] 把下列各式因式分解:
(1)4a2-9b2;
解:(1)4a2-9b2
B.b(a-b)2
C.(ab+b)(a-b)
D.b(a+b)(a-b)
人教版九年级数学上册《公式法》优秀ppt
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方
程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将
方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，
将a，b，c 代入式子
x b
b2 4ac .
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公
式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式
人教版九年级数学上册《21.2.2公式 法》课 件（共2 8张PPT ）
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ＜0时，
x
b
2
2a
b
2
4ac 4a2
＜0.
而x取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实数根.
人教版九年级数学上册《21.2.2公式 法》课 件（共2 8张PPT ）
人教版九年级数学上册《2公1.式2.法2公 》式优 法秀》 ppt课 件（共2 8张PPT ）
x 7 121 7 11.
21
2
即 x1 = -9, x2 = 2 .
2. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括号 ，得
x –2 - 3x2 + 6x = 6,
化简为一般式
3x2 - 7x + 8 = 0,
这里 a = 3, b = -7 , c = 8.
∵b2 - 4ac =(-7 )2 – 4 × 3 × 8 = 49–96
人教版九年级数学上册《2公1.式2.法2公 》式优 法秀》 ppt课 件（共2 8张PPT ）
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公式法ppt课件
05
公式法的优缺点分析
优点分析
简洁明了
公式法通过简洁的公式和图表， 能够直观地展示复杂的概念和数
据，使观众更容易理解。
易于比较
公式法可以清晰地展示不同数据之 间的比例和差异，方便观众进行比 较。
易于记忆
公式法通常采用简洁的形式，方便 观众记忆，同时也有助于提高信息 传递效率。
缺点分析
过于抽象
公式法可能过于抽象，对于没有相关背景知识的 观众来说可能难以理解。
在公式法PPT中增加相 关的背景信息，帮助观 众更好地理解内容。
结合其他表现形式
除了公式和图表外，还 可以结合文字、图片、 动画等多种表现形式， 提高PPT的表现力和吸 引力。
06
公式法的未来发展与展望
公式法的发展趋势
1 2
公式法将不断优化
随着科学技术的进步，公式法将不断得到优化， 提高精度和效率，以满足更广泛的应用需求。
适用范围有限
公式法主要适用于可以量化的数据和概念，对于 一些难以量化的内容可能不太适用。
制作难度大
制作公式法的PPT需要较高的技术水平，如公式编 辑和图表设计等，需要花费较多时间和精力。
如何扬长避短
针对不同受众
针对不同受众，可以采 用不同的公式法PPT设 计，以更好地满足他们 的需求。
增加背景信息
公式法将与其他方法相互借鉴
公式法将与其他数值计算方法相互借鉴，取长补 短，形成更加完善和高效的计算方法。
3
公式法将促进学科交叉融合
公式法作为一种通用的数值计算方法，将促进不 同学科之间的交叉融合，推动多学科协同发展。
公式法与其他方法的融合
公式法与有限元法融合
通过将公式法的简洁性和有限元法的适应性相结合，可以形成一 种更加高效和灵活的计算方法。
公式法 PPT
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)
解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
移项，得
x2 + x= -
配方，得 x2 + x+( )2 =- +( )2
即 ∵4a2＞0
( x + )2 =
∴当b2-4ac≥0时,
x + =±
解得 x= - ±
即
x=
用求根公式解一元二次方程的方法叫做 公式法。
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用公式法解一元二次方程的
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解:
a=2 b=5 c= -3 ①
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 ②
一般步骤： 1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 :
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《公式法》_PPT1
( A ) 第二十一章 一元二次方程
第二十一章 一元二次பைடு நூலகம்程 第二十一章 一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
A．有两个不相等的实数根 第二十一章 一元二次方程
知识点 2 用公式法解一元二次方程
B．有两个相等的实数根
第二十一章 一元二次方程
C．没有实数根 第二十一章 一元二次方程
知识点 1 一元二次方程根的判别式
第二十一章 一元二次方程
2
第二十一章 一元二次方程
B
第二十一章 一元二次方程
A．有两个相等的实数根 知识点 1 一元二次方程根的判别式
第二十一章 一元二次方程
B．有两个不相等的实数根
第二十一章 一元二次方程
C．没有实数根 第二十一章 一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
D．无法判断
第二十一章 一元二次方程
【解析】原方程可化为 5x2－6x＋8＝0，∴a＝5，b＝－6，c＝8.
21.2.2 公式法
8．用求根公式求得方程 x2－2x－3＝0 的解为( B )
A．x1＝3，x2＝1
B．x1＝3，x2＝－1
C．x1＝－3，x2＝1
D．x1＝－3，x2＝－1
21.2.2 公式法
9．用公式法解方程 2x2－7x＋1＝0，其中 b2－4ac＝___4_1____，
21.2.2 公式法
(2)方程整理，得 x2－2 5x＋10＝0，
∵Δ＝b －4ac＝(－2 第二十一章 一元二次方程 2
第二十一章 一元二次方程
5)2－4×1×10＝－20<0，∴此方程无实数根．
第二十一章 一元二次方程
(3)方程整理，得 知识点 1 一元二次方程根的判别式
公式法PPT课件
用公式法解一元二次方程的“四个步骤”：
(1) 把一元二次方程化为一般形式． (2) 确定a，b，c的值． (3) 计算b2－4ac的值． (4) 当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式，
求出方程的两个实数根；当b2－4ac<0时，方程无 实数根．
1.必做: 完成教材P36 T4 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
同学们下课啦
授课老师：xxx
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教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
化为一般形式，确定a，b，c 的值，在b2-4ac ≥ 0 的条件
下代入公式求解.
知3－讲
例3 用适当的方法解下列一元二次方程：
(1) x2 － 2x－3＝0； (2) 2x2 － 7x － 6＝0； (3) (x －1)2－3(x－1)＝0.
导引：方程(1)选择配方法；方程 (2)选择公式法； 方程(3)选择因式分解法
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可修改编辑
解： (1) a＝2，b＝1，c＝－6， b2－4ac＝12－4×2×(－6) ＝1＋48＝49，
所以 即
b b2 4ac x
2a
1 49 1 7 ,
人教版九年级数学上册优质课件-公式法(共15张PPT)
新人教版>数学>> 九年级上>>第二十一章一元二次方程>>用公式法解一元二次方程
2. x 21 3x 6
b b2 4ac x
2a
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
49 96 - 47 0
方程没有实数根.
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新人教版>数学>> 九年级上>>第二十一章一元二次方程>>用公式法解一元二次方程
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用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无实数根 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
b 2
时无实数根
4ac
（
7）2
4
1（18）
121
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会熟练应用公式法解一元二次方程．
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2. x 21 3x 6
b b2 4ac x
2a
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
49 96 - 47 0
方程没有实数根.
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新人教版>数学>> 九年级上>>第二十一章一元二次方程>>用公式法解一元二次方程
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用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无实数根 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
b 2
时无实数根
4ac
（
7）2
4
1（18）
121
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会熟练应用公式法解一元二次方程．
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《公式法》PPT课件人教版数学八年级上册
公式法： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用 于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项 式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
a2-b2=(a+b)(a-b); a2+2ab+b2=(a+b)2;
a2-2ab+b2=(a-b)2.
新知探究 跟踪训练
例3 分解因式： (1) 16x2+24x+9；
点拨：通过因式分解，并结合数的奇偶性，先 确定因式分解后的式子含有哪些因数，再根据 倍数关系确定能被什么数整除.
解：(2k+1)2-1能被8整除，理由如下： (2k+1)2-1=(2k+1+1)(2k+1-1)=(2k+2)·2k=4k(k+1). 因为k为正整数，所以k，k+1为两个相邻的正整数， 则其中必有一个为偶数，即2的倍数. 所以4k(k+1)为8的倍数，所以(2k+1)2-1能被8整除.
A. (a+2)(a-2) B. (a-2)2 C. (a+2)2 D. a(a-2)
2.将下列各式分解因式： (1) 4x2-25y2 ； (3) 16(a-b)2-25(a+b)2 ；
解：(1) 4x2-25y2 =(2x)2-(5y)2 =(2x+5y)(2x-5y) ;
(2) (a+2)2-1 ； (4) x5-16x .
a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2. 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍， 等于这两个数的和（或差）的平方. 注意:公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式.
《公式法》精美教学课件
(3) x2-x+1=0. （3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1.
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0. ∴方程无实数根．
《公式法》精美实用课件（PPT优秀课 件）
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6.不解方程，判别关于x的方程 x222kxk20 的根的情况.
解： 2 2k241k2
∴ x3 3 3.
4
即
x1=
3
x2=
3. 2
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4.关于x的一元二次方程 x22xm0 有两个 实根，则m的取值范围是 m 1 .
解：b 2 4 a ( c 2 ) 2 4 1 m 4 4 m 0
∴ m1
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1.解方程：x2 +7x – 18 = 0.
解：这里 a=1, b= 7, c= -18.
∵ b 2 - 4ac =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0,
x7 121711.
21
2
即
x1 = -9, x2 = 2 .
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学练优九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
导入新课
复习引入
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?
导入新课
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们 是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站 起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判 断的吗？
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0. ∴方程无实数根．
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6.不解方程，判别关于x的方程 x222kxk20 的根的情况.
解： 2 2k241k2
∴ x3 3 3.
4
即
x1=
3
x2=
3. 2
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4.关于x的一元二次方程 x22xm0 有两个 实根，则m的取值范围是 m 1 .
解：b 2 4 a ( c 2 ) 2 4 1 m 4 4 m 0
∴ m1
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1.解方程：x2 +7x – 18 = 0.
解：这里 a=1, b= 7, c= -18.
∵ b 2 - 4ac =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0,
x7 121711.
21
2
即
x1 = -9, x2 = 2 .
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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
导入新课
复习引入
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?
导入新课
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们 是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站 起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判 断的吗？
1.2.3 公式法 (共29张PPT)
2
0.
把方程左边因式分解，得
x
b 2a
b2 4ac 2a
xb 2ab2 4ac 2a
0.
由此得出
xb
b2 2a
4ac
0
或
xb
b2 2a
4ac
0.
解得
x1 b
b2 2a
4ac
,
中考 试题
例2 下列方程中，没有实数根的是（ D ）.
A.
x -1 2x
=
1
B. y2+1=2y
C. x2-x-6=0
D. 2x2 - 2x+2=0
解 A为分式方程，有解. B中b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0，有实数根. C中b2-4ac=12-4×(-6)×1=25>0，有实数根. D中b2-4ac=(- 2 )2-4× 2×2=2-8 2 <0，无实数根. 故应选择D.
a=2，b=4，c=-5， b2-4ac =16+40=56，
因此
x
3 56 22
32 4
14
.
从而
x1=
-3+2 4
14，x2=
-3-2 4
14.
3. k 取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的 实数根?求这时方程的根.
答：k=±4， 当 k=4 时，x=2； 当 k=-4 时，x=-2.
x2 b
b2 4ac . 2a
公式法_课件 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
aa
移项，得 x2 b x c
a
a
配方，得 x2 b x ( b )2 c ( b )2
a 2a
a 2a
即
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
探究一：探索一元二次方程的求根公式
问题2：当b2_4ac≥0，且a≠0时， b2 4ac 大于等于零吗？ 4a2
当b2_ 4ac≥0时，因为a≠0，说以4a2＞0，
探究一：探索一元二次方程的求根公式
活动1 复习旧知
用配方法解下列方程： （1）x2 4 （2）x2 0 （3）x2 4 （4）6x2 7x 1 0
解：（1）x1 2, x2 2 （2）x1 x2 0
（3）方程无实数根（解）
探究一：探索一元二次方程的求根公式
（4）6x2 7x 1 0
注意： （1）求根公式x b b2 4ac（b2-4ac≥0）是专指一元二次方
2a
程的求根公式，b2-4ac≥0是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求
根公式的重要条件。
（2）用公式法（求根公式）解一元二次方程，实际上就是给出 a、b、c的数值（或表示式），然后对代数式 b b2 4ac 进行
练习2.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列
说法正确的是（ B ）
A.方程有两个相等的实数根 B.方程有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 解：∵Δ=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0， ∴方程有两个不相等的实数根。
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况 重点、难点知识★▲
一般的，式子 b2 4ac 叫做一元二次方程ax2 bx c 0根的判别
式，通常用希腊字母 表示它，即 b2 4ac 。
移项，得 x2 b x c
a
a
配方，得 x2 b x ( b )2 c ( b )2
a 2a
a 2a
即
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
探究一：探索一元二次方程的求根公式
问题2：当b2_4ac≥0，且a≠0时， b2 4ac 大于等于零吗？ 4a2
当b2_ 4ac≥0时，因为a≠0，说以4a2＞0，
探究一：探索一元二次方程的求根公式
活动1 复习旧知
用配方法解下列方程： （1）x2 4 （2）x2 0 （3）x2 4 （4）6x2 7x 1 0
解：（1）x1 2, x2 2 （2）x1 x2 0
（3）方程无实数根（解）
探究一：探索一元二次方程的求根公式
（4）6x2 7x 1 0
注意： （1）求根公式x b b2 4ac（b2-4ac≥0）是专指一元二次方
2a
程的求根公式，b2-4ac≥0是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求
根公式的重要条件。
（2）用公式法（求根公式）解一元二次方程，实际上就是给出 a、b、c的数值（或表示式），然后对代数式 b b2 4ac 进行
练习2.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列
说法正确的是（ B ）
A.方程有两个相等的实数根 B.方程有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 解：∵Δ=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0， ∴方程有两个不相等的实数根。
探究三：利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况 重点、难点知识★▲
一般的，式子 b2 4ac 叫做一元二次方程ax2 bx c 0根的判别
式，通常用希腊字母 表示它，即 b2 4ac 。
公式法ppt课件
先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0, 当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子 x b b2 4ac
2a
得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的
求根公式.
利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
注意
(1)一元二次方程的根由系数a,b,c共同决定;
(2)用公式法解一元二次方程时,先将方程化成一 般形式,确定a,b,c的值.
1、一元二次方程的求根公式是用什么方法推 导出来的？
2、试默写一元二次方程的求根公式；试说出 根的判别式；如何用根的判别式判定一元二 次方程根的情况？
3、说出用公式法解一元二次方程的一般步聚 。
公式法
课堂小结
求根 公式
x b b2 4ac 2a
根的判别式b2-4ac
务必将方程化 为一般形式
步骤
b2 4ac 42 4 5 1 36 0
x b b2 4ac 4 36 4 6
即x1
2a
1, x2
251 5
10
（4）原方程即为x2-8x+17=0.
a=1,b=-8,c=17,
b2 4ac 82 4117 4 0
∴方程无实数根.
知识拓展 公式法解一元二次方程的一般步骤:
一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）.
我们下节课再见！
时，将a，b，c 代入式子 x b b2 4ac
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程 的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫 做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最 多有两个实数根。
问题思考
(1)如何判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 根的情况?
2a
得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的
求根公式.
利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
注意
(1)一元二次方程的根由系数a,b,c共同决定;
(2)用公式法解一元二次方程时,先将方程化成一 般形式,确定a,b,c的值.
1、一元二次方程的求根公式是用什么方法推 导出来的？
2、试默写一元二次方程的求根公式；试说出 根的判别式；如何用根的判别式判定一元二 次方程根的情况？
3、说出用公式法解一元二次方程的一般步聚 。
公式法
课堂小结
求根 公式
x b b2 4ac 2a
根的判别式b2-4ac
务必将方程化 为一般形式
步骤
b2 4ac 42 4 5 1 36 0
x b b2 4ac 4 36 4 6
即x1
2a
1, x2
251 5
10
（4）原方程即为x2-8x+17=0.
a=1,b=-8,c=17,
b2 4ac 82 4117 4 0
∴方程无实数根.
知识拓展 公式法解一元二次方程的一般步骤:
一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）.
我们下节课再见！
时，将a，b，c 代入式子 x b b2 4ac
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程 的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫 做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最 多有两个实数根。
问题思考
(1)如何判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 根的情况?
公式法PPT优秀课件1
21.2.2 公式法
学习目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程， 了解公式法的概念.
会熟练应用公式法解一元二次方程.
复习导入
•用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系 数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平 方; 4.变形:方程左边写成完全平方公式,右边合并同类; 5.开方:右边非负，根据平方根意义,方程两边开平方 ; 6.求解:解两个一元一次方程; 7.定解:写出原方程的两个解.
(4) 4x2 - 6x = 0 ;
(5) x2 + 4x + 8 = 4x + 11 ;
(6) x(2x – 4) =5 - 8x .
课堂作业
(1) x x 6 0;
2
解：因为a 1, b 1, c 6, 所以b 2 4ac 12 4 1 6 25 0, b b 4ac 1 25 x . 2a 2 1 1 5 1 5 即x1 2, x2 3. 2 2
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a x2 4、写出方程的解： x1、
2
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
11、这个世界其实很公平，你想要比别人强，你就必须去做别人不想做的事，你想要过更好的生活，你就必须去承受更多的困难，承受别人不能承受的压力。 12、逆境给人宝贵的磨炼机会。只有经得起环境考验的人，才能算是真正的强者。自古以来的伟人，大多是抱着不屈不挠的精神，从逆境中挣扎奋斗过来的。 13、不同的人生，有不同的幸福。去发现你所拥有幸运，少抱怨上苍的不公，把握属于自己的幸福。你，我，我们大家都可以经历幸福的人生。 14、给自己一份坚强，擦干眼泪；给自己一份自信，不卑不亢；给自己一份洒脱，悠然前行。轻轻品，静静藏。为了看阳光，我来到这世上；为了与阳光同行，我笑对 忧伤。 15、总不能流血就喊痛，怕黑就开灯，想念就联系，疲惫就放空，被孤立就讨好，脆弱就想家，不要被现在而蒙蔽双眼，终究是要长大，最漆黑的那段路终要自己走完。 16、在路上，我们生命得到了肯定，一路上，我们有失败也有成功，有泪水也有感动，有曲折也有坦途，有机遇也有梦想。一路走来，我们熟悉了陌生的世界，我们熟 悉了陌生的面孔，遇人无数，匆匆又匆匆，有些成了我们忘不掉的背影，有些成了我们一生的风景。我笑，便面如春花，定是能感动人的，任他是谁。 17、努力是一种生活态度，与年龄无关。所以，无论什么时候，千万不可放纵自己，给自己找懒散和拖延的借口，对自己严格一点儿，时间长了，努力便成为一种心理 习惯，一种生活方式！ 18、自己想要的东西，要么奋力直追，要么干脆放弃。别总是逢人就喋喋不休的表决心或者哀怨不断，做别人茶余饭后的笑点。 19、即使不能像依米花那样画上完美的感叹号，但我们可以歌咏最感人的诗篇；即使不能阻挡暴风雨的肆虐，但我们可以左右自己的心情；即使无法预料失败的打击， 但我们可以把它当作成功的一个个驿站。 20、能力配不上野心，是所有烦扰的根源。这个世界是公平的，你要想得到，就得学会付出和坚持。每个人都是通过自己的努力，去决定生活的样子。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过......但请你继续向前走，因为别人看不到 你的努力，你却始终看得见自己。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人， 等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。 11、花开不是为了花落，而是为了开的更加灿烂。 12、随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。 13、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。 14、当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。 15、只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。 16、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。 17、不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑谁都有，但成功只配得上勇敢的行动派。 18、人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！ 19、如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。 20、不忘初心，方得始终。 21、每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。 22、不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。 23、恨别人，痛苦的却是自己。 24、每天醒来，敲醒自己的不是钟声，而是梦想。 25、你不能拼爹的时候，你就只能去拼命！ 26、如果人生的旅程上没有障碍，人还有什么可做的呢。 27、我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。励志名言：比别人多一点执着，你就会创造奇迹 28、伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。 29、人生就像一道漫长的阶梯，任何人也无法逆向而行，只能在急促而繁忙的进程中，偶尔转过头来，回望自己留下的蹒跚脚印。 30、时间，带不走真正的朋友；岁月，留不住虚幻的拥有。时光转换，体会到缘分善变；平淡无语，感受了人情冷暖。有心的人，不管你在与不在，都会惦念；无心的 情，无论你好与不好，只是漠然。走过一段路，总能有一次领悟；经历一些事，才能看清一些人。 31、我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。 32、命好不如习惯好。养成好习惯，一辈子受用不尽。 33、比别人多一点执着，你就会创造奇迹。
学习目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程， 了解公式法的概念.
会熟练应用公式法解一元二次方程.
复习导入
•用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系 数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平 方; 4.变形:方程左边写成完全平方公式,右边合并同类; 5.开方:右边非负，根据平方根意义,方程两边开平方 ; 6.求解:解两个一元一次方程; 7.定解:写出原方程的两个解.
(4) 4x2 - 6x = 0 ;
(5) x2 + 4x + 8 = 4x + 11 ;
(6) x(2x – 4) =5 - 8x .
课堂作业
(1) x x 6 0;
2
解：因为a 1, b 1, c 6, 所以b 2 4ac 12 4 1 6 25 0, b b 4ac 1 25 x . 2a 2 1 1 5 1 5 即x1 2, x2 3. 2 2
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a x2 4、写出方程的解： x1、
2
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
11、这个世界其实很公平，你想要比别人强，你就必须去做别人不想做的事，你想要过更好的生活，你就必须去承受更多的困难，承受别人不能承受的压力。 12、逆境给人宝贵的磨炼机会。只有经得起环境考验的人，才能算是真正的强者。自古以来的伟人，大多是抱着不屈不挠的精神，从逆境中挣扎奋斗过来的。 13、不同的人生，有不同的幸福。去发现你所拥有幸运，少抱怨上苍的不公，把握属于自己的幸福。你，我，我们大家都可以经历幸福的人生。 14、给自己一份坚强，擦干眼泪；给自己一份自信，不卑不亢；给自己一份洒脱，悠然前行。轻轻品，静静藏。为了看阳光，我来到这世上；为了与阳光同行，我笑对 忧伤。 15、总不能流血就喊痛，怕黑就开灯，想念就联系，疲惫就放空，被孤立就讨好，脆弱就想家，不要被现在而蒙蔽双眼，终究是要长大，最漆黑的那段路终要自己走完。 16、在路上，我们生命得到了肯定，一路上，我们有失败也有成功，有泪水也有感动，有曲折也有坦途，有机遇也有梦想。一路走来，我们熟悉了陌生的世界，我们熟 悉了陌生的面孔，遇人无数，匆匆又匆匆，有些成了我们忘不掉的背影，有些成了我们一生的风景。我笑，便面如春花，定是能感动人的，任他是谁。 17、努力是一种生活态度，与年龄无关。所以，无论什么时候，千万不可放纵自己，给自己找懒散和拖延的借口，对自己严格一点儿，时间长了，努力便成为一种心理 习惯，一种生活方式！ 18、自己想要的东西，要么奋力直追，要么干脆放弃。别总是逢人就喋喋不休的表决心或者哀怨不断，做别人茶余饭后的笑点。 19、即使不能像依米花那样画上完美的感叹号，但我们可以歌咏最感人的诗篇；即使不能阻挡暴风雨的肆虐，但我们可以左右自己的心情；即使无法预料失败的打击， 但我们可以把它当作成功的一个个驿站。 20、能力配不上野心，是所有烦扰的根源。这个世界是公平的，你要想得到，就得学会付出和坚持。每个人都是通过自己的努力，去决定生活的样子。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过......但请你继续向前走，因为别人看不到 你的努力，你却始终看得见自己。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人， 等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。 11、花开不是为了花落，而是为了开的更加灿烂。 12、随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。 13、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。 14、当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。 15、只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。 16、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。 17、不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑谁都有，但成功只配得上勇敢的行动派。 18、人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！ 19、如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。 20、不忘初心，方得始终。 21、每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。 22、不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。 23、恨别人，痛苦的却是自己。 24、每天醒来，敲醒自己的不是钟声，而是梦想。 25、你不能拼爹的时候，你就只能去拼命！ 26、如果人生的旅程上没有障碍，人还有什么可做的呢。 27、我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。励志名言：比别人多一点执着，你就会创造奇迹 28、伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。 29、人生就像一道漫长的阶梯，任何人也无法逆向而行，只能在急促而繁忙的进程中，偶尔转过头来，回望自己留下的蹒跚脚印。 30、时间，带不走真正的朋友；岁月，留不住虚幻的拥有。时光转换，体会到缘分善变；平淡无语，感受了人情冷暖。有心的人，不管你在与不在，都会惦念；无心的 情，无论你好与不好，只是漠然。走过一段路，总能有一次领悟；经历一些事，才能看清一些人。 31、我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。 32、命好不如习惯好。养成好习惯，一辈子受用不尽。 33、比别人多一点执着，你就会创造奇迹。
21.2.3《公式法》精选教学PPT课件(共19张PPT)
么？
△ b2 4ac (8)2 4117 4＜0
∴方程无实数根。
结论：当 △ b2 4ac＜0 时，一元二次方程没有 实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x b b2 4ac
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
当 b2 4ac 0 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
学习是件很愉快的事
公式法
例2：用公式法解方程 （1）x2-4x-7=0
解 a 1, b 4, c 7
△ b2 4ac 42 41 (7) 44 0.
方程有两个不相等的实数根：
1.变形:化已知方 程为一般形式;
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数;
今忆梦 雨夜魂牵梦几回。
烟雨袅袅， 心语徘徊， 七个雨夜，七种相思。 倒是花无人红， 情无依倚。 今雨期欲子青， 七日相许期期相依。 原来思念一个人是这样的滋味。可是一个对自己未来都如此懵懂的我怎么能真正对爱情负责人呢，当我拒绝他时，我眼睛有了泪花了；原来离开一个自己喜欢的人时这样的痛苦。当我看见不久后他牵着一个女孩的手自然都走在街上时，我的心流血了；原来看着自己爱恋的对象爱上别人的那种滋味，简直比咖啡更苦！ 我将这份苦涩的校园之恋深藏心底，当成是一种回忆。我无法左右我的爱情，但我可以左右的我的人生。当我成功的走近了我所规划的职业生涯时，我已经到了谈婚论嫁的年纪，这几年间不乏追求者，可我一再拒绝。 因为我再也找不到当初一见倾心的感觉了，我听不到紧凑的呼吸声、看不到温柔的眼神、也没有一句句关切的问候，有的只是百无聊赖的比较，学历、单位、家境，这样的相亲让我机器厌倦，我真的很 怀念大学的生活，怀念大学时间那一段段纯纯的山楂树之恋，而社会如此现实，看着街上的小情侣如此开放时，我始终坚持我医生一次的恋爱准则。 缘分真的是一件很奇怪的东西，在你不经意间偷偷的溜走了，又悄悄的像你走来。我仍然那般强淡定的面对我的爱情，似乎对一切异性都是那么不屑一顾，而我那一天的那一个眼神如此灼热的看着我，而这双囧囧有神的眼睛看着我一看就是一生。 当我被一个异性第一次十指相扣握住我的手时，我好有安全感，心里一股暖流划过我的心房，几年未曾有过的急促的心跳再一次频率如此之快，我对这个男人有一种直觉，总觉得我们之间会发生什么，结果一年之后我和这个男人就走进了婚姻的殿堂。我曾经许诺的唯一的爱情我终于做到了，我把我女人最美好的东西留给了这个男人，当在新婚之夜落在床单上的那一抹殷红时，他向我曾诺“我将一生对你不离不弃”。 当时的我处在24岁这样的年纪里对于不离不弃这个概念尚且模糊不清，我只知道这个男人让我有心动的感觉，他很执着的追求我，他很浪漫，他曾经单膝跪下求我做她的恋人，曾经捧着一大束玫瑰带给我惊喜，曾经脱下他的外套披在我的身上、曾经无数次容忍我的坏脾气、曾经给我冬日里送来一碗碗鲜美的汤汁、曾经生病时一口一口喂我吃药——太多的小事情发生在我的身上。当时的我没有所谓的两情若是久长时的概念，有的只是只争朝夕。 一年之后我们可爱的宝贝也出生了，可是我们的婚姻并不是一帆风顺的，我是一个爱美的女孩，我喜欢漂亮的包包，喜欢好看的裙子、喜欢香水化妆品。但是孩子的出生打乱了我们的生活节奏，也让我们的经济压力越发的大，我们的争吵声越来越多，我开始排斥他，我甚至后悔当初为什么没有选择那些经济能力强的男人结婚生孩子，我开始胡思乱想。我讨厌他给我带来的枯燥的奶妈生活、我讨厌他让我过早的走近的婚姻生活、我讨厌他给我买不起我想要的物质用品，我甚至有了放弃这段婚姻的念头，我不想把一生都献给这样一个平凡的男人身上、我讨厌他每天只知道洗床单洗被套、讨厌他整天唠唠叨叨。我要的丈夫是一个思想前进、事业心强的男人，而不是一个过 小日子的男人，我终于开始放弃我们的家庭、我们的爱情、甚至我们可爱的孩子。我们分居了——。 分居之后我开始思考自己，难道我不配拥有这样的爱情：下班后两人一起谈诗论词、切磋文学艺术、一起看电影、一起听音乐，偶尔再有一份小礼物送上。我憧憬的爱情时如此的罗曼蒂克，而现实呢，我们每天都在换着尿布、冲着奶粉、拿着奶瓶精打细算着每天的开支，跟我想象的婚姻生活简直风马牛不相及。 一个人的独居生活难眠有时落寞，我觉得自己是一个女汉子，我什么都可以做，我站在凳子上换灯泡，可是弄了许久还是搞不定，刚好周末大家都回家了，今晚没有灯怎么过，我躺在床上始终不好意思开口找他给我帮忙。突然电话那头打来了问我几时回我妈妈那边，他买了奶粉让我提回去，我很生气的大声囔囔“不回家，寝室灯都坏了心情不好不回家”当时就挂了电话，我还在床上生气着一刻钟之后门铃响了。 我打开门，原来是他，他提这个一大堆东西，拿出来的都是孩子的奶粉、纸尿裤。他拿来一个凳子站着看了看灯，说是灯烧掉了，于是给我从他的一大堆东西里找出一个新的灯泡给我换上拧好。做好这件事情后他又在袋子里找来找去说“你上次看中的这条粉色短裙我问了问80元，我给他讲价了，他收了我60块钱，你穿上肯定好看，还有你爱吃的话梅、苏打饼干、酸奶我给你买了你待会就着奶粉纸尿裤一起带回去，顺便路上肚子饿了可以吃。这时的我不知道说什么好，心里酸酸的，原来他知道我喜欢这条裙子，我突然哭出声来来，他回过头来看着我摸着我的头说“跟我回家吧，我开车送你回你妈妈家，宝贝看见我们一起回家肯定高兴！”。 也许是许久未见的原因，也许是他很爱他的孩子的原因、也许是我太害怕孤单的原因，也许是我从来舍不得离开他的原因，我就这样很轻易的回家了。我一直以为他不会像以前那样宠着我，没想到他仍然如此每天清早陪我上班，下班接我回家，跟我讲宝贝的小故事，我俩都笑得很开心。 傍晚时分他带着我出去散步，我问他我都这样的伤害你，你为什么还是对我这般迁就，他说“从跟你结婚那一天起，我就没想过离婚，你是我的老婆，一辈子都是我的老婆”我听着这话我很惊愕，我们恋爱时他长在我耳边小声说“我爱你”而现在他的回答不再是我爱你而是——。 夕阳下我们着对小夫妻牵着手，我看着他浅浅一笑，他一句话也没有说只是看着我很从容的笑了笑。我突然间读懂了什么是爱情—— 夕阳下许多的恋人都牵着手幸福的走着，不知道他们能不能像我们一样结婚、生孩子、一起到老呢！ 岁月里，总有美丽暗香浮动，生命有热烈也有平淡，有欢喜也有忧伤，记忆的花瓣总要找一个灵魂的支点。时光的角落里，总会隐藏着惊喜，也许就在下一个巷口，美好的懂得便会如约而至。 喜欢如约而至这个词，藏着暗香，和一份对未来的期待，等得很苦，却从不辜负，花儿和暖阳如约而至，为你演绎了一个春天，你踏着春风如约而至，便是我生命中的盛大欢喜。 一杯茶，在等一个懂它的人，有的时候，人也是在等一杯倾心的茶，你若愿等，茶不负你；一朵花，是在等懂得欣赏她知己，你若懂得，她必欢颜。其实我们终其一生，不过是寻找一份懂得，寻一份温暖的陪伴，找一个，能够牵手的人。 懂是轻柔岁月里的那一缕暗香，是平淡生活中的相依相随的陪伴；是繁花落尽后的那份珍藏，是百转千回回后的那一份执着，长路漫漫，一份懂得，是风风雨雨中为你的坚强，岁月无声，一种温暖，是不言不语的那一份相随。 懂你的人，从你的举止言行中，便能看穿你的心思，想你所想，解你烦忧，懂你的人，不需要太多的表达，只是一个眼神便能会意，你的所有。懂你的人，会在人山人海中一眼便能看到你，懂真的无需要多言，无言亦是深情。 每个人心中都有一段过往，每个人的故事里都有一段刻骨铭心。你清澈的眼眸曾穿过岁月的迷茫，给我欢喜，你的微笑曾暖过我光阴的薄凉。懂得，是在人山人海中，只一眼凝眸的欢喜；是中的叶子，便希望能以最美的姿态落下，因为不想让你看到我的忧伤，如果我是一抹暖阳，希望在风雨来之前，多为你储藏些温暖，好让明媚照亮你的心房，也许是这世上的美，都有些苍凉，缘是云水深处无言的守候，是一纸素笺的暖，是光阴写意最美的诗行。最美的懂得，是你来，正好我在，共度一段指尖葱茏的时光。 美好的遇见如途中的一抹光，照亮一个人的生活，那份懂得，甚至能点燃了一个人的生命。灯火阑珊处，总有一些执念，诉说着一往情深，你的深情，他的一往，或许成了多年以后的那一抹相思，那也是生命中，最惊艳的一笔。时光是最好的记录者，他收藏着那些花瓣和暗香，芬芳着如烟的过往。你的笑容，如春风十里，妥贴在那些唇红齿白的光阴里，那些用柔情似水中的诗句，婉约了经年的一首歌。 多少懂得，能在心灵的国度里成就一场花开？多少懂得，能在岁月的云烟里，清晰如昨？懂得，让两颗孤独的心不再迷茫；懂得，让漫漫长路人不再枯燥，懂得，让脚步在前行中不再孤单。如若你懂，一个人的路途，也有温暖和诗意；如若懂得，寒凉风雨中也能寻到暖意；如若懂得，峰回路转处，便是柳岸花明；如若懂得，月缺月圆，亦都是风景。 懂得，如一阕诗行，写的人，走字如简，读的人，见字如面。若是一个名字，在另一个人的心里，有了生命的体温，含泪带笑，知寒懂暖，那简单的文字就不再只是一个符号，而一种真实而灵动的存在，因为懂得，所以相信，你若安好，便是晴天。 人生，有多少别离，就会有多少相逢，喧嚣的尘世，总有一些孤独的灵魂，走在寂寞的路上，而懂得，便是一缕暗香，穿过茫茫人海，幽幽而来，如花间清露，润人心田。它静静地流淌在光阴中，让相见或不见，天涯或咫尺，都变成一场欣喜和期待。因为懂得，岁月，将不再写意迷茫；因为懂得，人生将不再枯燥；因为懂得，所有的千回百转都是值得。 一份爱，若珍惜过，已足够感念，一个喜欢的人，若能遇见，已足够幸福。这一生，没有什么比结缘更美好的事情，与一朵花结缘，与一丛绿结缘，与你结缘，然后相依相偎，笑看世间万千��
△ b2 4ac (8)2 4117 4＜0
∴方程无实数根。
结论：当 △ b2 4ac＜0 时，一元二次方程没有 实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x b b2 4ac
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
当 b2 4ac 0 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
学习是件很愉快的事
公式法
例2：用公式法解方程 （1）x2-4x-7=0
解 a 1, b 4, c 7
△ b2 4ac 42 41 (7) 44 0.
方程有两个不相等的实数根：
1.变形:化已知方 程为一般形式;
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数;
今忆梦 雨夜魂牵梦几回。
烟雨袅袅， 心语徘徊， 七个雨夜，七种相思。 倒是花无人红， 情无依倚。 今雨期欲子青， 七日相许期期相依。 原来思念一个人是这样的滋味。可是一个对自己未来都如此懵懂的我怎么能真正对爱情负责人呢，当我拒绝他时，我眼睛有了泪花了；原来离开一个自己喜欢的人时这样的痛苦。当我看见不久后他牵着一个女孩的手自然都走在街上时，我的心流血了；原来看着自己爱恋的对象爱上别人的那种滋味，简直比咖啡更苦！ 我将这份苦涩的校园之恋深藏心底，当成是一种回忆。我无法左右我的爱情，但我可以左右的我的人生。当我成功的走近了我所规划的职业生涯时，我已经到了谈婚论嫁的年纪，这几年间不乏追求者，可我一再拒绝。 因为我再也找不到当初一见倾心的感觉了，我听不到紧凑的呼吸声、看不到温柔的眼神、也没有一句句关切的问候，有的只是百无聊赖的比较，学历、单位、家境，这样的相亲让我机器厌倦，我真的很 怀念大学的生活，怀念大学时间那一段段纯纯的山楂树之恋，而社会如此现实，看着街上的小情侣如此开放时，我始终坚持我医生一次的恋爱准则。 缘分真的是一件很奇怪的东西，在你不经意间偷偷的溜走了，又悄悄的像你走来。我仍然那般强淡定的面对我的爱情，似乎对一切异性都是那么不屑一顾，而我那一天的那一个眼神如此灼热的看着我，而这双囧囧有神的眼睛看着我一看就是一生。 当我被一个异性第一次十指相扣握住我的手时，我好有安全感，心里一股暖流划过我的心房，几年未曾有过的急促的心跳再一次频率如此之快，我对这个男人有一种直觉，总觉得我们之间会发生什么，结果一年之后我和这个男人就走进了婚姻的殿堂。我曾经许诺的唯一的爱情我终于做到了，我把我女人最美好的东西留给了这个男人，当在新婚之夜落在床单上的那一抹殷红时，他向我曾诺“我将一生对你不离不弃”。 当时的我处在24岁这样的年纪里对于不离不弃这个概念尚且模糊不清，我只知道这个男人让我有心动的感觉，他很执着的追求我，他很浪漫，他曾经单膝跪下求我做她的恋人，曾经捧着一大束玫瑰带给我惊喜，曾经脱下他的外套披在我的身上、曾经无数次容忍我的坏脾气、曾经给我冬日里送来一碗碗鲜美的汤汁、曾经生病时一口一口喂我吃药——太多的小事情发生在我的身上。当时的我没有所谓的两情若是久长时的概念，有的只是只争朝夕。 一年之后我们可爱的宝贝也出生了，可是我们的婚姻并不是一帆风顺的，我是一个爱美的女孩，我喜欢漂亮的包包，喜欢好看的裙子、喜欢香水化妆品。但是孩子的出生打乱了我们的生活节奏，也让我们的经济压力越发的大，我们的争吵声越来越多，我开始排斥他，我甚至后悔当初为什么没有选择那些经济能力强的男人结婚生孩子，我开始胡思乱想。我讨厌他给我带来的枯燥的奶妈生活、我讨厌他让我过早的走近的婚姻生活、我讨厌他给我买不起我想要的物质用品，我甚至有了放弃这段婚姻的念头，我不想把一生都献给这样一个平凡的男人身上、我讨厌他每天只知道洗床单洗被套、讨厌他整天唠唠叨叨。我要的丈夫是一个思想前进、事业心强的男人，而不是一个过 小日子的男人，我终于开始放弃我们的家庭、我们的爱情、甚至我们可爱的孩子。我们分居了——。 分居之后我开始思考自己，难道我不配拥有这样的爱情：下班后两人一起谈诗论词、切磋文学艺术、一起看电影、一起听音乐，偶尔再有一份小礼物送上。我憧憬的爱情时如此的罗曼蒂克，而现实呢，我们每天都在换着尿布、冲着奶粉、拿着奶瓶精打细算着每天的开支，跟我想象的婚姻生活简直风马牛不相及。 一个人的独居生活难眠有时落寞，我觉得自己是一个女汉子，我什么都可以做，我站在凳子上换灯泡，可是弄了许久还是搞不定，刚好周末大家都回家了，今晚没有灯怎么过，我躺在床上始终不好意思开口找他给我帮忙。突然电话那头打来了问我几时回我妈妈那边，他买了奶粉让我提回去，我很生气的大声囔囔“不回家，寝室灯都坏了心情不好不回家”当时就挂了电话，我还在床上生气着一刻钟之后门铃响了。 我打开门，原来是他，他提这个一大堆东西，拿出来的都是孩子的奶粉、纸尿裤。他拿来一个凳子站着看了看灯，说是灯烧掉了，于是给我从他的一大堆东西里找出一个新的灯泡给我换上拧好。做好这件事情后他又在袋子里找来找去说“你上次看中的这条粉色短裙我问了问80元，我给他讲价了，他收了我60块钱，你穿上肯定好看，还有你爱吃的话梅、苏打饼干、酸奶我给你买了你待会就着奶粉纸尿裤一起带回去，顺便路上肚子饿了可以吃。这时的我不知道说什么好，心里酸酸的，原来他知道我喜欢这条裙子，我突然哭出声来来，他回过头来看着我摸着我的头说“跟我回家吧，我开车送你回你妈妈家，宝贝看见我们一起回家肯定高兴！”。 也许是许久未见的原因，也许是他很爱他的孩子的原因、也许是我太害怕孤单的原因，也许是我从来舍不得离开他的原因，我就这样很轻易的回家了。我一直以为他不会像以前那样宠着我，没想到他仍然如此每天清早陪我上班，下班接我回家，跟我讲宝贝的小故事，我俩都笑得很开心。 傍晚时分他带着我出去散步，我问他我都这样的伤害你，你为什么还是对我这般迁就，他说“从跟你结婚那一天起，我就没想过离婚，你是我的老婆，一辈子都是我的老婆”我听着这话我很惊愕，我们恋爱时他长在我耳边小声说“我爱你”而现在他的回答不再是我爱你而是——。 夕阳下我们着对小夫妻牵着手，我看着他浅浅一笑，他一句话也没有说只是看着我很从容的笑了笑。我突然间读懂了什么是爱情—— 夕阳下许多的恋人都牵着手幸福的走着，不知道他们能不能像我们一样结婚、生孩子、一起到老呢！ 岁月里，总有美丽暗香浮动，生命有热烈也有平淡，有欢喜也有忧伤，记忆的花瓣总要找一个灵魂的支点。时光的角落里，总会隐藏着惊喜，也许就在下一个巷口，美好的懂得便会如约而至。 喜欢如约而至这个词，藏着暗香，和一份对未来的期待，等得很苦，却从不辜负，花儿和暖阳如约而至，为你演绎了一个春天，你踏着春风如约而至，便是我生命中的盛大欢喜。 一杯茶，在等一个懂它的人，有的时候，人也是在等一杯倾心的茶，你若愿等，茶不负你；一朵花，是在等懂得欣赏她知己，你若懂得，她必欢颜。其实我们终其一生，不过是寻找一份懂得，寻一份温暖的陪伴，找一个，能够牵手的人。 懂是轻柔岁月里的那一缕暗香，是平淡生活中的相依相随的陪伴；是繁花落尽后的那份珍藏，是百转千回回后的那一份执着，长路漫漫，一份懂得，是风风雨雨中为你的坚强，岁月无声，一种温暖，是不言不语的那一份相随。 懂你的人，从你的举止言行中，便能看穿你的心思，想你所想，解你烦忧，懂你的人，不需要太多的表达，只是一个眼神便能会意，你的所有。懂你的人，会在人山人海中一眼便能看到你，懂真的无需要多言，无言亦是深情。 每个人心中都有一段过往，每个人的故事里都有一段刻骨铭心。你清澈的眼眸曾穿过岁月的迷茫，给我欢喜，你的微笑曾暖过我光阴的薄凉。懂得，是在人山人海中，只一眼凝眸的欢喜；是中的叶子，便希望能以最美的姿态落下，因为不想让你看到我的忧伤，如果我是一抹暖阳，希望在风雨来之前，多为你储藏些温暖，好让明媚照亮你的心房，也许是这世上的美，都有些苍凉，缘是云水深处无言的守候，是一纸素笺的暖，是光阴写意最美的诗行。最美的懂得，是你来，正好我在，共度一段指尖葱茏的时光。 美好的遇见如途中的一抹光，照亮一个人的生活，那份懂得，甚至能点燃了一个人的生命。灯火阑珊处，总有一些执念，诉说着一往情深，你的深情，他的一往，或许成了多年以后的那一抹相思，那也是生命中，最惊艳的一笔。时光是最好的记录者，他收藏着那些花瓣和暗香，芬芳着如烟的过往。你的笑容，如春风十里，妥贴在那些唇红齿白的光阴里，那些用柔情似水中的诗句，婉约了经年的一首歌。 多少懂得，能在心灵的国度里成就一场花开？多少懂得，能在岁月的云烟里，清晰如昨？懂得，让两颗孤独的心不再迷茫；懂得，让漫漫长路人不再枯燥，懂得，让脚步在前行中不再孤单。如若你懂，一个人的路途，也有温暖和诗意；如若懂得，寒凉风雨中也能寻到暖意；如若懂得，峰回路转处，便是柳岸花明；如若懂得，月缺月圆，亦都是风景。 懂得，如一阕诗行，写的人，走字如简，读的人，见字如面。若是一个名字，在另一个人的心里，有了生命的体温，含泪带笑，知寒懂暖，那简单的文字就不再只是一个符号，而一种真实而灵动的存在，因为懂得，所以相信，你若安好，便是晴天。 人生，有多少别离，就会有多少相逢，喧嚣的尘世，总有一些孤独的灵魂，走在寂寞的路上，而懂得，便是一缕暗香，穿过茫茫人海，幽幽而来，如花间清露，润人心田。它静静地流淌在光阴中，让相见或不见，天涯或咫尺，都变成一场欣喜和期待。因为懂得，岁月，将不再写意迷茫；因为懂得，人生将不再枯燥；因为懂得，所有的千回百转都是值得。 一份爱，若珍惜过，已足够感念，一个喜欢的人，若能遇见，已足够幸福。这一生，没有什么比结缘更美好的事情，与一朵花结缘，与一丛绿结缘，与你结缘，然后相依相偎，笑看世间万千��
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a 2 + 2 a b + b 2 = （ a + b ） 2 a 2 - 2 a b + b 2 = （ a - b ） 2 （1）完全平方式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？ （3）中间的一项是什么形式？
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例6 分解因式： （1）3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 ； （ 2）（ a + b ） 2 - 1 （ 2 a + b ） + 3 6 ．
解：（1） 3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 = 3 （a x 2 + 2 x y + y 2） = 3 （a x y）2；
a 2 2 a b + b 2 = （ a b ） 2
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理解完全平方式
我们把 a2+2ab+b和2 a2-2ab这+b样2 的式子叫做完 全平方式．
利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式 因式分解．
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理解完全平方式
a 2 + 2 a b + b 2 = （ a + b ） 2 a 2 - 2 a b + b 2 = （ a - b ） 2 完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并 且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的 二倍，符号不限．
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综合运用平方差公式
例2 分解因式： （1）x4-y4； （2）a3b-ab.
解：（2） a 3b-ab =a（b a 2 -1） =a（b a+1）（ a -1） ．
综合运用平方差公式
通过对例2的学习，你有什么收获？
（1）分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解 为止；
（2）对具体问题选准方法加以解决．
综合运用平方差公式
练习2 分解因式： （1）x2y- 4y ； （ 2） - a 4+ 1 6．
探索完全平方公式
你能将多项式 a2+2ab+b2与多项式a2-2ab+b2分解 因式吗？
追问1 你能用提公因式法或平方差公式来分解因 式吗？
追问2 这两个多项式有什么共同的特点？ 追问3 你能利用整式的乘法公式——完全平方公 式（ a b ） 2 = a 2 2 a b + b 2来解决这个问题吗？
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试着概 括你的发现.
探索平方差公式
把整式的乘法公式——平方差公式 （ a + b ） （ a - b ） = a 2 - b 2反过来就得到因式分解的平方差公 式：
a 2 - b 2 = （ a + b ） （ a - b ）
理解平方差公式
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什
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理解完全平方式
下列多项式是不是完全平方式？为什么？ （1） a2-4a+；4 （2）1+ 4 a 2； （3） 4b2+4b+1； （4） a2+ab+b2．
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理解完全平方式
你能将多项式 y 2 - 2 5 与多项式 x 2 - 4 分解因式吗？
（1）本题你能用提公因式法分解因式吗？ （2）这两个多项式有什么共同的特点？ （3）你能利用整式的乘法公式——平方差公式 （ a + b ） （ a - b ） = a 2 - b 2来解决这个问题吗？
探索平方差公式
你能将多项式 y 2 - 2 5 与多项式 x 2 - 4 分解因式吗？ y2-25=（y+5） （y-5） x2-4=（x+2） （x-2）
应用平方差公式
例3 分解因式： （1） 4 x 2 -9 ；（2）（x+p） 2-（x+q） 2．
解：（1） 4 x 2 - 9 = （ 2 x + 3 ） （ 2 x - 3 ） ； （2）（x+p）2 （x+q）2 =（x+p+x+q）（x+p-x-q） =（2x+p+q）（p-q）．
应用平方差公式
应用完全平方式
例5 分解因式： （1） 1 6 x 2 + 2 4 x + 9 ； （ 2）- x 2 + 4 x y - 4 y 2 ．
解：（2） - x 2 + 4 x y - 4 y 2 = - （ x 2 - 4 x y + 4 y 2） = - （ x - 2 y）2．
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么？
（1） x 2 + y 2；
×
（2） x 2 - y 2；
√
（3） - x 2 + y 2；
×
理解平方差公式
（1）平方差公式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？
适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项 式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反．
时要注意什么？
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14.3.2 公式法
课件说明
本课是在学生学习了整式乘法公式的基础上，研究 具有特殊形式的多项式分解因式的方法——公式法.
课件说明
• 学习目标： 1．探索并运用公式法进行因式分解，体会转化 思想． 2．会综合运用提公因式法和公式法对多项式进 行因式分解．
• 学习重点： 运用公式法来分解因式．
探索平方差公式
探索完全平方公式
a 2 + 2 a b + b 2 = （ a + b ） 2 a 2 - 2 a b + b 2 = （ a - b ） 2 你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
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探索完全平方公式
把整式的乘法公式——完全平方公式 （ a b ） 2 = a 2 2 a b + b 2反过来就得到因式分解的完全平 方方公公式式：：
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综合运用完全平方式
练习4 将下列多项式分解因式： （1） ax2+2a2x+a3； （2） -3x2+6xy-3y2．
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了解公式法的概念
把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于 分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分 解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
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课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）因式分解的公式法是什么？ （3）综合运用提公因式法和公式法进行因式分解
练习1 将下列多项式分解因式：
（1） a 2 - 1 b 2； 25
（2）9a2-4b2；
（3） -1+36b2； （4）（ 2x+y） 2-（ x+2y） 2．
综合运用平方差公式
例4 分解因式： （1）x4-y4； （2）a3b-ab.
解：（1） x4-y4 =（x2 +y 2）（x2 -y 2） =（x2 +y 2）（x+y）（x-y）；
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综合运用完全平方式
例6 分解因式： （1）3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 ； （ 2）（ a + b ） 2 - 1 （ 2 a + b ） + 3 6 ．
解：（2） （a+b） 2-1（ 2 a+b） +36 =（a+b-6） 2．
应用完全平方式
例5 分解因式： （1） 1 6 x 2 + 2 4 x + 9 ； （ 2）- x 2 + 4 x y - 4 y 2 ．
解：（1） 16x2+24x+9 （4x）2+2 4x 3+32 （4x+3）2；
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应用完全平方式
练习3 将下列多项式分解因式： （1） x2+12x+36； （2）-2xy-x2-y2； （3） a2+2a+1； （4） 4x2-4x+1．
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综合运用完全平方式
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例6 分解因式： （1）3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 ； （ 2）（ a + b ） 2 - 1 （ 2 a + b ） + 3 6 ．
解：（1） 3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 = 3 （a x 2 + 2 x y + y 2） = 3 （a x y）2；
a 2 2 a b + b 2 = （ a b ） 2
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理解完全平方式
我们把 a2+2ab+b和2 a2-2ab这+b样2 的式子叫做完 全平方式．
利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式 因式分解．
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理解完全平方式
a 2 + 2 a b + b 2 = （ a + b ） 2 a 2 - 2 a b + b 2 = （ a - b ） 2 完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并 且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的 二倍，符号不限．
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综合运用平方差公式
例2 分解因式： （1）x4-y4； （2）a3b-ab.
解：（2） a 3b-ab =a（b a 2 -1） =a（b a+1）（ a -1） ．
综合运用平方差公式
通过对例2的学习，你有什么收获？
（1）分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解 为止；
（2）对具体问题选准方法加以解决．
综合运用平方差公式
练习2 分解因式： （1）x2y- 4y ； （ 2） - a 4+ 1 6．
探索完全平方公式
你能将多项式 a2+2ab+b2与多项式a2-2ab+b2分解 因式吗？
追问1 你能用提公因式法或平方差公式来分解因 式吗？
追问2 这两个多项式有什么共同的特点？ 追问3 你能利用整式的乘法公式——完全平方公 式（ a b ） 2 = a 2 2 a b + b 2来解决这个问题吗？
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试着概 括你的发现.
探索平方差公式
把整式的乘法公式——平方差公式 （ a + b ） （ a - b ） = a 2 - b 2反过来就得到因式分解的平方差公 式：
a 2 - b 2 = （ a + b ） （ a - b ）
理解平方差公式
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什
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理解完全平方式
下列多项式是不是完全平方式？为什么？ （1） a2-4a+；4 （2）1+ 4 a 2； （3） 4b2+4b+1； （4） a2+ab+b2．
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理解完全平方式
你能将多项式 y 2 - 2 5 与多项式 x 2 - 4 分解因式吗？
（1）本题你能用提公因式法分解因式吗？ （2）这两个多项式有什么共同的特点？ （3）你能利用整式的乘法公式——平方差公式 （ a + b ） （ a - b ） = a 2 - b 2来解决这个问题吗？
探索平方差公式
你能将多项式 y 2 - 2 5 与多项式 x 2 - 4 分解因式吗？ y2-25=（y+5） （y-5） x2-4=（x+2） （x-2）
应用平方差公式
例3 分解因式： （1） 4 x 2 -9 ；（2）（x+p） 2-（x+q） 2．
解：（1） 4 x 2 - 9 = （ 2 x + 3 ） （ 2 x - 3 ） ； （2）（x+p）2 （x+q）2 =（x+p+x+q）（x+p-x-q） =（2x+p+q）（p-q）．
应用平方差公式
应用完全平方式
例5 分解因式： （1） 1 6 x 2 + 2 4 x + 9 ； （ 2）- x 2 + 4 x y - 4 y 2 ．
解：（2） - x 2 + 4 x y - 4 y 2 = - （ x 2 - 4 x y + 4 y 2） = - （ x - 2 y）2．
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么？
（1） x 2 + y 2；
×
（2） x 2 - y 2；
√
（3） - x 2 + y 2；
×
理解平方差公式
（1）平方差公式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？
适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项 式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反．
时要注意什么？
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14.3.2 公式法
课件说明
本课是在学生学习了整式乘法公式的基础上，研究 具有特殊形式的多项式分解因式的方法——公式法.
课件说明
• 学习目标： 1．探索并运用公式法进行因式分解，体会转化 思想． 2．会综合运用提公因式法和公式法对多项式进 行因式分解．
• 学习重点： 运用公式法来分解因式．
探索平方差公式
探索完全平方公式
a 2 + 2 a b + b 2 = （ a + b ） 2 a 2 - 2 a b + b 2 = （ a - b ） 2 你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
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探索完全平方公式
把整式的乘法公式——完全平方公式 （ a b ） 2 = a 2 2 a b + b 2反过来就得到因式分解的完全平 方方公公式式：：
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综合运用完全平方式
练习4 将下列多项式分解因式： （1） ax2+2a2x+a3； （2） -3x2+6xy-3y2．
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了解公式法的概念
把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于 分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分 解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
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课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）因式分解的公式法是什么？ （3）综合运用提公因式法和公式法进行因式分解
练习1 将下列多项式分解因式：
（1） a 2 - 1 b 2； 25
（2）9a2-4b2；
（3） -1+36b2； （4）（ 2x+y） 2-（ x+2y） 2．
综合运用平方差公式
例4 分解因式： （1）x4-y4； （2）a3b-ab.
解：（1） x4-y4 =（x2 +y 2）（x2 -y 2） =（x2 +y 2）（x+y）（x-y）；
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综合运用完全平方式
例6 分解因式： （1）3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 ； （ 2）（ a + b ） 2 - 1 （ 2 a + b ） + 3 6 ．
解：（2） （a+b） 2-1（ 2 a+b） +36 =（a+b-6） 2．
应用完全平方式
例5 分解因式： （1） 1 6 x 2 + 2 4 x + 9 ； （ 2）- x 2 + 4 x y - 4 y 2 ．
解：（1） 16x2+24x+9 （4x）2+2 4x 3+32 （4x+3）2；
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应用完全平方式
练习3 将下列多项式分解因式： （1） x2+12x+36； （2）-2xy-x2-y2； （3） a2+2a+1； （4） 4x2-4x+1．
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综合运用完全平方式