016第五章 极限定理

本章要解决的问题 1. 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 2. 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？
3. 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 4. 大样本统计推断的理论基础 是什么？
答复 大数 定律
中心极 限定理
重要不等式
马尔可夫（Markov） 不等式 设非负随机变量 X 的期望 E( X )存在， 则对于任意实数 > 0,
n /(10 pq ) 1.96 n 19.6 pq 现在的问题是如何确定 pq .
2
设 令
f ( p) p(1 p) pq f ( p) 1 2 p 0 当 p 1 / 2 时, f ( p) 1 / 4 达到最大值.
19.6 pq 19.6 (1 / 4) 96.04 n 所以取 n 97 就能满足要求.
某个客观值P(后称概率)的附近。
由频率的这种稳定性人们才确认了概 率的存在性，又由频率的基本性质推断出 概率的基本性质，并且在实际应用中就将
频率值称做为概率的估计值．
例如，常认为生男、生女的可能性大致相同，各为
o．5，实际上，经多个国家和民族的大量统计表明，生男 婴的频率稳定于22／43附近；
又如英文打字机上，字母E安置在最便于使用的位
7．设有1000人独立行动，每个人能够按时进 入掩蔽体的概率为0．9。以95％概率估计，在一 次行动中：(1)至少有多少人能够进入掩蔽体；(2) 至多有多少入能进入掩蔽体．
根据中心极限定理，有
8．(1)一个复杂系统由l00个相互独立的元件 组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.10， 又知为使系统正常运行，至少必须有85个元件工 作，求系统的可靠度(即正常运行的概率)；
2 2
97 0.7 139 取140. 140 20 7
电视台需安排 7 人作调查.
若使调查误差在1%之内，则
196 pq 38415(1 / 4) 9604 n
2
所以取 n 9605 就能满足要求.
9605 0.7 13721.4 取13722.
13722 20 686.1
显然
定理5．5描述了在一定条件下，标准化的随 机变量列的分布以标准正态分布作为极限分布．
于是，我们就便于把握总用电量
由此定理可知，正态分布是二项分布的极限 分布．
因此，当n很大时，有如下所示的近似计算二 项分布的常用方法．
由独立同分布和中心极限定理有
由中心极限定理
查标准正态分布表得
0.1875n P| X 0.75n | 0.01n 1 2 (0.01n) 令 0.1875n 1 0.90 2 (0.01n) 解得 n 18750
§5．1 大数定律
在我们开始引入“概率”这个概念之前，曾 先引进了关于频率的概念，而且指出过，随着试 验(观测)次数的增多，频率将逐渐稳定于
P( X )

E( X )
证 仅证连续型随机变量的情形
P( X ) f ( x)dx



x

0
1


f ( x)dx

xf ( x)dx E ( X )
推论 1 设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E( |X |k) 存在，则对于任意实数 > 0,
即“频率”或“平均值”在依概率收敛
3．中心极限定理说明什么问题? 答 中心极限定理提出了独立随机变量的和在变量的 项数很大时，如何确定它的渐近分布的问题.
一、复习要求
1．了解切比雪夫不等式； 2．了解大数定律成立的条件及结论； 3. 了解中心极限定理应用的条件及结论；并会 利用相关的定理近似计算有关事件的概率．
PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS
概率论与数理统计
黔南民族师范学院 数学系 余吉东
第五章 极限定理 重要不等式 §5．1 大数定律 §5．2 中心极限定理 释疑解难 复习要求及复习要点 典型例题分析
第五章 极限定理
这一章我们介绍概率论中最基本的极限 定理——著名的大数定律和中心极限定理. 它们无论在概率论的发展史上，还是近 代概率论的研究中，都占有很重要的地位。 这里我们只给出最基本的结论和应用。
每晚节目A 播出一小时, 调 查需同时进行, 设每小时每人能 调查20户, 每户居民每晚看电视 的概率为70%, 电视台需安排多 少人作调查.
解 设 X 为回答看电视的居民中在收看
节目A 的户数, 则 X ~ B (n , p) , 其中p 为 要估计的收视率, 要求 n , 使
P( X / n p 0.1) P[ ( X np) / npq n /(10 pq )] 2[ n /(10 pq)] 1 0.95
由此引出了各种概率意义下收敛性的概 念，其中较为简单的依概率收敛的定义．
如
(a , a ) 内的概率越来越大. n0 , n n0
Xn
Xn a
P
意思是:当
n 时,Xn落在
a
而
a
a
X n a 意思是: 0, n0 ,当
n n0
| X n a |
前面我们曾多次提到正态分布，实际 上，无论在概率论与数理统计的理论中，还是 实际的应用中，正态分布都是最常见、最重要 的分布．
人们自然要问：
为什么有许多的随机变量都服从(或近似 服从)正态分布? 是一些人的经验猜测，还是有理论依据? 这一节就是来回答这些问题，先看几个例子：
在此我们将不加证明地给出如下定理
P(| X | ) E (| X | )
k
推论 2 ——切贝雪夫( chebyshev)不等式 设随机变量 X 的方差 D ( X )存在， 则对于任意实数 > 0,
P(| X E ( X ) | ) D( X )

k
2
D( X )
当 2 D(X) 无实际意义,
或 P(| X E ( X ) | ) 1
6 83 0.7685 P(| X 1000 | 60) 1 2 108 60
实际精确计算
1 X P940 X 1060 P 0.01 6000 6

1059
k 941
C
k 6000
1 6
k
5 6
6000k
0.959036
用Poisson 分布近似计算 取 = 1000
1 X P 0.01 P940 X 1060 6000 6
1000 e k! k 941
1059
k
1000
0.937934
例 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数 , 则 X ~ B(n,0.75)
2
例 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试 估计在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比 例与1/6 比较上下小于1%的概率. 解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数 , X ~ B (6000,1/6 )
5000 E ( X ) 1000, D( X ) 6 1 X P 0.01 6000 6 5000
3．某工厂有400台同类机器，各台机器发生 故障的概率都是0．02．假设各台机器工作是相互 独立的，试求机器出故障的台数不少于2的概率．
4．某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩 (百分制)近似正态分布，平均成绩为72分，96分以 上的占考生总数的2．3％，试求考生的外语成绩 [附表] 在60分至84分之间的概率．
将有关数据代入上式，得
即有99％的把握断言
从而
也就是需使
释疑解难
1.依概率收敛与高等数学中的收敛有何不同?
因此，依概率收敛的条件比高等数学中的收 敛的条件要弱具有某种不确定性．
2．大数定律说明什么问题?
答 在实践中人们发现事件发生的“频率” 具有稳定性． 在讨论数学期望时，也看到在进行大量 独立重复试验时，“平均值”包具有稳定 性． 大数定律正是以严格的数学形式证明了 “频率”和“平均值”的稳定性，同时表达 了这种稳定性的含义.
这就从数学上证明了频率的稳定性 现在，我们就会对第一章中蒲丰等人的投币 试验的试验数据的含义理解得更加透彻．
这里，没有要求Xi，服从什么样的分布，也 就是说，无论x1,x2,```xn服从什么样的分布，只要它 们独立、同分布且数学期望存在，就有它们n 个的平均依概率收敛于其期望值。
显然，伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情形
5．试利用(1)切比雪夫不等式；(2)中心极限 定理分别确定投掷一枚均匀硬币的次数，使得出 现“正面向上”的频率在0.4到0.6之间的概率不小 于0.9 ．
由此得
由此得 查表得 6．某保险公司多年的统计资料表明，在索赔 户中被盗索赔户占20％，以X表示在随意抽查的 l00个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数 (1)写出X的概率分布； (2)利用橡莫弗—拉普拉斯定理，求被盗索赔 户不少于14户且不多于30户的概率的近似值．
置上，因为大量的统计表明，字母E出现的频率约为0.105， 大大超过其它字母，等等．
这些稳定性现象，从直观上可解释为在 大量的随机现象中，个别随机现象所引起的 偏差常常会相互抵消，相互补偿而被平均化， 从而致使大量随机现象的共同作用的总的平 均结果趋于稳定． 大数定律在描述这类现象的过程中，是 以研究某些概率接近于1(或零)的事件的规律 的方式进行的．
电视台需安排 687 人作调查.
§5．2 中心极限定理
在自然科学、工程技术、经济学、生物学、 医学以及社会学等领域，人们经常遇到这样一 类随机现象，该现象是由许多随机因素的叠加 产生的． 将这些现象抽象为概率论的内容，就是要 研究由许多独立随机变量的和所组成的随机变 量的分布规律. 即研究由无穷多个随机变量组成和的极 限分布律，这就是中心极限定理所要讨论的内 容．
E ( X ) 0.75 n, D( X ) 0.1875 n
0.74 X 0.76 0.90 ，求 n 要使 P n
即 P0.74 n X 0.76 n 0.90 即 P| X 0.75n | 0.01n 0.90 由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
另外，我们所熟知的二项分布、泊松分布、均匀分 布、指数分布、正态分布等序列，都满足定理5.4的条件， 都具有“n个独立随机变量的平均依概率收敛于期望值” 的性质.
实际上，我们可以根本不管这些随机变量服从什么样的分布， 只要知道它们的期望或方差就可以了。
解 因为
故
例 电视台需作节目A 收视率的 调查. 每天在播电视的同时, 随机地向 当地居民打电话询问是否在看电视. 若在看电视, 再问是否在看节目A. 设回答看电视的居民户数为 n. 若要保证以 95%的概率使节目A 收视率的调查误差在10%之内, n 应 取多大？
二、复习要点
(一)重要概念及性质
若
(二)重要定理及公式
证 因为
证 由题意可知
此定理也称为独立同分布的中心极限定律．
然后根据中心极限定理
三、典型例题分析
1．利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数 学期望之差大于3倍标准差的概率． 解 由切比雪夫不等式
2．在每次试验中，事件A发生的概率为0．5， 利Biblioteka Baidu切比雪夫不等式估计：在1000次独立试验中， 事件A发生的次数在400～600之间的概率．
从而有
在实际应用中，当我们知道一串随机变量列 的期望存在，且满足马尔柯夫条件，则可用这个 随机变量列的算术平均作为对其期望平均值的一
种估计．
由大数定律，可得到一些特殊的有趣结果：
即结论成
这就是满足上述条件的n个随机变量的算术平 均，当n无限增大时具有的稳定性的确切解释。
证 令
由于贝努里试验的广泛性，进而我们可以看 出一般所说的“频率”接近于“概率”的数学依 据了.