016第五章 极限定理
概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理
在100次炮击中炮弹命中的总颗数
100
X = ∑ Xk k =1
相互独立地服从同一分布，
E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,…,100)
随机变量
∑ 1
100 × 1.5
100 k =1
(
X
k
−
2)
=
1 15
(
X
−
200)
2. 伯努利定理 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率
3. 辛钦定理 （随机变量序列独立同分布且数学期望存在）
n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术 平均值的数学期望。
给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.
§5.2 中心极限定理
望 E( Xk ) = µ (k = 1,2,"),则对于任意ε > 0,有
∑ lim
n→∞
P {|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
说明
伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情
况。n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算
术平均值的数学期望。
三 小结
1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 算术平均值依概率收敛于数学期望
= 1 − P { V − 100 ≤ 0.387 } (10 12 ) 20
∫ 0.387
≈ 1−
1
e − t 2 dt
−∞ 2π
= 1 −Φ (0.387) = 0.348
所以 P{V > 105} ≈ 0.348
第五章 极限定理
n np
npq
的渐近分布.
三、棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理 定理5.1.1（棣莫弗—拉普拉斯） 设 n是
n重伯努利试验中事件A发生的次数，概率
0<p<1，则对任意有限区间[a，b]： I. 局部极限定理
k np 当 a xk b 及 n 时，一致 npq 地有 1 1 x2 1 k 2 P{n k} e 1 npq 2
另一类极限定理------中心极限定理
经过长期的研究发现， n 具有以上性在n重伯努利试验中,令
1，第i次试验中A出现 i 0，第i次试验中A不出现 有1, … , n相互独立 ，则
n =1+ 2+… + n
一般地，在一定条件下的某一随机变量
显然，在连续型分布正态分
布逼近离散型二项分布时存
在偏差，于是采用近似效果
好的修正公式：
P{k1 n k2 }
k2 np 0.5 k1 np 0.5 npq npq 当p不太接近0或1，而n又不太小时，逼近
这个关系式可以用来解决许多计算问题。
第一类问题： 已知 n, p, ，求概率
n P p n
第二类问题： 要使
n
n 数 的概率不小于预先给定的数 ，问最
少应做多少次试验？这时只需求满足下式
与p的差异不大于定
的最小的n，
2 n pq
第一节
伯努利试验场合的极限定理
我们曾经说, 频率是概率的反映,随 着观察次数的增大, 频率将会逐渐稳定 到概率. 这里是指试验的次数无限增大 时, 在某种收敛意义下逼近某一定数,这 就是所谓——频率稳定性
概率论与数理统计 第五章
Xn ⎯ ⎯→ X 2. 依概率收敛与依分布收敛的关系
依概率收敛 ⇒ 依分布收敛
L
3. 定义：中心极限定理 设随机变量 X ~ N(0,1)，{Xi }，i = 1, 2, … 相互独 立，且数学期望和方差都存在, 若标准化随机变量序列
∑
n
i =1
Xi −
∑ E(X
i =1
n
i
)
∑
n
i =1
D(X i)
所以结论成立。 由此有，若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有 ⎧ m1 − np X − np m2 − np ⎫ ⎪ ⎪ < ≤ P{m1 < X ≤ m2 }= P ⎨ ⎬ np(1 − p) np(1 − p) ⎪ ⎪ np(1 − p) ⎩ ⎭
⎧ Yn − np ⎫ ⎪ ⎪ ≤ x ⎬ = Φ( x ) lim P ⎨ n →∞ ⎪ np(1 − p ) ⎪ ⎩ ⎭
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 证明：对于任意正整数n Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足独立同分布 中心极限定理条件。即有
切比雪夫不等式的应用 1）估计随机变量落在某个区间内的概率 (P125例5.5.2) 2）估计ε的值, 使 P(│X - E(X)│<ε) ≥ a (0<a<1) 3）证明大数定律。
二. 大数定律 定义： 依概率收敛 设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量 或常数，若对于任意的ε＞ 0，有 lim P{| X n − X |≥ ε } = 0
第五章 极限定理
例5.2.2：设某车间有400台同类型的机器，每台的电 功率均为Q千瓦.设每台机器开动时间为总工作时间的3/4 且每台机器的开与停是相互独立的.为了保证以0.99的概 率有足够的电力，问车间应供应多大的电功率？
解 ： 设 有X台 机 器 同 时 开 动.由 题 设 ，X ~ B(400, 3 ). 4
解：记
1， 若 第i个 被 保 险 人 发 生 重 大 事故 ， X i 0， 若 第i个 被 保 险 人 未 发 生 重 大事 故 ，
i 1,2, ,5000,
于
是X
均
i
服
从
参
数
为p
0.005的 两 点 分 布 ，P{ X i
1}
0.005,
5000
X i是5000个 被 保 险 人 中 一 年 内 发生 重 大 人 身 事 故 的 人 数，
n
解：显然{ X i }满足定理5.1.2的条件，且每个E( X k
)
6
2
4
5,
故，X p 5,即对任意 0, 有
lim P{| X 5 | } 1.
n
依概率收敛的定义
定义5.1.4：设 X1, X 2 , 是, X一n ,个 随机变量序列，a为 常数，若对任意 ， 有0
n
因此利用切比雪夫不等式，
P ( | Xn – | ≤ ) ≥ 1 – ——n22
1。
□
例5.1.3: 设 列，记
X1, X2 ,是, X独n立,同分布的随机变量序
X
1 n
n
Xk
k 1
若每个 X k ~ U (4,6), k， 问1,2,在当 X时 依概率收敛于何值？写出极限表达式
第五章中心极限定理(2)
12
例.用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为100
克,标准差为10克,一箱内装200袋味精,求一箱味精净重大 于20500克的概率?
解: 设一箱味精净重为X,箱中第i袋味精净重为Xi,(i=1,2,…,200)
则 且 X1,X2,…,X200独立同分布, EXi=100, DXi=102=100,
n
5
几个常见的中心极限定理。
定理 5.3.1 设随机变量 X 1 , X 2 , , X n , 相互独立， 服从同一分布，且具有数学期望和方差： E ( X k ) , D( X k ) 2 0 ， (k 1,2, ) ，
n X k E X k k 1 k 1 记 Yn n D X k k 1 则恒成立
X
i 1
n
i
D ( X i )
i 1
2 ， B n k2 ， k 1
n
若存在 0 ，使得当 n 时， 1 n 2 E X k k 0 ，则恒成立 2 Bn k 1
x
2 定理 5.3.2 称为李雅普诺夫（Liapunov）中心极限定理。 证明略。
b
a
e
2 2
d
20
在这里，顺便澄清一个概念。在前面章节的讨论中， 我们曾学习过二项分布的泊松逼近。 当时，泊松分布虽然是作为二项分布的极限分布而引入的， n 但极限过程是： np ， n 而现在所说的“二项分布的极限分布是正态分布” n 这一结论涉及的极限过程是： p是常数 。
X Xi
i 1
200
由独立同分布的中心极限定理得:
概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计作业班级 姓名 学号 任课教师第五章 大数定律及中心极限定理教学要求：一、了解大数定律的直观意义； 二、掌握Chebyshev 不等式；三、了解Chebyshev 大数定理和贝努里大数定理； 四、会用中心极限定理估算有关事件的概率．重点：中心极限定理．难点：切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理．综合练习题一、选择题1.设12,,,n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且1,2,,i n = .令∑==ni i n X Y 1，1,2,,i n = ，()x Φ为标准正态分布函数，则()=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--∞→11lim p np np Y P n n （B ）. （A ）0 ； （B ）()1Φ； （C ）()11Φ-； （D ）1.6 . 2.设()x Φ为标准正态分布函数，0,1,i A X A ⎧=⎨⎩事件不发生，事件发生，()100,,2,1 =i ，且()8.0=A P ，10021,,,X X X 相互独立.令∑==1001i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数()y F 近似于（B ）. （A ）()y Φ； （B ）⎪⎭⎫⎝⎛-Φ480y ； （C ）()8016+Φy ； （D ）()804+Φy .3.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立，且i X () ,,,2,1n i =都服从参数为21的指数分布，则当n 充分大时，随机变量∑==ni i n X n Z 11的概率分布近似服从（B ）.（A ）()4,2N ； （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛n N 4,2； （C ）⎪⎭⎫⎝⎛n N 41,21； （D ）()n n N 4,2. 二、填空题1.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立且同分布，它们的期望为μ，方差为2σ，令∑==ni i n X n Z 11，则对任意正数ε，有{}=≤-∞→εμn n Z P lim 1 .2.设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差()μ=i X E ，()02>=σi X D ，() ,2,1=i ， 则对任意实数x ， =⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim ()x Φ. 3.设()1-=X E ，()4=X D ，则由切比雪夫不等式估计概率{}42P X -<<≥95. 4.设随机变量[]1,0~U X ，由切比雪夫不等式可得≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-3121X P 41. 5.设随机变量()2.0,100~B X ，应用中心极限定理可得{}≈≥30X P 0062.0.（其中()()9938.05.2=Φ）三、应用题1. 100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%， 求任一时刻有70至86台车床在工作的概率.解：设⎩⎨⎧=台车床没有工作第台车床正在工作第i i X i .0.1（100,,2,1 =i ），且()8.0,1~B X i ，则100台车床中在任一时刻正在工作的机床台数为10021X X X X +++= ，且()80=X E ，()16=X D ，（其中10021,,,X X X 独立同分布），于是由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理近似可得()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤-≤-=≤≤16808616801680708670X P X P()()()()927.015.25.15.25.1=-Φ+Φ=-Φ-Φ≈.2. 某计算机系统有120个终端，每个终端在1小时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否是相互独立的，求至少有10个终端同时使用打印机的概率.解：设,,0,1⎩⎨⎧=个终端没有使用打印机第个终端正在使用打印机第i i X i （120,,2,1 =i ），且()05.0,1~B X i ，则120个终端中同时使用打印机的台数为12021X X X X +++= ，且()6=X E ，()7.5=X D （其中12021,,,X X X 独立同分布），于是由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理近似可得:()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<--=<-=≥7.56107.56110110X P X P X P()0465.09535.0168.11=-=Φ-≈.３.设某产品的废品率为0.005，从这批产品中任取1000件，求其中废品率不大于0.007的概率.解：设1000件设产品的废品数为n μ，易知()005.0,1000~B n μ，则()()(),975.41,5=-===p np D np E n n μμ 相应的废品率为nnμ，()1000=n 由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理知：当n 充分大时n μ近似地服从正态分布，于是由中心极限定理近似可得()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤=⎪⎭⎫⎝⎛≤975.457975.457007.0n n n P P n P μμμ()8159.09.0=Φ≈.４.在掷硬币的试验中，至少掷多少次，才能使正面出现的频率落在（0.4，0.6）区间的概率不小于0.9？解：设A n 表示n 次试验中正面出现的次数，;.0.1⎩⎨⎧=次试验中出现反面第次试验中出现正面第i i X i （n i ,,2,1 =），显然()5.0,~21n B X X X n n A +++= （其中n X X X ,,,21 独立同分布），()(),25.0,5.0n n D n n E A A ==于是正面出现的频率nn A应满足9.06.04.0≥⎪⎭⎫⎝⎛<<n n P A .从而由中心极限定理知：()n n n P n n P A A 6.04.06.04.0<<=⎪⎭⎫⎝⎛<<⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<-<-=n n n n n n n n n P A 25.05.06.025.05.025.05.04.0()()()12.022.02.0-Φ=-Φ-Φ≈n n n , 要使9.06.04.0≥⎪⎭⎫⎝⎛<<n n P A ，只要()9.012.02≥-Φn ，即()95.02.0≥Φn .反查表可得65.12.0≥n ，即06.68≥n ，所以至少掷69次，才能使正面出现的频率落在（0.4，0.6）区间的概率不小于0.9.５.设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件损坏的概率为0.1，必须有85个以上的部件正常工作，才能保证系统正常运行，求整个系统正常工作的概率.解：设X 为100个相互独立的部件中正常工作的部件数，则()9.0,100~B X ，()()(),91.09.01001,909.0100=⨯⨯=-==⨯==p np X D np X E 整个系统正常工作的概率为()85>X P .由中心极限定理知：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤--=≤-=>99085990185185X P X P X P9525.035351=⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-≈. ６.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从这批木材中随机抽取100根，问其中至少有30根短于3米的概率是多少？解：设X 为100根木柱中长度小于3米的根数，易知()2.0,100~B X ，()(),16,20==X D X E 则所求问题为()30≥X P ，由中心极限定理知：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<--=<-=≥1620301620130130X P X P X P()0062.09938.015.21=-=Φ-≈.7.某车间有同型号机床200台，它们独立地工作着，每台开动的概率均为0.7，开动时耗电均为1.5千瓦，问电厂至少要供给该车间多少电力，才能以99..5%的概率保证用电需要？解：设⎩⎨⎧=台机床没有工作第台机床正在工作第i i X i .0.1（200,,2,1 =i ），且()7.0,1~B X i ，记X 某时刻正在工作的机床数，则20021X X X X +++= ，()(),42,140==X D X E 于是某时刻该车间的耗电数为X Y 5.1=千瓦.设供给该车间的电力数为α千瓦，则问题要求是()995.0=≤αY P ，由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理知：()()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=≤=≤5.15.1αααX P X P Y P995.0421405.1421405.142140=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤-=ααX P , 查标准正态分布表，得58.2421405.1=-α，即 235=α.所以电厂至少要供给该车间235千瓦的电力，才能以%5.99的概率保证用电需要.。
第5章极限定理1
极限定理是概率论中最重要的理论成果之 一。正如本书一开始就指出的，随机现象的统计 规律性只有在对大量随机现象的考察中才能显现 出来。为了研究“大量”的随机现象，常常采用 极限方法，这就导致研究极限定理。本章主要介 绍独立随机序列的极限理论。我们只介绍大数定 律和中心极限定理。
内容
• § 5.1 随机序列的收敛性 • § 5.2 大数定律 • § 5.3 中心极限定理
1 n 民），若n充分大，则居民户的平均用水量 ∑ ξ k 也稳定于 n k =1 一个常数。 1 n 总之，大量随机现象都表现出形如 n ∑ ξ k 的平均结果 k =1 的稳定性。问题是：在这里稳定的含义是什么？其次为什 n 1 么形如 ∑ ξ k 的平均结果具有稳定性？或换一种提法
n
k =1
在什么条件下形如
在大量的随机试验中，由于个别因素随机性相 互抵消，相互补偿，其平均结果呈明显的规律性。 大数定律的目的是描述大量随机现象的平均结果所 呈现的规律性。下面探讨第二个问题。
大数定律
其中q = 1 − p,0 < p < 1, 则{ξ n }服从大数定律。 定理5.2.1′(伯努利大数定律) 试验中出现的概率，则对任意ε > 0, µn P 都有 → p, n → ∞ n 定理5.2.2(泊松大数定律) 设{ξ n }为独立同分布的随机序列，且P{ξ n = 1} = p, P{ξ n = 0} = q 定理5.2.1(伯努利大数定律)
因此如果能确定（*）以接近1的概率成立，从实际应 用 ηn 角度来看， p可以作为 的稳定值。于是频率具 有稳定性可 n 以这样用数学语言来表 述：对于任意 ε > 0, 有 ηn ηn − p |< ε} → 1或等价地 P{| − p |≥ ε} → 0. P{| n n 定义：设{ξ n }为一随机变量序列，如 果存在这样一个常数序 列{an } ，对任意的 ε > 0, 恒有 1 n P{ ∑ ξ k − an < ε} → 1, n → ∞ n k =1 则称随机序列{ξ n }服从大数定律。
概论与统计课件第五章 极限定理-PPT文档资料
• 大数定律的概念 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理，称为大数定律（law of large number) 本章将介绍三个大数定律： （1）切比雪夫大数定律、 （2）辛钦大数定律 （3）伯努利大数定律。 它们之间既有区别也有联系。
一、随机变量序列依概率收敛的定义 定义1. 1：设 X 1 , X 2 , …, X n ,…是一随机变量序列，如果存 在常数 a ，使对任意的 > 0，都有：
例1、掷一颗均匀正六面体的骰子，出现1点的概率是1/6。 但掷的次数少时，出现1点的频率可能与1/6相差较大，但 掷次数很多时，出现1点的频率接近1/6几乎是必然的。 例2、测量一个长度a，一次测量的结果不见得就等于a， 量了若干次，其算术平均值仍不见得等于a,但当测量的 次数很多时，算术平均值接近于a几乎是必然的。
1 n lim P X i p 1 n n i 1
mn p | } 1 又 ： X i mn， 即 lim P {| n n i 1
n
此定理说明了频率的稳定性。
伯努利大数定律
mn lim P {| p | } 1 n n
1 n lim P X i 1 n n i 1
1 n p 即 X i n i 1
这一推论使算术平均值的法则有了理论根据。假使要测量某 一个物理量a ,在不变的条件下重复测量 n 次，得到的观测值x1, x2, …, xn 是不完全相同的，这些结果可以看作是服从同一分布并 且期望值为a 的n 个相互独立的随机变量 X1, X2, …, Xn …的试验 1 数值。由推论可知，当n充分大时, 取( n X ) 作为 a 的近似值， 可以认为所发生的误差是很小的。即对于同一个随机变量X 进行 n 次独立观察，则所有观察结果的算术平均数依概率收敛于随机变量 的期望值 EX 。
概率论与数理统计 五大数定理
[注]： X n P → a 注： 推论(辛钦大数定律) 推论(辛钦大数定律)
X n − a P → 0
设独立随机变量 X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅, X n 服从同一分布 并且有数学 服从同一分布, 期望 µ 及方差 σ 2， X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅, X n 的算术平均值当 n → ∞ 则 时，按概率收敛于µ， 即对于任何正数 ε，恒有 按概率收敛于 ，
第五章 大数定理与中心极限定理
“大数定律”: 用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理 大数定律” 用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理. 大数定律
一、切比雪夫不等式
切比雪夫不等式: 切比雪夫不等式: 设随机变量 X 有数学期望 EX 及方差 DX， ， 下列不等式成立： 则对于任何正数 则对于任何正数 ε，下列不等式成立：
2 i
n
则：E(Yn ) =
2 µi , D(Yn ) = ∑σi2 = sn . ∑
n i =1
n
i =1
i =1
∴ Z n = Yn
1 = sn
∗
n Y n − EY n 1 n = = ∑ X i − ∑ µ i sn i =1 DY n i =1
∑ (X
i =1
n
i
− µ i ), 则有：E ( Z n ) = 0 , D ( Z n ) = 1 . 则有：
概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的定 概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的定 随机变量的和的极限分布是正态分布 是独立随机变量， 设 X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅ , X n ,⋅ ⋅ ⋅ 是独立随机变量，并各有
EX i = µ i , DXi = σ , i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n,⋅ ⋅ ⋅. 设 n = ∑Xi , Y
1.6 极限定理
0, 0,
使得当 x a y b 时, g( x , y ) g(a , b) ,
§1.6.1
大数定律
于是 { g( X n , Yn ) g(a, b) } { X n a Yn b }
X n a Yn b , 2 2 因此 P{ g( X n , Yn ) g(a, b) }
n P X n a P Yn b 0, 2 2
故 lim P{ g( X n , Yn ) g(a, b) } 1.
n
[证毕]
§1.6.1
大数定律
贝努利
定理1.6.3（贝努利大数定理）
设 A 是 n 次 独 立 重 复 试 验 中 事 件发 生 A 的 次 数 p 是 事 件 A 在 每 次 试 验 中 发 生 的 率, , 概 则 对 于 任 意 正 数 0, 有 A A l i mP p 0 或 l i mP p 1. n n n n
由辛钦定理知
1 n 2 2 对于任意正数 , 有 lim P X k 1. n n k 1
§1.6.1
大数定律
变 例1.6.3 设X 1 , X 2 , , X n是 独 立 同 分 布 的 随 机 量 序 列 ， E ( X i ) , D ( X i ) 2均 存 在 ， 证 明
证明
引入随机变量
0, 若在第k次试验中A不发生, Xk 1, 若在第k次试验中A发生, k 1,2,.
§1.6.1
显然
大数定律
A X1 X 2 X n
第五章 极限定理
x
f ( x)dx
x
x
2
2
f ( x)dx
2 2 2 x f ( x)dx 2
P{ X } 2 P{ X } 1 2 上式说明，X 的方差越小，事件{ X }
n
lim P Yn 1 无论 多小，当n充分大时， 事件 Yn 发生的概率可任意接近于1． 若 lim P Yn 1成立，我们称随机变量序列
n P Y1 , Y2 , , Yn 依概率收敛于，记为Yn ． n n
100 1 100 P{0.01 X i 0.01 } P{1 X i 1} 100 i 1 i 1
1 100 0 P 100 1 12
X i 100 0 1 100 0 i 1 1 1 100 100 12 12
lim P Yn 1 随着n的增大，独立随机变量
X 1 , X 2 , , X n的均值Yn依概率收敛于它们共同的期望． 这就也说明期望的真实含义是平均值．
推论，设n次独立重复试验中事件 A发生的次数为n A , nA 有 lim P p 1. n n 1, 第i次试验中事件A发生 令, X i ，i 1,2, , 0，第i次试验中事件A不发生 则，X 1，X 2， , X n， 是独立随机变量序列， 且E ( X i ) p, Var ( X i ) p (1 p ), i 1,2,． nA nA 1 n i 1 X i Yn lim P p n n n n lim PYn p 1
《极限定理教学》课件
02
无穷小和无穷大在极限理论中有 着重要的应用，如极限的定义、 性质和计算等。
06
极限定理的深化理解
极限定理的几何解释
极限定理的几何解释
通过几何图形和图形的变化趋势，深入 理解极限的概念和性质。例如，通过观 察函数图像的变化趋势，理解函数在某 点的极限值。
VS
动态演示
利用动画或动态图演示函数的变化趋势， 帮助学生直观地理解极限的概念。
注意事项
强调在求幂函数的极限时需要注意 的要点，例如n不能为负数且分母不 能为零等。
指数函数的极限
指数函数的形式
指数函数的一般形式为a^x（ a>0且a≠1），其极限值取决于a
的值。
举例说明
通过具体例子演示如何求指数函 数的极限，例如求lim(x->∞) a^x的极限值，其中a>1和 0<a<1的情况。
在微积分中，极限的应用可以帮助我们更好地理解微积分 的本质和思想，解决微积分中的问题，如求解函数的极值 、求解定积分等。
04
极限的运算
极限的四则运算
极限的四则运算法则
注意事项
极限的四则运算法则是极限运算的基 础，包括加法、减法、乘法和除法的 极限运算规则。
强调在运用极限的四则运算法则时需 要注意的要点，例如分母不能为零等 。
左极限与右极限
根据函数在某点处的左右两侧的变化 趋势，可以将极限分为左极限和右极 限。
单侧极限与双侧极限
根据函数在某点处是否只有一个方向 上的变化趋势，可以将极限分为单侧 极限和双侧极限总结词
单调有界定理是极限理论中的基本定理之一，它表明如果一 个数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则该数列收 敛。
无穷大的定义与性质
《概率论与数理统计》5-1 中心极限定理
例5. 为了测定一台机床的质量, 将其分解成若干个部件 来称量. 假定每个部件的称量误差（单位: kg ）服从区 间 1,1 上的均匀分布, 且每个部件的称量是独立的, 试 问至多分成多少个部件才能以不低于99%的概率保证 机床的称量总误差的绝对值不超过10.
1.55 1.55
2 1.55 1 0.8788.
例3. 有一批钢材, 其中80%的长度不小于3m, 现从钢材 中随机取出100根, 试利用中心极限定理求小于3m的钢 不超过30根的概率. 解 以Yn 为100根钢材中小于3m的钢材根数, 由题意知:
1 E X p, D X p 1 p n
定理5.3 独立同分布情形下大数定律
设
X1 , X 2 ,
是一个独立同分布的随机变量序列. 且
P E X , D X 2 . 则 X
证明关键步骤:
1 2 E X , D X n
Yn
B 200,0.15 .
Y np N 30 0.95, P Yn N P n np 1 p 25.5 N 30 查表得: 1.645, 即: N 38.3068, 所以可取
25.5
N 39方能以95%的把握保证在该时刻分机可以使用外
在§1.3中, 我们曾经提到频率的稳定性. 设随机事件A的概率P(A)=p, 在n重贝努利试验中事件A 发生的频率为 f n A .当n很大时, 将与p非常接近. 由 于 f n A 本质上是一个随机变量，它随着不同的n次试 验可能取不同的值, 因而需要对随机变量序列引进新 的收敛性定义.
概率论与数理统计 第四版 第五章
≈１ － Φ
６０ － ３００ × ０畅 ２ ３００ × ０畅 ２ × ０畅 ８
＝ １ － Φ（０） ＝ ０畅 ５ ．
8 ． 一复杂的系统由 １００ 个相互独立起作用的部件所组成 ，在整个运行期间
121
（１） 求收入至少 ４００ 元的概率 ； （２） 求售出价格为１畅 ２ 元的蛋糕多于 ６０ 只的概率 ． 解 设第 i 只蛋糕的价格为 X i ，i ＝ １ ，２ ，… ，３００ ，则 Xi 有分布律为
Xi １ １畅 ２ １畅 ５ pk ０畅 ３ ０畅 ２ ０畅 ５
由此得
E（ Xi ） ＝ １ × ０畅 ３ ＋ １畅 ２ × ０畅 ２ ＋ １畅 ５ × ０畅 ５ ＝ １畅 ２９ ，
率是多少 ？
解 以 Xi （ i ＝ １ ，２ ，… ，５ ０００） 记第 i 个零件的重量 ，以 W 记 ５ ０００ 个零件
５ ０００
钞 的总重量 ：W ＝ Xi ．按题设 E（ Xi ） ＝ ０ ．５ ，D（ Xi ） ＝ ０畅 １２ ，由中心极限定理 ，可 i＝ １
知 W － ５ ０００ × ０畅 ５ 近似地服从 N（０ ，１） 分布 ，故所求概率为 ５ ０００ × ０畅 １
钞１０ ０００
—
X
＝
１ １０ ０００ i ＝ １
Xi
～
N
２８０
，１８
００２ ００２
，
故
p１
＝
—
P（ X ＞ ２７０）
≈ １－
Φ
２７０ － ２８０ ８
＝
１－
Φ
－
５ ４
＝
Φ
５ ４
＝ Φ（１畅 ２５） ＝ ０畅 ８９４ ４ ．
118
概率论与数理统计习题全解指南
五节极限运算法则
就有 0 ( x) a 因而有
f [ ( x)] A
按定义得 lim f [( x)] A x x0
注 在定理6的条件下有
令 u (x)
lim f [( x)]
lim f (u) A
x x0
ua
例13 求lim 2x 1 x4
g(x) B (x)
(6)
其中 lim (x) 0 x x0
(5) (6)得
f ( x) g( x) ( A B) [( x) ( x)]
lim[( x) ( x)] 0 x x0
由函数极限与无穷小的关系,得
lim[ f ( x) g( x)] A B
x x0
(约去零因子)
x3 64 例4 lim
x4 x 2
解 x 4时, 分子, 分母的极限都是零.
x3 64
( x3 64)( x 2)
lim
lim
x4 x 2 x4 ( x 2)( x 2)
( 0型) 0
( x 4)( x2 4x 16)( x 2)
lim
x4
x4
lim( x2 4x 16)( x 2) x4
解 lim 2x 1 令u 2x 1 lim u 9 3
x 4
u9
注1 将a换为时,也有类似的结果成立 . 注2 将x0换为时,也有类似的结果成立.
xx0 g( x)
lim
f (x) A
lim f ( x)
x x0
xx0 g( x) B lim g( x)
x x0
证 [1]
lim f (x) A x x0
由函数极限与无穷小的关系,得
极限 定理
极限定理极限定理(也称为夹逼定理或夹逼准则)是微积分中的重要概念之一。
它帮助我们理解函数极限的行为，并在计算和证明数学问题时起到重要的作用。
本文将通过介绍极限定理的基本原理和一些常见的应用来解释这一概念。
首先，我们需要了解什么是极限。
在微积分中，极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值也以某种方式趋近于一个确定的值。
在数学符号中，我们通常用lim来表示极限。
例如，lim(x→0)表示当x趋近于0时的极限。
极限定理就是一系列用来计算和证明函数极限的工具。
其中最基本的定理之一是夹逼定理。
夹逼定理的思想是通过比较函数与上下界之间的关系来确定函数的极限。
夹逼定理可以用来计算一些不易处理或复杂的极限。
例如，考虑一下函数f(x) = x^2sin(1/x)。
当x趋近于0时，sin(1/x)的值在-1和1之间变动。
我们希望计算lim(x→0)f(x)。
直接计算不太容易，但我们可以利用夹逼定理。
首先，我们选择两个辅助函数g(x) = x^2和h(x) = -x^2，它们分别作为f(x)的上界和下界。
根据夹逼定理，如果对于所有x的值，f(x)一直介于g(x)和h(x)之间，且lim(x→0)g(x)和lim(x→0)h(x)同时存在，那么lim(x→0)f(x)也存在，并且与lim(x→0)g(x)和lim(x→0)h(x)相等。
通过计算可以得出，当x趋近于0时，g(x)和h(x)的极限均为0。
另外，我们可以看出，对于所有x的值，g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
因此，根据夹逼定理，我们可以得出lim(x→0)f(x) = 0。
夹逼定理的一个重要应用是计算无穷小量的极限。
无穷小量是指当x趋近于无穷大或负无穷大时，函数的取值逐渐趋近于零。
例如，考虑函数g(x) = sin(1/x)/x。
当x趋近于无穷大时，sin(1/x)的值在-1和1之间变动，而x越大，1/x就越接近于零。
我们希望计算lim(x→∞)g(x)。
中心极限定理
160
32 1 ( 1.77) (1.77) 0.96
1.77}
即至少有150名员工通过这种资格考试的概率 为0.96.
例4. 甲、乙两个剧院在竞争1000名观众.假设每 个观众完全随意地选择一个剧院,且观众选择剧 院是彼此独立的,问每个剧院应设多少个座位,才 能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于 1%?
X
i 1 n
n
np(1-p)=250.995
i
np
np (1 p )
3 np } np (1 p )
5 5 i 1 P{ } 25 0.995 25 0.995 25 0.995 (1) ( 1) 2 (1) 1 0.6826
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是 什么呢？
在什么条件下极限分布会是正态的呢？
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞， 故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑 它的标准化的随机变量
Yn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
Var ( X k )
这一讲我们介绍了中心极限定理 中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实. 在后面的课程中，我们还将经常用到中心 极限定理.
复习 这一章的内容为切比雪夫不等式，大数定理和 中心极限定理，要了解各定理的内容与思想， 会利用切比雪夫不等式和中心极限定理估计和 近似计算一些事件的概率
i
X
25
第五章极限定理
1 n lim P{| ∑Xi −µ |< ε} = 1 n→∞ n i=1
Xinchin(1894-1959)
辛钦大数不要求随机变量的方差存在.它为寻找随 辛钦大数不要求随机变量的方差存在 它为寻找随 机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 机变量的期望值提供了一条实际可行的途径
大数定律以严格的数学形式表达了随 机现象最根本的性质之一： 机现象最根本的性质之一： 平均结果的稳定性 它是随机现象统计规律的具体表现. 它是随机现象统计规律的具体表现 在理论和实际中都有广泛的应用. 在理论和实际中都有广泛的应用
一、大数定律 大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
……
主要： (1) 频率稳定性 (2) 大量测量结果算术平均值的稳定性。 1.大数定律的定义 定义1 设X1,X2,…,Xn,…为一随机变量序列,如 定义1 果对于任意正整数k(k≥2)及任意k个随机变量
1 n 1 D[ ∑ X i ] = 2 n i =1 n
1 σ2 ∑ D( X i ) = n 2 ⋅ nσ 2 = n , i =1
n
由切比雪夫不等式对于任意正数ε，有
1 n σ 2 /n P {Yn < ε } = P ∑ X i − µ < ε ≥ 1 − n i =1 ε2
由定理一有
1 n lim P ∑ X i − p < ε = 1 n→ ∞ n i =1
nA 即 lim P − p < ε = 1 n→∞ n
历史上， 历史上，J. Bernoulli第 第 一个研究了大数定律， 一个研究了大数定律， 在其1718年发表的论文 在其 年发表的论文 中(这是概率论的第一 这是概率论的第一 篇论文）， ），他建立了本 篇论文），他建立了本 定理， 定理，这是全部大数定 律中的第一个。 律中的第一个
第五章 基本极限定理(最全)word资料
定理2：设 是 重Bernoulli试验中事件 出现的次数，而 是事件 在每次试验中出现的概率，则对 ，
证明：令 ，
则 相互独立且 ＝ ， ， ， ，
故由切比雪夫大数定律立刻推出贝努里大数定律。
或者，直接由切比雪夫不等式，对 ，有
即 。故{ }服从大数定律。
Bernoulli大数定律表表明：事件发生的频率 依概率收敛于事件的概率 ，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当 很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。
二、大数定律(——包括强大数定律和弱大数定律，本书主要讲弱大数定律)
定义：设 是随机变量序列，它们都具有有限的数学期望 ，若对 ， ，则称 服从弱大数定律。
定理2（车贝晓夫大数定律）设相互独立的随机变量 分别具有数学期望 及方差 ，若存在常数 使 （方差一致有界），则 服从大数定律。
既对任意的 ，有
切比雪夫大数定律（定理1）中要求随机变量 的方差存在，但在这些随机变量服从相同分布的场合，并不需要这一要求，从而我们有以下的定理：
四、辛钦大数定律
定理3：设随机变量 独立同分布，且具有数学期望 ，则 有 （即 以概率收敛于 ）
证明：略。
显然，Bernoulli大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。
§5.2中心极限定理
§5.1切比雪夫不等式及大数定律
一、切比雪夫不等式
定理1设随机变量 具有有限的期望与方差，则对 ，有
或
证明：仅对连续的情形给予证明，设 的分布函数为 ，则
该不等式表明：当 很小时， 也很小，即 的取值偏离 的可能性很小。这再次说明方差是描述 取值分散程度的一个量。
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6000k
0.959036
用Poisson 分布近似计算 取 = 1000
1 X P 0.01 P940 X 1060 6000 6
1000 e k! k 941
1059
k
1000
0.937934
例 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数 , 则 X ~ B(n,0.75)
从而有
在实际应用中，当我们知道一串随机变量列 的期望存在，且满足马尔柯夫条件，则可用这个 随机变量列的算术平均作为对其期望平均值的一
种估计．
由大数定律，可得到一些特殊的有趣结果：
即结论成
这就是满足上述条件的n个随机变量的算术平 均，当n无限增大时具有的稳定性的确切解释。
证 令
由于贝努里试验的广泛性，进而我们可以看 出一般所说的“频率”接近于“概率”的数学依 据了.
2 2
97 0.7 139 取140. 140 20 7
电视台需安排 7 人作调查.
若使调查误差在1%之内，则
196 pq 38415(1 / 4) 9604 n
2
所以取 n 9605 就能满足要求.
9605 0.7 13721.4 取13722.
13722 20 686.1
0.1875n P| X 0.75n | 0.01n 1 2 (0.01n) 令 0.1875n 1 0.90 2 (0.01n) 解得 n 18750
§5．1 大数定律
在我们开始引入“概率”这个概念之前，曾 先引进了关于频率的概念，而且指出过，随着试 验(观测)次数的增多，频率将逐渐稳定于
另外，我们所熟知的二项分布、泊松分布、均匀分 布、指数分布、正态分布等序列，都满足定理5.4的条件， 都具有“n个独立随机变量的平均依概率收敛于期望值” 的性质.
实际上，我们可以根本不管这些随机变量服从什么样的分布， 只要知道它们的期望或方差就可以了。
解 因为
故
例 电视台需作节目A 收视率的 调查. 每天在播电视的同时, 随机地向 当地居民打电话询问是否在看电视. 若在看电视, 再问是否在看节目A. 设回答看电视的居民户数为 n. 若要保证以 95%的概率使节目A 收视率的调查误差在10%之内, n 应 取多大？
置上，因为大量的统计表明，字母E出现的频率约为0.105， 大大超过其它字母，等等．
这些稳定性现象，从直观上可解释为在 大量的随机现象中，个别随机现象所引起的 偏差常常会相互抵消，相互补偿而被平均化， 从而致使大量随机现象的共同作用的总的平 均结果趋于稳定． 大数定律在描述这类现象的过程中，是 以研究某些概率接近于1(或零)的事件的规律 的方式进行的．
n /(10 pq ) 1.96 n 19.6 pq 现在的问题是如何确定 pq .
2
设 令
f ( p) p(1 p) pq f ( p) 1 2 p 0 当 p 1 / 2 时, f ( p) 1 / 4 达到最大值.
19.6 pq 19.6 (1 / 4) 96.04 n 所以取 n 97 就能满足要求.
5．试利用(1)切比雪夫不等式；(2)中心极限 定理分别确定投掷一枚均匀硬币的次数，使得出 现“正面向上”的频率在0.4到0.6之间的概率不小 于0.9 ．
由此得
由此得 查表得 6．某保险公司多年的统计资料表明，在索赔 户中被盗索赔户占20％，以X表示在随意抽查的 l00个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数 (1)写出X的概率分布； (2)利用橡莫弗—拉普拉斯定理，求被盗索赔 户不少于14户且不多于30户的概率的近似值．
每晚节目A 播出一小时, 调 查需同时进行, 设每小时每人能 调查20户, 每户居民每晚看电视 的概率为70%, 电视台需安排多 少人作调查.
解 设 X 为回答看电视的居民中在收看
节目A 的户数, 则 X ~ B (n , p) , 其中p 为 要估计的收视率, 要求 n , 使
P( X / n p 0.1) P[ ( X np) / npq n /(10 pq )] 2[ n /(10 pq)] 1 0.95
这就从数学上证明了频率的稳定性 现在，我们就会对第一章中蒲丰等人的投币 试验的试验数据的含义理解得更加透彻．
这里，没有要求Xi，服从什么样的分布，也 就是说，无论x1,x2,```xn服从什么样的分布，只要它 们独立、同分布且数学期望存在，就有它们n 个的平均依概率收敛于其期望值。
显然，伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情形
前面我们曾多次提到正态分布，实际 上，无论在概率论与数理统计的理论中，还是 实际的应用中，正态分布都是最常见、最重要 的分布．
人们自然要问：
为什么有许多的随机变量都服从(或近似 服从)正态分布? 是一些人的经验猜测，还是有理论依据? 这一节就是来回答这些问题，先看几个例子：
在此我们将不加证明地给出如下定理
某个客观值P(后称概率)的附近。
由频率的这种稳定性人们才确认了概 率的存在性，又由频率的基本性质推断出 概率的基本性质，并且在实际应用中就将
频率值称做为概率的估计值．
例如，常认为生男、生女的可能性大致相同，各为
o．5，实际上，经多个国家和民族的大量统计表明，生男 婴的频率稳定于22／43附近；
又如英文打字机上，字母E安置在最便于使用的位
7．设有1000人独立行动，每个人能够按时进 入掩蔽体的概率为0．9。以95％概率估计，在一 次行动中：(1)至少有多少人能够进入掩蔽体；(2) 至多有多少入能进入掩蔽体．
根据中心极限定理，有
8．(1)一个复杂系统由l00个相互独立的元件 组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.10， 又知为使系统正常运行，至少必须有85个元件工 作，求系统的可靠度(即正常运行的概率)；
即“频率”或“平均值”在依概率收敛
3．中心极限定理说明什么问题? 答 中心极限定理提出了独立随机变量的和在变量的 项数很大时，如何确定它的渐近分布的问题.
一、复习要求
1．了解切比雪夫不等式； 2．了解大数定律成立的条件及结论； 3. 了解中心极限定理应用的条件及结论；并会 利用相关的定理近似计算有关事件的概率．
3．某工厂有400台同类机器，各台机器发生 故障的概率都是0．02．假设各台机器工作是相互 独立的，试求机器出故障的台数不少于2的概率．
4．某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩 (百分制)近似正态分布，平均成绩为72分，96分以 上的占考生总数的2．3％，试求考生的外语成绩 [附表] 在60分至84分之间的概率．
2
例 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试 估计在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比 例与1/6 比较上下小于1%的概率. 解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数 , X ~ B (6000,1/6 )
5000 E ( X ) 1000, D( X ) 6 1 X P 0.01 6000 6 5000
P( X )
E( X )
证 仅证连续型随机变量的情形
P( X ) f ( x)dx
x
0
1
f ( x)dx
xf ( x)dx E ( X )
推论 1 设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E( |X |k) 存在，则对于任意实数 > 0,
电视台需安排 687 人作调查.
§5．2 中心极限定理
在自然科学、工程技术、经济学、生物学、 医学以及社会学等领域，人们经常遇到这样一 类随机现象，该现象是由许多随机因素的叠加 产生的． 将这些现象抽象为概率论的内容，就是要 研究由许多独立随机变量的和所组成的随机变 量的分布规律. 即研究由无穷多个随机变量组成和的极 限分布律，这就是中心极限定理所要讨论的内 容．
P(| X | ) E (| X | )
k
推论 2 ——切贝雪夫( chebyshev)不等式 设随机变量 X 的方差 D ( X )存在， 则对于任意实数 > 0,
P(| X E ( X ) | ) D( X )
k
2
D( X )
当 2 D(X) 无实际意义,
或 P(| X E ( X ) | ) 1
本章要解决的问题 1. 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 2. 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？
3. 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 4. 大样本统计推断的理论基础 是什么？
答复 大数 定律
中心极 限定理
重要不等式
马尔可夫（Markov） 不等式 设非负随机变量 X 的期望 E( X )存在， 则对于任意实数 > 0,
二、复习要点
(一)重要概念及性质
若
(二)重要定理及公式
证 因为
证 由题意可知
此定理也称为独立同分布的中心极限定律．
然后根据中心极限定理
三、典型例题分析
1．利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数 学期望之差大于3倍标准差的概率． 解 由切比雪夫不等式
2．在每次试验中，事件A发生的概率为0．5， 利用切比雪夫不等式估计：在1000次独立试验中， 事件A发生的次数在400～600之间的概率．
E ( X ) 0.75 n, D( X ) 0.1875 n
0.74 X 0.76 0.90 ，求 n 要使 P n
即 P0.74 n X 0.76 n 0.90 即 P| X 0.75n | 0.01n 0.90 由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故