高考十年高考数学理科圆锥曲线北京专版
高考数学母题解密专题07 圆锥曲线附答案解析(北京专版)
第二步，设方程．根据上述判断设方程为 x2 y2 1(a b 0) 或 y2 x2 1(a b 0) ．
a2 b2
a2 b2
第三步，找关系．根据已知条件，建立关于 a, b, c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系 c2 a2－b2
）．
第四步，得椭圆方程．解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
5 ，c
a2 1 ，
∴ a2 1 5 ， a
解得 a 1 ， 2
故选 D.
【名师点评】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中 a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意 在考查学生的转化能力和计算求解能力.
x2
【母题原题 3】【2019 年北京高考（理）】已知椭圆
a2
y2 b2
1（a＞b＞0）的离心率为 1
2
，则
A．a2=2b2
B．3a2=4b2
C．a=2b
D．3a=4b
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用离心率的定义和 a, b, c 的关系可得满足题意的等式.
【详解】
椭圆的离心率 e c 1 , c2 a2 b2 ,化简得 3a2 4b2 , a2
故选 B. 【名师点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.
顶点 轴 渐近线 离心率 e
A1(a, 0), A2 (a, 0)
A1(0, a), A2 (0, a)
线段 A1A2 是双曲线的实轴，线段 B1B2 是双曲线的虚轴；
实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
ybx a
yax b
e 2c c (e 1) 2a a
1．（2020·北京顺义·高三一模）抛物线 y2 2 px p 0 的焦点是双曲线 x2 y2 p 的一个焦点，则 p
圆锥曲线十年高考题(带详细解析)
答案解析1将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0转化为标准方程：x b ay b y a x -==+22222,111.因为a ＞b ＞0，因此，ab 11>＞0，所以有：椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项. 4.答案：B 2.答案：D ∵θ∈（0，4π），∴sin θ∈（0，22），∴a 2=tan θ，b 2=c ot θ∴c 2=a 2+b 2=tan θ+c ot θ，∴e 2=θθθθ222sin 1tan cot tan =+=a c ，∴e =θsin 1，∴e ∈（2，+∞） 3.答案：D 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上∴椭圆焦点（2253n m -，0），双曲线焦点（2232n m +，0）∴3m 2－5n 2=2m 2+3n 2∴m 2=8n 2又∵双曲线渐近线为y =±||2||6m n ⋅²x∴代入m 2=8n 2，|m |=22|n |，得y =±43x 4答案：C 由F 1、F 2的坐标得2c ＝3－1，c ＝1，又∵椭圆过原点a －c ＝1，a ＝1＋c ＝2，又∵e ＝21=a c ，∴选C. 5.答案：D 由题意知a =2，b =1，c =3，准线方程为x =±ca 2，∴椭圆中心到准线距离为6.答案：C 渐近线方程为y =±b a x ，由b a ²（－ba ）＝－1，得a 2＝b 2，∴c ＝2a ，14.答案：B y =－x 2的标准式为x 2＝－y ，∴p ＝21，焦点坐标F （0，－41）． 7.答案：A 不妨设F 1（－3，0），F 2（3，0）由条件得P （3，±23），即|PF 2|=23，|PF 1|=2147，因此|PF 1|=7|PF 2|，故选A.8.答案：A 将已知椭圆中的x 换成－y ，y 换成－x 便得椭圆C 的方程为9)3(4)2(22+++y x＝1，所以选A.9.答案：A 由已知有⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2142a c c a a ＝2，c ＝1，b 2＝3,于是椭圆方程为3422y x +＝1, 10.答案：C 如图8—14，原点O 逆时针方向旋转90°到O ′，则O ′（－4，4）为旋转后椭圆的中心，故旋转后所得椭圆方程为25)4(9)4(22-++y x ＝1．所以选C. 11.答案：B 把已知方程化为25)1(9)3(22++-y x =1，∴a =5，b =3，c =4 ∵椭圆的中心是（3，－1），∴焦点坐标是（3，3）和（3，－5）.12.答案：A 由已知，直线l 的方程为ay +bx －ab =0，原点到直线l 的距离为43c ，则有c b a ab 4322=+，又c 2=a 2+b 2，∴4ab =3c 2，两边平方，得16a 2（c 2－a 2）=3c 4，两边同除以a 4，并整理，得3e 4－16e 2+16=0∴e 2=4或e 2=34.而0＜a ＜b ，得e 2=222221ab a b a +=+＞2，∴e 2=4.故e =2.13.答案：D ，得2)cos 2(2θ-x +（y +sin θ）2=1.∴椭圆中心的坐标是（2cos θ，－sinθ）.其轨迹方程是⎩⎨⎧-==θθsin cos 2y x θ∈［0，2π］.即22x +y 2=1（0≤x ≤2，－1≤y ≤0）.30.答案：C 将双曲线方程化为标准形式为x 2－32y＝1，其焦点在x 轴上，且a =1，b =3，故其渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以应选C.14.答案：D 原方程可变为ky x 2222+＝1，因为是焦点在y 轴的椭圆，所以⎪⎩⎪⎨⎧>>220k k ，解此不等式组得0<k <1，因而选D.15.答案：A 解法一：由双曲线方程知|F 1F 2|＝25，且双曲线是对称图形，假设P （x ，142-x ），由已知F 1P ⊥F 2 P ，有151451422-=+-⋅--x x x x ，即1145221,52422=-⋅⋅==x S x ，因此选A.16.答案：23因为F 1、F 2为椭圆的焦点，点P 在椭圆上，且正△POF 2的面积为3，所以S =21|OF 2|²|PO |sin60°=43c 2，所以c 2=4.∴点P 的横、纵坐标分别为23,2c c ，即P （1，3）在椭圆上，所以有2231b a +=1，又b 2+c 2=a 2，⎩⎨⎧+==+22222243ba b a a b17.答案：（3，2）解法一：设直线y =x －1与抛物线y 2=4x 交于A (x 1，y 1),B （x 2，y 2）,其中点为P （x 0，y 0）.由题意得⎩⎨⎧=-=xy x y 412，（x －1）2=4x ，x 2－6x +1=0.∴x 0=221x x +=3.y 0=x 0－1=2.∴P （3，2）. 18.答案：1625)2(22y x +- =1由两焦点坐标得出椭圆中心为点（2，0），焦半径c =3 ∵长轴长为10，∴2a =10，∴a =5，∴b =22c a -=4∴椭圆方程为1625)2(22y x +-=1 19答案：（±7，0）由双曲线方程得出其渐近线方程为y =±2m x ∴m =3，求得双曲线方程为3422y x -=1，从而得到焦点坐标. 20.答案：（2，1）抛物线（y －1）2=4（x －1）的图象为抛物线y 2=4x 的图象沿坐标轴分别向右、向上平移1个单位得来的.∵抛物线y 2=4x 的焦点为（1，0）∴抛物线（y －1）2=4（x －1）的焦点为（2，1）21.答案：－1椭圆方程化为x 2+ky 52-=1∵焦点（0，2）在y 轴上，∴a 2=k -5，b 2=1又∵c 2=a 2－b 2=4，∴k =－122答案：x 2－4y 2＝1设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ）∴2,200y y x x == ∴2x ＝x 0，2y ＝y 0∴442x －4y 2＝1⇒x 2－4y 2＝1 23.答案：516设|PF 1|＝M ，|PF 2|＝n （m ＞n ）a ＝3 b ＝4 c ＝5∴m －n ＝６ m 2＋n 2＝4c 2 m 2＋n 2－（m －n ）2＝m 2＋n 2－（m 2＋n 2－2mn ）＝2mn ＝4³25－36＝64 mn ＝32.又利用等面积法可得：2c ²y ＝mn ，∴y ＝516 24.答案：16922y x -=1由已知a =3，c =5，∴b 2=c 2－a 2=16又顶点在x 轴，所以标准方程为16922y x -=1. 25.解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a =4，即a =2.又点A （1，23）在椭圆上，因此222)23(21b +=1得b 2=3，于是c 2=1.所以椭圆C 的方程为3422y x +=1，焦点F 1（－1，0），F 2（1，0）. （2）设椭圆C 上的动点为K （x 1，y 1），线段F 1K 的中点Q （x ，y ）满足：2,2111yy x x =+-=， 即x 1=2x +1，y 1=2y . 因此3)2(4)12(22y x ++=1.即134)21(22=++y x 为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线：2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中2222bn a m -=1.又设点P 的坐标为（x ，y ），由mx ny k m x n y k PN PM++=--=,， 得k PM ²k PN =2222m x n y m x n y m x n y --=++⋅--，将22222222,ab n b x a b y =-=m 2－b 2代入得k PM ²k PN =22ab .26解：（1）设F 2（c ，0）（c ＞0），P （c ，y 0），则2222by a c -=1.解得y 0=±a b 2∴|PF 2|=a b 2在直角三角形PF 2F 1中，∠PF 1F 2=30°解法一：|F 1F 2|=3|PF 2|，即2c =ab 23将c 2=a 2+b 2代入，解得b 2=2a 2 解法二：|PF 1|=2|PF 2|由双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|=2a ，得|PF 2|=2a .∵|PF 2|=a b 2，∴2a =ab 2，即b 2=2a 2，∴2=a b故所求双曲线的渐近线方程为y =±2x .27.（Ⅰ）解：由椭圆定义及条件知2a =|F 1B |+|F 2B |=10，得a =5，又c =4所以b =22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1. （Ⅱ）由点B （4，y B ）在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=59.（如图8—18） 因为椭圆右准线方程为x =425，离心率为54根据椭圆定义，有|F 2A |=54（425－x 1），|F 2C |=54（425－x 2）由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列，得54（425－x 1）+54（425－x 2）=2³59由此得出x 1+x 2=8.设弦AC 的中点为P （x 0，y 0） 则x 0=28221=+x x =4. （Ⅲ）由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x 图8—18④⑤由④－⑤得9（x 12－x 22）+25（y 12－y 22）=0. 即)))(2(25)2(921212121x x y y y y x x --+++=0（x 1≠x 2） 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+（k ≠0）代入上式，得 9³4+25y 0（－k1）=0（k ≠0）. 由上式得k =3625y 0（当k =0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m . 所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0. 由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称，如图8—18）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516. 28.解法一：由已知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2即|PF 1|2＝（6－|PF 1|）2＋20， 得|PF 1|＝314，|PF 2|＝34，故27||||21=PF PF ；若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，即20＝|PF 1|2＋（6－|PF 1|）2，得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，故||||21PF PF ＝2.29.证法一：依题设得椭圆的半焦距c =1，右焦点为F （1，0），右准线方程为x =2，点E 的坐标为（2，0），EF 的中点为N （23，0）. 若AB 垂直于x 轴，则A （1，y 1），B （1，－y 1），C （2，－y 1），∴AC 中点为N （23，0），即AC 过EF 中点N .若AB 不垂直于x 轴，由直线AB 过点F ，且由BC ∥x 轴知点B 不在x 轴上，故直线AB 的方程为y =k （x －1），k ≠0.记A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则（2，y 2）且x 1，x 2满足二次方程22x +k 2（x －1）2=1，即（1+2k 2）x 2－4k 2x +2（k 2－1）=0∴2221222121)1(2,214kk x x k k x x +-=+=+. 又x 12=2－2y 12＜2，得x 1－23≠0，故直线AN 、CN 的斜率分别为 )1(2232,32)1(22322211111-=-=--=-=x k yk x x k x y k .∴k 1－k 2=2k ²32)32)(1()1(1121-----x x x x∵（x 1－1）－（x 2－1）（2x 1－3）=3（x 1+x 2）－2x 1x 2－4 =2211k+［12k 2－4（k 2－1）－4（1+2k 2）］=0， ∴k 1－k 2=0，即k 1=k 2.故A 、C 、N 三点共线.所以，直线AC 经过线段EF 的中点N .30.解：设椭圆C 的方程为12222=+b y a x ，由题意a =3，c =22，于是b =1.∴椭圆C 的方程为92x ＋y 2＝1．由⎪⎩⎪⎨⎧=++=19222y x x y 得10x 2＋36x ＋27＝0， 因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝518-， 故线段AB 的中点坐标为（51,59-）．图8—22。
十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解2命题与逻辑部分
十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解——2命题与逻辑部分一、选择题（共21小题；共105分）1. 设a，b是向量，则“a=b”是“a+b=a−b”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 设a，b是非零向量，“ a⋅b=a b”是“ a∥b”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. a、b为非零向量．" a⊥b " 是 " 函数f x= xa+b⋅ xb−a为一次函数 " 的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 双曲线x2−y2m=1的离心率大于2的充分必要条件是 A. m>12B. m≥1C. m>1D. m>25. " α=π6 "是" cos2α=12"的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“ m∥β”是“ α∥β”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 设a,b是实数，则" a>b "是" a2>b2 "的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. “ cos2α=−32”是“ α=kπ+5π12,k∈Z”的 A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件9. 若a与b−c都是非零向量，则“ a⋅b=a⋅c”是“ a⊥ b−c”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. " φ=π "是"曲线y=sin2x+φ过坐标原点"的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11. 设a,b∈R，＂a=0＂是＂复数a+b i是纯虚数＂的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件12. " α=π6+2kπk∈Z "是" cos2α=12"的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件13. "函数f x x∈R存在反函数"是"函数f x在R上为增函数"的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14. "双曲线的方程为x29−y216=1 "是"双曲线的准线方程为x=±95"的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件15. 已知三个不等式：ab>0，bc−ad>0，ca −db>0（其中a,b,c,d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 316. 若p是真命题，q是假命题，则 A. p∧q是真命题B. p∨q是假命题C. ¬p是真命题D. ¬q是真命题17. 设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“m⋅n<0”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件18. 函数f x=x2−2ax−3在区间1,2上存在反函数的充分必要条件是 A. a∈−∞,1B. a∈2,+∞C. a∈1,2D. a∈−∞,1∪2,+∞19. 平面α∥平面β的一个充分条件是 A. 存在一条直线a，a∥α，a∥βB. 存在一条直线a，a⊂α，a∥βC. 存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD. 存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α20. " cos2α=−32 "是" α=2kπ+5π12,k∈Z "的 A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件21. 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有 A. 2人B. 3人C. 4人D. 5人二、填空题（共4小题；共20分）22. 顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为工作日．23. 能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．24. 已知f x=m x−2m x+m+3，g x=2x−2．若∀x∈R,f x<0或g x<0，则m的取值范围是．25. 已知f x=m x−2m x+m+3，g x=2x−2．若同时满足条件：①∀x∈R，f x<0或g x<0；②∃x∈−∞,−4,f x g x<0，则m的取值范围是．三、解答题（共1小题；共13分）26. 下表给出一个"等差数阵"：47 ⋯⋯a1j⋯⋯712 ⋯⋯a2j⋯⋯ ⋯⋯a3j⋯⋯ ⋯⋯a4j⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a i1a i2a i3a i4a i5⋯⋯a ij⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯其中每行、每列都是等差数列，a ij表示位于第i行第j列的数．（1）写出a45的值；（2）写出a ij的计算公式；（3）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．答案第一部分1. D 【解析】当a与b方向相反时，不能得到a+b=a−b；而当a+b=a−b时，平方得a⋅b=0，即a⊥b，因此a与b可以不相等．2. A3. B 【解析】f x= xa+b⋅ xb−a=x2a⋅b+x b2−a2−a⋅b.若a⊥b，则f x=x b2−a2,只有当b2−a2≠0时，函数f x才是一次函数；若函数f x是一次函数，那么a⋅b=0,b2−a2≠0.故 " a⊥b " 是" 函数f x= xa+b⋅ xb−a为一次函数 " 的必要而不充分条件．4. C 【解析】【解析】∵双曲线x^2-\dfrac{y^{2}}{m}=1的离心率e=\sqrt{1+m}，又∵e>\sqrt{2}，∴\sqrt{1+m}>\sqrt{2}，∴m>1．【答案】 C5. A6. B7. D8. A9. C 10. A11. B 【解析】当a=0时，如果b=0同时等于零，此时a+b i=0是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a+b i已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件．12. A 【解析】cos2α=12，所以2α=2kπ±π3k∈Z，故α=kπ±π6k∈Z．13. B 14. A 15. D【解析】ca −db>0⇔bc−adab>0，所以下列三个命题都成立：①ab>0bc−ad>0⇒ca−db>0，②ab>0ca−db>0⇒bc−ad>0，③bc−ad>0ca−db>0⇒ab>0．16. D 17. A 【解析】m，n为非零向量，存在负数λ，使得m=λn，则向量m，n共线且方向相反，可得m⋅n<0．反之不成立，非零向量m，n的夹角为钝角，满足m⋅n<0，而m=λn不成立．所以m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“m⋅n<0”的充分不必要条件．18. D 【解析】提示：函数存在反函数的充要条件是函数是单调的．19. D 【解析】提示：如果存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，若α与β相交，则根据线面平行的性质，a,b都与交线平行，从而a∥b，与a,b异面矛盾．20. A21. B 【解析】用a,b,c分别表示优秀、及格和不及格．显然语文成绩得a的学生最多只有1个，语文成绩得b的也最多只有一个，得c的也最多只有一个，因此学生最多只有3个．显然，ac bb ca满足条件，故学生最多3个．此题也可以用反证法来解，假设满足条件的学生有4位及4位以上，可推出矛盾．第二部分22. 42【解析】先由徒弟对原料B完成粗加工，再交由工艺师完成其精加工，同时徒弟对原料A进行粗加工．23. −1，−2，−3【解析】设a，b，c是任意实数．若“a>b>c，则a+b>c”是假命题，则“若a>b>c，则a+b≤c”是真命题，可设a，b，c的值依次−1，−2，−3，（答案不唯一）．24. −4,0【解析】由g x<0，得x<1．又因为∀x∈R,f x<0或g x<0，所以当x≥1时，f x=m x−2m x+m+3<0恒成立．所以易知m<0，且−m−3<1．解得−4<m<0．25. −4,−2【解析】满足题意的大致图象如下：对于①，当x<1时，g x<0．因为∀x∈R，f x<0或g x<0，所以f x=m x−2m x+m+3<0在x≥1时恒成立．由二次函数的性质，可知抛物线开口只能向下，且与x轴的交点都在1,0的左侧，于是m<0,−m−3<1,2m<1,解得−4<m<0．又因为∃x∈−∞,−4,f x g x<0，而此时g x=2x−2<0恒成立，所以f x=m x−2m x+m+3>0在x∈−∞,−4时有成立的可能，从而只要−4比x1、x2中的较小的根大即可．（1）当−1<m<0时，−m−3<−4不成立；（2）当m=−1时，有两个等根，不成立；（3）当−4<m<−1时，2m<−4，即m<−2成立．综上，可得①②成立时，则有−4<m<−2．第三部分26. （1）a45=49（2）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，则a1j=4+3j−1.第二行是首项为7，公差为5的等差数列，则a2j=7+5j−1.第i行是首项为4+3i−1，公差为2i+1的等差数列，因此a ij=4+3i−1+2i+1j−1=2ij+i+j=i2j+1+j.（3）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i,j使得N=i2j+1+j,从而2N+1=2i2j+1+2j+1=2i+12j+1,即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k,l，使得2N+1=2k+12l+1,从而N=k2l+1+l=a kl,可见，N在该等差数阵中．综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．。
北京历年高考数学圆锥曲线试题理科
北京历年高考数学圆锥曲线试题 2005（本小题共14分）如图，直线l 1：)0(>=k kx y 与直线l 2：kx y -=之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记为W 2. （Ⅰ）分别用不等式组表示W 1和W 2；（Ⅱ）若区域W 中的动点P （x ，y ）到l 1，l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）设不过原点O 的直线l 与（Ⅱ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别 交于M 3，M 4两点. 求证△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合. 【答案】 【详解】 解：（I ）12{(,)|,0},{(,)|,0}.W x y kx y kx x W x y kx y kx x =<<-<=-<<>（II ）直线1:0,l kx y -=直线2:0l kx y +=,由题意得222.,11d k k =++ 即22222||.1k x y d k -=+ 由(,),P x y W ∈知2220,k x y ->所以22222,1k x y d k -=+即22222(1)0.k x y k d --+=l 1l 2xy所以动点P 的轨迹方程为22222(1)0.k x y k d --+=（III ）当直线l 与x 轴垂直时,可设直线l 的方程为(0).x a a =≠由于直线l 、曲线C 关于x 轴对称,且1l 与2l 关于x 轴对称,于是1234,M M M M 的中点坐标都为(,0)a ,所以1234,OM M OM M ∆∆的重心坐标都为2(,0)3a,即它们的重心重合. 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为(0).y mx n n =+≠由22222(1)0k x y k d y mx n⎧--+=⎨=+⎩,得222222()20.k m x mnx n k d ----= 由直线 l 与曲线C 有两个不同交点,可知220k m -≠,且2222222(2)4()()0.mn k m n k d d =+-⨯++>V设12,M M 的坐标分别为1122(,),(,).x y x y 则121212222,()2.mnx x y y m x x n k m+=+=++- 设34,M M 的坐标分别为3344(,),(,).x y x y由34,,y kx y kx n nx x y mx n y mx n k m k m ==-⎧⎧-==⎨⎨=+=+-+⎩⎩及得从而3412222.mnx x x x k m+==+- 所以34341212()2()2,y y m x x n m x x n y y +=++=++=+ 所以343412120000,.3333x x y y x x y y ++++++++==于是12OM M ∆的重心与34OM M ∆的重心也重合.2006（本小题共 14 分）已知点 M （－2，0），N （2，0），动点 P 满足条件|PM |－|PN |=，记动点 P 的轨 迹为 W.（Ⅰ）求 W 的方程；（Ⅱ）若 A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA u u u r 、OB uuu r的最小值.解法一：（Ⅰ）由|PM|－|PN|= P 的轨迹是以 ,M N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a =又半焦距 c=2，故虚半轴长b ==所以 W 的方程为22122x y -=,x ≥（Ⅱ）设 A ，B 的坐标分别为11(,)x y , 22(,)x y当 AB ⊥x 轴时,12,x x =从而12,y y =-从而22121211 2.OA OB x x y y x y ⋅=+=-=u u u r u u u r当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y kx m =+,与W 的方程联立,消去y 得222(1)220.k x kmx m ----=故1222,1kmx x k +=- 21222,1m x x k +=- 所以 1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r1212()()x x kx m kx m =+++221212(1)()k x x km x x m =++++2222222(1)(2)211k m k m m k k ++=++-- 22221k k +=-2421k =+-. 又因为120x x >,所以210k ->,从而 2.OA OB ⋅>u u u r u u u r综上,当A B ⊥x 轴时, OA OB ⋅u u u r u u u r取得最小值2.解法二:(Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设 A ，B 的坐标分别为，则11(,)x y , 22(,)x y ,则22()()2(1,2).i i i i i i x y x y x y i -=+-==令,,i i i i i i s x y t x y =+=-则2,i i s t =且0,0(1,2)i i s t i >>=所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r1122112211()()()()44s t s t s t s t =+++--1212112,22s s t t =+≥= 当且仅当1212s s t t =,即1212,x x y y =⎧⎨=-⎩时”=”成立.所以OA u u u r 、OB uuu r的最小值是2.2007矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上． （I ）求AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．又因为点(11)T -，在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．320x y ++=．（II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，解得点A 的坐标为(02)-，，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，． 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又AM ==从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以PM PN =+即PM PN -=故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为因为实半轴长a =2c =．所以虚半轴长b ==从而动圆P的圆心的轨迹方程为221(22x y x -=≤． 2008（19）（本小题共14分）已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2+3y 2=4上，对角线BD 所在直线的斜率为l.（Ⅰ）当直线BD 过点（0，1）时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当∠ABC =60°，求菱形ABCD 面积的最大值. 解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x =+． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．由2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上，所以212640n ∆=-+>，解得33n -<<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 则1232nx x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．所以122ny y +=． 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，． 由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1y x =+上， 所以3144n n =+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=． （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o ， 所以AB BC CA ==． 所以菱形ABCD的面积2S AC =． 由（Ⅰ）可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=，所以2(316)433S n n ⎛=-+-<< ⎝⎭．所以当0n =时，菱形ABCD的面积取得最大值2009已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>3x =（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆22:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值.【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．（Ⅰ）由题意，得233a cc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,3a c ==， ∴2222b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212y x -=. （Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆222x y +=上，圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0000x y y x x y -=--， 化简得002x x y y +=.由2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=得()222000344820x x x x x --+-=， ∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且2002x <<， ∴20340x -≠，且()()22200016434820x x x ∆=--->，设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则20012122200482,3434x x x x x x x x -+==--， ∵cos OA OBAOB OA OB⋅∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ，且()()121212010220122OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+--u u u r u u u r ，()212012012201422x x x x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦- ()222200002222000082828143423434x x x x x x x x ⎡⎤--⎢⎥=+-+----⎢⎥⎣⎦ 22002200828203434x x x x --==-=--.∴ AOB ∠的大小为90︒.【解法2】（Ⅰ）同解法1.（Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆222x y +=上，圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0000x y y x x y -=--， 化简得002x x y y +=.由2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=得 ()22200344820xx x x x --+-= ①()22200348820xy y x x ---+= ②∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且2002x <<， ∴20340x -≠，设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2200121222008228,3434x x x x y y x x --==--， ∴12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r ，∴ AOB ∠的大小为90︒.（∵22002x y +=且000x y ≠，∴220002,02x y <<<<，从而当20340x -≠时，方程①和方程②的判别式均大于零）.2010在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。
十年高考真题分类汇编 数学 专题 圆锥曲线
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题12圆锥曲线1.(2019·全国·理T 10文T 12)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C 的方程为( )A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1 C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1【答案】B【解析】如图,由已知可设|F 2B|=n,|BF 1|=m. 由|AB|=|BF 1|,则|AF 2|=m-n,|AB|=m. 又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|,故|AF 1|=2n. 由椭圆的定义及|AF 2|=2|F 2B|, 得{m -n =2n ,m +n =2a ,解得{m =3a2,n =a 2.∴|AF 1|=a,|AF 2|=a.∴点A 为(0,-b). ∴k AF 2=b1=b.过点B 作x 轴的垂线,垂足为点P.由题意可知△OAF 2∽△PBF 2. 又|AF 2|=2|F 2B|,∴|OF 2|=2|F 2P|. ∴|F 2P|=12. 又k AF 2=|BP ||F 2P |=|BP |12=b,∴|BP|=12b.∴点B (32,12b).把点B 坐标代入椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1中,得a 2=3.又c=1,故b2=2.所以椭圆方程为x 23+y 22=1. 2.(2019·全国1·文T 10)双曲线C: x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( ) A.2sin 40° B.2cos 40° C.1sin50° D.1cos50°【答案】D【解析】由已知可得-b a=tan 130°=-tan 50°, 则e=c a=√1+(ba )2=√1+tan 250° =√1+sin 250°cos 250°=√sin 250°+cos 250°cos 250°=1cos50°. 故选D.3.(2019·北京·文T 5)已知双曲线x 2a 2-y 2=1(a>0)的离心率是√5,则a=( )A.√6B.4C.2D.12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率e=ca =√5,c=√a 2+1, ∴√a 2+1a=√5,【解析】得a=12,故选D.4.(2019·天津·理T 5文T 6)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,准线为l.若l 与双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A 和点B,且|AB|=4|OF|(O 为原点),则双曲线的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5【答案】D【解析】由抛物线方程可得l 的方程为x=-1.由{y =ba x ,x =-1,得y 1=-b a .由{y =-ba x ,x =-1,得y 2=b a . ∴AB=2ba .由|AB|=4|OF|得2b a =4,故ba =2.c a2=a 2+b2a 2=5a 2a 2.∴e=√5,故选D.5.(2018·全国1·理T 11)已知双曲线C:x 23-y 2=1,O为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN 为直角三角形,则|MN|=( ) A.32B.3C.2√3D.4【答案】B【解析】由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±√33x,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°. 不妨设∠OMN=90°,则|MN|=√3|OM|.又|OF|=2,在Rt △OMF 中,|OM|=2cos 30°=√3, 所以|MN|=3.6.(2018·全国2·理T 5文T 6)双曲线x 2a2−y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为()A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±√22x D.y=±√32x【答案】A 【解析】∵e 2=c 2a 2=b 2+a 2a 2=(b a )2+1=3,∴ba =√2.∵双曲线焦点在x 轴上, ∴渐近线方程为y=±b ax, ∴渐近线方程为y=±√2x.7.(2018·全国3·理T 11)设F 1,F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F 2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.2C.√3D.√2【答案】C【解析】如图,过点F 1作OP 的反向延长线的垂线,垂足为P',连接P'F 2,由题意可知,四边形PF 1P'F 2为平行四边形,且△PP'F 2是直角三角形. 因为|F 2P|=b,|F 2O|=c,所以|OP|=a. 又|PF 1|=√6a=|F 2P'|,|PP'|=2a, 所以|F 2P|=√2a=b,所以c=√a 2+b 2=√3a,所以e=ca =√3.8.(2018·浙江·T2)双曲线x 23-y 2=1的焦点坐标是( ) A.(-√2,0),(√2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-√2),(0,√2)D.(0,-2),(0,2) 【答案】B【解析】∵c 2=a 2+b 2=3+1=4,∴c=2. 又焦点在x 轴上,∴焦点坐标为(-2,0),(2,0).9.(2018·全国2·理T12)已知F 1,F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C 的左顶点,点P 在过A且斜率为√36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P=120°,则C 的离心率为( )A.23 B.12 C.13D.14【答案】D【解析】∵A(-a,0),△PF 1F 2为等腰三角形, ∴|PF 2|=|F 1F 2|=2c. 过点P 作PE ⊥x 轴,∵∠F 1F 2P=120°,∴∠PF 2E=60°. ∴F 2E=c,PE=√3c,∴P(2c,√3c). ∵k PA =√36,∴PA 所在直线方程为y=√36(x+a). ∴√3c=√36(2c+a).∴e=c a =14.10.(2018·全国2·文T11)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,则C 的离心率为( ) A.1-√32B.2-√3C.√3-12 D.√3-1【答案】D【解析】不妨设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),∵∠F 2PF 1=90°,∠PF 2F 1=60°,∴|PF 2|=c,|PF 1|=√3c, ∴√3c+c=2a,即(√3+1)c=2a. ∴e=ca =√3+1=√3-(√3-1)(√3+1)=√3-1.11.(2018·上海·T13)设P 是椭圆x 25+y 23=1上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A.2√2 B.2√3 C.2√5 D.4√2【答案】C【解析】由椭圆的定义可知,椭圆上的任意点P 到两个焦点的距离之和为2a=2√5,故选C. 12.(2018·天津·理T 7文T 7)已知双曲线x 2a2−y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,B 两点.设A,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1+d 2=6,则双曲线的方程为( ) A.x 24−y 212=1 B.x 212−y 24=1 C.x 23−y 29=1 D.x 29−y 23=1【答案】C【解析】由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=ba x.如图所示,|AD|=d 1,|BC|=d 2,过点F 作EF ⊥CD 于点E. 由题易知EF 为梯形ABCD 的中位线, 所以|EF|=12(d 1+d 2)=3. 又因为点F(c,0)到y=b ax 的距离为√a 2+b =b,所以b=3,b 2=9.因为e=c a =2,c 2=a 2+b 2,所以a 2=3,所以双曲线的方程为x 23−y 29=1.故选C.13.(2018·全国1·理T8)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M,N 两点,则FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】易知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2).联立抛物线方程y 2=4x,得{y 2=4x ,y =23(x +2),解得{x =1,y =2,或{x =4,y =4.不妨设M(1,2),N(4,4),所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2),FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4),所以FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =8. 14.(2017·全国1·理T10)已知F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A,B 两点,直线l 2与C 交于D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10【答案】A【解析】由题意,易知直线l 1,l 2斜率不存在时,不合题意. 设直线l 1方程为y=k 1(x-1), 联立抛物线方程,得{y 2=4x ,y =k 1(x -1),消去y,得k 12x 2-2k 12x-4x+k 12=0,所以x 1+x 2=2k 12+4k 12.同理,直线l 2与抛物线的交点满足x 3+x 4=2k 22+4k 22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p=2k 12+4k 12+2k 22+4k 22+4=4k 12+4k 22+8≥2√16k 12k 22+8=16,当且仅当k 1=-k 2=1(或-1)时,取得等号.15.(2017·全国3·理T 5)已知双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√52x,且与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点,则C 的方程为( )A.x 28−y 210=1 B.x 24−y 25=1C.x 25−y 24=1 D.x 24−y 23=1 【答案】B【解析】由题意得b a =√52,c=3. 又a 2+b 2=c 2,所以a 2=4,b 2=5, 故C的方程为x 24−y 25=1.16.(2017·全国1·文T 5)已知F 是双曲线C:x 2-y 23=1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为( ) A.13 B.12C.23D.32【答案】D【解析】由c 2=a 2+b 2=4,得c=2,所以点F 的坐标为(2,0).将x=2代入x 2-y 23=1,得y=±3,所以PF=3.又点A 的坐标是(1,3),故△APF 的面积为12×3×(2-1)=32.故选D. 17.(2017·天津·理T5)已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为√2,若经过F 和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )A.x 24−y 24=1 B.x 28−y 28=1 C.x 24−y 28=1 D.x 28−y 24=1【答案】B 【解析】∵e2=1+b 2a 2=2,∴ba=1,a=b. ∵F(-c,0),P(0,4),∴k PF =4c =ba =1. ∴c=4.又a 2+b 2=c 2=16,∴a 2=b 2=8.∴所求双曲线的方程为x 28−y 28=1.18.(2017·全国3·理T10文T11)已知椭圆C: x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为( ) A.√63 B.√33C.√23D.13【答案】A【解析】以线段A 1A 2为直径的圆的方程是x 2+y 2=a 2. 因为直线bx-ay+2ab=0与圆x 2+y 2=a 2相切, 所以圆心到该直线的距离d=√b +a 2=a,整理,得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2),所以c 2a 2=23,从而e=c a =√63.故选A.19.(2017·全国1·文T12)设A,B 是椭圆C:x 23+y 2m=1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是( ) A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0, ]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0, ]∪[4,+∞)【答案】A【解析】由题意,可知当点M 为短轴的端点时,∠AMB 最大.当0<m<3时,椭圆C 的焦点在x 轴上,要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则a b ≥tan 60°=√3,即√3√m ≥√3,解得0<m≤1;当m>3时,椭圆C 的焦点在y 轴上,要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则ab ≥tan 60°=√3,即√m √3≥√3,解得m≥9.综上m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).故选A. 20.(2017·浙江·理T2文T2)椭圆x 29+y 24=1的离心率是( )A.√133 B.√53C.23 D.59【答案】B【解析】e=√9-43=√53,故选B. 21.(2017·全国2·理T9)若双曲线C: x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y 2=4所截得的弦长为2,则C 的离心率为( ) A.2 B.√3 C.√2 D.2√33【答案】A【解析】可知双曲线C 的渐近线方程为bx±ay=0,取其中的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为√a 2+b =√22-12=√3,即2b c=√3,所以c=2a,所以e=2.故选A.22.(2017·全国2·文T5)若a>1,则双曲线x 2a2-y 2=1的离心率的取值范围是( ) A.(√2,+∞) B.(√2,2) C.(1,√2) D.(1,2)【答案】C【解析】由题意得e 2=c 2a 2=a 2+1a 2=1+1a2.因为a>1,所以1<1+1a 2<2. 所以1<e<√2.故选C.23.(2016·全国1·理T10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于D,E 两点.已知|AB|=4√2 ,|DE|=2√5,则C 的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8 【答案】B【解析】不妨设抛物线C 的方程为y 2=2px(p>0),圆的方程为x 2+y 2=R 2. 因为|AB|=4√2,所以可设A(m,2√2).又因为|DE|=2√5,所以{R 2=5+p 24,m 2+8=R 2,8=2pm ,【解析】得p 2=16.故p=4,即C 的焦点到准线的距离是4.24.(2016·全国2·文T5)设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,曲线 y=kx (k>0)与C 交于点P,PF ⊥x 轴,则k=( ) A.12B.1C.32D.2【答案】D【解析】因为F 为抛物线y 2=4x 的焦点,所以F(1,0). 又因为曲线y=k x(k>0)与抛物线交于点P,PF ⊥x 轴, 如图所示,可知P(1,2),故k 1=2,解得k=2,故选D. 25.(2016·全国1·理T 5)已知方程x 2m 2+n −y 23m 2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( ) A.(-1,3) B.(-1,√3) C.(0,3) D.(0,√3)【答案】A【解析】因为双曲线的焦距为4, 所以c=2,即m 2+n+3m 2-n=4,解得m 2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)>0,解得-1<n<3,故选A. 26.(2016·天津·理T 6)已知双曲线x 24−y 2b2=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D 四点,四边形ABCD 的面积为2b,则双曲线的方程为( )A.x 24−3y 24=1B.x 24−4y 23=1 C.x 24−y 24=1 D.x 24−y 212=1【答案】D 【解析】{x 2+y 2=4y =b2x ⇒{x =4√b 2+4y =√b 2+4b 2, 则xy=16b 2+4·b 2=b2⇒b 2=12.故所求双曲线的方程为x 24−y 212=1.故选D.27.(2016·全国2·理T11)已知F 1,F 2是双曲线E:x 2a 2−y 2b2=1的左、右焦点,点M 在E 上,MF 1与x 轴垂直,sin∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为( ) A.√2 B.32 C.√3 D.2【答案】A【解析】如图,因为MF 1与x 轴垂直,所以|MF 1|=b2a.又sin ∠MF 2F 1=13,所以|MF 1||MF 2|=13,即|MF 2|=3|MF 1|.由双曲线的定义得2a=|MF 2|-|MF 1|=2|MF 1|=2b2a,所以b 2=a 2,则c 2=b 2+a 2=2a 2,得离心率e=ca =√2.28.(2016·全国3·理T11文T12)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( ) A.13B.12C.23D.34【答案】A【解析】由题意,不妨设直线l 的方程为y=k(x+a),k>0,分别令x=-c 与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka. 设OE 的中点为G, 由△OBG ∽△FBM,得12|OE ||FM |=|OB ||BF |, 即ka2k (a -c )=aa+c ,整理,得ca =13, 故椭圆的离心率e=13,故选A.29.(2016·全国1·文T5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.34【答案】B【解析】设椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),则直线l 的方程为x c +yb =1,即bx+cy-bc=0, 短轴长为2b,由题意得√b +c 2=14×2b,与b 2+c 2=a 2联立得a=2c,故e=12.30.(2015·福建·文T11)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点M 到直线l 的距离不小于45,则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.(0,√32] B.(0,34] C.[√32,1) D.[34,1)【答案】A【解析】如图,取椭圆的左焦点F 1,连接AF 1,BF 1. 由椭圆的对称性知四边形AF 1BF 是平行四边形, ∴|AF|+|BF|=|AF 1|+|AF|=2a=4.∴a=2. 不妨设M(0,b),则√3+4≥45,∴b≥1.∴e=c a=√1-(b a)2≤√1-(12)2=√32.又0<e<1,∴0<e≤√32.故选A.31.（2015·安徽高考·文T8）直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ） （A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12 【答案】D【解析】∵直线b y x =+43与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴224343+-+b ＝1⇒2=b 或12,故选D .32.（2015·福建高考·理T3）若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．3 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．33.（2015·四川高考·理T5）过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）(C)6 （D ）【答案】D【解析】双曲线的右焦点为(2,0)F ，过F 与x 轴垂直的直线为2x =，渐近线方程为2203y x -=，将2x =代入2203y x -=得：212,||y y AB ==±∴=.选D.34.(2015·广东高考·理T7)已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（ ）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x【答案】B【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为54c e a ==，所以5c =，4a =，2229b c a =-=所以所求双曲线方程为221169x y -=，故选B ．35.(2015·新课标全国卷I ·理T5)已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是( )（A ）（ （B ）（）（C ）（） （D ）（） 【答案】A36.（2015·湖北高考·理T8）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D【解析】依题意，2221)(1ab a b a e +=+=，2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=， 因为)()()(m a a a b m m a a am ab bm ab m a m b a b +-=+--+=++-，由于0>m ，0>a ，0>b ， 所以当b a >时，10<<a b ，10<++<m a m b ，m a m b a b ++<，22)()(ma mb a b ++<，所以12e e <；当b a <时，1>a b ，1>++m a m b ，而m a m b a b ++>，所以22)()(ma mb a b ++>，所以12e e >.所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >.37.（2015·四川高考·理T10）设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）（A ）()13，（B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 【答案】D【解析】显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k .设11221200(,),(,),,(,)A x y B x y x x M x y ≠，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，相减得121212()()4()y y y y x x +-=-.由于12x x ≠，所以12121222y y y y x x +-⋅=-，即02ky =.圆心为(5,0)C ，由CM AB ⊥得000001,55y k ky x x -⋅=-=--，所以0025,3x x =-=，即点M 必在直线3x =上.将3x =代入24y x =得2012,y y =∴-<<.因为点M 在圆()()22250x y rr -+=>上，所以22222000(5),412416x y r r y -+==+<+=.又2044y +>（由于斜率不存在，故00y ≠，所以不取等号），所以204416,24y r <+<∴<<.选D.38.（2015·天津高考·理T6）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=【答案】D【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的渐近线方程为by x a =±，由点(在渐近线上，所以b a =，双曲线的一个焦点在抛物线2y =准线方程x =上，所以c =，由此可解得2,a b ==22143x y -=，故选D. 39.（2015·安徽高考·理T4）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -= 【答案】C【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C.40.（2015·浙江高考·理T5）如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A. 11BF AF --B. 2211BF AF --C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++ 【答案】A.【解析】S ∆BCF S ∆ACF＝BC AC ＝X B X A＝BF−１AF−１，故选A41.（2015·新课标全国卷II ·理T11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．2 C D 【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，MN =，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以e =D ．42.(2015·新课标全国卷I ·文T5)已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =( )（A ）3（B ）6（C ）9（D ）12 【答案】B【解析】∵抛物线2:8C y x =的焦点为（2,0），准线方程为2x =-，∴椭圆E 的右焦点为（2,0），∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c=2，∵12c e a ==，∴4a =，∴22212b a c =-=，∴椭圆E 方程为2211612x y +=，将2x =-代入椭圆E 的方程解得A （-2,3），B （-2，-3），∴|AB|=6，故选B.43.（2015·重庆高考·文T9）设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b 的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）(A)12 (B) 22(C) 1 (D) 2【答案】C【解析】由已知得右焦点(,0)F c (其中)0,222>+=c b a c ，)0,(),0,(21a A a A -，),(),,(22ab c C a b c B -，从而),(),,(2221a b a c C A a b a c B A -=-+=，又因为12A B A C ⊥，所以021=•C A B A ，即0)()()()(22=⋅-++⋅-a b a b a c a c ，化简得到1122±=⇒=a bab ，即双曲线的渐近线的斜率为1±，故选C.44.（2015·四川高考·文T7）过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )(A B C )6 (D 【答案】D【解析】由题意，a ＝1，b c ＝2，渐近线方程为y x将x ＝2代入渐近线方程，得y 1，2＝±，故|AB |＝，选D45.（2015·陕西高考·文T3）已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)【答案】B【解析】 由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =，所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B46.（2015·广东高考·文T8）已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】 由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．47.(2015·天津高考·文T5)已知双曲线22221(0,0)x y a b ab 的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆222y 3x 相切,则双曲线的方程为（ ）(A)221913x y (B) 221139x y (C)2213x y(D) 2213y x【答案】D【解析】由双曲线的渐近线0bx ay -=与圆222y 3x =,由2c ==,解得1,a b ==故选D.48.（2015·湖南高考·文T6）若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )A B 、54 C 、43 D 、53【答案】D【解析】因为双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），2225349163c b a c a a e a ∴=∴-=∴=，（），=．故选D. 49.(2015·安徽高考·文T6)下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -=（C ）2212y x -= （D ）2212x y -=【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A .50.（2015·湖北高考·文T9）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D【解析】不妨设双曲线1C 的焦点在x 轴上，即其方程为：22221x y a b-=，则双曲线2C 的方程为：22221()()x y a m b m -=++，所以1e ==，2e ==，当a b >时， ()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==>+++，所以b m b a m a +>+，所以22b m b a m a +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以21e e >；当a b <时，()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==<+++，所以b m b a m a +<+，所以22b m b a m a +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以21e e <；故应选D.51.（2015·福建高考·文T11）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)4【答案】A【解析】设左焦点为F ，连接1AF ，1BF ．则四边形1BF AF 是平行四边形，故1AF BF =，所以142AF AF a +==，所以2a =，设(0,)M b ，则4455b ≥，故1b ≥，从而221ac -≥，203c <≤，0c <≤，所以椭圆E 的离心率的取值范围是，故选A ． 52.(2015·安徽·理T 4)下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是( ) A.x 2-y 24=1 B.x 24-y 2=1 C.y 24-x 2=1 D.y 2-x 24=1【答案】C【解析】A,B 选项中双曲线的焦点在x 轴上,不符合要求.C,D 选项中双曲线的焦点在y 轴上,且双曲线y 24-x 2=1的渐近线方程为y=±2x;双曲线y 2-x 24=1的渐近线方程为y=±12x.故选C.53.(2015·浙江·理T5)如图,设抛物线y 2=4x 的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |-1|AF |-1B.|BF |2-1|AF |2-1C.|BF |+1|AF |+1D.|BF |2+1|AF |2+1【答案】A【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由抛物线定义,得|AF|=x 1+1,|BF|=x 2+1,则S △BCF S △ACF=BC AC=x 2x 1=|BF |-1|AF |-1,故选A.54.(2014·全国1·理T10)已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F,准线为l,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( ) A.72B.3C.52D.2【答案】B【解析】如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|=4. 过Q 作QH ⊥l 于H,则|QH|=|QF|.由题意,得△PHQ ∽△PMF, 则有|HQ ||MF |=|PQ ||PF |=34,∴|HQ|=3.∴|QF|=3.55.(2014·全国1·文T10)已知抛物线C:y 2=x 的焦点为F,A(x 0,y 0)是C 上一点,|AF|=54x 0,则x 0=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】A【解析】由抛物线方程y 2=x 知,2p=1,p2=14,即其准线方程为x=-14.因为点A 在抛物线上,由抛物线的定义知|AF|=x 0+p 2=x 0+14,于是54x 0=x 0+14,解得x 0=1,故选A. 56.(2014·天津·理T 5)已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( ) A.x 25−y 220=1 B.x 220−y 25=1 C.3x 225−3y 2100=1 D.3x 2100−3y 225=1 【答案】A【解析】由于双曲线焦点在x 轴上,且其中一个焦点在直线y=2x+10上,所以c=5. 又因为一条渐近线与l 平行,因此b a=2,可解得a 2=5,b 2=20,故双曲线方程为x 25−y 220=1.故选A.57.(2014·大纲全国·理T6文T9)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F 1,F 2,离心率为√33,过F 2的直线l 交C 于A,B 两点.若△AF 1B 的周长为4√3,则C 的方程为( ) A.x 23+y 22=1 B.x 23+y 2=1 C.x 212+y 28=1 D.x 212+y 24=1【答案】A 【解析】∵x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√33,∴e2=1-b 2a2=13.∴b 2=23a 2.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A,B 两点, △AF 1B 的周长为4√3, ∴4a=4√3,∴a=√3.∴b=√2,∴椭圆方程为x 23+y 22=1,选A.58.（2014·福建高考理科·T9）．设Q P ,分别为圆()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（）A.25B.246+C.27+D.26 【答案】D【解析】圆心M (0,6)，设椭圆上的点为(,)Q x y ，则MQ ===当2[1,1]3y =-∈-时，max MQ =max PQ ==． 59.（2014·重庆高考文科·T8）设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得()22123,PF PF b ab -=-则该双曲线的离心率为（ ）4 【答案】D【解析】由双曲线的定义知，()22124,PF PF a -=又()22123,PF PF b ab -=-所以2243a b ab =-等号两边同除2a ，化简得2340b b a a ⎛⎫-•-= ⎪⎝⎭，解得4,b a =或1b a =-（舍去）故离心率c e a ===== 60.（2014·天津文·T6理T5））已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 【答案】A【解析】因为双曲线的一个焦点在直线l 上，所以0210,c =+即5,c =又因为渐近线平行于直线,102:+=x y l 故有2,ba=结合222,c a b =+得225,20,a b ==所以双曲线的标准方程为120522=-y x 61.（2014·湖北高考理科·T9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）C.3D.2 【答案】A【解析】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=，所以11||a a PF +=，12||a a PF -=， 因为123F PF π∠=，由余弦定理得22211114()()2()()cos3c a a a a a a a a π=++--+-，所以212234a a c +=，即2122122221)(2124ca c a c a c a c a +≥+=-，所以212148)11(e e e-≤+，. 62.(2014·广东高考理科·T10)若实数k 满足0<k<9,则曲线225x -29y k-=1与曲线225x k --29y =1的 ( )A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等 【答案】A【解析】因为0<k<9,所以曲线225x -29y k-=1与曲线225x k --29y =1都表示焦点在x 轴上的双曲线,且25≠25-k,9-k ≠9,但a 2+b 2=34-k,故两双曲线的焦距相等.63.（2014·山东高考理科·T10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C ，则2C 的渐近线方程为（ ）A 、0x =B 0y ±=C 、20x y ±=D 、20x y ±= 【答案】A【解析】椭圆的离心率为2222221a b a a c e -==，双曲线的离心率为2222222ab a ac e +==，所以()43444221=+=a b a e e ，所以444b a =. 所以22±=a b .双曲线的渐近线方程为x y 22±=，即02=±y x ，故选A.64.(2014·江西高考文科·T9)过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为 ( )A.112422=-y x B.19722=-y x C.18822=-y x D.141222=-y x 【答案】A【解析】设右焦点为F,由题意得|OF|=|AF|=4,即a 2+b 2=16, 又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b 2=16,故a=2,b 2=12,所以方程为112422=-y x .65.（2014·安徽高考文科·T3）抛物线214yx 的准线方程是（ ） A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 【答案】A 【解析】22144yx x y ，所以抛物线的准线方程是y=-1.66. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,则AB = ( )B.6C.12D.【答案】C【解析】设AF=2m,BF=2n,F 2≠a .则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34·34解得m=32),n=32),所以m+n=6. AB=AF+BF=2m+2n=12.故选C.67. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A.4 B.8 C.6332D.94【答案】D【解析】选 D.设点A,B 分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34·34解得m=3232所以m+n=6.所以 S △OAB =1324⋅·(m+n)=94.故选D.68. （2014·四川高考理科·T10）已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）【答案】 B【解析】选B. 可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，则直线AB 与x轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=”， 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.69. （2014·四川文·T10理T10）已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A.2B.3C.8【答案】 B【解析】选B.可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，则直线AB 与x 轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=”， 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.70. （2014·辽宁高考理科·T10）已知点(2,3)A -在抛物线2:2C y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为1134()()()()2343A B C D【答案】D【解析】根据已知条件得22p-=-，所以 4.p =从而抛物线方程为28y x =，其焦点(2,0)F ． 设切点00(,)B x y，由题意，在第一象限内28y x y =⇒=．由导数的几何意义可知切线的斜率为AB x x k y ='==003(2)AB y k x -=--又因为切点00(,)B x y 在曲线上，所以2008y x =．由上述条件解得008x y ==．即(8,8)B ．从而直线BF 的斜率为804823-=-． 71. (2014·湖北高考文科·T8)设a,b 是关于t 的方程t 2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根,则过A(a,a 2),B(b,b 2)两点的直线与双曲线22cos x θ-22sin y θ=1的公共点的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A【解析】由于a,b 是关于t 的方程t 2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根, 所以a+b=-sin cos θθ,ab=0, 过A(a,a 2),B(b,b 2)两点的直线为y-a 2=22b a b a-- (x-a),即y=(b+a)x-ab,即y=-sin cos θθx, 因为双曲线22cos x θ-22sin y θ=1的一条渐近线方程为 y=-sin cos θθx, 所以过A(a,a 2),B(b,b 2)两点的直线与双曲线22cos x θ-22sin y θ=1的公共点的个数为0.72.(2013·广东·文T9)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C 的方程是( ) A.x 23+y 24=1 B.x 24+2√3=1 C.x 24+y 22=1D.x 24+y 23=1【答案】D【解析】由右焦点F(1,0)知,焦点在x 轴上,且c=1. 又离心率等于12, 则c a =12,得a=2. 由b 2=a 2-c 2=3,故椭圆C的方程为x 24+y 23=1.73．（2013·福建高考理·T3）双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.255D.455 【答案】C【解析】本题考查双曲线的图象与性质，点到直线的距离等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力以及运算求解能力．双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x2，即x ±2y ＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为25＝255.74.（2013·浙江高考·T9）如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62【答案】D【解析】本题考查椭圆、双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单几何性质，考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意得a 2＋b 2＝3＝c 2②，则|OA |＝c ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62，故选D.75.(2013·全国2·理T11)设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( ) A.y 2=4x 或y 2=8x B.y 2=2x 或y 2=8x C.y 2=4x 或y 2=16x D.y 2=2x 或y 2=16x 【答案】C【解析】设点M 的坐标为(x 0,y 0),由抛物线的定义,得|MF|=x 0+p 2=5,则x 0=5-p 2. 又点F 的坐标为(p2,0),所以以MF 为直径的圆的方程为(x-x 0)(x -p2)+(y-y 0)y=0. 将x=0,y=2代入得px 0+8-4y 0=0,即y 022-4y 0+8=0,所以y 0=4.由y 02=2px 0,得16=2p (5-p2),解之得p=2,或p=8.所以C 的方程为y 2=4x 或y 2=16x.故选C.76．（2013·新课标Ⅰ高考理·T4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x【答案】C【解析】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，意在考查考生对于双曲线的几何性质的熟练掌握和运算求解能力．解题时，先根据双曲线的标准方程判断出双曲线的焦点位置，再由双曲线的离心率的概念得到a ，c 之间的关系，再根据双曲线中a ，b ，c 之间的关系转化为a 与b 之间的关系，从而求出其渐近线方程．因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .又离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选择C. 77．（2013·新课标Ⅰ高考理·T10）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 【答案】D【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力．运用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去y ，由根与系数的关系得到a ，b 之间的关系，并由a ，b ，c 之间的关系确定椭圆方程．因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，选择D.。
全国卷高考十年(2007-2016)圆锥曲线题目汇总
在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C 的中心为原点， 焦点 F1 , F2 在 x 轴上， 离心率为 两点，且 △ ABF2 的周长为 16，那么 C 的方程为 。
2 。 过 F1 的直线 L 交 C 于 A, B 2
31． ［2010 年高考全国新课标文数第 5 题］ 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2） ，则它的离心率为 （ A） 6 （B） 5 （C）
∆ ABP 的面积为
（A）18 （B）24 （C）36 （D）48
29． ［2011 年高考全国新课标理数第 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 题］ 设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A ,B 两点， AB 为 C 的实轴长的 2 倍， 则 C 的离心率为 （A） 2 （B） 3 （C）2 30． ［2011 年高考全国新课标理数第 14 题］ （D）3
1 3
（B）
1 2
（C）
2 3
（D）
3 4
7． ［2015 年高考全国新课标Ⅱ卷文数第 15 题］
8． ［2015 年高考全国新课标Ⅱ卷理数第 11 题］
1
新课程标准（2007-2016）数学试卷分类汇编—圆锥曲线
2016 年 10 月 13 日
9． ［2015 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 5 题］
63 32
D. 9
4
15． ［2014 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 4 题］ 已知双曲线
x2 y2 − = 1(a > 0) 的离心率为 2，则 a = （ a2 3
）
16． ［2014 年高考全国新课标Ⅰ卷文数第 10 题］
2
新课程标准（2007-2016）数学试卷分类汇编—圆锥曲线
历年北京高考数学 圆锥奥义-文科理科(2000-2016)
历年北京高考数学圆锥曲线（2000-2016）理科年份考点（转化）计算量 2016点P 在椭圆上0202221x y a b⇒+=直线PA 与y 轴交于点M ()0,M y ⇒ 直线PB 与x 轴于点N (),0N x ⇒AN BM ⋅为定值A N B M x x y y ⇒-⋅-=常数非韦达定理 消元法2015点B 与点A 关于x 轴对称A B y y ⇒=-y 轴上的动点()0,t ⇒tan tan O M O Q Q N αβ∠=∠⇒=非韦达定理 消元法 2014点B 在椭圆上0202221x y a b⇒+=点A 在直线2y =上(,2)t ⇒OA OB ⊥0OA OB ⇒⋅=与圆相切0022Ax By Bd R CA +++=⇒=非韦达定理 消元法2013四边形OABC 为菱形⇒,AC OBAC OB ⎧⎨⎩⊥相互平分菱形OABC 面积⇒||12||S OB AC =⋅中点表示 斜率乘积 韦达定理 2012A ,G , N 三点共线12k k ⇒=中等 韦达定理2011圆的切线0022Ax By B d R CA +++=⇒=中等弦长2211==1AB A k k A∆+⇒'∆+ 弦长最大值23m AB m ⇒=+对勾函数韦达定理2010PABPMN S S ∆∆=面积相等⇒投影成比例PBPNPM PA =小，但巧 韦达定理2009AOB ∠角为定值⇒cos =0OA OB OA OBAOB ∠⋅=⋅先猜想，后证明 韦达定理2008菱形ABCD ,AC OBAC OB ⎧⇒⎨⎩⊥相互平分菱形ABCD 内角60ABC ∠=32BD AC⇒=菱形ABCD 面积12S AC BD ⇒=⋅ 面积最大值⇒223=3162m S AC =-+二次函数 中等 韦达定理2007矩形ABCD 外接圆⇒外心为对角线交点动圆P 圆心轨迹⇒双曲线定义22PM PN -=小，但巧 韦达定理 2006OA OB ⋅1212x x y y ⇒+最小值2222=1k k OA OB +⇒⋅-分离常数、对勾函数中等 韦达定理2005动点P 到12,l l 距离之积为2d ⇒双曲线1234,OM M OM M ∆∆重心重合1231233,3x x x y y y ⎛⎫++++⇒ ⎪⎝⎭2004P A 与PB 倾斜角互补⇒PA PB k k =-韦达定理 20033412122134x x x x x k k x x x =++为定值121222221k k x x y y +⇒+=- 韦达定理椭圆蝴蝶定理OP OQ =⇒D ，Q ，G 三点共线322132x k x k p x p x =--2002第一问△OBC 重心G ，外心F ，垂心H ，证G ，F ，H 三点共线⇒()()()0,0,1,0,,O B C b c ，重心)3,31(cb G +，外心F )2,21(22c b c b -+，垂心)3,(2b b b H - ⇒GH FG k k =第二问当FH OB //，求顶点C 轨迹22330(12)FH OBc b k k bc b ⇒=+-⇒=- 2213()0,(0,)2b bc c b ⇒-+=≠≠222222133()241()2113()()22b c b c ⇒-+=-⇒+=配方 除去()()13130,01,0,,2222⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，四点. 韦达定理2001 证明直线AC 经过点O ⇒A ,C ,O 三点共线⇒AC OA k k = 韦达定理 2000 点E 分AC 定比分点⇒2312e λ=-+二次函数 韦达定理在三角形ABC 中,三顶点的坐标为：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，BC=a,CA=b,AB=c 例：O （0，0），B （1，0），C （b ，c ） （一）重心⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++3,3321321y y y x x x G (二）外心)2,21(22cbc b F -+ 外心就是两边中垂线的交点。
2010年北京高考数学(理科)试题与答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 集合2{03},{9}P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤，则P M I =(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3}（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m=（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C（5）极坐标方程（ρ-1）（θπ-）=0（ρ≥0）表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线（6）若a ,b 是非零向量，“a ⊥b ”是“函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数y=x a 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（A ）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +∞](8)如图，正方体ABCD-1111A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，1A E=x ，DQ=y ，D Ｐ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PE ＦＱ的体积 （Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
十年（2011-2020）高考真题数学分项详解（全国版）专题29圆锥曲线的综合问题（原卷版）
专题29圆锥曲线的综合问题25线与椭圆直线与椭圆考点出现频率2021年预测考点98曲线与方程37次考1次命题角度：（1）定点、定值问题；（2）最值、范围问题；（3）证明、探究性问题．核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象考点99定点与定值问题37次考6次考点100最值与范围问题37次考5次考点101探索型与存在性问题37次考3次考点98曲线与方程1．（2020山东）已知曲线22:1C mx ny +=．（）A ．若m>n>0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m=n>0，则CC ．若mn<0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m=0，n>0，则C 是两条直线2．（2020天津）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=3．【2019北京理】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是A ．①B ．②C ．①②D ．①②③4．（2020全国Ⅱ文19）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于,A B 两点，交2C 于,C D 两点，且43CD AB =．（1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程．5．（2020全国Ⅱ理19）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于,A B 两点，交2C 于,C D 两点，且43CD AB =．（1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点，若5=MF ，求1C 与2C 的标准方程．6．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点12，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为7，求直线l 的方程．7．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．8．（2016全国Ⅲ文理）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．9．（2015江苏理）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．10．（2014广东理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．11．（2014辽宁理）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P ．（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．12．（2013四川理）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为1(10)F -，，210F （，），且椭圆C 经过点），3134(P ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率（Ⅱ）设过点），（20A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是MN 上的点，且222112ANAMAQ+=，求点Q 的轨迹方程．13．（2011天津理）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．考点99定点与定值问题14．【2020全国Ⅰ文21理20】已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为,C PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．15．【2020山东】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程；（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．16．【2019全国Ⅲ理】已知曲线C：y=22x，D为直线y=12-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．17．【2019北京理】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．18．【2019全国Ⅲ文】已知曲线C：y=22x，D为直线y=12-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．19．【2019北京文】已知椭圆2222:1x yCa b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点．20．【2018北京文20】（本小题14分）已知椭圆M ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为3，焦距为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的焦点,A B （I ）求椭圆M 的方程；（II ）若1k =，求AB 的最大值；（III ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若,C D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k ．21．【2018北京理19】（本小题14分）已知抛物线2:2C y px =经过点()1,2P ，过点()0,1Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交于y 轴与M ，直线PB 交y 轴与N ．（I ）求直线l 的斜率的取值范围．（II ）设O 为原点，,QM QO QN QO λμ== ，求证：11λμ+为定值．22．（2017新课标Ⅰ理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(1,2P =-，43(1,2P =中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．23．（2017新课标Ⅱ文理）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．24．（2017北京文）已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0)A -，(2,0)B ，焦点在x 轴上，离心率为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ．求证：BDE ∆与BDN ∆的面积之比为4：5．25．（2016年全国I 理）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．26．（2016年北京文）已知椭圆C ：22221x y a b+=过(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．27．（2016年北京理）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．28．（2016年山东文）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为2 ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点M(0，m)(m>0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P(P 在第一象限)，且M 是线段PN的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B ．(i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明k k'为定值；(ii)求直线AB 的斜率的最小值．29．（2015新课标2文）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，点在C 上．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ．证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．30．（2015新课标2理）已知椭圆C ：2229x y m +=（0m >），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．31．（2015陕西文）如图，椭圆E ：22221x y a b+=（a >b >0）经过点(0,1)A -，且离心率为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP与AQ 的斜率之和为2．32．（2014江西文理）如图，已知双曲线C ：2221x y a-=(0a >)的右焦点F ，点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）．（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值．33．（2013山东文理）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F，离心率为2，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF ．设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0k ≠，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值．34．（2012湖南理）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在2C ：22(5)9x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设00(,)P x y （3y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D ．证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．考点100最值与范围问题35．【2020年江苏18】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB ∆与MAB ∆的面积分别为12,S S ，若213S S =，求点M 的坐标．36．【2020浙江21】如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．37．【2019全国Ⅱ理】已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x ，y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12．记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值．38．【2019浙江】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G的坐标．39．（2018浙江21）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上．（I ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（II ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB △面积的取值范围．40．（2017浙江文理）如图，已知抛物线2x y =．点11(,24A -，39(,)24B ，抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PA PQ ⋅的最大值．41．（2017山东文）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为22，椭圆C 截直线1y =所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l ：(0)y kx m m =+≠交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，N 的半径为||NO ．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与N 分别相切于点E ，F ，求EDF ∠的最小值．42．（2017山东理）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为2，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：1y k x =-E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且124k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T ．求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．43．(2016全国II 理)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．44．(2016天津理)设椭圆13222=+y a x (3)a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF⊥，且MOA MAO ∠∠≤，求直线l 的斜率的取值范围．45．（2016浙江文）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于||1AF -．（I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ．求M 的横坐标的取值范围．45．（2015重庆文）如图，椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的左、右焦点分别为1F ，2F ，且过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且PQ ⊥1PF ．（Ⅰ）若12PF =+，22PF =-|，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|1PQ PF λ=，且3443λ≤≤，试确定椭圆离心率e 的取值范围．46．（2014新课标1文理）已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．（Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．47．（2014浙江文理）如图，设椭圆(),01:2222>>=+b a by a x C 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．（Ⅰ）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标；（Ⅱ）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -．48．（2015山东理）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，左、右焦点分别是1F 、2F ．以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值．49．（2014山东文理）已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线l l //1，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．50．（2014山东理）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线y x=被椭圆C 截得的线段长为5．（Ｉ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．（ⅰ）设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ⅱ）求OMN ∆面积的最大值．51．（2014四川文理）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（ii ）当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标．52．（2013广东文理）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．53．（2011新课标文理）在平面直角坐标系xoy 中，已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．54．（2011广东文理）设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=+=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点M (,55F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标．考点101探索型与存在性问题55．【2018上海20】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()20F ,，直线:l x t =，曲线()2:800y x x t y Γ=≤≤≥,．l 与x 轴交于点A ，与Γ交于点B P Q ,,分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；（2）设,23t FQ ==，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP △的面积；（3）设8t =，是否存在以FP FQ ,为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．56．（2016全国I 文）在直角坐标系xOy 中，直线l ：(0)y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（I ）求||||OH ON ；（II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．57．（2015新课标1理）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：24x y =与直线y kx a =+(0)a >交与M ，N 两点，（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．58．（2015北京理）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．59．（2015湖北理）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．60．（2015四川理）如图，椭圆E：2222+1(0)x y a ba b=>>的离心率是22，过点(0,1)P的动直线l与椭圆相交于,A B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为．（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．61．（2015浙江理）已知椭圆2212x y+=上两个不同的点,A B关于直线12y mx=+对称．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）求AOB∆面积的最大值（O为坐标原点）．62．（2014湖南文理）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ｉ）求12,C C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．63．（2013安徽文理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点P ．64．（2013湖北文理）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=并说明理由．65．（2012广东文理）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =，且椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．66．（2011山东文理）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=．如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线3x=-于点(3,)D m-．（Ⅰ）求22m k+的最小值；（Ⅱ）若2OG OD=∙OE，（i）求证：直线l过定点；（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．。
高考题：圆锥曲线(11年)
圆锥曲线（11）（北京卷）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的离心率为3，右焦点为（），斜率为I 的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3,2）。
（I ）求椭圆G 的方程； （II ）求PAB ∆的面积。
(湖北卷)平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线. （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点。
试问：在1C 撒谎个，是否存在点N ，使得△1F N 2F 的面积2||S m a =。
若存在，求tan 1F N 2F 的值；若不存在，请说明理由。
（湖南卷） 如图7，椭圆22122:1(0)x y C a b a b += 的离心率为，x 轴被曲线22:C y x b =- 截得的线段长等于1C 的长半轴长。
（Ⅰ）求1C ，2C 的方程；（Ⅱ）设2C 与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B,直线MA,MB 分别与1C 相交与D,E.(i)证明：MD ⊥ME;(ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是1S,2S .问：是否存在直线l,使得21S S =3217?请说明理由。
（湖南卷文）已知平面内一动点P 到点(1,0)F 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ），过点F 左两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求,AD EB的最小值。
（辽宁卷）如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D 。
十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解16极坐标与参数方程部分
十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解16极坐标与参数方程部分一、选择题（共8小题；共40分）1. 椭圆x=4+5cosφy=3sinφ（φ为参数）的焦点坐标为 A. 0,0，0,−8B. 0,0，−8,0C. 0,0，0,8D. 0,0，8,02. 在极坐标系中，圆ρ=−2sinθ的圆心的极坐标是 A. 1,π2B. 1,−π2C. 1,0D. 1,π3. 极坐标方程ρ2cos2θ−2ρcosθ=1表示的曲线是 A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线4. 极坐标系中，圆ρ=4cosθ+3sinθ的圆心的坐标是 A. 52,arcsin35B. 5,arcsin45C. 5,arcsin35D. 52,arcsin455. 在极坐标系中，圆心在2,π 且过极点的圆的方程为 A. ρ=22cosθB. ρ=−22cosθC. ρ=22sinθD. ρ=−22sinθ6. 极坐标方程ρ−1θ−π=0ρ≥0表示的图形是 A. 两个圆B. 两条直线C. 一个圆和一条射线D. 一条直线和一条射线7. 直线θ=α和直线ρsinθ−α=1的位置关系是 A. 垂直B. 平行C. 相交但不垂直D. 重合8. 曲线xy=1的参数方程是 A. x=t12y=t−1B.x=sinαy=cscα C.x=cosαy=secα D.x=tanαy=cotα二、填空题（共4小题；共20分）9. 在极坐标系中，点2,π6到直线ρsinθ=2的距离等于．10. 曲线C：x=cosθ,y=−1+sinθ（θ为参数）的普通方程是，如果曲线C与直线x+y+a=0有公共点，那么实数a的取值范围是．11. 在极坐标系中，点A在圆ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为1,0，则∣AP∣的最小值为．12. 在极坐标系中，直线ρcosθ−3ρsinθ−1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则∣AB∣=．答案第一部分1. D 【解析】提示：因为椭圆的直角坐标方程为x−4225+y29=1，相当于椭圆x225+y29=1的焦点−4,0、4,0向右平移4个单位．2. B 【解析】ρ=−2sinθ⇔ρ2=−2ρsinθ⇔x2+y2=−2y.∴圆心直角坐标为0,−1，极坐标为1,−π2．3. D4. A 【解析】提示：∵ρ=4cosθ+3sinθ，∴ρ2=4ρcosθ+3ρsinθ，∴x2+y2=4x+3y，即x−22+ y−322=254，故圆心直角坐标为2,32，半径为52，所以ρ=52，sinθ=35．5. B6. C 【解析】由极坐标方程ρ−1θ−π=0，可得ρ=1或θ=π，而ρ=1表示的是一个圆，θ=π表示的是一条射线．7. B 8. D第二部分9. 110. x2+y+12=1，1−2,1+211. 112. 2【解析】x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以ρcosθ−3ρsinθ−1=0可以变形为x−3y−1=0，ρ=2cosθ可以变形为x−12+y2=1．因为直线x−3y−1=0经过1,0点，圆x−12+y2=1的圆心也是1,0，所以交线AB为直径．又因为r=1，2r=2，所以∣AB∣=2．。
圆锥曲线（北京卷）：听我的，很简单
圆锥曲线（北京卷）：听我的，很简单有同学问我说：“老师，圆锥曲线太难了，能不能不学？”通常情况下，我有点理解不了。
虽然有点难度，但是还不至于特别难！作为老师嘛，还是要给学生排忧解难的，需要耐心，需要细心，要有一颗博爱的心。
“孩子啊，你不要觉得你不能，你要觉得你能。
“圆锥曲线难吗？到底为啥有人觉得难，有人觉得不难呢？来看个问题，今年北京的题。
干啥事都不要愁眉苦脸，千金难买小爷笑一笑。
第一问，通常都不难。
注：如果在这一问出现问题，建议①熟记圆锥曲线知识点；②多画图。
第二问看着挺长，其实没啥怕的。
这么给你这么说吧，短的我想找来着，但是没找到，习惯好了。
想要正宗，第二问都这么长，而且越长越正宗。
不过从今年考试，说要降低计算量，所以第二问开始变的相对简单一些了。
凡事都往好的一方面想，心情就会舒坦一些。
你多读读题，说不定读着读着就想放弃，不用写这道题了。
还是先读读看。
得学会审题啊。
人世间最大的悲哀就是，当有人告诉你：“你过来啊。
”你迟疑着不敢踏出那一步，不敢相信那个人不顾一切的为你说出的诺言，不敢伸出手接着大妈刚给你做好多加三个烤肠的煎饼果子。
总之呢，你已经开始误解了问题要求，但是没有关系，吃着火锅唱着歌，先让子弹飞一会儿。
① 设直线方程② 联立方程我已经很长时间没有看到过计算量这么小的韦达定理了。
虽然我们素不相识，但是我还是要由衷的感谢一声。
美中不足的是，为啥还要继续算下去?！③ 找A、B两点坐标④ 利用向量解决直角假设以AB为直径的圆经过y轴的定点为C（0，c）从小博览群书的我就深深的懂得“常温还是冷藏”这个问题背后隐藏的深刻含义。
你要明白，当老板问起你这样的问题时，纵使漫天飞雪，你也要大声喊出来：不要“常温”，要“冷藏”。
所以不要负数，能正则正，不能正就不写，这就是学习数学的气节。
圆锥曲线有时候会用到圆的相关结论。
对，还要计算好，我们再来一次。
圆锥曲线不难，原因是思路真的太简单：联立→算→联立→算→联立→算。
【备战2021】（十年高考）北京市高考数学分项精华版 专题09 圆锥曲线（含解析）(1)
【备战2021】（十年高考）北京市高考数学分项精华版 专题09 圆锥曲线（含解析）1. 【2020高考北京理第4题】假设点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，那么点P 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线2. 【2021高考北京理第6题】假设双曲线22221x y a b-=( )．A ．y ＝±2xB ．y =C ．12y x =±D ．2y x =± 3. 【2020高考北京理第12题】椭圆22192x y +=的核心为12,F F ，点P 在 椭圆上，假设1||4PF =，那么2||PF =_________；12F PF ∠的小大为__________. 【答案】2,120︒【解析】 试题分析：∵229,3a b ==，∴c =∴12F F =又1124,26PF PF PF a =+==， ∴22PF =，又由余弦定理，得(22212241cos 2242F PF +-∠==-⨯⨯，∴12120F PF ︒∠=，故应填2,120︒. w.w.w..c.o.m考点：圆的概念、核心、长轴、短轴、焦距之间的关系和余弦定理.4. 【2020高考北京理第13题】已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，核心与椭圆221259x y +=的核心相同，那么双曲线的核心坐标为__________；渐近线方程为__________．5. 【2020高考北京理第14题】曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹，给出以下三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③假设点P 在曲线C 上，那么12F PF 的面积不大于212a .其中，所有正确结论的序号是____________.6. 【2021高考北京理第12题】在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x 的核心F.且与该撇物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。
专题08 圆锥曲线的综合-高考数学(理)母题题源系列(北京专版)
【母题原题1】【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，12）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.【答案】（Ⅰ）方程为2y x=，抛物线C的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x=-.（Ⅱ）详见解析.【解析】【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.【母题原题2】【2016北京，理19】已知椭圆C：22221 +=x y a b （0a b>>）的离心率为32，(,0)A a，(0,)B b，(0,0)O，△OAB的面积为1.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：BM AN ⋅为定值.【答案】（I ）1422=+y x ；（II ）见解析. 【解析】（II ）由（I ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x . 当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为1100+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM所以4=⋅BM AN .综上，BM AN ⋅为定值.【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.【母题原题3】【2015北京，理19】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为2，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于轴对称，直线PB 交轴于点N ．问：轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1) 2212x y +=,(,0)1m M n -,(2)存在点Q （0，2）±（Ⅱ）(0,1),(,)P B m n -，直线PB 的方程为：11ny x m +=+，直线PB 与x 轴交于点N ，令0,1m y x n ==+，则(,0)1m N n +.设0(0,)Q y001tan(1)mmnOQMy n y-∠==-, 00(1)tan1y y nONQm mn+∠==+,,tan tanOQM ONQ OQM ONQ∠=∠∴∠=∠,则(1)mn y=-(1)y nm+，所以222022212m myn m===-，（注：点()A m n，()0m≠在椭圆C上，2212mn+=），则2y=±，存在点Q（0，2）±使得OQM ONQ∠=∠.考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.【名师点睛】本题考查直线和椭圆的有关知识及解存在性命题的方法，本题属于中偏难问题，思维量和运算量均有，利用待定系数法求出椭圆方程，利用直线方程的斜截式写出直线方程，求出点M、N的坐标，利用直角三角形内锐角三角函数正切定义求出tan、tanOQM ONQ∠∠，根据二者相等，解出Q点坐标，说明存在点符合条件的点Q.【命题意图】圆锥曲线方程和直线与圆或与圆锥曲线的位置关系一直是高考的热点考点，第一问除以是考查定义法，或轨迹法和待定系数法求曲线方程，第二问考查直线圆锥曲线的综合问题，最值问题，定点定值的探索问题，求变量的取值范围问题，其中直线与椭圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系是考查的热点和重点，对于计算变形能力，和转化与化归能力要求比较高.【命题规律】这类试题在考查题型上，以解答题的形式出现，难度为中档或难题，是高考中区分度比较大的题目，（1）求曲线方程，一般类型确定，根据圆锥曲线的基本量求解，（2）直线与圆锥曲线相交问题，一般是直线方程与圆锥曲线方程联立，采用设而不求的方法，利用韦达定理求解，或是涉及相交问题时，求交点，（3）与圆锥曲线有关的最值问题，（4）与曲线有关的几何证明，比如面积，垂直，平行，角的问题等，（5）探索定值，定点问题，近几年的解答题计算量减少，但思考量增大.【答题模板】以2017年高考题为例，解答本类题目，一般考虑如下三步：第一步：根据抛物线的性质求方程代入点P求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；第二步：根据直线方程与抛物线方程联立得到相关坐标直线l的方程为12y kx=+（0k≠），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON 的方程为22y y x x =，联立求得点B 的坐标2112(,)y y x x ； 第三步：根据中点的坐标关系证明 若点A 是BM 的中点，那么需满足2B M A x x x += .【方法总结】1. 求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数——待定系数法；另一类是不知曲线类型常用的方法有：(1)直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y = ；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；(4)参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．2.在处理直线与圆锥曲线的位置关系问题时，常用设而不求法，即常将圆锥曲线与直线联立，消去y （或）化为关于（或y ）的一元二次方程，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，则交点的横（纵）坐标即为上述一元二次方程的解，利用根与系数关系，将12x x +，12x x 表示出来，注意判别式大于零不能丢，然后根据问题，再通过配凑将其化为关于12x x +与12x x 的式子，将12x x +，12x x 代入再用有关方法取处理，注意用向量法处理共线问题、垂直问题及平行问题. 弦长公式：（1）若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB 2121kx +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k -+，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB ＝2121k y +-.（2）焦点弦（过焦点的弦）：若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB,1122(,),(,)A x y B x y ，则有12||AB x x p =++,221212,4p x x y y p ==-.（3）椭圆的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆12222=+by a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-.在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率pky=.3.再处理直线与圆锥曲线位置关系问题时，首先确定直线的斜率，若不能确定，则需要分成直线斜率存在与不存在两种情况讨论，也可以将直线方程设为x my n=+，避免分类讨论.4.定点与定值问题处理方法有两种：（1）从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个定点（定值）与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）.5.最值问题常见解法有两种：（1）几何法：若题中的条件与结论有明显的几何特征和意义，则考虑利用图形的几何性质来解决，如三角不等式、圆锥曲线的定义等.(2)代数法：利用相关知识和方法结合题中的条件，建立目标函数，利用函数的性质、不等式或导数知识求出这个函数的最值.常用的代数方法有：(1)利用二次函数求最值；(2)通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；(3)利用基本不等式求最值；(4)利用导数法求最值；(5)利用函数单调性求最值.6.参数范围问题常见解法有两种：（1）不等式法：利用题意结合图形列出所讨论参数满足的不等式（组），通过解不等式（组）解出参数的范围，注意判别式大于0不能遗漏.(2)函数最值法：利用题中条件和相关知识，将所讨论参数表示为某个变量的函数，通过讨论这个函数的值域求出该参数的范围.7.对探索性问题，先假设存在，依此为基础推理，若推出矛盾，则不存在，求出值，则存在. 解决存在性问题应注意以下几点：1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.解决存在性问题的解题步骤：第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程（组）或不等式（组）；第二步：解此方程（组）或不等式（组），若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论.1. 【2017北京西城区5月模拟】在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点()1,2P.（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点A ， B 在抛物线C 上，直线PA ， PB 分别与y 轴交于点M ， N ， PM PN =.求直线AB 的斜率.【答案】（1）24y x =（2）1-【解析】（Ⅰ）依题意，设抛物线C 的方程为()20y ax a =≠．由抛物线C 且经过点()1,2P ，得4a =， 所以抛物线C 的方程为24y x =．点睛：本题主要考查了圆锥曲线中抛物线方程的求法，以及直线与抛物线的位置关系以及转化与化归思想，整体代换思想在圆锥曲线中的应用，难度一般；此题中直接利用待定系数法求出抛物线的方程，利用转化思想将长度相等转化为斜率相反，联立直线与抛物线的方程得到交点坐标，运用整体代换思想得最后结果2. 【2017广东佛山二模】已知椭圆1C ： 22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，左、右焦点分别为1F 、2F ，且1C 与抛物线2C ： 2y x =的交点所在的直线经过2F .（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）分别过1F 、2F 作平行直线m 、，若直线m 与1C 交于A ， B 两点，与抛物线2C 无公共点，直线与1C 交于C ， D 两点，其中点A ， D 在轴上方，求四边形12AF F D 的面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）22184x y +=;（Ⅱ）122,25⎛ ⎝.（Ⅱ）依题意，直线m 的斜率不为0，设直线m ： 2x ty =-，由22{x ty y x =-=，消去整理得220y ty -+=，由()280t ∆=--<得28t <. 由222{28x ty x y =-+=，消去整理得()222440t y ty +--=， 设()11,A x y ， ()22,B x y ，则12242t y y t +=+， 12242y y t =-+， 所以2121AB t y y =+- ()22121214t y y y y =++- )224212t t +=+，点睛：本题主要考查椭圆和抛物线的位置关系，考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系，考查直线与圆锥曲线相交所得弦长公式.第一问已知焦距可求得交点的坐标，根据椭圆和抛物线的对称性可求得椭圆和抛物线交点的坐标，根据定义求得椭圆的标准方程.第二问主要利用弦长公式求得AB 长度，直线和圆锥曲线相交所得弦长公式需要不断练习来熟练掌握.3. 【2017福建三明5月质检】已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点()1,0F ，椭圆Γ的左，右顶点分别为,M N ．过点F 的直线与椭圆交于,C D 两点，且MCD ∆的面积是NCD ∆的面积的3倍．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）若CD 与轴垂直， ,A B 是椭圆Γ上位于直线CD 两侧的动点，且满足ACD BCD ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．【答案】（I ）22143x y +=；（II ）为定值12. 【解析】解法一：（Ⅰ）因为MCD ∆的面积是NCD ∆的面积的3倍，所以3MF NF =，即()3a c a c +=-，所以22a c ==，所以23b =，则椭圆Γ的方程为22143x y +=．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）依题意知直线AB 的斜率存在，所以设AB 方程： y kx m =+代入22143x y +=中整理得 ()2224384120kx kmx m +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，所以122843kmx xk+=-+，212241243mx xk-=+，()()222264443412k m k m∆=-+-()221612390k m=-+>当ACD BCD∠=∠，则0AC BCk k+=，不妨设点C在轴上方，31,2C⎛⎫⎪⎝⎭，所以12123322011y yx x--+=--，整理得()1212322302kx x m x x m⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭，4. 【2017河北五邑四模】已知圆1F：()22116x y++=，定点()21,0F，A是圆1F上的一动点，线段2F A的垂直平分线交半径1F A于P点.（Ⅰ）求P点的轨迹C的方程；（Ⅱ）四边形EFGH的四个顶点都在曲线C上，且对角线EG，FH过原点O，若34EG FHk k⋅=-，求证：四边形EFGH的面积为定值，并求出此定值.【答案】（1）22143x y+=；（2）详见解析.【解析】（1）因为P 在线段2F A 的中垂线上，所以2PF PA =. 所以21PF PF += 1PA PF += 1124|AFF F =， 所以轨迹C 是以1F ， 2F 为焦点的椭圆，且1c =， 2a =，所以3b =，故轨迹C 的方程22143x y +=.点睛：椭圆是重要的圆锥曲线之一，也是高考重点考查的重要考点和热点之一，求解第一问时，充分依据题设条件借助椭圆的定义求出参数使得问题获解；解答第二问时，先依据题设建立直线EH 的方程为y kx m =+，后与椭圆方程联立，再运用坐标之间的关系建立4EOHEFGH S S==四边形2EH d ⋅=2281239m k m -+5. 【2017安徽马鞍山二模】已知动圆过定点()0,2，且在轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求直线420x y -+=与曲线C 围成的区域面积；（Ⅱ）点P在直线:20l x y--=上，点()0,1Q，过点P作曲线C的切线PA、PB，切点分别为A、B，证明：存在常数λ，使得2||=PQ QA QBλ⋅，并求λ的值．【答案】(Ⅰ)98(Ⅱ)1【解析】试题分析：可出设动圆圆心的坐标为(),x y，根据题设用直接法可得曲线方程；（Ⅰ）直线方程和（Ⅱ）设()11,A x y、()22,B x y，则由题意可得，切线PA的方程为()1112xy y x x-=-，切线PB的方程为()2222xy y x x-=-，再设点()00,P x y，从而有()()10101202022{2xy y x xxy y x x-=--=-，所以可得出直线AB的方程为()20000011422222x x xy y x x y y x x x y-=-⇒-=⨯-=-⨯，即02xy x y=-．联立方程组2{24xy x yx y=-=，得200240x x x y-+=，又002y x=-，所以有()2002420x x x x-+-=，可得1201202{48x x xx x x+==-，()()222222000000||13269PQ x y x x x x=+-=+-=-+，()()2222121212121211114444x x x x QA QB y y y y y y ⋅=++=+++=⋅+++=()()2212121221164x x x x x x +-++()()()220002004822481269164x x x x x ---++=-+，所以常数2||=1PQ QA QBλ=⋅．【方法点晴】本题主要考查抛物线标准方程、定积分的应用以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.6. 【2017湖南长沙二模】已知椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）的离心率为23， 12,F F 分别是它的左、右焦点，且存在直线，使12,F F 关于的对称点恰好是圆222:42540C x y mx my m +--+-=（,0m R m ∈≠）的一条直线的两个端点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线与抛物线22y px =（0p >）相交于,A B 两点，射线1F A ， 1F B 与椭圆E 分别相交于点,M N ，试探究：是否存在数集D ，当且仅当p D ∈时，总存在m ，使点1F 在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22195x y +=;（2）()5,D =+∞试题解析：（1）将圆C 的方程配方得： ()()2224x m y m -+-=，所以其圆心为()2,C m m ，半径为2，由题设知，椭圆的焦距2c 等于圆C 的直径，所以2c =，又23c e a ==，所以3a =，从而2225b a c =-=，故椭圆E 的方程为22195x y +=.故存在数集()5,D =+∞，当且仅当p D ∈时，总存在m 使点1F 在以线段MN 为直径的圆内. 点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及点1F 在以线段MN 为直径的圆内11•0FM F N ⇔<,坐标化求解即可.7. 【2017河北唐山二模】已知ABC ∆的顶点()1,0A ，点B 在轴上移动， AB AC =，且BC 的中点在y 轴上.（Ⅰ）求C 点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知轨迹Γ上的不同两点M ， N 与()1,2P 的连线的斜率之和为2，求证：直线MN 过定点． 【答案】（Ⅰ）24y x =（0y ≠）;（Ⅱ）见解析.点睛：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用；在该题中利用直译法求的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，联立直线与抛物线的方程构成方程组，结合韦达定理及整体代换思想代入2MP NP k k +=，可得124y y n =-，即的值.8．【2017江西4月质检】已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的离心率为22e=，且过点()2,1A.（1）求椭圆E的方程；（2）过点()3,0B且斜率大于0的直线与椭圆E相交于点P，Q，直线AP，AQ与轴相交于M，N两点，求BM BN+的取值范围.【答案】（1）22163x y+=（2）()2,6（2）设直线的方程为3x my=+，()11,P x y，()22,Q x y，直线AP的方程为()111122yy xx--=--，可得1112,01y xMy⎛⎫-⎪-⎝⎭，即()1123,01m yMy⎛⎫--⎪-⎝⎭，直线AQ的方程为()221122yy xx--=--，可得2222,01y xMy⎛⎫-⎪-⎝⎭，即()2223,01m yMy⎛⎫--⎪-⎝⎭.联立223{26x myx y=++=，消去，整理得()222630m y my+++=.由()22361220m m ∆=-+>，可得21m >， 12262m y y m +=-+， 12232y y m =+，【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求范围问题，属于难题.解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，单调性法求BM BN +的范围的. 9．【2017福建4月质检】已知()()2222212:11,:1(0)C x y C x y r r ++=-+=>，1C 内切2C 于点,A P 是两圆公切线上异于A 的一点，直线PQ 切1C 于点Q ， PR 切2C 于点R ，且,Q R 均不与A 重合，直线12,C Q C R 相交于点M . （1）求M 的轨迹C 的方程；（2）若直线1MC 与轴不垂直，它与C 的另一个交点为N ， M '是点M 关于轴的对称点，求证：直线NM '过定点.【答案】（1）()221043x y y +=≠（2）()4,0- 【解析】（1）高考资源网版权所有，侵权必究！因为1C 内切于2C 于A ，所以12r -=，解得3r =，所以2C 的方程为： ()2219x y -+=，因为直线,PQ PR 分别切12,C C 于,Q R ，所以12,C Q PQ C R PR ⊥⊥，（2）依题意，设直线MN 的方程为()10x ty t =-≠， ()()1122,,,M x y N x y ，则()11M x y '-且1212,0x x y y ≠+≠，联立方程组221{143x ty x y =-+=，高考资源网版权所有，侵权必究！消去，并整理得()2234690t y ty +--=，点睛：考察椭圆得定义，求轨迹方程先要熟悉三大曲线的定义，根据定义去研究几何关系从而确定轨迹写出轨迹方程，在直线与椭圆得综合题型中要注意一般解法：联立韦达定理先写出来10. 【2017黑龙江哈师大附中三模】已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过椭圆C 中心的弦PQ 长为2，且090PFQ ∠=， PQF ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设12,A A 分别为椭圆C 的左、右顶点， S 为直线22x =直线1A S 交椭圆C 于点M ，直线2A S 交椭圆于点N ，设12,S S 分别为12A SA ∆， MSN ∆的面积，求12S S 的最大值. 【答案】（1）2212x y +=（2）见解析 【解析】（1）弦PQ 过椭圆中心，且2PFQ π∠=，所以112c OF PQ ===， 不妨设()0000,(,0)P x y x y >所以000121012PFQ SOF y y x b =⋅==⇒=⇒=高考资源网版权所有，侵权必究！所以椭圆方程为2212xy+=12221222·91··33A SAMSNS SA SA t tS SM SN t t++==++()()()22222933214·333t tt⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦≤=+当且仅当22933t t+=+，即3t=±时取“”。
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【2008高考北京理第4题】若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
2. 【2013高考北京理第6题】若双曲线22
221x y a b
-=的离心率为3，则其渐近线方程为( )．
A ．y ＝±2x
B ．2y x =±
C ．1
2
y x =±
D ．22y x =± 3. 【2009北京理第12】椭圆22
192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =_________；
12F PF ∠的小大为__________.
4. 【2010高考北京理第13题】已知双曲线22221x y a b
-=的离心率为2，焦点与椭圆22
1259x y +=的焦点相同，那么双
曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．
5. 【2011高考北京理第14题】曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点
的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则1
2
F PF V 的
面积不大于
2
12
a .其中，所有正确结论的序号是____________. 6. 【2012高考北京理第12题】在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线
=4x 的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B 两
点.其中点A 在x 轴上方。
若直线l 的倾斜角为60o.则△OAF 的面积为____________.
7. 【2014北京理第11题】设双曲线C 经过点（2,2），且与2
214
y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 .
8. 【2005高考北京理第18题】如图，直线l 1：)0(>=k kx y 与直线l 2：kx y -=之间的阴影区域（不含边界）记为
W ，其左半部分记为W 1，右半部分记为W 2.
（Ⅰ）分别用不等式组表示W 1和W 2；（Ⅱ）若区域W 中的动点P （x ，y ）到l 1，l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）设不过原点O 的直线l 与（Ⅱ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3，M 4两点. 求
证△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合.
9.
【2006北京理第19题】（本小题共14分）
已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条||||PM PN -=记
动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；
（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅u u u r u u u r
的最小值.
10. 【2008北京理第19题】已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=o
时，求菱形ABCD 面积的最大值．
11.
【2009北京理第19】已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>x =（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 是圆22
:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交
于不同的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值.
12. 【2010高考北京理第19题】 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P 是动点，且直
线AP 与BP 的斜率之积等于－13
. (1)求动点P 的轨迹方程；
(2)设直线AP 和BP 分别与直线x ＝3交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点
P 的坐标；若不存在，说明理由．
13. 【2011高考北京理第19题】已知椭圆G ：2
214
x y +=，过点（m ，0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B
两点。
（1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（2）将||AB 表示为m 的函数，并求||AB 的最大值。
14. 【2012高考北京理第19题】（本小题共14分）已知曲线()()()22:528C m x m y m -+-=∈R .
（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；
（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与 曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N 三点共线.
15. 【2013高考北京理第19题】已知A ，B ，C 是椭圆W ：2
4
x ＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．
(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．
16. 【2014高考北京理第19题】（本小题满分14）已知椭圆C ：22
24x y +=.
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆22
2x y +=的位置
关系，并证明你的结论.
17.
【2015高考北京，理10】已知双曲线()2
2210x y a a
-=>0y +=，则a = ．
18. 【2015高考北京，理19】已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>，点()01P ，
和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；
（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
19. 【2016高考北京理数】双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直
线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________.
20. 【2016高考北京理数】已知椭圆C ：22
221+=x y a b
（0a b >>） ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，
OAB ∆的面积为1.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.
21【2017高考北京理数18】已知抛物线C ：y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,1
2
)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ,B ，其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.
22(2018北京理19)已知抛物线2
:2C y px =经过点()1,2P .过点()0,1Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ,
且直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N (I)求直线l 的斜率的取值范围:
(Ⅱ)设O 为原点,,QM QO QN QO λμ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ,求证:11
λμ
+ 为定值
DB 3、
【答案】2,120︒
4、【答案】 (±4,0)
±y ＝0 5、【答案】②③ 6、【答案】3
7、
【答案】
112322=-y x ；x y 2±= 8、 9、22
x y 122
－＝
10、20x y ++= 43 1122
12y x -= 90︒ 12、(5
3
)．
13、,2|
|3
||343
|
|34||2
≤+
=+=
m m m m AB
16、【答案】（1）22；（2）直线AB 与圆22
2x y +=相切 17、
【答案】3
18
【答案】(1)
2
212x y +=,(,0)1m
M n
-,(2)
存在点Q （0，±
19、2 20【答案】（1）2
214
x y +=；（2）详见解析.。