悬链线微分方程的另一种解法_张养利
架空线悬链方程的积分普遍形式
在高压架空线路的设计中，不同气象条件下架空线的弧垂、应力、和线长占有十分重要的位置，是输电线路力学研究的主要内容。
这是因为架空线的弧垂和应力直接影响着线路的正常安全运行，而架空线线长微小的变化和误差都会引起弧垂和应力相当大的改变。
设计弧垂小，架空线的拉应力就大，振动现象加剧，安全系数减少，同时杆塔荷载增大因而要求强度提高。
设计弧垂过大，满足对地距离所需杆塔高度增加，线路投资增大，而且架空线的风摆、舞动和跳跃会造成线路停电事故，若加大塔头尺寸，必然会使投资再度提高。
因此设计合适的弧垂是十分重要的。
架空线悬链方程的积分普遍形式假设一：架空线是没有刚度的柔性索链，只承受拉力而不承受弯矩。
假设二：作用在架空线上的荷载沿其线长均布；悬挂在两基杆塔间的架空线呈悬链线形状。
由力的平衡原理可得到一下结论：1、架空线上任意一点C 处的轴向应力σx 的水平分量等于弧垂最低点处的轴向应力σ0，即架空线上轴向应力的水平分量处处相等。
σx cos θ=σ02、架空线上任意一点轴向应力的垂直分量等于该点到弧垂最低点间线长L oc 与比载γ之积。
σx sin θ=γL oc推导出： 0tg Loc γθσ=dy Loc dx γσ= 即 0'y Loc γσ= （4-3） 由（4-3）推导出10()dy sh x C dx γσ=+ (4-4) 结论：当比值γ/σ0一定时，架空线上任一点处的斜率于该点至弧垂最低点之间的线长成正比。
最后推到得到架空线悬链方程的普遍积分形式。
C1、C2为积分常数，其值取决于坐标系的原点位置。
0(1)20y ch x C C σγγσ=++ （4-5）等高悬点架空线的弧垂、线长和应力等高悬点架空线的悬链方程等高悬点是指架空线的两个挂点高度相同。
由于对称性，等高悬点架空线的弧垂最低点位于档距中央，将坐标原点取在该点，如图：0(1)0y ch x σγγσ=- （4-6） 由上式可以看出，架空线的悬链线具体形状完全由比值σ0 /γ决定，即无论何种架空线、何种气象条件。
微分方程第二边界条件
微分方程第二边界条件一、什么是微分方程第二边界条件？在解微分方程时，我们常常需要给出两个边界条件，即在自变量的两个特定取值点上给出因变量的值。
这两个边界条件可以是函数值、导数值或者函数值与导数值的组合。
其中，微分方程第二边界条件指的是在自变量的第二个取值点上给出因变量的值。
微分方程第二边界条件在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们将通过几个例子来说明。
1. 悬链线问题悬链线是指一根无质量、柔软的绳子自重下悬挂在两个固定点之间的形状。
我们可以通过微分方程来描述悬链线的形状，并通过给定的边界条件求解。
其中，微分方程的第二边界条件是绳子的一端固定在一个点上，即在该点上给出了绳子的位置。
2. 热传导问题热传导是指热量在物体中的传递过程。
我们可以通过热传导方程来描述物体内部的温度分布，并通过给定的边界条件求解。
其中，微分方程的第二边界条件是在物体的边界上给出了温度的变化情况。
3. 电容器充放电问题在电路中，电容器充放电是一个常见的问题。
我们可以通过电路方程和电容器的特性方程建立微分方程模型，并通过给定的边界条件求解。
其中，微分方程的第二边界条件是在充电或放电过程中给出了电容器的电压。
三、微分方程第二边界条件的意义微分方程第二边界条件的给定，可以帮助我们确定唯一的解。
在实际问题中，我们常常需要通过给定的边界条件来求解未知的物理量，例如温度、电压等。
微分方程第二边界条件的应用，可以帮助我们预测和解决各种实际问题。
四、总结微分方程第二边界条件在解微分方程时起着重要的作用。
通过给定的边界条件，我们可以确定微分方程的唯一解，从而解决实际问题。
无论是悬链线问题、热传导问题还是电容器充放电问题，微分方程第二边界条件都有着广泛的应用。
通过研究和理解微分方程第二边界条件的意义，我们可以更好地应用微分方程解决实际问题，推动科学技术的发展。
关于悬链形状的讨论
令 W0g/T0 =a,从上式中解得： f’(x) =1/2(eax - e-ax) = sh(ax) ……. ⒃ 那么，可以解出f(x)与x的关系： f(x) =1/a .ch(ax) +c1 ……. ⒄ 选取适当的坐标系，总能找到适当的坐标 系使得c1=0,因而： 1 ch(ax) (其中a=gW /T ) f(x) = a 0 0
对上式去微分，从而有： T0f’’(x) = S’W0g 也即： T0f’’(x) = W0g. √1+f’2(x) 对上式变形即的⑥式． 对方程⑥两边同取积分得： ln|f’(x)+√1+f’2(x)
……. ⒀ ……. ⒁
W0 x |= + c …….⒂ T0
考虑到初值条件f’(0)=0,c=0 ⒂可化为 ln|f’(x)+√1+f’2(x) |=
由上面的推导可知密度均匀的链在其自身 重力作用下所形成的形状是双区余弦函数的 形状，并且这条链的形状是关于轴对称的． f(x)的解析式中有一个待确定的常数T0(也 可以说是a).设链的长S.两悬点在坐标系上的 坐标分别是(x1,y1),(-x2,y2).其中x1,x2 y1,y2均大 于零，那么有： S =∫√1+f ’2(x) dx
关于悬链 形状的讨论
2003级物理学 2003级物理学 刘志勇、刘 晨 刘庆逊、刘加东
#前言 前言
这篇文章主要讨论两点间柔软悬链 在其自身重力作用下所形成的形状的讨 论及相关展开。这个题目也许可看成一 道数学应用题，但关键是为了了解悬链 的形状与哪些物理量有关。
首先，我们讨论一种相对简单的情形，即 悬链的线密度为一常量ω0。因而，建立坐 标，使Y轴通过悬链的最低点，并且设最低 点处悬链的张力为T0。可以肯定，其他物 理量确定后，T0为常数。
悬链线方程的求解及其应用
= 5. 70 kN 式中 f ——阻力系数, 取 0. 18
8 ——船体浸水面积, 1 500 m 2 v ——水流速度, 取 v = 1. 5 m s 波浪漂流阻力:
R 3=
3 4
k
ΘgB
(
1 4
H
1
3) 2co s0°× 10-
2 kN
= 0. 75 × 0. 7 × 104. 61 × 9. 8 × 15. 8
解: 通过程序进行计算, 并将计算过程汇总于表 3:
(3) 已知该浮船坞某锚链的挂链力 T = 1 623. 5 kN , 若要求沉石不产生上拔力, 求该链抛锚距离 x 的最小值。
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1 000
27 560
14 330
2
990
26 006
13 530
3
980
24 539
12 770
悬链长 L (m )
27 733 26 179 24 711
悬链重 G (t)
1 433 1 353 1 277
Β角 (°)
89164 89162 89159
是否满足 y= h
不满足 不满足
160. 76
选取锚重:
G = R 5= 8 963 5= 1 793 kg (取锚的抓重为 5;
实取 2 000 kg 斯贝克锚 2 只为首锚, 备用锚一只)
选取锚机: 5 46～ 48 电动锚机。
9. 554 9. 553 9. 553
46. 83 46. 82 46. 82
悬链线的实际解法 -回复
悬链线的实际解法-回复悬链线，也被称为悬臂悬链线，是指在一个绳子或链条的一端固定，另一端悬挂物体的情况下，求解该绳子或链条的形状和张力分布。
悬链线的实际解法，以悬链线的特性、方程的建立和解方程的方法为主题。
本文将一步一步回答有关悬链线的实际解法，并对解法进行详细的解释。
第一步：了解悬链线的特性悬链线的特点是其形状和张力分布在重力作用下达到平衡状态。
这意味着在整个线的长度上，每一点的受力都满足力的平衡方程。
在任何一段绳子或链条上，张力的大小和方向都是连续变化的。
第二步：建立悬链线的方程悬链线的形状可以通过建立方程来描述。
首先，我们假设悬链线的形状为一个函数y(x)，其中x表示线的长度，y表示线的高度。
我们可以使用一些基本的物理原理，如受力平衡和力的投影等，来推导出悬链线的方程。
考虑悬链线上一小段dx的任意一点P，其坐标为(x,y)。
根据受力平衡，我们可以得到以下方程：1. 排除重力的作用下，绳子在x方向上的受力为零，即-T * sinα+ T * sin α+ T * dy/dx * cosα= 0。
2. 在y方向上，绳子的受力等于该点的重力，即-T * cosα+ T * cosα+ T * dy/dx * sinα= -dmg。
α表示绳子在该点的倾角，m表示单位长度的绳子或链条质量，g表示重力加速度。
根据三角函数的定义，我们有sinα= dy/ds，cosα= dx/ds，其中ds 表示线元的长度。
结合上面的方程，我们可以得到以下方程：-T * dy/ds * dx/ds + T * dy/ds * dx/ds + T * dy/ds * dy/dx = -dmg。
第三步：解方程现在我们可以解上述的方程，以得到悬链线的形状和张力分布。
为简化计算，我们可以将方程重新组织如下：-T * dx = -dy/ds * T * dx * sinα- dy/ds * T * dx * sinα- dy/dx * T * dy/ds * dx * sinα+ mg * ds。
第10讲 链形悬挂的状态方程及安装曲线
2 2 Tc1 Wx2lD Tcx W12lD t x (t1 ) 2 2 24 Z1 ES 24 Z x ES
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第10讲 链形悬挂的状态方程及安装曲线
课间休息！
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第10讲 链形悬挂的状态方程及安装曲线
10.4 半补偿链形悬挂状态方程起始条件的确定
简单悬挂安装曲线的绘制 第一步：确定接触悬挂的计算负载； 第二步：确定并计算当量跨距，取为5的 整倍数； 第三步：计算临界跨距； 第四步：确定起始条件； 第五步：利用状态方程，计算张力－温度 对照表； 第六步：计算接触线弛度与温度对照表。 注意：每一个实际跨距有一条弛度-温度曲线； 张力温度曲线是一个锚段一条 曲线。 第七步：根据张力温度对照表和弛度温度 对照表绘制安装曲线
2 2 Tc1 Wx2lD Tcx W12lD t x (t1 ) 24 Z12 ES 24 Z x2 ES
临界负载
链形悬挂承力索即将产生最大张力时的合成负载，承力索的最 大张力既可能出现在最大覆冰时，也可能出现在最低温度时。
t1 t min
W1 Wt min qo (1
承力索和接触线相互作用，承力索承受自重负载、附加负载、接触线自重负载 和附加负载。 在未补偿链形悬挂中，承力索和接触线的张力和弛度都是变化的。 在半补偿链形悬挂中，接触线张力为一常数，与温度变化无关。承力索的张力 和弛度随气象条件和接触线负载变化而变化，接触线弛度取决于承力索弛度的变化 在全补偿链形悬挂中，承力索和接触线的张力为一常数，其弛度也与温度无关
f Fcx Fc 0 h
= =
f ( Fcx Fc 0 )
(l 2 e ) 2 l2
4e(l e) ( Fcx Fco ) 1 l2
悬链线公式范文
悬链线公式范文悬链线曲线可以通过悬链线公式来描述，该公式是一种二次积分方程。
悬链线公式的推导可以追溯到17世纪，最早由数学家伽利略提出。
早期的研究主要关注两个重要参数，悬链线的弧长和张力。
在此基础上，经过长期的发展和改进，悬链线公式逐渐完善起来。
y = a * cosh(x/a)其中，y表示曲线上其中一点的纵坐标，x表示该点距离对称轴的横坐标，a是曲线的挂链长度。
这个公式可以用来计算悬链线上任意一点的位置。
在特定的条件下，可以通过解析法或数值计算的方法，确定悬链线上任意一点的坐标。
首先，我们考虑悬链线上其中一点的切线斜率。
根据物理学知识，悬链线上任意一点处切线的斜率等于该点处曲线的斜率。
而曲线的斜率可以通过曲线的微分方程来表示。
因此，我们可以通过微分方程计算出悬链线上其中一点的切线斜率。
接下来，我们将斜率表示为dy/dx的形式，并对其进行积分得到y关于x的函数表达式。
为了求解这个积分方程，我们使用变量代换来简化计算。
最后，我们对积分方程进行求解，得到了悬链线公式。
悬链线公式的应用非常广泛。
在物理学中，它可以用来描述悬链线的形状和张力分布。
在工程学中，悬链线公式可以应用于吊桥、电线杆、挂钟和索道等结构设计。
悬链线的形状对于这些结构的稳定性和载荷分布具有重要影响。
总之，悬链线公式是一种描述悬链线形状的数学公式。
它的推导过程比较复杂，需要运用高等数学知识。
悬链线公式的应用涵盖了物理学和工程学等领域，对于研究结构的稳定性和计算载荷分布非常重要。
悬链线方程课件ppt
【属于4-1】对于实腹拱
g 调整前拱轴系数: m
j
g
d
调整后拱轴系数:
g'
m g '
j '
d
gx –假载,一层均布荷载
'
g g g
m g g g '
j '
j
x
d
d
x
gx得符号当m’>m时为负;m’<m时为正
【属于4-1】对空腹拱
◎调整拱轴系数,使拱跨1/4点得拱轴线坐标y 1/4改变; ◎假载gx可用下式求:
4-5 主拱施工验算
保证施工中主拱得强度满足要求、稳定性可靠,防止倾 覆;合理确定施工加载程序,拱圈吊运过程构件内力, 各种临时措施,如吊点得位置,拱圈分段位置、辅助索 内力。
◎无支架施工得大、中跨径拱桥,需验算拱得纵、横向稳定 性;
3-2-1、 纵向稳定性
◎将拱圈换算为相当长度得压杆,按平均轴向力计算; 验算公式:
◎当主拱得长细比大于规范规定得数值时,按临界力控
制稳定;
临界平均轴向力
K1
NL Nj
4
~
5
N R A
b
/
荷载效应计算的平均轴向力
j
am
3-2-2、横向稳定性
2)整体浇筑,一般地区相当于降 低20℃,干燥地区30℃;分段 浇筑10~15℃;装配结构5～ 10℃;
3)考虑混凝土徐变影响,计算收 缩内力可采用0、45得 折减 系数;
2-6 拱脚变位引起得附加内力
1)拱脚相对水平位移 2)拱脚相对垂直位移 3)拱脚相对转角
三、主拱得强度及稳定性验算
*根据最不利情况得荷载内力组合,验算控制截面得强度及 拱得稳定性;
悬链线方程的推导过程
悬链线方程的推导过程悬链线是一种曲线，其形状类似于悬链。
悬链线最早由德国数学家焦若贝利在1725年所提出，也被称为Catenary（猫enary）曲线。
这条曲线具有许多独特的性质和应用领域，因此悬链线的推导过程也非常有趣。
悬链线的推导涉及到一些微积分和几何的知识。
在这里，我将尽量简明扼要地介绍悬链线方程的推导过程。
第一步：设定问题和坐标系我们假设有一根不可伸长、重力平均作用于其上的悬链线。
我们希望找到这条悬链线的方程。
为此，我们首先将悬链线放在一个笛卡尔坐标系中。
设悬链线的轴线为x轴，y轴垂直于轴线。
第二步：表示悬链线的参数方程为了表示悬链线，我们引入参数t，表示悬链线上任意一点的位置。
我们假设悬链线的最低点为原点O(0, 0)，则悬链线的参数方程可以表示为：x = at， y = bch(a)，其中a和b是任意的正数，c是一个常数，表示悬链线的形状。
第三步：应用欧拉－积分方程为了求解悬链线的参数方程，我们需要应用欧拉－积分方程。
欧拉－积分方程是描述弹性形体的自平衡状态的一个重要方程。
我们令L表示悬链线的弧长，则有：L = ∫√(1 + (dy/dx)²)dx将悬链线的参数方程带入上式，可以得到：L = ∫√(1 + (a² + b²ch²(a)²)dt第四步：求解悬链线弧长的积分通过对上式中的积分进行变量替换和一些微积分的技巧可以求得L的积分形式。
最终我们得到：L = ∫csch(a)da，其中csch(a)是双曲正弦函数的倒数，定义为csch(a) = 1/sinh(a) = (2e^a)/(e^2a - 1)第五步：应用数值积分方法由于上述积分无法通过标准的解析方法求解，我们可以应用数值积分方法来计算L。
一种常用的数值积分方法是龙格－库塔法则，它可以在较高精度下计算复杂的积分。
第六步：求解悬链线方程通过数值积分得到L后，我们可以尝试通过方程L=c来求解a。
一般状态下悬链线方程的应用_王丹
文章编号 1671-7953(2007)03-0026-03一般状态下悬链线方程的应用王 丹 刘家新武汉理工大学交通学院 武汉 430063摘 要 建立悬链线方程,分析悬链受力及方程的解法,结合实例运用悬链线方程计算锚链参数,完成工程船在具体海况下的锚泊设备选型。
关键词 悬链线方程 锚泊设备 工程船舶中图分类号 U 662 文献标识码 AApplication of the catenary curve 's equation in common conditionWANG D an LIU Jia -xinScho ol o f T r anspor tatio n W uhan U niver sity of T echnolog y W uhan 430063A bstract T his paper deduces the catenary cur ve 's equation in common conditio n ,discusses about the loading in the catenary cur ve.W ith an e xample ,the autho rs analy ze a pplica tion of the catena ry curv e 's equa -tion in reality which helps to cho ose the suitable a nchor equipments on eng ineering shipKey words equatio n o f catenar y curve anchor equipment eng ineering ship收稿日期 2006-09-20修回日期 2006-10-30作者简介 王 丹(1980-),女,硕士生。
工程船舶在海上定位时既要考虑风、浪、流载荷的影响,还要充分考虑施工区域的水深、周围环境及障碍物的影响。
带悬锤的悬链线方程求解及其简化方法
—
／
一
图 １ 锚 链 受 力 图
图 ２ 力 系平 衡 图
锚链 一端受到水平预张力 （ ｋ Ｎ），并在其
均 匀 分 布 的 自重 力 作 用 下 产 生 下垂 。设 锚 链 水 中 单 位重 力 为Ｗ （ ｋ Ｎ ／ ｍ ）， 建 立 如 图 ｌ 所 示 的直 角坐 标 系 ，并设 锚链 曲线对应 的 函数 为 ｙ － ｆ（ Ｘ）
ｗ ｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｉ ｓ ｏ ｔ ｆ ｅ ｎ ｎ ｅ ｅ ｄ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ａ ｎ ｃ ｈ ｏ ｒ ｃ ｈ ａ ｉ ｎ ． Ｂ ｕ ｔ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｉ ｓ ｎ ｏ ｅ ｘ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｏ ｆ ａ ｎ ｃ ｈ ｏ ｒ ｃ ｈ ａ ｉ ｎ ｗｉ ｔ ｈ ｓ ｕ ｓ ｐ ｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ｗｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ， ｗｈ ｉ ｃ ｈ ｄ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍｉ ｎ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｐ ｉ ｅ ｒ ａ ｐ ｒ ｏ ｎ ｄ ｅ ｐ ｔ ｈ ａ ｎ ｄ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｅ ｓ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ａ ｄ ａ ｐ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｉ ｅ ｒ ． Ｔｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｍａ ｉ ｎ ｌ ｙ
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｍｏ ｏ ｒ ｉ ｎ ｇ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｌ ｆ ｏ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｐ ｉ ｅ ｒ ， ｉ ｎ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｔ ｏ ｄ ｅ ｅ ｐ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｄ ｅ ｐ ｔ ｈ ｏ ｆ ｗ ａ ｔ ｅ ｒ ， ｓ ｕ ｓ ｐ ｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ
Ｌ Ｉ Ｕ Ｙｏ ｎ ｇ — ｇ ｕ ｆ Ｎ ｉ ｎ ｇ ｂ ｏ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｃ ｏ ｍ ｍｕ ｎ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ Ｗａ ｔ ｅ ｒ Ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｐ ｏ ｒ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ａ ｎ ｄ Ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ Ｃ ｏ ． ， Ｌ ｔ ｄ ． ， Ｎ ｉ ｎ ｇ ｂ ｏ ３ １ ５ ８ ０ ０ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
悬臂梁挠度方程的伽辽金法
悬臂梁挠度方程的伽辽金法
悬臂梁挠度方程是一个二阶微分方程，常常使用伽辽金法求解。
伽辽
金法是一种基于离散化的数值解法，利用有限元方法将连续问题转化为离
散问题，然后通过求解离散问题得到连续问题的近似解。
具体步骤如下：
1.将悬臂梁分成n个小段，在每个小段内选择一个节点，称为节点i。
2. 假设悬臂梁在每个小段上的挠度分别为wi，则可以得到如下形式
的微分方程：
EIw''(xi)=Mi，其中EI为弯曲刚度，Mi为单位长度内的力矩。
3.将w(x)在节点i处展开为一次函数：
w(x)≈wi+ai(x-xi)+bi(x-xi)2。
其中ai和bi为待求系数。
4.将上述近似式代入微分方程中，得到：
EI(ai+2bi(x-xi))=Mi。
5.将上述方程写成矩阵形式：
[EI/h2 -EI/h2] [ai] = [Mi]。
其中h为小段长度。
6. 重复上述步骤，在每个小段上求解ai和bi的值。
7.最后将所有小段的近似式组合起来，得到整个悬臂梁的挠度分布。
需要注意的是，伽辽金法求解的是近似解，随着离散节点数的增加，
解的精度也会增加。
因此，在实际应用中需要根据需要选择合适的节点数。
悬链线的实际解法
悬链线的实际解法
悬链线是一种在两点之间的弯曲非直线路径，其形状由引力和张力共同作用的结果决定。
悬链线问题涉及到通过悬链线的自然形状来确定张力分布、曲线的形状等。
在实际工程中，解决悬链线问题通常需要使用微积分和静力学的原理。
以下是悬链线问题的实际解法步骤：
1. 建立力学模型：首先，你需要建立一个力学模型，考虑到重力和张力。
在悬链线问题中，张力始终沿着切线的方向作用于曲线上的点。
2. 使用微积分：通过微积分，你可以得到悬链线的微分方程。
这个方程描述了悬链线上各点处的曲率和张力之间的关系。
3. 解微分方程：求解微分方程，以获得悬链线的实际形状。
这可能需要使用数值方法或一些特殊的函数，具体取决于微分方程的复杂性。
4. 考虑边界条件：在解微分方程时，需要考虑边界条件，例如悬链线的两个端点的高度或位置。
5. 验证结果：解出的悬链线方程应该满足初始的边界条件，并且在整个曲线上保持平衡。
验证结果是否符合物理现象和力学规律。
请注意，悬链线问题可能会有不同的变体，例如考虑空气阻力、材料弯曲刚度等因素。
解决这些变体可能需要更复杂的模型和方法。
如果你有具体的悬链线问题或者更详细的背景信息，可以提供更多的细节，以便我能够提供更具体的帮助。
导线悬链线解析方程式
导线悬链线解析方程式因为计算过程会出现双曲函数，所以先简单了解一下双曲函数在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。
最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh 和双曲余弦函数cosh ，从它们可以导出双曲正切函数tanh 等，其推导也类似于三角函数的推导。
双曲函数的反函数称为反双曲函数，有反双曲正弦函数 arcsinh ，反双曲余弦函数arccosh ，反双曲正切函数 arctanh 。
双曲函数的定义和三角函数有如下关系sinhx=-isinixcoshx=cosixtanhx=\frac{sinhx}{coshx}=\frac{-isinix}{cosix}=-itanixi 是虚数单位sinhx 和 tanhx 都是奇函数， sinh(-x)=-sinhx ， tanh(-x)=-tanhxcoshx 是偶函数， cosh(-x)=coshx双曲正弦和双曲余弦导数关系:(求导方式就是把虚数单位 i 当成常数，其它步骤一样)(sinhx)'=coshx(coshx)'=sinhx双曲函数还可以用指数函数来表示根据欧拉公式 e^{ix}=cosx+isinx得 e^{x}=e^{i(-ix)}=cosix-isinix=coshx+sinhxe^{-x}=e^{i(ix)}=cosix+isinix=coshx-sinhx即 sinhx=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} ，coshx=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}接下来看悬链线悬链线是一根密度均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上，受重力的作用自然下垂后形成的曲线既然能保持平衡，那这根绳子上一定处处都满足二力平衡。
绳子受到重力以及自身张力假设一条不可伸长的线密度为 \rho 的绳子处于重力加速度为g 的重力场中，取绳子上某一小段受力分析，这小段在 x 轴上的投影是 dx小段绳子和水平面夹角的正切值就是悬链线方程在那一点的导数 y'可以证明，这段绳子的长度为dl=\frac{dx}{cos\theta}=\sqrt{1+tan^{2}\theta}dx=\sqrt {1+y'^{2}}dx图为受力分析所受重力为 mg=\rho dl=\rho g\sqrt{1+y'^{2}}dx ，受到的它前面那段绳子的拉力为T(x+dx)=(T_{x}(x+dx),T_{y}(x+dx)) ，且T_{y}=T_{x}y' ，它对后面那段绳子的拉力为T(x)=(T_{x}(x),T_{y}(x)) 。
悬链式方程
悬链式方程
摘要：
一、悬链式方程的定义与背景
1.悬链式方程的概念
2.悬链式方程的来源和发展
二、悬链式方程的数学模型
1.悬链式方程的一般形式
2.悬链式方程的物理意义
三、悬链式方程的求解方法
1.分离变量法
2.矩方法
3.数值解法
四、悬链式方程在工程中的应用
1.桥梁工程
2.输电塔工程
3.其他工程领域
正文：
悬链式方程是一种描述绳索、链条、电线等受力平衡问题的数学方程。
它的名字来源于悬链这个形象的概念，就像悬在空中的链条一样。
悬链式方程广泛应用于桥梁工程、输电塔工程等领域，对于分析和预测这些工程结构的安全性能具有重要意义。
悬链式方程的数学模型一般形式为：
u/t = cu/x
其中，u 表示绳索或链条的位移，t 表示时间，x 表示绳索或链条的长度，c 表示绳索或链条的传播速度。
悬链式方程的求解方法有分离变量法、矩方法、数值解法等。
其中，分离变量法是一种较为直观且易于实现的求解方法，但仅适用于一维问题。
矩方法则可以解决多维问题，但计算过程较为复杂。
数值解法则可以处理更复杂的问题，但精度受到数值方法的选取和计算步长的限制。
悬链式方程在工程中的应用十分广泛。
在桥梁工程中，悬链式方程可以用于分析桥梁的挠度、位移等受力性能，为桥梁设计提供理论依据。
在输电塔工程中，悬链式方程可以用于分析输电塔的挠曲变形和风振响应，以确保输电塔的安全稳定。
悬链线方程的推导过程
悬链线方程的推导过程悬链线 (Catenary) 是一种曲线，它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名。
适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其公式为：y = a*cosh(x/a)其中 a 是一个常数。
最低点处受水平向左的拉力H ，右悬挂点处受一个斜向上的拉力T ，设T 和水平方向夹角为θ，绳子一半的质量为m,受力分析有：Tsin Tcos θθ=mg,=H并且对于绳上任意一点有tan θ=dy/dx=mg/H ，ρmg=s其中s 是右半段绳子的长度, ρ是绳子密度,认为绳子截面积是1,带入得微分方程 ρdy/dx=s/H 利用弧长公式ds=(1+dy^2/dx^2)dx所以有，实际上就是弧长积分公式：⎰s=1+dy^2/dx^2dx所以把s 带入微分方程得ρ⎰dy/dx=1+dy^2/dx^2dx/H （1）对于(1)设p =dy/dx 并做微分处理可得：ρ=dp p'=/H 1+p^2dx（2） 对（2）分离常量求积分 dp ρ=⎰⎰1/Hdx 1+p^2 （3）得：ln()p x ρ+=1+p^2/H+C边界条件：x=0，dy/dx=0，代入后可得C 0=，整理后为：ln()p x ρ+=1+p^2/H （4）由))p p xρ==-=/H （5） 即得x x ρρ⎡⎤⎣⎦p=e^(/H)-e^(-/H)/2=dy/dx （6）x x ρρρ⎡⎤⎣⎦y=p=H/2e^(/H)+e^(-/H) （7）如果令ρa=H/的话，则有/(2)cosh(/)x a x a a a x a =⎡⎤⎣⎦y=p=e^(/)+e^(-/) （8） 即为双曲函数。
悬链线解答在斜拉索数值分析中的应用
悬链线解答在斜拉索数值分析中的应用
杨佑发;白文轩;郜建人
【期刊名称】《土木建筑与环境工程》
【年(卷),期】2007(029)006
【摘要】斜拉桥和斜拉索是几何非线性明显的结构.随着斜拉桥跨径的飞速增长,斜拉索的长度也大大增加,目前最长的斜拉索的水平投影长度已超过500 m,这大大超出了常用斜拉索的长度,原有理论的计算精度值得研究.由弹性悬链线静力解析解可推导出弹性悬链线单元,得到单元的刚度矩阵和单元的节点力向量,集成后得到结构的平衡方程.根据该方法,编制了弹性悬链线单元的有限元程序并进行实例计算.该程序可以一根索的任何一个参数值(如索端张拉力或测量预应力状态下的索长)为已知条件来确定索的状态,结果表明,该程序所需单元少、结果精度高,可方便应用于工程实践.建议超大跨度斜拉桥拉索的受力分析采用基于悬链线单元的分析方法.
【总页数】4页(P31-34)
【作者】杨佑发;白文轩;郜建人
【作者单位】重庆大学,土木工程学院,重庆,400045;中国建筑科学研究院,北
京,100013;重庆渝北区建设委员会,重庆,401120
【正文语种】中文
【中图分类】TU311
【相关文献】
1.浅谈通过 Excel 悬链线理论确定斜拉索无应力索长 [J], 晏国泰;陈海伟;谢金齐
2.弹性悬链线解答在斜拉桥施工控制无应力状态法的应用 [J], 郝俊
3.斜拉索悬链线精确解及应用 [J], 柯卫峰;陈涛;
4.基于悬链线型的斜拉索自由振动特性分析 [J], 李暾;肖志豪;杨雄伟
5.拉索的悬链线解答在斜拉桥调索中的应用 [J], 魏建东;刘忠玉
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悬链线方程
通常任何材料包括导线在内，都具有一定的刚性，但由于悬挂在杆塔上的一档导线相对较长，因此导线材料的刚性对其几何形状的影响很小，故在计算中假定：（1）导线为理想的柔索。
因此，导线只承受轴向张力（或拉力），任意一点的弯矩为零。
这样导线力学计算可应用理论力学中的柔索理论进行计算。
（2）作用在导线上的荷载均指同一方向，且沿导线均匀分布。
一、悬链线方程及曲线弧长1.悬链线方程为了分析方便，我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。
实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。
由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。
如图2－5所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。
图2-5导线悬链线及坐标系同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系。
根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。
我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。
首先在导线上任取一点D（x,y），然后分析OD段导线的受力关系，由图2－5所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D点承受拉力为T x=σx S，它与导线曲线相切，与x轴夹角为α；O点承受拉力为T0=σ0S，T0为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，故又称水平张力；此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSL x，其中L x为OD段导线的弧长。
将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2－6所示，图2-6导线受力情况由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于零。
或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。
垂直方向分力G=T x sinα=gSL x;水平方向分为T0=T x cosα=σ0S。
微分方程应用_行星轨迹_悬链线_谐振子_变质量运动
代入到原方程得
A12 cost A22 sin t 2 ( A2 cost A1 sin t) 02 ( A1 cost A2 sin t) f0 cost
((0022
2 2
) )
A1 A2
2A2 2A1
f0 0
A1
(02
(02 2 ) f0 2 )2 42
2
,
A2
(02
2 f0 2 )2 42 2
m e r
F (r )er
F (r)
r r
m
e
x
x r
F (r)
me
y
y r
F (r)
m
e
z
z r
F (r)
x xf (r )
y
yf (r)
z zf (r )
恒星质量 ms
行星质量 me
引力
F(r)
f (r) F (r) mer
16
解
可以验证
zy yz 0
xz
zx
0
yx xy 0
1 2
1 v
1 k
/
g
1 v
1 k
/
g
d (v
k / g)
kgdt
ln 1v k / g 2 kgt C 1v k / g
1 v k / g eCe2 kgt 1v k / g
1 v k / g Ce2 kgt 1v k / g
代入初 始条件
t 0, v 0
得 C'=1
v
g 1 e2 kgt k 1 e2 kgt
绳长 L，两端点坐标 （±a，0）. 求：该绳索在平衡状态时的曲线方程。
解： 取 x 至 x+dx 处的一段曲线微元， 弧长 ds，质量 dm=ρds
悬链线方程的推导
悬链线方程的推导一根无比柔软的绳子，两固定，自然静止状态下，它的形状是悬链线。
其实曲线是以绳子命名的。
如何根据绳子的受力来推导出悬链线方程呢？用高等数学所学的知识就够了。
第一步：背景知识 ㈠我们熟悉如何将)2sin(πα⋅+n 转化成余弦的形式，口诀是奇变偶不变，符号看象限。
现在扩展一下，研究正切、余切，正割、余割的转化口诀。
tanx cotx 转换：奇变号变偶不变。
也就是说，n 为奇数时，要转化成相反形式，且要补一个负号，n 为偶数时就不用变了。
secx cscx 转换：奇变偶不变，符号看象限。
我正弦、余弦非常相似。
㈡不定积分C x x C x x x x d x dx xdx C x x C x x x d x x d x x x dx x dx xdx ++=++-+=++==+-=+=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰tan sec ln )2cot()2csc(ln )2sin()2(cos sec cot csc ln 2tan ln 2tan 2tan 2tan 22sec 2cos 2sin 2sin csc 2ππππ求⎰+22ax dx，令t a x tan =，22ππ<<-t aC C C a x x C ax a a x C t t tdt a t a tdt a ln )ln(ln tan sec ln sec tan sec 1122222222-=+++=+++=++==+=⎰⎰㈢双曲余弦 chx e e y x x =+=-2 双曲正弦 shx e e y xx =-=-2反双曲余弦 x>0时，archy y y x =-+=)1ln(2； 反双曲正弦 arshy y y x =++=)1ln(2； 求导：shxchx chx shx ='=')()( 第二步：微分方程平衡方程：,0cos ,0sin =-⋅=-⋅H T gs T θρθ 解得：gH a dx y a y a s H gsx ρρθ='+='===⎰,11tan 02 边界条件：x=0 y=a ； x=0 y'=0。
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[ 3 ] 王 敏 ,徐 勇勇 . 军队 大病 患者住 院费 用及 用药情 况统 计分 析 [ J] . 医学与社会 , 1998; ( 2): 11- 15.
故解为 y=
a 2
(
x
ea
+
e-
x a
)=
a ch
x a
1. 2 解法 2 由解法 1得到 启示 ,我 们也可以 采用双曲代 换
来去掉根号 ,
令
y
'=
sht ,则
y "=
ah t
dt dx
,
则方程
(
1)可化为
dt dx
=
1 a
,
t=
x a
+
C1
于是 y '=
sh (
x a
+
C1 )
由初始条件 y '( 0) = 0,得 C1= 0
则 ( 1)式化为±
t t2 -
dt 1dx
=
t a
或±
adt = dx 积分得 t2- 1,
x = ± a 1n (t+ t2 - 1)+ C1
( 4)
又由 dy = y 'dx = adt,得 y= at+ C2
( 5)
由 ( 4) ( 5)消去参数 t 得 y=
a 2
(
e±
x
a
a
+
e
x- a
令
y’
=
tant ,则
y "=
s ec2 t
dt dx
,
则 ( 1)式化为
s ect
dt dx
=
1 a
,积分得
x= a 1n( sect+ tant )+ C1
( 2)
又∵ dy = y’ d x= ta nt· asectdt ,积分得
y= a sect+ C2
( 3)
由 ( 2)、 ( 3)联立 ,消去参数 t ,得
[ 6 ] 林 杉 ,罗卫东 . 我院是如何做好大病统筹工作的 [ J ]. 解放 军医 院管理杂志 , 1998; ( 2): 162. 编辑 袁天峰
· 经验交流· 文章编号: 1000-2790( 2001) S041-01
悬链线微分方程的另一种解法
张 养利 ,王连昌 ,李文潮 ,张改英 (第四军医大 学生物
[ 4 ] 陈文亮 ,毛常学 et al . 关于军 队医疗保障制度改革目标模式的 探 讨 [ J] . 解放军卫勤杂志 , 1999; ( 2): 70- 72.
[ 5 ] 高 炜 ,高 昱 . 军队医院适应国家医疗制度 改革的必要性及 几 点设想 [ J] . 国防卫生论坛 , 1999; ( 3) : 20- 22.
医学工程系数学教研室 ,陕西 西安 710033)
关键词: 悬链线 ;微分方程 ;参数法 中图号: R311 文献标识 码: E
0 引言 在高 等数学 和数学 分析等 教材中 ,对悬 链线微 分
方程的解法一般都是作为“可降解的高阶微 分方程”之第二种
类型
y "= f ( x , y’ )型的 例子出 现 ,我 们介绍 悬链线 微分
41
同时 ,参照地方社会医疗保险的做法 ,将医疗保险经 费分为个人帐户和统筹基金 ,分别归包干家属的平时 门诊和住院大病使用 ,以便有效减少军费的补贴 ,控 制包干家属医疗费用的不断上涨 .
参考文献:
[ 1 ] 刘 信 , 马广学 . 军队医院“皇 粮”不足的成因 及对策 [ J] . 军 事 经济研究 , 1999; ( 9): 66- 70.
方程的另一种解法 参数法 ,供 大家参考 .
悬链线微分方程为:
y "=
1 a
1+ y’ 2
( 1)
y ( 0) = a, y’ ( 0) = 0,其中 a> 0
1 解法 1. 1 解 法 1 观 察方程 的形式 ,借 鉴求 函数积 分的 换元法 ,
引入参数 t,设法将 1+ y2化为三角函数有理式 ,不 妨用三角 代换 ,
于是
y '=
sh
x a
,积分得
y=
a ch
x a
+
C2 ,由
y( 0)=
a 得 C2=
0
故
y= aCh
x a
可见 ,用双典函 数代换较三角函数代换简明的多 .
1. 3 解 法 3 令 1+ y '2 = t , 则 y '= ± t2 - 1, y "= ±
t dt t2 - 1 dx
y=
a 2
(e
xa
a+
e
x
a
a )+
C2
收稿日期: 2001-10-30; 修回日期: 2001-11-10 作 者简 介: 张养 利 ( 1963-) ,女 (汉族 ) , 陕西 省户县 人 . 讲师 , 学 士 .
Tel. ( 029) 3374833
由初始条件 y ( 0) = a, y’ ( 0)= 0,得 C1= 0,C2= 0,
第四军医大学学报 ( J Four th M il M ed U niv ) 2001; 22( Suppl)
另外 ,对大病和高额医疗费用的管理 [6 ] ,也可参照地 方的相关做法 , 制定相应的规定 . 如我们在住院包 干家属的医疗费用分类分析中 ,医疗费用超过 1万元 的人数只占 0. 5% , 但其费用却占 15. 4% . 如采取对 大额消费万元以上的包干家属实行部分收费 ,影响范 围不会很大 ,若参照地方有关部门制定的部分贵重药 品和大病统筹不予负担的药品目录要求 ,规范药品使 用 ,建立“特种检查、特种治疗、贵重药品费用审批表” 等形式 ,协调解决大病医疗过程中出现的各种问题 , 都可有效限制超标准和过度医疗消费 . 4. 3 向军人家属军内医疗保险体制过渡 设立军内 医疗保险机构 ,将总部下拨的军人家属人员补助费、 门诊补助费和床位费 ,以及个人缴纳的保险费 (原包 干费 )统一管理 ,通过增加保险费 (相当于包干费 )的 筹措比例 ,达到使家属医疗保险经费的筹集 ,在人均 数量上高于全国同期城镇人口医疗消费平均水平 .
a )+
C2
由初始条件 y ( 0) = a, y’ ( 0)= 0,得 C1= 0,C2= 0
于是 y=
a
2
(
e±
x
Hale Waihona Puke aa+
e
xa
a
)
=
ach
x a
2 讨论 将以上解 法与教材中介绍的的解法 进行比较 ,可以 发现解 法 2中 用双曲 代换较 为简便 . 当然 ,悬 链线微 分方 程
可能还有其他的解法 ,有兴趣者不妨一试 . 编辑 何扬举