【精品】分式运算的八种技巧
初二数学分式运算的一般方法
初二数学分式运算的一般方法
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
一、分段分步法
例1、计算：
分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。
解析：原式
二、分裂整数法
例2、计算：
分析：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
解析：原式
三、拆项法
例3、计算：
分析：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。
在解某些分式方程中，也可使用拆项法。
解析：原式
四、乘法公式法
例4、计算：
分析：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。
解析：当且时，
原式
五、巧选运算顺序法
例5、计算：
分析：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的。
解析：原式
六、见繁化简法
例6、计算：
分析：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。
解析：原式。
分式问题的多种解法
分式问题的多种解法分式是数学中常见的一种形式，通常表示为两个数之间的比值。
在解决分式问题时，我们可以采用多种不同的方法来求得最终答案。
本文将介绍几种常用的解法，帮助读者更好地理解和运用分式。
一、通分法通分法是解决分式加减法的常用方法。
当两个分式的分母不同的时候，我们需要通过求得它们的公共倍数，使它们的分母相同，然后再进行加减运算。
例如，对于分式$\frac{1}{2}$和$\frac{2}{3}$，我们可以先找到它们的最小公倍数为6，然后将两个分式都通分为$\frac{3}{6}$和$\frac{4}{6}$，最终得到$\frac{7}{6}$作为它们的和。
二、化简法化简法是解决分式问题的另一种常见方法。
当一个分式的分子和分母可以化简为最简形式时，我们可以将其化简为约分后的分式。
例如，对于分式$\frac{6}{9}$，我们可以化简为$\frac{2}{3}$，从而得到最简形式的答案。
三、换元法换元法是解决一些复杂的分式问题的有效方法。
通过引入一个新的未知数或变量，我们可以将原始分式转化为更容易处理的形式。
例如，对于分式$\frac{x+1}{x}$，我们可以引入一个新的变量$y=x+1$，从而将原始分式转化为$\frac{y}{y-1}$，然后再进一步求解。
四、倒转法倒转法是解决除法分式问题的一种重要方法。
当一个分式为除法形式时，我们可以将其倒转为乘法形式，然后再进行计算。
例如，对于分式$\frac{3}{4} \div \frac{5}{6}$，我们可以将其倒转为$\frac{3}{4} \times \frac{6}{5}$，然后再计算得到$\frac{9}{10}$。
五、代入法代入法在解决一些复杂的分式问题时也十分实用。
通过将一些条件或特定数值代入到分式中，我们可以简化问题的求解过程。
例如，对于分式$\frac{x}{y}$，如果给定$x=2$，$y=3$，我们可以直接代入这些数值得到$\frac{2}{3}$作为最终答案。
初中数学专题——分式运算的几种技巧，很实用！
初中数学专题——分式运算的几种技巧，很实用！
（一）合理运用逐项通分我是一个标题
例1:
常规策略：一次通分，然后化简。
巧妙解法：
画龙点睛：对分母应用平方差公式，依次合并两个分式，比全部通分要简便。
练习题：
（二）恰当利用拆项解题
例2：
常规策略：全部通分求解。
巧妙解法：
画龙点睛：化分式为部分分式，其实质就是把分母较复杂的分式拆成几个分母较简单的分式的代数和，能达到化繁为简的目的。
练习题：
（三）巧用换元法解题
例3：
常规策略：全部通分求解。
巧妙解法：设x－y＝a，y－z＝b,z－x＝c.
画龙点睛：通过观察发现，
x＋y－2z＝(y－z)－(z－x),
x＋z－2y＝(x－y)－(y－z),
y＋z－2x＝(z－x)－(x－y),
从而考虑用换元法。
练习题：
常规策略：可先解出方程的根，然后代入计算。
巧妙解法：将x4＋x3－4x2＋x＋1＝0方程两边除以x2，得
画龙点睛：注意x≠0时，方程两边才能同时除以x2.
练习题：
（五）设辅助参数
左边＝[a2＋(ak)2＋(ak2)2]
[(ak)2＋(ak2)2＋(ak3)2]＝
a4k2(1＋k2＋k4)2,
右边＝（a2k＋a2k3＋a2k5）2＝
a4k2(1＋k2＋k4)2
所以原式成立。
画龙点睛：遇到连比，可设辅助参数解题。
练习题：。
典中点分式专训2 分式运算的八种技巧
典中点分式专训2 分式运算的八种技巧
◐名师点金◑
分式的加减运算中起关键作用的就是通分．但对某些较复杂或具有特定结构的题目，使用一般方法有时计算量太大，容易出错，有时甚至算不出来，若能结合题目结构特征，灵活运用相关性质、方法、解题技巧，选择恰当的运算方法与技能，常常达到事半功倍、化繁为简的效果．
技巧1： 约分计算法
1．计算：a 2＋6a a 2＋3a －a 2
－9a 2＋6a ＋9
.
技巧2： 顺次相加法
2．计算：1x －1＋1x ＋1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1
.
技巧3： 整体通分法
3．计算：a －2＋4a ＋2
.
技巧4：换元通分法
4．计算：(3m －2n)＋（3m －2n ）33m －2n ＋1－(3m －2n)2＋2n －3m 3m －2n －1
.
技巧5：裂项相消法
5．计算：1a （a ＋1）＋1（a ＋1）（a ＋2）＋1（a ＋2）（a ＋3）＋…＋1（a ＋99）（a ＋100）
.
技巧6： 整体代入法
6．已知1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，求abc ab ＋bc ＋ac
的值．
技巧7：倒数求值法
7．已知x x 2－3x ＋1＝－1，求x 2x 4－9x 2＋1
的值．
技巧8：消元法
8．已知4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0，且xyz ≠0，求5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．。
分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
分式运算中的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法1在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。
现就分式运算中的技巧与方法举例说明。
一、整体通分法例1．化简：21a a --a-1 分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。
解：21a a --a-1=21a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 二、逐项通分法例2．计算1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b - 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法 解：1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b -=22()()a b a b a b +----222b a b +-3444b a b- =222b a b --222b a b +-3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b +----3444b a b - =3444b a b --3444b a b -=0 三、先约分，后通分例3．计算：2262a a a a +++22444a a a -++ 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算 解：2262a a a a +++22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242a a ++=2 四、整体代入法例4．已知1x +1y=5求2522x xy y x xy y -+++的值 解法1：∵1x +1y =5∴xy ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y+-++=25552⨯-+=57 解法2：由1x +1y=5得，x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy+-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57 五、运用公式变形法例5．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+41a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a=5 ∴a 4+41a =(a 2+21a )2-2=[(a+1a)2-2]2-2=(52-2)2-2=527 六、设辅助参数法例6．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc+++ 解：设b c a += a c b += a b c+=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ； 把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1若a+b+c ≠0，则k=2()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc⋅⋅=k 3 当k=-1时，原式= -1当k=2时，原式= 8七、应用倒数变换法例7．已知21a a a -+=7，求2421a a a ++的值 解：由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =87∴4221a a a ++=a 2+21a +1=(a+1a)2-1=1549 ∴2421a a a ++=4915八、取常数值法例8．已知：xyz ≠0,x+y+z=0,计算y z x ++x z y ++x y z+ 解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2. 则y z x ++x z y ++x y z+=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。
分式运算的常见应用技巧
∴不等式组的解集为－1<x<1，即整数x＝0，
则A＝－
1. 3
技巧10 整体法求值 12．【中考·齐齐哈尔】先化简，再求值：
1－ 2 x
x2－4 x＋4 － x＋4 ，
x 2－4
x＋2
其中x2＋2x－15＝0.
解：原式＝ x－2 x
( x－2)2 － x＋4 ( x＋2)( x－2) x＋2
可以用两点法画图象，列表：
x 0 1 描点连线，
y＝ 3 x 0 3 图象如图
2
2
y＝－3x 0 －3 所示．
课堂小结
正比例函数
图象：正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是 一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx. 性质：
当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从 左向右上升，y随着x的增大而增大；
当k＜0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从 左向右下降，y随着x的增大而减小．
＝
x－x 2·xx＋ －22
－
x＋4 x＋2
＝
x＋2－ x＋4 x x＋2
∵x2＋2x－15＝0，
( x＋2)2－x( x＋4)
＝
x( x＋2)
＝
4 x2＋2x ,
∴x2＋2x＝15. ∴原式＝ 4 .
15
点拨： 本题考查了分式的化简求值，解题关键是掌
握分式的基本运算．先按照分式计算的顺序(先算 乘除，再算加减)化简分式．再根据题目的需要， 灵活运用条件x2＋2x－15＝0转化整体代入求值．
图). 它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线.
感悟新知
知识点 1 正比例函数的图象
知1－讲
分式的运算技巧
分式的运算技巧分式的运算技巧包括四则运算、约分、通分和化简。
下面将一步步详细介绍这些技巧及其应用。
一、四则运算分式的四则运算包括加、减、乘和除。
加法和减法：先将分母化为通分的形式，然后在分子上进行加减运算即可。
求得结果后要记得将结果化简到最简形式。
例如：\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}乘法：将分数乘起来，然后将分子和分母分别约分。
例如：\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{8}{15}除法：将被除数和除数的倒数相乘，然后将分子和分母分别约分。
例如：\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{ 5}{6}二、约分约分是指将一个分数化为最简形式的过程。
分母和分子同时除以它们的最大公约数即为最简形式。
最大公约数可以通过辗转相除法求得。
例如：\frac{6}{12}=\frac{1}{2}，因为6和12的最大公约数是6，所以分母和分子同时除以6即可。
\frac{20}{25}=\frac{4}{5}，因为20和25的最大公约数是5，所以分母和分子同时除以5即可。
三、通分通分是指将两个或多个分母不同的分数化为相同分母的分数，使它们可以相加或相减。
通分步骤如下：1. 找到两个或多个分数的最小公倍数。
2. 将每个分数的分母变成最小公倍数，分子相应地乘上一个倍数。
3. 将分数的分子相加或相减，结果的分母与通分后的分母相同。
例如：\frac{2}{3}+\frac{1}{4}最小公倍数为12，分别乘以4和3得到通分后的分数：\frac{2}{3}\times\frac{4}{4}+\frac{1}{4}\times\frac{3}{3}=\frac{8}{12}+\frac {3}{12}=\frac{11}{12}四、化简化简是指将一个分式化为最简形式或将分式中的分子和分母进行因式分解的过程。
分式求值的常用技巧
分式求值的常用技巧分式是一种特殊类型的数学表达式，它包含有一个或多个数（称为分子）除以另一个数（称为分母）。
分式可以代表有理数和算术运算，例如加法、减法、乘法和除法。
在解决分式求值问题时，有一些常用的技巧可以帮助我们简化计算和得出结果。
1.化简分式首先，我们可以通过化简分式来简化计算过程。
化简分式的目的是找到分子和分母的最大公约数，并将分子和分母都除以它，使分式更简单。
例如，考虑分式12/24，我们可以找到最大公约数为12，并将分子和分母都除以12，得到1/2、这样，原分式就被化简为最简分式。
2.找到分子和分母的公因式在一些分式中，分子和分母可能有一个或多个公因式。
我们可以通过找到它们来简化计算。
例如，考虑分式16/24，我们可以发现分子和分母都可以被2整除。
我们可以将16除以2得到8，24除以2得到12，从而得到化简后的分式8/12、然后，我们可以继续找到8和12的最大公约数，并将它们化简为最简分式。
3.交换分子和分母的位置有时候，分式的分子和分母的位置可以互换。
我们可以利用这个性质来简化计算。
例如，考虑分式1/4，我们可以将分子和分母互换，得到4/1、然后，我们可以将4除以1得到4，从而得到最简分式44.将分式转化为小数形式有时候，将分式转化为小数形式可以更便于计算。
我们可以通过将分子除以分母来得到分数的小数形式。
例如，考虑分式3/5，我们可以将3除以5得到0.6、这样，我们就得到了分式的小数形式。
5.使用乘法和除法的性质在进行分式求值时，我们可以利用乘法和除法的性质来简化计算。
例如，考虑分式(2/3)*(4/5)，我们可以将分子和分母相乘得到8/15、同样的，如果我们考虑分式(2/3)/(4/5)，我们可以将分子乘以分母的倒数得到(2/3)*(5/4)，然后进行乘法操作得到10/12，最后化简为5/66.使用加法和减法的性质在进行分式求值时，我们还可以利用加法和减法的性质来简化计算。
例如，考虑分式(2/3)+(4/5)，我们可以找到两个分数的公共分母，然后将分子相加得到一个新的分数作为结果。
分式的混合运算技巧多
方法技巧分式的混合运算技巧多一、能用分配律，不先算括号内的例1计算：（12-22xx+）÷1xx+.分析：先把除法转化为乘法，再利用乘法分配律分别相乘，最后进行加减运算.解：原式=（12-22xx+）•1xx+=12•1xx+-22xx+•1xx+=12xx+-2xx=12x.二、能约分，不通分例2计算：（22444a aa-+--2aa+）÷12aa-+.分析：先观察式子，发现括号内的第一项约分后，就与第二项的分母相同，因此可先约分，再合并，最后将除法转化为乘法来计算.解：原式=（22aa-+-2aa+）•21aa+-=22a-+•21aa+-=-21a-.三、能去括号，不先通分例3计算：（1+1x）+（2x-21xx+）.分析：观察可知，先去括号，再把同分母的分式进行合并，这样比先将括号内的通分简便.解：原式=1+1x+2x-21xx+=1+2x+（1x-21xx+）=1+2x-2xx=1+2x-x=1+x.总结：在分式的混合运算中，如果能掌握一些小技巧，可以使运算更简捷，省时高效哦！第1页共1页。
分式运算的八种技巧
技巧1、直接约分法:
通过公式提公因式，直接约分即可！技巧2、整体通分法:
技巧3:顺次相加法:
先计算前两项，通分化简的结果再和第三项结合计算！技巧4:通分换元法
每个多项式有相同项的时候，可以考虑换技巧5:裂项相消法:
通过把每一项变形，达到与其它项相抵消技巧6:整体带入法
每一项通分整理后，把相同的项整体带入
技巧7:倒数求值法
直接求不方便，可先求其倒数
技巧8:消元法
多个参数计算，可用一个参数表示出其它
分式的基本性质，以及通分、约分都是分式运算的基础！。
分式运算的几种技巧
分式运算的几种技巧分式运算是数学中常见的一种运算形式，也是解决实际问题中经常使用的一种方法。
在进行分式运算时，我们可以运用一些技巧来简化运算，提高计算效率。
下面将介绍几种常用的分式运算技巧。
1.化简分式化简分式是指将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去分子和分母中的公因式。
这样可以使分式的形式变得更简单，计算也更方便。
例如，对于分式$\dfrac{4x^2}{8x^3}$，我们可以将分子和分母都除以$4x^2$，得到$\dfrac{1}{2x}$。
2.扩展分式扩展分式是指将分数表达式进行相乘或相除，以得到更大的分子或分母。
这种方法在化简有理函数、做分式方程的分母有理化等问题中经常使用。
例如，对于分数$\dfrac{1}{2}$，如果要得到一个分子为3的分式，我们可以将$\dfrac{1}{2}$扩展为$\dfrac{3}{6}$。
3.分解分式分解分式是指将分式分解为其它分式的和或差。
这种方法在化简复杂的分式、分数的加减运算等问题中非常有用。
例如，对于分式$\dfrac{3x+6}{2x+4}$，我们可以将其分解为$\dfrac{3(x+2)}{2(x+2)}$，然后约去分子和分母中的公因式，得到$\dfrac{3}{2}$。
4.分数的合并与拆分分数的合并与拆分是指将多个分数合并成一个分数，或者将一个分数拆分成多个分数。
这种方法在分数的加减运算中经常使用。
例如，对于两个分数$\dfrac{2}{3}$和$\dfrac{5}{6}$，如果要将它们合并成一个分数，我们可以找到它们的最小公倍数为6，然后将分子相加得到$\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{9}{6}$。
如果要将一个分数拆分成多个分数，我们可以找到它们的最大公约数，然后将分子和分母同时除以最大公约数。
5.分式的通分通分是指将两个或多个分母不同的分式的分母进行相乘，使它们的分母相同。
分式因式分解的方法与技巧
分式因式分解的方法与技巧一、利用分式的性质进行分解1.互质因式法：当分式的分子和分母没有公因式时，可以将分子和分母直接以括号括起来，形成一个整体，以简化表达式的形式。
例如：分解分式a/(b+c)时，可以直接写成a/[(b+c)]。
2.分子因式分解法：当分子为多项式时，可以尝试对分子进行因式分解，再将分母与因式分解结果进行组合。
例如：分解分式 (x^2 + xy)/[(x^2 + y^2)(x-y)]，可以先对分子进行因式分解，得到 x(x+y)/[(x-y)(x^2 + y^2)]，再将分子与分母组合。
3.分母因式分解法：当分母为多项式时，可以尝试对分母进行因式分解，再将分子与因式分解结果进行组合。
例如：分解分式(x^2+2x+1)/(x^3-1)，可以将分母进行因式分解，得到(x-1)(x^2+x+1)/(x-1)(x^2+x+1)(x+1)，然后将分子与分母的公因式相消。
二、利用分母的无理根进行分解当分母中存在无理数根，如√2、√3等时，可以通过有理化的方法将分母有理化，再进行分解，以简化计算。
例如：分解分式1/(√2+√3)，首先采用有理化的方法将分母有理化为(√2-√3)(√2+√3)，再将分子与有理化后的分母相乘即可。
三、利用分式的运算性质进行分解1.加减法性质：分式的加减可以通过找到公共分母，对分子进行加减来简化计算或分解。
例如：分解分式(a/c+b/c)/(d/c-e/c)，公共分母为c，分子可以写成(a+b)/c，分母可以写成(d-e)/c，再将分子与分母相除即可简化。
2.乘法性质：分式的乘法可以将分子与分母的公因式化为一个因式，从而简化计算或分解。
例如：分解分式 (a^2b^3cd^2)/(8abc^2d^3) ，分式中的公因式有 a、b、c、d，可以将公因式取出，得到 (ab^2d)/(8d^3)，再简化计算。
四、利用分式的逆运算进行分解有时可以利用分式的逆运算，如倒数运算、分子分母对调等，将分式进行变换，再进行分解。
分式运算的几种技巧
分式运算的几种技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一、 整体通分法例1 计算：211---a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a -1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 【解】2222(1)(1)(1)(1)11(1)111111+--+---=-+=-==------a a a a a a a a a a a a a a a a 二、 先约分后通分法例2 计算22212324+-++-+x x x x x x分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。
解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x三、 分组加减法例3计算21-a +12+a -12-a -21+a分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。
解：原式=（21-a -21+a ）+（12+a -12-a ） =442-a +142--a =)1)(4(1222--a a四、 分离整数法例4 计算3x 4x 4x 5x 2x 3x 1x 2x -----+++-++ 方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
解：原式=(1)1(2)1(4)1(3)11243++++-----+-++--x x x x x x x x =1111(1)(1)(1)(1)1243+-++---++--x x x x =11111243--+++--x x x x =。
八下数学分式计算技巧 人教版
八下分式运算技巧分式运算,一要准确,二要迅速,其中起着关键作用的就是通分. 但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，对于分式的通分,要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧.一、逐步通分法 例1 计算2111111xxx++++-分析：此题若采用将各项一起通分后相加的方法，计算量很大．注意到前后分母之间存 在着平方差关系，可逐步通分达到目的．解：原式=221212xx++-=414x-评注：若一次通分，计算量太大，利用分母间的递进关系，逐步通分，避免了复杂的计算．依次通分构成平方差公式，采用逐步通分，则可使问题简单化。
二、整体通分法 例2 计算112+-+a a a分析 题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式=11111)1)(1(1222+=++-=++--+a a a a a a a a a评注：此题是一个分式与多项式的和，若把整个多项式看作分母为1的分式，再通分相 加，使得问题的解法更简便．三、分裂整数法 例3. 计算：34452312-----+++-++x x x x x x x x分析 如果几个分母不同通分时可使用分裂整数法，对分子降次后再通分. 31412111)311()411()211()111(313414212111:-+--+-+=-----+++-++=-------++++-+++=x x x x x x x x x x x x x x x x 原式解)4)(3(1)2)(1(1)3)(4()4(3)2)(1()1(2---++=------+++-+=x x x x x x x x x x x x)4)(3)(2)(1(23127)4)(3)(2)(1()2)(1()4)(3(22--++---+-=--+++----=x x x x x x x x x x x x x x x x)4)(3)(2)(1(1010--+++-=x x x x x评注：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
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a a
1 2
·
a2 4 a2 2a
1
÷
1 a2
，其
1
3、计算： x 3y － x 2 y + 2x 3 y 。 x2 y2 x2 y2 x2 y2
4、化简：
2x x1
2x x2
4 1
÷
x2
x
2 2x
，然后在不等式
1
x
≤ 2 的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
7、已知两个式子：
A=
4
2
， B= 1 ＋
x4
＜，
33
15、计算： 1 － 2 ＋ 2 － 1 。 x 2 x1 x1 x 2
a 4 a 3b a 2b 2 16、计算： a 3b ab 3 2a 2b 2
a 3 ab 2 a2b b3
1
1
2
17 计算：
1
x
1
x
1
x2
18、计算：
1
1
1
x x( x 1) (x 1)( x 2)
1 (x 2017 )( x 2018)
22、计算：（ 1+ 1 ）÷ x 2 · x 1
1x
x1 x 2
2
23、先化简：（
2x x2
2x 1
-
x2 x x2 2x
）÷
1
x ，然后解 x1
答下列问题： （ 1）当 x=3 时，求分式的值 . (2) 原分式的值能等于－ 1 吗？为什么？
24、先化简， 再求值： (
a a2
其中 a 满足 a2-4a-1=0.
。
ab
11
2a 5ab 4b
10、已知 + =3，则式子
=
。
a 2b
4ab 3a 6b
m
n
11、已知
－
=
x 17
，求
22
m+n
的值。
x 3 x 2 (x 3)( x 2)
2 xy
x2
5、已知 M= x2 y 2 ， N= x2
y2
4 xy
y2 ， P= y 2 x2 ，用“＋”
或“ - ”连接 M， N， P 有多种不同的形式，如 M+N-P。请你任选 一种进行计算，并化简求值，其中 x： y=5:2 。
1 ，其中 x
x 4 x2 2x
≠± 2，则 A 与 B 的关系是（
）
A. 相等 B. 互为倒数 C. 互为相反数 D.A 大于 B
x 2 | x 1| | x |
8、已知 1＜x＜ 2，则式子
－
＋ 化简的结果
|x 2| x 1 x
是（ ） A. －1 B.1 C.2 D.3
ba
9、已知 a2+3ab+b2=0(a≠0,b ≠0) ，则式子 + =
≠ 0,则 1 + 1 =1；②若 a=3，则 b+c=9; ③若 a=b=c，则 abc=0;④ ab
若 a,b,c 中只有两个数相等，则 a+b+c=8。其中正确的是
（填正确结论的序号） 。
21、一个批发零售的文具店规定：凡一次购买铅笔
301 支
以上（包括 301 支）可按批发价付款；购买 300 支以下（包括
300 支）只能按零售价付款，现有学生小明购买铅笔，如果给 九年级学生每人买 1 支，那么只能按零售价付款，需用（ m2-1） 元；如果多买 60 支，那么可按批发价付款，同样需用（ m2-1）
元。设九年级共有 x 名学生，解答下列问题：
（ 1）求 x 的取值范围。
（ 3）每支铅笔的零售价比批发价贵多少元？
（ 2）每支铅笔的零售价、批发价分别为多少元？（用含 x,m 的式子表示）
25、计算； [ 1 － 1 ] ÷（ 1 － 1 ）。
(a b)2 (a b)2
ab ab
19、阅读下面的解题过程：已知
x x2
= 1 ，求 13
x2 x4
的
1
值。解：由
x x2
=1知 13
x ≠0, 所以
x2 x
1
=3，即
ab
1
12、已知 a,b 为实数， 且 ab=1，设 M=
+
，N=
＋
a 1b 1 a 1
1
，试确定 M，N 的大小关系。
b1
(x 2)( x2 6x 9)
14、已知 A=（x-3 ）÷
x2 4
－ 1,(1) 化简 A;
2x-1 (2) 若 x 满足不等式组
1-
＜ x, 且 x 为整数，求 A 的值。
分式运算综合题
1
、先化简，再求值：（
x－ x1
1 ）÷ x1
1 x2
，其中
1
x=
2
6、已知
abc≠ 0
且
a+b+c=0, 求
a(
1
1
+
)+b(
11
+ )+c(
11
+)
bc ca ab
的值。
3x
x2
13、先化简，再求值： （x-
x
）÷
1
x2
2x
2
x +x-2=0.
, 其中 x 满足
1
2、先化简，再求值： 中 a 满足 a2-a=12 。
28、已知 x+y+z=0 ，xyz ≠ 0, 求 x ＋ y ＋ z |y z| | z x| | x y|
的值。
2
1a
2a + a2 4a
) ÷ a 4，
4
a
26、已知 x（ 1 ＋ 1 ）＋ y（ 1 ＋ 1 ）＋ z（ 1 ＋ 1 ）+3=0，
yz
xz
xy
且 1 ＋ 1 ＋ 1 ≠0，求 x+y+z 的值。 xyz
27、已知 x 为正
2
x
＋
2x x2
18 也为正 9
整数，求所有符合条件的 x 的值。
1
x+ =3. 所以
x
x4 x2
1
=x2＋
1 x2
=(x+
1 x
2
2
) -2=3 -2=7.
故
x2 x4
1
的值为
1 。该题的 7
解法叫做“倒数法” ，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知 x2
x 3x
= 1 ，求 15
x4
x2 x2
的值。
1
20、已知实数 a,b,c 满足 a+b=ab=c，有下列结论：①若 c