阶段检测卷三答案

阶段检测三数列与不等式一、选择题1. D 因为a<b<0,所以->-,-<1,->1,故-<-,->-均不成立；当c2=0时,ac2<bc2不成立•故选D.2. B 因为集合A={x|x(x-2)<3}={x|-1<x<3},B={x|(x-a)(x-a+1)=0}={a,a-1}, 且ACB=B,所以B?A,即B 中的两个元素a,a-1都在集合A中,则-1<a<3且-1<a-1<3,那么a的取值范围是0<a<3.3. B 由于a i+a3+a5=a i(1+q 2+q4)=21,a 1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q 2=-3 舍去)，所以a3=6,a 5=12,a 7=24,所以a3+a5+a7=42.故选B.4. A 由得从而等差数列{a n}的通项公式为a n=40-5n,得T n=(40-5n)+…+(15-5n)=165-30n,因为|T n|^0,且n讯*,故当n=5或6时,|T n|取得最小值15.5. A 解法一将z=y-2x化为y=2x+z,作出可行域和直线y=2x(如图所示),当直线y=2x向右下方平移时,直线y=2x+z在y轴上的截距z减小，数形结合知当直线y=2x+z经过点B(5,3)时,z取得最小值3- 10=-7.故选A.21解法二：易知平面区域的三个顶点坐标分别为(1,3),(2,0),(5,3),分别代入z=y-2x得z的值为1,-4,-7,故z的最小值为-7.故选A.6. B a1=-,a2=f - =-,a3=f -=〜3=--,a4=-, ..................... ，可得数列{a n}是周期为3的数列，一个周期内的三项之和为-,又 2 016=672 X 3,所以S2 016=6721=——=896.7. B 令X1<X2,因为(X1-X2)[f(X1)-f(X2)]>0,所以f(X1)<f(X2),故f(x)在R 上是增函数.由f(x+1)为奇函数，得f(x)的图象关于点(1,0)对称，由不等式f(1-x)>0,得1-x>1,即x<0.8. A 解法一：不等式2x+m+ —>0 可化为2(x-1)+—>-m-2, •/ x>1,二2伪+ — >2X2 - 一=8,当且仅当x=3时取等号.•不等式2x+m+ —>0对一切x € (1,+ )恒成立m-2<8,解得m>-10,故选A.解法二：不等式2x+m+一>0对一切x € (1,+ g)恒成立可化为n> - —— ,x € (1,+ g),f令=-2x-—,x € (1,+ g),f则炉- - —-2 <-2 - —2=-2X4-2=-10,当且仅当x=3 时取等号,••• m〉10,故选A.9. C 因为点P(m,n)到点A(0,4)和B(-8,0)的距离相等，所以-= ，即2m+n=-6,又- >0, - >0,所以-+ -支 - -=2 -=2 - =16,当且仅当即2m=n=-3 时取等号.10. D1 1/1L1十汎言由题意得函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,则函数y=f(x)为奇函数,由f(x2-2x)+f(2y-y 2)O,得f(x2-2x) wf(-2y+y 2),又y=f(x)为定义在R上的减函数，所以x2-2x二2y+y 2,即(x-y)(x+y-2)毛作出不等式组- -表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易得=x+2y,设t=x+2y.易知当直线t=x+2y过点C(4,-2)时,t取得最小值0,当直线过点B(4,4)时,t取得最大值12,即的取值范围为[0,12].11. B 设｛a n｝的公差为d,由a12=-a5>0,得a1 =-—d,d<0,所以a n = - — d,从而当1 m n W16 时,a n>0,当 a 羽7 时,a n<0,所以当 1 m n<14 时,b n>0,b 15=a 15a16a17<0,b 16=a16a17a18>0,当n》17 时,b n<0,故S14>S13>…〉S 1,S14>S 15,S15<S 16,S16>S 17>S 18>….因为a15=「d>0,a 18=_d<0,所以a15+a18=- F+-d=-d<0,所以b15+b16=a16a17(a 15+a 18)>0,所以S16>S14,故当S n取得最大值时n=16.12. D ①•••an=2n, ••• ?k=1,入=2,使n+k=入a+k-i 成立,A {a}为1 阶数列,故①正确；② a =2n+1, • ?k=2, 1=2, ?2=-1,使a n+k= X i3n+k-i + A2 3n+k-2 成立,• {a}为 2 阶数列,故②正确；③•.%= n2, • ?k=3, 1=3, 1=- 3, 2 = 1,使a n+k = 2i a n+k-1 + 2a n+k-2 + 23a n+k-3 成立,• {n}为3 阶数列，故③正确•二、填空题13. •答案(2,3]个解析因为A={x|x 2-2X-3 m)}=[-1,3],B={x|log 2(x2-x)>1}={x|x 2-x>2}=(- ^-1) U (2,+ ),所以B=(2,3]. 14. ■答案-■解析一+—= —— (m+n)=17+ —+--------- 羽7+2 —------- =25,当且仅当n=4m= -时取等号，故点P —-,由于曲线y=x a过点P,所以-=—，从而可得a=-.15. •答案1 008.解析由a n+1 -a n=sin -------- ?a n+1=a n+sin ---------- , ••2=a1+sin n =1+0=1,a3=a2+sin—=1+(-1)=0,a 4=a3+sin 2 n =0+0=0,a 5=a4+sin— =0+1=1,如此继续可得a n+4=a n(n €N*),数列{a n}是一个以4 为周期的数列，而 2 016=4X 504,因此S2 016 =504x (a1+a2+a3+a4)=504 X (1+1+0+0)=1 008.16. 亍答案(-丰2)•解析由题意可得该不等式组在平面直角坐标系a10b1中表示的平面区域如图中阴影部分所示.当直线a3+b3=a1+4+4b 1经过点(2,-2)时a3+b3取得最大值-2,又(2,-2)不在平面区域内，则a3+b 3<-2.三、解答题17. ■解析⑴•••a+a n+2=2a n+i对任意n讯*恒成立，•••数列a n｝是等差数列设数列｛a n｝的公差为d, ••理=2$4=4,•解得•・a=a i+( n_1)d=_2 n+6.⑵S n = ------ n= ------------- n=-n 2+5n, •S2=6,S 3=6, • =(4,6), v=(4k,- 6), u /V, • 4X6)=6 x 4k, • k=.18. ■解析(1)由已知得1,b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，且b羽,a>0,所以解得⑵由(1)得原不等式可化为x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0,所以当c>2时,所求不等式的解集为｛x|2<x<c｝,当c<2时,所求不等式的解集为｛x|c<x<2｝,当c=2时，所求不等式的解集为？.19. 亍解析(1)由题设可得f '(x)=a n-a n+1 +a n+2-a n+1Sin x-a n+2 cos x.对任意n 讯*, f '一=a n-a n+1 +a n+2-a n+1 =0,即a n+1 -a n=a n+2 -a n+1 ,故｛a n｝为等差数列.由a1=2,a2+a4=8,求得｛a n｝的公差d=1,所以a n=2+(n- 1) x 1=n+1.(2)b n=2 — =2 ---- =2n +—+2,故S n=b 1+b2+ …+b n=2n+2 ------------ + --------- =n2+3n+1-—.20. 亍解析(1)由题意知y= — p-x-(10+2p),将p=3-—代入,化简得y=16-——-x(0 <x<a). ⑵由(1)知y=17- 号. 所以促销费用投入1万元时，厂,当a羽时,y <17-2 =13,当且仅当—=x+1,即x=1时取等家的利润最大，最大利润为13万元.当a<1时屈数y=17 ---------- 在［0,a］上单调递增，所以当x=a时屈数有最大值,所以促销费用投入a万元时，厂家的利润最大,最大利润为--------- 万元.综上,当a羽时,促销费用投入1万元，厂家的利润最大，且最大利润为13万元；当a<1时,促销费用投入a万元，厂家的利润最大，且最大利润为-万元.21••解解析(1)由(b n + 1)2=4S n,得(b1+1)2=4b1, •••I D=1.又(b n-1+1)2=4S n-1,n 迄则(b n+1) 2-(b n-1+1)2 =4S n-4S n-1 =4b n,n 支,化简得-_ =2(b n+b n-1),n 邃又b n>0,所以b n-b n-1 =2,n邃则数列｛b n｝是首项为1,公差为2的等差数列，所以b n=1+2(n-1)=2n-1=a 2n-1, 所以当n 为奇数时,a n=n.由T n=3n-1 得C1=2,T n-1=3n-1-1,n 浆,则C n=3 n-3n-1=2X3-1,n 浆,当n=1 时，上- 为奇数式也成立，所以C n=2X3-1=a2n,所以当n为偶数时，a n=2X —所以a n=—为偶数⑵①当n为偶数时,A n中有-个奇数项，-个偶数项，奇数项的和为----- =—,偶数项的和为一-—=一-1,所以A n= — + 一-1；②当n为奇数时,n+1为偶数，A n=A n+1 -a n+1 = + -1-2 X = + -1.- 为偶数综上，可得A n= 一- 为奇数22. ■解析(1)设数列｛a n｝的公差为d,由题意得解得所以a n=n,S n= ------ .(2)由题意得当n 淳时,b n= --------- …一b i = - ——…-=—,又b l=-也满足上式,故b n=—.故T n=-+— + —+ …+—①，_T n = —+—+ —+ …+——+ ②，①-②得一「= -+-+-+ …+—-——=^^-——=1-——,所以Tn=2-一.⑶由(1)(2)知——一=——,令f(n)=——,n €N *,则f(1)=1, f(2)= -, f(3)= -, f(4)= -，f(5)=—.因为f(n+1)-f(n)= --------------------- = --------- ，所以当n 為时，f(n+1)-f(n)<0, f(n+1)<f(n), 因为集合M 的子集个数为16,所以M中的元素个数为4,所以不等式——》入，rNE的解的个数为4,所以一< 入老。