(四) 可化为线性规划的问题

x11 0.5( x11 x 21 ); x12 0.6( x12 x 22 ).
购买原油A的成本为
10 x , c( x ) 5000 8( x 500), 5000 4000 6( x 1000), 0 x 500 500 x 1000 1000 x 1500
不过,这个式子对变量而言,出现了非线性函数,因 此就变成了非线性规划问题,其求解往往比较困难, 即使用软件求解(如:LINGO,Matlab),也往往依赖 于初值的选择. 评注:若能用线性规划处理,则尽量不要用非线性 规划.
例2 原油的采购与加工
问题 某公司用两种原油(A和B)混合加工成两 种汽油(甲和乙).甲乙两种汽油含原油A的最低 比例分别是50%和60%,每吨售价分别为4800 元和5600元.该公司现有原油A和B的库存量分 别为500吨和1000吨,还可以从市场上买到不超 过1500吨的原油A.原油A的市场价为:购买量不 超过500吨时的单价为10000元/吨;购买量超过 500吨但不超过1000吨时,超过500吨的部分 8000元/吨;购买量超过1000吨时,超过1000吨的 部分6000元/吨.该公司应如何安排原油的采购 和加工?
x i 80( xi 1000 自然满足)
max R 2 x1 3 x 2 4 x 3 1.5 x1 3 x 2 5 x 3 600, s .t . 280x1 250x 2 400x 3 60000,
方法三 从数学上讲,
要么x i 0要么x i 80等价于 : 对非负变量x i 满足 x i ( x i 80 ) 0.
max R1 P c1 ( x ) 4.8( x11 x 21 ) 5.6( x12 x 22 ) 10 x st (*) x 500. max R2 4.8( x11 x 21 ) 5.6( x12 x 22 ) (1000 8 x ) st (*) 500 x 1000.
于是模型为
max R P c( x ) 4.8( x11 x 21 ) 5.6( x12 x 22 ) c( x )
s .t .
x11 x12 500 x; x 21 x 22 1000; x 1500, x11 0.5( x11 x 21 ); x12 0.6( x12 x 22 ); x , x11 , x12 , x 21 , x 22 0.
12000 9000
5000
500 1000 1500
z 1 y1 , z 2 y1 y 2 , z 3 y 2 y 3 , z 4 y 3 , z1 z 2 z 3 z 4 1, y1 y 2 y 3 1.
为了表示x落在某个区间,我们还要引入表示这个属 性的变量:0-1变量yi.关系式
yi中有只有一个为1.
投资的收益与风险问题(98年A题)
市场上有n种资产（如股票、债券、……） Si（i=1,2,…,n）供投资者选择，某公司有数额 为M的一笔相当大的资金可用于作一个时期 的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行 了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收 益率为ri，并预测出购买Si的的风险损失率为 qi。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司 确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总 体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度 量。
购买Si要付交易费，费率为pi，并且当购买额 不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算（不 买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款 利率是r0，且既无交易费又无风险。（r0=5%）
1)已知n=4时的相关数据如下：
Si S1 S2 S3 S4
ri (%) 28 21 23 25
qi(%) 2.5 1.5 5.5 2.6
模型的建立
设购买原油A x吨,生产汽油甲所用的原油A和B 分别为x11和x21吨;乙的分别为x12和x22吨.公司销 售生产的汽油收入为P千元,纯收入为R千元.则 P 4.8( x11 x 21 ) 5.6( x12 x 22 )
x 21 x 22 1000, x 1500, x11 x12 500 ห้องสมุดไป่ตู้x;
3
进一步讨论
由于各种原因(比如,工艺),若生产某种汽车,则至少生 产80辆,问生产计划有何改变? 分析:要么xi=0,要么xi≥80,组合起来,共有八种情形: (1) x1 x 2 x 3 0; ( 2) x1 80, x 2 x 3 0; ( 3) x 2 80, x1 x 3 0; (4) x 3 80, x1 x 2 0; (5) x1 80, x 2 80, x 3 0; (6) x1 80, x 3 80, x 2 0; (7) x 2 80, x 3 80, x1 0; (8) x1 80, x 2 80, x 3 80;
(75,97.5)
可行域
x1
方法二
引入0-1变量
要么x i 0要么x i 80等价于 x i Myi , x i 80 y i , y i {0,1}, 这里M为充分 大正数 本例可 以取 , 1000.
x i Myi 的作用是当yi=0时,必有xi=0.
本例中,
x i Myi , x i 80 yi , yi 1
方法一: 让它们分别与模型(*)一起来求解新的LP,
逐一得到它们的最优解.其中(1)不用解;(7),(8)无 解;(2)的解为(214.3,0,0),z=428.5;(3)的解为 (0,200,0),z=600; ;(4)的解为(0,0,120),z=480;
(5)的最优解为(80,150.4,0), z=611.2;工时为紧约束;
方法三 引入0-1变量yi
以yi=1分别表示以三种价格购买原油,
st (*) ( x1 -500)x 2 0, ( x 2 -500)x 3 0
等价于 st
(*) 500 y 2 x1 500 y1 , 500 y 3 x 2 500 y 2 , x 3 500 y 3
Si S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S
ri(%) 14 40.7 31.2 33.6 36.8 11.8 9 35 9.4 15
qi(%) 39 68 33.4 53.3 40 31 5.5 46 5.3 23
pi(%) 3.4 5.6 3.1 2.7 2.9 5.1 5.7 2.7 4.5 7.6
这是个整数线性规划问题,有三个决策变量, 要 用软件来求ILP.但是本题比较特殊,我们可以发 现
2
LP图解法
我们先得到实数型的最优 解为（64.5,167.7),利润的 最大值为632.3.
max R 2 x1 3 x 2 1.5 x1 3 x 2 600, s .t . 280x1 250x 2 60000,
0 x 500 500 x 1000 1000 x 1500
取分点b1=0,b2=500,b3=1000, b4= 1500.取分点的比例z1,z2,z3,z4. 当x 落在区间[b1,b2]时,取x=b1z1+b2z2, z1+z2=1;当x落在区间[b2,b3]时,取 x=b2z2+b3z3, z2+z3=1;当x落在区间 [b3,b4]时,取x=b3z3+b4z4, z3+z4 =1; 由于c(x)是x的线性函数,自然也是 zi的线性函数.
pi(%) 1 2 4.5 6.5
ui(元) 103 198 52 40
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给 定的资金M，有选择地购买若干种资产或存 银行生息，使净收益尽可能大，而总风险尽 可能小。
2)试就一般情况对以上问题进行讨论，并 利用以下数据进行计算。 Si ri(%) qi(%) pi(%) ui(元) S1 9.6 42 2.1 181 S2 18.5 54 3.2 407 S3 49.4 60 6.0 428 S4 23.9 42 1.5 549
(6)的最优解为(80,0,94), z=536;工时为紧约束; 结论:此时最优解为 (80,150.4,0), 利润为611.2
x2
（64.5,167.7) •
x1
x3
∙
1.5 x1 3 x 2 5 x 3 600, s .t . 280x1 250x 2 400x 3 60000,
模型为混合线性规划.
方法四 处理分段线性函数的一般方法
这个分段函数在三个区间 内分别是线性函数,区间的 分段点为0,500,1000,1500. 当x落在某个区间时我们 可以取做区间两个端点的 线性组合来解决.
12000 9000 5000 500 1000 1500
10 x , c( x ) 5000 8( x 500), 5000 4000 6( x 1000),
10 x , c( x ) 1000 8 x , 3000 6 x ,
(*)
其中
0 x 500 500 x 1000 1000 x 1500
模型求解
方法一 由于c(x) 为分段函数,且在每一段内都是线 性函数,因此我们可以通过求解三个线性规划问题, 最后比较即可得到模型的最优解.
设x x1 x 2 x 3 , 它们分别是三种价格的 购买 原油A的数量(吨 ), 则 R 4.8( x11 x 21 ) 5.6( x12 x 22 ) (10 x1 8 x 2 6 x 3 )
st
(*) ( x1 -500)x 2 0, ( x 2 -500)x 3 0
max R3 4.8( x11 x 21 ) 5.6( x12 x 22 ) ( 3000 6 x ) st (*) 1000 x 1500.