【初二上册数学】八年级秋季班-第4讲：一元二次方程的概念及特殊的一元二次方程的解法

一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方程概念和直接开平方法及因式分解法对一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是开平方法及因式分解法解特殊一元二次方程．通过本节课的学习对一元二次方程有个整体的认识，为后面的解方程打下基础.

1一元二次方程的概念

1.1整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．

1.2一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作

一元二次方程．

2一元二次方程一般式的概念

任何一个关于x的一元二次方程都可以化成()

200

ax bx c a

++=≠的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中2

ax叫做二次项，a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项．

3 一元二次方程的解

能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．

一元二次方程概念及解法知识结构

模块一：一元二次方程的概念

知识精讲

内容分析

【例1】 下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．

（1）20x =；

（2）()()33140x x -++=； （3

)()210x y --=；

（4）42=0x x -； （5

2123x -=；

（6）20ax bx c ++=，（a b ，为已知数）； （7）(3)(2)5x x x +-=+；

（8）2(3)8(3)a x a -=≠．

【例2】 当k ________

时，方程2(60k x kx -+=一元二次方程．

【例3】 方程(1)(2)2x x ++=的 一般形式是_______，二次项系数是________，常数项是

________．

【例4】 写出一个满足条件一次项系数是3-，且有一个根是1-的一元二次方程．

【例5】 关于x 方程2(21)350m x mx -++=有一个根是1x =-，求m 的值．

【例6】 当m 取何值时，关于x 的方程21232m

mx x x mx +-=-+是一元二次方程．

【例7】 若关于x 的方程21(1)54a a x x +-+=．

（1）方程为一元二次方程，x 的取值是？

（2）方程为一元一次方程，x 的取值是？

例题解析

【例8】 如果关于x 方程20(0)ax b a +=≠有实数根，试确定a 、b 应满足的关系．

【例9】 关于x 方程20(0)ax bx c a ++=≠满足下列两个等式成立420a b c -+=，

20a c +=，试求方程的解．

【例10】 已知方程2510mx nx -+=和 2340mx nx +-=有共同的根2，试求n 的值．

【例11】 若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，写出a 与b 之间的关

系．

【例12】 若a 是方程220x x --=的一个根，则代数式2a a -的值是_______．

【例13】 已知关于x 的方程32310a b a b x x +-+-=是一元二次方程，求a 、b 的值．

【例14】 已知a 是方程220000x x --=的一个根，求代数式200032000120001a

+++的值，用含a 的式子表示．

1、特殊的一元二次方程的解法

1.1、特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解．

1.2、因式分解法的一般步骤：

①将方程右边化为零；

②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；

③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．

【例15】 填空：

（1） 方程2(1)4x -=的根是____________；

（2） 方程280x x -=的根是____________；

（3） 如果方程2()x a k -=有解，那么k _________；其解1x =________；2x =________．

【例16】 如果n 是方程20x mx n ++=的根，且0n m n ≠+，则的值是（

） A ．

12 B ．12- C ．1 D ．1-

【例17】 方程：2331()()()0442x x x -+--=的较小的根是（

） A ．

34 B ．34- C ．12

D ．58 【例18】 解关于x 的方程（用直接开平方方法）：

（1）23205

x -=； （2）(3)(3)9x x +-=．

例题解析 知识精讲 模块二：特殊的一元二次方程的解法

【例19】 解关于x 的方程（因式分解方法）：

（1）230x =；

（2）7(3)39x x x -=-．

【例20】 解关于x 的方程（合适的方法 ）：

（1）2110464

x x -+=； （2）22((1x +=+．

【例21】 解关于x 的方程（合适的方法）：

（1）236350x x +-=；

（2）2(41)10(14)240x x -+--=．

【例22】 解关于x 的方程：224

9x =．

【例23】 解关于x 的方程：

（1）22220x ax a b -+-=；

（2）22222()40a b x abx a b --+-=；

（3）222210m x mx x mx -+-+=．