第三章第六讲曲率求法方程求解

y 0.8x, y 0.8
y x0 0, y x0 0.8
所以，K=0.8
因而，求得抛物线顶点处的曲率半径 1 1.25
K
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四、小节
本讲主要讲述了函数图形的描绘、注意做题步 骤、曲线的曲率与曲率半径的定义。会用公式 求解。
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一、复习提问 1、微分中值定理 2、洛必达法则 3、单调性与凹凸性的判定方法 4、极值于最值的判定方法
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第七节 曲率
一、弧微分
二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径
四、曲率中心的计算公式 渐屈线 与渐伸线
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五、作业 CT3-7 P177 3 4 8
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重点：本章基本内容及基本计算方法。 难点：基本计算方法及应用。 关键：微分中值定理的内容及灵活应用方法。
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一、问题的提出
显然, 当x b 时, k最大.
2a 又 ( b , b2 4ac)为抛物线的顶点,
2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
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三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f (x) 在点
y
M (x, y) 处的曲率为k(k 0).
在点 M 处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点D, 使 DM
s
曲线C在点M处的曲率
K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下, K d .
s0 s ds
ds
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注意: (1) 直线的曲率处处为零;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径 越小曲率越大.
2、曲率的计算公式
y
C
设y f ( x)二阶可导, tan y,
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线 弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
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2、应用
例2 设工件内表面的截线为抛物线 y 0.4x.2 现在要用
砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部 分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处 曲率半径中的最小值.由本节例1可知，抛物线在其顶点 处的曲率半径最小。因此
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单调增函数 s s( x).
设N ( x x, y y),
y
N
T
A
M
y
x R
MN MN MT NT 当x 0o时, x0 x
x x x
MN (x)2 (y)2 1 ( y )2 x 1 y2 dx , x
MN s ds ,
MT (dx)2 (dy)2 1 y2 dx ,
NT y dy 0, 故 ds 1 y2 dx .
s s( x)为单调增函数, 故 ds 1 y2dx.
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二、曲率及其计算公式
1、曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度圆心, 为半径
k
o
M
作圆(如图),称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
y f (x)
x
D 曲率中心,
曲率半径.
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注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互 为倒数.
即 1,k 1 . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲 率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线 越弯曲).
)
(t) .
k
(t )
(t )
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
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3、应用 例1 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大?
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确 根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计 算方法．
求近似实根的步骤：
１．确定根的大致范围——根的隔离．
确定一个区间[a,b] 使所求的根是位于这个 区间内的唯一实根．区间 [a,b] 称为所求实 根的隔离区间．
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且方程 f ( x)＝０在 (a,b)内仅有一个实根，于是
[a , b] 即是这个根的一个隔离区间．
M.
有 arctan y, d
y
1
y2
dx, M0
S
.M)
S
ds 1 y2dx. k
y o 3.
x
(1 y2 )2
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设
x y
(t ), (t ),
二阶可导,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t )
(t) (t 3(t)
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如图，精确画出y f (x)的图形，然后从图上 定出它与 x 轴交点的大概位置．
２．以根的隔离区间的端点作为根的初始近似 值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得 满足精确度要求的近似实根．
常用方法——二分法和切线法（牛顿法）
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二、二分法
设 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，f (a) f (b) 0，
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一、弧微分***
设函数f ( x)在区间(a, b) 内具有连续导数.
基点 : A( x0 , y0 ), M ( x, y)为任意一点,
y
N
T
A
M
y
x R
o
x0
x
x x x
规定：(1)曲线的正向与x增大的方向一致;
(2) AM s, 当AM的方向与曲线正向
一致时, s取正号,相反时, s取负号.
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
S1
M
M
N
S2 N
弧段弯曲程度 越大转角越大
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
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y
设曲线C是光滑的，
C
M0 是基点. MM s ,
M M 切线转角为 .
定义
M.
S
. M0 S M
)
o
x
弧段MM 的平均曲率为K .