海洋工程波浪力学习题、思考题(解答)第一章

海洋工程波浪力学习题、思考题
1．
建立小振幅波理论时，作了那些假设？
答：波幅或波高相对于波长是无限小，流体质点的速度是缓慢的。

按此假定波动的自由表
面所引起的非线性影响可以忽略，即非线性的自由表面运动边界条件和动力边界条件可以简化为线性的自由表面边界条件。

2．
试写出波浪运动基本方程和定解条件，并说明其意义。

答：波浪运动的基本方程和定解条件可以表述为：
02=∇φ 全解域 0=∂∂-=d
z z
ϕ
底部条件
ηη
η
ϕηϕηηϕ===∂∂∂∂+
∂∂∂∂+
∂∂=
∂∂z z z y
y x
x t z
自由表面运动学边界条件
0212
22=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++∂∂==η
η
ϕϕϕηϕz z z y x g t
自由表面动力学边界条件
()()y x t y x t ,,,0ηη==
初始条件
当∞→x 或±∞→y 或-∞→z 时
()t z y x ,,,ϕ和()t y x ,,η保持有界
无穷远条件
3． 写出小振幅波（线性波）理论的基本方程和定解条件，并说明其意义及其求解方法。

答：小振幅波（线性波）理论的基本方程和定解条件为：
02=∇φ 全解域 0=∂∂-=d
z z
ϕ
底部条件
0=∂∂=∂∂z z
t ϕη
自由表面运动学边界条件
01=∂∂-
=z t
g ϕ
η
自由表面动力学边界条件
或两个波面条件联合写为：
010
22=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+
∂∂=z t g z ϕϕ
波面条件
4． 线性波的势函数为
)sin(ch )
(ch 2t kx kd d z k gH ωωϕ-+=
证明上式也可以写为
)sin(sh )
(ch 2t kx kd
d z k Hc ωϕ-+=
证明：因为：kgthkd =2ω
thkd g
k ω
ω
=
chkd shkd
g c ω=
shkd
c
chkd g =
1ω 将该式代入原势函数表达式可以得到第二种表达式 5．
由线性波势函数证明水质点轨迹速度
)cos(sh )
(ch t kx kd d z k T H u x ωπ-+=
)sin(sh )(sh t kx kd
d z k T H u z ωπ-+=
并绘出相位πω2~0)(=-t kx 时自由表面处的水质点轨迹速度变化曲线以及相位等于0，2
π
，π，23π和π2时质点轨迹速度沿水深分布。

6．
试根据色散关系kgthkd =2ω绘制一已知周期T 和水深d 计算波长L 、波数k 和波
速c 的程序框图。

解：T
π
ω2=
()kgthkd k f -=2ω
()0〉a f ，()0〈b f
g
a 2
ω=，g
b 2
2
ω=。

⇒利用二分法解出波数k ，波长k
L π
2=
， thkd gT
c π
2=
（2－22）
7． 证明线性波只有水深无限深时，水质点运动轨迹才是圆。

证明：
()()2
2
02
20β
α
z z x x -+
- (2－47a)
shkd d z chk H )(20+=
α，shkd
d z shk H )
(20+=β
（2－47b ）
02)20(0
)0()
0(0)(kz
kd
kd
d z k kz kd
kd
d z k d z k e
e
e e
e
e
e
e e
shkd
d z chk →-+=
-+=
+-+--+-+ （∞→d ）
当∞→d 时，02
,kz e H =
βα 此时水质点运动轨迹方程为：
202020)2(
)()(kz e H z z x x =-+- 这个轨迹时一个半径为)2(0kz
e H 的圆。

8．
证明单位面积铅直水柱内波动的平均势能和动能为
216
1
gH ρ。

解：课本p17－19。

动能：2161gH E k ρ=，势能：216
1
gH E p ρ=（p19，
（2－58）/L 、
（2－60）/L 。

9．
在水深为20 m 处，波高H = 1 m ，周期T = 5 s ，用线性波理论计算计算深度z = －
2 m 、－5 m 、－10 m 水质点椭圆轨迹的水平长半轴和垂直短半轴。

（波数k 采用kg =2ω计算）
解：由(2－47b)
shkd d z chk H )(20+=
α，shkd
d z shk H )
(20+=β
（2－27b ）
按d=20m ，H = 1 m ，z 0 = －2，－5，－10 m 计算。

（k 也可由kgthkd =2ω按第六题方法解出） 10．
在某水深处的海底设置压力式波高仪，测得周期T = 5 s ，最大压力
2max /85250m N p =（包括静水压力，但不包括大气压力），最小压力
2min /76250m N p =。

问当地水深、波高是多少？
解：因为在（2－53中）
)cos()
(2
t kx chkd
d z chk H z p ωγγ-++
-=
（2－53）
(注意 z = －d ，chk(z+d)=ch0=1，chkd H
d p 12max γγ+
=，chkd
H d p 1
2min γγ-=，
chkd
H
p p 1
min max γ=-，()γchkd p p H min max -=，2min max min p p d p --=γ，从此
式中求出d ，然后求出H)。