Hilbert空间
集合的Banach空间与Hilbert空间
集合的Banach空间与Hilbert空间1. 集合的Banach空间定义：Banach空间是一个完备的赋范线性空间，即一个具有范数的线性空间，并且该范数满足完备性。
换句话说，Banach空间是一个具有范数的线性空间，其中任何柯西序列都收敛到空间中的一个元素。
例子：•实数空间ℝ是一个Banach空间，其中范数就是绝对值。
•复数空间ℂ是一个Banach空间，其中范数就是模。
•函数空间C[a,b]是一个Banach空间，其中范数就是函数在区间[a,b]上的最大值。
•平方可积函数空间L2[a,b]是一个Banach空间，其中范数就是函数在区间[a,b]上的平方可积。
2. 集合的Hilbert空间定义：Hilbert空间是一个完备的内积空间，即一个具有内积的线性空间，并且该内积满足完备性。
换句话说，Hilbert空间是一个具有内积的线性空间，其中任何柯西序列都收敛到空间中的一个元素。
例子：•实数空间ℝ是一个Hilbert空间，其中内积就是点积。
•复数空间ℂ是一个Hilbert空间，其中内积就是共轭复数的点积。
•函数空间L2[a,b]是一个Hilbert空间，其中内积就是函数在区间[a,b]上的平方可积。
3. Banach空间与Hilbert空间的区别Banach空间和Hilbert空间都是完备的赋范线性空间，但它们之间存在一些区别。
•内积： Hilbert空间具有内积，而Banach空间不具有。
内积使Hilbert空间具有几何性质，例如正交性、投影等。
•正交性：在Hilbert空间中，两个向量正交当且仅当它们的内积为零。
正交性在Hilbert空间中非常重要，它可以用来定义正交子空间、投影等概念。
•投影：在Hilbert空间中，可以将一个向量投影到另一个向量上。
投影可以用来分解向量、求解方程等。
4. Banach空间与Hilbert空间的应用Banach空间和Hilbert空间在数学和物理学中都有广泛的应用。
关于hilbert空间的算子空间中几种拓扑的注记
关于hilbert空间的算子空间中几种拓扑
的注记
Hilbert空间是定义在实数空间R上的一种几何空间，也
称作完备Hilbert空间，它是一种无穷维度的内积空间，拥有
完全内积核。
Hilbert空间是一种线性空间，它的元素可以被
看作是实数上的向量，可以用线性代数进行计算。
Hilbert空
间的算子空间也是一个重要的概念，它的元素可以被看作是Hilbert空间中的函数，它们可以用来定义Hilbert空间上的变换。
Hilbert空间的算子空间有几种不同的拓扑，其中最重要
的是有界拓扑、强拓扑和弱拓扑。
有界拓扑是最常见的拓扑，它指的是算子空间中的所有算子都是有界的，即它们的范数是有限的。
强拓扑是另一种拓扑，它指的是算子空间中的所有算子都是强收敛的，即它们的范数会产生极限。
弱拓扑是最弱的拓扑，它指的是算子空间中的所有算子都是弱收敛的，即它们的范数会产生一个极限，但可能不能达到它。
在Hilbert空间中，有界拓扑是最常见的，它更容易理解，也更容易操作。
但在某些情况下，强拓扑和弱拓扑可能更加有用，因为它们可以更好地描述算子空间中的一些有趣的性质。
Hilbert空间的算子空间的拓扑是一个重要的概念，它可
以帮助我们更好地理解Hilbert空间及其特性，并且可以为我
们提供更多精确的计算方法。
它可以帮助我们更好地应用线性
代数来分析Hilbert空间的一些数学表达式，从而更好地探索空间中的几何结构。
希尔伯特空间
一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾经在1900年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题，指引了本世纪前五十年数学的主攻方向，不过还有一个原因呢，我想就是著名的希尔伯特空间了。
希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念，原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的，无法适用，这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间，也就是无穷序列空间的性质。
大家知道，在一个欧几里得空间R^n上，所有的点可以写成为：X=（x1，x2，x3，...，xn）。
那么类似的，在一个无穷维欧几里得空间上点就是：X= （x1，x2，x3，....xn，.....），一个点的序列。
欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或者说是一个点到原点的距离），||X||^2=∑xn^2，可是这一重要性质在无穷维时被破坏了：对于无穷多个xn，∑xn^2可以不存在（为无穷大）。
于是希尔伯特将所有∑xn^2为有限的点做成一个子空间，并赋以X*X'=∑xn*xn' 作为两点的内积。
这个空间我们现在叫做l^2，平方和数列空间，这是最早的希尔伯特空间了。
注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数可以由点与自身的内积推出，所以内积是一个更加强的条件，有内积必有范数，反之不然。
只有范数的空间叫做Banach空间，（以后有时间再慢慢讲:-）。
如果光是用来解决无穷维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。
Hilbert空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无穷维欧氏空间上∑xn^2为有限的点。
这个最早的Hilbert space叫做l^2（小写的l 上标2，又叫小l2空间），非常类似于有限维的欧氏空间。
数学的发展可以说是一部抽象史。
最早的抽象大概是一个苹果和一头牛在算术运算中可以都被抽象为“一”，也就是“数学”本身的起源（脱离具体物体的数字运算）了，而Hilbert space理论发展就正是如此：“内积+ 线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也成为了Hilbert space。
第五章 Hlbert空间理论-黎永锦
第5章 Hilbert 空间只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡.Hilbert D .(希尔伯特)(1862-1943,德国数学家)Hilbert 空间在历史上比赋范空间出现得早,2l 是最早提出来的Hilbert 空间,它是 1912年Hilbert D .在研究积分方程时给出的,而Hilbert 空间的公理化定义直到1927年才由Neumann V J ..在量子力学的的数学基础这一论文中给出,但它的定义包含了可分性的条件,llich F Lowig H Re .,.和Riesz F .在1934年指出,对于绝大部分理论,可分性是不必要的,因此可分性的条件就去掉了.5.1 内积空间在2R 中,把一个点看成一个向量,对于2R 的任意两个点),(),,(2121y y y x x x ==,定义内积2211),(y x y x y x +=,则可把向量的垂直、交角、投影等用内积来刻画,并且内积具有很好的性质.定义 5.1.1 设X 是线性空间,若存在X X ⨯到K 的一个映射,使得对任意X z y x ∈,,, 有（1） ),(),(x y y x =；（2） ),(),(),(z y z x z y x βαβα+=+；（3） 0),(≥x x , 且0),(=x x 当且仅当0=x 时成立.则称X 内积空间.在.}C ,)||(,|){(21212为复数这里+∞<∈=∑∞=i ii i x C x x l 上,定义内积为∑∞==1),(i i i y x y x ,则明显地,2l 是一个内积空间.n R 中的Schwarz Cauchy -不等式可以追溯Lagrange 和Cauchy ,积分形式的Schwarz Cauchy -不等式是ky Bouniakows 在1859年和Schwarz 在1885证明的.2l 中的Schwarz Cauchy -不等式则是Schmidt 在1908年得到的.抽象的Schwarz Cauchy -不等式是Neumann von 在1930年证明的.在内积空间X 中,有下面的Schwarz Cauchy -不等式成立.定理5.1.1(Schwarz Cauchy -不等式) 若X 是内积空间,则对任意X y x ∈,,有),(),(|),(|2y y x x y x ⋅≤证明 明显地,只须证明0≠y 时不等式成立.对于任意0,≠∈y K λ,有2||),(}),Re{(2),(),(λλλλ⋅++=++y y y x y x y x y x 取),(),(y y y x -=λ, 则 0),(),(|),(|),(|),(|2),(222≥+-y y y y y x y y y x x x 因此),(),(|),(|2y y x x y x ⋅≤.利用Schwarz Cauchy -不等式,可以证明任意的内积空间X 都可以定义范数),(||||x x x =,使之成为赋范空间.定理5.1.2 设X 是内积空间,),(||||x x x =,则||||⋅是X 的范数.证明 由内积的定义可知0||||=x 时,有0=x . 由于),(||),(),(2x x x x x x λλλλλ==因此,||||||),(||),(||||x x x x x x λλλλλ===.对于任意X y x ∈,,由Cauchy 不等式,有),(),(),(2),(),()],Re[(2),(),(||||21212y y y y x x x x y y y x x x y x y x y x ++≤++=++=+ 因而||||||||||||y x y x +≤+,所以||||⋅是X 的范数.由上面定理可知,对于任意内积空间,),(||||x x x =是X 的范数,一般称这一范数为内积),(y x 诱导的范数,在这一范数的意义下,可以把内积空间X 看成赋范空间||)||,(⋅X ,这样的内积空间X 上可以使用赋范空间||)||,(⋅X 的所有概念,如序列的收敛和子集的列紧性、完备性等.定义 5.1.2 若内积空间X 在范数),(||||x x x =下是Banach 空间,则称X 是Hilbert 空间.容易证明,2l 是Hilbert 空间. 内积空间还具有许多很好的性质.定理5.1.3 设X 是内积空间,若y y x x n n →→,,则),(),(y x y x n n →.证明 由于|||||||||||||||||),(||),(||),(),(||),(),(||),(),(|y y x y x x y y x y x x y x y x y x y x y x y x n n n n n n n n n n n n -⋅+⋅-≤-+-=-+-≤-因此y y x x n n →→,时,有),(),(y x y x n n →.不难证明,对于内积空间X ,有如下的极化恒等式成立.定理5.1.4 设X 是实内积空间,则对任意X y x ∈,,有)||||||(||41),(22y x y x y x --+= 定理5.1.5 设X 是复内积空间,则对任意X y x ∈,,有)||||||||||||||(||41),(2222iy x i iy x i y x y x y x --++--+=由于内积空间具有很好的几何直观性,而每一个内积空间都可以引入范数),(||||x x x =, 使之成为赋范空间,因此可以考虑如下问题.问题 5.1.1 对于任意赋范空间X ,可否定义内积使之成为内积空间,且满足),(||||x x x = ?例如,在赋范空间1l 中,对于任意1,l y x ∈,定义∑∞==1),(i i i y x y x ,则),(y x 是否为 1l 的内积,并满足),(||||x x x =？定理 5.1.6 设X 是赋范线性空间,则在X 可以定义内积),(,使之成为内积空间,且),(||||x x x =的充要条件为对任意X y x ∈,,有)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++证明 若X 可以定义内积,使之成为内积空间,且),(||||x x x =,则2222||||2||||2),(2),(2),(),(||||||||y x y y x x y x y x y x y x y x y x +=+=--+++=-++反过来,若对于任意X y x ∈,,有)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++.为了简明起见,这里只证X 是实赋范空间的情形.令 )||||||(||41),(22y x y x y x --+=,则 （1） ),(),(x y y x =；（2） 0),(≥x x 且0),(=x x 且当仅当0=x ;（3） 对于任意X z y x ∈,,,有)]||2||||)2((||2)||2||||)2((||2[41])||2)2(||||2)2((||)||2)2(||||2)2([(||41)||)(||||)((||41),(2222222222y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x z y x z y x z y x +++--++++=+--++++-+-+-+++++++=-+-++=+ )||2||||2(||2122z y x z y x -+-++= 由于)||2||||2(||21)]||2||||2(||2)||2||||2(||2[41])||2)2(||||2)2((||)||2)2(||||2)2([(||41)||||||||||||||(||41),(),(22222222222222z y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x y x z y x z y z y z x z x z y z x -+-++=-+-+--+++=---++-+-+---+++-+++=--++--+=+ 因此,),(),(),(z y z x z y x +=+.对于任意X y x R ∈∈,,λ,令),()(y x f λλ=,则)(λf 为连续函数,且)()()(2121λλλλf f f +=+,因此)(λf 是线性的,即λλ⋅=)1()(f f ,因而),(),(y x y x λλ=. 由222||||)||||||(||41),(x x x x x x x =--+=可知),(||||x x x =,因此),(y x 是X 上的内积,且),(||||x x x =.在上面定理的证明中,当X 是复赋范空间时,令)||||||||||||||(||41),(2222iy x i iy x i y x y x y x --++--+=, 则可证明),(y x 就是X 上的内积,且满足),(||||x x x =.由以上定理可知,一般的赋范线性空间||)||,(⋅X 不一定可以定义内积),(⋅⋅,使之成为内积空间,且满足),(||||x x x =.例 5.1.1 在∞l 中,取),0,1,1(),,0,0,1,1(ΛΛ-==y x ,则1||||,1||||==y x ,但2||||||||=-=+y x y x ,因此)||||||(||2||||||||2222y x y x y x +≠-++,所以在∞l 上不能定义内积,使得∞l 成为内积空间,且满足),(||||x x x =.利用前面定理,还可以证明内积空间一定是严格凸的.定理5.1.8 设X 是内积空间,则X 一定是严格凸的赋范空间.证明 对于任意X y x ∈,,若y x ≠,且1||||||||==y x ,则由 )||||||(||2||||||||2222y x y x y x +=-++可知4||||4||||22<--=+y x y x ,因而1||2||<+y x ,所以X 是严格凸的.5.2 投影定理内积空间是n R 的自然推广,在内积空间X 上,可以把向量空间n R 的正交和投影等概念引进来.定义5.2.1 设X 是内积空间,X y x ∈,,若0),(=y x ,则称x 与y 正交,记为y x ⊥. 若X M X x ⊂∈,,且对任意M y ∈,有0),(=y x ,则称x 与M 正交,记为M x ⊥.若对任意N y M x ∈∈,,都有0),(=y x ,则称M 与N 正交,记为N M ⊥.若X M ⊂,则称}|{M x X x M ⊥∈=⊥为M 的正交补.例题 5.2.1 设]1,1[-C 为[-1, 1]上的实连续函数全体,内积为⎰-=11)()(),(dt t y t x y x ,若M为[-1, 1]上的实连续奇函数全体,试证明M 的正交补为[-1, 1]上的实连续偶函数全体.证明 (1) 若y 为[-1, 1]上的实连续偶函数,则对所有,M x ∈)()(t y t x 都是[-1, 1]上的实连续奇函数,从而0)()(),(11==⎰-dt t y t x y x ,因此⊥∈M y . (2) 反过来，若⊥∈M y ，令)()()(t y t y t z --=,则)()()()(t z t y t y t z -=--=-,从而)(t z为奇函数,因此M z ∈,所以0),(=z y .由于)()()()()()]()([)(2t z t y t z t y t z t y t y t z --+=--=,因此 0),(),()()()()()(1111112=+=--+=⎰⎰⎰---z y z y dt t z t y dt t z t y dt t z从而 0)]()([112=--⎰-dt t y t y 由)(t y 是连续函数可知)()(t y t y -=,即)(t y 一定是偶函数.由(1)和(2)可知,M 的正交补为[-1, 1]上的实连续偶函数全体.明显地,由以上的定义可以看出下面定理成立.定理5.2.1 设X 为内积空间,X M X x ⊂∈,,则（1） 当y x ⊥时,有222||||||||||||y x y x +=+；（2） 当y x ⊥且z x ⊥时,有)(21z y x λλ+⊥对于任意K ∈21,λλ都成立；（3） 当N M ⊥时,有⊥⊂N M ,且⊥⊂M N ；（4） 当N M ⊂时,有⊥⊥⊃N M ；（5） }0{⊂⊥M M I ,对任意X M ⊂成立.定理5.2.2 设X 是内积空间,X M ⊂,则⊥M 是X 的闭线性子空间.证明 对于任意 ⊥∈M y x ,,及M z ∈,有 0),(=z x 且 0),(=z y因此,对任意 K ∈βα,,有0),(),(),(=+=+z y z x z y x βαβα故⊥∈+M y x βα,即⊥M 是线性子空间.若x x M x n n →∈⊥,,则对任意M z ∈,有0),(lim ),(==∞→z x z x n n , 因此⊥∈M x ,所以,⊥M 是X 的闭线性子空间.定理5.2.3 设X 是内积空间,X M ⊂,则⊥⊥=M M span ))((.证明: 对于M M span ⊃)(因此⊥⊥⊂M M span ))((.反过来,对任意⊥∈M x ,有⊥⊂}{x M ,由上面定理可知⊥}{x 是闭子空间, 故⊥⊂}{x M span ,因而⊥∈))((M span x ,所以⊥⊥⊂))((M span M ,从而⊥⊥=M M span ))((. 定义 5.2.2设X 是内积空间,M ,N 是X 的线性子空间,若N M ⊥,则称},|{N y M x y x H ∈∈+=为M 与N 的正交和,记为N M H +=.如在2R 中,取}|),0{(},|)0,{(2211R x x N R x x M ∈=∈=,则N M ⊥,且N M R +=2.定义5.2.3 设M 是内积空间X 的线性子空间,X x ∈,若存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0则称0x 为x 在M 上的投影.在3R 中,对},|)0,,{(2121R x x x x M ∈=,及任意 X x x x x ∈=),,(321,有⊥∈=∈=M x y M x x x ),0,0(,)0,,(3210,使得y x x +=0即0x 为x 在M 上的投影.定理5.2.4 设X 是内积空间,M 是X 的子空间,X x ∈,若0x 是x 在M 上的投影,则||||inf ||||0z x x x Mz -=-∈ 证明 由于0x 是x 在M 上的投影,因此M x ∈0且M x x ⊥-0,故对于任意M z ∈,有M z x ∈-0,因而z x x x -⊥-00,故2020202002||||||||||||||)()(||||||x x z x x x z x x x z x -≥-+-=-+-=-,所以,||||inf ||||0z x x x Mz -=-∈. 在3R 中,若取},|)0,,{(2121R x x x x M ∈=,则对任意X x x x x ∈=),,(321,x 在M 上的投影)0,,(210x x x =与x 的距离是x 到M 上的最短距离.Schmidt E .在讨论 Hilbert 的原型2l 空间时,在2l 证明了对任一固定的闭子空间M ,若x 是2l 的任一点,则存在唯一的⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0,这就是现在的投影定理.定理5.2.5 设M 是Hilbert 空间X 的闭子空间,则对任意X x ∈,x 在M 上存在唯一的投影,即存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0,且这种分解是唯一的.证明 对于X x ∈,令||||inf ),(z x M x d d Mz -==∈,则存在M x n ∈,使得 d x x n n =-∞→||||lim . 由于M x x n m ∈+2,因此d x x x n m ≥-+||2||. 故 ||)2||||||(||2)||2||2||||||(||2)||2||2(2||||22222222d x x x x x x x x x x x x x x x n m n m n m n m n m --+-≤-+--+-=-=- 由d x x n →-||||,可知}{n x 是Cauchy 列.由于X 是Hilbert 空间,且M 是闭凸集,因此存在M x ∈0,使得0x x n →,所以),(||||0M x d x x =-.令0x x y -=,则y x x +=0,因此下面只须证明M y ⊥.对任意0,≠∈z M z ,及任意K ∈λ,有M z x ∈+λ0.因此d z x x ≥+-||)(||0λ,故22202020||||||)),(Re(2||||||)(||d z z x x x x z x x ≥+---=--λλλ.取20||||),(z z x x -=λ,则 22202022022020|||||),(||||||||||),(||||||),(|2||||d z z x x x x z z x x z z x x x x ≥---=-+---由d x x =-||||0可知,一定有 0),(0=-z x x ,因此z x x ⊥-0对于任意M z ∈成立,即M y ⊥. 由上面讨论可知对于任意M x ∈,存在⊥∈∈M y M x ,0,使得y x x +=0.现证这种分解是唯一的.假设存在另一个M x ∈'0及⊥∈M y ',使得''0y x x +=,则⊥∈-∈-M y y M x x ''00,,故由M x x x x x x y y ∈-=---=-'00'00')()(,可知'y y =.结合前面的定理,还可以得下面推论.推论 5.2.1 设X 是Hilbert 内积空间,M 是X 的闭子空间,X x ∈则M x ∈0使得),(||||0M x d x x =-当且仅当M x x ⊥-0.问题 5.2.1 若M 是Hilbert 空间X 的子空间,但M 不是闭的子空间,那对任意X x ∈,x 在M 上是否存在投影呢？例5.2.2 在2l 中,M 为只有有限项非零的实数列全体构成的子空间,则M 不是2l 的闭子空间。
函数分析中的Hilbert空间和Banach空间
函数分析是现代数学的一个重要分支，它研究的是函数空间及其中函数的性质。
在函数分析中，Hilbert空间和Banach空间是两个非常重要的概念。
本文将介绍Hilbert空间和Banach空间的定义及其在函数分析中的应用。
首先，让我们来了解一下Hilbert空间。
Hilbert空间是由一个内积所赋予的完备性质的向量空间。
对于一个Hilbert空间，我们可以定义内积运算，并且该向量空间在内积的度量下是完备的，也就是说，任一柯西序列都有极限。
Hilbert空间的内积具有线性性、对称性和正定性等性质，同时满足柯西-施瓦茨不等式和三角不等式。
经典的例子包括欧几里得空间，即n维实数向量空间R^n。
Hilbert空间在函数分析中有着广泛的应用。
例如，存在一个重要的表示定理，称为Reisz表示定理，它指出每一个有界线性泛函都可以用内积表示。
这个定理在函数分析的研究中起到了关键的作用，为研究函数空间中的函数提供了重要的工具。
接下来，让我们来了解一下Banach空间。
Banach空间是一个完备的赋范向量空间，也就是说该向量空间中的每一个柯西序列都有极限。
与Hilbert空间不同的是，Banach空间中没有内积结构，而是通过范数来定义空间中向量的大小。
范数具有非负性、齐次性和三角不等式等性质。
经典的例子包括连续函数空间C[0,1]和Lp空间。
Banach空间在函数分析中也有着重要的应用。
特别是在函数空间的研究中，Banach空间提供了非常有力的解析工具。
例如，通过引入范数的概念，我们可以定义连续函数的收敛性和一致连续性，并研究它们的性质。
此外，Banach空间上的算子理论也是函数分析中的重要研究内容，它包括线性算子、有界算子、紧算子等的定义和性质。
总结起来，Hilbert空间和Banach空间是函数分析中两个非常重要的概念。
Hilbert空间通过内积结构提供了一种自然的度量方式，并且有着重要的表示定理。
而Banach空间则通过范数结构定义了向量的大小，并且在函数空间的研究中起到了关键作用。
第4讲希尔伯特(Hilbert)空间
n
n
特别的，在 Rn 中，内积(x, y)
xi yi ，范数 x
xi2 。
i 1
i 1
例 2 在 L2[a,b]中，x(t), y(t) L2[a,b]，
b
定义内积 (x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
范数
x(t)
(
b
x2
(t
)dt
)
第4章 希尔伯特（ Hilbert）空间
§4.1 内积空间和Hilbert空间 §4.2 正交分解与投影定理 §4.3 广义Fourier分析
在第 3 章中，我们建立了赋范线性空间，给向量赋 予了范数，即向量的长度，它是 Rn 中向量长度在抽象空 间中的推广。但在 Rn 中向量还有一个很重要的特征—— 向量之间的夹角、正交等概念。特别是有了正交概念以 后，由它可以得到勾股定理、正交投影定理，这是建立 某些数值算法的重要理论。本章将这些概念抽象推广到 一般的赋范线性空间，建立了内积空间和 Hilbert 空间。
② 当 X 为复赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) i ( x iy 2 x iy 2 )
4
4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。
注：若赋范线性空间 X 的范数不满足平行四边形公式， 则 X 不能成为内积空间。
（3）内积的连续性
（2）判别定理 若赋范线性空间 X 的范数 满足平行 四边形公式 x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 ) ，则 X 可成为 内积空间。
证： ①当 X 为实赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) 4
内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间
内积空间是希尔伯特空间的特例
完备的内积空间具有完备的几何结构，使得向量可以 按照内积进行长度和角度的度量，并且存在一个完备 的基底来表示空间中的任意向量。
内积空间是一个具有内积运算的线性空间，其满足正 定性、对称性和线性等性质。希尔伯特空间是内积空 间的特殊情况，它是一个完备的内积空间。
希尔伯特空间是内积空间的推广
Annual Work Summary Report
2021
2022
2023
目录
Байду номын сангаас
O1
引言
coOnte2nts
内积空间的基 本性质
O3
希尔伯特空间 的基本性质
O4
内积空间与希 尔伯特空间的 关系
O5
希尔伯特空间 的几何解释
O6
希尔伯特空间 的应用
#O1
引言
#2022
什么是内积空间
内积运算用于计算向量之间的角度和长度，是线性 代数和泛函分析中的基本概念。 内积空间是一个向量空间，其中定义了一个内积运 算，满足非负性、正交性、对称性和三角不等式等 性质。
希尔伯特空间的例子
$L^2$空间
01
函数空间，其元素是平方可积函数，通常用于描述物理系统的
状态。
$L^2$空间的子空间
02
例如，$L^2(0,1)$的闭子空间，通常用于描述量子力学中的束
缚态。
有限维空间
03
例如，$R^n$（实数向量空间），其具有有限个维度。
#O4
内积空间与希尔 伯特空间的关系
#2022
描述算子
在量子力学中，概率幅可以通过希尔伯 特空间中的内积计算。
计算概率幅
在信号处理和图像处理中的应用
hilbert空间中 积分的范数小于范数的积分
hilbert空间中积分的范数小于范数的积分在Hilbert空间中，积分的范数小于范数的积分是一个非常重要且深奥的概念。
在本文中，我们将从简单到复杂地探讨这个主题，深入解读其含义，并共享我们的个人观点和理解。
1. 什么是Hilbert空间？让我们简要介绍一下Hilbert空间。
Hilbert空间是一个具备内积和完备性的向量空间，它是数学分析和量子力学中非常重要的概念。
在Hilbert空间中，我们可以定义向量的长度和角度，从而使得我们能够进行更深入的分析和讨论。
2. 积分的范数和范数的积分接下来，让我们来了解一下积分的范数和范数的积分。
在Hilbert空间中，对于一个可测函数f(x)，我们可以定义其范数||f||为关于内积的平方根。
我们可以定义积分的范数为整个空间中所有可测函数的范数的上确界。
而范数的积分则是针对积分空间中所有可测函数的积分的上确界。
当积分的范数小于范数的积分时，意味着函数在Hilbert空间中的收敛性更好，更能够刻画函数的性质。
3. 深入理解积分的范数小于范数的积分通过上面的介绍，我们可以看到积分的范数小于范数的积分这一概念实际上是在讨论函数在Hilbert空间中的收敛性和性质。
当积分的范数小于范数的积分时，意味着函数的波动性更小，更符合Hilbert空间的完备性和内积的定义。
这一性质在实际的数学分析和量子力学中有着非常重要的应用，能够帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
4. 个人观点和理解从我个人的角度来看，积分的范数小于范数的积分这一概念是Hilbert 空间理论中非常有趣且深刻的地方。
它不仅在数学分析中有着重要的应用，同时也可以帮助我们更好地理解量子力学中的波函数性质。
通过深入研究这一概念，我们可以更好地理解Hilbert空间的完备性和内积的定义，从而更深刻地理解函数在高维空间中的性质。
总结回顾通过本文的探讨，我们从简单到复杂地介绍了Hilbert空间中积分的范数小于范数的积分这一概念。
Hilbert空间
Hilbert班级：15级自动化三班姓名：谢洪涛学号：115110001090指导老师：姚洪亮[《现代分析基础》读书报告——HILBERT 空间]摘要：本文从初学者的角度详细介绍了Hilbert空间的引出与定义，直交性与投影定理，内积空间的直交系以及Hilbert空间在量子力学中的引用。
其中包括了详细的定义定理阐述与证明，以及相应问题的典型举例。
在文章最后给出了Hilbert个人的一些介绍，可以感受到Hilbert空间理论的深刻的背景，加深对理论的学习和理解，同时也向伟大的数学家致敬。
目录1. 内积与H ILBERT空间 (1)1.1 内积的定义与性质 (1)1.2 Hilbert空间的定义 (3)2. 直交性与投影定理 (4)2.1 直交性 (4)2.2 投影定理 (5)3. 内积空间中的直交系 (8)3.1 标准直交系 (8)3.2 标准直交系的一些性质 (11)4.H ILBERT空间在量子力学中的应用 (13)4.1 对Hilbert空间的描述 (13)4.2 量子力学中对Hilbert空间的描述 (13)4.3 为何要引进Hilbert空间来描述态矢量所在空间 (14)5. 附录 (14)5.1 Hilbert简介 (14)5.3 感想与致谢 (15)5.2 参考文献 (16)1. 内积与Hilbert 空间1.1 内积的定义与性质在欧式空间中有一些重要的基本概念，如向量的内积、夹角、正交以及投影等，这些概念在欧式空间几何学中起着重要的作用。
为此，我们将把这些概念抽象化、引入到线性空间中去，就得到Hilbert 空间。
首先回顾解析几何中的有关概念：例如，在R^2中，任意两个向量),(),,(2121y y y x x x ==的内积为2211),(y x y x y x +=x 与y 的夹角为||||),(cos y x y x =α 当x=y 时，1cos =α，),(||2x x x =，从而向量长度为),(||x x x =当x 与y 正交，2πα=，0cos =α−→−0),(=y x 。
第5讲(3)Hilbert空间
(2)若 Y 是有限维子空间,则 Hilbert空间；
Y 一定是
18
(3)若 X 可分,则 Y 一定可分。
3
§3 内积与范数的关系 定理4.16 (极化恒等式)在内积空间中,内积 与范数有如下关系: (1)设
证明 (1)当 X 为实内积空间时,有
x+ y − x− y
2
2
X 为实内积空间,则有
=< x + y, x + y > − < x − y, x − y > =< x, x > + < y, x > + < x, y > + < y, y >
p ≥ 1 且 p ≠ 2 时, (l p , ⋅ p )
这就是说平行四边形法则不成立，故 时， l 对范数
p
p≠2
p
⋅ p 来说不能定义内积。
x = (1,1, 0,K), y = (1, −1, 0,K) ∈ l p ，
1 p
p ≥ 1 但 p ≠ 2 时, (l [ a, b ] , ⋅ p ) 不是内积空间。
由(4.3.1)和(4.3.2)得到 (4.3.2)
X 中利用该范数无法定义内
X 中原来的范数。但可以证
22
积,也就是说, X 上不能定义一个内积,使得由它 产生的范数正好是 明，若 X 中的范数满足平行四边形公式，则可
4 < x, y >= x + y − x − y
2
2
2
+i x + iy − i x − iy .
+
< x, y > < y, y >
hilbert空间的最佳逼近定理的几何意义
hilbert空间的最佳逼近定理的几何意义一、引言Hilbert空间是数学中重要的概念之一，它是一种完备的内积空间。
在实际应用中，Hilbert空间经常被用来描述物理现象、信号处理、图像处理等领域。
而最佳逼近定理则是Hilbert空间中的一个重要定理，它具有很强的几何意义。
本文将从几何角度出发，探讨Hilbert空间的最佳逼近定理的几何意义。
二、Hilbert空间和最佳逼近定理1. Hilbert空间Hilbert空间是指一个完备的内积空间，也就是说，在这个空间中任意一个柯西序列都有一个极限点。
同时，在这个内积空间中定义了向量之间的内积运算，使得这个向量空间成为一个带有度量结构的向量空间。
2. 最佳逼近定理最佳逼近定理是指在Hilbert空间中，对于任意给定的向量f和子集S （S为该Hilbert子集下所有可能函数组成的集合），都存在唯一一个g∈S，使得||f-g||最小。
其中||·||表示范数（也就是长度）。
三、线性代数与几何1. 线性代数线性代数是数学中的一个分支，主要研究向量、矩阵和线性变换等概念。
在线性代数中，向量可以被看作是带有长度和方向的量。
2. 几何几何是研究空间形态、大小、位置关系和运动的一门学科。
在几何中，我们通常使用点、线、面等基本元素来描述空间。
四、最佳逼近定理的几何意义1. 点到直线的最短距离问题我们考虑一个点P到一条直线L的距离问题。
这个距离可以被看作是一个函数f(x)，其中x表示点P在直线L上的投影点。
因此，我们可以将这个问题转化为在Hilbert空间中寻找一个函数g(x)使得||f(x)-g(x)||最小。
而这个函数g(x)就是点P到直线L的最短距离函数。
2. 曲面拟合问题曲面拟合问题是指给定一些散点数据，如何用一个曲面来拟合这些数据。
我们可以将这些散点数据看作是一个函数f(x,y)，其中x和y表示平面上的坐标。
因此，我们可以将这个问题转化为在Hilbert空间中寻找一个函数g(x,y)使得||f(x,y)-g(x,y)||最小。
HILBERT空间
Hilbert 空间定义：完备的内积空间称为Hilbert 空间 （1）内积线性空间K 上的一个共轭双线性函数(,):v K K K ⋅⨯→ 称为一个内积，如果它满足a: (,)(,)x y y x = (,)x y K ∀∈ (共轭对称性)b: (,)0x x ≥ ()x K ∀∈ (,)0x x x θ=⇔= (正定性)（2）具有内积的线性空间称为内积空间（3）完备 空间中所有基本列都是收敛列就称该空间是完备的Hilbert 空间能将更多的集合概念，如角度、垂直性等成功地引入中线公式 22222()x yx yx y ++-=+证明：,,,x y x y x y x y x y y x +=++=+++ 同理有,,,x y x y x y x y x y y x -=--=+-- 故等式显然成立定义：（1）设,x y X ∈若(,)0x y =，则说x 与y 正交，记作x y ⊥（2）设{:}i x i I X ∈⊂，若当i j ≠时i j x x ⊥，则称{}i x 为正交系（或正交集、正交组），若{}i x 是正交系且1i x =（i I ∀∈）则称{}i x 为标准正交基。
（3）设,A B X ⊂,约定A B ⊥ ,:;{}a A b B a b x A x A ⇔∀∈∈⊥⊥⇔⊥{:}A x X x A ⊥=∈⊥称A ⊥为集A 的正交补★定理：设{:}i e i N ∈是Hilbert 空间X 中的标准正交系，则以下条件互相等价 （1）对每个x X ∈有以下Fourier 展开式1i i i x x e ∞∧==∑，其中,(1,2,)iix x e i ∧∆=<>=⋅⋅⋅称为x关于{}i e 的Fourier 系数 （2）{}i e 是X 的基本集（3）{}i e 是极大正交系，即若i x e ⊥ (1,2,)i =⋅⋅⋅，则必有0x =（4）任给x X ∈，成立以下Parseval 等式：221i i x x ∞∧==∑证 显然（1）⇔（2）（2）⇔（3） 设条件（2）满足，i x e ⊥ (1,2,)i =⋅⋅⋅，取{}n x X ⊂，使n x x → ()n →∞，且每个n x 是{}i e 的有限线性组合，则必有,0n x x <>=(1,2,)n =⋅⋅⋅，从而2l i m ,0n nx x x =<>=，这推出0x = （3）⇒（1）设条件（3）满足。
泛函分析中的Hilbert空间与Banach空间
泛函分析中的Hilbert空间与Banach空间在泛函分析中，Hilbert空间和Banach空间是两个重要概念。
它们分别是线性代数和函数分析的两个基础概念，被广泛应用于数学、物理学和工程学等领域。
本文将介绍Hilbert空间和Banach空间的定义、性质和应用。
一、Hilbert空间1. 定义Hilbert空间是一个完备的内积空间，即一个定义了内积的线性空间，并且对于其中的任意柯西序列，都存在一个极限，使得这个空间也是一个完备的度量空间。
2. 性质Hilbert空间具有以下性质：（1）正交性：对于Hilbert空间中的任意两个非零向量x和y，如果它们的内积为0，则称它们正交。
（2）投影定理：对于Hilbert空间中的任意向量x和子空间M，存在一个M中的唯一向量y，使得x-y正交于M，并且x-y的范数最小。
（3）完备性：Hilbert空间中的柯西序列必定收敛。
3. 应用Hilbert空间在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如，在量子力学中，态空间是一个Hilbert空间；在信号处理中，信号可以表示为Hilbert空间中的向量；在图像处理中，图像的像素可以看作是Hilbert空间中的元素。
二、Banach空间1. 定义Banach空间是一个完备的赋范线性空间，即一个定义了范数的线性空间，并且对于其中的任意柯西序列，都存在一个极限，使得这个空间也是一个完备的度量空间。
2. 性质Banach空间具有以下性质：（1）范数性质：对于Banach空间中的任意向量x，有范数\|x\|>=0，且当且仅当x=0时取等号；对于任意实数α，则有 \|αx\|=|α|\|x\|；对于任意两个向量x和y，则有 \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|。
（2）空间完备性：Banach空间中的柯西序列必定收敛。
3. 应用Banach空间在数学分析和函数分析中有着重要的应用。
例如，在泛函分析中，很多重要的函数空间，如连续函数空间和Lp空间，都是Banach空间。
量子力学中的Hilbert空间
量子力学中的Hilbert空间罗XX（XX大学物理科学学院XX级光X班）摘要解偏微分时，需要解本征值方程，常用的方法是级数法。
这时需要有一个函数空间，其轴是一组正交完备系。
由一组正交完备的基底通过线性叠加组成方程的解。
本征解既是在一个具体表象（固定坐标轴）中只有一个轴表示。
这个空间叫做希尔伯特空间。
关键词Hilbert空间、态、态矢量、表象引言在量子力学的研究中用到了Hilbert空间来描述微观系统的态空间，为研究带来了理论基础及方便。
一、对Hilbert空间的描述在数学领域，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。
与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。
此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。
希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。
希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。
[1]二、量子力学中对Hilbert空间的描述同一个态可以在不同的表象中用波函数来描述，所取的表象不同，波函数的形式也不同，但他们描写同一个态。
这和几何中一个矢量可以在不同的坐标系中描写类似。
矢量A可以在直角笛卡尔坐标中用三个分量（Ax,Ay,Az）来描写，也可以在球极坐标中用三个分量（Ar,Aθ,Aφ）来描写等等。
在量子力学中，我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。
选取一个特定的Q表象，就相当选取一个特定的坐标系。
Q的本征函数u1(x)u2(x)u3(x)···un(x)···是这个表象的基矢。
这相当于直角坐标系中单位矢量i,j,k。
波函数（（a1(t)a2(t)···）是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向的“分量”。
偏微分方程_hilbert空间_概述及解释说明
偏微分方程hilbert空间概述及解释说明1. 引言1.1 概述引言部分将介绍本篇长文的主题以及所讨论的内容。
本文将着重探讨偏微分方程和Hilbert空间的概念，并比较解析解和数值解方法在偏微分方程求解中的优劣势。
通过对问题背景和相关领域的概况进行描述，引言部分将为读者提供整体上下文框架。
1.2 文章结构本文共分为五个主要部分，每个部分都有相应的子节。
以下是各个部分的简要介绍：第二部分“偏微分方程概述”将开始对偏微分方程的定义、常见类型以及与数学建模之间的关系进行全面阐述。
第三部分“Hilbert空间介绍”将详细描述Hilbert空间的定义、性质以及在数学和物理领域中的应用。
第四部分“解析解与数值解方法比较”将重点比较解析解和数值解方法对于偏微分方程求解所具有的特点和优势，并以实际案例进行深入探讨。
最后一部分“结论与展望”则会对整篇文章进行总结，展望未来可能的研究方向和发展趋势。
1.3 目的本文的目的是全面介绍偏微分方程和Hilbert空间，并探讨解析解与数值解方法在求解偏微分方程中的应用。
通过比较不同方法之间的优劣，读者可以对该领域有更深入的了解。
此外，我们还将提供一些未来可能的研究方向，以鼓励读者进一步探索相关领域，并对本文进行总结和结束语部分。
2. 偏微分方程概述：2.1 偏微分方程定义偏微分方程是描述多变量函数与其偏导数之间关系的方程。
它涉及未知函数的各种偏导数，以及独立变量（例如时间和空间）之间的关系。
一般而言，偏微分方程包含了函数本身及其对各个自变量的各阶偏导数。
2.2 常见类型的偏微分方程在实际问题中，我们常遇到几种类型的偏微分方程。
其中，常见的一类是椭圆型偏微分方程，如拉普拉斯方程；另一类是抛物型偏微分方程，如热传导方程；还有一类是双曲型偏微分方程，如波动方程。
每种类型的偏微分方程都具有不同的性质和解法。
2.3 数学建模与偏微分方程在科学研究和工程领域中，往往需要通过建立数学模型来描述实际现象或问题。
希尔伯特空间 柯西施瓦布不等式
希尔伯特空间柯西施瓦布不等式
希尔伯特空间（Hilbert Space）是数学中的一个重要概念，它是一个完备的内积空间。
在这个空间中，向量之间的内积被定义为一个满足特定性质的函数，这个函数可以度量向量之间的“夹角”以及向量的“长度”。
希尔伯特空间为许多数学和物理领域提供了强大的工具，包括量子力学、调和分析、数值分析等。
柯西施瓦布不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是希尔伯特空间中的一个基本不等式，它表述为：对于任意两个向量x和y，在希尔伯特空间中，它们的内积的绝对值不超过它们各自模的乘积，即 |<x, y>| ≤ ||x|| ||y||，其中||x||和||y||分别表示向量x和y 的模。
柯西施瓦布不等式的应用非常广泛。
在数值分析中，它常用于估计误差界限；在优化理论中，它是很多优化算法的基础；在信号处理中，它被用来描述信号之间的相关性。
此外，这个不等式也是量子力学中许多重要结论的基础，如不确定性原理。
柯西施瓦布不等式不仅在数学中占据重要地位，还在实际应用中发挥着巨大作用。
它提供了一种度量向量之间关系的方式，同时也是许多数学定理和物理原理的基础。
在希尔伯特空间中，柯西施瓦布不等式是一个强有力的工具，它帮助我们理解和处理向量空间中的各种问题。
Hilbert 空间
中 (x, x)0
2 ，证明 0(∀x ∈ H )．如记 p(x) = (x, x)0
• p(x) 是 H 中的半范数； • ker p = {x : p(x) = 0} 是线性空间． • 在商空间 L = H/ ker p 上规定： (˜ x, y ˜) = (x, y )0 , 证明 (·, ·) 是 L 上的内积． 8. 证明任何内积空间都可完备化成为 Hilbert 空间． 9. 设 p(t) 是 (−∞, ∞) 上 Lebesgue 可积的实函数，p(t) > 0(∀t ∈ R)，H 是 ∞ (−∞, ∞) 上 Lebesgue 可测，并且满足 −∞ |f (t)|2 p(t) dt < ∞ 的 f (t) 全 体．证明 H 按通常函数的线性运算以及
其中 x, y, z ∈ Cn 。 在 Euclid 空间中内积概念之所以重要，是由于可以利用它在 Cn 中建立 Euclid 几何学，例如：向量的交角、垂直、投影等等重要几何概念都是由内积 表述的．在某些无限维空间中也能定义内积概念，它具有性质 (i)-(iii)，例如平 方可积函数空间 L2 [a, b] 中，两向量 f (x), g (x) 的内积 (f, g ) 定义为 141
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . .
|(x, y )| |(x, y )|2 + (x, x) − 2 (y, y ) (y, y ) (y, y )2 这就是 (5.1)
希尔伯特空间（HilbertSpace）是什么？
希尔伯特空间（HilbertSpace）是什么？
希尔伯特空间是⽼希在解决⽆穷维线性⽅程组时提出的概念, 原来的线性代数理论都是基于有限维欧⼏⾥得空间的, ⽆法适⽤, 这迫使⽼希去思考⽆穷维欧⼏⾥得空间, 也就是⽆穷序列空间的性质。
⼤家知道, 在⼀个欧⼏⾥得空间R^n上,所有的点可以写成为:X=(x1,x2, x3,....xn). 那么类似的, 在⼀个⽆穷维欧⼏⾥得空间上点就是:X=(x1, x2, x3,....xn,.....), ⼀个点的序列.
欧⽒空间上有两个重要的性质,⼀是每个点都有⼀个范数(绝对值,或者说是⼀个点到原点的距离),||X||^2=∑xn^2, 可是这⼀重要性质在⽆穷维时被破坏了: 对于⽆穷多个xn,
∑xn^2可以不存在(为⽆穷⼤). 于是希尔伯特将所有∑xn^2为有限的点做成⼀个⼦空间,并赋以 X*X'=∑xn*xn' 作为两点的内积. 这个空间我们现在叫做 l^2, 平⽅可和数列空间,这是最早的希尔伯特空间了.。
Hilbert空间-矢量空间-线性算符
15
Schwartz 不等式 对于任意矢量和， || || ||.
三角不等式 对于任意矢量 和 ，有 || | || |.
16
§1.1.3 基 矢
1、线性无关
定义 矢量空间中有限个(n个)矢量的集合(i):
n
若 i i 0 只有当全部复数 i 都为零时才成立 i 1
可记： =
4
2、数乘
集合内每一矢量可以与数(实数或复数)相乘，得 出集合内另一矢量。
对于任意的数 和，数乘须满足下述条件:
( ) ( ) 1
第一分配律 第二分配律 结合律
5
3、内积 在空间中可以定义某种规则，使按一定次序任
§1.4 矢量空间的直和与直积
1 直和空间; 2 直积空间
2
§1.1 矢 量 空 间
§1.1.1 定义
矢量空间：一组称为矢量的元素 的
集合，当其满足下述加法和数乘运算时，称为 矢量空间； 希尔伯特空间：具有加法、数乘及内积三种运 算的矢量空间，称为Hilbert空间。
3
1、加法
(ii)数乘中的数为实数，以 数乘的结果是方向 不变，长度乘以；
(iii)标积是两矢量的点乘积。
这是一个实数域上的内积空间。
12
例3、取数学对象为一组有序的复数, 譬如三个
数, 可以将其写为一个列矩阵:
a1 a a2
a3
(i)加法, (ii)数乘和(iii)标积
数, 并等于单一空间中 的内积( )即
|= ( ) = c
并且规定, 内积的运算满足以下四个条件：
*;
, ; a a ,a a ;
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Hilbert班级：15级自动化三班姓名：谢洪涛学号：115110001090指导老师：姚洪亮[《现代分析基础》读书报告——HILBERT 空间]摘要：本文从初学者的角度详细介绍了Hilbert空间的引出与定义，直交性与投影定理，内积空间的直交系以及Hilbert空间在量子力学中的引用。
其中包括了详细的定义定理阐述与证明，以及相应问题的典型举例。
在文章最后给出了Hilbert个人的一些介绍，可以感受到Hilbert空间理论的深刻的背景，加深对理论的学习和理解，同时也向伟大的数学家致敬。
目录1. 内积与H ILBERT空间 (1)内积的定义与性质 (1)Hilbert空间的定义 (3)2. 直交性与投影定理 (5)直交性 (5)投影定理 (6)3. 内积空间中的直交系 (8)标准直交系 (8)标准直交系的一些性质 (11)4. H ILBERT空间在量子力学中的应用 (13)对Hilbert空间的描述 (13)量子力学中对Hilbert空间的描述 (14)为何要引进Hilbert空间来描述态矢量所在空间 (14)5. 附录 (15)Hilbert简介 (15)感想与致谢 (16)参考文献 (17)1. 内积与Hilbert 空间内积的定义与性质在欧式空间中有一些重要的基本概念，如向量的内积、夹角、正交以及投影等，这些概念在欧式空间几何学中起着重要的作用。
为此，我们将把这些概念抽象化、引入到线性空间中去，就得到Hilbert 空间。
首先回顾解析几何中的有关概念：例如，在R^2中，任意两个向量),(),,(2121y y y x x x ==的内积为2211),(y x y x y x +=x 与y 的夹角为||||),(cos y x y x =α 当x=y 时，1cos =α，),(||2x x x =，从而向量长度为),(||x x x =当x 与y 正交，2πα=，0cos =α−→−0),(=y x 。
由此可见，内积的概念是基本的，用它可以引进向量长度（范数）、向量间的正交、投影等概念。
在实欧式空间中内积还具有如下基本性质：1) 对称性：),(),(x y y x =；2) ),(),(),(z y z x z y x βαβα+=+（对第一变元线性）3) 0),(≥x x ，当且仅当ο=x 时0),(=x x （正定性）以此为基础，对一般抽象线性空间中引入内积概念如下：定义 设X 为实（或复）数域K 上的线性空间，若X 内任意一对元素x,y 恒对应K 中一个数，记为),(y x ，它满足：1）共轭对称性：对任何X y x ∈,,),(),(x y y x =； 2） 对第一个变元线性：对任何X z y x ∈,,及任何两数K ∈βα,，),(),(),(z y z x z y x βαβα+=+；3） 正定性：对一切X x ∈，0),(≥x x ，而且0),(=x x 的充要条件是ο=x ； 那么就称),(y x 为X 中的内积，称X 为实（或复）内积空间，简称X 为内积空间。
由内积定义，不难证明下列事实：1） 当K 是实数域时，由对称性知),(),(),(22112211y x y x y x x αααα+=+),(),(),(22112211y x y x y y x αααα+=+故),(y x 对y x ,都是线性；2）当K 是复数时，),(y x 对x 是线性的，关于第二个变元是共轭线性的),(),(),(22112211y x y x y y x αααα+=+3）当y x ,中有一个为零时，0),(=y x ；4）设X 为复内积空间，则对任意X y x ∈,，满足Schwarz 不等式：),(),(|),(|y y x x y x ≤5）在X 内定义范数x 如下：),(x x x =，X x ∈则X 为以此范数的赋范线性空间，由Schwarz 不等式有),(2y x y x y x ++=+),(),(),(),(y y x y y x x x +++= 222y y x x +•=≤ ()2yx +=即y x y x +≤+故称在内积空间X 中定义的范数为由内积导出的范数，X 为赋范线性空间；7）内积空间中的内积与范数有下列关系：()()222241,iy x i iy x i y x y x y x --++--+=称为极化恒等式； 8）在内积空间导出的范数满足平行四边形公式：()222222y x y x y x +=-++例如，2R X =时，上式的意思就是：平行四边形的对角线长的平方和等于四边长的平方和，所以称为平行四边形公式。
可以证明：若赋范线性空间X 的范数满足平行四边形公式，那么在X 中可以定义内积，使X 成为内积空间X 且X 中原来的范数是内积导出的。
并非任一赋范线性空间的范数都能定义内积，使之原来的范数由该内积导出，例如[]b a L p ,，当2,1≠≥p p 时，它就不是内积空间，因为在[]b a L p ,中不满足平行四边形公式。
因此，平行四边形公式是赋范线性空间成为内积空间的充分必要条件，范数满足平行四边形公式是内积空间的特征。
Hilbert 空间的定义定义 内积空间X 作为赋范线性空间，如果是无限维且完备，则称它为Hilbert 空间。
系数域为复数（或实数）的Hilbert 空间称为复（或实）的Hilbert 空间。
例 空间2l ，设),,,,(21⋯⋯⋯⋯=n x ξξξ，n n R y ∈⋯⋯⋯⋯=),,,(21，ηηη定义 ()∑∞==1,i i i y x ηξ不难验证()y x ,是2l 中内积，2l 为内积空间，并由内积导出范数为∑∞==12i i x ξ且2l 完备，因此，2l 是Hilbert 空间。
例 空间[]b a C ,按范数)(max ],[t x x b a t ∈=不能成为内积空间，这是因为此范数不满足平行四边形公式，事实上，取1)(0=t x ，],[)(0b a C ab a t t y ∈--= 则100==y x ，但21max ],[00=--+=+∈ab a t y x b a t 11max ],[00=---=-∈a b a t y x b a t 因此，平行四边形公式不成立。
然而，若在[]b a C ,中令范数为212))((dt t x x b a ⎰=， 则[]b a C ,可以成为内积空间，其内积定义为dt t y t x y x ba ⎰=)()(),(， 此时范数可由内积导出，但这时[]b a C ,不完备，所以不是Hilbert 空间。
2. 直交性与投影定理直交性在内积空间中，因为向量之间定义了内积，我们可以导出与解析几何中类似的正交性概念和投影定理。
定义 设X 是内积空间，X y x ∈,，若0),(=y x ，则称x 与y 直交（或正交），记y x ⊥；设M 是X 的一个子集，若x 与M 中每个元素直交，称x 与M 直交，记M x ⊥；M 是X 的一个子集，X 中所有与M 直交的元素全体称为M 的直交补，记为⊥M ，即},|{X y M y y M ∈⊥=⊥若1M 与2M 是X 中的两个子空间，21M M ⊥,那么称},|{221121M x M x x x M ∈∈+=为1M 与2M 的直交和（或正交和），记为21M M ⊕。
根据上述定义，容易得到一下性质：1）（勾股定理）设X 是内积空间，X x x ∈21,，且21x x ⊥，令21x x x +=，则22212x x x +=。
2）设L 为X 中的一个稠密子集，若X x ∈且L x ⊥，则ο=x 。
3） 设X M ⊂，则⊥M 必为X 的闭线性子空间。
证明：任取⊥∈M y x ,,对任意的M z ∈及数βα、，有()0),(),(,=+=+z y z x z y x βαβα故⊥∈+M y x βα，又设⊥⊂M x n }{为任意收敛的子列，且x x n →，由内积的连续性，对任意M z ∈，()0),(lim ,==∞→z x z x n n 故⊥∈M x ，因而⊥M 是闭线性子空间。
投影定理下面把解析几何中向量投影的概念推广到内积空间。
定义 设M 为内积空间X 的线性子空间，X x ∈，若存在M x ∈0，⊥∈M x 1，使10x x x +=则0x 为x 在M 上的投影，称上式为x 关于M 的直交分解。
定理 （变分引理）设M 是内积空间X 中的完备凸子集，X x ∈，记d 为x 到M 的距离y x M x d d My -==∈inf ),( 则必有唯一的M x ∈0使得d x x =-0。
证明：存在性。
由距离定义，必定有M 中点列}{n x 使得d x x n n =-∞→lim这样的点列称为“极小化”序列，下面证明}{n x 是基本列。
由平行四边形公式得22222222x x x x x x x x x n m n n m n m-+--+-=- 因为M 是凸集，M x x n m ∈+2，所以 d x x x n m ≥-+2从而得22222220d x x x x x x n m n m--+-≤-≤令∞→n m ,，就有0lim 2,=-∞→n m m n x x所以}{n x 是基本列。
因为M 是个完备的子距离空间，所以有M x ∈0，使0x x n →，这时d x x x x n n =-=-∞→lim 0 唯一性。
如果M 中还有元0y ，使d y x =-0，那么点列},,,,{0000⋯y x y x 显然是“极小化序列”。
因为是基本列，这说明00y x =，也就是说，在M 中使d x x =-0的元0x 是唯一的。
证毕。
定理 （投影定理）设M 为Hilbert 空间X 中闭线性子空间，则对任意X x ∈，x 在M 上的投影存在且唯一，即存在唯一的M x ∈0及M x ⊥1，使10x x x +=证明 由于M 是线性闭子空间，故M 是完备凸子集，令),(M x d ρ=由变分引理知，存在唯一的点M x ∈0，使d x x =-0，设01x x x -=，现证M x ⊥1：任取M z ∈，ο≠z ，则对任意复数λ，M z x ∈+λ0，故220020202),(),(z x x z z x x x x z x x d λλλλ+-----=--≤ 由d x x =-0，移项得 0),(),(2200≤--+-z x x z z x x λλλ 取20),(z z x x -=λ，得0),(20≤-z x x ，故对任意的M z ∈，必有0),(0=-z x x 这表明M x x x ⊥-=01，因此10x x x +=其中M x ∈0，M x ⊥1。