Hilbert空间

Hilbert

班级：15级自动化三班

姓名：谢洪涛

学号：115110001090

指导老师：姚洪亮

[《现代分析基础》读书报告——HILBERT 空间]

摘要：本文从初学者的角度详细介绍了Hilbert空间的引出与定义，直交性与投影定理，内积空间的直交系以及Hilbert空间在量子力学中的引用。其中包括了详细的定义定理阐述与证明，以及相应问题的典型举例。在文章最后给出了Hilbert个人的一些介绍，可以感受到Hilbert空间理论的深刻的背景，加深对理论的学习和理解，同时也向伟大的数学家致敬。

目录

1. 内积与H ILBERT空间 (1)

内积的定义与性质 (1)

Hilbert空间的定义 (3)

2. 直交性与投影定理 (5)

直交性 (5)

投影定理 (6)

3. 内积空间中的直交系 (8)

标准直交系 (8)

标准直交系的一些性质 (11)

4. H ILBERT空间在量子力学中的应用 (13)

对Hilbert空间的描述 (13)

量子力学中对Hilbert空间的描述 (14)

为何要引进Hilbert空间来描述态矢量所在空间 (14)

5. 附录 (15)

Hilbert简介 (15)

感想与致谢 (16)

参考文献 (17)

1. 内积与Hilbert 空间

内积的定义与性质

在欧式空间中有一些重要的基本概念，如向量的内积、夹角、正交以及投影等，这些概念在欧式空间几何学中起着重要的作用。为此，我们将把这些概念抽象化、引入到线性空间中去，就得到Hilbert 空间。首先回顾解析几何中的有关概念：

例如，在R^2中，任意两个向量),(),,(2121y y y x x x ==的内积为

2211),(y x y x y x +=

x 与y 的夹角为

|

|||),(cos y x y x =α 当x=y 时，1cos =α，),(||2x x x =，从而向量长度为

),(||x x x =

当x 与y 正交，2π

α=，0cos =α−→−

0),(=y x 。 由此可见，内积的概念是基本的，用它可以引进向量长度（范数）、向量间的正交、投影等概念。在实欧式空间中内积还具有如下基本性质：

1) 对称性：),(),(x y y x =；

2) ),(),(),(z y z x z y x βαβα+=+（对第一变元线性）

3) 0),(≥x x ，当且仅当ο=x 时0),(=x x （正定性）

以此为基础，对一般抽象线性空间中引入内积概念如下：

定义 设X 为实（或复）数域K 上的线性空间，若X 内任意一对元素x,y 恒对应K 中一个数，记为),(y x ，它满足：

1）

共轭对称性：对任何X y x ∈,,),(),(x y y x =； 2） 对第一个变元线性：对任何X z y x ∈,,及任何两数K ∈βα,，

),(),(),(z y z x z y x βαβα+=+；

3） 正定性：对一切X x ∈，0),(≥x x ，而且0),(=x x 的充要条件是ο=x ； 那么就称),(y x 为X 中的内积，称X 为实（或复）内积空间，简称X 为内积空间。

由内积定义，不难证明下列事实：

1） 当K 是实数域时，由对称性知

),(),(),(22112211y x y x y x x αααα+=+

),(),(),(22112211y x y x y y x αααα+=+

故),(y x 对y x ,都是线性；

2）当K 是复数时，),(y x 对x 是线性的，关于第二个变元是共轭线性的

),(),(),(22112211y x y x y y x αααα+=+

3）当y x ,中有一个为零时，0),(=y x ；

4）设X 为复内积空间，则对任意X y x ∈,，满足Schwarz 不等式：

),(),(|),(|y y x x y x ≤

5）在X 内定义范数x 如下：

),(x x x =，X x ∈

则X 为以此范数的赋范线性空间，由Schwarz 不等式有

),(2

y x y x y x ++=+

),(),(),(),(y y x y y x x x +++= 2

22y y x x +•=≤ ()2

y

x +=

即

y x y x +≤+

故称在内积空间X 中定义的范数为由内积导出的范数，X 为赋范线性空间；

7）内积空间中的内积与范数有下列关系：

()()22224

1,iy x i iy x i y x y x y x --++--+=

称为极化恒等式； 8）在内积空间导出的范数满足平行四边形公式：

()222222y x y x y x +=-++

例如，2R X =时，上式的意思就是：平行四边形的对角线长的平方和等于四边长的平方和，所以称为平行四边形公式。

可以证明：若赋范线性空间X 的范数满足平行四边形公式，那么在X 中可以定义内积，使X 成为内积空间X 且X 中原来的范数是内积导出的。

并非任一赋范线性空间的范数都能定义内积，使之原来的范数由该内积导出，例如[]b a L p ,，当2,1≠≥p p 时，它就不是内积空间，因为在[]b a L p ,中不满足平行四边形公式。

因此，平行四边形公式是赋范线性空间成为内积空间的充分必要条件，范数满足平行四边形公式是内积空间的特征。

Hilbert 空间的定义

定义 内积空间X 作为赋范线性空间，如果是无限维且完备，则称它为Hilbert 空间。系数域为复数（或实数）的Hilbert 空间称为复（或实）的Hilbert 空间。

例 空间2l ，设

),,,,(21⋯⋯⋯⋯=n x ξξξ，n n R y ∈⋯⋯⋯⋯=),,,(21，ηηη