刚体习题和答案

作业5 刚体力学

♫刚体：在力的作用下不发生形变的物体

⎰=-⇒=

21

0t t dt dt

d ωθθθ

ω角速度

⎰=-⇒=21

0t t dt dt

d βωωω

β角加速度

1、基础训练（8）绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t ＝0时角速度为05rad s ω=，t ＝20s 时角速度为00.8ωω=，则飞轮的角加速度β= -0.05 rad/s 2

，t ＝0到 t ＝100 s 时间飞

轮所转过的角度θ= 250rad ． 【解答】

飞轮作匀变速转动，据0t ωωβ=+，可得出：20

0.05rad s t

ωωβ-==-

据2

012

t t θωβ=+

可得结果。 ♫定轴转动的转动定律：

定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.

βJ M =

质点运动与刚体定轴转动对照

[C ] 1、基础训练（2）一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体(m 1＜m 2)，如图所示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的力 (A) 处处相等． (B) 左边大于右边．

(C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断． 【解答】

逆时针转动时角速度方向垂直于纸面向外, 由于(m 1＜m 2)，实际上滑轮在作减速转动,角加速度方向垂直纸面向,所以,由转动定律21()T T R J β-=可得：21T T >

m 2

m 1 O

[ C ] 2、自测提高（2）将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，现在在绳端挂一质量为m 的重物，飞轮的角加速度为．如果以拉力2mg 代替重物拉绳时，飞轮的角加速度将

(A) 小于． (B) 大于，小于2． (C) 大于2． (D) 等于2． 【解答】

设飞轮的半径为R ,质量为m ，根据刚体定轴转动定律M J β=，当挂质量为m 的重物是：

mg T ma TR J a R ββ

-===

所以2

mgR

J mR

β=

+,当以2F mg =的拉力代替重物拉绳时，有： '2mgR J β=，2'mgR

J

β=，比较二者可得出结论。

3、基础训练（9）一长为l ，质量可以忽略的直杆，可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量为m 的小球，如图5-12所示．现将杆由水平位置无初转速地释放．则杆刚被释放时的角加速度β0= g/l ，杆与水平方向夹角为60°时的角加速度β= g/2l ． 【解答】

由转动定律:M J β=

(1)开始时杆处于水平位置: 0mgl J β=

其中 2

J ml =为小球相对于转轴的转动惯量,得：0g l

β= (2) cos mgl J θβ=, 2g

l

β=

的质量分别为m A 、m B 和m C ，滑轮的半径为R ，滑轮对轴的转动惯量J ＝

2

1

m C R 2．滑块A 与桌面间、滑轮与轴承之间均无摩擦，绳的质量可不计，绳与滑轮之间无相对滑动．滑块A 的加速度C

B A B m m m g

m a ++=

)(22

【解答】

由转动定律得:

B A T R T R J β-= (1) B B B G T m a -= (2) A A T m a = (3) a R β= (4)

4个方程,共有4个未知量: A T 、B T 、a 和β。可求：()22B A B c a m g m m m =++⎡⎤⎣⎦ m m r r 盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯

量为9mr 2

/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m 的重物，求盘的角加速度

l

m

C

A

B

G B

T B

T A

的大小． 受力情况如图5-17，'11T T =，'22T T =

11mg T ma -= (1) 22T mg ma -= (2) 122T r T r J β-= (3)

12a r β= (4) 2a r β= (5)

联立以上几式解得: 219g r

6、自测提高（15）如图5-23所示，转轮A 、B 可分别独立地绕光滑的固定轴O 转动，它们的质量分别为m A ＝10 kg 和m B ＝20 kg ，半径分别为r A 和r B ．现用力f A 和f B 分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动．为使A 、B 轮边缘处的切向加速度相同，相应的拉力f A 、f B 之比应为

多少？(其中A 、B 轮绕O 轴转动时的转动惯量分别为2

21A A A r m J =和

221

B B B r m J =)

【解答

】 根据转动定律 A A A A f r J β= （1） B B B B f r J r = （2）

其中212A A A

J m r =

2

12

B B B J m r = 要使A 、B 轮边缘处的切向加速度相同，应有：

A A

B B a r r ββ== （3） 由（1）、（2）式有

A A

B A A A A

B B A B B B B

f J r m r f J r m r ββββ== （4） 由（3）式有

A A

B B

r r ββ= 将上式代入（4），得 12

A A

B B f m f m == ♫转动惯量：

质量非连续分布：222

221

12j j j j r m r m r m r m J +++=∆=

∑

质量连续分布：m r r m J j

j

j d 2

2⎰∑=∆=

1、基础训练（10）如图5-13所示，P 、Q 、R 和S 是附于刚性轻质细杆上的质量分别为4m 、

3m 、2m 和m 的四个质点，PQ ＝QR ＝RS ＝l ，则系统对O O '轴的转动惯量为 50ml 2

。 【解答】 据 2

i i

J m r

=

∑有：

22224(3)3(2)2050J m l m l ml ml =+++=

f B A f A

r B

r A

S O ′