第四节二次函数与幂函数夯基提能作业本衡水中学校内自用精品资料

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浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时62.4二次函数和幂函数夯基提能作业(含答案)

2.4 二次函数和幂函数A组基础题组1.函数f(x)=2x2-mx+3在(-∞,-1]上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,则f(2)=( )A.10B.14C.19D.20答案 C 由题意知=-1,所以m=-4,所以f(x)=2x2+4x+3,所以f(2)=19.2.(2019绍兴一中月考)命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是( )A.a<0或a≥3B.a≤0或a≥3C.a<0或a>3D.0<a<3答案 A 若ax2-2ax+3>0恒成立,则a=0或,-1 ,可得0≤a<3,故当命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题时,a<0或a≥3.3.已知函数f(x)=x2+(a+1)x+ab,若不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤4},则a+2b的值为( )A.-2B.3C.-3D.2答案 A 依题意,知-1,4为方程x2+(a+1)x+ab=0的两个根,所以-1-1),-1,解得- ,1,所以a+2b的值为-2,故选A.4.已知在(-∞,1]上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围为( )A.[-B.[1,C.[2,3]D.[1,2]答案 B 对任意的x 1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2转化为f(x)max-f(x)min≤2.由f(x)在(-∞,1)上是减函数,得--≥1,即t≥1,从而有t-0≥t+1-t,即x=0比x=t+1更偏离对称轴x=t,故f(x)在[0,1+t]上的最大值为1,最小值为1-t2,故有1-(1-t2)≤2,解得-≤t≤,又t≥1,所以1≤t≤.故选B.5.已知函数f(x)=x2+x,x1,x2∈R,则下列不等式中一定成立的不等式的序号为.①f1≤1) f );②f1<1) f );③f1≥1) f );④f1>1) f ).答案①解析1) f )-f1=11-1-1=1-)≥0,故填①.6.(2019山西一模)已知函数f(x)=x2-m是定义在区间[-3-m,m2-m]上的奇函数,则f(m)= . 答案-1解析由题意得m2-m=3+m,即m2-2m-3=0,∴m=3或m=-1.当m=3时,f(x)=x-1,其定义域为[-6,6],f(x)在x=0处无意义,故舍去.当m=-1时,f(x)=x3,其定义域为[-2,2],满足题意,∴f m)=f -1)=(-1)3=-1.7.若f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),x∈[-1,1],且|f(x)|的最大值为1,则4a+3b= .答案-3解析由题意可知,-1) 1,) 1,1) 1,即1-1,1,11,而|1-a+b|+|1+a+b|≥2|1+b|,所以2|1+b|≤1,解得-3≤b≤-1,另一方面|b|≤1等价于-1≤b≤1,所以b=-1,所以1-1,11,解得a=0.综上得 ,-1,故4a+3b=-3.8.二次函数y=x2+kx+k,k∈[4,6]的图象截x轴所得线段长度的取值范围是.答案[0,23]解析所求线段的长度为-=- )-,因为k∈[4,6],所以- )-∈[0,23].9.对于定义在R上的函数f(x),若实数x0满足f(x0)=x0,则称x0是函数f(x)的一个不动点.若函数f(x)=x2+ax+1没有不动点,则实数a的取值范围是.答案(-1,3)解析问题等价于方程x2+ax+1=x无解,即x2+(a-1)x+1=0无解,∴Δ=(a-1)2-4<0⇒-1<a<3.10. 已知幂函数f(x)=m)-1(m∈N*).(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若该函数的图象经过点(2,),试确定m的值,并求出满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围. 解析(1)m2+m=m(m+1),m∈N*,而m与m+1中必有一个为偶数,∴m m+1)为偶数.∴函数f(x)=m)-1(m∈N*)的定义域为[ ,+∞),并且在定义域上为增函数.)∵函数f(x)的图象经过点(2,),∴=m)-1,∴m2+m=2.解得m=1或m=-2.又m∈N*,∴m=1.由f(2-a)>f(a-1)得- , -1 , --1.解得1≤a<3.∴实数a的取值范围为1,3.11.设二次函数f(x)=ax2+2bx+c(c>b>a),其图象过点(1,0),并与直线y=-a有交点.(1)求证:0≤<1;(2)若直线y=-a与函数y=|f(x)|的图象从左到右依次交于A,B,C,D四点,且线段AB,BC,CD能构成钝角三角形,求的取值范围.解析(1)证明:由题意知,a+2b+c=0,又c>b>a,所以a<0,c>0.由c=-a-2b>b>a,得-13<<1.又因为函数y=f(x)的图象与直线y=-a有交点.所以方程ax2+2bx+c+a=0有实根,故Δ=4b2-4a(c+a)=4b2+8ab≥0,所以4+8·≥0,解得≤-2或≥0,综上可得0≤<1.(2)易知A,D关于对称轴对称,B,C关于对称轴对称,所以|AB|=|CD|,设|AB|=|CD|=m,|BC|=n,因为线段AB,BC,CD能构成钝角三角形,所以,,解得n<2m<n,故 2n<2m+n<(+1)n,所以2|BC|<|AD|<(+1)|BC|.设x1,x2是方程ax2+2bx+c+a=0的两个根,所以|x1-x2|=|BC|= ·.设x3,x4是方程ax2+2bx+c-a=0的两个根,所以|x3-x4|=|AD|= ·.所以2 ·< ·<(+1) ·,解得-1+<<-1+ 13.12.已知函数f(x)=-x|x-a|+1(x∈R).(1)当a=1时,求使f(x)=x成立的x的值;(2)当a∈(0,3)时,求函数y=f(x)在x∈[1,2]上的最大值. 解析(1)当a=1时,f(x)=-x|x-1|+1,x≥1时,-x(x-1)+1=x,∴x2=1,x=±1,∴x=1,x<1时,-x(1-x)+1=x,x=1,无解.综上,x=1.(2)f(x)=- x 1 x ),- x 1 x),作出示意图(图略),①当0<a≤1时,f(x)在[1,2]上递减,故f(x)max=f(1)=a;②当1<a<2时,f(x)在[1,a]上递增,在[a,2]上递减,故f(x)max=f(a)=1;③当2≤a<3时,f(x)在1,上递减,在, 上递增,故f(x)max=f(2)=5-2a.综上,f(x)max=1),1 1),-3).B组提升题组1.设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的两个零点分别为x1,x2,若|x1|+|x2|≤2,则( )A.|a|≥1B.|b|≤1C.|a+2b|≥2D.|a+2b|≤2答案 B 由根与系数的关系知b=x 1x2,所以|b|=|x1||x2|≤1≤1(当且仅当|x1|=|x2|时,等号成立),故选B.2.设抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个交点A,B,顶点为C,设Δ=b2-4ac,∠ACB=θ,则cosθ= ( )A.-B.-C.-D.-答案 A 如图所示.∵ AB =1)-1=-- ·=,∴ AD =,而|CD|=-=,∴ AC 2=|AD|2+|CD|2=+1 =1,∴cosθ= BC - AB·=1-=1-·1=-,故选A.3.下图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1,给出下面四个结论:①b2> c;② -b=1;③ -b+c= ;④ <b.其中正确的结论是( )A.②④B.①④C.②③D.①③答案 B 因为二次函数的图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2> c,①正确;对称轴为x=-1,即-=-1,所以2a-b= ,②错误;结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c> ,③错误;由对称轴为直线x=-1知b=2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即 <b,④正确,故选B.4.(2019镇海中学月考)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;(2)若f(x)在区间(-∞, ]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围;(3)若f(x)在[1,3]上有零点,求实数a的取值范围.解析(1)易知f(x)在[1,a]上单调递减,所以1), )1,∴ = .(2)若f(x)在区间(-∞, ]上是减函数,则a≥2,所以当x∈[1,a+1]时,f(x)min=f(a)=5-a2,f(x)max=f(1)=6-2a,因为对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,即f(x)max-f(x)min≤4,即6-2a-5+a2≤4,所以a2-2a-3≤0,得-1≤a≤3.(3)f(x)=x2-2ax+5(a>1)在[1,3]上有零点,即x2-2ax+5=0在[1,3]上有解,所以2a=x+在[1,3]上有解,令h(x)=x+,易知h(x)=x+在[1,]上是减函数,在[,3]上是增函数,∵h 1)= ,h )=2,h(3)=13,∴ ≤h(x)≤6,所以2≤2a≤ ,∴≤a≤3.5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象过点(1,0).(1)记函数f(x)在[0,2]上的最大值为M,若M≤1,求a的最大值;(2)若对任意的x1∈[0,2],存在x2∈[0,2],使得f(x1)+f(x2)>3a,求的取值范围.解析 1)∵函数f(x)的图象过点(1,0),∴f 1)= +b+c= ,∴c=-a-b,∴f x)= x2+bx-a-b(a>0),易知f(x)的图象是开口向上的抛物线,∴M为f(0),f(2)中的较大者∴M≤1⇔ )--1, )3 1.∴ ≤2,即a≤1,故a的最大值为1.(2)由题意知,存在x2∈[0,2],使f(x)min+f(x2)>3a,∴f x)min+f(x)max>3a,由(1)知,f(x)=ax2+bx-a-b,此函数图象的对称轴为直线x=-.①当-<0,即>0时,f(x)在[0,2]上单调递增,∴f x)min+f(x)max=f(0)+f(2)=-a-b+3a+b=2a>3a,∴>0,符合题意.②当0≤-<1,即-2<≤0时,f(x)在 ,-上单调递减,在-, 上单调递增,且f(0)<f(2),∴f x)min+f(x)max=f-+f(2)=--a-b+3a+b=-+2a,由-+2a>3a,得-<<,∴-<≤0,符合题意.③当1≤-<2,即-4<≤-2时,f(x)在 ,-上单调递减,在-, 上单调递增,且f(0)≥f(2),∴f x)min+f(x)max=f-+f(0)=--a-b-a-b=--2a-2b,由--2a-2b>3a,得-4-<<-4+,∴-4<<-4+,符合题意.④当-≥2,即≤-4时,f(x)在[0,2]上单调递减,∴f x)min+f(x)max=f(2)+f(0)=3a+b-a-b=2a>3a,∴≤-4,符合题意.综上所述,<-4+或>-.。

二次函数及其图象同步练习新人教版(衡中内参)2021年版

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26.1 二次函数及其图象专题一开放题1．请写出一个开口向上，与y 轴交点纵坐标为﹣1，且经过点（1，3）的抛物线的解析式．（答案不唯一） 2．（1）若22()m my m m x -=+是二次函数，求m 的值；（2）当k 为何值时，函数221(1)(3)k k y k x k x k --=++-+是二次函数？专题二探究题3．如图，把抛物线y =x 2沿直线y =x 平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后抛物线的解析式是（） A ．1)1(2-+=x y B ．1)1(2++=x y C ．1)1(2+-=x y D ．1)1(2--=x y4．如图，若一抛物线y ＝ax 2与四条直线x =1、 x =2、 y =1、 y =2围成的正方形有公共点，求a 的取值范围.专题三存在性问题5．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =2，OC =3. （1）求抛物线的解析式；（2）若点D (2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P ,使得△BDP的周长最小？若存在,请求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由. 注：二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴是直线x =ab2-.=6．如图,二次函数c x x y +-=221的图象与x 轴分别交于A 、B 两点,顶点M 关于x 轴的对称点是M′.（1）若A (－4,0),求二次函数的关系式; （2）在(1)的条件下,求四边形AMBM′的面积; （3）是否存在抛物线212y x x c =-+,使得四边形AMBM′为正方形？若存在,请求出此抛物线的函数关系式;若不存在,请说明理由.c bx x y ++-=221【知识要点】1．二次函数的一般形式c bx ax y ++=2（其中a ≠0，a ，b ，c 为常数）.2．二次函数2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大． 3．抛物线2()y a x h k =-+的图象与性质：（1）二次函数2()y a x h k =-+的图象与抛物线2y ax =形状相同，位置不同，由抛物线2y ax =平移可以得到抛物线2()y a x h k =-+.平移的方向、距离要根据h ，k 的值确定. （2）①当0a >时，开口向上；当a ＜0时，开口向下； ②对称轴是直线x h =；③顶点坐标是（h ，k ）.4．二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x =ab2-，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --.【温馨提示】1．二次函数的一般形式y=ax 2+bx+c 中必须强调a ≠0. 2．当a ＜0时，a 越小，开口越小，a 越大，开口越大. 3．二次函数的增减性是以对称轴为分界线的.4．当a ＞0时，二次函数有最小值，若自变量取值范围不包括顶点的横坐标，则距离对称轴最近处，取得函数的最小值；当a ＜0时，二次函数有最大值，若自变量取值范围不包括顶点的横坐标，则距离对称轴最近处，取得函数的最大值.【方法技巧】1．一般地，抛物线的平移规律是 “上加下减常数项，左加右减自变量”.2．如已知三个点求抛物线解析式，则设一般式y=ax 2+bx+c .3．若已知顶点和其他一点，则设顶点式2()y a x h k =-+.参考答案1．答案不唯一，如y=x 2+3x ﹣1等.【解析】设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，∵ 开口向上，∴a ＞0. ∵其与y 轴交点纵坐标为﹣1，∴c =﹣1.∵经过点（1，3），∴a+b －1=3.令a =1，则b =3，所以y=x 2+3x ﹣1．2．解:（1）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,0,222m m m m 解得m =2．（2）由题意，得⎩⎨⎧≠+=--,01,2122k k k 解得k =3．3．C 【解析】把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移2个单位，即是将抛物线向上平移一个单位长度后再向右移1个单位长度，再根据“上加下减常数项，左加右减自变量”即可得到平移后的抛物线的解析式为2(1)1=-+y x ，答案为C.4．解:因为四条直线x =1、 x =2、 y =1、 y =2围成正方形ABCD ，所以A (1，2)，C (2，1).设过A 点的抛物线解析式为y ＝a 1x 2，过C 点的抛物线解析式为y ＝a 2x 2，则a 2≤a ≤a 1. 把A (1，2)，C (2，1)分别代入，可求得a 1=2，a 2=14.所以a 的取值范围是14≤a ≤2.5．解:（1）将A （-2,0）， C （0,3）代入y =c bx x ++-221得⎩⎨⎧=+--=,022,3c b c 解得b = 12 ，c = 3.∴此抛物线的解析式为 y = 21-x 2+21x +3.(2) 连接AD 交对称轴于点P ，则P 为所求的点.设直线AD 的解析式为y =kx +b. 由已知得⎩⎨⎧=+=+-,22,02b k b k 解得k= 21，b =1.∴直线AD 的解析式为y =21x +1.对称轴为直线x =－a b 2= 21.当x = 21时，y = 45，∴ P 点的坐标为（21，45）. 6．解:(1) 把A (－4，0)代入c x x y +-=221，解出c ＝-12.∴二次函数的关系式为12212--=x x y .(2)如图,xy M'MBA O令y ＝0,则有211202x x --=，解得14x =-,26x =，∴A (－4,0),B (6,0)， ∴AB ＝10. ∵225)1(21122122--=--=x x x y ,∴M (1, 225-), ∴M ′(1, 225)， ∴MM′＝25.∴四边形AMBM′的面积＝12AB·MM′＝21×10×25＝125.(3) 存在.假设存在抛物线c x x y +-=221,使得四边形AMBM′为正方形.令y ＝0,则0212=+-=c x x y ，解得c x 211-±=.∴A (c 211--,0),B (c 211-+,0)，∴AB ＝c 212-. ∵四边形AMBM′为正方形, ∴MM′＝c 212-.∵对称轴为直线12=-=abx ，∴顶点M (1, c 21--). 把点M 的坐标代入212y x x c =-+,得c 21--＝c +-121,整理得2304c c +-=,解得112c =(不合题意,舍去),232c =-.∴抛物线关系式为23212--=x x y 时, 四边形AMBM′为正方形.教学反思1 、要主动学习、虚心请教，不得偷懒。

高考数学总复习第2章第4节二次函数与幂函数双基自

第四节二次函数与幂函数考纲传真内容要求A B C 二次函数的概念√二次函数的图象与性质√幂函数√1．二次函数(1)二次函数的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象与性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上减在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上增在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上减对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数叫幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见5种幂函数的性质函数特征性质 y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性奇偶奇 / 奇单调性增在(0，＋∞)上增在(－∞，0)上减增增在(0，＋∞)上减在(－∞，0)上减定点(1,1)1．(夯基释疑)判断下列各题的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．( )(2)函数f (x )＝12x 2＋4x ＋6，x ∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.( )(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( ) (4)当n >0时，幂函数y ＝x n在(0，＋∞)上是增函数．( ) [解析] (1)当b ＝0时，二次函数是偶函数(1)错误；(2)因为f (x )的对称轴为x ＝－4，所以在[0,2]上f (x )为增函数，所以最小值为f (x )＝6，最大值f (2)＝16，(2)错误； (3)幂函数的图象一定经过点(1,1)但不一定过(0,0)如y ＝x －1，(3)错误； (4)由幂函数性质知(4)正确． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．(教材改编)已知点M ⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________． [解析] 设f (x )＝x α，则有3＝⎝⎛⎭⎪⎫33α，即3＝3－α2， ∴－α2＝1，∴α＝－2，∴f (x )＝x －2.[答案] f (x )＝x －23．函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． [解析] 二次函数f (x )的对称轴是x ＝1－a ，由题意知 1－a ≥3，∴a ≤－2. [答案] (－∞，－2]4．(2014·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．[解析] 作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧fm <0，f m ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，m ＋12＋mm ＋1－1<0，解得－22<m <0. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________． [解析] f (x )＝－(x －2)2＋4＋a 在[0,1]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝a ＝－2，因此f (x )max ＝f (1)＝3＋a ＝1. [答案] 1考向1 二次函数的图象与性质【典例1】 (2014·无锡模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间．[解] (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，则函数在[－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝－1，f (x )max ＝f (－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35.(2)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的对称轴为x ＝－2a 2＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上为单调函数，只需－a ≤－4或－a ≥6，解得a ≥4或a ≤－6. (3)当a ＝－1时，f (|x |)＝x 2－2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3＝x ＋12＋2，x ≤0，x 2－2x ＋3＝x －12＋2，x ＞0，其图象如图所示：又∵x∈[－4,6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数．【规律方法】1．本题(3)应去掉绝对值符号，化为分段函数．2．解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．【变式训练1】已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)＝f(x)－m·x在[2,4]上单调，求m的取值范围．[解] (1)f(x)＝ax2－2ax＋2＋b＝a(x－1)2＋2＋b－a，若a>0，则f(x)在区间[2,3]上是增函数．则有⎩⎪⎨⎪⎧ f 2＝2＋b ＝2，f 3＝3a ＋2＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝1.若a <0，则f (x )在区间[2,3]上是减函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧f2＝2＋b ＝5，f 3＝3a ＋2＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＝－1.综上可知，a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3. (2)由b <1知，a ＝1，b ＝0，则f (x )＝x 2－2x ＋2，所以g (x )＝x 2－(m ＋2)x ＋2.因为g (x )在区间[2,4]上是单调函数，所以m ＋22≥4或m ＋22≤2，解得m ≥6或m ≤2. 考向2 幂函数及其性质【典例2】 (1)(2014·苏州模拟)给出关于幂函数的以下说法：①幂函数的图象都经过(1,1)点；②幂函数的图象都经过(0,0)点；③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；④幂函数的图象不可能经过第四象限；⑤幂函数在第一象限内一定有图象；⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数．其中正确的说法有________．(2)已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则满足(a ＋1)m 2＜(3－2a )m2的实数a 的取值范围是________．[解析] (1)命题①显然正确；只有当α>0时幂函数的图象才能经过原点(0,0)，若α<0，则幂函数的图象不过原点，故命题②错误；函数y ＝x 12就是一个非奇非偶函数，故命题③错误；由于在y ＝x α(α∈R )中，只要x >0，必有y >0，∴幂函数的图象不可能在第四象限，故命题④正确，命题⑤也正确；幂函数y ＝x 3在(－∞，0)上是递增函数，故命题⑥错误．因此正确的说法有①④⑤.(2)∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴m 2－2m －3＜0，解之得－1＜m ＜3. 又m ∈N *，∴m ＝1或m ＝2.由于f (x )的图象关于y 轴对称．∴m 2－2m －3为偶数，又当m ＝2时，m 2－2m －3为奇数， ∴m ＝2舍去．因此m ＝1.又y ＝x 12在[0，＋∞)上为增函数，∴(a ＋1)12＜(3－2a )12等价于0≤a ＋1＜3－2a ，解之得－1≤a ＜23，故实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ －1≤a ＜23. [答案] (1)①④⑤ (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－1≤a ＜23 【规律方法】1．本题求解的关键是利用幂函数的单调性，把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系．2．当α≠0,1时，幂函数y ＝x α在第一象限的图象特征：(1)α＞1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凹递增，如y ＝x 2；(2)0＜α＜1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y ＝x 12；(3)α＜0，图象过点(1,1)，单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如y ＝x －1，y＝x －12.【变式训练2】已知幂函数y ＝x p －3(p ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则满足(a ＋1)p 3<(3－2a )p3的a 的取值范围是________．[解析] 因为函数y ＝xp －3在(0，＋∞)上是减函数，所以p －3<0，即p <3，又因为p ∈N *，所以p ＝1或p ＝2，因为函数y ＝xp －3的图象关于y 轴对称，所以p －3是偶数，所以取p ＝1，即y ＝x －2，(a ＋1)13<(3－2a )13.因为函数y ＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数，所以由(a ＋1)13<(3－2a )13，得a ＋1<3－2a ，即a <23.所以所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23考向3 二次函数的综合应用(高频考点)命题视角二次函数是高中所学函数中的最重要的内容，也是高考的必考内容．主要命题角度有：(1)求函数解析式；(2)求单调区间；(3)求参数范围．【典例3】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间． (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．【思路点拨】 (1)利用对称轴x ＝－1及f (－1)＝0列方程组求解．(2)分离参数k ，转化为求f (x )－x 在[－3，－1]上的最小值．[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝－1，f －1＝a －b ＋1＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立．令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1，因此k 的取值范围是(－∞，1)．【通关锦囊】1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若是二次函数，就隐含着a ≠0，当题目未说明是二次函数时，就要分a ＝0，a ≠0两种情况讨论．2．由不等式恒成立求参数取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .【变式训练2】已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R )．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．[解] (1)x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c . 即⎩⎪⎨⎪⎧ －2b ＝0，c ＝－1.∴b ＝0，c ＝－1.(2)由题知，f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，∴c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧ g －3＝5－7b ＞0，g －2＝1－5b ＜0，g 0＝－1－b ＜0，g 1＝b ＋1＞0⇒15＜b ＜57，即b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 抓住1个核心二次函数、二次方程与二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，充分利用二次函数的图象是探求解题思路的有效方法．熟记2种方法函数y ＝f (x )对称轴的判断方法1．对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称． 2．对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．勿忘3个注意 1.幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点． 2.二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论． 3.一元二次方程有实根的充要条件为Δ≥0，而ax 2＋bx＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b 2－4ac <0.请思考ax 2＋bx 2＋c <0，a ≠0恒成立的条件.思想方法之4二次函数在闭区间上的最值问题求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．[解] 函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2<－1，－1≤a 2≤1，a 2>1，即a <－2，－2≤a ≤2和a >2三种情形讨论． (1)当a <－2时，由图(1)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ；(2)当－2≤a ≤2时，由图(2)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24；(3)当a >2时，由图(3)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1.综上可知，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a <－2，a 24，－2≤a ≤2，a －1，a >2. 【智慧心语】易错提示：(1)不知道分类讨论的依据是对称轴和区间的位置关系． (2)最后不总结．防范措施：(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论． (2)最后一定要有总结，明确给出所有结果．【类题通关】已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．[解] f (x )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－2a ＋2. ①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数，则f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2，由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1±2，又a ≤0，故a ＝1－2； ②当0<a 2<2，即0<a <4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－2a ＋2，由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去； ③当a 2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数，则f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18，由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10，又a ≥4，故a ＝5＋10. 综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.课后限时自测(见学生用书第263页)[A 级基础达标练]一、填空题1．(2014·南京模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0，是奇函数，则满足f (x )>a 的x 的取值范围是________．[解析] 由f (x )是奇函数，得a ＝－2.若x ≥0，则由f (x )＝x 2－2x >－2，得x ≥0；若x <0，则由f (x )＝－x 2－2x >－2，得－1－3<x <0.综上得x >－1－ 3.[答案] (－1－3，＋∞)2．已知a >12，且函数f (x )＝x 2－2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值为4，则实数a 的值是________． [解析] 二次函数f (x )的图象开口向上，且对称轴x ＝a 位于区间[－1,2]的中点12的右侧，所以f (x )在[－1,2]上的最大值为f (－1)＝1＋2a ＋1＝4，即a ＝1.[答案] 13．若幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的解析式为________． [解析] 设y ＝x a 将⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14代入得a ＝－2即y ＝1x 2 [答案] y ＝1x 2 4．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：则不等式f (|x |)≤2的解集是________．[解析] 由图表知，22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12，由|x |12≤2，得－4≤x ≤4.[答案] [－4,4]5．已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6(x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则实数a ＝________.[解析] 由于函数的值域为[0，＋∞)，故Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0，则2a 2－a －3＝0.[答案] －1或326．已知P ＝2－32，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P 、Q 、R 的大小关系是________．[解析] P ＝2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22>12>25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223>⎝ ⎛⎭⎪⎫123>⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P >R >Q .[答案] P >R >Q7．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2.则m 的取值范围是________．[解析] y ＝(x －1)2＋2，由x 2－2x ＋3＝3得x ＝0或x ＝2，∴1≤m ≤2.[答案] [1,2]8．(2014·泰州模拟)当a ＝________时，函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]，值域为[－2,2]．[解析] f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f －1＝1＋3a ＝－2，f 1＝1－a ＝2，解得a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝a －a 2＝－2，f 1＝1－a ＝2，解得a ＝－1；当0<a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝a －a 2＝－2，f －1＝1＋3a ＝2，∴a 不存在；当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f －1＝1＋3a ＝2，f 1＝1－a ＝－2，∴a 不存在．综上可得a ＝－1.[答案] －1二、解答题9．函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上有最大值2，求实数a 的值．[解] ①当a <0时，f (x )max ＝f (0)令1－a ＝2，∴a ＝－1.②当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )，令f (a )＝2，无解．③当a >1时，f (x )max ＝f (1)，即a ＝2.综上可得a ＝－1或a ＝2.10．已知幂函数f (x )＝xm 2＋m －2(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，且f (x )的图象关于y 轴对称，试求函数g (x )＝2x ＋1f x 的最小值．[解] 由f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴m 2＋m －2＜0，解之得－2＜m ＜1，又m ∈Z ，∴m ＝－1,0.此时，均有f (x )＝x －2，图象关于y 轴对称．因此f (x )＝x －2(x ≠0)，∴g (x )＝2x ＋x 2＝(x ＋1)2－1(x ≠0)，故函数g (x )的最小值为－1.[B 级能力提升练]一、填空题1．若f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________________________________________________________________________.[解析] 设f (x )＝x n ，则f 4f 2＝4n2n ＝2n＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝12n ＝13.[答案] 132．(2014·泰州质检)若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，则2x ＋3y 2的最小值为________．[解析] 由x ＋2y ＝1，得x ＝1－2y ，∴2x ＋3y 2＝2－4y ＋3y 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23.由x ≥0，y ≥0，得0≤y ≤12.∴当y ＝12时，2x ＋3y 2取最小值34.[答案] 34二、解答题3．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，且f (0)·f (1)＞0.(1)求证：－2＜b a ＜－1；(2)若x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，求|x 1－x 2|的取值范围．[解] (1)证明：当a ＝0时，f (0)＝c ，f (1)＝2b ＋c ，又b ＋c ＝0，则f (0)·f (1)＝c (2b ＋c )＝－c 2<0，与已知矛盾，故a ≠0. ∵f (0)f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－(a ＋b )(2a ＋b )>0.即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋2＜0，从而－2＜b a ＜－1.(2)x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，则x 1＋x 2＝－2b 3a ，x 1x 2＝－a ＋b3a ，21 那么 (x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b3a 2＋4×a ＋b3a＝49·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋4b 3a ＋43＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋322＋13.∵－2＜b a ＜－1，∴13≤(x 1－x 2)2＜49， ∴33≤|x 1－x 2|＜23，即|x 1－x 2|的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，23.第五节指数与指数函数。

专题训练二次函数的应用衡水中学内部资料精品教学课件

解：(2)当 10＜n≤30 时，z 关于 n 的函数图象过点(10，
10k＋b＝1500， 1500)，(30，3900)，设 z＝kn＋b，则解得 30k＋b＝3 900， k＝120， ∴ z＝120n ＋ 300(10 ＜ n≤300) (3)当 10 ＜ m≤30 b＝300，
2
(0，∴x＝20 时，y 的最大值为 3 200 元，25 ≤x≤50，y＝ 135 000 －2 250，x＝25 时，y 的最大值为 3 150 x
元，∴该超市第 20 天获得最大利润为 3 200 元．
3．某农庄计划在 30 亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资 y(元)与种植面积 m(亩)之间的函数如图 ①所示，小李种植水果所得报酬 z(元)与种植面积 n(亩)之间函数关系如图②所示．
(2)当每日租出多少辆车时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ (3)当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏？
解： (2)根据题意得 y＝x(－50x＋1400)－4800＝－ 50(x－14)2＋5000，∵a＜0，∴当 x＝14 时，y 有最大值是 5000 元； (3)由 y＝0 得，－50(x－14)2＋5000＝ 0，解得 x1＝4，x2＝24(舍去)，∴当每日租出 4 辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏．
解：(1)p＝120－2x
(2)y＝p· (q－40)＝
（120－2x）· （60＋x－40）（1≤x＜25）＝ 1125 （120－2x）（25≤x≤50）（40＋ x －40）· －2x ＋80x＋2 400（1≤x＜25） 135 000 x －2 250（25≤x≤50）

高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本：第二章函数第四节二次函数与幂函数 Word版含解析

第四节二次函数与幂函数A组基础题组1.(2016西安模拟)函数y=的图象大致是( )2.函数y=x2+ax+6在上是增函数,则a的范围为( )A.a≤-5B.a≤5C.a≥-5D.a≥53.(2017安阳实验中学月考)已知f(x)=ax2-x-c,若f(x)>0的解集为(-2,1),则函数y=f(-x)的大致图象是( )4.(2016聊城模拟)已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的大致图象是( )5.若a<0,则下列不等式成立的是( )A.2a>>0.2aB.0.2a>>2aC.>0.2a>2aD.2a>0.2a>6.已知点(,2)在幂函数y=f(x)的图象上,点在幂函数y=g(x)的图象上,若f(x)=g(x),则x= .7.若二次函数f(x)=mx2-mx-1,且f(x)<0的解集为R,则实数m的取值范围是.8.已知二次函数y=x2+2kx+3-2k,则其图象的顶点位置最高时对应的解析式为.9.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R).(1)若函数f(x)的图象过点(-2,1),且方程f(x)=0有且仅有一个实根,求f(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈-1,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.10.(2017四川资阳中学期末)已知幂函数f(x)=(m∈N*).(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若该函数的图象经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.B组提升题组11.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则( )A.f(m+1)≥0B.f(m+1)≤0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<012.(2016四川资阳模拟)已知函数f(x)=x2-2x+4在区间0,m](m>0)上的最大值为4,最小值为3,则实数m的取值范围是( )A.1,2]B.(0,1]C.(0,2]D.1,+∞)13.已知函数f(x)=-x2+x在区间m,n](n>m)上的值域是3m,3n],则m= ,n= .14.已知函数f(x)=mx2+(2-m)x+n(m>0),当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1恒成立,则f= .15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间;(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式;(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2,求函数g(x)在1,2]上的最小值.16.(2015雅安模拟)已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且f(0)·f(1)>0.(1)求证:-2<<-1;(2)若x1、x2是方程f(x)=0的两个实根,求|x1-x2|的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.C y==,其定义域为R,排除A,B,又0<<1,图象在第一象限为上凸的,排除D,故选C.2.C y=x2+ax+6在上是增函数,由题意得-≤,∴a≥-5,故选C.3.C由f(x)>0的解集为(-2,1),可知函数y=f(x)的大致图象为选项D中的图象,又函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,故选C.4.D因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,且c<0,所以f(0)=c<0,函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,与y轴的交点在y轴的负半轴上.5.B因为a<0,所以y=x a在(0,+∞)上是减函数,所以0.2a>>2a.6.答案±1解析由题意,设f(x)=xα,则2=()α,得α=2;设g(x)=xβ,则=(-)β,得β=-2.由f(x)=g(x),得x2=x-2,解得x=±1.7.答案(-4,0)解析由题意知解之得-4<m<0.8.答案y=x2-2x+5解析y=x2+2kx+3-2k=(x+k)2-k2-2k+3,所以图象的顶点坐标为(-k,-k2-2k+3).因为-k2-2k+3=-(k+1)2+4,所以当k=-1时,顶点位置最高.此时抛物线的解析式为y=x2-2x+5. 9.解析(1)因为f(-2)=1,即4a-2b+1=1,所以b=2a.因为方程f(x)=0有且仅有一个实根,所以Δ=b2-4a=0.所以4a2-4a=0,所以a=1,所以b=2.所以f(x)=(x+1)2.(2)g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2-(k-2)x+1=+1-.由g(x)的图象知:要满足题意,则≥2或≤-1,即k≥6或k≤0,∴所求实数k的取值范围为(-∞,0]∪6,+∞).10.解析(1)m2+m=m(m+1),m∈N*,m与m+1中必有一个为偶数,∴m(m+1)为偶数.∴函数f(x)=(m∈N*)的定义域为0,+∞),并且在定义域上为增函数.(2)∵函数f(x)的图象经过点(2,),∴=,∴m2+m=2.解得m=1或m=-2.又m∈N*,∴m=1.由f(2-a)>f(a-1)得解得1≤a<.∴实数a的取值范围为.B组提升题组11.C f(x)图象的对称轴为x=-,f(0)=a>0,f(x)的大致图象如图所示.由f(m)<0,得-1<m<0,∴m+1>0,∴f(m+1)>f(0)>0.12.A f(x)=(x-1)2+3,∴f(1)=3,f(0)=f(2)=4.作出函数的图象如图所示,由图可以看出当1≤m≤2时,函数f(x)=x2-2x+4在区间0,m](m>0)上的最大值为4,最小值为3.故选A.13.答案-4;0解析f(x)=-x 2+x图象的对称轴为x=1,则f(x)的最大值为f(1)=,于是3n≤,即n≤,所以对称轴x=1在区间m,n]的右侧,所以函数f(x)=-x2+x在区间m,n]上单调递增,故解得(舍去)或14.答案-解析由题意得:|f(0)|≤1⇒|n|≤1⇒-1≤n≤1;|f(1)|≤1⇒|2+n|≤1⇒-3≤n≤-1,因此n=-1,∴f(0)=-1,f(1)=1.由f(x)的图象可知:要满足题意,则图象的对称轴为直线x=0,∴2-m=0,m=2,∴f(x)=2x2-1,∴f=-.15.解析(1)f(x)的增区间为(-1,0),(1,+∞).(2)若x>0,则-x<0,又函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x,∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),∴f(x)=(3)由(2)知g(x)在1,2]上的解析式为g(x)=x2-2x-2ax+2,该二次函数图象的对称轴方程为x=a+1,当a+1≤1,即a≤0时,g(1)=1-2a为g(x)在1,2]上的最小值;当1<a+1≤2,即0<a≤1时,g(a+1)=-a2-2a+1为g(x)在1,2]上的最小值;当a+1>2,即a>1时,g(2)=2-4a为g(x)在1,2]上的最小值.综上,在x∈1,2]上,g(x)min=16.解析(1)证明:当a=0时,f(0)=c,f(1)=2b+c,b+c=0,则f(0)·f(1)=c(2b+c)=bc=-b2≤0,与已知矛盾,因而a≠0,则f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)=-(a+b)(2a+b)>0,即<0,从而-2<<-1.(2)由于x1、x2是方程f(x)=0的两个实根,则x1+x2=-,x1x2=-,那么(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+4×=·++=+,∵-2<<-1,∴≤(x1-x2)2<,∴≤|x1-x2|<,即|x1-x2|的取值范围是.。

高考数学二次函数与幂函数复习课件

R
R
R
值域
R
R
奇偶性
函数
函数
函数
函数
函数
(续表)
课前基础巩固
{x|x≥0}
{x|x≠0}
{y|y≥0}
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
顶点坐标
奇偶性
当时为偶函数
对称轴方程
x=-
b=0
2. 幂函数(1)定义:一般地,函数y=xα叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)常见的五种幂函数的图像和性质比较
课前基础巩固
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
图像
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
性质
定义域
0
[总结反思]幂函数的性质因幂指数大于1,大于0且小于1、等于或小于0而不同,解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等.
课堂考点探究
例1 (1) 已知二次函数y=ax2+bx+1的图像的对称轴是直线x=1,并且图像过点P(-1,7),则a,b的值分别是( )A.2,4 B.-2,4 C.2,-4 D.-2,-4
方法二:设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),∵f(2)=f(-1),∴f(x)图像的对称轴方程为x= =,∴m=,又函数f(x)的最大值是8,∴n=8,∴f(x)=a+8,又f(2)=-1, ∴a+8=-1,解得a=-4,∴f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.方法三:由题知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1,又函数f(x)的最大值为8,所以=8,解得a=-4,故f(x)=-4x2+4x+7.

4高中必修一幂函数与二次函数知识点+例题全面

学科教师辅导教案―幂函数与二次函数[例4]幂函数pnmx y x y x y ===，，的图象如图所示，以下结论正确的是（）A.m>n>pB.m>p>nC.n>p>mD.p>n>m[巩固]若图所示是函数)*(且互质、N n m x y nm ∈=的图象，则（）A ．m 、n 是奇数且n m <1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且nm >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且n m <1 D ．m 、n 是奇数且nm>11、定义：一般地，我们把形如y=ax²+bx+c （其中a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数叫做二次函数2、二次函数解析式的三种形式(待定系数法)： ①一般式：y=ax²+bx+c （a ≠0） ②顶点式：y=a (x-k )²+h （a ≠0） ③交点式：y=a (x-x 1) (x-x 2) （a ≠0）3、（1）a 决定二次函数图象的开口方向；a>0，开口向上；a<0，开口向下；| a |越大，图象开口越大；（2）a 和b 决定二次函数图象对称轴（x=ab2-）的位置；a 、b 同号，对称轴在y 轴的左边； a 、b 异号，对称轴在y 轴的右边；（3）c 表示抛物线在y 轴上的截距.4、二次函数的图象及性质：a>0 a<0 开口向上向下知识模块2 二次函数图象与x 轴的交点个数 2个1个无2个1个无顶点坐标（ab2-，a b ac 442-）对称轴x =ab 2-单调性在（-∞，a b2-）上单调递减；在（a b2-，+∞）上单调递增在（-∞，ab2-）上单调递增；在（ab2-，+∞）上单调递减最值有最小值，当x =a b2-，y min =a b ac 442-有最大值，当x =ab2-，y max =a b ac 442-5、二次函数与一元二次方程的的根的关系：二次函数y=ax²+bx+c （a ≠0）与x 轴的交点就是对应一元二次方程ax²+bx+c=0（a ≠0）的根. 一元二次方程ax²+bx+c=0（a ≠0）的根的个数的判别：（1）△=b 2-4ac >0 方程有两个不相等的实数根对应的二次函数与x 轴有两个交点（2）△=b 2-4ac =0 方程有两个相等的实数根对应的二次函数与x 轴有一个交点（3）△=b 2-4ac <0 方程有没有实数根对应的二次函数与x 轴没有交点6、如果二次函数与x 轴有交点，则x 1+x 2=a b -，x 1•x 2=ac，|x 1-x 2|=a ac b 42-7、y=x²既是二次函数又是幂函数[例1]已知二次函数的对称轴是直线x =-2，且过点（1，1）和（4，4），求次函数的解析式.[巩固1]二次函数的顶点坐标是（-1，3），并且图象与x 轴两交点间的距离为6，求函数的解析式.[例2]已知函数f (x )= ax²-6(a+1)x -3在(2，+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围.经典例题透析。

2025版高考数学总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲幂函数与二次函数课件

解法二：利用“顶点式”解题：
设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，
2＋－1 1
1
∴抛物线的对称轴为 x＝ 2 ＝2，∴m＝2.
又根据题意，函数有最大值 8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝ax－122＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得 a＝－4， ∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.
1.设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( D )
[解析] 因为abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知，在A中，a<0，b<0，c<0，不符合题意； B中，a<0，b>0，c>0，不符合题意； C中，a>0，c<0，b>0，不符合题意，故选D.
2.(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点 A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面选项正确的是( AD )
第四讲幂函数与二次函数
知识梳理 · 双基自测
知识点一幂函数
函数 y＝x
y＝x2
y＝x3
图象
y＝x
y＝x－1
定义 R
域
R
R
__[_0_，__＋__∞_)___
___(_－__∞_，__0_)_∪___ ___(_0_，__＋__∞__) __
值域
R
__[0_，__＋__∞__)
R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
___[0_，__＋__∞__)__
B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0
D．a<0,2a＋b＝0
[解析] 由 f(0)＝f(4)，得 f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象的对称轴为直线 x

本复习题衡水中学内部资料精品教学课件

14．某公司经营杨梅业务，以 3 万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成 A，B 两类，A 类杨梅包装后直接销售；B 类杨梅深加工后再销售．A 类杨梅的包装成本为 1 万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格 y(单位：万元/吨)与销售数量 x(x≥2)之间的函数关系如图；B 类杨梅深加工总费用 s(单位：万元)与加工数量 t(单位：吨)之间的函数关系是 s＝12＋ 3t，平均销售价格为 9 万元/吨． (1)直接写出 A 类杨梅平均销售价格 y 与销售量 x 之间的函数关系式；－x＋14（2≤x＜8）解：(1)y＝ 6（x≥8）
类型之四
二次函数与一元二次方程
11．设二次函数 y＝x2＋bx＋c，当 x≤1 时，总有 y≥0；当 1≤x≤3 时，总有 y≤0，那么 c 的取值范围是( B ) A．c＝3 B．c≥3
C．1≤c≤3 D．c≤3
12．二次函数 y＝x2＋bx 的图象如图，对称轴为 x＝1，若关于 x 的一元二次方程 x2＋bx－t＝0(t 为实数)在－1＜x＜4 的范围内有解，则 t 的取值范围是( C ) A．t≥－1 C．－1≤t＜8 B．－1≤t＜3 D．3＜t＜8
类型之三
抛物线的平移与对称
9．将抛物线 y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线的解析式为 y＝x2－3x＋5，则( A ) A．b＝3，c＝7 C．b＝－9，c＝－5 B．b＝7，c＝3 D．b＝－9，c＝21
10．在平面直角坐标系中，函数 y＝x2－2x(x≥0)的图象为 C1，C1 关于原点对称的图象为 C2，则直线 y＝a(a 为常数) 与 C1，C2 的交点共有( C ) A．1 个 C．1 个或 2 个或 3 个 B．1 个或 2 个 D．1 个或 2 个或 3 个或 4 个

高考数学一轮复习第二章函数第四节二次函数与幂函数夯基提能作业本文

第四节二次函数与幂函数A组基础题组1.已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如下表:则不等式f(|x|)≤2的解集是( )A.{x|-4≤x≤4}B.{x|0≤x≤4}C.{x|-≤x≤}D.{x|0<x≤}2.已知函数f(x)=x2+(a+1)x+ab,若不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤4},则a+2b的值为( )A.-2B.3C.-3D.23.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a4.已知函数f(x)=-2x2+bx,若对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),则f(-2), f(4), f(5)的大小关系为( )A. f(5)>f(-2)>f(4)B. f(4)>f(5)>f(-2)C. f(4)>f(-2)>f(5)D. f(-2)>f(4)>f(5)5.(2017江西南昌一模)已知函数f(x)=x2+ax+b的图象过坐标原点,且满足f(-x)=f(-1+x),则函数f(x)在[-1,3]上的值域为( )A.[0,12]B.C. D.6.二次函数的图象与x轴只有一个交点,对称轴为x=3,与y轴交于点(0,3),则它的解析式为.7.已知函数f(x)=x2-2ax+2a+4的定义域为R,值域为[1,+∞),则a的值为.8.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是.9.(2018福建福州质检)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R).(1)若函数f(x)的图象过点(-2,1),且方程f(x)=0有且仅有一个实根,求f(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-1,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.10.已知函数f(x)=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2]时, f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.B组提升题组1.已知函数f(x)=x2+2ax+3在(-∞,1]上单调递减,当x∈[a+1,1]时, f(x)的最大值与最小值之差为g(a),则g(a)的最小值为( )A. B.1 C. D.22.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围是.3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时, f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间;(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式;(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数g(x)的最小值.4.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.答案精解精析A组基础题组1.A 由题意知=,∴α=,∴f(x)=,由|x≤2,得|x|≤4,故-4≤x≤4.2.A 依题意,-1,4为方程x2+(a+1)x+ab=0的两根,所以解得所以a+2b=-2,故选A.3.A ∵<,指数函数y=在R上单调递减,故<.又由于幂函数y=在R上单调递增,故>,∴<<,即b<c<a,故选A.4.B 因为对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),所以函数f(x)=-2x2+bx的图象关于直线x=4对称,所以f(-2)=f(10),又函数f(x)=-2x2+bx的图象开口向下,所以函数f(x)在[4,+∞)上是减函数,因为4<5<10,所以f(4)>f(5)>f(10),即f(4)>f(5)>f(-2).5.B 因为函数f(x)=x2+ax+b的图象过坐标原点,所以f(0)=0,所以b=0.因为f(-x)=f(-1+x),所以函数f(x)的图象的对称轴为x=-,所以a=1,所以f(x)=x2+x=-,所以函数f(x)在上为减函数,在上为增函数,故当x=-时,函数f(x)取得最小值-.又f(-1)=0, f(3)=12,故函数f(x)在[-1,3]上的值域为.故选B.6.答案y=x2-2x+3解析由题意可设二次函数的解析式为y=a(x-3)2,又图象与y轴交于点(0,3),所以3=9a,即a=.所以y=(x-3)2=x2-2x+3.7.答案-1或3解析由于函数f(x)的值域为[1,+∞),所以f(x)min=1.又f(x)=(x-a)2-a2+2a+4,所以当x∈R时, f(x)min=f(a)=-a2+2a+4=1,即a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1.8.答案解析二次函数图象的对称轴为直线x=,且f=-, f(3)=f(0)=-4,由图象得m∈.9.解析(1)因为f(-2)=1,即4a-2b+1=1,所以b=2a.因为方程f(x)=0有且仅有一个实根,所以Δ=b2-4a=0.所以4a2-4a=0,因为a≠0,所以a=1,所以b=2.所以f(x)=x2+2x+1.(2)g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2-(k-2)x+1=+1-.由题意可知,≥2或≤-1,即k≥6或k≤0.所以实数k的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞).10.解析要使f(x)≥0恒成立,则函数在区间[-2,2]上的最小值不小于0,设f(x)的最小值为g(a).①当-<-2,即a>4时,g(a)=f(-2)=7-3a≥0,解得a≤,故此时a不存在;②当-∈[-2,2],即-4≤a≤4时,g(a)=f=3-a-≥0,解得-6≤a≤2,又-4≤a≤4,故-4≤a≤2;③当->2,即a<-4时,g(a)=f(2)=7+a≥0,解得a≥-7,又a<-4,故-7≤a<-4.综上得-7≤a≤2.B组提升题组1.B 函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴是x=-a,因为函数f(x)在(-∞,1]上单调递减,所以-a≥1,即a≤-1,且函数f(x)=x2+2ax+3在区间[a+1,1]上单调递减,所以f(x)max=f(a+1)=(a+1)2+2a(a+1)+3=3a2+4a+4, f(x)min=f(1)=2a+4,所以g(a)=f(a+1)-f(1)=3a2+2a,a∈(-∞,-1],且函数g(a)的图象的对称轴为a=-,所以g(a)在(-∞,-1]上单调递减,所以g(a)min=g(-1)=1,故选B.2.答案解析由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点.在同一平面直角坐标系下作出函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象如图所示,结合图象可知,m∈.3.解析(1)f(x)的增区间为(-1,0),(1,+∞).(2)若x>0,则-x<0,∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x,∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),∴f(x)=(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,其图象的对称轴x=a+1,当a+1≤1,即a≤0时,g(1)=1-2a为g(x)在[1,2]上的最小值;当1<a+1≤2,即0<a≤1时,g(a+1)=-a2-2a+1为g(x)在[1,2]上的最小值;当a+1>2,即a>1时,g(2)=2-4a为g(x)在[1,2]上的最小值.综上,当x∈[1,2]时,g(x)min=4.解析(1)由题易知c=1,a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2.所以F(x)=所以F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.(2)由题意知f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立, 即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.因为当x∈(0,1]时,-x的最小值为0,--x的最大值为-2,所以-2≤b≤0.故b的取值范围是[-2,0].。

【步步高】2021届高考数学总温习第二章 2.4二次函数与幂函数强化训练理北师大版(1)

§2.4 二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一样式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②极点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图像和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图像定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图像关于x ＝－b2a对称2．幂函数(1)概念：若是一个函数，底数是自变量，指数是常量α，即y ＝x α，如此的函数称为幂函数． (2)幂函数的图像 (3)幂函数的性质比较y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 21y ＝x －1定义域RR R [0，＋∞){x |x ∈R 且x ≠0}值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞){y |y ∈R且y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增增x ∈(0，＋∞)时，减；x ∈(－∞，0)时，减1．判定下面结论是不是正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值必然是4ac －b 24a .( × ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数． ( × ) (3)幂函数的图像都通过点(1,1)和点(0,0)．( × ) (4)当n >0时，幂函数y ＝x n 是概念域上的增函数．( × ) (5)假设函数f (x )＝(k 2－1)x 2＋2x －3在(－∞，2)上单调递增，那么k ＝±22. ( × ) (6)已知f (x )＝x 2－4x ＋5，x ∈[0,3)，那么f (x )max ＝f (0)＝5，f (x )min ＝f (3)＝2. ( × ) 2． (2021·重庆)3－a a ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92C ．3D.322答案 B 解析因为3－a a ＋6＝18－3a －a 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814，因此当a ＝－32时，3－aa ＋6的值最大，最大值为92.3．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，那么f (x )在区间(－5，－3)上( )A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增答案 D解析由f (x )为偶函数可得m ＝0，∴f (x )＝－x 2＋3，∴f(x)在区间(－5，－3)上单调递增．4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，那么m的取值范围为________．答案[1,2]解析y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1.当m<1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数．∴y max＝f(0)＝3，y min＝f(m)＝m2－2m＋3＝2.∴m＝1，无解．当1≤m≤2时，y min＝f(1)＝12－2×1＋3＝2，y max＝f(0)＝3.当m>2时，y max＝f(m)＝m2－2m＋3＝3，∴m＝0或m＝2，无解．∴1≤m≤2.5．函数f(x)＝(m2－m－1)x m是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，那么实数m的值是________．答案2解析f(x)＝(m2－m－1)x m是幂函数⇒m2－m－1＝1⇒m＝－1或m＝2.又x∈(0，＋∞)上f(x)为增函数，∴m>0，故m＝2.题型一二次函数的图像和性质例1已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．思维启发关于(1)和(2)可依照对称轴与区间的关系直接求解，关于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数概念域的限制作用．解(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，因此要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，现在概念域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈0，6]x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．思维升华 (1)二次函数在闭区间上的最值要紧有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪一种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题那么要紧依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．(1)二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，那么它的解析式是__________________．答案 y ＝12(x －2)2－1(2)假设函数f (x )＝2x 2＋mx －1在区间[－1，＋∞)上递增，那么f (－1)的取值范围是____________．答案 (－∞，－3]解析 ∵抛物线开口向上，对称轴为x ＝－m4，∴－m4≤－1，∴m ≥4.又f (－1)＝1－m ≤－3，∴f (－1)∈(－∞，－3]．题型二二次函数的应用例2 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)假设函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．思维启发利用f (x )的最小值为f (－1)＝0可列两个方程求出a 、b ；恒成立问题能够通过求函数最值解决．解 (1)由题意有f (－1)＝a －b ＋1＝0，且－b2a＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，那么g (x )在[－3，－1]上递减． ∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．思维升华有关二次函数的问题，数形结合，紧密联系图像是探求解题思路的有效方式．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，因此当x ＝1时，f (x )取得最小值1；当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图像的对称轴为直线x ＝－a ，因为y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，因此－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．题型三幂函数的图像和性质例3 (1)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xnn 32 (n ∈Z )的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，那么n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2(2)假设(2m ＋1)21>(m 2＋m －1)21，那么实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫5－12，＋∞ C ．(－1,2)D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫5－12，2 思维启发 (1)由幂函数的概念可得n 2＋2n －2＝1，再利用f (x )的单调性、对称性求n ；(2)构造函数y ＝x 21，利用函数单调性求m 范围．答案 (1)B (2)D解析 (1)由于f (x )为幂函数，因此n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经查验只有n ＝1适合题意，应选B. (2)因为函数y ＝x 21的概念域为[0，＋∞)，且在概念域内为增函数，因此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12.解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2，综上5－12≤m <2. 思维升华 (1)幂函数解析式必然要设为y ＝x α (α为常数的形式)；(2)能够借助幂函数的图像明白得函数的对称性、单调性．已知幂函数f (x )＝x12)(-+m m (m ∈N ＋)(1)试确信该函数的概念域，并指明该函数在其概念域上的单调性； (2)假设该函数还通过点(2，2)，试确信m 的值，并求知足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解 (1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N ＋，而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数． ∴函数f (x )＝x12)(-+m m (m ∈N ＋)的概念域为[0，＋∞)，而且在概念域上为增函数．(2)∵函数f (x )通过点(2，2)，∴2＝212)(-+m m ，即221＝212)(-+m m .∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N ＋，∴m ＝1.∴f (x )＝x 21.由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥02－a >a －1.解得1≤a <32.∴a 的取值范围为[1，32)．分类讨论思想在函数中的应用典例：(12分)已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1(a 为实常数)．(1)假设a ＝1，作出函数f (x )的图像；(2)设f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式．思维启发 (1)因f (x )的表达式中含|x |，故应分类讨论，将原表达式化为分段函数的形式，然后作图．(2)因a ∈R ，而a 的取值决定f (x )的表现形式，或为直线或为抛物线，假设为抛物线又分为开口向上和向下两种情形，故应分类讨论解决．标准解答解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1，x <0x 2－x ＋1，x ≥0.[3分]作图(如右图所示) [5分] (2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.[6分]若a ＝0，那么f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数，g (a )＝f (2)＝－3.[7分]若a ≠0，则f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12a 2＋2a －14a －1，f (x )图像的对称轴是直线x ＝12a .当a <0时，f (x )在区间[1,2]上是减函数，g (a )＝f (2)＝6a －3.当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上是增函数，g (a )＝f (1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝2a －14a －1.当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3. [11分]综上可得，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3， a <142a －14a －1， 14≤a ≤12.3a －2， a >12 [12分]温馨提示此题解法充分表现了分类讨论的数学思想方式，在二次函数最值问题的讨论中，一是要对二次项系数进行讨论，二是要对对称轴进行讨论．在分类讨论时要遵循分类的原那么：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽可能幸免分类，绝不无原那么的分类讨论．方式与技术1．二次函数、二次方程、二次不等式间彼此转化的一样规律：(1)在研究一元二次方程根的散布问题时，常借助于二次函数的图像数形结合来解，一样从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一样需借助于二次函数的图像、性质求解．2．幂函数y＝xα(α∈R)图像的特点α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像只是原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．失误与防范1．关于函数y＝ax2＋bx＋c，要以为它是二次函数，就必需知足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情形．2．幂函数的图像必然会出此刻第一象限内，必然可不能出此刻第四象限，至于是不是出此刻第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出此刻两个象限内；若是幂函数图像与坐标轴相交，那么交点必然是原点．A组专项基础训练(时刻：40分钟)一、选择题1．若f(x)＝x2－ax＋1有负值，那么实数a的取值范围是( )A．a≤－2 B．－2<a<2C．a>2或a<－2 D．1<a<3答案C解析∵f(x)＝x2－ax＋1有负值，∴Δ＝a2－4>0，那么a>2或a<－2.2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是()答案C解析假设a>0，那么一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D；关于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴的右边，故应排除B ，因此选C.3．若是函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2) 答案 D解析由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图像关于x ＝12对称，又抛物线开口向上，结合图像(图略)可知f (0)<f (2)<f (－2)．4．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]答案 D解析二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，那么a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)<0，x ∈[0,1]，因此a >0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 因此f (0)＝f (2)，那么当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.5．已知f (x )＝x 21，假设0<a <b <1，那么以下各式中正确的选项是( )A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b)B ．f (1a )<f (1b)<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a)D ．f (1a )<f (a )<f (1b)<f (b )答案 C解析因为函数f (x )＝x 21在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a，应选C. 二、填空题6．假设函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，那么m 的取值范围是________．答案 0≤m ≤14解析 m ＝0时，函数在给定区间上是增函数；m ≠0时，函数是二次函数，对称轴为x ＝－12m ≤－2，由题意知m >0，∴0<m ≤14.综上0≤m ≤14. 7．假设方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，那么实数a 的取值范围是________．答案 0<a ≤14解析令f (x )＝x 2－11x ＋30＋a .结合图像有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0f 5>0，∴0<a ≤14. 8．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图像不可能通过第________象限．答案二、四解析当α＝－一、一、3时，y ＝x α的图像通过第一、三象限；当α＝12时，y ＝x α的图像通过第一象限．三、解答题9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．假设方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的单调区间．解 ∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)，设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，∴f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a . ① 由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0. ② ∵方程②有两个相等的根，∴Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a <0，舍去a ＝1.将a ＝－15代入①式得f (x )＝－15x 2－65x －35＝－15(x ＋3)2＋65，∴函数f (x )的单调增区间是(－∞，－3]，单调减区间是[－3，＋∞)．10．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .(1)当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1，∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0，∴a ＝1±52(舍)．(3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.B 组专项能力提升(时刻：30分钟)1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，那么实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案 C 解析当a <0时，(12)a －7<1，即2－a <23， ∴a >－3，∴－3<a <0.当a ≥0时，a <1，∴0≤a <1. 故－3<a <1.2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，集合A ＝{m |f (m )<0}，那么 ( )A ．任意m ∈A ，都有f (m ＋3)>0B ．任意m ∈A ，都有f (m ＋3)<0C ．存在m 0∈A ，使得f (m 0＋3)＝0D ．存在m 0∈A ，使得f (m 0＋3)<0答案 A解析由a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0可知a >0，c <0，且f (1)＝0，f (0)＝c <0，即1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，当x >1时，f (x )>0.由a >b ，得1>b a，设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的另一个根为x 1，则x 1＋1＝－b a>－1，即x 1>－2，由f (m )<0可得－2<m <1，因此1<m ＋3<4，由抛物线的图像可知，f (m ＋3)>0，选A.3．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的概念域为R ，值域为[1，＋∞)，那么a 的值域为________．答案－1或3解析由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)，因此f (x )min ＝1且Δ<0. ∴－5＋1<a <5＋1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4，当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.4．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，且f (0)·f (1)>0.(1)求证：－2<b a <－1； (2)假设x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，求|x 1－x 2|的取值范围．(1)证明当a ＝0时，f (0)＝c ，f (1)＝2b ＋c ，又b ＋c ＝0，则f (0)·f (1)＝c (2b ＋c )＝－c 2<0与已知矛盾，因此a ≠0，则f (0)·f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－(a ＋b )(2a ＋b )>0即(b a ＋1)(b a ＋2)<0，从而－2<ba <－1.(2)解 x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，则x 1＋x 2＝－2b 3a ，x 1x 2＝－a ＋b3a ，那么(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－2b 3a )2＋4×a ＋b3a＝49·(ba )2＋4b 3a ＋43＝49(b a ＋32)2＋13.∵－2<ba <－1，∴13≤(x 1－x 2)2<49，∴33≤|x 1－x 2|<23，即|x 1－x 2|的取值范围是[33，23)．5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)假设函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，－f x ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)假设a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2. ∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12，x >0，－x ＋12，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．。

课时9-二次函数和幂函数

课时目标知识导图考点规律核心知识例题讲解同步练习知识小结课后习题
例题
(2013 重庆高考) (3 a)(a 6)(6 a 3) 的最大值为( )
A.9
B. 9
2
32 C.3 D.
2
【解析】B.易知函数 y (3 a)(a 6）的两个零点是 3，-6，对称轴是
a 36 3 22
，∴
y (3 a)(a 6）的最大值是
f
3 2
9 2
2
，则
y ( 3 a ) (a 6的) 最大值为 9 .故选 B. 2
课时目标知识导图考点规律核心知识例题讲解同步练习知识小结课后习题
练习
若函数 f (x) 4ax x2 在区间[1,3] 上是减函数，则 a 的取值范围是（）
二次函数和幂函数
《零起点考大学》
TARGET
课时目标知识导图考点规律核心知识例题讲解同步练习知识小结课后习题
1 二次函数的图象及应用 2 二次函数在给定区间上的最值 3 幂函数的图象、性质及应用
《零起点考大学》
课时目标知识导图考点规律核心知识例题讲解同步练习知识小结课后习题
1 二次函数的图象及应用 2 二次函数在给定区间上的最值 3 幂函数的图象、性质及应用
《零起点考大学》
课时目标知识导图考点规律核心知识例题讲解同步练习知识小结课后习题
核心知识
(2)二次函数在给定区间上的最值
二次函数在给定区间上的最值的常见类型： ①定轴定区间； ②定轴动区间； ③动轴定区间； ④动轴动区间.
名师一对一
②当 b [m, n] ，即给定区间在对称轴的一侧时， f (x) 在[m, n] 上是单调函 2a

高考数学 2-4二次函数与幂函数配套作业北师大版

【高考核动力】2014届高考数学 2-4二次函数与幂函数配套作业北师大版1．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3【解析】在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.【答案】 A2．(2011·陕西高考)函数y ＝x 13的图象是( )【解析】 ∵函数y ＝x 13是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A ，D.当x >1,0<α<1时，y ＝x α在直线y ＝x 下方，排除C.【答案】 B3．若a ＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是( ) A ．5－a＜5a ＜0.5a B ．5a ＜0.5a ＜5－aC ．0.5a＜5－a＜5aD ．5a＜5－a＜0.5a【解析】 5－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15a ，因为a ＜0时y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a ＜5－a.【答案】 B4．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )(x ∈R )且f (x )＝0有两个实根x 1、x 2，则x 1＋x 2＝________.【解析】由f (3＋x )＝f (3－x )，知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称，应有x 1＋x 22＝3⇒x 1＋x 2＝6.【答案】 65．(2012·浏阳高三质检)已知二次函数f (x )的图象过A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．【解】 (1)设所求的二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，c ＝－6.∴f (x )＝2x 2－4x －6. (2)∵f (x )＝2x 2－4x －6， ∴f (x )＝2(x －1)2－8. 由二次函数的性质得f (x )min ＝f (1)＝－8， f (x )max ＝f (3)＝0.(3)由f (x )＝2x 2－4x －6得2x 2－4x －6≥0，∴x 2－2x －3≥0，∴x ≥3或x ≤－1. ∴2x 2－4x －6≥0的解集为{x |x ≥3，或x ≤－1}．课时作业【考点排查表】考查考点及角度难度及题号错题记录基础中档稍难幂函数的图象与性质 13,710二次函数的解析式 2 4,5 6,8 二次函数的最值9,11 12,131．幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)【解析】幂函数为y ＝x －2＝1x2，偶函数图象如图．选C.【答案】 C2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )【解析】 ∵a ＞b ＞c ，且 a ＋b ＋c ＝0，得a ＞0，c ＜0(用反证法可得)，∴f (0)＝c ＜0，∴只能是D.【答案】 D3．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是( ) A ．{x |－4≤x ≤4} B ．{x |0≤x ≤4} C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |0＜x ≤2}【解析】由表知22＝(12)α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.∴(|x |)12≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4. 【答案】 A4．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，且f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)【解析】由f (x ＋2)是偶函数可知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 关于直线x ＝2对称，所以f (1)＝f (3)，又该函数图象开口向上，当x ＞2时函数f (x )单调递增，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)＝f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72. 【答案】 A5．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]【解析】用特殊值法．令m ＝0，由f (x )＝0得x ＝13适合，排除A 、B.令m ＝1，由f (x )＝0得x ＝1适合，排除C.【答案】 D6.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别为a m(0＜a ＜12)、4 m ，不考虑树的粗细．现在想用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这颗树围在花圃内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )【解析】据题意设BC ＝x ，则CD ＝16－x ，要使树围在花圃内，需⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a16－x ≥4⇒a ≤x ≤12，此时花圃的面积f (x )＝x (16－x )＝－(x －8)2＋64(a ≤x ≤12)，当8＜a ＜12时，有f (a )＝－a 2＋16a ，当0＜a ≤8时有f (a )＝f (8)＝64，综上所述可得：f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋16a ，8＜a ＜1264，0＜a ≤8，作出图形易知C 选项正确．【答案】 C 二、填空题7．已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则m 的范围是________．【解析】由y ＝x 1.3的图象知，当0＜x ＜1时0＜y ＜1，∴0＜0.71.3＜1，又由y ＝x 0.7，当x ＞1时y ＞1，∴1.30.7＞1， ∴0.71.3＜1.30.7，考察幂函数y ＝x m，由(0.71.3)m ＜(1.30.7)m 知y ＝x m为(0，＋∞)上的增函数，∴m ＞0. 【答案】 m ＞08．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1β，∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1β在(1,2)上是增函数，∴1＋1＜m ＜2＋12，即m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52. 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫2，529．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g x ＋x ＋4，x <g x ，gx －x ，x ≥g x ，则f (x )的值域是________．【解析】由x <g (x )得x <x 2－2，∴x <－1或x >2；由x ≥g (x ) 得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x <－1或x >2.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，－1≤x ≤2.当x <－1时，y >2；当x >2时，y >8. ∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．当－1≤x ≤2时，－94≤y ≤0.∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0. 综上可知，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 三、解答题10．函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，试确定m 的值．【解】根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1，解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.11．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．【解】设f (x )min ＝g (a )，依题意，则只需g (a )≥0， ①当－a2＜－2，即a ＞4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，与a ＞4矛盾；②当－a2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0，解得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2； ③当－a2＞2，即a ＜－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，又a ＜－4，故－7≤a ＜－4. 综上a 的取值范围是－7≤a ≤2.12．设二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋a ，方程f (x )－x ＝0的两根x 1和x 2满足0＜x 1＜x 2＜1. (1)求实数a 的取值范围；(2)试比较f (0)f (1)－f (0)与116的大小，并说明理由．【解】法一：(1)令g (x )＝f (x )－x ＝x 2＋(a －1)x ＋a ，则由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，0＜1－a 2＜1，g 1＞0，g 0＞0.⇔⎩⎨⎧a＞0，－1＜a ＜1，a ＜3－22，或a ＞3＋22.⇔0＜a ＜3－2 2.故所求实数a 的取值范围是(0,3－22)．(2)f (0)f (1)－f (0)＝f (0)g (1)＝2a 2，令h (a )＝2a 2. ∵当a ＞0时，h (a )单调递增，∴当0＜a ＜3－22时，0＜h (a )＜h (3－22)， 2(3－22)2＝2(17－122)＝2·117＋122＜116，即f (0)f (1)－f (0)＜116.法二：(1)同法一．(2)∵f (0)f (1)－f (0)＝f (0)g (1)＝2a 2，则由(1)知0＜a ＜3－22，∴42a －1＜122－17＜0.又42a ＋1＞0，于是2a 2－116＝116(32a 2－1)＝116(42a －1)(42a ＋1)＜0，即2a 2－116＜0，即2a 2＜116，故f (0)f (1)－f (0)＝2a 2＜116.四、选做题13．已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R )． (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数值为非负数，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域．【解】 (1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0 ⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负数， ∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32，∴a ＋3＞0，∵f (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32， ∴二次函数f (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减． ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤f (a )≤f (－1)，即－194≤f (a )≤4，∴f (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.。

高三数学一轮复习第二章函数第四节二次函数与幂函数夯基提能作业本理(2021年整理)

2018届高三数学一轮复习第二章函数第四节二次函数与幂函数夯基提能作业本理2018届高三数学一轮复习第二章函数第四节二次函数与幂函数夯基提能作业本理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018届高三数学一轮复习第二章函数第四节二次函数与幂函数夯基提能作业本理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2018届高三数学一轮复习第二章函数第四节二次函数与幂函数夯基提能作业本理第四节二次函数与幂函数A组基础题组1.(2016西安模拟）函数y=的图象大致是（）2.函数y=x2+ax+6在上是增函数,则a的范围为（）A。

a≤-5 B.a≤5C.a≥-5 D.a≥53.（2017安阳实验中学月考）已知f(x)=ax2—x—c,若f(x）>0的解集为（—2,1），则函数y=f(—x)的大致图象是（)4.（2016聊城模拟）已知函数y=ax2+bx+c,如果a〉b>c，且a+b+c=0，则它的大致图象是( ）5。

若a<0，则下列不等式成立的是（）A.2a>〉0。

2a B。

0。

2a>>2aC。

〉0.2a〉2a D。

2a>0.2a〉6。

已知点（，2）在幂函数y=f(x）的图象上,点在幂函数y=g（x）的图象上，若f(x）=g（x),则x= .7。

若二次函数f(x)=mx2—mx—1,且f（x）<0的解集为R，则实数m的取值范围是.8.已知二次函数y=x2+2kx+3-2k，则其图象的顶点位置最高时对应的解析式为.9.已知函数f(x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R)。

(课标通用)北京市2020版高考数学大一轮复习第二章 4 第四节二次函数与幂函数夯基提能作业本

第四节二次函数与幂函数A组基础题组1。

已知幂函数f（x）=k·xα的图象过点,则k+α=()A. B。

1 C. D.2答案 C 由幂函数的定义知k=1。

又f=,所以=,解得α=，所以k+α=。

2。

已知f(x）=ax2-x—c,若f（x）>0的解集为（-2,1），则函数y=f(-x)的大致图象是( ）答案 C 由f(x)>0的解集为(-2，1）,可知函数y=f（x）的大致图象为选项D中的图象,又函数y=f(x）与y=f（—x)的图象关于y轴对称,故选C。

3.“m=1"是“函数f(x)=x2—6mx+6在区间(—∞，3］上为减函数”的( )A.必要而不充分条件B。

充分而不必要条件C.充分必要条件 D。

既不充分也不必要条件答案 B 若m=1,则f（x）=x2—6x+6，易知f（x)在区间(—∞，3］上为单调递减函数,即“m=1"是“函数f(x）=x2—6mx+6在区间(—∞，3］上为减函数”的充分条件；反过来,若函数f（x）=x2—6mx+6在区间（-∞,3]上为减函数,则3≤3m，即m≥1，所以“m=1”不是“函数f(x）=x2—6mx+6在区间(-∞，3]上为减函数”的必要条件.综上所述,“m=1”是“函数f(x）=x2-6mx+6在区间(—∞，3］上为减函数”的充分而不必要条件,故选B.4.若函数y=x2-3x—4的定义域为［0，m]，值域为,则m的取值范围是（）A。

(0,4] B.C。

D。

答案 C 函数y=x2-3x—4=—的图象如图.令y=x2—3x—4=—4,解得x=0或x=3。

为了保证函数的值域为,则≤m≤3,故选C。

5。

定义域为R的函数f(x）满足f(x+1)=2f(x),且当x∈[0,1］时， f（x）=x2-x,则当x∈[—2，-1]时, f（x）的最小值为( )A.—B.—C。

- D。

0答案 A 当x∈［—2,-1]时,x+2∈[0，1］,则f（x+2)=(x+2）2-(x+2）=x2+3x+2,又f（x+2）=f((x+1)+1）=2f(x+1）=4f（x)，∴f（x）= （x2+3x+2)=—,∴当x=-时， f(x)取得最小值-.6.(2016北京东城期末）已知函数f(x）=a—x2（1≤x≤2)与g（x)=x+1的图象上存在关于x 轴对称的点,则实数a的取值范围是（）A. B.[1,2] C. D.［-1,1]答案 D 设（x，x+1）为函数g(x)=x+1的图象上的点,则（x，—x—1)为函数f(x）=a—x2（1≤x≤2）的图象上的点,所以—x—1=a—x2。

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