幂级数及泰勒展开习题解答电子版本

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精选数学分析函数的幂级数展开讲解讲义

n0
n!
lim ( 1) ( n) xn1 0.
n
n!
又 x 1, 有 1 x 1 , 且0 1 1, 从而有 1 x
第二十页，总共三十四页。
1 1 x
n
1.
再当 | x | 1时, 有0 (1 x)1 (1 | x |)1 21.于
是当 1 时 (1 x)1是与 n 无关的有界量;当
如果 f 能在点x0的某邻域上等于其泰勒级数的和函
数, 则称函数 f 在点 x0 的这一邻域内可以展开成泰
勒级数, 并称等式
第六页，总共三十四页。
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
(4)
的右边为 f 在 x x0 处的泰勒展开式, 或幂级数展
论如下:
当 1 时, 收敛域为 (1, 1);
当 1 0 时, 收敛域为 (1, 1];
当 0 时, 收敛域为[1, 1].
第二十二页，总共三十四页。
当 (7)式中 1时就得到
1 1 x x2 1 x
当 1 时得到
2
(1)n xn
, x (1, 1). (8)
1 1 1 x 13 x2 135 x3 , x (1, 1]. (9)
解由于 f (n)( x) ex , f (n)(0) 1(n 1, 2, ), 因此 f
的拉格朗日余项为
Rn( x)
e x (n 1)!
x n1 (0
1).
显见
第十一页，总共三十四页。

解析函数的幂级数展开的题及答案

解：可直接求出函数 1 z 在 z 0 的各阶导数值，

f (0) 1 f '(0) (1 z )
1z 0源自z 0f ''(0) ( 1)(1 z ) 2
( 1)
f ( n ) (0) ( 1) ( n 1)(1 z ) n
zn (1) 3 (并讨论在收敛圆周上的敛散性)； n 1 n n ( z 1) (2) (并讨论在 z 0, 2 点处的敛 n n 1
散性).

n 1 1， an lim 解:(1) 因为 lim 所以该级 3 n a n n n 1 数的收敛半径为 R 1 ；在收敛圆周上,幂级数变为: ein n3 , 易知该级数绝对收敛因而也收敛. n 1 2
3
n 1 1， an lim (2) 易得: lim 故该级数 n a n n n 1 的收敛半径为 R 1 . 因 z 0, 2 均位于收敛圆周上，故需要进一步讨论起敛散性．对于 z 0, 原级数变为
(1) 交错级数，（由交错级数的 Lebniz 判别法） n n 1 易知其收敛但不绝对收敛．对于 z 2, 该幂级数变为
z
所以：
ez 1 2 1 1 3 1 2 z 1 1 z 1 1 z , z 1. 1 z 2! 2! 3!
10
例4.7：证明级数 z 在 z r (0 r 1)上一致收敛 .
n n 1

证： z r n，且级数 r n (0 r 1)收敛
例：用唯一性定理证明 2 z cos2 z 1. sin 解： f1 ( z ) sin 2 z cos2 z f 2 ( z) 1 f1 ( z )与f 2 ( z )在全平面上解析，而在实轴上f1 ( x) f 2 ( x) 故在全平面上 1 ( z ) f 2 ( z ),即 f sin 2 z cos2 z＝ 1

幂级数及泰勒展开习题解答

幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解：12(21)limlim 12(1)(21)n n n na n n a n n +→∞→∞-==++ 1R ⇒=当1x =时，因 21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-，所以112(21)n n n ∞=-∑收敛，当1x =-时， 1(1)2(21)nn n n ∞=--∑绝对收敛，⇒ 收敛区间为[1,1]-。

2. 11n n n -∞=解：11lim2n n n na a +→∞== 2R ⇒=当2x =时，1nn ∞=当2x =-时，111n n n n -∞∞===-发散， ⇒ 收敛区间为(2,2]-。

3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解：1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+ 13R ⇒=，当13x =±时，通项不趋于零，⇒ 收敛区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭。

4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+ 1R ⇒=故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。

当1x =时， 11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛区间为(1,2]。

5.1ln(1)(1)1n n n x n ∞=+-+∑ 解：1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n na n n a n n +→∞→∞++==++ 1R ⇒=故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。

泰勒幂级数展开

以此代入(3.3.2)，并把它写成 1 f ( )d f ( z) ( z z0 ) n C ( z0 )n1 2 i n 0
利用解析函数的高阶导数公式，上式即为
f ( z ) an ( z z0 ) n
n 0
(3.3.3)
……
m m
f (3) (0) m(m 1)(m 2)1m
m m m(m 1) m 2 (1 z ) 1 1 z 1 z 1! 2! m(m 1)(m 2) m 3 1 z 3!
数学物理方法
易求其收敛半径为1，故
m m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 (1 z ) 1 {1 z z z }, ( z 1) 1! 2! 3!
2、幂级数
3、泰勒级数展开 4、解析延拓 5、洛朗级数展开 6、孤立奇点的分类
3.3 泰勒级数展开
数学物理方法
通过对幂级数的学习，我们已经知道一个
幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解
析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就
是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值.
数学物理方法
3.3.1泰勒级数泰勒(Taylor)展开定理设 f ( z ) 在区域 D：z z0 | R 内 | 解析，则在 D 内 f ( z ) 可展为泰勒级数
f ( z ) an ( z z0 ) n ,
n 0
(| z z0 | R)
(3.3.1)
其中
f ( n ) ( z0 ) 1 f ( )d an C ( z0 )n1 n! 2 i
m m
式中 1m (ei 2 n ) m ei 2 nm 在许多的单值分支中，n＝0那一支即 1m 1的那一个叫作 (1 z ) m的主值。上式也就是指数为非整数的二项式定理。

数学分析第二册答案第十三章幂级数

第十三章幂级数§13.1 幂级数的收敛半径与收敛域1．求下列各幂级数的收敛域：（1）∑∞=1!)2(n nn x ；（2）∑∞=+++111)1ln(n n x n n ；（3）∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n nn x n n ；（4）∑∞=122n n nx ；（5）∑∞=-+1))1(3(n nn n x n ；（6）()()∑∞=+-+1123n n nn x n ；（7）()()n n x n n ∑∞=+1!!12!!2；（8）∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211n n n x n ；（9）()n n nn x nn∑∞=-11；（10）∑∞=+175n nn nx ；（11）()()nn x n n ∑∞=12!2!；（12）n n x n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++11211 ；（13）∑∞nnx；（14）()()∑∞=---112!122n n n x ；（15）()10,12<<∑∞=a x a n n n ；（16）∑∞=1n p nnx ．解（1）由012lim !2)1(2lim 1=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→+∞→n n n n n n n ，故收敛半径+∞=R ,收敛域为)(∞+∞-,．（2）由 121)2ln()2ln(lim 1)1ln(2)2ln(lim =++⋅++=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→∞→n n n n n n n n n n ，故收敛半径1R =．在1=x ，级数为∑∞=++11)1ln(n n n ，发散；在1-=x ，级数为∑∞=+++-111)1ln()1(n n n n ，由交错级数的Leibniz 判别法，知其收敛，因而收敛域为)[1,1-．（3）e n n n nn n nn n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→11lim 1lim ，所以收敛半径e R 1=．由于()∞→≠→⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+n e e n nn 01111，故在e x 1±=级数发散，因此收敛域为)1,1(ee -．（4）由121lim 21limlim 2===∞→∞→∞→n n n n n n n n a ，知收敛半径1=R ．在1=x ，级数为∑∞=±12)1(2n nn绝对收敛，故收敛域为]1,1[-. （5）由()413limlim =-+=∞→∞→nnn n n n na ，故收敛半径41=R ．在41=x ，级数()[]∑∞=-+1413n n nn n ，将其奇偶项分开，拆成两个部分，分别为∑∞=121k k 和()∑∞=--1122121k k k ，前一项级数发散，后一项级数收敛，因此级数()[]∑∞=-+1413n n nn n 发散；同样，41-=x 时，级数为()[]()∑∞=--+11413n nn nn n ，也可拆成两部分，前一部分为∑∞=121k k ，另一部分()()∑∞=-----112122121k k k k ，前者发散，后者绝对收敛，因此级数()[]()∑∞=--+11413n nn nn n 发散，所以收敛区域是)41,41(-．（6）()()()332132231lim 23123lim 11=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+∞→++∞→n nn n nn n n n n n n ，所以级数的收敛半径是31=R ．当311=+x 时，级数为()∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+1132113123n n n n n n n n n 发散；当311-=+x 时，级数为()()∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+1132113123n n n n n n n n n n 收敛．因此，收敛域为31131≤+≤-x 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,43. （7） ()()()()()13212lim !!12!!2!!32!!12lim =++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++∞→∞→n n n n n n n n ，所以收敛半径1=R ．当1=x 时，级数为()()∑∞=+1!!12!!2n n n ，由于12132lim 12232lim <=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→∞→n n n n n n n ，故由Raabe 判别法，知级数发散；当1-=x 时，级数为()()()n n n n 1!!12!!21-+∑∞=（实际上，由其绝对收敛立知其收敛），这是交错级数，由于()()()()()()!!12!!2!!12!!23222!!32!!22+<+++=++n n n n n n n n ，故()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+!!12!!2n n 单调下降，且由n n n 2112254320<+< （用数学归纳法证之）及夹迫性知()()0!!12!!2lim =+∞→n n n ，由Leibniz 判别法，知()()()n n n n 1!!12!!21-+∑∞=收敛，所以收敛域为)1,1[-．（8）111lim 11lim 2--∞→-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+e n n nn n n n ，所以收敛半径e R =．由于()()∞→≠→±⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n e e n n n 0112，故级数在e x ±=发散，因而收敛域为),(e e -．（9）()()11111lim11=-++-++∞→nnn n n nn n n ，所以1=R ．在1=x ，级数为()∑∞=-11n nn nn，由Leibniz 判别法，知其收敛；在1-=x ，级数为∑∞=11n nnn发散，故收敛域]1,1(-．（10）71751751lim 11=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→nn n n n ，所以7=R ．在71±=x ，由于()()∞→→+±n n n n1757，即级数()∑∞=+±1757n nn n一般项()n n n757+±当n ∞→时不趋于0，因此级数发散，故收敛域()7,7-．（11）()[]()[]()()()()()4112121lim !2!!12!1lim 222=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∞→∞→n n n n n n n n n ，因此4=R ．在4±=x ，级数为21(!)(4)(2)!n n n n ∞=±∑，因为级数一般项的绝对值为 1!)!12(!)!2()4()!2()!(2>-=±n n n n n 对一切n 成立，所以0)4()!2()!(lim2≠±∞→nn n n ，即级数21(!)(4)(2)!n n n n ∞=±∑发散，因此收敛域为)4,4(-．（12）因为1)1211()11211(lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n ，所以1=R ．而在1±=x ，由于()011211lim ≠∞=±⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→nn n ，故级数在1±=x 均发散，因而收敛区间为)1,1(-．（13）因为11lim=+∞→nn n ，所以1=R ．又在1±=x ，显然级数()∑∞=±11n nn 均发散，故收敛域为)1,1(-．（14）由于()()()()()()101222lim !122!122lim 21212<=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-∞→--∞→n n x n x n x n n n n ，故()∞∞-∈∀,x ，()()∑∞=---112!122n n n x 均绝对收敛，因而收敛半径+∞=R ，收敛域()∞∞-,．（15）因为0lim lim 2==∞→∞→n n n n n a a （10<<a ），所以+∞=R ，收敛域为()+∞∞-,．（16）()1111lim 111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→p n ppn n n n ，所以1=R ．在1±=x ，级数变为()∑∞=±11n pn n ，故当1>p 时都收敛；10≤<p 时，()∑∞=-11n pn n 收敛，而∑∞=11n p n 发散，0≤p 时一般项不趋于0，均发散．因此，当1>p 时，收敛域]1,1[-； 10≤<p 时，收敛域为)1,1[-；而当0≤p 时, 收敛域为)1,1(-．2．设幂级数nn nx a∑∞=1的收敛半径为R , n n n x b ∑∞=1的收敛半径为Q ，讨论下列级数的收敛半径：（1）∑∞=12n n nx a；（2）()∑∞=+1n n n nx b a；（3）()∑∞=1n nnn xb a ．解（1）由题设R a a nn n 1lim 1=+∞→，所以()221211lim x R x a x a n n n n n =++∞→，故当112<x R ,即R x <时，级数nn n x a 21∑∞=绝对收敛，而当112>x R ，即R x >时，级数nn n x a 21∑∞=发散，因此级数nn nx a21∑∞=的收敛半径为R ．（2）收敛半径必{}Q R ,m in ≥，而不定，需给出n a ，n b 的具体表达式才可确定，可以举出例子．（3）RQ b a b a nn n n n 1lim11=++∞→，所以收敛半径为RQ ，只有当Q R ,中一个为0，另一个为∞+时，不能确定，需看具体n a ，n b 来确定，可以是[)+∞,0中任一数．3．设()0,,2,1101>=≤∑∞=x n M x ak kk ，求证：当10x x <<时，有（1）n n nx a∑∞=0收敛；（2）M x an n n≤∑∞=0．证明（1）nn n x a ∑∞=0=n n n n x x x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=111，而由于10x x <<，故数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nx x 1单调递减趋于0，级数n n n x a11∑∞=的部分和数列M x a n nn ≤∑∞=0有界，由Dirichlet 判别法，级数nn n x a ∑∞=0收敛．(2) 设n n nx a∑∞=0的部分和为)(x s n ，则由Abel 变换，有knk k k nk k k n x x x a x a x s ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑==1111)(∑∑∑=-==+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n k kk nn k k i i i k k x a x x x a x x x x 1111111111M x x M x x x x x x M nn k k k <=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑-=+1111111，所以，M x s x s x an n n n n n n≤=∞→∞→∞=∑)(lim )(lim 0．§13.2 幂级数的性质1．设nn n x a x f ∑∞==)(当r x <时收敛，那么当11+∞=∑+n n n r n a 收敛时有 11)(+∞=∑⎰+=n n n rr n a dx x f ，不论nn n xa ∑∞=0当r x =时是否收敛．证明由于幂级数11+∞=∑+n n n r n a 的收敛半径至少不小于r ，且该幂级数在r x =收敛，因而该幂级数在[]r ,0一致收敛（Abel 第二定理），因此该幂级数的和函数)(x s 在r x =连续，即()101lim +∞=→∑+=-n n n rx r n a x s ．又r x <<∀0，由于n n n x a ∑∞=0当r x <时收敛，故可逐项积分，即)(1100x s r n a dx x a dx x a n n n n xnn x n nn =+==+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑，即)(lim )(0x s dt t f rx x -→=⎰，令-→r x 取极限即有11)(lim )(+∞=→∑⎰+==-n n n rx r r n a x s dx x f ． 2．利用上题证明()∑⎰∞=-=-121011ln n ndx x x ．证明 ()()1,11)1ln(111<-=--=-∑∑∞=∞=-x x nx nx n nn n n ，故()∑∞=--=-1111ln n n x n x x ，1<x ，而级数∑∑∞=∞=-=+-⋅-12111)1(11n n nn n 是收敛的，利用上题结论，就有()∑⎰∞=-=-121011ln n n dx xx ．3. 用逐项微分或逐项积分求下列级数的和：（1）∑∞=1n nnx ；（2）∑∞=1n nnx；（3）()∑∞=+11n nxn n ；（4）()()∑∞=---121121n n n x n n ；（5）∑∞=+122!1n nnx n n ；（6）()()nn n x n n ∑∞=+-13!11；（7）∑∞=-+11414n n n x ；（8）()∑∞=+-0112n n n x ；（9）∑∞=-112n n x n；（10）()∑∞=++1122!12n n x n n ．解（1）因为1,1111<=-∑∞=-x x x n n ，所以当1<x 时，⎰∑⎰-=∞=-x n x n dt t dt t 000111,即()x n x n n --=∑∞=1ln 1，且当1-=x 时，级数()∑∞=-11n nn 收敛，由Abel 第二定理，有()11,1ln 1<≤---=∑∞=x x n x n n．（2）设∑∞==1)(n nnx x s ，则1,)(11<=∑∞=-x nx x x s n n ，逐项积分，有1,1)(1101<-===∑∑⎰⎰∞=∞=-x x x x dt t n dt t t s n n n x n x，所以，()2111)(x x x x x s -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，即()1,1)(2<-=x x x x s ．（3）设()∑∞=+=11)(n nxn n x s ，1<x ，则有()()1,11)(221111<-===+=∑∑∑⎰⎰∞=∞=+∞=x x x nx x nxdt t n n dt t s n nn n n xnx，所以，322)1(2)1()(x xx x x s -='⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，1<x ．（4）设()()∑∞=--=12121)(n n nx n n x s ，1≤x ，则 ()()∑∞=----='11211221)(n n n x n x s ，11≤<-x ， ()()()211212211212121)(xx x x s n n n n n +=-=-=''∑∑∞=-∞=--，1<x ，所以，()x dt tx s xarctan 21121)(02=+='⎰，11≤<-x ， )1ln(41arctan 21arctan 21)(20x x x tdt x s x+-==⎰，1≤x ．（5）设 1)(2!12!2!1)(211212-+=+=+=∑∑∑∞=∞=∞=xnn n n n n n n ne x x n x n n x n n x s σ，+∞<x ．由于()211101222!1122!)(2!)(xn n n n n x n n n e xx n x x n n dt t t x n n x =⎪⎭⎫⎝⎛-==⇒=∑∑⎰∑∞=-∞=∞=σσ，所以， 222412)(x x e x e x x +=σ，故 112141)(22-⎪⎭⎫⎝⎛++=xe x x x s ．（6）设()()∑∞=+-=13!11)(n n n x n n x s ，+∞<x ，则[]()∑∞=-='13!)(n nx n n x xs ，所以，[]()()[]()13)(!)(12220+--='⇒-=-='--∞∑⎰x x xe x xs e x x x n n dx t ts t x x n x，()11)(3-++=-x e x x x xs ，则()xe ex x s x x11)(2-++=--（在0=x 理解为极限值）．（7）令∑∞=-+=11414)(n n n x x s , 则1,14)(1142<+=∑∞=+x n x x s x n n ，所以， []()44141421)(xx xxx s x n nn n-==='∑∑∞=∞=，故x x x x x s x -+-+=arctan 2111ln 41)(2，因此2222arctan 11ln 41)(xxx x x x x s -+-+=（在0=x 理解为极限值）．（8）22122lim 12lim1=-=-∞→+∞→n n n nn n ，收敛半径21=R ，在21±=x ，有 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±-∑∑∞=∞=+nn n n nn 212121121，由于()02121lim ≠⎪⎭⎫⎝⎛-±∞→nnn ，故级数发散．可得 ()()∑∑∑∞=∞=∞=+-=-=012212)(n n n nn nn x x x x s()()x x x x 2111112112--=---=，21<x ．（9）设1,)(112<=∑∞=-x x nx s n n ，则有x x x dx dt t s u nx dt t s n n xu n nx-==⎪⎭⎫⎝⎛⇒=∑⎰⎰∑⎰∞=∞=1)(1)(10010，所以，20)1(11)(1x x x dt t s x x -='⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰，即20)1()(x x dt t s x-=⎰，所以32)1(1)1()(x xx x x s -+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，1<x ．（10）设()+∞<+=∑∞+x x n n x s n ,!12)(122，则有（逐项积分），()1!1)(1!12)(2121001120-==⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒+=+∞=∞=+∑⎰⎰∑⎰x n n x t n n xe x x n dt du u u s t x n n dt t t s所以，()()x e x x du uu s e x du u u s x x x x x -+=-+=⎰⎰2230202)(,112)(1， ()11624)(224-+++=x e x x x xx s ，则()x e x x x x x s x -+++=2235624)(．4.求下列级数的和：（1）∑∞=-1212n nn ；（2）()∑∞=+1121n n n ．解（1）考虑级数())(1212x s xn n n=-∑∞=，1<x ．由于()∑∞=--=122212)(n n x n x x s ，逐项积分，()2112112021)(xxx x x dt t t s n n n n x-===∑∑⎰∞==∞=-，所以， ()()()2222222211)(11)(x x x x s x x x x s -+=⇒-+=，1<x ．故有()3222112212121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑∞=∞=s n n n nn n ．（2）设()∑∞=++=112121)(n n x nn x s ，则级数在1≤x 绝对收敛，所以， ∑∞=='121)(n n x n x s ，2112122)(x xx x s n n -==''∑∞=-，1<x ．因此，)1ln(12)(202x dt t t x s x--=-='⎰，xxx x x dx x x s x +-++--=--=⎰11ln 2)1ln()1ln()(202，1≤x ．())(lim )1(12111x s s nn x n -→∞===+∑[]2ln 22)1ln()1(2)1ln()1(lim 1-=++-+--=-→x x x x x x ．5．证明：(1) ∑∞=04)!4(n n n x 满足方程y y =)4(；(2) ∑∞=02)!(n nn x 满足方程0=-'+''y y y x ．解（1）对级数∑∞=04)!4(n n n x ，由0)!4(1)]!1(4[1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→n n n ，故收敛半径+∞=R ，收敛域为()+∞∞-,，而采取用逐项求导得，∑∑∑∞=∞=-∞==-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛041)1(4)4(04)!4()]!1(4[)!4(n nn n n n n x n x n x ，即∑∞=04)!4(n n n x 满足方程y y =)4(．（2）级数∑∞=02)!(n n n x 收敛域为()+∞∞-,，设∑∞==02)!(n nn x y ，通过逐项求导得， ()()∑∑∞=-∞=='⎥⎦⎤⎢⎣⎡='12102!!n n n n n nxn x y ， ()()()∑∑∞=-∞=-="⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=''22202!1!n n n n n x n n n x y ，所以，()()()∑∑∑∞=∞=-∞=--+-=-'+''02121222!!!)1(n nn n n n n x n nx n x n n x y y y x()()[]()()[]()0!!11!11020212=-+++++=∑∑∑∞=∞=∞=n nn n n nn x n x n n x n n ，即∑∞=02)!(n nn x 满足方程0=-'+''y y y x ． 6．设)(x f 是幂级数∑∞=0n n nx a在()R R ,-上的和函数，若)(x f 为奇函数，则级数中仅出现奇次幂的项；若)(x f 为偶函数，则级数中仅出现偶次幂的项．证明由于∑∞==)(n n nx ax f ，()R R x ,-∈．()R R x ,-∈∀，由)(x f 是奇函数，即)()(x f x f -=-，得0]1)1[()(0=+-⇒-=-∑∑∑∞=∞=∞=n n n nn nn n nnx a x a x a，故{}N n ⋃∈∀0，有0]1)1[(=+-n na ，故当n 为偶数时002=⇒=n n a a ，即级数中偶次幂系数均为0，因此级数中仅出现奇次幂的项．同样，若)(x f 为偶函数，即)()(x f x f =-，得0]1)1[(0=--∑∞=n n n nx a ，故n ∀，有0]1)1[(=--n n a ，当n 为奇数时，有002=⇒=-n n a a ，即级数中奇次幂的系数均为0，因此级数中仅出现偶次幂的项．7．设∑∞=+=12)1ln()(n nn n x x f ．求证：（1）)(x f 在]1,1[-连续，)(x f '在)1,1(-内连续；（2）)(x f 在点1-=x 可导；（3）+∞='-→)(lim 1x f x ；（4）)(x f 在点1=x 不可导；证明（1）由于1,)1ln(1)1ln(22≤+≤+x n n n n x n ，而级数∑∞=+12)1ln(1n n n 收敛，由M判别法，知级数∑∞=+12)1ln(n nn n x 在]1,1[-一致收敛，而级数的每一项为幂函数在]1,1[-连续，故和函数∑∞=+=12)1ln()(n nn n x x f 在]1,1[-连续．又级数∑∑∞=-∞=+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1112)1ln()1ln(n n n n n n x n n x 的收敛半径为1=R ，因此在)1,1(-内，其和函数)(x f '连续．（2）幂级数∑∞=-+11)1ln(n n n n x 在1-=x 成为∑∞=-+-11)1ln()1(n n n n ，由Leibniz 判别法，知级数收敛，由Abel 第二定理，幂级数在]0,1[-一致收敛，因而其和函数)(x f '在1-=x 右连续，因此)(lim 1x f x '+-→存在，且)(lim )1(1x f f x '=-'+-→．（3）+∞=+='∑∞=→-11)1ln(1)(lim n x n n x f ．（4）因为∑∞=→→+--=----1211)1ln()1()1(lim 1)1()(lim n n x x n n x x x f x f ()+∞=+=++++=∑∑∞=∞=--→-1122111ln 1)1ln(1lim n n n n x n n n n x x ，故)(x f 在点1=x 不可导．§13.3函数的幂级数展式1．利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为Maclaurin 级数，并说明收敛区间．（1）0,1≠-a xa ；（2）()211x +；（3）()311x +；（4）x 2cos ；（5）x 3sin ；（6）xx 31-；（7）()xex -+1；（8）()21ln x x ++；（9）22311x x +-；（10）x arcsin ；（11）()21ln xx ++；（12）21ln arctan x x x +-；（13）⎰xdt tt0sin ；（14）dt t x⎰2cos ．解（1）nn a x a ax ax a ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛=-=-111111 （1<a x ） ∑∞=+=11n n n x a（a x <）．（2）()()22111-+=+x x()()()()()∑∑∞=∞=+-=+----+=0111!12321n n nn nx n x n n ，1<x ．（3）()()()()()∑∞=-+----+=+=+133!13431111n n x n n x x()()()∑∞=++-=22121n n x n n ，1<x ．（4）∑∞=-+=+=022)2()!2()1(212122cos 1cos n n n x n x x ∑∞=--+=1212)!2(2)1(1n nn n x n ，+∞<x ．（5）()()()()()!123141!1214343sin sin 3sin 1201203+--+-=-=+∞=+∞=∑∑k x k x x x x k kk k kk ()()()∑∞=++--=0122!1231143k k kk k x ，+∞<x ．（6）()213131--=-x x xx()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑∞=13!12123211n n x n n x （13<x ）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑∞=123!!!121n n n x n n x ，31<x ．（7）()()()∑∞=--+=+0!111n n xx n x ex （+∞<-x ） ()()∑∞=-+=0!11n n n x n x （+∞<x ）()()∑∑∞=+∞=-+-=10!1!1n n nn nnx n x n （+∞<x ）()()∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=111!1!111n nn x n n ，+∞<x ．（8）()()()212211ln -+='++x xx()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12!21223211n n x n n （12<x ）()()∑∞=--+=12!2!!1211n n n n x n n ，1<x ，所以，()()()()()∑⎰∞=++--+='++1120212!2!!1211ln n n nn xx n n n x dx xx ，1≤x ，即()()()()∑∞=++--+=++112212!2!!1211ln n n nn x n n n x xx ．（9）xx x x x x ---=--=+-11212)21)(1(123112∑∑∞=∞=-=0)2(2n nn nxx （12<x 且1<x ）()∑∞=+-=112n n n x ，21<x ．（10）()()∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+='122!2122321111arcsin n nx n n x x （12<-x ）()∑∞=-+=12!2!!121n n nx n n ，1<x ，所以，()()∑∞=++-+=11212!2!!12arcsin n n nx n n n x x ，1<x ．在1±=x ，由于()()()()()123132!12!!1212!2!!12lim 1>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++-+∞→n n n n n n n n n n ，用Raabe 判别法知右端级数收敛，因而收敛区间为]1,1[-．（11）()()()x x xx xx ---=--=++1ln 1ln 11ln 1ln 332()()()()x nnx n n n nn -----=∑∑∞=-∞=-1113111∑∑∞=∞=-=13111n nn n x nx n ，11<≤-x ．（12）dx x xdx x dxxx x x x x ⎰⎰+-+=+-02022111ln arctan ()()⎰∑⎰∑∞=∞=---=xn nx n x x dx x x 0202()()220120121121+∞=+∞=∑∑+--+-=n n n n n n x n x n x()()()()∑∞=+++-=01211221n n n x n n ，1≤x ．（13）()()()()⎰∑⎰∑⎰∞=∞=++-=--=x k k kx k k kxdt t k dt t k t dt t t 02000120!121!1211sin ()()()∑∞=+++-=012!12121k k kx k k ，+∞<x ．（14）()()()()()⎰∑⎰∑⎰∞=∞=-=-=x k k kx k kk xdt t k dt t k dt t004002202!21!21cos()()()∑∞=++-=01414!21k k kx k k ，+∞<x ．2．利用幂级数相乘求下列函数的Maclaurin 展开式：（1）()xx ++11ln ；（2）()2arctan x ；（3）()x -1ln 2．解（1）()()()()∑∑∞=∞=---=++=++011111ln 11ln n nn nn x xnn x x x x ()()()∑∑∑∑∞=∞=-∞==---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111111111n n k n n n k k n k n k k x k x x k ，1<x ．（2）()()20022022111arctan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰∑⎰∞=x n nn x dt t dt t x ()()()()121200121121+--+∞==+--+-=∑∑k n kn k n n k k x k n x k()()()()∑∑∞=+=+-+-=0120121211n n nk nx k n k ()()∑∑∞=+=++-=012012111n n nk nx k n ，1≤x ．（3）()()()∑∑∑∑∞==-+∞=∞=--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-111212112111ln n nk k n k n n n n n k n x k x n x x n x()()∑∑∑∑∞=+=∞=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11111111211n n n k n n n k x k n x k n k ，11≤≤-x ． 3．将下列函数在指定点0x 展开为Taylor 级数：（1）)(,10a b x xa ≠=-；（2）1,221ln 02-=++x xx ；（3）2,ln 0=x x ；（4）1,0=x e x．解（1）()()()ba bx b a b x b a x a ----=---=-11111()()∑∑∞=-∞=--=⎪⎭⎫⎝⎛---=0101n n nn nb a b x b a b x b a ，b a b x -<-．（2）()[]2211ln 221ln++-=++x xx ()()[]()()∑∑∞∞=-+-=+--=nn n n n n x nx n21211111，02≤≤-x ．（3）()()∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎭⎫⎝⎛-++=-+=112212ln 221ln 2ln 22ln ln n nn x n x x x （1221≤-<-x ） ()()∑∞=---+=112212ln n n nn x n ，40≤<x ．（4）()()()∑∑∞=∞=--+-=-===001111!1!1n nn n x x xx n e x n e eeee ，+∞<<∞-x ． 4．展开 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x e dx d x 1为x 的幂级数，并推出()∑∞=+=1!11n n n ．解 ∑∑∑∞=-∞=-∞=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22110!1!11!111n n n n n n x x n n x n dx d x n x dx d x e dx d ()∑∞==+=11!1n n x n n，+∞<x ，所以，()()1111!11211=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+==∞=∑x x x x n x x e x e dx d n n ． 5．试将()x x f ln =展开成11+-x x 的幂级数．解令11+-=x x t ，则 ttx -+=11，因而有()()()()()()∑∑∞=-∞=-----=--+=-+==1101111ln 1ln 11ln ln n n n n nn t nt n t t t tx x f()∑∑∞=-∞=-⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=112111112211n n n n n x x n t n，0>x ．6．函数()x f 在区间),(b a 内的各阶导数一致有界，即0>∃M ，对一切()b a x ,∈，有() ,2,1,)(=≤n M x f n ，证明：对()b a ,内任意点x 与0x ，有()()()()∑∞=-=000!n n n x x n x f x f ．证明由Taylor 公式，()b a x ,∈∀，()b a x ,0∈，有()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=00)(200000!!2 ，其中()()()()()()∞→→-+≤-+=+++n x x n Mx x n f x R n n n n 0!1!1101)1(ξ，()b a x ,∈∀，其中ξ在x 与0x 之间．故()x f 在区间()b a ,可以展成()0x x -的幂级数，即()b a x ,∈∀，()b a x ,0∈，()()()∑∞=-=000)(!n n n x x n x fx f ．。

7-8讲幂级数与泰勒级数

例1：常用的4个展开形式（z0=0为展开中心）
其中f (0)=e0 1,
f (0) = (e z )
z 0
1, f ( k ) (0) 1,
1 zk z ak , f ( z ) e . k！ k 0 k！
其收敛半径为 R lim
k
ak 1/ k ! lim lim(k 1) . ak 1 k 1/( k 1)! k
1 z n 1 , 因前n项和 S n ( z ) 1 z
1 S ( z) . 1 z
1 z n 1 1 lim . 当|z|<1时，和函数 S ( z) lim Sn ( z) 1 z 1 z n n
作业：P37 3(1,2,4), 4(2,3)
§3.3 泰勒级数展开
则在此区域内和函数 S ( z ) wk ( z )连续。
k 1

(2)逐项求极限：若级数的每一项都是连续函数，则一致收敛的
函数级数可以逐项求极限，即
lim w ( z ) lim w ( z ).
z z0 k 1 k k 1 z z0 k

证明：由性质(1)知，当z→ z0时，和函数S(z) →S(z0)，
可见，两种泰勒展开级数的系数完全相同。
三、举例
z2 zk (1) e 1 z , z , 2 ！ k 0 k！ eiz eiz z3 z5 (1) k 2 k 1 (2) sin z z z , z , 2i 3！ 5！！ k 0 (2k 1) eiz e iz z2 z4 (1) k 2 k (3) cos z 1 z , z , 2 2 4 ！！！ k 0 ( 2k ) 1 2 3 (4) 1 z z z z k , z 1. 1 z k 0 f ( k ) (0) k z k z , 解(1)：由泰勒展开定理知 f ( z ) e ak z k！ k 0 k 0 z

微积分第九章第五节泰勒公式与幂级数展开

n1
(2n) !
cos x
(1)n
x2n
1 x2 x4 ,
x (,)
n0
(2n) !
2! 4!
22
例9 将 f ( x) cos 2 x 展开成 x 的幂级数.
解法2 (cos 2 x) sin2x (1)n (2x)2n1 ,
n0
(2n 1) !
两边从 0 到 x 积分,得
f ( x)
1 1 x2
( x2 )n
n0
,
| x|1
两边从 0 到 x 积分,得
arctan x (1)n x2n1 x x3 x5
n0
2n 1
35
上述幂级数在 x 1 处也收敛,且arctan x 在x 1
处有定义且连续,所以上述展开式成立的范围为
x [1,1]
18
基本展开式
例4 将 f ( x) ex2 展开成 x 的幂级数.
ex
xn ,
x (,)
n0 n !
所以
e x2
( x2 )n
(1)n x 2n ,
n0 n !
n0 n !
x ( , )
15
例5 将 f (x) cos x 展开成 x 的幂级数.
sin x (1)n
x 2n1
x 1 x3 1 x5
Rn( x)
e xn1 , (n 1)!
在
0
与
x 之间,
|
Rn
(
x)
|
|
(n
e 1)
!
x n1
|
e|x|
| x |n1 (n 1) !
对任意固定的 x,级数

幂级数及泰勒展开习题解答(最新整理)

幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解：12(21)limlim 12(1)(21)n n n n a n n a n n +→∞→∞-==++1R ⇒=当时，因，所以收敛，1x =21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-112(21)n n n ∞=-∑当时，绝对收敛，1x =-1(1)2(21)nn n n ∞=--∑ 收敛区间为。

⇒[1,1]-2.n ∞=解：11lim 2n n nna a +→∞==2R ⇒= 当时，为收敛的交错级数，2x=1n ∞=当时， 2x =-11n n ∞∞===- 收敛区间为。

⇒(2,2]-3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解：1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+，当时，通项不趋于零，收敛区间为。

13R ⇒=13x =±⇒11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解：121limlim 121n n n na n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。

231x -<12x <<当时，发散，1x =11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑当时，为收敛的交错级数，2x =1(1)21nn n ∞=--∑ 收敛区间为。

⇒(1,2]5.1ln(1)1)1n n n x n ∞=+-+∑解：1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n n a n n a n n +→∞→∞++==++1R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。

11x -<02x <<当时，因为0x =，1ln(1)ln lim lim lim 011n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+2ln 1ln ln(2)ln(1)()()0() 3 21x x n n f x f x x e n x x n n -++'=⇒=<>⇒≥<++时，所以收敛，1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑当时，因为当时所以发散， 2x =2n ≥ln(1)11112n n n n +>>++1ln(1)1n n n ∞=++∑ 收敛区间为。

大学数学泰勒展开与幂级数

大学数学泰勒展开与幂级数泰勒展开是数学中常用的近似函数的方法之一，它是利用函数在某一点的导数信息来逼近原函数的方法。

而幂级数是一类特殊的函数级数，可以表示为无穷多个项的和，每一项都是自变量的幂函数。

一、泰勒展开的概念与基本原理泰勒展开是函数在某一点附近的一种近似表示。

设函数f(x)在点x=a处有无穷阶可导，那么它在x=a点附近的泰勒展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ……其中，f(n)(a)表示函数f(x)的n阶导数在点x=a处的值，(x-a)ⁿ表示(x-a)的n次幂。

泰勒展开的基本思想是用函数在某点的导数值来逼近函数在该点的函数值。

二、泰勒展开的应用领域1. 函数近似计算：通过泰勒展开，可以将复杂的函数近似为简单的多项式，便于计算与分析。

2. 误差估计：通过泰勒展开，可以得到近似函数与原函数之间的误差，并进行估计。

3. 函数图像研究：利用泰勒展开，可以分析函数在某一点的局部特性，如极值、拐点等。

三、泰勒展开的具体步骤1. 确定展开点：通常选择函数的某一特殊点作为展开点，如0点、极值点等。

2. 求导数：计算函数在展开点处的各阶导数。

3. 求导数的值：将展开点代入各阶导数的表达式，求得导数在展开点处的值。

4. 按泰勒展开式公式写出泰勒展开式：根据泰勒展开式的形式，将函数、展开点和导数的值代入。

四、幂级数的概念与性质幂级数是函数项级数的一种特殊形式，它可以表示为：f(x) = a₀ + a₁(x-a) + a₂(x-a)² + a₃(x-a)³ + ……幂级数的性质有：1. 收敛半径：幂级数可以收敛于某个范围内的实数，这个范围就是收敛半径。

2. 收敛区间：幂级数收敛的区间称为收敛区间，收敛区间的两个端点可能包括在内，也可能不包括在内。

第四章解析函数的级数展开习题及其解答

第四章解析函数的级数展开习题及其解答4.1 判断级数的收敛性，绝对收敛性.1) 2)解 1)由实数项级数收敛的狄离赫利判别法可知与均收敛.故由复数项级数收敛充要条件知.但.而发散，所以非绝对收敛.2)因，而收敛，即收敛，于是收敛，且为绝对收敛.注由此两题可见，对于复数项级数，绝对收敛收敛；而收敛≠＞绝对收敛.2)可作为此种情况的例子.4.2 幂级数能否在处收敛，而在=3处发散？说明理由.答不可能.因为若在处发散，则由Abel 定理，在一切满足的处级数均为收敛，显见，=3满足此不等式故不可能在=3处发散.4.3 求极限，其中，并由此判断复数项级数的敛散性. 解设.注意.所以将代入得由复数项级数收敛的定义可知，收敛于.即∑∞=1i k n n ∑∞=12i k n n 2sini 2cos i ππ+= ∑∑∞=∞=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=∴112sin i 2cos i n n n n n n n n ππ ∑∞=12cosn n n π∑∞=12sin n n n π∑∞=1i n n n n n n 1i =∑∞=11n n ∑∞=1i n n n 221i n n n =∑∞=121n n ∑∞=12i n n n ∑∞=12i n n n⇒∑∞=-0)2(n nnz a0=z z 0=z 2202=-<-z z z z nn S +∞→lim knk n S ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12i 1∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+12i 1k k2i 1+=α122<=α()()ααααααααααα---=--=+++==--=∑11111111n n n nk kn S αααααα-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=++∞→+∞→111lim lim 1n n n n S ()01+∞→+→n n α2i1+=αilim =+∞→n n S ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121k ki i i 2i 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∞=k k注 1.这里的即为复数项级数的部分和序列，求之极限中利用了的结论.由极限存在得收敛结论，这是最基本的方法.4.4 证明：若收敛，则收敛(这时称绝对收敛).证设，则.由正项级数比较判别法，收敛，均收敛，又由实数项级数知识知与收敛.于是由复数项级数收敛的充要条件得收敛.注若收敛，称绝对收敛.则本题的结论说明复数项级数绝对收敛，则必收敛.证明方法用的是实数项级数对应的统一性质.应注意收敛≠＞收敛，故不能由发散推出发散.4.5 设极限存在，证明下列三个级数有同一收敛半径：；；.证设，则级数收敛半径为，(0)，由收敛幂级数性质，在内，对可逐项积分、逐项求导，所得结果收敛半径不变.故知及收敛半径仍为.在＝0时，收敛半径.上述性质仍成立.4.6 将下列函数展为幂级数，并求收敛半径.展为的幂级数解在处解析，且以为奇点，故可知其Taylor 展式的收敛半径.设，将展为的幂级数，再代入即可得所求(由展式唯一性保n S ∑∞=1k kαn S 01→⇒<nααn S ∑∞=1k kα∑∞=1k kα∑∞=1k kα∑∞=1k kαk k k b a i +=αk k a α≤∑∞1kα∑∞=⇒1k ka ∑∞=1k kb∑∞=1k ka∑∞=1k kb∑∞=1k kα∑∞=1k kα∑∞=1k kα∑kα∑nα∑kα∑kαnn n a a1lim +∞→∑∞=0n nn za ∑∞=++011n n n z n a ∑∞=-11n n nzna λ=+∞→nn n a a1lim ∑∞=0n nnz a λ1=R ≠λRz <∑∞=0n nnz a∑∑∞=-∞='01n n nn nn z na z a ＝）（∑⎰∑∞=+∞=+=011n n nz n nn z n a dz z a λ1=R λ∑∞=0n n nz a+∞=R 22)11z ＋（z 22)11z ＋（0=z i ±∑∞=0n nnz a1=R ξ=2z 211）＋（ξξ2z ＝ξ证).因为在内逐项微分得于是4.7 计算下列积分：(积分路径均为正项)1)2)3)解1)因为在内解析，且积分路径(正向)围绕，本身及其内部完全属于，故由高阶导数公式知又由在邻域Taylor 展开式系数知，原积分=2，为展开式中之系数.所以2) 因为主值分支在内解析，积分路径内解析，积分路径(正向)本身及其内部完全位于内，且围绕，故由高阶导数公式及在邻域Taylor 展开式系数知：原积分＝(偶次幂系数均为0)3)因为在内解析，且积分路径围绕本身及其内部完全属于内，故由高阶导数公式及在邻域Taylor 展开式系数知原积分＝(为之系数)故有原积分＝1)1(110<-=+∑∞=ξξξn n n 1<ξ∑∑∞=-∞-+-=-=+-01112)1()1()1()1(1n nn n n n n ξξξ1 )1()1()(112<+-=+∴∑∞=ξξξn n n n ∑∞=+-=02222)1()1(11n nz n z ）＋（1<z ⎰=-21511z zz dze⎰=2199arctan z dzz z ⎰=45cos πz zz dz ze-111<z 21=z 0=z 1<z 0)(1121511)(!42=-=-=⎰z z z z ze i z dze πze-110=z 4ia π4a 4z )2473(221511e i z dzez zπ=⎰=-z arctan 1<z 1<z 21=z 1<z 0=z z arctan 0=z 0298=ia πz cos 12π<z =z 4π0=z 2π<z z cos 10=z 42ia π4a 4z i i ππ1252452=⋅4.8 在的邻域将展为Taylor 级数，并求收敛半径. 解因为在的区域内解析，故可在的邻域内展为Taylor 级数，且收敛半径.所以在内有展开式又由幂级数乘法得4.9 在的邻域上将展开. 【解】函数在原点没有定义，是奇点.引用在原点的邻域上的展开式，为避开奇点，从平面上挖去原点的复平面上，用除的展开式，就得到的展开式，其实，如果定义一个函数则在整个复平面上都是解析的，从而得到在的邻域上的展开式，正是解析函数的Taylor 展开式.0＝z z e z f z-=1)(z e z f z-=1)(1≠z 0＝z 101=-=R 1<z ∑∞==-01n nn zz a z e 1z 1112<⋅⋅⋅+++=-z z z +∞<⋅⋅⋅++++=z !3!2132z z z e zz z 38z 252z 1 z !2113!111)z 21(12z 1 )!3!21)(1()(3232322+∞<⋅⋅⋅++++=⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++=z z z z z z f 00=z z zsin z zsin 00=z z sin++-++-+-=+12753)!12(1)1(!7!5!3sin k k z k z z z z z +∞<||z z +∞<<||0z z z sin z zsin++-++-+-=k k z k z z z z z 2642)!12(1)1(!7!5!31sin +∞<<||0z ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10,sin )(z z zzz f )(z f )(z f 00=z++-++-+-=k k z k z z z z f 2642)!12(1)1(!7!5!31)(+∞<<||0z )(z f4.10 将在下列圆环域内展为Laurent 级数1)2)解 1)因为，将在环域内展为Laurent 级数，即要将展为形如的级数，因为在内解析，由Laurent 定理，上述展示存在，为得到它，注意在内解析，且，故又因故2) 当时，对于有仿1)，有而4.11下列推导是否正确？为什么？用长除法得)2)(1(1)(--=z z z f 21<<z 2>z )1(1)2(1)(---=z z z f )(z f 21<<z )(z f ∑+∞-∞=n nnz C)(z f 21<<z 21-z 2<z 12<z 2z 21212212112121110<--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅-=-∑∑∞=+∞=n nn n nz z z z 。

幂级数的部分练习题及答案

题目部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择(10小题,共22.0分)(2分)[1](2分)[2](A)(B)(C)(D)答( )(2分)[3](A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。

答：( )(3分)[4](A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。

答：( )(2分)[5]1，则级数在(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)不能确定敛散性。

答：( )(2分)[6](A),收敛；(B) ,收敛；(C) ,发散；(D) ,发散；答( )(2分)[7]R,那么.答( )(3分)[8]该级数(A)(B)(C);(D)答( )(2分)[9]意阶可导，那么(A) (B)不一定(C)(D)可能处处不存在。

答( )。

(2分)[10]那么该幂级数(A)(B)(C)(D)答( )。

二、填空(54小题,共166.0分)(2分)[1]函数项级数的收敛域是。

(2分)[2]讨论x值的取值范围，使当_____________时当_____________(3分)[3](2分)[4] 级数的和是。

(2分)[5]函数是。

(3分)[6]得当时，绝对收敛，当时，条件收敛。

(2分)[7] 的收敛域是。

(3分)[8]的收敛半径是，和函数是。

(1分)[9] 1，则级数在开区间内收敛。

(2分)[10]内收敛。

(2分)[11] 设幂级数的收敛半径是的收敛半径是。

(2分)[12]敛域是.(5分)[13]是，收敛域是。

(6分)[14] 的收敛域是。

(4分)[15] 幂级数的收敛区间是。

(4分)[16] 的收敛域是。

(4分)[17]关系。

(3分)[18]的收敛半径是。

(2分)[19] 的收敛域是，和函数是。

(3分)[20] 的和函数是。

(3分)[21]的收敛域是，和函数是。

(2分)[22]是，和函数是。

(2分)[23]则其和函数在开区间上是连续的。

(2分)[24]半径是。

11-04泰勒级数与幂级数(中)-13共27页文档

当x1时 ,级数变 (1为 )nn发散;
n1
故幂级数的收敛区间为 (1,1).
微积分十一 ⑥
8/26
例4 求幂级数nxn1的收敛区间与和 ,并函求数
n1
数项级数 n
2n
n1
的和.
解：(2 )设 S (x )nn 1 x 1 2 x 3 x 2 nn x
n 1
x(1,1)
xS (t)d tx (1 2 t 3 t2 n n t )dt
故幂级数的收敛区：间(1为,1]
微积分十一 ⑥
2/26
2.级n数 1x32n n1的 x 2n3 收敛 R半 __3 径 __.____
lim un1 n un
lim n
3n1 x 2n1
limx2 x2 n 3 3
当x2
1时,
3n
x
3,
原级数绝对收敛。
3
当x2 1时, x 3, 原级数发散。
(*)化为
1,
n1 n
发散.
(*的 ) 收敛区间 (1，为 1]
即 13x11得 2 x 0 3
原级数的收敛区(间2， 0为] 3
微积分十一 ⑥
微一、函数项级数的概念
积
分二、幂级数及其收敛性
电
子三、幂级数的性质
教
案四、泰勒级数
五、函数展开成幂级数
5/26
在收敛域上，函数项级数的和是 x的函数 s( x)，
x2
n 1
n 1
1 x
x2x(1x)x2(1) (1x)2
(1
2
x x)3
当 x=1/2 时，
n(n1)/2n
21 2

经济数学泰勒级数与幂级数1

二、幂级数及其收敛性
1.函数项级数定义
un x u1x u2 x un x
n1
设 {un ( x)} 是定义在数集 I上的函数列, 表达式
u1( x) u2( x) un( x) un ( x) (1) n1
称为定义在 I上的函数项级数. 而
Sn( x) u1( x) u2( x) un( x)
敛性.
例1 几何级数 xn 1 x x2 x3 xn
就是一个函数项n0级数 , 根据本章第一节的讨论知:
当| x | 1 时 , 级数收敛; 当| x | 1时 , 级数发散 . 因
此 , 这个级数的收敛域是区间 (1, 1), 发散域为 (, 1] [1, ).
在收敛域内(1, 1), 有
充要条件是 f ( x) 的泰勒公式中的余项 Rn( x) 当 n 时的极限为零，即
lim
n
Rn (
x)
0
( x U ( x0 ))
若在泰勒级数中令x0 0 得
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
称为函数 f ( x)的麦克劳林级数
x0 )n
称为 f ( x)在 x x0 处的泰勒级数
若当x 在某范围内变化时，总有
lim
n
Pn
(
x
)
f (x)
则称 f ( x)在 x x0 处可以展开成上述泰勒级数
定理设 f ( x) 在点 x0 的某一邻域U ( x0 ) 内具有各
阶导数，则 f ( x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的
1 x x2 x3 xn 1 , 1 x
即几何级数

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十四章

第十四章幂级数一、证明题1. 证明:设f(x)=∑∞=0n n n x a在x=R 是否收敛).应用这个结果证明:∑⎰∞=--==+1n 1n n 11)(ln2dx x 1101. 2. 证明 (1) y=∑∞=0n 4n(4n)!x 满足方程y (4)=y (2) y=∑∞=0n 2n)(n!x 满足方程x y ''+y '-y=0. 3. 证明:设f(x)为幂级数∑∞=0n n n x a在(-R,R)上的和函数,若f(x)为奇函数,则该级数仅出现奇次幂的项,若f(x)为偶函数,则该级数仅出现偶次幂的项.4. 设函数f(x)在区间(a,b)内的各阶导数一致有界,即存在正数M,对一切x ∈(a,b),有|f (n)(x)|≤M(n=1,2,3,…),证明:对(a,b)内任一点x 与x 0有 f(x)=∑∞=0n n 00(n))x -(x n!)(x f 二、计算题1.求下列幂级数的收敛半径与收敛区域.(1) ∑n nx ; (2) ∑n n 2x 2n 1; (3) ∑n 2x (2n)!)(n!; (4) ∑n n x r 2,(0<r<1); (5)∑1)!-(2n 2)-(x 1-2n ; (6)∑+-+n n n 1)(x n 2)(3; (7)∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n x n 1211 ; (8)∑2n n x 21 2. 利用逐项求导或逐项求积分的方法求下列幂级数的和函数.(应同时指出它们的定义域) (1) +++++++12n x 5x 3x x 12n 53; (2) x+2x 2+3x 3+…+nx n +…;(3)1·2x+2·3x+…+n(n+1)x n +…3. 求下列幂级数的收敛域: (1) ∑∞=>>+1n nn n0)b 0,(a b a x (2) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1n n n x n 1124. 证明定理14.3, 并求下列幂级数的收敛半径: (1) ∑-+n n n x n]1)([3; (2) a+bx+ax 2+bx 3+…, (0<a<b).5. 求下列幂级数的收敛半径及其和函数; (1) ∑∞=+1n n1)n(n x ; (2) ∑∞=++1n n2)1)(n n(n x .6. 设a 0,a 1,a 2,…为等差数列(a 0≠0),试求:(1) 幂级数∑∞=0n n n x a的收敛半径;(2) 数项级数∑∞=0n n n 2a 的和数. 7. 按待定系数法确定函数:f(x)=∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0n n 1n x 1的幂级数表达式(写出前四项). 8. 利用已知函数的幂级数展开式,求下列函数在x=0处的幂级数展开式,并确定它收敛于该函数的区间:(1) 2x e ; (2) x 1x 10-; (3) 2x1x -; (4) sin 2x; (5) x 1x 10-; (6) 22x-x 1x +; (7) dt t sint 0x ⎰; (8) (1+x)e -x ; (9))x 1ln(x 2++.9. 求下列函数在x=1处的泰勒展开式:(1) f(x)=3+2x-4x 2+7x 3; (2) f(x)=x1. 10. 求下列函数的马克劳林级数展开式: (1) )x x )(1(1x 2--; (2) xarctgx-ln 2x 1+; 11. 试将f(x)=lnx 按1x 1x +-的幂展开成幂级数. 三、考研复习题1. 证明:当|x|<21时 +-++++=+--1n n 221)x (27x 3x 12x3x 11 2. 求下列函数的幂级数展开式:(1) f(x)=(1+x)ln(1+x); (2) f(x)=sin 3x;(3) f(x)=dt cost 0x 2⎰3. 确定下列幂级数的收敛域,并求其和函数:(1) ∑∞=1n 1-n 2x n ; (2) ∑∞=++0n 2n 1n x 212n ; (3) ∑∞=1n 1-n 1)-n(x ; (4) ∑-+1(2n)x (-1)212n 1-n 4. 应用幂级数性质求下列级数的和: (1) ∑∞=+1n 1)!(n n ; (2) ∑∞=+0n n13n (-1). 5. 设函数∑∞==1n 2nn x f(x )定义在[0,1]上,证明它在(0,1)上满足下述方程:f(x)+f(1-x)+lnx ·ln(1-x)=f(1).6. 设园弧AB 的弦长为a,园弧一半所对的弦长为b,证明: AB 的弧长L ≈31(8b-a) 7. 利用函数的幂级数展开求下列不定式的极限.(1) ∞→n lim n ·[ln(n+1)-lnn]; (2) xsin arcsinx x lim 30x -→; (3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x 11ln x x lim 2x .。

函数展开成幂级数泰勒公式

经济数学
证明
Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!

x0
)n1
M x x0 n1 , (n 1)!

x

x0
n1
在(,)收敛,
n0 (n 1)!
x ( x0 R, x0 R)
lim n
x x0 n1 (n 1)!
经济数学
例如
f
(x)

e

1 x2
,
x0
0, x 0
在x=0点任意可导, 且 f (n) (0) 0 (n 0,1,2,)

f ( x)的麦氏级数为 0 xn
n0
该级数在(,)内和函数s( x) 0. 可见
除 x 0 外, f ( x) 的麦氏级数处处不收敛于 f ( x).
33
3
3
x1 3
经济数学
x 1 ( x 1) 1
4 x
4 x

1(x 3

1)

( x 1)2 32

(x
1)3 33

(x
1)n 3n

于是
f
(n) (1) n!

1 3n
,
x1 3
故
f
(n) (1)
n! 3n .
经济数学
例8 将
展成 x－1 的幂级数.
-----拉格朗日中值定理
2、若 Rn (x) o[( x x0 )]n ，则称为皮亚渃型余项
3、当 x0 0 时，泰勒公式称为麦克劳林公式
f (x)

115泰勒级数与函数展开成幂级数

(1)n
n0
1 2n2
1 22n3
(x 1)n
(1 x 3 )
机动目录上页下页返回结束
内容小结
1. 函数的幂级数展开法
(1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开式的函数 .
2. 常用函数的幂级数展开式
• ex 1 x 1 x2 1 xn ,
f (n) (x) n!an （将 x = x0 代入）
a0
f
(x0 ), a1
f (x0),
a2
1 2!
f
( x0 ) ,
,
an
1 n!
f (n) (x0 )
定义11.8 若函数
的某邻域内具有任意阶导数,
则称
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
1
an
1 n!
f
(n) (0)
0, (1)k
n 2k ,n 2k
1
(k 0, 1, 2,)
n!
Pn(x)
=
x
1 3!
x3
1 5!
Байду номын сангаас
x5
(1)n1
1 ( 2 n 1)!
x2n1.
sin
x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
1 7!
x7
1 9!
x9
(1)n1 (2n1)!
x2n1
o(x2n )
y
x
x3 3!

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幂级数及泰勒展开习题解答幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解：12(21)limlim 12(1)(21)n n n n a n n a n n +→∞→∞-==++ 1R ⇒=当1x =时，因 21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-，所以112(21)n n n ∞=-∑收敛，当1x =-时， 1(1)2(21)nn n n ∞=--∑绝对收敛，⇒ 收敛区间为[1,1]-。

2. 11n n n -∞=解：11lim 2n n n na a +→∞==2R ⇒=当2x =时，1nn ∞=为收敛的交错级数，当2x =-时，111n n n n -∞∞===- ⇒ 收敛区间为(2,2]-。

3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑ 解：1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+ 13R ⇒=，当13x =±时，通项不趋于零，⇒ 收敛区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭。

4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+ 1R ⇒=故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。

当1x =时， 11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛区间为(1,2]。

5. 1ln(1)(1)1n n n x n ∞=+-+∑解：1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n n a n n a n n +→∞→∞++==++ 1R ⇒=故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。

当0x =时，因为1ln(1)ln lim lim lim 011n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+，2ln 1ln ln(2)ln(1)()()0() 3 21x x n n f x f x x e n x x n n -++'=⇒=<>⇒≥<++时，所以 1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑收敛，当2x =时，因为当2n ≥时ln(1)11112n n n n +>>++ 所以1ln(1)1n n n ∞=++∑发散，⇒ 收敛区间为[0,2)。

6. 211(1)(1)4n n nn x n ∞-=--∑解：2121211(1)41lim lim 1(1)(1)44n n n n n n n n u x n x u x n ++-+→∞→∞-==--+ 故当2111124x x -<⇒-<，即13x -<<时级数绝对收敛。

当1x =-时， 12111(1)1(1)(11)42n n n nn n n n -∞∞-==----=∑∑为收敛的交错级数，当3x =时， 2111(1)1(1)(31)42n n n nn n n n ∞∞-==---=∑∑为收敛的交错级数， ⇒ 收敛区间为[1,3]-。

二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数1. 1211(1)21n n n x n +-∞=--∑解：212121(21)lim lim (21)n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞-==+故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散。

当1x =-时， 12111(1)(1)(1)2121n n n n n n n +∞∞-==---=--∑∑为收敛的交错级数，当1x =时， 11(1)21n n n +∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛区间为[1,1]-。

令1211(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞=-=⇒=-∑ 122220111()(1)()(0)arctan 11()arctan (1).x n n n S x x S x S dt x x tS x x x ∞+-='⇒=-=⇒-==++⇒=≤∑⎰ 2. 2112n n nx ∞-=∑解：212121(22)lim lim 2n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞+==故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散。

当1x =-时， 21112(1)2n n n n n ∞∞-==-=-∑∑发散，当1x =时， 12n n ∞=∑发散，⇒ 收敛区间为(1,1)-。

令211()2(0)0n n S x nx S ∞-==⇒=∑22122011222()212()(||1).11xxn nn n x S t dt ntdt x x x xS x x x x ∞∞-==⇒===-'⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭∑∑⎰⎰3. 1(1)n n n n x ∞=+∑解：1(1)(2)limlim 1(1)n n n n a n n a n n +→∞→∞++==+ 1R ⇒=当1x =时，1(1)n n n ∞=+∑发散；当1x =-时，1(1)(1)n n n n ∞=+-∑发散，⇒ 收敛区间为(1,1)-。

令1()(1)(0)0n n S x n n x S ∞==+⇒=∑12111122221223()(1)1(1)2()(||1).(1)(1)xxnn n n n n n n S t dt n n t dt nxxnxx x x x x x x x xS x x x x ∞∞∞+-===∞=⇒=+==''⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭'⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭∑∑∑⎰⎰∑4. 221(21)2n n n x n ∞-=-∑解：22122(21)2lim lim 2(1)(21)n n n n n nu x n n x u x n n +-→∞→∞+==+-故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散。

当1x =±时， 11211122n n n n n ∞∞==-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑（通项不趋于零）发散， ⇒ 收敛区间为(1,1)-。

令221211()(0)22n n n S x x S n ∞-=-=⇒=∑2221211011121121211111()()(0),(0)0222()(||1)1xxn n nn n n n n n S t dt t dt x x S x x S n n x n xxS x x x x ∞∞∞--===∞-=-⇒===≠='⇒==<-∑∑∑⎰⎰∑21120211()(0)ln(1)121()ln(1)2xt S x S dt x t S x x ⇒-==---⇒=--⎰2222ln(1)1ln(1)0 , ()212x x x S x x x x '⎛⎫--⇒≠=-=+ ⎪-⎝⎭时故2221ln(1), 0||112()1 , 02x x x x S x x ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩ 另解22222222111111111()121212n n n n n n S x x x x n x nx x n ∞∞∞--===⎛⎫=-=-=- ⎪--⎝⎭∑∑∑ 三、求下列级数的和1. 2211112322323nn n n n n n n n -∞∞∞======⎝⎭∑∑也可以考虑利用幂级数12111(||1)1(1)n n n n x nxx x x x ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫===< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑ ⇒ 121122121333332113n n n n n n -∞∞==⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑ 2. 1111(1)111(1)(21)(21)22121n n n n n n n n -∞∞-==-⎛⎫=-- ⎪-+-+⎝⎭∑∑11111111(1)(1)(1)221221n n n n n k n n ∞∞--===---=--+∑∑ 1121111(1)(1)221221n k n k n k ∞∞-===-----∑∑1111(1)212n n n ∞-==---∑1arctan12142π=-=-四、利用直接展开法将下列函数展开成幂级数 1.()(0,1)x f x a a a =>≠解：()()()(ln ) (0)(ln )n x n n n f x a a f a =⇒=()00(0)(ln )!!n n n nn n f a x x n n ∞∞==⇒=∑∑， 1ln limlim 01n n n n a a R a n +→∞→∞==⇒=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。

再由 (1)11111()(ln )(ln )lim |()|lim lim lim ||0(1)!(1)!(1)!n x n n n n n n n n n x f x a a a R x x x M x n n n θθ++++++→∞→∞→∞→∞==≤=+++ 因xa θ有界，11(ln )||(1)!n n a x n +++是收敛级数0(ln )!n n n a x n ∞=∑()x -∞<<+∞的一般项，所以对任意的x 上式均成立。

⇒xa =0(ln )!n nn a x n ∞=∑()x -∞<<+∞。

2. ()sin 2xf x =解：()()210, 211()sin (0)sin (1)22222, 212n n kn n k n kn x n f x f n k ππ+=⎧⎪⎛⎫=+⇒==⎨- ⎪=+⎝⎭⎪⎩ ()212100(0)(1)!2(21)!n nn n n n n f x x n n ∞∞++==-⇒=+∑∑，由 2321123212(21)!lim lim 02(23)!n n n n n n n nu x n R u n x +++++→∞→∞+==⇒=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。

再由2323232323sin ||22lim |()|lim lim 02(23)!2(23)!n n n n n n n x n x x R x x n n θπ++++→∞→∞→∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=≤=++ 因2323||2(23)!n n x n +++为绝对收敛级数21210(1)2(21)!nn n n x n ∞++=-+∑()x -∞<<+∞的一般项，所以对任意的x 上式均成立。