幂级数及泰勒展开习题解答电子版本

幂级数及泰勒展开习

题解答

幂级数及泰勒展开

一、求下列幂级数的收敛区间

1. 1

2(21)n

n x n n ∞

=-∑

解：12(21)

lim

lim 12(1)(21)

n n n n a n n a n n +→∞

→∞-==++ 1R ⇒=

当1x =时，因 2111

2(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以1

12(21)n n n ∞

=-∑收敛，

当1x =-时， 1(1)2(21)

n

n n n ∞

=--∑绝对收敛，

⇒ 收敛区间为[1,1]-。

2. 1

1

n n n -∞

=

解：11lim 2n n n n

a a +→∞==

2R ⇒=

当2x =

时，1

n

n ∞

=为收敛的交错级数，

当2x =-时，

111

n n n n -∞

∞===- ⇒ 收敛区间为(2,2]-。 3. 1(1)32n n n n n n x x ∞

=⎡⎤

-+⎢⎥⎣⎦

∑ 解：11

1

1

(1)32lim

lim 3(1)32

n n n n n

n n n n

n a a ++++→∞

→∞-+==-+ 13R ⇒=， 当13x =±时，通项不趋于零，⇒ 收敛区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭

。

4. 1

(23)(1)21n

n

n x n ∞

=---∑

解：121lim

lim 121

n n n n a n a n +→∞

→∞-==+ 1R ⇒=

故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。

当1x =时， 11(1)(1)11

1, 21212-1

2n n n n n n n n ∞

∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑发散，

当2x =时， 1

(1)21n

n n ∞

=--∑为收敛的交错级数，

⇒ 收敛区间为(1,2]。 5. 1

ln(1)

(1)1n n n x n ∞

=+-+∑

解：1ln(2)(1)

lim

lim 1(2)ln(1)

n n n n a n n a n n +→∞

→∞++==++ 1R ⇒=

故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。 当0x =时，因为

1

ln(1)ln lim lim lim 01

1n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+，2

ln 1ln ln(2)ln(1)

()()0() 3 21

x x n n f x f x x e n x x n n -++'=⇒=<>⇒≥<++时， 所以 1

(1)ln(1)

1n n n n ∞

=-++∑收敛，

当2x =时，因为当2n ≥时ln(1)11

112n n n n +>>++ 所以1

ln(1)1n n n ∞

=++∑发散，

⇒ 收敛区间为[0,2)。

6. 21

1(1)(1)4

n n n

n x n ∞

-=--∑

解：212

1211(1)41lim lim 1

(1)(1)44n n n n n n n n u x n x u x n ++-+→∞→∞-==--+ 故当

2

111124

x x -<⇒-<，即13x -<<时级数绝对收敛。 当1x =-时， 121

11(1)1(1)(11)42n n n n

n n n n -∞

∞-==----=∑∑为收敛的交错级数， 当3x =时， 21

11(1)1(1)(31)4

2n n n n

n n n n ∞

∞-==---=∑∑为收敛的交错级数， ⇒ 收敛区间为[1,3]-。

二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数

1. 121

1

(1)21n n n x n +-∞

=--∑

解：212

121(21)lim lim (21)n n n n n n

u x n x u x n ++-→∞→∞-==+

故当2

11x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散。

当1x =-时， 121

11(1)(1)(1)2121

n n n n n n n +∞

∞

-==---=--∑∑为收敛的交错级数，

当1x =时， 1

1

(1)21n n n +∞

=--∑为收敛的交错级数，

⇒ 收敛区间为[1,1]-。

令121

1

(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞

=-=⇒=-∑ 1222201

11

()(1)()(0)arctan 11()arctan (1).x n n n S x x S x S dt x x t

S x x x ∞

+-='⇒=-=

⇒-==++⇒=≤∑⎰ 2. 2112n n nx ∞

-=∑

解：212

121(22)lim lim 2n n n n n n

u x n x u x n ++-→∞→∞+==