电动力学-第一章 电磁现象的普遍规律

ÑS Ev
v dS
1
0
V
dV
ÑÑSL EBvv
v dl
v dS
0
d dt
S
v B
v dS
Ñ
L
vv B dl
0I
0 0
d dt
vv E dS
S
1）反映了一般情况下电荷电流激发电磁场，以及电磁场内部运动的规律。 微分形式反映局域点上场的性质，积分方程反映一定区域内场的整体特性。
2）电磁场可独立于电荷之外而存在，揭示了电磁场的物质性。变化的电 磁场是相互联系、不可分割的统一体，统称为电磁场。
1．磁感应强度
蜒 蜒 Ñ v
F12
0 4
l2
I
2
v dl2
(
v I1dl1
evr12
)
l1
r
2 12
l2
v I2dl2
[
0 4
l1
v
I1dl1
r
3 12
rv12
]
vv l2 I2dl2 B1
线电流回路激发的磁场：
B
0
4
Idl
r
l r3
Idl
J( x)
dSdl
J( x)dV
体电流分布激发的磁场：
E
0
E＝－
B
t
电场是有源有旋场，电荷是纵场源，时变磁场是横场源。
三、位移电流假设（变化的电场激发磁场）
1．将静磁场旋度方程
B
0J
中的
一般非恒定电流时，与电荷守恒定律
v J
由恒定电流推广到
J
0
的矛盾：
t
vv
B 0J
v J
1
v ( B) 0
0
适用于恒定电流情形
v J
0
t
v J
E
0
v
ÑS E
v dS
Q
0
E 0
LE dl 0
物理意义：反映了电荷激发电场以及静电场内部联系的规律。
物理图像：电荷是电场的源（通量源），电场线源于正电荷， 止于负电荷，在自由空间连续通过；静电场是有源无旋场。
例题
1. 电荷 Q 均匀分布于半径为 a 的球体内，求各点场强的散度和旋度。
E
F Q
Q
4 0
r r3
定义：单位正点电荷受的力
真空中静止点电荷激发的电场
3. 场的叠加原理（实验定律）
点电荷系在空间某点激发的场强等于各点电荷单独存在时在该点 激发场强的矢量和 。
v
E(
xv)
n i 1
v Ei
n i 1
Qi
4 0
rvi ri3
r E2
r E
Q1 P
r E1
Q2
4. 电荷密度及电荷元
0
t
适用于所有情形
因电荷守恒定律是自然界普遍适用的规律，要将静磁场的旋度方程推 广至一般变化磁场，必须对其进行修正。
2．位移电流假设：
还有在位一移般电非流恒定情JD况下，激发磁场的源除了运动电荷形成的电流
J
以外，
J D 以和 J 相同的方式激发磁场，即 B 0 (J J D )
JD
和
J合起来构成闭合的量，即
(J JD) 0
由电荷守恒定律给出
JD
v
J 0
v
t
v E
v (J
0
E t
)
0
0
v JD
0
v E t
3 ．位移电流实质： （时变电场）
位移电流不是由电荷宏观定向运动产生的“真正”的电流（传导 电流），而是随时间变化的电场；随时间变化的电场也能激发磁场， 且和传导电流激发磁场的方式一样。
v B
0
4
V
v J(
xv)
r3
rv
dV
2．电流在磁感应强度为
v B
的磁场中所受的力：
线电流元：dF
Idl
B
体电流元：dF
JdV
B
线电流回路： F l Idl B
体电流：
F
VJ
BdV
3．两电流元之间的相互作用力
vv 设两电流元 Idl1 , Idl2
v Idl1
对
v Idl2
的作用力为
体电荷密度：
( x)
lim
V 0
Q V
dQ dV
面电荷密度： (x)
lim
S 0
Q S
dQ dS
线电荷密度： (x) lim Q dQ
l0 l dl 点电荷密度： (x) Q (x x)
体电荷元： dQ (xv)dV 面电荷元： dQ (xv)dS 线电荷元： dQ (xv)dl
5. 连续分布电荷激发的电场强度
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第二节 电流和磁场
内容
一、电荷守恒定律 二、安培作用力定律及毕奥－萨伐尔定律 三．磁场的通量和散度 四、安培环路定律和静磁场的旋度 五、静磁场的基本方程
一、电荷守恒定律
一）电流强度
I
和电流密度矢量
J
I ：单位时间内通过某截面的电量
J：方向：电荷流动方向 大小：单位时间垂直通过单位面积的电量
r dF12
I
v 2dl2
0 4
vr I1dl1 r12
r132
v Idl2
对
v Idl1
的作用力为
r dF21
v I1dl1
0 4
v I2dl2
r r21
r231
r
r
dF12 dF21
v
v
I1dl1
I 2 dl2
实际中不存在独立的恒定电流元，恒定电流只存在于闭合回路中。
三、磁场的通量和散度
蜒 v
F12
0 4
l2
I
2
v dl2
(
v I1dl1
evr12
)
l1
r
2 12
的作l2用力为：
载流 I的2 线回路 对l2 载流 的I线1 回路
F21
0 4
I
1dl1
(
I
2
dl2
er21
)
l1 l2
r 2 21
的作l1用力为：
vv F12 F21
二）毕－萨定律（恒定电流激发磁场的实验定律）
1）积分形式：
SJ
dS
V
t
dV
S v v nv
V
单位时间内流出边界面 S 的电量：ÑS J dS
区域
V
内电量的减少率： dQ dt
d dt
V
dV
V
t
dV
2）微分形式：
SJ dS V JdV
V
t
dV
J
0
t
3. 恒定电流: 不随时间变化的电流（直流电）
在恒定电流情况下，一切物理量
内容
一、电磁感应定律 二、总电场的散度和旋度方程 三、位移电流假设 四、总磁场的散度和旋度方程 五、真空中的麦克斯韦方程组 六、洛伦兹力公式
一、电磁感应定律（变化的磁场激发电场）
1．电磁感应定律：1831年法拉第
当通过导电回路所围面积的磁通量发生变化时，
ε 回路中就产生感应电动势 ，感应电动势的大小等
vv
1．通量： ÑS B dS 0
vv
v
2．散度: ÑS B dS V BdV 0
可由毕－萨定律证明
v B 0
1）磁感应强度沿任意闭合回路的通量为零。
2）磁场为无源场，自然界不存在独立的磁荷（磁单极子），磁感应线 闭合。
3）不仅适用于静磁场，也适用于变化磁场。
四、安培环路定律和静磁场的旋度
4）微分形式反应了空间各点电流与磁感应强度的关系，适用于磁场连 续分布区域。
5）只适用于静磁场，即由恒定电流激发的磁场。
6）旋度方程包括三个分量方程，但因
(
B)
0
，故只有两个独立。
五、静磁场的基本方程
微分形式：
vv
B 0J
vv
Ñ 积分形式：
B dl
L
0I
v B 0
vv
ÑS B dS 0
四、总磁场的旋度和散度方程
1．总磁场的旋度：
B
0(J
JD)
0(J
0
E ) t
2．总磁场的散度：
B 0
磁场是无源有旋场（横场），涡旋源（横场源）是电流和时变 电场。
五、真空中的麦克斯韦方程组
微分形式：
v E
0
v
Ev＝－
B
v
t
B 0
vv
B 0J
0 0
v E t
积分形式：
v F
QQr F
4 or 3
r Q
Q
1）适用范围：真空、静止、点电荷 2）作用力物理本质的两种解释:
都可解释 静电情况
超距作用：不需中间媒介、直接瞬时作用
场传递：以“场”为中间媒介，以有限速度传播
2. 点电荷电场强度
电荷周围空间存在电场 电场的基本性质：对处于其中的电荷有力的作用。
描述电场的函数
3）静电场是有源（通量源）场，源为电荷。
4）高斯定理适于求解具有空间对称性的电场。
2. 静电场的散度
vv
ÑS E dS
v
V EdV
Q
0
1
0
V
dV
E
0
有正电荷
v E
0
无电荷
v E 0
有负电荷
v E
0
1）空间某点邻域上电场强度的散度只与该点的电荷密度有关，而与其它 点的电荷分布无关。但电场强度本身与其它点的电荷分布仍然有关。
体电荷： Er (xr )
xr rr dV
V 40 r3
面电荷： Er (xr )
S
xr
40
rr r3
dS
线电荷： Er (xr )
L
xr
40
rr r3
dl
二、高斯定理与电场的散度
1. 高斯定理
E dS
Q
S
0
可由库仑定律证明
1）静电场对任一闭合曲面的通量等于面内电荷与真空介电常数之比。 2）等式左边的 E是闭合曲面上的电场强度，它由闭合曲面内、外的电荷 共同激发；而右边的 Q 仅是闭合曲面内的电荷。
4．感应电场的散度
E 0
E＝－
B
t
感应电场的物理图像：
1）感应电场是有旋无源场，涡旋源是时变磁场。 2）感应电场线闭合。
二、总电场的旋度和散度方程
1．由静止电荷 激发的电场：（纵场）
E
E 0
0
v
2．由时变磁场 B 激发的电场：（横场）
t
E 0
E＝－ B
t
3．总电场的散度和旋度方程:
于磁通量随时间变化率的负值，负值表示感应电动 势的作用总是阻碍回路中磁通量的变化：
ε
d dt
d dt
SB dS
实质：随时间变化的磁场激发感应电场。
2．感应电场的环量
ε
v
ÑL E
v dl
d dt
S
v B
v dS
Ñ v v
E dl
v B
v dS
（回路
L固定）
L
S t
3．感应电场的旋度
B
LE dl S E dS S t dS
J
源自文库
E
B
不随时间变化。
t
0
v J
t
0
v J 0
（恒定电流条件）
t
0
ÑS
v J
v dS
V
t
dV
vv
ÑS J dS 0
恒定电流分布无源，电流线闭合。
二、安培作用力定律及毕奥－萨伐尔定律
一）安培作用力定律（恒定电流圈之间作用力的实验定律）
真空中载流 I的1 线回路 对l1载流 的I线2 回路
vv
1．安培环路定律： ÑL B dl 0I
可由毕－萨定律证明
vv
vv
2．静磁场的旋度：
ÑL B dl
S
v
B
dS v
0I 0
J dS
S
vv
B 0J
1）静磁场中磁感应强度
B
沿任一闭合回路
L
的环量，与通过
L
所围
曲面的电流成正比。
2）静磁场为有旋场，旋度源是电流。
3）积分形式反应了电流与磁感应强度在一定空间区域内的关系，适于 求解具有空间对称性的磁场。
2. 静电场的旋度方程
r r
rr
ÑL E dl S E dS 0
r E 0
1）说明静电场为无旋场，电力线永不闭合。
2）仅适用于静电场。
3）在介质分界面上
r E
一般不连续，旋度方程不适用。
4）有三个分量方程，但其中只有两个独立，因为
r E
0
。
四、静电场的基本方程
微分形式： 积分形式：
I
与
J
的关系：
通过面元
dS的电流强度：
dI
J
dS
通过任意曲面的电流强度： I SJ dS
电荷密度为
的带电粒子以速度
v
运动，则电流密度：
J
v
二）电荷守恒定律
1．语言表述：封闭系统内的总电荷严格保持不变。对于开放系统，单
位时间内流出系统的电量等于系统内电量的减少率。
J
2．数学表示：（电流连续性方程）
物理意义：反映了电流激发磁场以及静磁场内部联系的规律。
物理图像：静磁场为无源有旋场，磁力线总是闭合曲线，涡 旋源是电流。
例题
1. 电流 I 均匀分布于半径为 a 的无穷长直导线内，求空间各点的磁场强 度，并由此计算磁场的旋度。
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第三节 麦克斯韦方程组 及洛伦兹力公式
3）从理论上预言了电磁波的存在，并指出光波是电磁波。
4）以电磁现象的基本实验规律为基础，加上合理假设，通过科学分析推 广得到，其正确性由实践证实（赫兹实验，近代无线电的广泛实践）， 是宏观电磁现象的普遍规律。
2）刻划静电场在空间各点发散和会聚的情况，即通量源的强弱。
3）适用于连续介质区域，在介质分界面上，一般 Er 不连续，不能用。
4）电场强度有三个分量，仅此方程不能确定
r E
，还要知道
r E
的旋度方程。
三、静电场的环路定理与旋度
1. 静电场的环路定理
LE dl 0
可由库仑定律证明
1）静电场对任意闭合回路的环量为零。 2）静电场没有涡旋状态 ，静电场的电力线不闭合。 3）只适用于静电情形。
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第一章 电磁现象的普遍规律
本章重点及主要内容
重点：从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦 方程组。
主要内容：
库仑定律 静电场基本方程， 安培作用力定律 静磁场基本方程；
法拉第电磁感应定律、位移电流假设 真空中麦氏方程组； 介质电磁性质 介质中麦氏方程组； 介质分界面上的场方程——边值关系； 电磁场能量、能流，电磁能量的传输。
电磁运动中的基本关系：电荷和电场、电流和磁场、电荷和电流、电场和磁场。
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第一节 电荷和电场
内容
一、库仑定律和电场强度 二、高斯定理与电场的散度 三、静电场的环路定理与旋度 四、静电场的基本方程
一、库仑定律和电场强度
1. 库仑定律（静电现象的基本实验定律）