江西省高二上学期期末数学试卷
江西省重点高二上学期期末考试数学试题(解析版)
高二重点班上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程为（ ）10,2⎛⎫⎪⎝⎭A ． B ． C ． D ．22y x =2y x =22x y =22x y =-【答案】C【分析】由题意，因为抛物线的焦点坐标为，所以，即可求解.10,2⎛⎫⎪⎝⎭1p =【详解】由已知抛物线的焦点坐标为，焦点在轴正半轴，10,2⎛⎫⎪⎝⎭y 则，则抛物线的标准方程是，1p =22x y =故选：C.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，属于基础题.2．设，向量，，，且，，则（ ）,x y ∈R (),1,1a x = ()1,,1b y =()1,2,1c =-a c ⊥ //bc a b +=A ．B ．C ．4D ．3【答案】D【分析】先根据求出，再根据求出，故可求.a c ⊥ x //bc y a b +【详解】因为，故，故，a c ⊥ 210x -+==1x 因为，故，故，故，，//b c 11121y==-2y =-()1,1,1a = ()1,2,1b =-故，故，()2,1,2a b +=- 3a b += 故选：D.3．已知曲线表示椭圆，则m 的取值范围为（ ）22131x y m m +=--A ． B ． C ． D ．(1,)+∞(,3)-∞(1,3)(1,2)(2,3) 【答案】D【分析】根据椭圆的标准方程形式可得 ，解不等式组即可求解.301031mm m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩【详解】由题意可得，解得且，301031m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩13m <<2m ≠所以m 的取值范围为.(1,2)(2,3) 故选：D4．若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是()()log a f x x b =+,a b ()x g x a b =+（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由函数的图象可推得，，且，可得函数的图()log ()a f x x b =+01a <<01b <<()x g x a b =+象递减，且，从而可判断答案.1(0)2g <<【详解】由函数的图象为减函数可知，，()log ()a f x x b =+01a <<再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知()log ()a f x x b =+()log a f x x =，01b <<故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B 中图象()x g x a b =+1(0)12g b <=+<故选：B.5．设函数若，则（ ） ()2log ,12,1x x b x f x x --≤⎧=⎨>⎩()()11f f =b =A ．B ．C ．D ．1-2-3-4-【答案】A 【分析】由已知得，，由此能求出．(1)f b =-()()2()lo 1g ()1f f f b b b =-=--=b 【详解】函数， ()2log ,12,1x x b x f x x --≤⎧=⎨>⎩（1），所以f ∴2log 1b b =-=-()()()11f f f b -==又当时， ， ()21,x f x x -=>()1()20,2x f x -∈=，2()log ()1f b b b ∴-=--=解得．1b =-故选：．A 6．已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，()f x R ()f x ()1,0[]0,1x ∈()22x f x =-，则的值为（ ）()()()()0122022f f f f +++⋅⋅⋅+A ．B ．C ．D ．2-1-01【答案】C【分析】利用对称性和奇偶性可推导得到是周期为的周期函数，并求得()f x 4的值，将所求式子利用周期进行转化即可求得所求值.()()()()0,1,2,3f f f f 【详解】图象关于点对称，，()f x ()1,0()()2f x f x ∴=--又为上的偶函数，，，()f x R ()()f x f x ∴=-()()()22f x f x f x ∴=--=--，()()()()42f x f x f x f x ∴+=-+=--=⎡⎤⎣⎦是周期为的周期函数，()f x \4，又，，()()()311220f f f ∴=-==-=()01f =()()201f f =-=-()()()()()()()()()012202250501232020f f f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=+++++⎡⎤⎣⎦.()()()()()()2021202250510100121010f f f f f +=⨯+-++++=+-=故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数周期性求解函数值的问题，解题关键是能够根据函数的奇偶性和对称性推导得到函数的周期，进而将自变量转化到已知函数解析式的区间中，从而结合解析式求得函数值.7．已知函数，，若对于任意，存在，使得()()2ln 1f x x =+()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]10,3x ∈[]21,2x ∈，则实数的取值范围为（ ）()()12f x g x ≥m A ． B ． C ． D ． 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【分析】根据题意转化为，然后分别求出两函数的最小值即可.()()min min f x g x ≥【详解】由题意，得在上的最小值大于等于在上的最小值，()f x []0,3()g x []1,2易知函数在上单调递增，所以在上的最小值为，()()2ln 1f x x =+[]0,3()f x []0,3()00f =函数在上单调递减，所以在上的最小值为， ()12x g x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]1,2()g x []1,2()124g m =-所以，即. 104m ≥-14m ≥故选:D. 8．已知双曲线的右顶点为，直线与双曲线相交，从引双曲线的两()222210,0x y a b a b-=>>A y x =A 条渐近线的平行线，与直线分别交于点、.若为坐标原点，，则双曲线的y x =Q R O 43OQ OR ab ⋅= 离心率为（ ）ABCD【答案】C【分析】设直线的方程为，将该直线方程与直线的方程联立，求出点的坐AR ()b y xa a=-y x =R 标，同理可得出点，结合条件可得出关于、的齐次方程，求出的值，利用离Q 43OQ OR ab ⋅= a b b a心率公式. e =【详解】由题意可令直线的方程为， AR ()b y x a a=-联立得，解得，即，同理可得， ()b y x a a y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ab x a b ab y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,ab ab R a b a b --⎛⎫ ⎪--⎝⎭,ab ab Q a b a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭则. 2222243a b OQ OR ab a b⋅==-由于直线与双曲线相交，则， y x =()222210,0x y a b a b-=>>1b a >所以，整理得， 222222222243a b a b OQ OR ab b a a b ⋅===-- 32b a a b -=解得或（舍去），所以 2b a =12b a =-c e a ====故选：C.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； a c e （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； a c e （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．若，则函数的最小值为3 1x <11y x x =+-B ．若，则函数的最小值为422x y +=24x y +C ．函数的最小值为2221sin cos y x x=+3+D ．若，且，则的最小值为,0x y >2x y xy ++=2x y +3【答案】BCD【分析】利用基本不等式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A ：， 111101121111x x y x x x x <⇒-<⇒=+=-++≤-+=---当且仅当，即时取得最大值，故A 错； ()111x x -=-0x =1-B ：，244x y +≥==当且仅当，时，，故B 正确； 1x =12y =()min 244x y +=C ： ()2222222121sin cos sin cos sin cos y x x x x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭22222cos sin 33sin cos x x x x=++≥+当且仅当时，C 正确；2tan x =min 3y =+D ：， ()2232222133111x x x y xy y x y x x x x x --++=⇒=⇒+=+=++-≥+++当且仅当，时，，故D 正确. 1x =-1y =()min 23x y +=故选：BCD. 10．下列命题正确的是（ ）A ．“”是“”的充分不必要条件 1a >11a<B ．命题“，”是假命题的实数a 的取值范围为[]0,1x ∃∈0x a +≤{}0a a >C ．设x ，，则“且”是“”的必要不充分条件R y ∈2x ≥2y ≥224x y +≥D ．“关于的不等式在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是 x 20mx x m ++>14m >【答案】ABD【分析】求得不等式的解集判断选项A ；求得实数a 的取值范围判断选项B ；举反例否定选11a<项C ；求得使不等式在R 上恒成立的m 的取值范围判断选项D.20mx x m ++>【详解】对于A ，或，故A 正确； 11100a a a a-<⇔>⇔<1a >对于B ，命题“，”是假命题，恒成立，[]0,1x ∃∈0x a +≤[]0,1x ⇔∀∈0x a +>[]0,1x ⇔∀∈，故B 正确；0a x a >-⇔>对于C ，由“且”，可得“”成立.故C 错；2x ≥2y ≥224x y +≥对于D ，当时，，与条件矛盾；0m =0x >当时，则有，故D 对. 0m ≠20,11402m m m >⎧⇒>⎨-<⎩故选：ABD.11．已知定义在上的函数满足，且当时，，则下R ()f x ()()()2f x f x f x -==+[]0,1x ∈()f x x =列说法正确的是（ ）A ．是偶函数B ．是周期函数 ()f x ()f xC ．D ．时，9912f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]1,0x ∈-()f x x =【答案】AB【分析】首先判断函数的奇偶性与周期性，根据奇偶性求出函数在上的解析式，最后根[)1,0x ∈-据周期性求出. 992f ⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】解：因为定义在上的函数满足，所以是偶函数，故A 正确；R ()f x ()()f x f x -=()f x又，所以是以为周期的周期函数，故B 正确；()()2f x f x =+()f x 2设，则，所以，又是偶函数，[)1,0x ∈-(]0,1x -∈()f x x -=-()f x 则，即当时，故D 错误；()f x x =-[)1,0x ∈-()f x x =-，故C 错误； 9911115022222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：AB 12．已知函数，若方程有四个不同的实根，，，满足22log (1),13()1296,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩()f x m =1x 2x 3x 4x ，则下列说法正确的是（ ）1234x x x x <<<A ．B ． 121=x x 12111x x +=C ．D ．3412x x +=34(27,29)x x ∈【答案】BCD 【解析】作出函数的图象，可知，即可得到，的关系，由，()f x 2122|log (1)||log (1)|x x -=-1x 2x 3x 是方程的两根，利用根与系数关系可得，的关系，由此即可判4x 21296(01)22x x m m -+=<<3x 4x 断出正确选项.【详解】解：作出函数的图象，方程有四个不同的实根，()f x ()f x m =即函数与有四个不同的交点，如图所示：()y f x =y m =依题意，且，2122|log (1)||log (1)|x x -=-12123x x <<<<所以，即，2122log (1)log (1)x x -=--2122log (1)log (1)0x x -+-=所以，即，212log [(1)(1)]0x x --=12(1)(1)1x x --=所以，所以，故选项A 错误，选项B 正确； 1212x x x x +=12111x x +=又，是方程的两根， 3x 4x 21296(01)22x x m m -+=<<即，是方程的两根，3x 4x 2122920x x m -+-=所以，，3412x x +=34292x x m =-因为方程有四个不同的实根，所以由图可知，()f x m =(0,1)m ∈所以，故选项C ，选项D 均正确．34292(2729)x x m =-∈，故选：BCD.【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，同时考查含有绝对值的对数型函数的图象变换及函数与方程思想，对于方程根的个数问题常用数形结合的思想解决．三、填空题13．命题p ：，成立的充要条件是__________． []2,1x ∃∈-20x x m +-≤【答案】 1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】转化为在有解，求出的最小值，从而求出的取值范围，得2m x x ≥+[]2,1x ∈-2y x x =+m 到命题p 成立的充要条件 【详解】在有解，因为， 2m x x ≥+[]2,1x ∈-22111244y x x x ⎛⎫==+-≥- ⎪⎝⎭+所以， ()2min 14m x x +=-≥故命题p 成立的充要条件是． 14m ≥-故答案为： 1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭14．已知，则的取值范围为___________.24,228a b a b -<+<<-<2+a b 【答案】(6,6)-【分析】令，列方程组求出，再利用不等式的性质即可求出()()22a b m a b n a b +=++-,m n 2+a b 的取值范围．【详解】令，()()22a b m a b n a b +=++-则，()()22a b m n a m n b +=++-，解得， 212m n m n +=⎧∴⎨-=⎩5313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ()()512233a b a b a b ∴+=+--，2428a b a b -<+<<-< ，2， ()()105208122333333a b a b ∴-<+<-<--<-，两不等式相加可得， ()()5162633a b a b -<+--<即的取值范围为．2+a b ()6,6-故答案为：．()6,6-15．已知不等式的解集为，则不等式的解集为______________． 20ax bx c ++>()1,21ax bx c>+【答案】 1223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据题意结合韦达定理即可得出之间的关系，然后将分式不等式转化为整式不等,,a b c 式，即可求得结果.【详解】因为不等式的解集为，20ax bx c ++>()1,2所以1和2是方程的两根，且，20ax bx c ++=a<0由韦达定理可得 123212b b a a c c a a ⎧+=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪⨯=⎪⎩则不等式可化为，即 1ax bx c >+132ax ax a >-+42103232x x x x ->⇒>-+-+即，解得()()42320x x --<1223x <<所以不等式解集为 1223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故答案为: 1223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭16．已知，则的最小值为________. 110,0,121a b a b b >>+=++a b +【答案】 32【分析】首先利用“1”的等价变形，，再利用基本不等式()1111212212a b a b b a b b ⎛⎫+=++++- ⎪++⎝⎭求最小值.【详解】， 0,0a b >>()1111212212a b a b b a b b ⎛⎫+=++++- ⎪++⎝⎭ 11211121222122212b a b b a b a b b a b b ++++⎛⎫⎛⎫=++-=++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 1322≥=当且仅当，即，解得是等号成立， 1221b a b a b b ++=++12b a b +=+1,12a b ==所以的最小值是 a b +32【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用“1”的妙用变形：，从而为下面用基本不等式创造条件. ()1111212212a b a b b a b b ⎛⎫+=++++- ⎪++⎝⎭四、解答题17．求（1）；21log 32.5log 6.25lg1002+++（2）.20.53221820.756427--⎛⎫⎛⎫-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）；（2） 32-1【分析】（1）利用对数的运算性质即可求解.（2）利用指数幂的运算性质即可求解.【详解】（1）原式 ()22log 322.51log lg10ln 22225e ++=-⨯⋅. 2log 313222222=++-⨯=-（2）原式122223931274468⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22233132462⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22331391124421616⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18．已知集合，非空集合. 412P x x ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭{}11S x m x m =-≤≤+(1)当时，求；2m =P S U (2)若是的必要条件，求实数的取值范围.x P ∈x S ∈m 【答案】(1){}23x x -<≤(2)[]0,1【分析】（1）先求解集合中不等式，再结合并集运算求解即可；P （2）转化题干条件为，列出不等式组，求解即可.S P ⊆【详解】（1）由，可得， 412x ≥+202x x -≥+即 ()()220,20,x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩所以.{}22P x x =-<≤又当时，2m =，{}13S x x =-≤≤所以.{}23P S x x ⋃=-<≤（2）由是的必要条件，知非空集合，x P ∈x S ∈S P ⊆又，{}22P x x =-<≤所以11,12,12,m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+≤⎩所以，01m ≤≤即所求的取值范围是.m []0,119．已知函数与. ()()4log 412x x f x =+-()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭(1)判断的奇偶性；()f x (2)若函数有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.()()()F x f x g x =-【答案】(1)偶函数(2) {}13a a a >=-或【分析】（1）根据奇偶性定义判断；（2）函数只有一个零点，转化为方程只有一个根，用换元法转化为二次方程只有一个正()0F x =根（或两个相等正根），再根据二次方程根分布分类讨论可得．【详解】（1）∵的定义域为R ， ()()4log 412x x f x =+-()()()()444log 41log 41log 40x x x f x f x x x ---=+-+-=-=∴，∴为偶函数.()()=f x f x -()f x （2）函数只有一个零点()()()F x f x g x =-即 4414log 2log 223x x x a a ⎛⎫⎛⎫+=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即方程有且只有一个实根. 1422023x x x a a +=⋅->令，则方程有且只有一个正根. 20x t =>()241103a t at ---=①当时，，不合题意； 1a =34t =-②当时，若方程有两相等正根，则，且，解得1a ≠()()()2443130a a ∆=--⨯-⨯-=()40231a a >⨯-；满足题意 3a =-20x t =>③若方程有一个正根和一个负根，则，即时，满足题意. 101a -<-1a >20x t =>∴实数a 的取值范围为.{}13a a a >=-或20．已知正方形的边长为2，沿将折起到的位置（如图），为的ABCD BD ABD △PBD △G PBD △重心，点在边上，且． E CD 2DE EC =(1)证明：平面．//GE PBC (2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．GE PB ⊥GEC PBC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取的中点，连接，，依题意可得，从而得证；PB F DF FC //GE FC （2）取的中点，连接，，，即可得到平面，则，又由BD O PO CO FO PB ⊥FOC OC PB ⊥，从而得到平面，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余OC BD ⊥OC ⊥PBD 弦值；【详解】（1）证明：取的中点，连接，，因为为三角形的重心，PB F DF FC G PBD 所以，所以．因为平面，平面，所以平面2DG DE GF EC ==//GE FC GE ⊄PBC FC ⊂PBC //GE PBC ．（2）解：取的中点，连接，，，则，．BD O PO CO FO PO BD ⊥CO BD ⊥因为，，所以．因为，，所以平面//GE FC GE PB ⊥PB FC ⊥PB FO ⊥FC FO F ⋂=PB ⊥FOC ．因为平面，所以．因为，，所以平面． OC ⊂FOC OC PB ⊥OC BD ⊥PB BD B ⋂=OC ⊥PBD 如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立O OB x OC y OP z 空间直角坐标系．则，，，，O xyz-)B()C ()DE ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．，，，G ⎛⎝(P ()BC =(BP=CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．0,CG ⎛= ⎝ 设平面的法向量为，则令，得． GEC ()111,,m x y z=11110,0,m CE y m CG z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩11x =()1,1,3m =-- 设平面的法向量为，则令，得， PBC ()222,,n xy z =22220,0,n BC n BP ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ 21x =()1,1,1n = 所以cos ,m n= 所以平面与平面 GEC PBC21．已知函数. ()22()33e (0)22x a a f x x x x ax x =-+-+->(1)讨论的导函数零点的个数；()f x ()f x ¢(2)若的最小值为e ，求a 的取值范围.()f x 【答案】(1)答案见解析；(2).62e a ≤-【分析】（1）对求导有，再研究的单调性，()f x ()()(1)e (0)x f x x x a x '=-->()e (0)x g x a x x -=>结合及零点存在性定理，讨论a 的范围判断零点的个数.()01f '=()f x ¢（2）讨论、、、，结合的符号研究的单调性并结合求0a ≤0e a <<e a =e a >()f x ¢()f x (1)e f =参数a 的范围.【详解】（1），()()()2e (1)(1)e (0)x x f x x x a x x x a x '=---=-->令，则，故在上单调递增，而， ()e (0)x g x a x x -=>()(1)e 0x g x x '=+>()g x (0,)+∞()01f '=当时，无解；0a ≤e x x a =当时，由，，故有一个在上的解；0e a <<(0)0g a =-<(1)e 0g a =->e x x a =(0,1)当时，由，故的解为1；e a =(1)0g =e x x a =当时，由，，故有一个在上的解；e a >(1)e 0g a =-<()(e 1)0a g a a -=>e x x a =(1,)+∞综上，当或时，导函数只有一个零点.0a ≤e a =()f x ¢当或时，导函数有两个零点.0e a <<e a >()f x ¢（2）当时，，则函数在处取得最小值.0a ≤e 0x x a ->()f x 1x =(1)e f =当时，由（1）知：在上单调递增，则必存在正数使得.0a >()g x (0,)+∞0x 00e 0x x a -=若则，在上，则，在上，则，在e a >01x >(0,1)00e 0x x a -<()0f x '>0(1,)x 00e 0x x a -<()0f x '>上，则，()0,x +∞00e 0x x a ->()0f x '<所以在和上单调递增，在上单调递减，又，不合题意.()f x (0,1)()0,x +∞()01,x (1)e f =若则，在上，则在上单调递增，又，不合题意. e a =01x =(0,)+∞()0f x ¢³()f x (0,)+∞(1)e f =若则，在上，则，在上，则，0e a <<001x <<0(0,)x 00e 0x x a -<()0f x '>0(),1x 00e 0x x a ->()0f x '<在上，则， ()1,+∞00e 0x x a ->()0f x '>所以在和上单调递增，在上单调递减，则，()f x ()00,x (1,)+∞()0,1x (0)3(1)e 2a f f =-≥=解得，即.62e a ≤-062e a <≤-综上，.62e a ≤-22．焦点为的抛物线与圆交于两点，其中点横坐标为，F 21:4C y x =222:(1)16C x y -+=,A B A A x 方程的曲线记为，是曲线上一动点. 2224,(1)16,A A y x x x x y x x ⎧=≤⎨-+=>⎩ΓPΓ（1）若在抛物线上且满足，求直线的斜率；P ||3PF =PF （2）是轴上一定点. 若动点在上满足的范围内运动时，恒成立，求(,0)T m x P ΓA x x ≤||PT AT ≤的取值范围；m （3）是曲线上另一动点，且满足，若的面积为4 ，求线段的长.Q ΓFP FQ ⊥PFQ △PQ 【答案】（1）2）；（3）. ±72m ≤||PQ =【分析】（1）根据抛物线的定义求出点的坐标，然后就可以求斜率；P（2）根据两点间的距离公式表达出，再根据满足最值的条件就可以求出的范围； ||PT m （3）讨论所在的位置，再结合面积建立等式就可以求出.Q PQ 【详解】（1），，∴(1,0)F 13p PF x =+=2p x =∴ ，(2,P ±所以 . PF k ==±（2）由得 ，∴ 2224(1)16y x x y ⎧=⎨-+=⎩22150x x +-=3A x =设，则 ，(,),[0,3]P x y x ∈24y x =|| [0,3]PT x ===∈由题意最大，所以对称轴， 3x =322x m =-≤∴. 72m ≤（3）是的圆心 .设(1,0)F 222:(1)16C x y -+=112212(,) ,(,) , ,[0,5]P x y Q x y x x ∈（i ）若都位于上，则，(舍) ,P Q 222:(1)16C x y -+=214842PFQ S =⨯=≠V （ii ）若都位于上，则,P Q 21:4C y x =1122(1,) (1,)FP x y FQ x y =-=-u u r u u u r ，①12121212(1)(1)()10FP FQ x x y y x x x x ⋅=-⋅-+=-++±=u u r u u u r ② 121212111||||(1)(1)(1)4222PFQ S FP FQ x x x x x x =⋅=++=+++=V将①式代入②式，得： 或 )214=129x x =1代入①得：或 （舍）12=9120x x ++-=-<12=16x x ++=（iii ）若分别位于与上，,P Q 21:4C y x =222:(1)16C x y -+=则，得 1111||||(1)42(1)422PFQ S FP FQ x x =⋅=+⋅=+=V 11x =∴，∴||=2FP ||PQ ==综上：.||PQ =【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是抛物线定义的使用，二是恒成立时，取最值的条件，三是要分类讨论，并要做正确的取舍.。
江西省高二上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知条件：（），则它的充要条件的是() x y a a <01a <<A ．221111x y >++B ． 22()ln 1l 1)n(x y +>+C ． sin sin x y >D ．> 3x 3y 【答案】D【分析】由（），得，然后根据充分条件和必要条件的定义逐个分析判断即可 x y a a <01a <<x y >【详解】因为（）， x y a a <01a <<所以， x y >对于A ，因为，所以，所以，此时不一定成立，所以A 错221111x y >++2211x y +<+22x y <x y >误，对于B ，因为，所以，所以，此时不一定成立，所以22()ln 1l 1)n(x y +>+2211x y +>+22x y >x y >B 错误，对于C ，当时，由正弦函数的性质可知，不一定成立，所以C 错误， sin sin x y >x y >对于D ，因为，所以，而当时，成立，所以D 正确， 33x y >x y >x y >33x y >故选：D2．设某直线的斜率为k ，且，则该直线的倾斜角的取值范围是 k ⎛∈ ⎝αA ． B ． C ． D ． 5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭50,,36πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭20,,63πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ 【答案】D【解析】通过直线的斜率的范围，得到倾斜角的正切值的范围，然后求出的范围. α【详解】解：直线l 的斜率为k ，倾斜角为，若k ∈， αtan α所以. 20,,63ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭故选：D.【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力.3．圆与圆的公切线的条数是（ ）221:4470C x y x y ++-+=222:410130C x y x y +-++=A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】判断两圆的位置关系即可得解.【详解】两圆的圆心分别为，则两圆的圆心距 12(2,2),(2,5)C C --d ==又半径分别为，所以，则两圆外离，因此它们有4条公切线. 121,4r r ==12d r r >+故选：D【点睛】本题考查圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，属于基础题.4．已知二项式的展开式中，第二项和第四项的二项式系数相等，则（ ）1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭n =A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C【分析】由第二项和第四项的二项式系数相等可得,求解即可.31n n C C =【详解】因为二项式展开式中第二项和第四项的二项式系数相等,所以,31n n C C =所以, 4n =故选：C5．如图，在四面体OABC 中，，，，点在线段上，且，OA a = OB b = OC c =M OA 2OM MA =为的中点，则等于（ ）N BC MNA ．B ．111322a b c ++ 111322a b c -+C ．D ．111322a b c +- 111322a b c -++ 【答案】D【分析】利用空间向量的加法与减法可得出关于、、的表达式.OM a b c【详解】()()21113232MN MA AB BN OA OB OA BC OB OA OC OB =++=+-+=-+-.111322a b c =-++ 故选：D.6．经过双曲线的右焦点作倾斜角为45°的直线，交双曲线于，两点，设为坐标2213y x -=l A B O 原点，则等于（ ）OA OB ⋅A ．B ．1C ．2D ．1-2-【答案】B【解析】先依题意写出直线的方程， 联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积l 运算计算即得结果.【详解】由双曲线的方程可知，右焦点坐标为，2213y x -=(2,0)的直线方程可设为，l ∴2y x =-设，，则， ()11,A x y ()22,B x y 1212OA OB x x y y ⋅=+联立可得， 22132y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩22470x x +-=，，1272x x ∴=-122x x +=-，()()()121212127922244422y y x x x x x x ∴=--=-++=-++=．79122OA OB ∴⋅=-+= 故选：B ．7．已知点，关于坐标原点对称，，以为圆心的圆过，两点，且与直线A B O ||2AB =M A B 1y =相切．若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为（ ） P A ||||MA MP -P A ． B ．C ．D ．(0,1)(0,1)-1(0,)21(0,2-【答案】D【分析】设点的坐标为，根据以为圆心的圆过，两点，得到，M (,)x y M A B 222||||||OM OA MA +=再由与直线相切，得到，联立得到，然后结合抛物线的定义求解. M A 1y =|||1|MA y =-22x y =-【详解】解：线段为的一条弦，是弦的中点，AB M A O AB 圆心在线段的中垂线上，∴M AB 设点的坐标为，则， M (,)x y 222||||||OM OA MA +=与直线相切，，M A 1y =|||1|MA y ∴=-，22222|1|||||1y OM OA x y ∴-=+=++整理得，22x y =-的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， M ∴1(0,)2F -12y =， 111|||||1|||||||||||222MA MP y MP y MP MF MP ∴-=--=--+=-+当为定值时，则点与点重合，即的坐标为，∴||||MA MP -P F P 1(0,2-存在定点使得当运动时，为定值．∴1(0,)2P -A ||||MA MP -故选：D ．8．已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，1111ABCD A B C D -11AA =，则与底面所成角的正弦值为（ ） 11120A AB A AD ∠=∠=︒1AC ABCDA B C D ．13【答案】C【分析】利用向量的线性运算先算出，作于，通过线面垂直1AC =,BD AC 1C M AC ⊥M 的判定定理可证明平面，继而得到，即能证明平面，则能得到BD ⊥1ACC 1BD C M ⊥1C M ⊥ABCD 与底面所成角为，即可得到答案1AC ABCD 1C AC ∠【详解】解：因为平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，1111ABCD A B C D -11AA =，11120A AB A AD ∠=∠=︒所以，，11AC AD AB AA =++1||2,||1,0AD AB AA AD AB ===⋅= ，111||cos120211=2AD AA AD AA ︒⎛⎫⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，111||cos120211=2AB AA AB AA ︒⎛⎫⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭所以1222221111()222AC AD AB AA AD AB AA AD AB AD AA AB AA ⋅==+++++++⋅⋅ ，441225=++--=则1AC =连接，作于，易得，,BD AC 1C M AC ⊥M BD AC ⊥AC ==因为， ()1111110BD CC BA AD AA BA AA AD AA AD AA AB AA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅-⋅= 所以，1BD CC ⊥因为，平面，1AC CC C = 1,AC CC ⊂1ACC 所以平面，因为平面，所以， BD ⊥1ACC 1C M ⊂1ACC 1BD C M ⊥因为与相交，平面， AC BD ,AC BD ⊂ABCD 所以平面，1C M ⊥ABCD 所以与底面所成角为，1ACABCD 1C AC ∠因为在中，1ACC △2221111cos 2AC AC CC C AC AC AC +-∠===⋅因为，所以1sin 0,C AC ∠>2211sin cos 1C AC C AC ∠+∠=1sin C AC ∠=故选：C二、多选题9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ） (4,1)A A ． B ．C ．D ．5x y +=5x y -=40x y -=04=+y x 【答案】AC【解析】分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求.【详解】当直线过坐标原点时，直线方程为；40x y -=当直线不过坐标原点时，设直线方程为，代入点可得， x y a +=(4,1)A 5a =即. 5x y +=故选：AC.【点睛】直线在两坐标轴上截距相等时，有两种情况：一是直线经过坐标原点；二是直线斜率为1-.10．已知曲线：，下列结论正确的是（ ） C 221mx ny +=A ．若，则是椭圆，其焦点在轴上 0m n >>C x B ．若，则是双曲线，其焦点在轴上 0m n >>C x C ．若，，则是两条直线 0m =0n >C D ．若，则是圆 m n =C 【答案】BC【分析】根据椭圆方程、双曲线方程、直线方程、圆的方程特征进行逐一判断即可.【详解】对于A ：当时，， 0m n >>22221111x y mx ny m n+=⇒+=由，所以是椭圆，其焦点在轴上，因此本选项不正确； 11000m n m n mn mn n m>>⇒>>⇒>>C y 对于B ：当时，， 0m n >>22221111x y mx ny m n +=⇒+=由，所以是双曲线，其焦点在轴上，因此本选项正确； 1100m n m n mn mn n m>>⇒<⇒<<C x 对于C ：当，时，，所以是两条直线，因此本选项0m =0n >22211mx ny ny y +=⇒=⇒=C 正确；对于D ：若，显然不成立，所以没有轨迹，因此本选项不正确； 0m n ==221mx ny +=C 故选：BC11．关于的展开式，下列结论正确的是（ ）522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．奇数项的二项式系数和为32 B ．所有项的系数和为 1-C ．只有第3项的二项式系数最大 D ．含项的系数为x 80-【答案】BD【分析】根据二项式系数的性质，可判断选项；用赋值法求出所有系数的和，可判断选项，A B求出展开式的通项，可判断选项、，即可得出结论.C D 【详解】的展开式奇数项的二项式系数和为，选项不正确；522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭4216=A 中，令，可得，选项正确；522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1x =()5121-=-B 的展开式通项为：， 522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()()()510321551212k k k k k k k kk k T C x x C x ---+=-=-,所以第三项和第四项的二项式系数最大，选项不正确；235510C C ==C 令，得，此时，所以含项的系数为，选项正1031k -=3k =()()3103333451280T C x x -⨯=-=-x 80-D 确. 故选：BD【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式系数的性质，熟记通项公式是解题的关键，掌握赋值法求系数的和，属于中档题.12．如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位ABCD 2AB =120ADC ∠=︒ABD △BD PBD △置，连结，则在翻折过程中，下列说法不正确的是（ ）PCA ．存在某个位置，使得PD BC ⊥B ．当二面角的大小为时， P BD C --90︒2PC =C ．与平面所成的最大角为PC BCD 60︒D．存在某个位置，使得到平面B PDC 【答案】BCD【分析】选项A ：当点P 在平面BCD 内的投影为△BCD 的重心点Q 时，可得PD ⊂平面PDQ ，PD ⊥BC ，即可判断；选项B ：取BD 的中点O ，连接OP 、OC ，则OP ＝OC P ﹣BD ﹣C 的大小为90°时，平=面PBD ⊥平面BCD ，即可得△POC 为等腰直角三角形，即可判断；选项C ：由题可得PC 与平面BCD 所成的角为∠PCO ，当PC 时，由余弦定理知∠PCO ＞60°，即1=选项D ：若B 到平面PDC DB 平面PCD ，即DB ⊥CD ，与△BCD 是等边三角形矛盾．【详解】选项A ：当点P 在平面BCD 内的投影为△BCD 的重心点Q 时，有PQ ⊥平面BCD ，DQ ⊥BC ，∴PQ ⊥BC ，又DQ ∩PQ ＝Q ，DQ 、PQ ⊂平面PDQ ，∴BC ⊥平面PDQ ， ∵PD ⊂平面PDQ ，∴PD ⊥BC ，即选项A 正确；选项B ：取BD 的中点O ，连接OP 、OC ，则OP ＝OC =当二面角P ﹣BD ﹣C 的大小为90°时，平面PBD ⊥平面BCD ， ∵PB ＝PD ，∴OP ⊥BD ，∵平面PBD ∩平面BCD ＝BD ，∴OP ⊥平面BCD ，∴OP ⊥OC ，又OP ＝OC ∴△POC 为等腰直角三角形， =∴PC ，即选项B 不正确；==选项C ：由题可知，△ABD 和△BCD 均为等边三角形，由对称性可知，在翻折的过程中，PC 与平面BCD 所成的角为∠PCO ，，当 时， 此时 ，222cos 2OC CP OP PCO OC PC +-∠==⋅1PC =1cos 2PCO ∠=<60PCO ∠>︒即选项C 错误；选项D ：∵点B 到PD B 到CD∴若B 到平面PDC PBD ⊥平面PCD ．平面CBD ⊥平面PCD ， 则有DB ⊥平面PCD ，即DB ⊥CD ，与△BCD 是等边三角形矛盾．即选项D 错误.故选：BCD ．三、填空题13．已知向量，，则在上的投影是________()3,0a = ()2,6b = b a【解析】根据向量投影的定义，结合向量数量积的坐标运算，即可得出结果.【详解】因为向量，，()3,0a =()2,6b = 所以，326a b ⋅=⨯=则在上的投影是.b a6cos ,23a b b a b a ⋅<>=== 故答案为：.214．有名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院和火车站这四个地方去服6务，每个地方至少有一人，则不同的分配方案有_____种（用数字作答）． 【答案】1560【详解】可能的人数分配方案为：或者， 3111+++2211+++采用方案分配时，分配方案有种，3111+++3464C A 采用方案分配时，分配方案有种，2211+++22464422C C A A ⨯不同的分配方案有种. 2234464644221560C C C A A A +⨯=点睛：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”． 15．给出下列说法：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④若一个四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内； ⑤点在平面外，点和平面内的任意一条直线都不共面. A αA α其中所有正确说法的序号是______. 【答案】③④【解析】对于①由线面关系可得线段与平面相交或线段在平面内； 对于②四个点不在同一个平面，即可判定； 对于③由平行四边形的定义可判断命题正确；对于④，由点与线及线与面的关系可得，第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；对于⑤中，由直线外一点与直线确定一个平面即可判断.【详解】①中线段可以与平面相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定一个平面，所以是平行四边形；④中由四边形的三条边在同一个平面内，可知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点和平面内的任意一条直线都能确定一个A α平面.故答案为：③④【点睛】本题考查了空间点与线，点与面、线与面的位置关系，重点考查了平面的基本定理及公理，属基础题.16．如图，在四边形中，，，为的中点．若，则ABCD 4AC = 12BA BC ⋅= E AC 2BE ED ==_______．DA DC ⋅【答案】0【分析】根据给定条件，利用数量积的运算法则求出，进而求出即可计算作答.2BE 2DE 【详解】为的中点，则，E AC 2222(21)2)(BA BC BE AE BE AE BE AE BE ==-⋅+⋅-=-= ，而，于是， 216BE = 2BE ED = 24DE = 所以. 22()()440DA DC DE AE DE AE DE AE ⋅-+=--=⋅== 故答案为：0四、解答题17．在菱形中，，，边所在直线过点．ABCD ()4,6A -()6,4C -CD ()3,3M 求对角线及边所在直线的方程；()1BD AB 求菱形内切圆方程，并判断此圆与直线的位置关系．()2ABCD AM【答案】（1）；（2）相切7x 3y 100++=【分析】由菱形的对角线相互垂直，可得，利用斜率公式可得，由直线垂直关系()1BD AC ⊥AC k 求得，而的中点，也是的中点，可得直线的方程由，利用点1BD ACk k =-AC ()1,1BD BD ；AB CD k k =斜式可得直线的方程；求得直线的方程为联立的方程，解AB ()2AC 20x y +-=，BD {20 y xx y =+-=得菱形内切圆的圆心，利用点到直线的距离公式可得半径，得到圆的方程，计算圆心到直ABCD r 线的距离，与半径比较即可得结果．AM d 【详解】菱形的对角线相互垂直，，．()1 BD AC ∴⊥()46164AC k --==---． 11BD ACk k ∴=-=而AC 的中点，也是BD 的中点，()1,1直线BD 的方程为：，即．∴11y x -=-y x =． 437633AB CD k k --===--直线AB 的方程为：，即． ∴()7643y x -=-+73100x y ++=直线AC 的方程为：，化为．()2()64y x -=-+20x y +-=联立，解得．{20 y xx y =+-=1x y ==菱形ABCD 内切圆的圆心为．∴()1,1半径． r 菱形ABCD 内切圆方程为． ∴22200(1)(1)29x y -+-=直线AM 的方程为，即． ()3337y x -=--37300x y +-=圆心到直线AM 的距离， ∴d r =菱形ABCD 内切圆与直线AM 相切．∴【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，属于中档题．解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用判别式来解答.18．已知展开式中前三项二项式系数之和为46.1nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1)求的值.n (2)请求出展开式的常数项. 【答案】(1)， 9n =(2). 5376【分析】(1)由二项式展开式的通项公式求前3项的二项式系数，列方程求； n (2)根据通项公式确定常数项的项数，由此求常数项.【详解】（1）二项式的展开式的通项为，1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭3221C 2C 2n k n k k n k k k n n k n k T x x x -----+=⋅⋅⋅=⋅⋅所以展开式中前三项二项式系数依次为：，1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭012C ,C ,C n n n 由已知可得，012C C C 46n n n ++=解得或，又为大于等于2的正整数， 9n =10n =-n 故；9n =（2）由(1) 的展开式的通项为，91x ⎛⎫ ⎪⎝⎭939219C 2k k k k T x --+=⋅⋅令，得， 9302k-=3k =所以的展开式的常数项为.91x ⎛⎫ ⎪⎝⎭369C 25376⋅=19．盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6. 现从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位、十位与个位数字.(1)一共能组成多少个不同的三位数？(2)一共能组成多少个不同的大于500的三位数？ 【答案】(1)120 (2)40【分析】（1）由抽取的三位数各不相同，可由排列数公式求得组成不同三位数的个数．（2）大于500的三位数，则百位应该从5或6中选一个，其他的从剩下的五个里面选2个进行排列，再根据分步计算原理即可得到结果．【详解】（1）解：（1）因为抽取的三位数各不同，所以组成三位数的总数为.36A 654120=⨯⨯=（2）解：百位为或，则个位、十位是剩余5个数字中的两个，56则有个大于500的三位数.1225C A 40⨯=20．已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线：相切. 1C O 1l 0x y --=（1）求圆的标准方程；（2）设点为圆上一动点，轴于，若动点满足（其中为非零A AN x ⊥N Q ()1OQ mOA m ON=+-m 常数），试求动点的轨迹方程.Q 2C 【答案】（1）；（2）.2222x y +=222144x y m +=【分析】（1）利用圆心到直线的距离求得圆的半径，由此求得圆的标准方程. 1l （2）设出两点的坐标，求得点坐标，利用平面向量线性运算的坐标表示化简,A Q N ，结合在圆上，求得动点的轨迹方程.()1OQ mOA m ON =+-A 1C Q 【详解】（1）依题意，圆心为，由于直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即()0,0O 1l .所以圆的标准方程为. 2r =2222x y +=（2）设，则①，.设，则由得()00,A x y 2204x y +=()0,0N x (),Q x y ()1OQ mOA m ON =+-.所以，由于，()()()()000,,1,0x y m x y m x =+-()()()()00000,1,0,mx my m x x my =+-=00x x y my =⎧⎨=⎩0m ≠所以，代入①得，即.所以动点的轨迹方程为. 00x x y y m =⎧⎪⎨=⎪⎩2224y x m +=222144x y m+=Q 222144x y m +=【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查动点轨迹方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题.21．在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD 1AB =AC ，、分别为棱、的中点.2AD =M N PA BC (1)求证：平面；//MN PCD (2)若二面角等于，求四棱锥的体积.P CD B --30︒P ABCD -【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）取中点，连接，，证得为平行四边形，再利用线面平行的判定PD E ME CE MNCE 推理作答.（2）由给定的条件，求出四棱锥的高，再利用锥体的体积公式计算作答.【详解】（1）取中点，连接，，因为为中点，则，， PD E ME CE M PA //ME AD 12ME AD =又为中点，底面为平行四边形，则有，， N BC ABCD //NC AD 12NC AD =于是，，即为平行四边形，即，而平面，且//ME NC ME NC =MNCE //MN CE CE ⊂PCD MN ⊄平面，PCD 所以平面；//MN PCD（2）在中，，则，即， ABCD Y 21,A AC D B A ===22222CD AC AB AC AD +=+=AC CD ⊥又平面，平面，有，平面， PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥,,PA AC A PA AC ⋂=⊂PAC 因此面，而面，则，CD ⊥PAC PC ⊂PAC PC CD ⊥则有是二面角的平面角，即，， PCA ∠P CD B --30∠=︒PCA 301PA =︒=所以四棱锥的体积：P ABCD -111211332P ABCD ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯⨯=22．对于空间向量，定义，其中表示这三个数的(,,)m a b c ={}x ,ma ,m a b c = {}max ,,x y z ,,x y z 最大值.(1)已知，.116,,12a =⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1,,2b x x x ⎛-⎪=⎫ ⎝⎭ ①写出，写出（用含的式子表示）；a bx ②当，写出的最小值及此时x 的值；04x ≤≤a b -(2)设，，求证：111,,()a x y z =222(,,)b x y z = a b a b +≤+ (3)在空间直角坐标系O −xyz 中，，，，点P 是以O 为球心，1为半径的(2,0,0)A (0,4,0)B (0,0,6)C 球面上的动点，点Q 是△ABC 内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P 的坐标.PQ【答案】(1)①；；②的最小值为4，. 6a = b x = a b -3x =(2)证明见解析. (3)最小值为，. 3049632(,,)777P【分析】（1）由的定义即可求解. {}x ,ma ,m a b c =（2）根据向量的新定义，,,且有111,,x y z a ≤222,,x y z b ≤ ，从而.121212max{,,}a b x x y y z z +≤+++a b a b +≤+ （3）平面方程，可设法向量，取，，有63212x y z ++=(6,3,2)n = 632(,,)777P 723624(,,)494949Q ，此时最小.30151030max{,,}49494949PQ == 【详解】（1）由题可知：,，，611,2max 6,1a ⎧⎫⎨⎩==⎬⎭ ,1max ,2x b x x x ⎧⎫=⎨=-⎬⎩⎭111(6,,1)22a b x x x -=--+ ，.111max 6,22,1a b x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-=--+ 04x ≤≤在同一个坐标系中作出的图像如下图所示： 1116,2,12y x y x y x =-==-+因为，111max 6,22,1a b x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-=--+ 则函数的图像是图中加粗部分折线， y a b =-直线与交于点， 6y x =-11122x y -=(1,5)M 直线与直线交于点， 1y x =+11122x y -=(3,4)N 由图可知，当时，有最小值4. 3x =a b - （2）, 121212121212max{,,}max{,,}a b x x y y z z x x y y z z +=+++≤+++因为， {}{}111222max ,,,max ,,a x y z b x y z ==所以,,111,,x y z a ≤222,,x y z b ≤ 所以. 121212max{,,}a b x x y y z z a b +≤+++≤+（3）因为P 是以O 为球心，1为半径的球面上的动点，则球面方程为，2221x y z ++=面的方程为，即，一个法向量为，ABC 1246x y z++=63212x y z ++=(6,3,2)n = 平面是取最小值的必要条件，证明如下： PQ ⊥ABC PQ不妨取，若平面于，(1,0,0)P PQ '⊥ABC Q '显然，则且，所以，//PQ n ' PQ n λ'=R λ∈(6,3,2)PQ λλλ'= 对于面上任意点都有，即， ABC (,,)Q a b c ||||PQ PQ '≥222|1|||||a b c -++>222|6||3||2|λλλ++所以，仅当重合时取等号，||||max{|1|,||,||}||||max{|6|,|3|,|2|}PQ a b c PQ λλλ'=-≥=,Q Q '综上，取最小，必有平面，PQPQ ⊥ABC由，当共线时取等号，故最小值在共线且平面时取得， PQ OQ OP ≥-,,O P Q ,,O P Q OQ ⊥ABC 此时且，则，即， (6,3,2)Q μμμ=R μ∈36944912μμμμ++==1249μ=所以， 723624(,,)494949Q 取且，则，即， (6,3,2)P σσσR σ∈22236941σσσ++=17σ=所以，632(,,777P 综上，、时最小.723624(,,)494949Q 632(,,777P 30151030max{,,}49494949PQ == 【点睛】关键点点睛：第三问，说明平面是取最小值的必要条件，进而确定PQ ⊥ABC PQ且共线且平面时取最小值.PQ OQ OP ≥-,,O P Q OQ ⊥ABC PQ。
江西省临川高二上册期末数学试题与答案
江西省临川高二上册期末数学试题与答案第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为创建文明城市，共建美好家园，某市教育局拟从3000名小学生，2500名初中生和1500名高中生中抽取700人参与“城市文明知识”问卷调查活动，应采用的最佳抽样方法是（）A. 简单随机抽样法 B. 分层抽样法C. 系统抽样法D. 简单随机抽样法或系统抽样法【答案】B根据总体明显分层的特点采用分层抽样.根据题意，所有学生明显分成互不交叉的三层，即小学生，初中生，高中生，故采用分层抽样法.故选：B.本题考查分层抽样的概念，属基础题.2.甲乙两名同学在班级演讲比赛中，得分情况如茎叶图所示，则甲乙两人得分的中位数之和为（）A. 176B. 174C. 14D. 16【答案】A由茎叶图中的数据，计算甲、乙得分的中位数即可.由茎叶图知，甲的得分情况为76，77，88，90，94, 甲的中位数为88；乙的得分情况为75，86，88，88，93，乙的中位数为88；故甲乙两人得分的中位数之和为88+88=176.故选:A.本题考查了茎叶图表示的数据的中位数的计算，注意先把数据按从小到大（或从大到小）先排序即可.3.下列说法中正确的是（）A. 若事件与事件互斥，则B. 若事件与事件满足，则事件与事件为对立事件C. “事件与事件互斥”是“事件与事件对立”的必要不充分条件D. 某人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件【答案】C对A，由互斥的定义判断即可，对B选项，利用几何概型判断即可，对C由互斥事件和对立事件的概念可判断结论,对D由对立事件定义判断，所以错误.对A，基本事件可能的有C,D…，故事件与事件互斥，但不一定有对B,由几何概型知，则事件与事件不一定为对立事件，；对C,由对立，互斥的定义知，对立一定互斥，但互斥不一定对立，故C正确，对D, “至少有一次中靶”的对立事件为“两次都不中”，故D错误；故选:C.本题考查概率的基本概念，属基础题，选项B易忽略几何概型的情况.4.设平面内有两个定点，和一个动点，命题甲：为定值;命题乙:点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B命题乙由点P的轨迹是以，为焦点的双曲线可得到动点P到两定点的距离的差的绝对值等于定值，即命题乙推得命题甲;再根据||PF1|﹣|PF2||是定值可得到动点P的轨迹是双曲线或射线，即命题甲不一定推出乙，从而可得到答案．命题甲：||PF1|﹣|PF2||是定值可得到动点M的轨迹是双曲线或以为端点的射线，不一定推出命题乙，故不充分命题乙：点p的轨迹是双曲线，则可得到P到两定点的距离的差的绝对值等于一常数，即可推出命题甲，故必要；∴命题甲是命题乙的必要不充分条件．故选：B．本题考查双曲线的定义，若||PF1|﹣|PF2||是定值，则动点P的轨迹：若||PF1|﹣|PF2||>,P 的轨迹为双曲线；||PF1|﹣|PF2||=,P的轨迹为两条射线.5.对于下列表格中的五对数据，已求得的线性回归方程为，则实数的值为（）196 107 200 203 2041 3 6 7A. 8.5B. 8.4C. 8.2D. 8【答案】D试题分析：，选D.考点：线性回归方程6.已知椭圆的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.【答案】A由题知2a= ,设点A(c,)，代入椭圆方程解得 =，得AB=2== ,解得a,b即可.由题知2a=，得a=，设A(c,),代入椭圆，即，解得，，得b=2,所以椭圆的方程为故选：A.本题考查椭圆的几何性质，过焦点且垂直于轴的焦点弦长为 .7.已知，，是空间向量的一组基底，，，是空间向量的另一组基底，若向量在基底，，下的坐标为，则向量在基底，，下的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C设向量在基底，{，，}下的坐标为（x，y，z），则423x（）+y（）+z，由此能求出向量在基底{，，}下的坐标．设向量在基底，{，，}下的坐标为（x，y，z），则423x（）+y（）+z，整理得：423（x+y）（x﹣y）z，∴，解得x＝3，y＝1，z＝3，∴向量在基底{，，}下的坐标是（3，1，3）．故选：C．本题考查向量在基底下的坐标的求法，是基础题，充分利用空间向量基本定理构造x,y,z的方程组是关键.8.执行如题图所示的程序框图，若输出的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】C试题分析：条件成立，运行第一次，条件成立，运行第二次，条件成立，运行第三次，条件不成立，输出由此可知判断框内可填入的条件是：，故选C.考点：循环结构.9.已知三棱锥，在该三棱锥内取一点，使的概率为（）A. B. C. D.【答案】D取高线的三等分点，过该点作平行于底的平面，若V P﹣ABC V S﹣ABC，则P点在平面EFG与底面ABC之间，所以概率为棱台与原棱锥体积之比，用相似比计算即可．作出S在底面△ABC的射影为O，若V P﹣ABC V S﹣ABC，则高OP SO，即此时P在三棱锥V S﹣ABC的面DEF上，则V P﹣ABC V S﹣ABC的点P位于在三棱锥V S﹣ABC的面DEF以下的棱台内，则对应的概率P＝1﹣（）3，故选：D．本题主要考查几何概型的概率计算，求出对应的体积关系是解决本题的关键，根据比例关系，得到面积之比是相似比的平方，体积之比是相似比的立方．10.如图，四面体中，，，两两垂直，，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】D根据题意，面ABE,过B作BF，证明BF面ACD, 为直线与平面所成角，BF即为到平面的距离，利用三角形等面积即可求解.由题知AB面BCD, AB CD,又BC=BD，点是的中点， BE CD,且BE=又，CD面ABE,过B作BF于E，则CD BF,又AE CD=E, BF面ACD, 为直线与平面所成角，BF即为到平面的距离.,解得BA=4 , ,利用等面积知 .故选：D.本题考查线面角，点面距，过B作BF，证明BF面ACD是关键.11.已知点，动圆与直线切于点，过与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】A先由题意画出图形，可见⊙C是△PMN的内切圆，则由切线长定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此时求|PM|﹣|PN|可得定值，即满足双曲线的定义；然后求出a、b，写出方程即可（要注意x的取值范围）．由题意画图如下可见|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|，那么|PM|﹣|PN|=（|PA|+|MA|）﹣（|PD|+|ND|）=|MA|﹣|ND|=4﹣2=2＜|MN|，所以点P的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外），又2a=2，c=3，则a=1，b2=9﹣1=8，所以点P的轨迹方程为（x＞1）．故选：A．本题主要考查双曲线的定义与标准方程，属于中档题．12.如图，在四面体中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点在线段（不含端点）上运动.若线段（不含端点）上存在点，使异面直线与所成的角为，则线段的长度的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B设的中点为，连，因，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，所以，，所以，即，也即，由此可得，结合可得，所以，则，即，应选答案B。
江西省重点高二上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．抛物线的焦点坐标是 24y x =-A ． B ．C ．D ．()0,1-()1,0-10,16⎛⎫- ⎪⎝⎭1,016⎛-⎫⎪⎝⎭【答案】C【详解】由可得，故其焦点坐标为24y x =-24y x =-10,16⎛⎫- ⎪⎝⎭故选C2．在空间直角坐标系O-xyz 中，点关于xoz 平面对称的点的坐标为（ ） (3,2,5)A -A ． B ． (3,2,5)-(3,2,5)--C ． D ．(3,2,5)(3,2,5)-【答案】C【分析】根据空间坐标系中关于xoz 平面对称的性质，写出对称点坐标即可. 【详解】关于xoz 平面对称的点，坐标互为相反数， y 所以关于xoz 平面对称的点的坐标为. (3,2,5)A -(3,2,5)故选：C3．若双曲线的一个焦点为，则（ ）.221y x m-=(30)-，m =A ．B ． 8C ． 9D ． 12【答案】B【解析】根据的关系计算可解． ,,a b c 【详解】由双曲线性质：，， 21a =2b m =∴，． 219c m =+=8m =故选：B ．4．根据表中提供的数据求出y 关于x 的线性回归直线方程为，则m 的值是（ ） 0.70.05y x =+x 1 2 3 4 5 y 1.251.52m3.5A ．2.5B ．2.85C ．3D ．3.05【答案】A【分析】求出，代入线性回归方程求出，即可求解. x y 【详解】，回归中心点满足线性回归方程， 3x =(3,)y ，0.730.05 2.15y =⨯+=.5 2.15 1.25 1.52 3.5 2.5m =⨯----=故选:A.【点睛】本题考查线性回归直线的性质，熟记回归中心点在线性回归直线上，属于基础题. 5．某工厂生产一批医疗器械的零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.7，得到的不合格零件可以进行一次技术精加工，技术精加工后得到合格零件的概率是0.3，而此时得到的不合格零件将不能再加工，只能成为废品，则生产时得到合格零件的概率是（ ） A ．0.49 B ．0.73C ．0.79.D ．0.91【答案】C【分析】生产得到合格零件分为第一次就得到合格零件和第一次得到不合格零件，进行一次技术精加工后得到合格零件，从而可得答案.【详解】设事件: “第一次就得到合格零件”，设事件: “第一次得到不合格零件，进行一次技术A B 精加工后得到合格零件”所以,()0.7P A =()()10.70.30.09P B =-⨯=所以生产时得到合格零件的概率是 ()()0.70.090.79P A P B +=+=故选：C6．已知函数，若存在正实数，使得集合，则1()1f x x=-,()a b a b <{|(),}[,]y y f x a x b ma mb =≤≤=的取值范围为（ ）m A ．B ．1(0,)41(0,)2C ．D ．11(,421(,)4+∞【答案】A【分析】根据题设，写出分段形式并判断单调性，画出草图，讨论、结合区间0m >()f x 1b <1a >单调性列方程组求参数m 范围.【详解】由，又，即，11,(,0)(1,)()11,(0,1]x xf x x x ∞∞⎧-∈-⋃+⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩{|(),}[,]y y f x a x b ma mb =≤≤=0m >根据解析式知：在上递减，、上递增，且， ()f x (0,1](,0)-∞(1,)+∞(1)0f =所以函数图象如下：()fx由，故，0b a >>[][]0,,1,ma mb a b ∉∉当时，在上递减，则，故，可得，不合题1b <()f x [,]a b 1111mb ama b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩11()b a m b a a b ab --==-a b =设；当时，在上递增，则，即为的两个大于1的不等正根，1a >()f x [,]a b 1111ma a mbb ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,a b 11mx x -=所以为两个大于1的不等正根，则，可得；,a b 210mx x -+=0112Δ140m mm >⎧⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎩104m <<综上，. 104m <<故选：A7．举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往、、三个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至A B C 少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（ ） A ．114 B ．150C ．108D ．54【答案】A【分析】先将5位大学生分成3组，分法有1，1，3或1，2，2，然后分配到三个场馆，再减去甲同学和乙同学去同一场馆的情况即可【详解】将5位大学生分成3组，分法有1，1，3或1，2，2，然后分配到三个场馆，则不同的安排方法有， 1132235435332222C C C C C A 150A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭当甲同学和乙同学去同一场馆的情况有，只有甲同学和乙同学两人在同一场馆，或甲同学和乙同学还有另一位同学三人在同一场馆，所以甲同学和乙同学去同一场馆不同的安排方法有种，()213333C C A 36+=所以甲同学和乙同学不去同一场馆的安排方法有， 15036114-=故选：A8．已知圆，圆，过圆M 上任意一点P 22:(1)1C x y -+=22:(14cos )(4sin )4()M x y R θθθ--+-=∈作圆C 的两条切线，切点分别为，则的最小值是PE PF 、E F 、PE PF⋅A ．B ．3 CD ．32【答案】D【分析】两圆的圆心距为5，大于两圆的半径之和，可以知道两圆相离，结合下图（见解析）的最小值是的值，求出即可． PE PF⋅GE GF ⋅【详解】由题意，圆的圆心为（1，0），半径为1，圆的圆心（，），半径为C M 14cos θ+4sin θ2，所以，而，所以两圆相离．4CM ==421>+，要使取得最小值，需要和越小，且越大才PE PF PE PF cos EPF ⋅=∠ : :PE PF⋅PE PF EPF ∠能取到，设直线和圆交于两点（如下图）．则的最小值是. CM M H G、PE PF⋅GE GF ⋅，则=1sin 2CE EGC GC∠==.所以.故选D. 21122cos EGF sin EGC ∠=-∠=32GE GF GE GF cos EGF : : ⋅=∠=【点睛】本题考查圆的性质、平面向量的数量积等知识，也考查了学生数形结合能力、转化归纳能力和运算求解能力．二、多选题9．下列命题：其中正确命题的是（ ）A ．若与是互斥事件，则； AB ()()()P A B P A P B ⋃=+B ．若事件，，彼此互斥，则； A BC ()()()1P A P B P C ++=C ．对立事件一定是互斥事件；D ．若事件，满足，则与是对立事件. A B ()()1P A P B +=A B 【答案】AC【分析】根据互斥事件的概率公式判断．【详解】若与是互斥事件，则事件，所以，A 正确； A B A B A B =+ ()()()P A B P A P B ⋃=+事件，，彼此互斥，但与或者与或者与互斥，A B C A B ⋃C A C U B A B C ⋃，但不一定是必然事件，概率不一定为1，B 错；()())()()P A B C P A P B P C =++ A B C 由对立事件的定义知对立事件一定是互斥事件，C 正确；事件，满足，之间可能没有任何关系，可能不是互斥事件，当然也不一定A B ()()1P A P B +=,A B 是对立事件，D 错． 故选：AC ．10．下列说法不正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面.B ．直线的方向向量，平面的法向量，则； l ()0,1,1a =- α()1,1,1n =--rl α⊥C ．已知直线经过点，则到l ()2,3,1A ()0,1,0B 3,3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭lD ．若，则是钝角；0a b ⋅<,a b 【答案】BCD【分析】利用空间向量基本定理可判断A ，利用空间向量位置关系可判断B ，由题可得到的距P l 离为判断C ，利用向量的夹角可判断D.AP 【详解】对于A ，空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，为真命题，故A 正确；对于B ，因为直线的方向向量，平面的法向量，则，故l ()0,1,1a =- α()1,1,1n =--r 011111-≠≠--与不共线，即不成立，故B 错误；()0,1,1a =- ()1,1,1n =--rl α⊥对于C ，因为，，，，()2,3,1A ()0,1,0B 3,3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1=2,2,1,,0,12AB AP ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭∴，故到C 错误；0AB AP ⋅= 3,3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭l =对于D ，若，则是钝角或平角，故D 错误. 0a b ⋅<,a b 故选：BCD.11．下列说法正确的是（ ）A ．若，则1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ 10121031a a a +++=- B ．精确到0.1的近似值为1.6 101.05C ．被8除的余数为15555D ．的展开式中含项的系数为5292()()()()8712899999C 1C 1C 1C 1x x x x +++++++3x 【答案】AB【分析】对于A ，采用赋值法，令即可判断；对于B,将化为，利用二项式展=1x -101.0510(10.05)+开式，近似计算，即可判断；对于C ，将化为，利用二项式展开式，即可判断；对于555555(561)-D ，将展开即可判断.()()()()8712899999C 1C 1C 1C 1x x x x +++++++【详解】对于A ，，101021001210(12)(21)x x a a x a x a x -=-=++++ 令 ，则 ， 皆为负值，为正值，0x =01a =13579,,,,a a a a a 246810,,,,a a a a a 故令，，=1x -100129103a a a a a =-++-- 即得，A 正确；1012101291031a a a a a a a +++=--+-+=- 对于B ，1000112210101010101010(10.05)C 0.05+C 0.05C 0.05++1.05C 0.05=+=⨯⨯+⨯⨯ ，10.50.1125 1.50.1125=+++=++ 故精确到0.1的近似值为1.6，故B 正确；101.05对于C, ,5555055154253541550555555555555(561)C 56C 56C 56C 56C 56=-=⨯-⨯+⨯-+⨯-⨯ 由此可得被8除的余数为 ，故C 错误；5555817-=对于D ，由二项式定理可得的展开式中含项的系数为：18278909999C (1)C (1)C (1)C (1)x x x x +++++++3x，故D 错误.12338979C C C C =1764+故选：AB12．设抛物线的焦点为，为坐标原点，直线与C 交于A ，2:2(0)C y px p =>F O :220l x y p --=B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴交于D ，E 两点，则（ ） A ． B ．||3AB p=||DE =C ．是钝角 D ．的面积小于的面积DFE ∠DEF :OAB :【答案】BCD【分析】联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算，A 错误；计算圆方程为：4AB p =，计算得到B 正确；计算，得到C 正确；，()222342x p y p p æöç÷-+-=ç÷èø0FD FE ⋅<2DEF S p =△，D 正确；得到答案. 2OAB S p =△【详解】直线过抛物线焦点，设，，:220l x y p --=,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭()11A x y ()22,B x y 则，，，，22 220y px x y p ⎧=⎨--=⎩22304px px -+=280p ∆=>1221234x x p p x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，A 错误；124AB x x p p =++=中点坐标为，，，AB 3,2M p p ⎛⎫⎪⎝⎭42AB p r ==2r p =圆方程为：，取得到，B 正确； ()222342x p y p p æöç÷-+-=ç÷èø0x=y p p =不妨取，，0,D p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0,E p p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭故，不共线，故是钝角，C 正21,,0222p p FD FE p p p pp ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,,D E FDFE ∠确； ，，211222DEF p S DE OF p =⋅=⨯=△2142OAB S p p =⨯=△，D 正确； DEF OAB S S <△△故选：BCD三、填空题13．展开式中，含项的系数为__________．()5221x -6x 【答案】80【解析】求出二项展开式的通项，利用的指数为，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得x 6出结果.【详解】的展开式通项为，()5221x -()()()5251021552112kk kk k k k k T C x C x ---+=⋅⋅-=-⋅⋅⋅令，得，因此，的展开式中， 1026k -=2k =()5221x -含项的系数为. 6x ()26351280C -⋅⋅=故答案为：.8014．已知点为圆外一点，若圆上存在一点，使得()0,2P ()()222:2C x a y a a -+-=C Q 30CPQ ∠=，则正数的取值范围是____________． a1a ≤<【分析】求出圆心和半径，结合条件得到1＞≥sin30°，解不等式即可． CTCP【详解】由圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2=2a 2，得圆心为C （a ，a ），半径a ，（a ＞0），∴设过P 的一条切线与圆的切点是T ，则， ∴当Q 为切点时，∠CPQ 最大， ∵圆C 上存在点Q 使得∠CPQ=30°， ∴满足≥sin30°， CTCP，整理可得3a 2+2a ﹣2≥0，解得 12又≤1，解得a≤1， CTCP 又点 P （0，2）为圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2=2a 2外一点， ∴a 2+（2﹣a ）2＞2a 2，解得a ＜1，∵a ＞0，∴＜1．．1a ≤<【点睛】本题考查直线和圆的位置关系的应用，根据条件转化为切线关系是解决本题的关键，是中档题．15．已知为双曲线的左、右焦点，点P 在C 上，，则12,F F 22:122x y C -=122PF PF =12cosF PF ∠=______． 【答案】34【解析】根据双曲线的定义得，结合题设条件得出，由余弦定理即可12PF PF -=12,PF PF 得出.12cos F PF ∠【详解】由题意可得，，解得：，12122PF PF PF PF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩1PF =2PF =因为，124F F ==所以. 222111122223cos 24PF PF F F F PF PF PF +-∠===⋅故答案为：. 3416．如图，是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，①与是异面直线；②与BM ED CN BE 平行；③与成角④与垂直，请写出正确结论的个数为__ 个．CN BM 60 DM BN【答案】4【分析】画出该平面展开图合起来后的正方体后，逐项判断. 【详解】解：该平面展开图合起来后的正方体，如图所示：由图形得与是异面直线，故①正确； BM ED 与平行，故②正确；CN BE 连接，则为等边三角形，所以与所成角为， EM BEM △BE BM 60︒因为，所以与成角，故③正确； //CN BE CN BM 60︒对于④，连接，平面，平面， CN BC ⊥CDNM DM ⊂CDNM 所以，又，面BCN ， BC DM ⊥DM CN ⊥,,CN BC C CN BC ⋂=⊂所以平面，DM ⊥BCN 平面，所以，故④正确.BN ⊂BCN DM BN ⊥所以正确结论的个数是4个. 故答案为：4四、解答题17．已知二项式的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比是.22nx ⎫⎪⎭14:3(1)求的值；n (2)求展开式中的常数项.【答案】(1)10n =(2)4564【分析】（1）由排列数的公式展开计算；（2）写出通项公式，求解，从而得常数项.r 【详解】（1）由题知：. 42143n n C C =所以有，化简得：. ()()!!3144!4!2!2!n n n n =--25500n n --=解得：或 (舍)．10n =5n =-（2）， ()10105521101022122r r r r r rr r T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫=-=⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得. 5502r -=2r =所以. ()8223101452264⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭T C 【点睛】熟练掌握：(1)排列数公式；(2)组合数公式，这是正确计算()!!m n A n n m =-()!!!m n n C m n m =-的关键．18．有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本．【答案】（1）60(种)．（2）360(种)．（3）15(种)．（4）90(种).【分析】（1）根据分步计算原理，结合组合的定义进行求解即可；（2）根据（1）的分析，结合排列定义重新分配进行求解即可； （3）根据分步计算原理，再根据重复情况进行求解即可；（4）根据（3）的分析，结合排列定义重新分配进行求解即可.【详解】（1）根据分步计算原理可知，， 1236535461602C C C ⨯⋅⋅=⨯⨯=所以分成1本、2本、3本三组共有60种方法；（2）由（1）可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法，再分给甲、乙、丙三人，所以有种方法；336060321360A ⋅=⨯⨯⨯=（3）先分三步，则应是种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A 、B 、C 、222642C C C ⋅⋅D 、E 、F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则种分法中还有(AB ，EF ，CD )、(CD 、AB 、EF )、(CD 、EF ，AB )、(EF ，CD ，AB )、(EF ，222642C C C ⋅⋅AB ，CD )，共种情况，而且这种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分33A 33A 法，故分配方法有＝15(种)． 22264233C C C A ⋅⋅（4）在问题（3）的基础上再分配即可，共有分配方法＝90(种)． 2223642333C C C A A ⋅⋅⋅19．已知圆经过，两点，且圆心在直线上．C (3,3)A (2,4)B C 35y x =-(1)求圆的标准方程；C (2)设，若圆上存在点，使得点也在以为直径的圆上，求实数(,0),(,0)(0)P m Q m m ->C M M PQ m 的取值范围．【答案】(1).22:(3)(4)1C x y -+-=(2)．[4,6]m ∈【分析】（1）利用线段的中点坐标和中垂线的斜率，可得中垂线的方程，联立中垂线的方AB AB 程和直线，可求得圆心的坐标，再用两点间的距离公式求得半径，由此得到圆的标准方35y x =-程.（2）以为直径的圆与（1）中求得的圆有交点，即圆心距小于两圆半径和，且大PQ 222x y m +=于两圆半径差的绝对值，列出不等式，由此求得的取值范围.m 【详解】（1）因为，的中点为 43123AB k -==--AB 57,22⎛⎫ ⎪⎝⎭所以的中垂线为：，即 AB 7522y x -=-10x y -+=联立，解得圆心. 1035x y y x -+=⎧⎨=-⎩()3,4C 又因为半径为，所以圆．1CA =()()22:341C x y -+-=（2）以为直径的圆的方程为，由已知，该圆与圆有公共点，PQ 222x y m +=C 所以，解得．11m m -≤≤+[]4,6m ∈20．如图，已知四棱锥中，平面平面，底面为矩形，且P ABCD -PAB ⊥ABCD ABCD 4PA PB ==，，，O 为棱AB 的中点，点E 在棱AD 上，且． 2AB =3AD =13AE AD =(1)证明：；CE PE ⊥(2)在棱PB 上是否存在一点F 使平面？若存在，请指出点F 的位置并证明；若不存在，OF ∥PEC 请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，F 为线段PB 上靠近点B 的三等分点；证明见解析【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证明平面，进而即可证明；CE ⊥POE CE PE ⊥（2）先找到F 为线段PB 上靠近点B 的三等分点，并利用面面平行判定定理证明平面平面ONF ∥，进而即可证明平面PEC OF ∥PEC 【详解】（1）连接OE ，OC ，OP ，四棱锥中，，O 为AB 的中点，所以，P ABCD -4PA PB ==PO AB ⊥又平面平面，平面平面，平面PABPAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =PO ⊂所以平面，平面，所以，OP ⊥ABCD CE ⊂ABCD OP CE ⊥在矩形中，，，，，， ABCD 2AB =3BC =113AE AD ==2DE =1OA OB ==因为，， 22222112OE OA AE =+==＋222221310OC OB BC ==+=＋22222228CE DE CD =+=+=所以，所以222OE CE OC +=OE CE ⊥又，，所以平面，OP CE ⊥OE OP O = CE ⊥POE 又平面，所以PE ⊂POE CE PE ⊥（2）存在，F 为线段PB 上靠近点B 的三等分点．取BC 的三等分点M （靠近点C ），连接AM ，易知，，所以四边形是平行四边形，所以，AE MC ∥AE MC =AECM AM EC ∥取BM 中点N ，连接ON ，所以，所以，ON AM ∥ON EC ∥又平面，平面，则平面ON ⊄PEC EC ⊂PEC ON ∥PEC 因为N 为BM 中点，所以N 为BC 的三等分点（靠近点B ），连接OF ，NF ，所以，NF PC ∥又平面，平面，则平面NF ⊄PEC PC ⊂PEC NF ∥PEC 又，平面，平面，ON NF N ⋂=ON ⊂ONF NF ⊂ONF所以平面平面，ONF ∥PEC 又平面，所以平面．OF ⊂ONF OF ∥PEC 21．为了调查国企员工对新个税法的满意程度，研究人员在地各个国企中随机抽取了1000名员A 工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布表，其中.4a b =分数 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 []90,100频率0.08a 0.35 0.27 b（1）若按照分层抽样从，中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取4人，记分数在[)50,60[)60,70的人数为，求的分布列与数学期望；[)60,70X X （2）以频率估计概率，若该研究人员从全国国企员工中随机抽取人作调查，记成绩在，n [60,70)的人数为，若，求的最大值.[]90,100X () 2.2D x ≤n 【答案】（1）分布列见解析，3；（2）10.【分析】（1）依题意得，，得到的可能取值为2，3，4，再求出对应的概率即得0.24a =0.06b =X解；（2）依题意，知，解不等式即得解. 3,10X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭:()21 2.2100n D x =≤【详解】（1）依题意，所以.0.080.270.351a b ++++=0.3a b +=又，所以，.4a b =0.24a =0.06b =分数在和的员工分别被抽取了2人和6人，[)50,60[)60,70所以的可能取值为2，3，4.X ，，， ()22264815327014C C P X C ====()8123644043707C C P X C ====()644815347014C P X C ====所以的分布列为XX 2 3 4 P 314 47314所以. ()343234314714E X =⨯+⨯+⨯=（2）依题意，知， 3,10X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭:由，得， () 2.2D x ≤()3721 2.21010100n D x n =⨯⨯=≤解得，故所求的的最大值为10.10n ≤n 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第2问，其关键是能通过已知发现.一般情况3,10X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭:下，独立重复试验中某事件发生的次数服从二项分布.22．已知椭圆的离心率，直线与椭圆交于两点，为椭圆的22221(0)x y a b a b+=>>e =y x =,A B C 右顶点，. 3·2OA OC =(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆上存在两点，使，，求面积的最大值. ,E F OE OF OA λ+=(0,2)λ∈OEF :【答案】(1)； 2213x y += . 【分析】（1）设 ，通过，以及椭圆的离心率，A 在椭圆上，列出方程求出椭圆的,)A t t （3·2OA OC =几何量，然后求解椭圆方程；（2）设，，中点为，利用，得到方程组，利用E,F11(,)E x y 22(,)F x y EF 00(,)M x y OE OF OA λ+= 在椭圆上，代入椭圆方程，利用平方差法求出的斜率，得到直线的方程代入椭圆方程，利EF EF 用韦达定理求出 ，求出三角形的高，表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最值．||EF 【详解】（1）根据题意，不妨设，则，，(,)A t t (,)OA t t = (,0)OC a = ∴，，， 3··2OA OC a t == 22221t t a b +=c a =222a c b -=解得：，，23a =21b =∴椭圆的方程为：. 2213x y +=（2）设，，中点为，11(,)E x y 22(,)F x y EF 00(,)Mx y 由（1）∵，∴， t =OE OF OA λ+= 01201222x x x y y y ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩∵椭圆上，则，相减可得， ,E F 221122221313x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2222121203x x y y -+-=， 121212121133EFy y x x k x x y y -+==-⋅=--+∴直线的方程为：，即， EF 1()3yx =-3x y =-代入整理得：，2213x y +=22410y y λ-+-=∴，，12y y +=21214y y λ-=⋅2EF y ==-==∵原点到直线的距离为， (0,0)OEF h=， 12OEFS EF h ==≤=:当λ=OEF :。
江西省2022高二数学上学期期末考试试题 理
南昌二中2022—2021学年度上学期期末考试高二数学〔理〕试卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．复数i z -=3的虚部为〔 〕 A ．3B ．1-C ．i D ．i -2．用反证法证明命题：“,N a b ∈，假设ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除．〞时，假设的内容应该是〔 〕 A ．,a b 都不能被5整除 B ．,a b 都能被5整除 C ．,a b 不都能被5整除D ．a 能被5整除3．函数()cos x f x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为〔 〕 A ．0B ．4π C ．1 D ．2π 4．以下命题中错误的选项是．．．．．．〔 〕 A ．假设命题p 为真命题，命题q 为假命题，那么命题“)(q p ⌝∨〞为真命题 B ．命题“假设7≠+b a ，那么2≠a 或5≠b 〞为真命题C ．命题“假设函数)(x f 的导函数)('x f 满足0)(0'=x f ，那么0x 是函数)(x f 的极值点〞的逆否命题是真命题D ．命题p ：0,sin 21x x x ∃>>-，那么⌝p 为 0,sin 21xx x ∀>-≤01)1(2=-++y a x 的倾斜角的取值范围是〔 〕A ．],43[ππB ．]43,4[ππC ．⎥⎦⎤ ⎝⎛4,0πD ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 6．假设R a ∈，那么“复数iaiz +-=13在复平面内对应的点在第三象限〞是“3>a 〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数231()23f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是〔 〕 A ．323B ．163C ．12D ．98．假设2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，那么123,,S S S 的大小关系为( )A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
江西省2021-2022学年高二上学期期末数学试题
江西省2021-2022学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为1P ，2P ，3P ，则下列判断中错误的是（ ）. A ．123P P P == B ．123P P P += C ．1231P P P ++=D ．31222P P P ==2．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，111AB B C DD ++=（ ）A ．1ACB ．1AC C ．1BD D ．1BD3．中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（ ） A ．17人B ．83人C ．102人D ．115人4．青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量值()1,2,3,,12i a i =⋅⋅⋅（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．抛物线()2 20y px p =≠上的一点()9,12P -到其焦点 F 的距离PF 等于（ ） A ．17B ．15C ．13D ．11610化简的结果是（ ）A ．2212516x y +=B ．2212521x y +=C ．221254x y +=D ．2212521y x +=7．命题“0b a <<”的一个充要条件是（ ） A ．22a b < B ．2ab b < C ．220bc ac <<D ．110a b<< 8．已知O 为坐标原点，向量(2,1,1)a =-，点(3,1,4)A --，(2,2,2)B --.若点E 在直线AB 上，且OE a ⊥，则点E 的坐标为（ ）. A ．6142,,555⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．6142,,555⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．6142,,555⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．6142,,555⎛⎫-- ⎪⎝⎭9．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照[)11.5,12，[)12,12.5，…，[)15.5,16分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.规定成绩低于13秒为优，成绩高于14.8秒为不达标.由直方图推断，下列选项错误的是（ ）A ．直方图中a 的值为0.40B ．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒C ．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩为优的人数为54D ．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩为不达标的人数为1810．①命题设“,a b ∈R ，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”；②若“p q ∨”为真命题，则p ，q 均为真命题；③“()π2π2k k ϕ=+∈Z ”是函数()sin 2y x ϕ=+为偶函数的必要不充分条件；④若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一基底；其中正确判断的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，O 是坐标原点，P 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>右支上的一点，F 是E的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且||2||QF FR =，则E 的离心率为（ ）A B C D 12．如图，在三棱锥P ABC -中，5AB AC PB PC ====，4PA =，6BC =，点M 在平面PBC 内，且AM =，设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为（ ）A B C ．25D二、填空题13．若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.14．在空间直角坐标系中，点()1,2,3A 到x 轴的距离为___________. 15．命题1:,12p x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，4x a x +>恒成立是假命题，则实数a 的取值范围是________________．16．在学习《曲线与方程》的课堂上，老师给出两个曲线方程11C =；442:1C x y +=，老师问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下面是四位同学的回答：甲：曲线1C 关于y x =对称； 乙：曲线2C 关于原点对称；丙：曲线1C 与坐标轴在第一象限围成的图形面积112S <； 丁：曲线2C 与坐标轴在第一象限围成的图形面积2π4S >； 四位同学回答正确的有______（选填“甲、乙、丙、丁”）三、解答题17．已知p ：22320x x --≥，q ：()()22120x a x a a --+-<.（1）当0x =时，命题q 为真，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．已知直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于,A B 两点.（1）若直线l 的斜率为1，求||AB ； （2）若||3||AF BF =，求直线l 的方程.19．某地区2021年清明节前后3天每天下雨的概率为50%，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率．用随机数x （x N ∈，且09x ≤≤）表示是否下雨：当[]()0,x m m ∈∈Z 时表示该地区下雨，当[]1,9x m ∈+时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下：332 714 740 945 593 468 491 272 073 445 992 772 951 431 169 332 435 027 898 719（1）求出m 的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）从2012年到2020年该地区清明节当天降雨量（单位：mm ）如表：（其中降雨量为0表示没有下雨）．经研究表明：从2012年至2021年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y 与年份t 成线性回归，求回归直线方程y bt a =+，并计算如果该地区2021年（10t =）清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到0.01）参考公式：()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑，a y bt =-．参考数据：()()9158i i i t ty y =--=-∑，()()7154i i i t ty y =--=-∑，()92160i i t t=-=∑，()72152i i t t=-=∑．20．某港口船舶停靠的方案是先到先停，且每次只能停靠一艘船.（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2，3，4，5中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种方式对双方是否公平？请说明理由；（2）若甲、乙两船在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1h ，乙船停泊时间为2h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.21．如图所示等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，22AB BC CD ==，120ABC ∠=︒，点E 为CD 的中点，沿AE 将DAE △折起，使得点D 到达F 位置.（1）当FB BC =时，求证：BE ⊥平面AFC ；（2）当BF BC =时，求二面角F BE C --的余弦值.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点12⎫⎪⎭，其左､右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，直线1A B 与直线2A B 的斜率之积为14-.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，直线l ：x t =分别与线段1A B （不含端点）和线段2A B 的延长线交于M ，N 两点，直线1A N 与椭圆C 的另一交点为P ，求证：P ，M ，2A 三点共线.参考答案1．A 【分析】把抛掷两枚硬币的情况均列举出来，利用古典概型的计算公式，把1P ，2P ，3P 算出来，判断四个选项的正误. 【详解】两枚硬币，记为A 与B ，则抛掷两枚硬币，一共会出现的情况有四种，A 正B 正，A 正B 反，A 反B 正，A 反B 反，则114P =，214P =，312P =，所以A 错误，BCD 正确 故选：A 2．B 【分析】根据正方体的性质，结合向量加减法的几何意义有111111,AB BB AB AB BC AC +=+=，即可知111AB B C DD ++所表示的向量. 【详解】∵11DD BB =，而111111,AB BB AB AB BC AC +=+=，∴1111AB B C DD AC ++=， 故选：B 3．C 【分析】根据频率计算出正确答案. 【详解】一句也说不出的学生频率为10045380.17100--=，所以估计600名学生中，一句也说不出的有6000.17102⨯=人. 故选：C 4．B 【分析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3的人数，结合茎叶图判断可得； 【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3的人数，由茎叶图可知视力小于等于4.3的有5人， 故选：B 5．C 【分析】由点的坐标求得参数p ，再由焦半径公式得结论． 【详解】由题意2122(9)p =⨯-，解得8p =-， 所以4(9)132P pPF x =--=--=， 故选：C ． 6．D 【分析】由方程的几何意义得到是椭圆，进而得到焦点和长轴长求解. 【详解】10=，表示平面内到定点1(0,2)-F 、2(0,2)F 的距离的和是常数10(104)>的点的轨迹， ∴它的轨迹是以12F F 、为焦点，长轴210a =，焦距24c =的椭圆；∴5,2,a c b ====∴椭圆的方程是2212521y x +=，即为化简的结果．故选：D ．7．D 【分析】结合不等式的基本性质，利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】A. 当1,12a b ==时，满足22a b <，推不出0b a <<，故不充分；B. 当1,12a b ==时，满足2ab b <，推不出0b a <<，故不充分；C. 当0c 时，0b a <<推不出220bc ac <<，故不必要；D. 因为110011000000b a a b ab a a b a a b b b -⎧⎧-<<⎪⎪⎪⎪<<⇔<⇔<⇔<<⎨⎨⎪⎪<<⎪⎪⎩⎩，故充要， 故选：D 8．A 【分析】由E 在直线AB 上，设=+=+OE OA AE OA t AB ，再利用向量垂直，可得95t =，进而可求E 点坐标. 【详解】因为E 在直线AB 上，故存在实数t 使得=+=+OE OA AE OA t AB (3,1,4)(1,1,2)(3,1,42)=--+--=-+---t t t t ，.若OE a ⊥，则0OE a ⋅=，所以2(3)(1)(42)0t t t --++--+-=，解得95t =， 因此点E 的坐标为6142,,555⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选：A. 【定睛】本题考查了空间向量的共线和数量积运算，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 9．D 【分析】根据频率之和为1求得a ，结合众数、频率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】()0.50.080.160.30.520.30.120.080.041a ⨯++++++++=，解得0.4a =，A 选项正确.众数为13.51413.752+=，B 选项正确. 成绩低于13秒的频率为()0.50.080.160.30.50.540.27⨯++=⨯=，人数为2000.2754⨯=，所以C 选项正确. 成绩高于14.8的频率为()14.814.50.50.120.50.080.120.1360.5-⨯⨯+⨯+=，人数为2000.13627⨯≈人，D 选项错误.故选：D 10．B 【分析】利用逆否命题、含有逻辑联结词命题的真假性、充分和必要条件、空间基底等知识对四个判断进行分析，由此确定正确答案. 【详解】①，原命题的逆否命题为“,a b ∈R ，若3a =且3b =，则6a b +=”，逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，①正确.②，若“p q ∨”为真命题，则p ，q 至少有一个真命题，②错误. ③，函数()sin 2y x ϕ=+为偶函数的充要条件是“()ππ2k k ϕ=+∈Z ”.所以“()π2π2k k ϕ=+∈Z ”是函数()sin 2y x ϕ=+为偶函数的充分不必要条件，③错误. ④，若{},,a b c 为空间的一个基底，即,,a b c 不共面， 若,,a b b c c a +++共面，则存在不全为零的123,,x x x ， 使得()()()1230x a b x b c x c a +++++=， 故()()()1223310x x b x x c x x a +++++=，因为{},,a b c 为空间的一个基底，1223310x x x x x x +=+=+=， 故1230x x x ===，矛盾，故,,a b b c c a +++不共面， 所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一基底，④正确.所以正确的判断是2个.故选：B11．B【分析】令双曲线E 的左焦点为F '，连线即得PFQF '，设FR m =，借助双曲线定义及直角F PR '用a 表示出|PF|，||PF '，再借助Rt F PF '即可得解.【详解】如图，令双曲线E 的左焦点为F '，连接,,PF QF RF '''，由对称性可知，点O 是线段PQ 中点，则四边形PFQF '是平行四边形，而QF ⊥FR ，于是有PFQF '是矩形， 设FR m =，则|||2∣PF FQ m '==，||22PF m a =-，||2,||32RF m a PR m a '=+=-， 在Rt F PR '中，222(2)(32)(2)m m a m a +-=+，解得43a m =或m ＝0（舍去），从而有82,||33a a PF PF ='=，Rt F PF '中，22282433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22179c a =，c e a ==所以双曲线E ． 故选：B12．D【分析】 设线段BC 的中点为D ，连接AD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，证明出PO ⊥平面ABC ，然后以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设BM mBP nBC =+，其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，求出363m n +-的最大值，利用空间向量法可求得cos α的最大值.【详解】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，5AB AC ==，D 为BC 的中点，则AD BC ⊥，5BC =，则3BD CD ==，4AD ∴==，同理可得4PD =，PD BC ⊥， PD AD D =，BC ∴⊥平面PAD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，因为4PA PD AD ===，所以，PAD △为等边三角形，故O 为AD 的中点，BC ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，则BC PO ⊥，PO AD ⊥，AD BC D =，PO ∴⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，因为PAD △是边长为4的等边三角形，O 为AD 的中点，则sin 6023OP PA ==则()0,2,0A -、()3,2,0B 、()3,2,0C -、(0,0,P ，由于点M 在平面PBC 内，可设(()()3,6,0,036,2BM mBP nBC m n m n m =+=--+-=---，其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，从而()()()3,4,036,2336,42AM AB BM m n m m n m =+=+---=---， 因为15AM =()()222336421215m n m m --+-+=，所以，()()22233616161423m n m m m --=-+-=--+，故当12m =时，216161m m -+-有最大值3，即()23633m n +-≤，故363m n +-≤363m n +-所以，(63cos cos ,AM BC AM BC AM BC α⋅=<>==≤=⋅故选：D.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.13．y =【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题可知，离心率2c e a==，即2c a =，又22224a b c a +==，即223b a =，则b a =故此双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =.14【分析】由空间直角坐标系中点(),,x y z 到x ．【详解】解：空间直角坐标系中，点()1,2,3A 到x15．[)5,+∞【分析】由命题p 为假命题可得命题p ⌝为真命题，由此可求a 范围.【详解】∵ 命题1:,12p x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，4x a x +>恒成立是假命题， ∴ 1,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，4x a x +≤， ∴ min 4[]x a x+≤，1[,1]2x ∈， 又函数4y x x =+在1[,1]2为减函数， ∴ min 4[]=5x x+， ∴ 5a ≥，∴ 实数a 的取值范围是[)5,+∞,故答案为：[)5,+∞.16．甲、乙、丙、丁【分析】结合对称性判断甲、乙的正确性；通过对比1x y +=和221x y +=与坐标轴在第一象限围成的图形面积来判断丙丁的正确性.【详解】1=中x 和y 1=，所以曲线1C 关于y x =对称，甲回答正确.对于乙：(),x y 和(),x y --两个点都满足方程441x y +=，所以曲线2C 关于原点对称，乙回答正确.对于丙：直线1x y +=与坐标轴在第一象限围成的图形面积为111122⨯⨯=，1=，0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，在第一象限，直线1x y +=1=都满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，11x y y x +=⇒=-(2111y x =⇒==-()11210x x x ---==≥，所以在第一象限，直线1x y +=1=的图象上方， 所以112S <，丙回答正确. 对于丁：圆221x y +=与坐标轴在第一象限围成的图形面积为21ππ144⨯=， 在第一象限，曲线221x y +=与曲线441x y +=都满足0101x y <<⎧⎨<<⎩， ()22222424211,121x y y x y x x x +=⇒=-=-=-+， 444411x y y x +=⇒=-，()()424224*********x x x x x x x -+-=-=-<-，所以在第一象限，曲线221x y +=的图象在曲线441x y +=的图象下方， 所以2π4S >，丁回答正确. 故答案为：甲、乙、丙、丁17．（1）()0,2；（2）3|22a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【分析】（1）依题意可得()()20x a x a ---<⎡⎤⎣⎦，即可求出q ，再根据当0x =时，命题q 为真，即可得到不等式组，解得即可；（2）由（1）可得q ⌝，令q ⌝所对应的集合为B ，再解一元二次不等式求出p 所对应的集合A ，根据p 是q ⌝的充分不必要条件，即可得到A 是B 的真子集，从而得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）因为()()22120x a x a a --+-<，即()()20x a x a ---<⎡⎤⎣⎦，即2a x a -<<，即q ：2a x a -<<，因为当0x =时，命题q 为真，所以020a a >-<⎧⎨⎩，解得02a <<，即()02a ,∈； （2）由（1）可知q ：2a x a -<<，所以q ⌝：2a x -≥或x a ≥；令q ⌝对应的集合{|B x x a =≥或2}x a ≤-；因为22320x x --≥，所以()()2120x x +-≥，解得2x ≥或12x ≤-； 令p 对应的集合{|2A x x =≥或1}2x ≤-； 因为p 是q ⌝的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，所以1222a a ⎧-≥-⎪⎨⎪≤⎩，解得322a ≤≤，经检验32a =或2a =时，均满足题意， 综上：实数a 的取值范围为：3|22a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭18．（1）8（230y【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，由||||||AB AF BF =+，进而结合抛物线的定义，将点到焦点的距离转化为到准线的距离，最后求得答案；（2）由||3||AF BF =，所以123y y =-，设出直线方程并代入抛物线方程，进而结合根与系数的关系求得答案.（1）设()()1122,,,A x y B x y ，抛物线的准线方程为：1x =-，因为||||||AB AF BF =+，由抛物线定义可知，1212||112AB x x x x =+++=++.直线:1l y x =-，代入抛物线方程化简得：2610x x -+=，则126x x +=，所以12||28AB x x =++=. （2）设:1l x ty =+，代入抛物线方程化简得：2440y ty --=，所以121244y y t y y +=⎧⎨=-⎩，因为||3||AF BF =，所以123y y =-，于是2222434y t t y -=⎧⇒=⎨-=-⎩则直线l 的方程为：313303xy x y . 19．（1）4m =，25；（2）29179306y t =-+；该地区2020年清明节有降雨的话，降雨量为20.2mm ． 【分析】（1）利用概率模拟求概率； （2）套用公式求回归直线方程即可.【详解】解：（1）由题意可知，150%10m +=，解得4m =，即0~4表示下雨，5~9表示不下雨， 所给的20组数据中714,740,491,272,073,445,435,027,共8组表示3天中恰有两天下雨， 故所求的概率为82=205； （2）由题中所给的数据可得5t =，25y =， 所以()()()9192158296030ii i ii t t y y b t t ==---===--∑∑，29179255306a y bt ⎛⎫=--⨯=⎪⎝⎭- =， 所以回归方程为29179306y t =-+， 当10t =时，29179121103066y =-⨯+=≈20.2， 所以该地区2020年清明节有降雨的话，降雨量为20.2mm ．【点睛】求线性回归方程的步骤：①求出,x y ；②套公式求出b a 、；③写出回归方程y bx a =+；④利用回归方程y bx a =+进行预报；20．（1）不公平，理由见解析.（2）10131152【分析】（1）通过计算概率来进行判断.（2）利用几何概型计算出所求概率.（1） 两数之和为奇数的概率为11322125525C C ⨯⨯=⨯，两数之和为偶数的概率为121312525-=， 两个概率不相等，所以不公平.（2）设甲到的时刻为x ，乙到的时刻为y ，则024024x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩， 若它们中的任意一艘都不需要等待码头空出，则1y x ≥+或2x y ≥+，画出可行域如下图阴影部分所示， 所以所求的概率为：112323222210132224241152⨯⨯+⨯⨯=⨯.21．（1）证明见解析（2）【分析】（1）结合线面垂直的判定定理来证得结论成立.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角F BE C --的大小. （1）设AC BE O =，由于四边形ABCD 是等腰梯形，E 是CD 的中点，2AB CD =，所以//,AB CE AB CE =，所以四边形ABCE 是平行四边形，由于AB BC =，所以四边形ABCE 是菱形， 所以BE AC ⊥，由于FB BC CE DE FE ====，O 是BE 的中点， 所以BE OF ⊥，由于AC OF O ⋂=，所以BE ⊥平面AFC .（2）由于120,60ABC BCE ∠=︒∠=︒，所以三角形ABE 、三角形BCE 、三角形ADE 是等边三角形， 设G 是AE 的中点，设224AB BC CD ===，则GF GB BF ==== 所以222GF GB BF +=，所以GF GB ⊥，由于,,GA GB GF 两两垂直.以G 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， (()(),1,0,0,F E B -，()(1,0,3,0,FE FB =--=-, 平面CBE 的法向量为()0,0,1m =，设平面FBE 的法向量为(),,n x y z =，则030n FE x n FB ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，故可设()3,1,1n =-， 由图可知，二面角F BE C --为钝角，设二面角F BE C --为θ，1cos 5m nm n θ⋅===⋅，则cos θ=.22．（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由22,214A B A B b k k a ⋅=-=-和223114ab +=，联立求解； （2）由（1）易得直线1A B ：12x y +=-，直线2A B ：12x y +=，20t -<<，分别与x =t 联立，求得M ，N 的坐标，设()00,P x y ，利用11A P A N k k =，得到002224y t x t -=++，然后两边乘以2002A P y k x =-，结合点P 在椭圆上化简得到22A P A M k k =即可， 【详解】（1）在椭圆C 中，()1,0A a -，()2,0A a ，()0,B b ， 则1A B b k a=，2A B b k a =-， 由题意得：122214A B A B b k k a ⋅=-=-，又223114a b +=， 解得24a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）由（1）可知，()12,0A -，()22,0A ，()0,1B ，则直线1A B ：12x y +=-， 直线2A B ：12x y +=，由题意，20t -<<， 联立,,1212x t t M t x y =⎧⎪⎛⎫⇒+⎨ ⎪+=⎝⎭⎪-⎩，同理联立,,1212x t t N t x y =⎧⎪⎛⎫⇒-⎨ ⎪+=⎝⎭⎪⎩， 设()00,P x y ，则222200001444x y x y +=⇒-=-①， 且点()00,P x y 满足：11A P A N k k =，即002224y t x t -=++，答案第15页，共15页 两边乘以2002A P y k x =-，可得：20020024242y y t x t x -=⋅-+-， 代入①得：()000000122424242242224y y y t t t t x x t x t -++-=⋅⇒=⇒=+-----， 而2224A M t k t +=-， 则22A P A M k k =，所以P ，M ，2A 三点共线.。
江西省高二上学期期末考试数学试题(含解析)
数学试题考试时间：120分钟第I 卷（选择题）一、单选题（每题5分，共计40分）1．空间四边形中，，，，且，，则OABC OA a = OB b = OC c =23OM OA = BN NC = （ ）MN =A ．B ．C ．D ．121232a b c -+ 111222a b c +-221332a b c -++211322a b c -++2．已知直线与直线，若直线与直线的夹角为，则10l y +=2:10l kx y -+=1l 2l 60︒实数的值为（ ）A B ．0D ．或k 3．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（ ） A ．25种B ．50种C ．300种D ．150种4．与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为2211636x y +=22146x y -=（ ） A ．B ．C ．D ．221128y x -=221812y x -=221128x y -=221812x y -=5．已知，则（ ） ()()()()4255012512111x x a a x a x a x -+=+++++++ 2a =A ．B ．2C ．4D ．122-6．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )A ．B ．C ．D ．142312137．已知点D 在确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，实数x ，y 满足ABC ，则：的最小值为（ ）2DO xOA yOB OC =+- 22x y +A ．B C ．1 D ．2458．某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中，两人不能分在同一个社团，则不同的安A B 排方案数是（ ）A ．56B ．28C ．24D ．12二、多选题（每题5分，多选不得分，漏选少选扣2分一个，共计20分）9．已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ） a b cA ．若，则0xa yb zc ++=0x y z ===B ．，，两两共面，但，，不共面a b c a b cC ．，，一定能构成空间的一个基底+a b b c -r r 2c a +D ．一定存在实数，，使得 x y a xb yc =+10．下列说法正确的是（ ）A ．甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法 1333C A B ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种 4343A A C ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种4345A A D ．3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种11.如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，正确的是( )A ．O -ABC 是正三棱锥B ．直线OB ∥平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45° D ．二面角D -OB -A 为45°12.已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线l 交椭圆于A ，B22195x y +=1F 2F 1F 两点.则下列说法正确的是（ ）A ．△ABF 2的周长为12BC ．的最大值为D ．△ABF 2面积最大值为 22||AF BF +263203第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共计20分）13．圆：与圆：没有公共点，则的取值1C 2220x y x ++=2C 22480x y x y m +--+=m 范围为__________.14．的展开式中含项的系数为___________.4(2)(3)y x --3x y 15．一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确15答案的概率是___________.16．已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右22221(0,0)x y a b a b-=>>()()12,0,,0F c F c -支上存在点使得，则离心率的取值范围为_______. P 1221sin sin a cPF F PF F ∠∠=四、解答题17（10分）．已知圆，其圆心在直线上． 22:220(R)C x y mx y m ++--=∈0x y +=(1)求的值；m (2)若过点的直线与相切，求的方程．(1,4)l C l 18（12分）．（1）解不等式．288A 6A x x -<（2）若，求正整数n ．2222345C C C C 363n +++⋅⋅⋅+=（3）从正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同的四面体的个数为？19（12分）．如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面111ABC A B C -11AAC C 平面，，，点是的中点，ABC ⊥11AAC C 3AB=5BC =E BC(1)求证：平面；(2)求证：平面； 1A B 1AC E 1A C ⊥1ABC (3)证明：在线段上存在点，使得.并求的值. 1BC D 1AD A B ⊥1BDBC20（12分）．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中且击落的概率为0.2,被两人击中且击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.21（12分）．如图所示，四棱台的上下底面均为正方形，面1111ABCD A B C D -面，，.11ADD A ⊥1111D C B A 114AA DD ==1136A D AD ==(1)求到平面的距离； 1B 11CDD C (2)求二面角的正弦值.111B CC D --22（12分）．已知C ：，过椭22221x y a b+=12圆左焦点作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线m 的方程为：F ，过点M 作垂直于直线m 交直线m 于点E .2x a =-ME (1)求椭圆C 的标准方程：(2)①若线段EN 必过定点P ，求定点P 的坐标； ②点O 为坐标原点，求面积的最大值.OEN参考答案：1．D【分析】根据空间向量的线性运算解决即可.【详解】由题知，空间四边形中，，，，且，OABC OA a = OB b = OC c =23OM OA = ，BN NC = 如图，所以，1122ON OB OC =+ 所以， 21211()32322MN MO ON OA OB OC a b c =+=-++=-++ 故选：D 2．C【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】的斜率为，直线恒过10l y +=k =120 2:10l kx y -+=点,若直线与直线的夹角为，则的倾斜角为或者，所以斜率为或()0,11l 2l 60︒2l 60 0 k ，0k =故选：C3．D【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可.(2,2,1),(3,1,1)【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种； 2213531322C C C A 90A ⋅=②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种. 3113521322C C C A 60A ⋅=综上，选法共有. 9060150+=故选:D. 4．A【分析】先由与椭圆共焦点得到，且焦点在轴上，从而巧设所求双曲线为220c =y ，利用即可得解. ()22046x y λλ-=<222c a b =+【详解】因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且，2211636x y +=y 2361620c =-=又因为所求双曲线与双曲线共渐近线，22146x y -=所以设所求双曲线为，即，()22046x y λλ-=<22164y x λλ-=--则，解得， 26420c λλ=--=2λ=-所以所求双曲线为.221128y x -=故选：A. 5．C【分析】令，直接根据二项式定理求解即可. 1x t +=【详解】令，则，1x t +=1x t =-故，()()()445525012512221x x t t a a t a t a t -+=-+-=++++ 中得系数为，中得系数为，()42t -2t ()224C 224-=()51t -2t ()335C 110-=-所以， 224204a =-=故选：C.6．D [一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}．于是可知P (A )＝，P (AB )＝．问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概3414率，即求P (B |A )，由条件概率公式，得P (B |A )＝＝．]1434137．A【分析】根据空间向量共面可得，然后利用二次函数的性质即得. 211x y --+=【详解】因为，2DO xOA yOB OC =+-所以，又点D 在确定的平面内， 2OD xOA yOB OC =--+ABC 所以，即， 211x y --+=22x y =-所以，()222222445422855455x y y y y y y ==-+⎛⎫+-+-⎪=+≥ ⎝⎭所以当时，的有最小值. 45y =22x y +45故选：A. 8．B【分析】设两个社团分别为甲乙，按A 在甲社团B 在乙社团和A 在乙社团B 在甲社团两种类型讨论，每种类型又分甲社团有2 人、3 人、4 人三种情况，运用排列组合公式计算方案数.【详解】设两个社团为甲社团和乙社团，当A 在甲社团B 在乙社团时，甲社团有2 人有种方案，甲社团有3 人有种方案，甲14C 24C社团有4人有种方案，共种方案；34C 123444C +C +C 46414=++=当B 在甲社团A 在乙社团时，同理也有14种方案； 所以不同的安排方案数是14+14=28. 故选：B 9．ABC【分析】由已知，选项A ，可使用反证法，假设结论不成立来推导条件；选项B ，可根据基底的定义和性质来判断；选项C ，可先假设，，共面，得到无解，即可+a b b c -r r 2c a +判断，，组成基底向量；选项D ，由，，不共面可知，不存在这样的+a b b c -r r 2c a + a b c实数.【详解】选项A ，若不全为，则，，共面，此时与题意矛盾，所以若,,x y z 0a b c，则，该选项正确；0xa yb zc ++=0x y z ===选项B ，由于，，是空间的一个基底，根据基底的定义和性质可知，，，两两a b c a b c共面，但，，不共面，该选项正确；a b c选项C ，假设，，共面， +a b b c -r r 2c a +则，此时，无解，+()(2)a b k b c c a λ=-++ 1=2=1=k k λλ⎧⎪⎨⎪⎩所以，，不共面，即可构成空间的一个基底，所以该选项正确；+a b b c -r r 2c a +选项D ，，，不共面，则不存在实数，，使得，故该选项错误. a b cx y a xb yc =+ 故选：ABC. 10．ACD【分析】先排特殊元素（位置）再排其他元素，可判断A 的正误；利用捆绑法，可判断B 的正误；利用插空法，可判断C 的正误，利用插空法和特殊元素（位置）法，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：先排最左端，有种排法，再排剩余3个位置，有种排法，则共有13C 33A 种排法，故A 正确；1333C A 对于B ：3名男生相邻，有种排法，和剩余4名女生排列，相当于5人作排列，有种33A 55A 排法，所以共有种排法，故B 错误；5335A A 对于C ：先排4名女生，共有种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有种排44A 35A 法，所以共有种排法，故C 正确；4345A A 对于D ：由C 选项可得3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种排法，4345A A 若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法，3334A A 所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有-=1296种，故D 正4345A A 3334A A 确. 故选：ACD11.ACD [将原图补为正方体不难得出只有B 错误，故选ACD ．] 12. ACD【分析】A 由椭圆定义求焦点三角形周长；B 根据椭圆离心率定义求离心率；C 当AB x ⊥轴求出最小值，即可得最大值；D 令直线代入椭圆，应用||AB 22||AF BF +:2AB x ky =-韦达定理、三角形面积公式得到关于的表达式，研究其最值即可.2ABF S k 【详解】A ：由三角形的周长为，正确； 221212||||||||||||||412AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==B ：由，故椭圆的离心率为，错误；3,2a c ===23ca =C ：要使最大，只需最小，根据椭圆性质知：当轴时22||12||AF BF AB -+=||AB AB x ⊥，故，正确； 2min 210||3b AB a ==22max 26(||)3AF BF +=D ：令直线，代入椭圆方程整理得：，:2AB x ky =-22(95)20250k y ky +--=所以，且，， 2900(1)0k ∆=+>22095A B k y y k +=+22595A By y k =-+而，2121||||602ABF A B S F F y y =⋅-== 令，则211t k =+≥260ABF S ==≤= 且仅当时等号成立，显然等号不成立， 45t =又在上递增，即时最小，此时最大为，正确.1625y t t=+[1,)+∞1t =y 2ABF S 203故选：ACD13．()(),164,20-∞-⋃【分析】先用配方法确定圆心和半径，两圆没有公共点，说明它们内含或者外离，找出圆心距和半径之间的关系可得参数的范围.【详解】圆：，圆： 1C ()2211x y ++=2C ()()222420x y m -+-=-两圆没有公共点，则两圆外离或内含.若两圆外离，则，∴ 12121C C r r >+=420m <<若两圆内含，则，∴. 12121C C r r <+=16m <-综上：. ()(),164,20m ∈-∞-⋃故答案为： ()(),164,20-∞-⋃14．12-【分析】利用乘法分配律得到，则来自于的444(2)(3)(3()2)3y x x x y ---=--3x y 4(3)y x -展开式，根据二项式定理即可求解.【详解】，444(2)(3)(3()2)3y x x x y ---=--的展开式中项为：，4(3)y x -3x y ()3334C 312y x x y ⋅⋅-=-的展开式中没有项，4)2(3x --3x y 故的展开式中含项的系数为， 4(2)(3)y x --3x y 12-故答案为：.12-15．##120.5【分析】由全概率公式求出考生答对的概率，再由条件概率公式求他答对条件下，他确实知道正确答案的概率.【详解】设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得A B ()()()141|()(|1,55452P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=故 ()()()115|.225P AB P B A P A ===故答案为：1217．(1)；2m =(2)或.1x =512430x y -+=【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解；（2）对直线的斜率是否存在讨论.若存在，设直线的方程为：，利用圆心l ()41y k x -=-到直线的距离即可求解. 【详解】（1）圆的标准方程为：， C 222(1)324m m x y ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭所以，圆心为. ,12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭由圆心在直线上，得.0x y +=2m =所以，圆的方程为：.C 22(1)(1)4x y ++-=（2）当直线的斜率不存在时，即方程为，此时直线与圆相切；l l 1x =当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：，l k l ()41y k x -=-即，40kx y k --+=由于直线和圆，l C 2解得：，代入整理可得. 512k =512430x y -+=所以，直线方程为：或.1x =512430x y -+=18．（1）；（2）；（3）588x =13n =【分析】（1）根据排列数公式求解；（2）由组合数的性质求解；（3）由分类加法计数原理和分步乘法计数原理计算．【详解】（1）由题意，且，，经验8!8!6(8)!(10)!x x <⨯--116(10)(9)x x <⨯--28x ≤≤N *x ∈算可解得； 8x =（2）22223222232223453345445C C C C C C C C C 1C C C C 1n n n +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+-3223551C C C 1C 1n n +=++⋅⋅⋅+-==- 原方程为，，满足题意，且是在且31363C n -=()()113646n n n +-=13n =31C n +*n ∈N 4n ≥时递增的，因此是唯一解；13n =（3）58 [从8个顶点中任取4个有C 种方法，从中去掉6个面和6个对角48面，所以有C －12＝58个不同的四面体．] 4819．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析，. 1925BD BC =【分析】(1)连接，，记两直线的交点为，证明，根据线面平行判定定1AC 1AC F 1//EF AB 理证明平面；1A B 1AC E (2)证明，，根据线面垂直判定定理证明平面；11AC A C ⊥1A C AB ⊥1A C ⊥1ABC (3) 以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，设A AC AB 1AA x y z ，由垂直关系列方程求出即可. ()101BD BC λλ=≤≤λ【详解】（1）连接，，记两直线的交点为，因为四边形是正方形，所以1AC 1AC F 11AAC C 为的中点，又点为的中点，所以，平面，平面F 1AC E BC 1//FE AB 1A B ⊄1ACE FE ⊂，所以平面；1AC E 1A B 1AC E（2）因为，，，所以，所以， 3AB =5BC =4AC =222BC AB AC =+AB AC ⊥又平面平面，平面平面，平面， ABC ⊥11AAC C ABC ⋂11AACC AC =AB ⊂ABC所以平面，因为平面，所以，因为四边形是AB ⊥11AAC C 1AC ⊂11AAC C 1AB A C ⊥11AAC C 正方形，所以，又，平面，平面，所以11AC A C ⊥1AC AB A = 1AC ⊂1ABC AB ⊂1ABC 平面；1A C ⊥1ABC （3）因为平面，，故以为原点，，，为，，AB ⊥11AAC C 1AC AA ⊥A AC AB 1AA x y z轴建立空间直角坐标系，则，，， ，()10,0,4A ()0,3,0B ()14,0,4C ()10,3,4A B =-u u u r ，()14,3,4BC =- 设在线段上存在点，使得，且， 则， 1BC D 1AD A B ⊥()101BD BC λλ=≤≤1BD BC λ= 所以，()()()14,3,44,33,04,3,0AD AB BD AB BC λλλλλ=+=+=-=+- 因为，若，则，解得：， ()10,3,4A B =-u u u r 1AD A B ⊥199160AD A B λλ==⋅-- 925λ=所以在线段上存在点，使得且. 1BC 364836,,252525D ⎛⎫ ⎪⎝⎭1AD A B ⊥1925BD BC =20．解 设事件A 表示“飞机被击落”，事件B i 表示“飞机被i 人击中”(i=0,1,2,3)，则B 0，构成样本空间的一个划分，且依题意，P(A|B 0)=0，P(A|B 1)=0.2,P(A|B 2)=0.6, P(A|B3) = 1。
江西高二上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知向量，那么（ ） ()()2,3,1,4,5,3AB AC == BC =A ．B ．C ．D ．()2,2,2---8153（，，）684（，，）222（，，）【答案】D【分析】利用向量减法的法则及坐标运算即可求解.【详解】因为，()()2,3,1,4,5,3AB AC ==所以. ()()42,53,312,2,2AC AB BC =-=---= 故选：D.2．直线l ：y ＝x ﹣6的倾斜角为（ ） A ．π B ．C ．D ．34π3π4π【答案】D【分析】直接由斜率求出倾斜角. 【详解】解：设倾斜角为， α则，又，tan 1α=(0,)απ∈4πα∴=故选：D.【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题.3．为了提高某次考试的真实性，命题组指派4名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题型进行改编，并且每人只能参与一种题型，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．72【答案】C【分析】根据题意，分2步进行分析：①将4名教师分成3组，②将分好的三组全排列，对应3种题型，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①将4名教师分成3组，有种分组方法，246C =②将分好的三组全排列，对应3种题型，有种情况，336A =则有种不同的分派方法；6636⨯=故选C ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．4．已知，为椭圆的左，右焦点，E 上一点P 满足，的平分线1F 2F 22:13xE y +=12PF PF ⊥12F PF ∠交x 轴于点Q ，则（ ） PQ =ABCD【答案】A【解析】由椭圆方程得出，列式分别求出，和1,a b c ===12PF PF ⊥2PF ，利用角平分线的性质，求出中对应角的正弦值、余弦值，最后利用正弦定理求出1PF 1Rt PF Q ∆.PQ 【详解】解：由椭圆，可知，22:13x E y+=222223,1,2a b c a b ===-=得，因为，1,a b c =12PF PF ⊥由椭圆定义可知，，， 122PF PF a +==122F F c ==则，得,2221212PF PF F F +=(8， 1-1因为的平分线交轴于点Q ， 12F PF∠x 在中， 1Rt PF Q∆11sin PF Q PF Q ∠=∠=所以 ()1111sin sin 45cos sin PQF PF Q PF QPF Q ∠=+∠=∠∠ 得，1sin PQF ∠==在中，由正弦定理得：，1PF Q∆111sin sin PF PQPQFPF Q=∠∠. 故选：A.【点睛】本题考查椭圆的定义和性质的应用，结合焦点三角形的边长和角，通过勾股定理和正弦定理求解，还考查学生的分析转化和解题能力.5．的展开式中的系数为（ ）10202111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2x A ．45 B ． C ．120 D ．45-120-【答案】A【分析】因为，故展开式特点可知的系数即为的的()1010202120211111x x x x =⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2x ()101x +2x 系数，再结合二项式定理通项公式即可求解 【详解】()1010202120211111x x x x =⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()()()()012101010101098202120212202110011111111x x x x x C C C C x x ⨯⨯+++++++=+ 故在的展开式中，的系数即为的的系数，10202111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭2x ()101x +2x 又展开式的通项为，令，故，()101x +10110rrr T C x-+=102r -=8r =所以的系数为.2x 81045C =故选：A.【点睛】本题考查三项展开式中指定项的系数，解决此类问题的关键在于把三项整合成两项的和，即将问题转化为的的系数，再利用二项展开式求相关项的系数，注意这些相关项的系数()101x +2x 与指定项的系数的关系.6．已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为0.9，充放电次数达到1000次的概率为0.36．若某用户的该品牌新能源汽车已经达到了800次的充放电，那么该用户的车充放电次数能够达到1000次的概率为（ ） A ．0.32 B ．0.36C ．0.4D ．0.54【答案】C【分析】由条件概率的计算公式求解即可【详解】设事件表示“充放电次数达到800次”，事件表示“充放电次数达到1000次”， A B 则，， ()0.9=P A ()0.36P AB =所以． ()0.36(|)0.4()0.9P AB P B A P A ===故选：C ．7．已知函数满足∶当时，， 当时，， 若，且()f x 1x ≤()31f x x =+1x >2()1f x x =-n m >，设，则( )()()f n f m =t n m =-A ．没有最小值B ． t t 1-C ．的最小值为D ．的最小值为t 43t 1712【答案】B【分析】根据已知条件，首先利用表示出，然后根据已知条件求出的取值范围，最后利用一n m n 元二次函数并结合的取值范围即可求解.n 【详解】∵且， 则，且，∴ ， 即 ()()f n f m =n m >1m £1n >2311m n +=-223n m -=由， 21014n n >⎧⎨<-≤⎩⇒1n <≤∴， 222211317(32)()333212n t n m n n n n -⎡⎤=-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦又∵1n <∴当， n =1t n m =-=当时，， 1n =413t n m =-=>故. t 1故选：B.8．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲､乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得﹣30分；选乙题答对得10分，答错得﹣10分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 A ．24 B ．36C ．40D ．44【答案】D【分析】由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：①两人得30分，余下两人得﹣30分，②一人得30分，余下三人得﹣10分，③一人得﹣30分，余下三人得10分，④一人得30分，一人得﹣30分，一人得10分，一人得﹣10分，⑤两人得10分，余下两人得﹣10分，根据分类计数原理得到结果.【详解】由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：（1）两人得30分，余下两人得﹣30分，有C 42=6种情况； （2）一人得30分，余下三人得﹣10分，有4种情况； （3）一人得﹣30分，余下三人得10分，有4种情况；(4)一人得30分，一人得﹣30分，一人得10分，一人得﹣10分，有A 43=24种情况； (5)两人得10分，余下两人得﹣10分，有C 42=6种情况. 根据分类计数原理得到共有6+4+4+24+6=44种情况. 故选：D.【点睛】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，本题中，要注意各种情况间的关系，避免重复､遗漏，属于基础题.二、多选题9．下列说法不正确的是（ ）A ．若，是两个空间向量，，则不一定共面a b a bB ．直线的方向向量，为直线上一点，点为直线外一点，则点l ()1,0,1n =- ()2,1,3A -l ()1,0,2P --l P 到直线l C ．若P 在线段AB 上，则()01AP t AB t =≤≤D ．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为 Oxyz ()1,2,3A xOy ()1,2,3A '--【答案】AD【分析】根据共面向量、空间向量点到线距离公式、共线向量的性质，结合点关于面对称点的特征逐一判断即可.【详解】因为任意空间两个向量总是共面的，所以选项A 说法不正确； 因为为直线上一点，点为直线外一点，()2,1,3A -l ()1,0,2P --l 所以有，()3,1,1PA =-cosPA 〈 sin ,PA n 〈〉===所以点P 到直线的距离为l sin ,PA 〈= 所以选项B 说法正确；因为若P 在线段AB 上，所以，因此选项C 说法正确；()01AP t AB t =≤≤因为在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为，所以选项D Oxyz ()1,2,3A xOy ()1,2,3A '-说法不正确， 故选：AD10．现有5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组（ ） A ．若报名没有任何限制，则共有种不同的安排方法 35B ．若报名没有任何限制，则共有种不同的安排方法53C ．若每个小组至少要有1人参加，则共有540种不同的安排方法 D ．若每个小组至少要有1人参加，则共有150种不同的安排方法 【答案】BD【分析】利用分步计数原理及排列组合分析即得.【详解】5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组，若报名没有任何限制，则每人都有3种选择，故共有种不同的安排方法，故B 正确，A 错误；53若每个小组至少要有1人参加，则先分组后排列，先将5名同学分为三组有种方法， 2213531522C C C C 25A +=再将分好的三组分到3个不同的课后服务小组有种情况，33A 6=所以每个小组至少要有1人参加，则共有种不同的安排方法，故C 错误，D 正确. 256150⨯=故选：BD.11．如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，正确的是（ ）A ．O －ABC 是正三棱锥B ．直线OB ∥平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45° D ．二面角D －OB －A 为45°【答案】ACD【分析】将图形放到正方体中，结合图形及异面直线、二面角的定义计算可得； 【详解】对于A ，如图为正四面体，为等边三角形， ABCD ABC ∴A 又、、两两垂直，面，． OA OB OC OA ∴⊥OBC OA BC ∴⊥过作底面的垂线，垂足为，连接交于， O ABC N AN BC M 因为，平面， ON BC ⊥,,,OA BC OA ON O OA ON ⊥=⊂ OAN 所以平面，因为平面， BC ⊥OAN AM ⊂OAN 所以，为中点，BC AM ⊥M ∴BC 同理可证，连接交于，则为中点，BN AC P P AC 为底面中心，是正三棱锥，故A 正确．N ∴ABC A O ABC ∴-将正四面体放入正方体中，如图所示，ABCD对于B ，因为，平面，所以与平面不平行，故B 错误； //OB AE AE ⋂ACD A =OB ACD 对于C ，显然与平行，所以为异面直线与所成的角，又，所以OB AE DAE ∠BD OA 45DAE =︒∠直线与所成的角是，故C 正确．BD OA 45︒对于D ，二面角即平面与下底面成的角， D OB A --FDBO AEBO 因为平面，平面， BO ⊥AOCF OF ⊂AOCF 所以，在正方形中，OB OF ⊥AEBO OB OA ⊥故为二面角的平面角，显然，故D 正确．． FOA ∠D OB A --45FOA ∠=︒故选：ACD【点睛】关键点睛：把正四面体放在正方体中是解题的关键.12．若椭圆上存在点P ，使得点P 到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（ ）A ．B ．C ．D ．2211615x y +=22189x y +=2212521x y +=2213336x y +=【答案】BC【分析】根据椭圆的定义，再结合条件即可得到答案。
江西省年高二数学上学期期末考试试题 文(含解析)
， ，即 ， ，即 ， 为方程 的两个不同根，
，
设 ， ，
时， ； 时， ，
是 的极小值点， 的极小值为： ，
又 趋向0时， 趋向 ； 趋向 时， 趋向 ，
时， 和 的图象有两个交点，方程 有两个解，
实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了对 倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
【分析】
求导函数，要保证函数 仅在 处有极值，必须满足 在 两侧异号．
【详解】由题意，
要保证函数 仅在x＝0处有极值，必须满足 在x＝0两侧异号，
所以要 恒成立，
由判别式有： ，∴
∴ ，
∴a的取值范围是
故选A．
【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
7.下列命题正确的是( )
【答案】A
【解析】
设直线 倾斜角为 ，则 .
若 ，得 ，可知倾斜角 大于 ；
由倾斜角 大于 得 ，或 ，即 或 ，
所以“ ”是“直线 的倾斜角大于 ”的充分而不必要条件，故选A.
的单调递减区间是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，可得 和定义域，由 ，即可求解函数的递减区间.
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是 .(t是参数，t可正、可负、可为0)
若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则
(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).
江西省高二上学期数学期末考试卷
江西省高二上学期数学期末考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分） (2019高三上·江西月考) 命题：曲线的焦点为；命题：曲线的离心率为；则下列为真命题的是（）A .B .C .D .2. （1分） (2018高二上·攸县期中) 若，则下列结论一定成立的是A .B .C .D .3. （1分） (2020高三上·贵溪月考) 不等式的解集是（）A .B .C .D . 或4. （1分） (2016高一上·尼勒克期中) 下列各式：① =a；②（a2﹣3a+3）0=1③ = ．其中正确的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （1分） (2019高二上·涡阳月考) 已知 ,且，则的最小值为（）A . 6B . 8C . 9D . 106. （1分） (2020高三上·合肥月考) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（）A . 32B . 16C .D .7. （1分）已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A .B .C .D .8. （1分）(2017·柳州模拟) 过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（）A .B .C .D .9. （1分） (2020高三上·南通期中) 两正数的等差中项为，等比中项为，且，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .10. （1分） (2020高二上·抚顺期中) 如图，在正方形中，E，F分别是的中点，D 是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使三点重合于点G，现给出下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF．其中正确的是（）A . ①和③B . ②和⑤C . ①和④D . ②和④二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2018高一下·台州期中) 已知向量 ,且 ,则 ________，________．12. （1分） (2017高二下·徐州期末) 用反证法证明“a，b∈N* ，若ab是偶数，则a，b中至少有一个是偶数”时，应假设________．13. （1分） (2019高二上·文昌月考) 已知圆，抛物线与相交于两点，，则抛物线的方程为________．14. （1分） (2019高三上·杭州月考) 一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为，则该几何体表面积为________，该几何体的外接球半径为________.15. （1分） (2020高二上·百色期末) 如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，，是的中点，则与平面所成角的正弦值为________.16. （1分） (2019高二下·温州期末) 已知函数，若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是________17. （1分） (2019高二下·富阳月考) 已知椭圆的离心率为，则实数 ________．三、解答题 (共5题；共11分)18. （2分）某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：问该公司如何安排甲、乙二种柜的日产量可获最大利润，并且最大利润是多少？工艺要求产品甲产品乙生产能力/（台/天）制白坯时间/天612120油漆时间/天8464单位利润（元）202419. （2分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E 是BC中点，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为．（1）当EH与平面PAD所成角的正切值为时，求证：EH∥平面PAB；（2）在（2）的条件下，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20. （3分） (2019高二上·葫芦岛月考) 已知椭圆：（）的离心率为，且经过点，为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求的面积.21. （2分） (2019高三上·安徽月考) 如图（1），在平面四边形ABCD中，AC是BD的垂直平分线，垂足为E ，AB中点为F ，，，，沿BD将折起，使C至位置，如图（2）.（1）求证：；（2）当平面平面ABD时，求直线与平面所成角的正弦值.22. （2分） (2019高二上·南宁期中) 圆与轴交于、两点（点在点的左侧），、是分别过、点的圆的切线，过此圆上的另一个点（点是圆上任一不与、重合的动点）作此圆的切线，分别交、于、两点，且、两直线交于点．（1）设切点坐标为，求证：切线的方程为．（2）设点坐标为，试写出与的关系表达式（写出详细推理与计算过程）．参考答案一、单选题 (共10题；共10分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共7分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共11分)答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
江西省抚州市高二数学上学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
江西省抚州市2015～2016学年度高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题1．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n2．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．53．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 54根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元5．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A．15 B．105 C．120 D．7206．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使得B．sin2x+≥3（x≠kπ，k∈Z）C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件7．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．8．椭圆上有n个不同的点P1，P2，P3，…，P n，椭圆的右焦点F，数列{|P n F|}是公差大于的等差数列，则n的最大值为（）A．198 B．199 C．200 D．2019．“函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点”是“f（a）•f（b）＜0”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要 D．非充分非必要10．设x1、x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x1*x2=（ x1+x2）2﹣（ x1﹣x2）2，若x≥0，则动点P（x，）的轨迹是（）A．圆B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分11．已知F2，F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆内，则双曲线的离心率e为（）A．（，3）B．（3，+∞）C．（，2）D．（2，+∞）12．如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则P﹣ABCD体积的最大值是（）A．B．16 C．48 D．144二.填空题13．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．14．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则= ．15．观察下面的算式：23=3+533=7+9+1143=13+15+17+19…，根据以上规律，把m3（m∈N*且m≥2）写成这种和式形式，则和式中最大的数为．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，都存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=e x﹣2；④M={（x，y）|y=sinx+1．其中是“垂直对点集”的序号是．三.解答题17．已知命题p：不等式a2﹣5a﹣3≥3；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+11a≤0，若¬p且q是真命题，求a的取值范围集合．18．一个盒子中装有5个编号依次为1、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球．（1）求事件A=“取出球的号码之和不小于6”的概率；（2）设第一次取出的球号码为x，第二次取出的球号码为y，求事件B=“点（x，y）落在直线 y=x+1左上方”的概率．19．已知数列，（1）计算S1，S2，S3，S4；（2）猜想S n的表达式，并用数学归纳法证明．20．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为x的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．22．已知椭圆C：离心率e=，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．江西省抚州市2015～2016学年度高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；概率与统计．【分析】求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故选：B．【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．3．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+【考点】相等向量与相反向量．【分析】由题意可得=+=+=+[﹣]，化简得到结果．【解答】解：由题意可得=+=+=+=+（﹣）=+（﹣）=﹣++，故选A．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 54根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．【解答】解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选：B．【点评】本题考查线性回归方程．考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个基础题，这个原题在2011年山东卷第八题出现．5．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A．15 B．105 C．120 D．720【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型．【分析】根据题中的流程图，依次求出p和k的值，根据k的值判断是否符合判断框中的条件，若不符合，则结束运行，输出p．【解答】解：输入N=6，则k=1，p=1，第一次运行p=1×1=1，此时k=1＜6，第二次运行k=1+2=3，p=1×3=3；第三次运行k=3+2=5，p=3×5=15；第四次运行k=5+2=7，P=15×7=105；不满足条件k＜6，程序运行终止，输出P值为105，故选B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，利用程序框图中框图的含义运行解答．6．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使得B．sin2x+≥3（x≠kπ，k∈Z）C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】A．∀x∈R，e x＞0，即可判断出正误；B．取x=，则sin2x+=1﹣2=﹣1＜3，即可判断出正误；C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，即可判断出正误；D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，即可判断出正误．【解答】解：A．∀x∈R，e x＞0，因此是假命题；B．取x=，则sin2x+=1﹣2=﹣1＜3，因此是假命题；C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，因此共有3个，是假命题；D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，因此a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，是真命题．故选：D．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数零点的判定方法、不等式的性质、指数函数的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．8．椭圆上有n个不同的点P1，P2，P3，…，P n，椭圆的右焦点F，数列{|P n F|}是公差大于的等差数列，则n的最大值为（）A．198 B．199 C．200 D．201【考点】椭圆的应用；等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】|P1F|=|a﹣c|=1，|P n F|=a+c=3，|P n F|=|P1F|+（n﹣1）d．再由数列{|P n F|}是公差大于的等差数列，可求出n的最大值．【解答】解：|P1F|=|a﹣c|=1，|P n F|=a+c=3，|P n F|=|P1F|+（n﹣1）d．若d=，n=201，d＞，n＜201．故选C．【点评】本题考查椭圆的应用和等差数列的性质，解题时要认真审题，仔细解答．9．“函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点”是“f（a）•f（b）＜0”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要 D．非充分非必要【考点】函数零点的判定定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】通过举反例可得充分性不成立，通过举反例可得必要性不成立，从而得出结论．【解答】解：由“函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点”不能推出“f（a）•f（b）＜0”，如f（x）=x2﹣1在（﹣2，2）上有零点，但f（﹣2）•f（2）＞0，故成分性不成立．由“f（a）•f（b）＜0”不能推出“函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点”，如f（x）=满足f（﹣1）•f（1）＜0，但f（x）=在（﹣1，1）上没有零点，故必要性不成立．故选D．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．10．设x1、x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x1*x2=（ x1+x2）2﹣（ x1﹣x2）2，若x≥0，则动点P（x，）的轨迹是（）A．圆B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【考点】轨迹方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】设P（x1，y1），欲求出动点P的轨迹方程，只须求出x，y的关系式即可，结合新定义运算，即可求得动点P（x，）的轨迹方程，从而得出其轨迹．【解答】解：∵x1*x2=（x1+x2）2﹣（x1﹣x2）2，∴==2．则P（x，2）．设P（x1，y1），即消去x得y12=4ax1（x1≥0，y1≥0）．故点P的轨迹为抛物线的一部分．故选D．【点评】本题考查轨迹方程，利用的是直接法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．11．已知F2，F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆内，则双曲线的离心率e为（）A．（，3）B．（3，+∞）C．（，2）D．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得△MF1F2为钝角三角形，运用三边关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为钝角，∴△MF1F2为钝角三角形，∴4c2＞c2+4b2∴3c2＞4（c2﹣a2），∴c2＞4a2，∴c＞2a，∴e＞2．故选：D．【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12．如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则P﹣ABCD体积的最大值是（）A．B．16 C．48 D．144【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】本题需要借助直二面角的相关知识研究三角形的几何特征，由题设条件知两个直角三角形△PAD与△PBC是相似的直角三角形，可得出PB=2PA，作PD⊥AB，垂足为D，令AD=t，将四棱锥的体积用t表示出来，由二次函数求最值可得出正确选项．【解答】解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．作PM⊥AB，垂足为M，则PM⊥β，令AM=t∈R，在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，PM是公共边及PB=2PA，∴PA2﹣t2=4PA2﹣（6﹣t）2 ，解得PA2=12﹣4t．∴PM=，即四棱锥的高为，底面为直角梯形，S==36∴四棱锥P﹣ABCD的体积V==12=48，即四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为48，故选C．【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解答本题，关键是将由题设条件得出三角形的性质、：两邻边的值有2倍的关系，第三边长度为6，引入一个变量，从而利用函数的最值来研究体积的最值，是将几何问题转化为代数问题求解的思想，属中档题．二.填空题13．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．【考点】等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．【专题】等差数列与等比数列；概率与统计．【分析】先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题14．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则= ．【考点】类比推理．【分析】平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的外接球和内切球的半径之比是 3：1，从而得出正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2之比．【解答】解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比是 3：1故正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2之比等于==．故答案为：．【点评】主要考查知识点：类比推理，简单几何体和球，是基础题．15．观察下面的算式：23=3+533=7+9+1143=13+15+17+19…，根据以上规律，把m3（m∈N*且m≥2）写成这种和式形式，则和式中最大的数为m2﹣m+1 ．【考点】归纳推理．【专题】规律型；归纳法；推理和证明．【分析】根据23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，可知从23起，m3的分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首数为m2﹣m+1．【解答】解：根据23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，从23起，m3的分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首数为m2﹣m+1，故答案为：m2﹣m+1【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，都存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=e x﹣2；④M={（x，y）|y=sinx+1．其中是“垂直对点集”的序号是③④．【考点】点到直线的距离公式．【专题】导数的综合应用．【分析】由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．【解答】解：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．①M={（x，y）|y=}，假设集合M是“垂直对点集”，则存在两点，，满足=﹣1，化为=﹣1，无解，因此假设不成立，即集合M不是“垂直对点集”，②M={（x，y）|y=log2x}，（x＞0），取（1，0），则不存在点（x2，log2x2）（x2＞0），满足1×x2+0=0，因此集合M不是“垂直对点集”；③M={（x，y）|y=e x﹣2}，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”；④M={（x，y）|y=sinx+1，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”．综上可得：只有③④是“垂直对点集”．故答案为：③④．【点评】本题考查了新定义“垂直对点集”、直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三.解答题17．已知命题p：不等式a2﹣5a﹣3≥3；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+11a≤0，若¬p且q是真命题，求a的取值范围集合．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】根据不等式的性质分别求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．【解答】解：由a2﹣5a﹣3≥3得a2﹣5a﹣6≥0，解得a≥6或a≤﹣1，即p：a≥6或a≤﹣1，￢p：﹣1＜a＜6，若只有一个实数x满足不等式x2+2ax+11a≤0，则判别式△=（2a）2﹣4×11a=0，即2a2﹣11a=0，解得a=0或a=，若若¬p且q是真命题，则￢p，q都为真命题，则a=0或a=，即a的取值范围集合为{，0}．【点评】本题主要考查复合命题之间的应用，根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键．18．一个盒子中装有5个编号依次为1、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球．（1）求事件A=“取出球的号码之和不小于6”的概率；（2）设第一次取出的球号码为x，第二次取出的球号码为y，求事件B=“点（x，y）落在直线 y=x+1左上方”的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）列表求出基本事件共25个，事件A共包括15个基本事件，由此能求出取出球的号码之和不小于6的概率．（2）基本事件共25个，求出事件B=“点（x，y）落在直线 y=x+1左上方”包含的基本事件个子数，由此能求出点（x，y）落在直线 y=x+1左上方的概率．【解答】解：（1）列表如下：次数 1 2 3 4 51 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）由上表可知基本事件共25个，事件A=“取出球的号码之和不小于6”，事件A共包括15个基本事件，故所求事件A的概率为P（A）==．（2）由上表可知基本事件共25个，事件B=“点（x，y）落在直线 y=x+1左上方”，事件B共包括有（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5）（3，5）共6个基本事件，故所求的概率为P（B）=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．已知数列，（1）计算S1，S2，S3，S4；（2）猜想S n的表达式，并用数学归纳法证明．【考点】数列的求和．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）直接计算（2）由（1）猜想并进行证明【解答】解：（1）（2）证明：①当n=1时，，结论成立②假设当n=k时成立，结论成立，即当n=k+1时，=∴当n=k+1时结论成立∴对于任意的k∈N+结论都成立【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，用归纳法证明数学命题时的基本步骤：（1）检验n=1成立（2）假设n=k时成立，由n=k成立推导n=k+1成立，要注意由归纳假设到检验n=k+1的递推．20．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为x的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意先分段写出，当x∈[100，130）时，当x∈[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（Ⅱ）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤x≤150．再由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．（Ⅲ）利用利润T的数学期望=各组的区间中点值×该区间的频率之和即得．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，当x∈[100，130）时，T=500x﹣300（130﹣x）=800x﹣39000，当x∈[130，150）时，T=500×130=65000，∴T=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤x≤150．由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．（Ⅲ）依题意可得T的分布列如图，T 45000 53000 61000 65000p 0.1 0.2 0.3 0.4所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400．【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是中档题．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）取AC中点O，连结PO，BO，证明OP⊥平面ABC，利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）建立如图所示的空间直角坐标系．求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）取AC中点O，连结PO，BO，∵PA=PC，AB=BC，∴OP⊥AC，OB⊥AC，又∵平面APC⊥平面ABC，∴OP⊥平面ABC…，∴OP⊥OB，∴OP2+OB2=PB2，即16﹣OC2+4﹣OC2=16，得OC=，则OA=，OB=，OP=，AC=2，…∴S△ABC==2．∴V P﹣ABC==．…（2）建立如图所示的空间直角坐标系．得O（0，0，0），A（0，﹣，0），B（，0，0），C（0，，0），P（0，0，），…∴=（﹣），=（﹣，0，），设平面PBC的法向量=（x，y，z）．则，取z=1，得=（，，1）．∵=（），∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．…【点评】本题考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查线面角，正确运用向量方法是关键．22．已知椭圆C：离心率e=，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用短轴长及离心率即得椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），由（I）可得直线PA、QA的方程，从而可得以MN 为直径的圆，化简后令y=0，则x=，即得结论．【解答】（Ⅰ）解：由短轴长为，得b=，由=，得a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）结论：以MN为直径的圆过定点F（，0）．证明如下：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴M（0，），直线QA方程为：，∴N（0，），以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，则x2﹣2=0，解得x=．∴以MN为直径的圆过定点F（，0）．【点评】本题考查椭圆，及其与直线的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．。
江西省宜丰中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析
江西省宜丰中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）一，选择题(每小题5分,共12小题60分)1.已知命题,下面命题中正确地是( )A. B.C. D.【结果】C【思路】试题思路：命题,使地否定为,使,故选C．考点：特称命题地否定．2.若,且,则实数地值是（）A. B. C. D.【结果】D【思路】试题思路：由得,,∴,故．考点：向量垂直地充要款件．3.对于简单随机抽样,每个个体每次被抽到地机会（ ）A. 相等B. 不相等C. 无法确定D.与抽取地次数相关【结果】A【思路】【思路】依据简单随机抽样地概念,直接选出正确选项.【详解】依据简单随机抽样地概念可知,每个个体每次被抽到地机会相等,故选A.【点睛】本小题主要考查简单随机抽要地概念,属于基础题.4.如图,在三棱柱中,为地中点,若,则下面向量与相等地是（ ）A. B. C. D.【结果】A【思路】【思路】利用空间向量加法和减法地运算,求得地表达式.【详解】由于是地中点,所以.故选A.【点睛】本小题主要考查空间向量加法和减法地运算,考查化归与转化地数学思想方式,属于基础题.5.如图是2013年某大学自主招生面试环节中,七位评委为某考生打出地分数地茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据地平均数和众数依次为（）A. B. C. D.【结果】A【思路】【思路】先去掉最高分和最低分,然后计算出平均数和众数.【详解】去掉最高分,去掉最低分,剩余数据为,故众数为,平均数为,故选A.【点睛】本小题主要考查平均数地计算,考查众数地识别,考查阅读理解能力,属于基础题. 6.计算机执行下面地算法步骤后输出地结果是( )A. 4,－2B. 4,1C. 4,3D. 6,0【结果】B【思路】【思路】依据程序运行地顺序,计算出输出地结果.【详解】运行程序,,,,输出,故选B.【点睛】本小题主要考查计算程序输出结果,考查程序语言地识别,属于基础题.7.过点且与抛物线只有一个公共点地直线有（）A. 1款B. 2款C. 3款D. 4款【结果】C【思路】【思路】画出图像,依据图像判断符合题意地公共点个数.【详解】画出图像如下图所示,由图可知,这两款直线与抛物线只有一个公共点,另外过点还可以作出一款与抛物线相切地直线,故符合题意地直线有款,故选C.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线地位置关系,考查直线和抛物线交点个数问题,属于基础题.8.一个均匀地正方体玩具地各面上分别标以数(俗称骰子),将该玩具向上抛掷一次,设事件A表示向上地一面出现奇数(指向上地一面地数是奇数),事件B表示向上地一面地数不超过3,事件C表示向上地一面地数不少于4,则（）A. A与B是互斥事件 B. A与B是对立事件C. B与C是对立事件D. A与C是对立事件【结果】C【思路】【思路】分别求得事件所包含地基本事件,由此判断正确选项.【详解】依题意可知,,.故不是互斥事件,不是对立事件,是对立事件,不是对立事件.故选C.【点睛】本小题主要考查互斥事件和对立事件地概念,属于基础题.9.有下面调查方式：①学校为了解高一学生地数学学习情况,从每班抽2人进行座谈。
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江西省高二上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高二上·杭州期中) 直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2018高二上·嘉兴期中) 已知直线，，则与之间的距离是（）
A .
B .
C . 1
D .
3. （2分）若点在椭圆上，，分别是该椭圆的两焦点，且，则
的面积是（）
A . 1
B . 2
C .
D .
4. （2分）过点P(4,1)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）
A . x+y=5
B . x-y=3
C . x-y=3或x=4y
D . x+y=5或x=4y
5. （2分） (2015高二上·河北期末) 若椭圆 + =1的离心率为，则m=（）
A .
B . 4
C . 或4
D .
6. （2分）已知过点A（﹣2，m）和点B（m，4）的直线为l1 ， l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0．若l1∥l2 ，l2⊥l3 ，则实数m+n的值为（）
A . ﹣10
B . ﹣2
C . 0
D . 8
7. （2分） (2017高二上·宜昌期末) 已知圆C：x2+y2﹣2x﹣6y+9=0，过x轴上的点P（1，0）向圆C引切线，则切线长为（）
A . 3
B . 2
C . 2
D . 3
8. （2分）椭圆的长轴为A1A2 ，短轴为B1B2 ，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使A1点在平面B1A2B2上的射影恰好是该椭圆的右焦点，则此二面角的大小为（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 75°
9. （2分）圆x2+y2+2x﹣4y=0的半径为（）
A . 2
B .
C .
D . 5
10. （2分） (2019高一下·阳春期末) 直线：与圆的位置关系为（）
A . 相离
B . 相切
C . 相交
D . 无法确定
11. （2分）设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(2—x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式组’则m2+n2的取值范围是（）
A . (3,7)
B . (9,25)
C . (13,49)
D . (9,49)
12. （2分）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）过点（1，3）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是________
14. （1分） (2019高二上·湖北期中) 过点且在轴和轴上的截距相等的直线方程是
________.
15. （1分）已知过点M（﹣3，0）的直线l被圆x2+（y+2）2=25所截得的弦长为8，那么直线l的方程为________
16. （1分） (2020高二下·成都月考) 双曲线的右焦点分别为F ，圆M的方程为 .若直线l与圆M相切于点，与双曲线C交于A ， B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为________.
三、解答题 (共8题；共60分)
17. （10分） (2017高一上·嘉峪关期末) △ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y﹣4=0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y﹣3=0．
（1）求直线AB的方程，并把它化为一般式；
（2）求直线BC的方程，并把它化为一般式．
18. （5分）在平面六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若=，=，=， E，F分别为BB1和AD的中点，若=u+v+μ，求u，v，μ的值．
19. （10分） (2019高二上·怀仁期中) 已知圆与直线 .
（1）若直线与圆没有公共点，求的取值范围；
（2）若直线与圆相交于两点，为原点，是否存在实数，满足，若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.
20. （5分）(2016·肇庆模拟) 在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O．
（Ⅰ）证明：PC⊥BD
（Ⅱ）若E是PA的中点，且△ABC与平面PAC所成的角的正切值为，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．
21. （10分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段DD1 ，BD的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC1D1；
（2）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，求异面直线EF与BC所成的角的大小．
22. （5分） (2019高一下·西城期末) 已知圆心为的圆经过原点．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线与圆交于，两点，求△ 的面积．
23. （5分）(2019·和平模拟) 如图,正方形与梯形所在的平面互相垂直，
， ,点在线段上.
(Ⅰ) 若点为的中点，求证：平面；
(Ⅱ) 求证：平面平面；
(Ⅲ) 当平面与平面所成二面角的余弦值为时，求的长.
24. （10分） (2017高二上·太原月考) 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,右顶点为 ,设点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
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答案：3-1、
考点：
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答案：4-1、考点：
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答案：5-1、考点：
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答案：6-1、考点：
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答案：7-1、
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答案：8-1、考点：
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答案：9-1、考点：
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答案：10-1、考点：
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答案：11-1、考点：
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答案：12-1、
考点：
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二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
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答案：14-1、考点：
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答案：15-1、考点：
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答案：16-1、
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三、解答题 (共8题；共60分)
答案：17-1、
答案：17-2、考点：
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答案：18-1、考点：
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答案：19-1、
答案：19-2、考点：
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答案：20-1、
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答案：21-1、
答案：21-2、考点：
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答案：22-1、考点：
解析：
考点：
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答案：24-1、
答案：24-2、考点：
解析：。