运筹学大作业(线性规划问题)
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在实际生活中，很多问题都可以归结为线性规划问题，例如资源分配、生产计划、运输调度等。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法1、图解法对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以使用图解法来求解。
其步骤如下：（1）画出约束条件所对应的可行域。
（2）画出目标函数的等值线。
（3）根据目标函数的优化方向，平移等值线，找出最优解所在的顶点。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件所对应的可行域：对于$x ＋ 2y ＼leq 8$，当$x ＝ 0$时，＄y ＝ 4$；当$y ＝ 0$时，＄x ＝8$，连接这两点得到直线$x ＋2y ＝8$，并取直线下方的区域。
运筹学 刁在筠 部分作业的参考答案线性规划部分
第二章 线性规划73P 4. 将下面的线性规划问题化成标准形式12312312312max 2..236230316x x x s t x x x x x x x x −+⎧⎪−+≥⎪⎪+−≤⎨⎪≤≤⎪⎪−≤≤⎩解：将max 化为 min ， 3x 用45x x −代替，则1245124512451245min 2()..23()62()30316,0x x x x s t x x x x x x x x x x x x −+−−⎧⎪−+−≥⎪⎪+−−≤⎪⎨≤≤⎪⎪−≤≤⎪≥⎪⎩令221x x ′=+，则1245124512451245min12()..2(1)3()62(1)()30307,0x x x x s t x x x x x x x x x x x x ′−+−−−⎧⎪′−−+−≥⎪⎪′+−−−≤⎪⎨≤≤⎪⎪′≤≤⎪≥⎪⎩将线性不等式化成线性等式，则可得原问题的标准形式12451245612457182912456789min221..23342437,,,,,,,0x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ′−+−+−⎧⎪′−+−−=⎪⎪′+−++=⎪⎨+=⎪⎪′+=⎪′≥⎪⎩73P 5、用图解法求解下列线性规划问题：(1) 121212min 3..206122x x s t x x x x +⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩解：图2.1的阴影部分为此问题的可行区域.将目标函数的等值线123x x c +=(c 为常数)沿它的负法线方向()13T−−，移动到可行区域的边界上.于是交点T），（812就是该问题的最优解，其最优值为36.75P 16. 用单纯形法求解下列线性规划问题：(1) 123123123123min 2..360210200,1,2,3j z x x x s t x x x x x x x x x x j ⎧=−−+⎪++≤⎪⎪−+≤⎨⎪+−≤⎪⎪≥=⎩解：将此问题化成标准形式123123412351236min 2..360210200,1,2,3,4,5,6j z x x x s t x x x x x x x x x x x x x j ⎧=−−+⎪+++=⎪⎪−++=⎨⎪+−+=⎪⎪≥=⎩以456,,x x x 为基变量，可得第一张单纯形表为以1x 为进基变量，5x 为离基变量旋转得以2x 为进基变量，6x 为离基变量旋转得1x 2x 3x 4x 5x 6x RHS z2 1 -1 0 000 4x 31 1 1 0060 5x 1-121010 6x 11 -1 0 01201x 2x 3x 4x 5x 6x RHS z0 3 -5 0 -20-204x 0 4 -5 1 -3030 1x 1-1 2 0 1010 6x 02-3-11101 注意单纯形表的格式！2 要用记号把转轴元标出来 3要记住在单纯形表的左边，用进基变量代替离基变量注（零行元素的获得）：先将目标函数化成求最小值的形式，再把所有变量移到等式左边，常数移到等式右边。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。
在实际应用中，线性规划可以用于解决各种决策问题，如生产计划、资源分配、投资组合等。
以下是一个线性规划问题的示例：问题描述：某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每件需要2小时的加工时间，产品B每件需要3小时的加工时间。
每天的加工时间总共有16个小时。
产品A的利润为100元/件，产品B的利润为150元/件。
工厂的目标是最大化每天的总利润。
解决步骤：1. 定义变量：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 建立目标函数：目标函数是每天的总利润，即：Z = 100x + 150y。
3. 建立约束条件：a) 加工时间约束：2x + 3y ≤ 16，表示每天的加工时间不能超过16小时。
b) 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0，表示产品的生产数量不能为负数。
4. 求解最优解：将目标函数和约束条件带入线性规划模型，使用线性规划算法求解最优解。
最优解及分析：经过计算，得到最优解为x = 4，y = 4，此时总利润最大为100 * 4 + 150 * 4 = 1000元。
通过最优解的分析可知，工厂每天应生产4件产品A和4件产品B，才能达到每天最大利润1000元。
同时，由于加工时间约束，每天的加工时间不能超过16小时，这也是生产数量的限制条件。
此外，也可以通过灵敏度分析来了解生产数量的变化对最优解的影响。
例如，如果产品A的利润提高到120元/件，而产品B的利润保持不变，那么最优解会发生变化。
在这种情况下，最优解为x = 6，y = 2，总利润为120 * 6 + 150 * 2 = 960元。
这表明，产品A的利润提高会促使工厂增加产品A的生产数量，减少产品B 的生产数量，以获得更高的总利润。
总结：线性规划是一种重要的数学优化方法，可以用于解决各种实际问题。
通过建立目标函数和约束条件，可以将实际问题转化为数学模型，并通过线性规划算法求解最优解。
运筹学实验报告-线性规划
商学院课程实验报告课程名称 运筹学 专业班级 金融工程班 姓 名 指导教师 成 绩2018年 9 月 20日学号：表2 所需营业员统计表星期一二三四五六日需要人数300 300350400480600 5503.建立线性规划模型设x j（j=1，2，…，7）为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员数量，则这个问题的线性规划问题模型为minZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7{x1+x4+x5+x6+x7≥300 x1+x2+x5+x6+x7≥300 x1+x2+x3+x6+x7≥350 x1+x2+x3+x4+x7≥400 x1+x2+x3+x4+x5≥480x2+x3+x4+x5+x6≥600x3+x4+x5+x6+x7≥550x≥0,j=1,2,…,7（二）操作步骤1.将WinQSB安装文件复制到本地硬盘，在WinQSB文件夹中双击setup.exe。
图1 WinQSB文件夹2.指定安装软件的目标目录，安装过程中输入用户名和单位名称（任意输入），安装完毕之后，WinQSB菜单自动生成在系统程序中，熟悉软件子菜单内容和功能，掌握操作命令。
图2 目标目录3.启动线性规划和整数规划程序。
点击开始→程序→WinQSB→Linear and Lnteger Programming，屏幕显示如图3所示的线性规划和整数规划界面。
图3 线性规划4.建立新问题或打开磁盘中已有文件。
按图3所示操作建立或打开一个LP问题，或点击File→New Problem建立新问题。
点击File→Load Problem打开磁盘中的数据文件，点击File→New Problem，出现图4所示的问题选项输入界面。
图4 建立新问题5.输入数据。
在选择数据输入格式时，选择Spreadsheet Matrix Form则以电子表格形式输入变量系统矩阵和右端常数矩阵，是固定格式，如图5所示。
选择Normal Model Form则以自由格式输入标准模型。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
在线性规划中，我们需要确定一组决策变量的取值，以使得目标函数达到最大或最小值，同时满足一组线性约束条件。
下面我将为您提供一个线性规划题目及其答案，以便更好地理解线性规划的应用。
题目：某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为5元，每单位产品B的利润为8元。
公司有两个车间可供生产，车间1每天生产产品A需要2小时，产品B需要1小时；车间2每天生产产品A需要1小时，产品B需要3小时。
车间1每天可工作8小时，车间2每天可工作10小时。
公司希望确定每个车间生产的产品数量，以使得利润最大化。
解答：首先，我们需要定义决策变量。
设x1为车间1生产的产品A的数量，x2为车间1生产的产品B的数量，x3为车间2生产的产品A的数量，x4为车间2生产的产品B的数量。
其次，我们需要建立目标函数。
公司的利润可以表示为：Profit = 5x1 + 8x2 +5x3 + 8x4。
然后，我们需要建立约束条件。
根据车间1和车间2的工作时间限制，我们可以得到以下两个约束条件：2x1 + x2 ≤ 8 （车间1的工作时间限制）x3 + 3x4 ≤ 10 （车间2的工作时间限制）另外，由于产品数量不能为负数，我们还需要添加非负约束条件：x1, x2, x3, x4 ≥ 0综上所述，我们得到了以下线性规划模型：Maximize Profit = 5x1 + 8x2 + 5x3 + 8x4Subject to:2x1 + x2 ≤ 8x3 + 3x4 ≤ 10x1, x2, x3, x4 ≥ 0接下来，我们可以使用线性规划求解方法来求解该问题。
通过求解器或手动计算，我们可以得到最优解：x1 = 2，x2 = 4，x3 = 1，x4 = 2利润最大化为：Profit = 5(2) + 8(4) + 5(1) + 8(2) = 58元。
通过以上求解过程，我们可以得出结论：为了使公司的利润最大化，车间1应该生产2个单位的产品A和4个单位的产品B，车间2应该生产1个单位的产品A和2个单位的产品B，此时公司的利润为58元。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于寻觅最优解决方案。
在实际生活和工作中，线性规划问题时常浮现，通过对问题进行建模和求解，可以得到最优的决策方案。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出详细的答案解析。
一、生产规划问题1.1 生产规划问题描述：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
每天工厂有8小时的生产时间，产品A每单位需要2小时，产品B每单位需要3小时。
问工厂每天应该生产多少单位的产品A 和产品B，才干使利润最大化？1.2 生产规划问题答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y，则目标函数为Max Z=100x+150y，约束条件为2x+3y≤8，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=2，y=2，最大利润为400元。
二、资源分配问题2.1 资源分配问题描述：某公司有两个项目需要投资，项目A每万元投资可获得利润2万元，项目B每万元投资可获得利润3万元。
公司总共有100万元的投资额度，问如何分配投资额度才干使利润最大化？2.2 资源分配问题答案：设投资项目A的金额为x万元，投资项目B的金额为y万元，则目标函数为Max Z=2x+3y，约束条件为x+y≤100，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=40，y=60，最大利润为240万元。
三、运输问题3.1 运输问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个销售点的需求量分别为100、150、200，每一个仓库的库存量分别为80、120。
仓库到销售点的运输成本如下表所示，问如何安排运输方案使得总成本最小？3.2 运输问题答案：设从仓库i到销售点j的运输量为xij，则目标函数为Min Z=∑(i,j) cij*xij，约束条件为每一个销售点的需求量得到满足，每一个仓库的库存量不超出。
通过线性规划方法求解，得出最优的运输方案，使得总成本最小。
四、投资组合问题4.1 投资组合问题描述：某投资者有三种投资标的可选择，预期收益率和风险如下表所示。
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种运筹学方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，以帮助读者更好地理解和应用线性规划方法。
一、生产计划问题1.1 最大利润问题在生产计划中，一个常见的线性规划问题是最大利润问题。
假设一个公司有多个产品，每个产品的生产和销售都有一定的成本和利润。
我们需要确定每个产品的生产数量，以最大化整体利润。
1.2 生产能力限制另一个常见的问题是生产能力限制。
公司的生产能力可能受到设备、人力资源或原材料等方面的限制。
我们需要在这些限制下，确定每个产品的生产数量，以实现最大化的利润。
1.3 市场需求满足除了考虑利润和生产能力，还需要考虑市场需求。
公司需要根据市场需求确定每个产品的生产数量，以满足市场需求，并在此基础上最大化利润。
二、资源分配问题2.1 资金分配问题在资源分配中，一个常见的线性规划问题是资金分配问题。
假设一个公司有多个项目，每个项目需要一定的资金投入，并有相应的回报。
我们需要确定每个项目的资金分配比例，以最大化整体回报。
2.2 人力资源分配另一个常见的问题是人力资源分配。
公司的人力资源可能有限，而各个项目对人力资源的需求也不同。
我们需要在人力资源有限的情况下，确定每个项目的人力资源分配比例，以实现最大化的效益。
2.3 时间分配除了资金和人力资源，时间也是一种有限资源。
在资源分配中，我们需要合理安排时间，以满足各个项目的需求，并在此基础上实现最大化的效益。
三、运输问题3.1 最小成本运输问题在运输领域，线性规划可以用于解决最小成本运输问题。
假设有多个供应地和多个需求地，每个供应地和需求地之间的运输成本不同。
我们需要确定每个供应地和需求地之间的货物运输量，以实现最小化的总运输成本。
3.2 运输能力限制另一个常见的问题是运输能力限制。
运输公司的运输能力可能受到车辆数量、运输距离或运输时间等方面的限制。
西安交通大学MBA运筹学作业,关于线性规划的作业题
《运筹学》书上有关线性规划的作业题目一、将给出的线性规划问题化为标准型和对偶型两种类型： Min Z = X 1 + 3X 2 + 2X 3 + 4X 42X 1 + 3X 2 - X 3 + X 4 = 10 S.t. 3X 1 - 2X 2 + 2X 3 - X 4 ≥ -5X 1 - X 2 + X 3 - X 4 ≤ -3X 1≥0 ， X 2≤ 0， X 3 ≥0 ，X 4符号不限解：（1）令444x x x '''=-，其中440,0x x '''≥≥， 在第二个约束不等式左边加上松弛变量5x ， 在第三个约束不等式左边减去松弛变量6x ， 令z z '=-，化min z 为max z '，则标准型为：12344max 3244z x x x x x ''''=+++- 123441234451234461234456231032215..30,0,,,,,0x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x '''+-+-=⎧⎪'''-+-++=⎪⎨'''-+-+-=-⎪⎪'''≥≤≥⎩（2）设对偶变量为123,,y y y ，对偶问题模型为：Max 1231053w y y y =--123123123123123231323..2240,0,0y y y y y y s t y y y y y y y y y ++=⎧⎪--≤⎪⎪-++≤⎨⎪--≤⎪⎪≥≤≥⎩ 二、已知某线性规划问题的约束条件为：2X 1 + X 2 - X 3 = 30 -X 1 + 2X 2 + X 3 - X 4 = 55X 2 + X 3 - 2X 4 - X 5 = 60 X j ≥0 ， j = 1, 2, … ,5判断下列各点是否为该线性规划问题可行域的顶点。
运筹学线性规划问题与图解法
线性规划问题的基本特征
❖ 决策变量：向量(x1… xn)T 代表一个具体的 方案，一般有xi非负
❖ 约束条件：线性等式或不等式 ❖ 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极大
（Max）或极小(Min)
线性规划问题的一般形式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 ……… am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
Ai
❖ 配料问题:每单位原料i含vitamin如下：
原料 A B Ｃ 每单位成本
1
4 10
2
2
6 12
5
3
1 71
6
4
2 53
8
每单位添
加剂中维生 素最低含量
12 14 8
求：最低成本的原料混合方案
解：设每单位添加剂中原料i的用量为 xi (i =1,2,3,4)
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 4x1 + 6x2 + x3+2x4 12 x1 + x2 +7x3+5x4 14 2x2 + x3+3x4 8 xi 0 (i =1,…,4)
x1+x2+x3 ≤9
+0s1 +0s2
－x’1+x2+x’3－ x”3 + s1=9
-x1-2x2+x3 ≥2
(完整版)简单的线性规划问题(附答案).doc
简单的线性规划问题[ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量 x， y 的一次不等式 (组 )线性约束条件关于 x， y 的一次不等式 (组 )目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x， y 的函数解析式线性目标函数关于变量 x，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x， y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数 z＝ ax＋ by (b≠ 0)对应的斜截式直线方程是y＝－a z，在 y 轴上的截距是z，bx＋b b当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值；当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界 )便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的 A、B、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x， y 满足约束条件y≤ 2，x＋ y≥ 1，x－ y≤1，则 z＝ 3x＋ y 的最大值为( )A ． 12B ．11C．3 D．－ 1答案 B解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－ 3x＋z 经y＝2，x＝ 3，过点 A 时， z 取得最大值．由? 此时z＝3x＋ y＝ 11.x－y＝ 1 y＝ 2，x＋y－ 2≤ 0，跟踪训练 1 (1)x，y 满足约束条件x－ 2y－ 2≤ 0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，．．．2x－y＋ 2≥ 0，则实数 a 的值为 ()1 1A. 2或－ 1 B ．2 或 2C．2 或 1 D． 2 或－ 1x－y＋ 1≤ 0，(2)若变量 x，y 满足约束条件x＋2y－ 8≤ 0，则 z＝ 3x＋ y 的最小值为 ________ ．x≥0，答案(1)D (2)1解析(1) 如图，由 y＝ax＋ z 知 z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当 a>0 时，要使z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当 a<0 时，要使 z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则a＝－ 1.y＝－ 3x＋ z 过点(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z＝ 3x＋ y，即(0,1)时 z 取最小值 1.题型二非线性目标函数的最值问题x－ y－2≤ 0，例2 设实数 x， y 满足约束条件 x＋ 2y－ 4≥ 0，求2y－ 3≤ 0，(1)x2＋y2的最小值；y(2)x的最大值．解如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，(1)令 u＝ x2＋ y2，其几何意义是可行域ABC 内任一点 (x， y)与原点的距离的平方．x＋2y－ 4＝ 0，4，8 过原点向直线 x＋ 2y－ 4＝0 作垂线 y＝ 2x，则垂足为y＝2x 的解，即 5 5 ，x＋ 2y－ 4＝ 0， 3又由2y－ 3＝0，得 C 1，2 ，所以垂足在线段 AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝1＋3 2 213＝2，13所以， x2＋y2的最小值为4 .yABC 内任一点 (x， y)与原点相连的直线l 的斜率为 v，即 v (2)令 v＝x，其几何意义是可行域y－ 0＝x－0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点 C 时， v 最大，3由(1) 知 C 1，2，所以 v max＝3 y 3，所以的最大值为.2 x 2x≥ 0，跟踪训练 2 已知 x， y 满足约束条件y≥ 0，则(x＋3) 2＋ y2的最小值为 ________．x＋ y≥ 1，答案10解析画出可行域 ( 如图所示 ) ． (x＋ 3)2＋ y2即点 A(－ 3,0)与可行域内点(x， y)之间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC2＝ (0＋ 3)2＋ (1－ 0)2＝ 10，即 (x＋ 3)2＋y2的最小值为 10.题型三线性规划的实际应用例 3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克．每桶甲产品的利润是300 元，每桶乙产品的利润是400 元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A， B 原料都不超过 12 千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？x＋ 2y≤ 12，解设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品 y 桶，相应的利润为2x＋ y≤ 12，z 元，于是有x≥ 0， y≥ 0，x∈ N ， y∈ N ，z＝ 300x＋ 400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x＋400y＝ 0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在 y 轴上的截距达到最大，此时 z＝ 300x＋ 400y 取得最大值，最大值是 z＝ 300× 4＋ 400× 4＝ 2 800，即该公司可获得的最大利润是 2 800 元．反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：① 分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③ 确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数 (直线 )求出最优解；⑥ 实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练 3 预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的 1.5 倍，问桌子、椅子各买多少才行？解设桌子、椅子分别买x 张、 y 把，目标函数z＝ x＋ y，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为50x＋20y≤ 2 000，y≥ x，y≤ 1.5x，x≥ 0，x∈ N*，y≥0， y∈ N* .x＝200，50x＋ 20y＝2 000，7由解得200 y＝ x，y＝，7所以 A 点的坐标为 200，200 .7 750x ＋ 20y ＝2 000，x ＝ 25，由解得75y ＝ 1.5x ，y ＝ 2 ，所以 B 点的坐标为 7525， 2 .200 20075所以满足条件的可行域是以 A 7 ，7 ， B 25， 2 ， O(0,0) 为顶点的三角形区域 (如图 )．75由图形可知，目标函数 z ＝x ＋ y 在可行域内的最优解为 B 25， 2 ，但注意到 x ∈ N * ， y ∈ N * ，x ＝ 25， 故取y ＝ 37.故买桌子 25 张，椅子 37 把是最好的选择．x ＋ y － 3≤ 0，1．若直线 y ＝ 2x 上存在点 ( x ， y)满足约束条件 x － 2y － 3≤0， 则实数 m 的最大值为 ()x ≥ m ，3A ．－ 1B ． 1C.2D ． 25x － 11y ≥－ 22，2x ＋ 3y ≥ 9， 2．某公司招收男职员x 名，女职员 y 名， x 和 y 需满足约束条件则 z2x ≤ 11，x ∈ N * ， y ∈ N * ，＝ 10x ＋ 10y 的最大值是 ( )A ． 80B ．85C ．90D ． 95y≤1，3．已知实数x，y 满足x≤1，则z＝x2＋y2的最小值为________．x＋y≥ 1，一、选择题1．若点 (x, y)位于曲线 y＝ |x|与 y＝ 2 所围成的封闭区域，则 2x－ y 的最小值为 ( ) A ．－ 6 B．－ 2 C． 0 D． 2x≥ 1，2．设变量 x， y 满足约束条件x＋ y－ 4≤ 0，则目标函数 z＝ 3x－ y 的最大值为 ()x－ 3y＋4≤ 0，4A ．－ 4 B． 0 C.3 D． 4x≥ 1，则 z＝y－1的取值范围是 (3．实数 x， y 满足 y≥ 0，)x－ y≥ 0，xA ． [ － 1,0]B ．( －∞， 0]C．[ －1，＋∞ ) D． [ － 1,1)x－ y≥ 0，4．若满足条件x＋ y－ 2≤ 0，的整点 (x， y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有 9 个，y≥ a则整数 a 的值为 ()A ．－ 3 B．－ 2C．－ 1 D． 0x≥ 1，5．已知 x， y 满足x＋ y≤ 4，目标函数z＝ 2x＋ y 的最大值为7，最小值为1，则 b，c x＋ by＋ c≤ 0，的值分别为( )A ．－ 1,4B ．－ 1，－ 3C．－ 2，－ 1 D．－ 1，－ 26．已知x，y 满足约束条件x＋ y≥ 5，x－ y＋ 5≥0，x≤ 3，使 z＝ x＋ ay(a＞ 0)取得最小值的最优解有无数个，则 a 的值为( )A ．－ 3 B． 3 C．－ 1 D． 1二、填空题x≤ 2，7．若 x， y 满足约束条件y≤2，则 z＝ x＋ 2y 的取值范围是 ________．x＋ y≥2，8．已知－ 1≤ x＋y≤ 4 且 2≤ x－y≤ 3，则 z＝ 2x－ 3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．0≤ x≤ 2，9．已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组y≤ 2，给定．若 M(x， y)为 Dx≤ 2y上的动点，点 A 的坐标为 (→ →2， 1)，则 z＝ OM ·OA的最大值为 ________．10．满足 |x|＋ |y|≤ 2 的点 (x，y)中整点 (横纵坐标都是整数)有 ________个．x－ y＋ 2≥ 0，11．设实数 x， y 满足不等式组2x－ y－ 5≤ 0，则 z＝ |x＋ 2y－ 4|的最大值为 ________．x＋ y－ 4≥ 0，三、解答题x－ 4y≤－ 3，12．已知x， y 满足约束条件3x＋ 5y≤ 25，目标函数z＝ 2x－ y，求z 的最大值和最小值．x≥ 1，x＋ y－ 11≥ 0，13．设不等式组3x－ y＋ 3≥0，表示的平面区域为 D.若指数函数y＝ a x的图象上存在区域5x－ 3y＋ 9≤0D 上的点，求 a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板 1 m2，出售一张方桌可获利润80 元，出售一个书橱可获利润120 元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1． 答案B解析 如图，当 y ＝ 2x 经过且只经过x ＋ y － 3＝0 和 x ＝ m 的交点时， m 取到最大值，此时，即 (m,2m)在直线 x ＋ y － 3＝ 0 上，则 m ＝ 1.2． 答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于 x ， y ∈ N * ，计算区域内与11 9 最近的点为 (5,4)，故当 x ＝5， y ＝ 4 时， z 取得最大值为90.2 ，213． 答案2解析实数 x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则 z 的最小值为原点到直线 AB 的距离的平方，故 z min ＝ 12＝ 1.2 2课时精练答案一、选择题1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得A(－ 2,2)，设 z＝ 2x－ y，把z＝ 2x－ y 变形为 y＝ 2x－ z，则直线经过点 A 时 z 取得最小值；所以 z min＝2× (－ 2)－ 2＝－ 6，故选 A.2．答案 D解析作出可行域，如图所示．x＋ y－ 4＝0，x＝2，联立解得x－ 3y＋ 4＝ 0，y＝2.当目标函数z＝ 3x－ y 移到 (2,2)时， z＝ 3x－ y 有最大值4.3．答案 D解析作出可行域，如图所示，y－1的几何意义是点 (x， y)与点 (0,1)连线 l 的斜率，当直线l 过 B(1,0) 时 k l最小，最小为－ 1. x又直线 l 不能与直线x－ y＝ 0 平行，∴ k l＜ 1.综上， k∈ [－ 1,1)．解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当 a＝0 时，只有 4 个整点 (1,1)，(0,0) ，(1,0)，(2,0)．当 a＝－ 1 时，正好增加 (－ 1，－ 1)，(0，－ 1)，(1 ，－ 1)，(2，－ 1)，(3，－ 1)5 个整点．故选C.5．答案 D解析由题意知，直线x＋by＋ c＝ 0 经过直线2x＋ y＝ 7 与直线x＋ y＝ 4 的交点，且经过直线2x＋ y＝1 和直线x＝ 1 的交点，即经过点(3,1)和点 (1，－ 1)，3＋ b＋ c＝ 0，b＝－ 1，∴解得1－ b＋ c＝ 0，c＝－ 2.6．答案 D解析如图，作出可行域，作直线l：x＋ ay＝0，要使目标函数z＝ x＋ ay(a＞ 0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x＋ y＝ 5 重合，故a＝ 1，选 D.二、填空题7．答案[2,6]解析如图，作出可行域，作直线 l ：x＋ 2y＝ 0，将 l 向右上方平移，过点 A(2,0)时，有最小值 2，过点 B(2,2)时，有最大值 6，故 z 的取值范围为[2,6] ．解析作出不等式组－1≤ x＋ y≤ 4，表示的可行域，如图中阴影部分所示．2≤ x－ y≤ 3在可行域内平移直线 2x－3y＝ 0，当直线经过 x－ y＝ 2 与 x＋y＝ 4 的交点 A(3,1)时，目标函数有最小值z min＝2× 3－ 3× 1＝ 3；当直线经过 x＋ y＝－ 1 与 x－ y＝ 3 的交点 B(1，－ 2) 时，目标函数有最大值z max＝2× 1＋ 3× 2 ＝ 8.所以 z∈[3,8] ．9．答案 4解析由线性约束条件0≤ x≤ 2，y≤ 2，画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数→ →2x＋ y，将其化为z＝OM ·OA＝x≤ 2yy＝－ 2x＋ z，结合图形可知，目标函数的图象过点( 2， 2)时， z 最大，将点 ( 2， 2)代入 z ＝ 2x＋ y，得 z 的最大值为 4.10．答案13解析|x|＋ |y|≤ 2 可化为x＋ y≤ 2 x－ y≤ 2x≥ 0， y≥0x≥ 0， y＜ 0 ，，－x＋ y≤ 2 x＜0， y≥ 0 ，－x－ y≤ 2 x＜0， y＜ 0 ，作出可行域为如图正方形内部(包括边界 )，容易得到整点个数为13 个．11．答案 21解析作出可行域 (如图 )，即△ABC 所围区域 (包括边界 )，其顶点为A(1,3)， B(7,9)，C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x＋ 2y－ 4＝0 上方，∴x＋ 2y－ 4＞ 0，则目标函数等价于 z＝ x＋ 2y－4，易得当直线 z＝ x＋2y－ 4 在点 B(7,9)处，目标函数取得最大值z max＝ 21.方法二z＝ |x＋ 2y－4|＝|x＋ 2y－ 4|· 5，5令 P( x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－ 4＝ 0，则z＝ 5d，其中 d 为 P(x， y)到直线 x＋2y－ 4＝ 0 的距离．由图可知，区域内的点 B 与直线的距离最大，故d的最大值为 |7＋ 2× 9－4|＝ 21.5 5故目标函数z max＝ 21 · 5＝ 21.5三、解答题12．解z＝ 2x－ y 可化为y＝ 2x－ z， z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－ y＝0 平行的直线系l，经上下平移，可得：当l 移动到l1，即经过点A(5,2) 时， z max＝ 2× 5 － 2＝ 8.当l 移动到 l 2，即过点 C(1,4.4) 时，z min＝ 2× 1－4.4＝－ 2.4.13．解先画出可行域，如图所示，y＝ a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A(2,9) ，∴ 9＝ a2，∴a＝ 3.∵a＞ 1，∴ 1＜ a≤ 3.14．解由题意可画表格如下：方木料 (m3) 五合板 (m2) 利润 (元 ) 书桌 (张 ) 0.1 2 80书橱 (个 ) 0.2 1 120(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元，0.1x≤ 90，x≤ 900，2x≤ 600，? x≤300，? 0≤ x≤ 300.则z＝ 80x，x≥0x≥ 0所以当 x＝ 300 时， z max＝ 80× 300＝ 24 000(元 ) ，即如果只安排生产书桌，最多可生产300 张书桌，获得利润24 000 元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，0.2y≤ 90，y≤ 450，1·y≤ 600，? y≤ 600，? 0≤ y≤ 450.则z＝ 120y，y≥ 0y≥ 0所以当 y＝ 450 时， z max＝ 120× 450＝ 54 000(元 )，即如果只安排生产书橱，最多可生产450 个书橱，获得利润54 000 元．(3)设生产书桌 x 张，书橱 y 个，利润总额为z 元，0.1x＋ 0.2y≤ 90，x＋ 2y≤ 900，2x＋ y≤ 600，2x＋ y≤ 600，则?x≥ 0，x≥ 0，y≥ 0 y≥ 0.z＝ 80x＋120y.在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图 )．作直线 l ：80x＋ 120y＝0，即直线 l： 2x＋ 3y＝0.把直线 l 向右上方平移至 l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时 z＝ 80x＋ 120y 取得最大值．x＋ 2y＝ 900，由2x＋ y＝ 600，解得，点M 的坐标为 (100,400) ．所以当 x＝ 100，y＝ 400 时，z max＝ 80×100＋ 120×400＝ 56 000(元 )．因此，生产书桌100 张、书橱400 个，可使所得利润最大．。
(完整版)《运筹学》习题集
第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
线性规划练习题及解答
线性规划练习题及解答线性规划是数学中一种常见的优化方法，它广泛应用于实际问题的解决中。
本文将提供一些线性规划的练习题及解答，以帮助读者更好地理解和运用线性规划。
练习题1：某公司生产两种产品：甲品和乙品。
每天可用于生产的原料数量分别为A和B。
已知每单位甲品所需的原料A和B的消耗量分别为a1和b1，每单位乙品所需的原料A和B的消耗量分别为a2和b2。
假设甲品和乙品的利润分别为p1和p2，求解出该公司在给定原料限制下能获得的最大利润。
解答：设甲品的生产量为x，乙品的生产量为y，则目标函数为最大化利润，即maximize p1 * x + p2 * y。
受限条件为原料A的消耗量限制 a1 * x + a2 * y <= A，原料B的消耗量限制 b1 * x + b2 * y <= B。
另外，x和y的取值范围为非负数（x >= 0，y >= 0）。
这样，我们可以得出完整的线性规划模型如下：maximize p1 * x + p2 * ysubject to:a1 * x + a2 * y <= Ab1 * x + b2 * y <= Bx >= 0y >= 0练习题2：某工厂生产三种产品：甲、乙、丙。
已知每单位甲、乙、丙产品的利润分别为p1、p2、p3，每天需要的原材料A、B的数量为a和b，每单位甲、乙、丙产品消耗的原材料A、B的数量分别为a1、b1和a2、b2以及a3、b3。
现在要求在给定的原材料数量限制下，求解出最大化利润的生产方案。
解答：设甲、乙、丙产品的生产量分别为x、y、z，则目标函数为最大化利润，即maximize p1 * x + p2 * y + p3 * z。
受限条件为原材料A和B的数量限制，分别为 a1 * x + a2 * y + a3 * z <= a 和 b1 * x + b2 * y + b3 * z <= b。
另外，x、y、z的取值范围为非负数（x >= 0，y >= 0，z >= 0）。
运筹学大作业(线性规划问题)
线性规划法在救援物资调运问题中的应用【摘要】线性规划法是物资调运问题中最常用的一种方法，本文通过建立线性规划模型，用LINGO数学软件求出了最优解，得到了一个最佳的物资调运方案。
【关键词】:线性规划法；LINGO；调运一、引言由于近几年来地壳运动剧烈，各种自然灾害频频发生，其中各地的地震灾害尤其严重。
汶川地震发生后，为了尽可能的减小国家和人民的损失，各级政府对灾区进行物资救助。
为了解决大规模物资调运的实际问题(通常要处理的实际问题都是大规模的物资调运问题)以及物流管理中的类似问题，我们必须先建立这类问题的数学模型，而后选择合适的计算方法并利用计算机工具求解。
这种数学模型称为规划问题，规划问题中涉及的线性函数关系，我们就称为线性规划问题。
本文将在物资调运中的实际问题建立数学模型，用LINGO数学软件求出物资调用的最优方案。
一下是LINGO软件的简介。
LINGO是LINGO是Linear Interactive and General Optimizer的缩写，即“交互式的线性和通用优化求解器”，由美国LINDO系统公司（Lindo System Inc.）推出的，可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择。
其特色在于内置建模语言几个内部函数，可以允许决策变量是整数(即整数规划，包括 0-1 整数规划)，方便灵活，而且执行速度非常快。
能方便与EXCEL，数据库等其他软件交换数据。
二、一个物资调运问题现有三家企业捐献物资调运到四个受灾点。
企业A，B，C捐赠物资量分别为100吨、60吨、90吨四个受灾点I， Il，III，Ⅳ，需求量分别为60吨、70吨、50吨、70吨。
企业A往受灾点I，II，III，Ⅳ每吨的运价分别为l0元、15元、20元、25元；企业 B到受灾点I，II，III，Ⅳ每吨的运价分别为2O元、10元、l5元、15元：企业 C 到受灾点I，II，III，Ⅳ每吨的运价分别为25元、30元、20元、25元。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的一组约束条件下，寻找目标函数的最大值或最小值。
它常被应用于经济学、工程学、运筹学等领域，用于解决资源分配、生产计划、物流优化等实际问题。
下面我将为你提供一道线性规划题目及其答案，以帮助你更好地理解和应用线性规划方法。
题目：某工厂生产两种产品，分别为A和B。
产品A每单位利润为5元，产品B每单位利润为4元。
工厂有两个车间，分别为车间1和车间2。
车间1每天最多可以生产100个A产品或80个B产品；车间2每天最多可以生产80个A产品或60个B产品。
每天工厂的总生产时间为8小时。
生产一个A产品需要1小时，生产一个B产品需要1.5小时。
工厂希望通过合理的生产安排，最大化每天的总利润。
请问，应该如何安排每个车间的生产数量，才能使得每天的总利润最大化？答案：为了解决这个问题，我们可以使用线性规划方法。
首先，我们定义决策变量：x1：车间1生产的A产品数量x2：车间1生产的B产品数量x3：车间2生产的A产品数量x4：车间2生产的B产品数量其次，我们需要建立目标函数和约束条件。
目标函数：总利润 = 5x1 + 4x2 + 5x3 + 4x4约束条件：车间1生产时间约束：x1 + 1.5x2 ≤ 8车间2生产时间约束：x3 + 1.5x4 ≤ 8车间1产量约束：x1 ≤ 100, x2 ≤ 80车间2产量约束：x3 ≤ 80, x4 ≤ 60非负约束：x1, x2, x3, x4 ≥ 0现在，我们可以使用线性规划求解器来求解这个问题。
求解结果如下：车间1生产的A产品数量（x1）= 80车间1生产的B产品数量（x2）= 0车间2生产的A产品数量（x3）= 20车间2生产的B产品数量（x4）= 60总利润 = 5(80) + 4(0) + 5(20) + 4(60) = 400 + 0 + 100 + 240 = 740 元因此，为了使每天的总利润最大化，工厂应该安排车间1生产80个A产品，车间2生产20个A产品和60个B产品。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在一组线性约束条件下寻觅使目标函数取得最大（最小）值的变量值。
在实际生活和工作中，线性规划往往被用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。
一、资源分配问题1.1 问题描述：某公司有两个生产部门A和B，每天生产产品X和Y。
部门A 每天生产产品X需要消耗3个单位的资源，生产产品Y需要消耗2个单位的资源；部门B每天生产产品X需要消耗2个单位的资源，生产产品Y需要消耗4个单位的资源。
公司每天有20个单位的资源可供分配，如何分配资源才干使得产出最大化？1.2 解答：设部门A每天生产产品X的数量为x，生产产品Y的数量为y；部门B每天生产产品X的数量为u，生产产品Y的数量为v。
根据题目描述，可以建立如下线性规划模型：Maximize Z = 3x + 2y + 2u + 4vSubject to:3x + 2y + 2u + 4v <= 20x, y, u, v >= 0通过线性规划求解器可以得到最优解。
二、生产计划问题2.1 问题描述：某工厂有两个生产车间，每天生产产品P和Q。
车间1每天生产产品P需要花费5个单位的时间，生产产品Q需要花费3个单位的时间；车间2每天生产产品P需要花费4个单位的时间，生产产品Q需要花费6个单位的时间。
工厂每天有40个单位的时间可供分配，如何安排生产计划才干使得产量最大化？2.2 解答：设车间1每天生产产品P的数量为x，生产产品Q的数量为y；车间2每天生产产品P的数量为u，生产产品Q的数量为v。
根据题目描述，可以建立如下线性规划模型：Maximize Z = 5x + 3y + 4u + 6vSubject to:5x + 3y + 4u + 6v <= 40x, y, u, v >= 0通过线性规划求解器可以得到最优解。
三、运输问题3.1 问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个仓库有一定数量的产品可供销售点购买。
运筹学_第1章_线性规划习题
第一章线性规划习题1.1（生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何安排生产计划使企业利润最大？解：设x1、x2分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。
依题意，问题可转换成求变量x1、x2的值，使总利润最大，即ma x z=50x1+100x2且称z=50x1+100x2为目标函数。
同时满足甲、乙两种产品所消耗的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，即可分别表示为x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250且称上述三式为约束条件。
此外，一般实际问题都要满足非负条件，即x1≥0、x2≥0。
这样有ma x z=50x1+100x2x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250x1、x2≥0习题1.2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。
两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。
从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。
环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。
两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。
现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。
解：设x 1、x 2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m 3)。
则问题的目标可描述为min z =1000x 1+800x 2 约束条件有第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求 (2－x 1)/500 ≤0.2% 第二段河流（工厂2以下河段）环保要求 [0.8(2－x 1) +(1.4－x 2)]/700≤0.2% 此外有x 1≤2； x 2≤1.4 化简得到min z =1000x 1+800x 2 x 1 ≥1 0.8x 1 + x 2 ≥1.6 x 1 ≤2 x 2≤1.4 x 1、x 2≥0习题1.3ma x z =50x 1+100x 2x 1 + x 2≤300 2x 1 + x 2≤400x 2≤250图1—1 x 2x1、x2≥0用图解法求解。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找使目标函数最大或最小的变量值。
在实际生活和工作中，线性规划经常被应用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。
一、资源分配问题1.1 约束条件：某公司有两种产品A和B，生产一单位产品A需要耗费2个单位的资源X和1个单位的资源Y，生产一单位产品B需要耗费1个单位的资源X和3个单位的资源Y。
公司每天可用资源X和资源Y分别为10个单位和12个单位。
假设产品A的利润为3万元，产品B的利润为4万元，问如何分配资源才能使公司利润最大化？1.2 目标函数：设生产产品A的单位数为x，生产产品B的单位数为y，则目标函数为Maximize 3x + 4y。
1.3 答案：通过线性规划计算，最优解为生产产品A 4个单位，生产产品B 2个单位，公司利润最大化为20万元。
二、生产计划问题2.1 约束条件：某工厂生产两种产品C和D，生产一单位产品C需耗费2个单位的资源M和3个单位的资源N，生产一单位产品D需耗费4个单位的资源M和2个单位的资源N。
工厂每天可用资源M和资源N分别为8个单位和10个单位。
产品C的利润为5万元，产品D的利润为6万元，问如何安排生产计划以最大化利润？2.2 目标函数：设生产产品C的单位数为x，生产产品D的单位数为y，则目标函数为Maximize 5x + 6y。
2.3 答案：经过线性规划计算，最佳生产计划为生产产品C 2个单位，生产产品D 2个单位，工厂利润最大化为22万元。
三、运输问题3.1 约束条件：某公司有三个仓库分别存储产品E、F和G，每个仓库的存储容量分别为100、150和200个单位。
产品E、F和G的单位运输成本分别为2元、3元和4元，需求量分别为80、120和150个单位。
问如何安排运输计划以最小化总成本？3.2 目标函数：设从仓库i运输产品j的单位数为xij，则目标函数为Minimize2x11 + 3x12 + 4x13 + 2x21 + 3x22 + 4x23 + 2x31 + 3x32 + 4x33。
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案
要求：（ 1）说明上述问题无可行解； （ 2）若该厂仓库不足时，可从外厂租借。若占用本
厂仓库每月每立方米需 1 元，而租用外厂仓库时上述费用增加为 1.5 元，试问在满足市
场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用最少？（建立模型，不求
解）
7．某工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品在下一年个季度的合同预定数如表
2 — 5 所示，该三种产品
第一季度初无库存， 要求在在第四季度末每种产品的库存为 150 件。已知该厂每季度生产工
时为 15000 小时，生产产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ每件需 3，4，3 小时。因更换工艺装备，产品Ⅰ在第 二季度无法生产。 规定当产品不能按期交货时， 产品Ⅰ、 Ⅱ每件每迟交一个季度赔偿 20 元，
100 克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表 2— 1 所示：
饲料 蛋白质（克） 矿物质（克）
表 2—1 维生素（毫克）
价格（元 /公斤）
1
3
1
0．5
0．2
2
2
3
1
0． 5 0． 2
1．0 0．2
0．7 0．4
4
6
2
2
0．3
5
12
0． 5
0．8
0．8
要求确定既满足动物生长的营养要求，又使费用最省的选择饲料的方案。
3500 人日；春夏季 4000 人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为
25 元
/ 人日，秋冬季收入为 20 元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲
养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资
800 元，每只鸡投资 3
元。养奶牛时每头需拨出 1.5 公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为 100 人日，春夏季
运筹学线性规划习题解析
第一章 线性规划
6、某皮革厂生产甲、乙两种皮带，生产甲、乙 皮带每条可获利分别为4元、3元。但生产一条 甲皮带是生产一条乙皮带所需工时的2倍，如果 全部生产乙皮带，该厂每天可生产1000条，但 皮革供应只够日产800条（甲、乙两种皮带合计 ），甲、乙皮带所用皮扣（一条一扣）每天分 别只能供应400个、700个。问如何安排生产， 可使该厂获利最大？
第一章 线性规划
13、已知线性规划问题 max S=max(x1+x2-x3) ax1+9x2+7x3+9x4+x5=1 5x1+bx2-7x3 +x5=-3 xi ≥0( i =1,2…,5) a , b为任意常数 X0=（9,0,7,0,6）T是其变量的一组值。能否判定： （1）X0一定不是基础解； （2）X0一定不是可行解； 对 （3）X0一定不是基可行解； （4）X0一定不是最优解； （5）X0一定不是基最优解。
解：设生产A、B两种产品分别为x1、x2单位
（1）在现有原料条件下，如何组织生产才能使利润最大 max S=max(7x1+5x2) x1+2x2≤28 4x1 + x2 ≤42 x1，x2≥0
（1）在现有原料条件下，如何组织生产才能使 利润最大
图解：
x2
42
4x1+x2=42
K1=-4 k2=-1/2
4x1+x2=42 X1+2x2=28 解得：x1=8,x2=10
k=-7/5 14
X1+2x2=28
10.5 28
x1
பைடு நூலகம்2）如果原料甲增加到42吨，原最优解是否改变？
图解：
x2
42
高三数学练习题：线性规划与运筹学
高三数学练习题：线性规划与运筹学对于高三学生来说，线性规划与运筹学是数学中一个重要且有挑战性的主题。
它们在现实世界中的应用广泛，涉及到各种问题的优化和最大化。
下面是一些高三数学练习题，旨在帮助学生更好地理解线性规划与运筹学的概念和应用。
1. 一家制造公司生产两种产品：A和B。
产品A每个单位利润为900元，产品B 每个单位利润为1200元。
每天的生产时间为8小时，并且每个产品每天必须至少生产2个单位。
已知制造产品A需要2个小时，制造产品B需要3个小时。
请问该公司每天应该生产多少个单位的产品A和产品B，以实现最大的利润？2. 一个物流公司需要将10台商品从仓库A运送到仓库B，有两种不同的运输方式可选。
通过陆路运输每台商品需要花费300元，通过海路运输每台商品需要花费200元。
陆路运输最多可使用6辆卡车，每辆卡车最多装载4台商品；海路运输最多可使用4艘船，每艘船最多装载5台商品。
请问该物流公司如何安排运输方式，以最小化总运输成本？3. 一个农场主要种植玉米和小麦。
种植玉米每亩土地可以获得700元的利润，而种植小麦每亩土地可以获得800元利润。
每年可用于种植的土地面积为80亩，而作物生长所需的水量为每亩土地2500立方米。
玉米每亩土地需要1500立方米的水，而小麦每亩土地需要1000立方米的水。
请问农场主应该种植多少面积的玉米和小麦，以最大化利润？这些练习题不仅考察了线性规划和运筹学的基本概念，还要求学生进行复杂的决策和计算。
通过解决这些问题，学生可以提高他们的数学技术，并且学会将数学应用于实际生活中的问题。
线性规划与运筹学的应用范围非常广泛，涵盖了经济学、工程学、物流等领域。
它们帮助我们进行最优决策，节约资源，提高效率。
希望这些练习题能够帮助高三学生加深对线性规划与运筹学的理解，并在应试中取得良好成绩。
通过解答这些实际问题，他们将更好地理解这些数学概念，提升自己的数学水平。
数学不仅仅是为了应付考试，更是为了应用于现实生活中，为我们的决策和优化提供帮助。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
运筹学
结课大作业
姓名：苏同锁
学号：1068132104
学院：数理与生物工程学院
班级：数学2010
实例：有三家物流企业将一批货物分别运送到四个城市。
物流公司A，B，C所运送货物量分别为110吨、70吨、100吨四个城市I， Il，III，Ⅳ，需求量分别为60吨、70吨、50吨、70吨。
物流公司A往城市I，II，III，Ⅳ每吨的运价分别为l0元、15元、20元、25元；物流公司 B到城市I，II，III，Ⅳ每吨的运价分别为2O元、10元、l5元、15元：物流公司 C 到城市I，II，III，Ⅳ每吨的运价分别为25元、30元、20元、25元。
运输费用数据表
如何确定调运方案，才能使运输总费用最小。
首先，设运输总费用为f，我们要求运输总费用最小，故目标函数为：Minf=10x11+15x12+20x13+25x14+20x21+10x22+15x23+15x24+25x31+ 30x32+20x33+25x34
其中Xij表示从物流公司i调运到城市j物资的数量，minf表示运输费用最少。
考虑约束条件如上表所述的量和销地的需求量要满足运输平衡条件，以及各变量取非负数，于是可得如下约束条件：
x11+x12+x13+x14<=110
x21+x22+x23+x24<=70
x31+x32+x33+x34<=100
x11+x21+x31>=60
x12+x22+x32>=70
x13+x23+x33>=50
x14+x24+x34>=70
Xij≥0(i=1,2,3;j=1,2,3,4)
最后，我们将目标函数和约束条件写在一起，就得到了物资调运问题的数学模型，即线性规划问题：
minf=10x11+15x12+20x13+25x14+20x21+10x22+15x23+15x24+25x31+ 30x32+20x33+25x34
x11+x12+x13+x14<=110
x21+x22+x23+x24<=70
x31+x32+x33+x34<=100
x11+x21+x31>=60
x12+x22+x32>=70
x13+x23+x33>=50
x14+x24+x34>=70
Xij≥0(i=1,2,3;j=1,2,3,4)
输入程序：
输出结果:
(3)由上述计算结果可知，该线性规划的最优解为：
X11=60.00000, X12=50.000000,X13=0.00000,X14=0.000000
X21=0.000000, X22=20.00000,X23=0.000000,X24=50.00000 X31=0.000000, X32=0.000000,X33=50.000000,X34=20.000000
最优值为：min f=3800.00。
即运输总费用的最小值为3800元。