1.2充要条件练习题
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第一章 1.2 第2课时
一、选择题
1．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 [答案] C
[解析] 当a ＝1时，直线x －ay ＝0化为直线x －y ＝0，∴直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直；
当直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直时，有1－a ＝0，∴a ＝1，故选C. 2．m ＝3是直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由圆心(1,0)到直线3x －y ＋m ＝0距离d ＝|3＋m |
2＝3得，m ＝3或－33，
故选A.
3．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈(A ∪B )”是“x ∈C ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 因为A ∪B ＝C ，故“x ∈(A ∪B )”是“x ∈C ”的充要条件． 4．“lg x >lg y ”是“x D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] lg x >lg y ⇒x >y >0⇒x >y ；而x ＝2，y ＝0时，x >y ⇒/ lg x >lg y ，故“lg x >lg y ”是“x >y ”的充分不必要条件． 5．设命题甲为：0 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 解不等式|x －2|<3得－1 6．设l 、m 、n 均为直线，其中m 、n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] ∵l ⊥α，m ⊂α，n ⊂α，∵l ⊥m 且l ⊥n ，故充分性成立；又l ⊥m 且l ⊥n 时，m 、n ⊂α，不一定有m 与n 相交，∴l ⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A. 二、填空题 7．平面向量a 、b 都是非零向量，a ·b <0是a 与b 夹角为钝角的__________________条件． [答案] 必要不充分 [解析] 若a 与b 夹角为钝角，则a ·b <0，反之a ·b <0时，如果a 与b 方向相反，则a 与b 夹角不是钝角． 8．已知三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0，则l 1、l 2、l 3构不成三角形的充要条件是k ∈集合__________________． [答案] {－5,5，－10} [解析] ①l 1∥l 3时，k ＝5；②l 2∥l 3时，k ＝－5； ③l 1、l 2、l 3相交于同一点时，k ＝－10. 三、解答题 9．方程mx 2＋(2m ＋3)x ＋1－m ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？ [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ (2m ＋3)2 －4m (1－m )>01－m m <0， ∴m >1或m <0， 即所求充要条件是m >1或m <0. 10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的 充要条件为q ＝－1. [证明] 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n － 1(p －1)，当n ＝1时也成立． 于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，即数列{a n }为等比数列． 必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n － 1(p －1)， ∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1) p n －1(p －1)＝p ， ∵{a n }为等比数列， ∴a 2a 1＝a n ＋1 a n ＝p ，即p (p －1)p ＋q ＝p ， ∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1. 综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件． 一、选择题 1．设{a n }是等比数列，则“a 1 D ．既不充分也不必要条件 [答案] C