组合数学-排列组合

前言组合数学是一个古老而又年轻的数学分支。

据传说，大禹在4000多年前就观察到神龟背上的幻方。

幻方可以看作是一个3阶方阵，其元素是1到9的正整数，每行、每列以及两条对角线的和都是15。

贾宪,北宋数学家(约11世纪)著有《黄帝九章细草》、《算法斅古集》斅(音'笑')(“古算法导引”)都已失传。

杨辉著《详解九章算法》(1261年)中曾引贾宪的“开方作法本源”图(即指数为正整数的二项式展开系数表，现称“杨辉三角形”)和“增乘开方法”(求高次幂的正根法)。

前者比帕斯卡三角形早600年，后者比霍纳(William Geoge Horner，1786—1837)的方法(1819年)早770年。

1666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书问世，这是组合数学的第一部专著。

书中首次使用了组合论(Combinatorics)一词。

组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和普遍应用之后。

由于组合数学涉及面广，内容庞杂，并且仍在很快地发展着，因而还没有一个统一而有效的理论体系。

组合分析主要研究内容是计数和枚举。

这与数学分析形成了对照。

第一章排列组合在这一章我们要用加法法则和乘法法则解决最基本的几种组合模型，包括排列、组合的计数问题。

第一节加法法则与乘法法则加法法则设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则事件A或B之一有m+n 种产生方式。

集合论语言：若|A|=m,|B|=n,A∩B=φ,则|A∪B|=m+n。

/*例某班选修企业管理的有18人，不选的有10人，则该班共有18+10=28人。

例北京每天直达上海的客车有5次，客机有3次，则每天由北京直达上海的旅行方式有5+3=8种。

*/乘法法则设事件A有m种产生式，事件B有n种产生方式，则事件A与B有m·n种产生方式。

集合论语言：若|A|=m ,|B|=n,A×B={(a,b)|a∈A,b∈B},则|A×B|=m·n。

/*例某种字符串由两个字符组成，第一个字符可选自{a，b，c，d，e}，第二个字符可选自{1，2，3}，则这种字符串共有5×3=15个。

例从A到B有三条道路，从B到C有两条道路，则从A经B到C有3×2=6条道路。

例某种样式的运动服的着色由底色和装饰条纹的颜色配成。

底色可选红、蓝、橙、黄，条纹色可选黑、白，则共有4×2=8种着色方案。

若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙、黄四种颜色的话，则方案数就不是4×4=16，而只有4×3=12种。

在乘法法则中要注意事件A和事件B的相互独立性。

例1)求小于10000的含1的正整数的个数2)求小于10000的含0的正整数的个数1)小于10000的不含1的正整数可看做4位数, 但0000除外. 故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个另: 全部4位数有104个,不含1的四位数有94个,含1的4位数为两个的差:104－94=3439个2)“含0”和“含1”不可直接套用。

0019含1但不含0。

在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。

不含0的1位数有9个，2位数有92个，3位数有93个，4位数有94个不含0小于10000的正整数有9+92+93+94=(95－9)/(9－1)=7380个含0小于10000的正整数有9999－7380=2619个*/第二节排列与组合在本节中我们要用加法法则和乘法法则解决一系列关于排列、组合的计数问题。

我们将从中学数学中已经出现的最简单的排列、组合讲起。

1．从a,b,c 3个字母中取2个做排列，能有几个不同的排列？把它们列举出来。

这些排列是ab,ac,ba,bc,ca,cb ，一共有6个。

2．从a,b,c 3个字母中取两个做组合，即不考虑它们的顺序，例如ab 与ba 看作是相同的，这样的安排是ab,ac,bc ，一共有3个。

上面的问题都是我们在中学数学中熟悉的。

我们先来温习几个相应的定义。

定义1.2.1从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排成一列，称为从n 个元中取r 个元的（无重）排列。

这些排列的全体组成的集合用P (n,r)表示。

排列的个数用P (n,r)表示。

当r=n 时，称为全排列。

一个排列也可看作一个字符串，r 也称为排列或字符串的长度。

在上述定义中，一个排列的第1位有n 个选择，第2位有(n-1)个选择，第k 位有(n-k+1)个选择，故P (n,r)=n(n-1)…(n-r+1)。

/*从a,b,c 3个字母中取2个做排列，可用一棵树表示： /* 定义0！=1，P (n,n))!(!n n n -=!0!n = = n! 上述（无重）排列的计数相当于将r 个不同的球（将r 个球编为1号到r 号）放入n 个不同的盒子，每盒最多一个球的方案数。

定义1.2.2从n 个不同元素中，取r 个不重复的元素，不考虑其次序，构成一个子集，称为从n 个元中取r 个元的（无重）组合。

这些组合的全体组成的集合用C (n,r)表示，组合的个数用C (n,r)或⎪⎪⎭⎫⎝⎛r n 表示。

用C(n,r)中的一个组合中的元素作全排列，有r!个。

于是 C (n,r)•r! = P (n,r))!(!r n n -= 故C (n,r)!)!(!r r n n -= 从a,b,c 3个字母中取2个做组合，每个组合对应2!个排列：ab:ab,ba ；ac:ac,ca ；bc:bc,cb 。

组合的计数相当于将r 个相同的球放入n 个不同的盒子里，每盒最多一个球的方案数。

定义1.2.3从n 个不同的元素中，取r 个可重复的元素，按次序排成一列，称为从n 个元中取r 个元的可重排列。

这些排列的全体组成的集合，用r)(n,P 表示。

排列的个数用r)(n,P 表示。

因这样的可重排列的每一位都有n 个选择，共有r 位。

故r)(n,P = n r 。

从a,b,c 3个字母中取2定义1.2.4将r 1个x 1，r 2个x 2，…，r k 个x k 按次序排成一列，称为一个（r 1，r 2，…，r k ）多重排列。

设∑==k i i n r1，这些排列的全体组成的集合，用)r ,,r (n P k 1 ；表示。

这些排列的个数用⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k 1r r n ，，表示。

/*2个a ，1个b 做多重排列，若将2个a 看成是不同的（给它们加下标），可有（2+1）！（=6）个排列：a 1a 2b,a 1ba 2,a 2a 1b,a 2ba 1,ba 1a 2,ba 2a 1。

但下标实际上是不存在的：故实际的多重排列的个数为3!1!2=。

*/ 对)r ,,r (n P k 1 ；中的一个多重排列加下标：对r 1个x 1加下标，有r 1! 种方式；对r 2个x 2加下标，有r 2! 种方式；… …；对r k 个x k 加下标，有r k ! 种方式。

都加下标后，n 个字符都不相同了，故!!!!n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k 21k 21r r r r r r n，，，，即 !!!!21k r r r n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k 21r r r n ，，， r 1个x 1，r 2个x 2，… ，r k 个x k 排列的个数相当于n 个不同的球放入k 个不同的盒子里，其中r 1个球放入盒子x 1中，… ，r k 个球放入盒子x k 中的方案数。

从a,b,c 3个元素中取2个元的组合相当于将2个相同的球放入3个不同的盒子的方案。

组合与球放入盒子的方案的对照：2个a，1个b的多重排列相当于将3个不同的球放a,b 2盒中，a 盒2个球b盒1个球的方案。

多重排列与球放入盒子的方案的对照：(下图仅为示意图)（无重）排列与球放入盒子的方案的对照：(下图仅为示意图)从a,b,c 3个元素中取2个的排列相当于将2个不同的球放入3个不同的盒子里，每盒最多一个球的方案。

下面我们来讨论多项式系数，也即 (x 1 + x 2 + … + x k ) n 的展开式中任意一项k k r k r r r r x x x C 21121,, 前面的 k r r C ,,1 的值。

（r 1 + r 2 + … + r k = n ）/*我们知道 (a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 +b 3 ，3a 2b 前面的3是怎么来的？(a + b )3 = (a + b )(a + b )(a + b ) ，若乘法没有交换律，此式展开共有23=8项。

与3a 2b 对应的是2个a ，1个b 的多重排列：aab,aba,baa 。

故 !1!2)!12(3⋅+=。

*/ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=k k k r r r r r n r r r r r r C k ,,,!!!)!(212121,,1 所以∑∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++==k i i k nr r k r k n k x x r r n x x x 111121,,)(当k=2时，也就是二项式系数。

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121r n r r n ，多项式的展开式也就是二项式展开式，即 ∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nr r r n n b a r n b a 0)(根据以上的讨论，我们可以得到下面的公式：∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nr n r n 02 /*在∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nr r r n n b a r n b a 0)(中，令a=b=1即可。

*/0)1(0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=nr r r n/*=-n )11(0)1(0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=n r r r n 。

*/∑∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==kiinrnkkrrn1,,1/*例有5本不同的日文书，7本不同的英文书，10本不同的中文书。

1)取2本不同文字的书；2)取2本相同文字的书；3)任取两本书解1)5×7+5×10+7×10=155;2)C(5,2)+C(7,2)+C(10,2)=10+21+45=76;3)155+76=231=。

例从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？解将[1,300]分成3类：A={i|i≡1(mod3)}={1,4,7,…,298},B={i|i≡2(mod3)}={2,5,8,…,299},C={i|i≡3(mod3)}={3,6,9,…,300}.要满足条件，有四种解法：1)3个数同属于A;2)3个数同属于B;3)3个数同属于C;4)A,B,C各取一数.故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100例某车站有6个入口处，每个入口处每次只能进一人，一组9个人进站的方案有多少？解一进站方案表示成：00011001010100 其中“0”表示人，“1”表示门框，其中“0”是不同元，“1”是相同元。