解三角形完整讲义
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正余弦定理知识要点:
1、正弦定理:或变形:
2、余弦定理:或
3、解斜三角形的常规思维方法是:
(1 )已知两角和一边(如A、B C),由A+B+C = n求C,由正弦定理求a、b;
(2)已知两边和夹角(如a、b、c),应用余弦定理求c边;再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C = n求另一角;
(3)已知两边和其中一边的对角(如a、b、A),应用正弦定理求B,由A+B+C = n求C, 再由正弦定理或余弦定理求c边,要注意解可能有多种情况;
(4)已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C = n求角C。
4、判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式•
5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S = 1/2 * absinC
7、三角学中的射影定理:在△ ABC中,,… &两内角与其正弦值:在△ ABC中,,…
【例题】在锐角三角形ABC中,有(B )
A. cosA>sinB 且cosB>sinA
B. cosA C. cosA>sinB 且cosB D. cosA 9、三角形内切圆的半径:,特别地, 正弦定理 专题:公式的直接应用 1、已知中,,,,那么角等于() A. B. C. D. 2、在厶AB(中, a=, b =, B= 45°贝U A 等于(C ) A. 30 ° B. 60 ° C. 60 或120 ° D 30 或150 3、的内角的对边分别为,若,则等于() A. B. 2 C. D. 4、已知△ AB(中,,,则a等于(B ) A. B. C. D. 5、在△ AB(中, = 10 , B=60° ,C=4则等于(B ) A. B. C. D. 6、已知的内角,,所对的边分别为,,,若,,则等于.() 7、△ AB(中,,,,则最短边的边长等于(A ) A . B. C . D . & △ AB(中,,的平分线把三角形面积分成两部分,则( C ) A . B . C . D . 9、在△ AB(中,证明:。 证明: 由正弦定理得: 专题:两边之和 1、在厶AB(中, A= 60 ° B= 45 则a = (,) 2、已知的周长为,且.(1 )求边的长;(2)若的面积为,求角的度数.专题:三角形个数 1、△ AB(中, △ A=60 °,a=, 么满足条件的△ ABC( ( ) A•有一个解B•有两个解C无解 D.不能确定 2、△ AB(中,a=1,b=,△ A则0°等于(B ) A. 60 ° B. 60 或120 ° C. 30。或150 ° D. 120 ° 3、在△ AB(中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是(D ) A.b = 10,A = 45 ,°B = 70 ° B.a = 60,c = 48,B = 100 ° C.a = 7,b = 5,A = 80 ° D.a = 14,b = 16,A = 45 ° 4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是(D ) A.a=1,b=2 ,c=3 B.a=1,b= , △A=30° C.a=1,b=2, △A=100° C.b=c=1, △B=45° 5、在△ AB(中, a= 12, b = 13, C= 60°此三角形的解的情况是( B ) A.无解 B. —解 C.二解 D.不能确定 6、满足A=45 ° ,c= ,a=的△ ABC勺个数记为m,则a m的值为(A ) A. 4 B. 2 C. 1 D.不定 7、已知△ AB(中, 121 °则此三角形解的情况是无解 &在△ AB(中,已知,,,则边长。或 专题:等比叠加 1、△ AB(中,若,,则等于(A ) A .2 B . C . D. 2、在△ AB(中, A=60 ° , b=1 面积为,则= . 专题:变式应用 1、在厶AB(中,若△ A: △ B: △ C=ft2:3, 2、已知△ AB (中, a△ b△—1 △△则A A B△等于(A) A.2^3 B. 2^ 3^1 (.1:3:2D. 3:1:2 3、在厶AB(中,周长为7.5cm ,且si nA: si nB: si nC—4:5:6,下列结 论: ①②③④其 中成立的个数是( ( ) A.0 个 B.1 个(.2 个D.3 个 4、在△ AB(中,已知边,,求边a、b的长。 解:由,,可得, 变形为sinAcosA=sinBcosB, △ sin2A=sin2B, 又厶b, △ 2A=2B, △ A+B=. △△ AB直角三角形. 由a2+b2=102 和,解得a=6, b=8。 5、在△ AB(中,角A、B、C所对的边分别为、b、c ,若,贝U _________________ 6、设锐角三角形的内角的对边分别为,. (1)求的大小;