解三角形完整讲义

正余弦定理知识要点:

1、正弦定理：或变形:

2、余弦定理：或

3、解斜三角形的常规思维方法是：

（1 ）已知两角和一边（如A、B C）,由A+B+C = n求C,由正弦定理求a、b；

（2）已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = n求另一角；

（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C = n求C, 再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；

（4）已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C = n求角C。

4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式•

5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S = 1/2 * absinC

7、三角学中的射影定理：在△ ABC中，，… &两内角与其正弦值：在△ ABC中,,…

【例题】在锐角三角形ABC中，有（B ）

A. cosA>sinB 且cosB>sinA

B. cosA

C. cosA>sinB 且cosB

D. cosAsinA

9、三角形内切圆的半径：，特别地,

正弦定理

专题：公式的直接应用

1、已知中，，，，那么角等于（）

A. B. C. D.

2、在厶AB（中, a=, b =, B= 45°贝U A 等于（C ）

A. 30 °

B. 60 °

C. 60 或120 ° D 30 或150

3、的内角的对边分别为，若，则等于（）

A. B. 2 C. D.

4、已知△ AB（中,,,则a等于（B ）

A. B. C. D.

5、在△ AB（中, = 10 , B=60° ,C=4则等于（B ）

A. B. C. D.

6、已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则等于.（）

7、△ AB（中,,,,则最短边的边长等于（A ）

A . B. C . D .

& △ AB（中,,的平分线把三角形面积分成两部分，则（ C ）

A .

B .

C .

D .

9、在△ AB（中，证明：。

证明：

由正弦定理得：

专题：两边之和

1、在厶AB(中, A= 60 ° B= 45 则a = （,）

2、已知的周长为，且．（1 ）求边的长；（2）若的面积为，求角的度数．专题：三角形个数

1、△ AB(中, △ A=60 °,a=, 么满足条件的△ ABC( ( )

A•有一个解B•有两个解C无解 D.不能确定

2、△ AB(中,a=1,b=,△ A则0°等于（B ）

A. 60 °

B. 60 或120 °

C. 30。或150 °

D. 120 °

3、在△ AB（中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（D ）

A.b = 10，A = 45 ，°B = 70 °

B.a = 60，c = 48，B = 100 °

C.a = 7，b = 5，A = 80 °

D.a = 14，b = 16，A = 45 °

4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（D ）

A.a=1,b=2 ,c=3

B.a=1,b= , △A=30°

C.a=1,b=2, △A=100° C.b=c=1, △B=45°

5、在△ AB（中, a= 12, b = 13, C= 60°此三角形的解的情况是（ B ）

A.无解

B. —解

C.二解

D.不能确定

6、满足A=45 ° ,c= ,a=的△ ABC勺个数记为m,则a m的值为（A ）

A. 4

B. 2

C. 1

D.不定

7、已知△ AB（中, 121 °则此三角形解的情况是无解

&在△ AB（中，已知，，，则边长。或

专题：等比叠加

1、△ AB（中，若，，则等于（A ）

A .2

B .

C . D.

2、在△ AB（中, A=60 ° , b=1 面积为，则= .

专题：变式应用

1、在厶AB（中，若△ A: △ B: △ C=ft2：3,

2、已知△ AB （中, a△ b△—1 △△则A A B△等于(A)

A.2^3

B. 2^ 3^1 (.1：3：2D. 3：1：2

3、在厶AB(中,周长为7.5cm ,且si nA： si nB： si nC—4：5：6,下列结

论：

①②③④其

中成立的个数是( ( )

A.0 个

B.1 个(.2 个D.3 个

4、在△ AB（中，已知边，，求边a、b的长。

解：由，,可得，

变形为sinAcosA=sinBcosB, △ sin2A=sin2B,

又厶b, △ 2A=2B, △ A+B=. △△ AB直角三角形.

由a2+b2=102 和，解得a=6, b=8。

5、在△ AB（中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ,若，贝U _________________

6、设锐角三角形的内角的对边分别为，.

（1）求的大小；