解三角形完整讲义

正余弦定理知识要点:
1、正弦定理：或变形:
2、余弦定理：或
3、解斜三角形的常规思维方法是：
（1 ）已知两角和一边（如A、B C）,由A+B+C = n求C,由正弦定理求a、b；
（2）已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = n求另一角；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C = n求C, 再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；
（4）已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C = n求角C。

4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式•
5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S = 1/2 * absinC
7、三角学中的射影定理：在△ ABC中，，… &两内角与其正弦值：在△ ABC中,,…
【例题】在锐角三角形ABC中，有（B ）
A. cosA>sinB 且cosB>sinA
B. cosA<sinB且cosB<sinA
C. cosA>sinB 且cosB<sinA
D. cosA<sinB且cosB>sinA
9、三角形内切圆的半径：，特别地,
正弦定理
专题：公式的直接应用
1、已知中，，，，那么角等于（）
A. B. C. D.
2、在厶AB（中, a=, b =, B= 45°贝U A 等于（C ）
A. 30 °
B. 60 °
C. 60 或120 ° D 30 或150
3、的内角的对边分别为，若，则等于（）
A. B. 2 C. D.
4、已知△ AB（中,,,则a等于（B ）
A. B. C. D.
5、在△ AB（中, = 10 , B=60° ,C=4则等于（B ）
A. B. C. D.
6、已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则等于.（）
7、△ AB（中,,,,则最短边的边长等于（A ）
A . B. C . D .
& △ AB（中,,的平分线把三角形面积分成两部分，则（ C ）
A .
B .
C .
D .
9、在△ AB（中，证明：。

证明：
由正弦定理得：
专题：两边之和
1、在厶AB(中, A= 60 ° B= 45 则a = （,）
2、已知的周长为，且．（1 ）求边的长；（2）若的面积为，求角的度数．专题：三角形个数
1、△ AB(中, △ A=60 °,a=, 么满足条件的△ ABC( ( )
A•有一个解B•有两个解C无解 D.不能确定
2、△ AB(中,a=1,b=,△ A则0°等于（B ）
A. 60 °
B. 60 或120 °
C. 30。

或150 °
D. 120 °
3、在△ AB（中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（D ）
A.b = 10，A = 45 ，°B = 70 °
B.a = 60，c = 48，B = 100 °
C.a = 7，b = 5，A = 80 °
D.a = 14，b = 16，A = 45 °
4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（D ）
A.a=1,b=2 ,c=3
B.a=1,b= , △A=30°
C.a=1,b=2, △A=100° C.b=c=1, △B=45°
5、在△ AB（中, a= 12, b = 13, C= 60°此三角形的解的情况是（ B ）
A.无解
B. —解
C.二解
D.不能确定
6、满足A=45 ° ,c= ,a=的△ ABC勺个数记为m,则a m的值为（A ）
A. 4
B. 2
C. 1
D.不定
7、已知△ AB（中, 121 °则此三角形解的情况是无解
&在△ AB（中，已知，，，则边长。

或
专题：等比叠加
1、△ AB（中，若，，则等于（A ）
A .2
B .
C . D.
2、在△ AB（中, A=60 ° , b=1 面积为，则= .
专题：变式应用
1、在厶AB（中，若△ A: △ B: △ C=ft2：3,
2、已知△ AB （中, a△ b△—1 △△则A A B△等于(A)
A.2^3
B. 2^ 3^1 (.1：3：2D. 3：1：2
3、在厶AB(中,周长为7.5cm ,且si nA： si nB： si nC—4：5：6,下列结
论：
①②③④其
中成立的个数是( ( )
A.0 个
B.1 个(.2 个D.3 个
4、在△ AB（中，已知边，，求边a、b的长。

解：由，,可得，
变形为sinAcosA=sinBcosB, △ sin2A=sin2B,
又厶b, △ 2A=2B, △ A+B=. △△ AB直角三角形.
由a2+b2=102 和，解得a=6, b=8。

5、在△ AB（中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ,若，贝U _________________
6、设锐角三角形的内角的对边分别为，.
（1）求的大小；
A. B. C. D.
9、 三角形的两边分别为 5和 3，它们夹角的余弦是方程的根，
A ．52
B ．
(．16
D ．4
10、 在厶AB (中，已知 AB=4, AC=7, BC 边的中线，那么 11、 设 A 、B C 为三角形的三内角，且方程(sinB —
sinA)x2+(sinA — sinC)x +(sinC — sinB)=0有等 根,那么角 B ( D )
A . B>60°
B . B > 60 ° C. B<60° D . B < 60 °
(sinA-sin( )2-4 (sinB-sinA)(sin(-sinB) =sin2A-2sinAsin( +sin2(-4(sinBsin(-sinAsin(-sin2B+sinAsinB) =(sinA+sin( )2-4sinB(sinA+sin( )+4sin2B=(sinA+sin(-2sinB)2 专题：判断三角形 1、 若，^U △（ A ）
A. 一定是锐角三角形
B. 可能是钝角三角形
C. 一定是等腰三角形
D. 可能是直角三角形
2、 在厶AB （中，角均为锐角，且则 △ ABC 勺形状是（ C ）
2）求的取值范围． 专题：求取值范围
△ AB （中，已知60 °,如果△ ABC 两组解，贝U x 的取值范围（C ） B . （. D . 已知锐角三角形的边长分别为 B . C .
D .
1、
A ．
2、 A ．
3、在锐角中,则的值等于 答案：设由正弦定理得 由锐角得, 又,故,所以
2、3、x ,贝U x 的取值范围是（
，的取值范围为
余弦定理
专题：公式应用
1、 在厶 AB （中, a = 3, b =, c = 2, A ． 30° B ．45°
2、 在三角形中，，则的大小为（ A ．
3、 长为 5、7、 那么 C ． ） B 等于（
60°
） D ． 120
4、 5 A. 90
在△ AB （中,
在△ AB
（中,
B ． （． 8 的三角形的最大角与最小角之和为 D ．
B. 120
150°,则
若,则(
B.
C. 135
)
D. 150
D.
（. ,则的值为（ 37
A 为（C ） （． ,则最大边的取值范围是
在△中，三边长分别为 A ．38
B ． 在厶AB （中，已知，则角 A ． B ．
&在钝角△ AB （中，已知， 9、设a 、b 、c 是的三边长，对任意实数 乂，有（
6、
7、
D C ．
)
36 D ． 35
D ．
贝三角形的另一边长为（ B ）
BC=
8、勺内角勺对边分别为，根据下列条件判断三角形形状： 9、若（a+b+c ）（b+c — a ）=3abc,且 sinA=2sinBcosC,那么△ AB （是 （ B ）
A .直角三角形 B.等边三角形
C.
等腰三角形 D .等腰直角三角形
10、在厶AB （中，已知，那么△ AB 一定是
）
等腰直角三角形
D . 正三角形
A .直角三角形
B .等腰三角形
C . 11、 在厶AB （中，若，贝U
△ ABC 勺形状是（D )
A .等腰三角形
B .直角三角形
C . 等腰直角三角形
D . 等腰或直角三角形
12 在中，，，分别为角， ， 所对边，若，贝此三角形一 定是（ C )
A •等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰或直角三角形
13、 在厶AB （中，若，贝U △ ABC 勺形状是（B )
A. 直角三角形
B. 等腰或直角三角形
C. 不能确定
D. 等腰三角形
14 、 已知锐角三角形的边长分别为 1， 3， a ， 贝 a 勺范围是（
B )
A .
B . (. D .
15、 A 为△ ABC 勺一个内角，且sinA+cosA=,则 △ AB (是 三角形 钝角 16、 在厶AB （中，已知，，试判断△ ABC 勺形状。

解：由正弦定理得： ，，。

所以由可得： ，即：。

又已知，所以，所以，即， 因而。

故由得： ，。

所以， △ABC 为等边三角形。

17、 已知的三个内角 A 、B 、C 所对的边分别为，向量 ，且. （ 1 ）求角 A 的大小；
（ 2 ）若，试求当取得最大值时的形状 . 9.解：（ 1 ）由
又因为 解得分
A. 直角三角形
B. 锐角三角形 3、△ AB （中，，，则厶AB 一定是
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形 （ D ）
C. 等腰三角形
D. 等边三角形 4、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，
则这个新的三角形的形状为
A. 锐角三角形
B. 直角三角形 5、 △ AB （中,,贝U △ ABC 定是
A. 直角三角形
B. 钝角三角形 6、 在△ AB （中，若，贝U △ AB 是（ B A .有一内角为30 °勺直角三角形 （ ．有一内角为 30°的等腰三角形 7、 若勺内角勺对边分别为，且则（
（. 钝角三角形
D. 由增加勺长度决定
（ D ）
（. 等腰三角形 D. 等边三角形
）
B. 等腰直角三角形 D .等边三角形
A .为等腰三角形
B. 为直角三角形
（ .为等腰直角三角形
D.为等腰三角形或直角三角形
△）在， ・ ? 即,
又由（ △）知所以，为正三角形
18、在△ ABC 中，求分别满足下列条件的三角形形状： ① B=60° ,b2=a ；c ①由余弦定理
.由a=c 及B=60°可知△ AB 为等边三角形. ② b2tanA=a2tanB ；②由
△人=或 A+B=90°, △△ ABC 等腰△或 Rt △. ③ sinC=③，由正弦定理：再由余弦定理：
④ （a2 －b2）sin （A+B ）=（a2+b2）sin （A －B ）. ④由条件变形为 △ △ AB 是等腰△或 Rt △.
专题：
1、 在厶AB （中，如果，那么等于 。

2、在中，已知，则 _____________
3、 在△ AB （中,，则厶ABC 勺最大内角的度数是 120
4、在△ AB （中, , cosC 是方程的一个根，求 △ AB 周长的最小值。

解： 又是方程的一个根 由余弦定理可得：
则： 当时，c 最小且 此时
△ AB （周长的最小值为
5、 在中，角所对的边分别为，且满足， ． （1） 求的面积； （II ）若，求的值. 解 （1）因为，，又由 得，
（2） 对于，又，或，由余弦定理得
专题：已知面积
1、已知A AB （的面积为，且，则 AA 等于 （D ）
A . 30 °
B . 30 或 150 °
C . 60 °
5、 在△ AB （中，若 S A ABC= （a2+b 2 c2）,那么角△ C= ___ .
6、 在△ AB （中, BC = a , AC = b , a , b 是方程的两个根，且。

求： ⑴角C 的度数; 长度。

解：（1） C = 120°
D . 60或 120 2、在中，已知角、、所对的边分别是、 、，边，且，又的面积为，则 3、 已知△中,,,,,,则（ ）
A. B .
C . 4、 若A AB 啲周长等于20,面积是,
D .或
A = 60 °,则BC 边的长是（
A . 5
B .6
C.
7 D .8
(2)AB 的
2）由题设：
7、在中，内角A 、B 、C 的对边长分别为、 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有 解法二 :由余弦定理得 : .又,. 所以 又，
，即
由正弦定理得，故 由①，②解得.
专题：求三角形面积 1、在厶 AB （中, ”△4 30 °,则厶AB 面积为 ( B ) D .或 A ． B ． C.或 2、
已知△ ABC 勺三边长，则 △ ABC 勺面积为 ( B )
A ．
B ．
C ．
D .
3、 三角形的一边长为 14, 这条边所对的角为，另两边之比为 8：5， 为。

4、 在厶AB （中, ° ,° △C 70 :那么△ ABC 勺面积为（ C )
A ．
B ．
C .
D .
5、
△ AB (中,,,,
则等于 ( C )
A B
C 或
D 或
6、
在ABC 中，, sinB=. (I )求 si nA 的值； (II)设 AC=, 求ABC 的面积 7、 、、为的三内角，
对边分别为、 、，若．
（△）求； （△）若，求的面积．
解：（△
又， ，
（ △）由余弦定理得 即: , △
8、 在锐角三角形中，边 a 、b 是方程x2- 2x+2=0的两根，角 A 、B 满足：2sin （A+B ）— =0,求 角C 的度数，边c 的长度及△ ABC 勺面积。

解：由 2sin （A+B ）— =0,得 sin （A+B ）=, △△ AB 为锐角三角形
△ A+B=120° C=60° 又b 是方程 x2 — 2x+2=0 的两根，△ a+b=2,
△ c=, = X 2 x°=
a • b=2, △ c2=a2+2»a • bcosC=（a+
b ）23ab=12 — 6=6,
△ c=, = X 2 X 。

9、 已知△勺内角的对边分别为，其中，又向量
m , n , m ・n=1
（1）若,求的值； （2 ）若，求△勺面积. 解：（1） △ mn
、，已知，且 求 b :化简并整理得： .又由已知 .解得
△ △
由正弦定理得，，△
（2）△,, △又△ △ △△
10、在中，.
（△求的值；（△设，求的面积.
10. 解：（△由，得.----2 分
△ △----4 分
. --- 6分
（△由，得，------8 分
由正弦定理得.-----10分
所以的面积.----12分
11、在中，角所对的边分别为，且满足，.
（I）求的面积；（II）若，求的值.
解（△
又，，而，所以，所以的面积为：
（△由（△知，而，所以
所以
定理应用
1、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60° ,则塔高为（）
A.米
B.米
C. 200 米
D. 200 米
2、海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60。

的视角，从B岛望C岛和A岛
成75°的视角，贝U B、C间的距离是（ C ）
A.10海里
B.5海里
C. 5 海里
D.5海里
3、某市在旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这
种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ D ）
A. 450a 元
B. 225a 元
C. 150a 元
D. 300a 元
4、甲船在岛B的正南方A处，AB= 10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ A ）
A. 分钟
B.分钟
C. 21.5分钟
D. 2.15分钟
5、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30 °,向前飞行10000
米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°这时飞机与地面目标的水平距离为（ A ）
A. 5000 米
B. 5000 米
C. 4000 米
D.米
6、如图：D,C,B三点在地面同一直线上，DC=a从C,D两点测得A点仰角分别是3 , a （狈＜仇）, 点离地面的高度AB等于（A ）
A. B.
c.
D.
7、在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线
成15°勺方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）
解：设游击手能接着球，接球点为B,而游击手从点A跑出，本垒为0点（如图所示）. 设从击出球到接着球的时间为t，球速为▼，则厶AOB= 15° 0B= vt,。

在厶AO冲，由正弦定理，得，
△
而，即sin △ OAB>1△:样的△ OA环存在，因此，游击手不能接着球.。