江苏省常州一中2016届高三数学上册期中考试题

300

B

C P

常州一中2016届高三文科数学11月期中考试

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1．设集合，，则=__________。

2．若（）为幂函数，且的图象过点，则的值为． 1 3．已知直线和，则的充要条件是 ﹣1 ．

4．若曲线在处的切线斜率为0，则实数的值为． 5．已知函数 则=．

6．将函数向左平移个单位,平移后的图像如图所示,则平移后图像所对应的函数解析式为 7．已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的通项公式为． 8.下列说法中正确的个数为 2 . ①命题：“若，则”的否命题是“若，则”；

②若复合命题“”为假命题,则均为假命题；

③“三个数成等比数列”是“”的充分不必要条件； ④命题“若,则”的逆否命题为真命题.

9．在锐角△中，若，，依次成等差数列，则的值为．3

10.正方形ABCD 的中心为（3,0），AB 所在直线的方程为，则正方形ABCD 的外接圆的方程为___________________ 11．已知正实数满足，则的最大值为.

12．如图,是直线上三点,是直线外一点,,,,则=________.

13.设函数若存在实数，使得有两个零点，则实数的取值范围是．或

14.已知数列满足,设为均不等于2的且互不相等的常数），若数列为等比数列，则的值为______________． 二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本题满分14分）在直角坐标系中，不共线的四点满足，且，，求： （1）的坐标；

（2）四边形的面积。

16.（本题满分14分）设向量a ,b ,ab .

(1)求函数的单调增区间和图像的对称中心坐标； (2)在锐角中,角的对边分别为,且,求的取值范围。 解: (1)

所以的单调增区间为,对称中心为. (2)由,得 ,为锐角,. 由正弦定理得, =

是锐角三角形,得.所以, 从而的取值范围为

17.（本题满分14分）如图所示,有一块半径长为1米的半圆形钢板,现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD,

设梯形部件ABCD的面积为平方米.

(I)按下列要求写出函数关系式:

①设(米),将表示成的函数关系式;

②设,将表示成的函数关系式.

(II)求梯形部件ABCD面积的最大值.

【答案】解:如图所示,以直径所在的直线为轴,线段中垂线为轴,建立

平面直角坐标系,过点C作于E,

(I)①∵,∴,

∴

②∵,∴,

∴,

(说明:若函数的定义域漏写或错误,则一个扣1分)

(II)(方法1)∴,

令,

则,

令,,(舍)

∴当时,,∴函数在(0,)上单调递增,

当时,,∴函数在(,1)上单调递减,

所以当时,有最大值,

答:梯形部件面积的最大值为平方米.

(方法2),

令,∴,,∴,(舍).

∴当时,,∴函数在(0,)上单调递增,

当时,,∴函数在(,1)上单调递减,

所以当时,

答:梯形部件ABCD面积的最大值为平方米.

(方法3)∴

,

令,得,即,(舍),

∴当时, ,∴函数在上单调递增, 当时,,∴函数在上单调递减 , 所以当时, 答:梯形部件面积的最大值为平方米.

18．（本题满分16分）已知圆的方程为,直线的方程为,点在直线上,过点作圆的切线,切点为.

(1)若,试求点的坐标;

(2)若点的坐标为,过作直线与圆交于两点,当时,求直线的方程;

(3)经过三点的圆是否经过异于点M的定点,若经过,请求出此定点的坐标;若不经过,请说明理由.

【答案】,解:(1)设,由题可知,所以,解之得:, 故所求点的坐标为或.

(2)设直线的方程为:,易知存在,由题知圆心到直线的距离为,所以,( ) 解得,或,ks.5u

故所求直线的方程为:或.( )

(3)设,的中点,因为是圆的切线

所以经过三点的圆是以为圆心,以为半径的圆,

故其方程为:

化简得:,此式是关于的恒等式,故

解得或

所以经过三点的圆必过异于点M的定点

19．（本题满分16分）已知,,是曲线在点处的切线.

(Ⅰ)求的方程;

(Ⅱ)若切线与曲线有且只有一个公共点,求的值;

(Ⅲ)证明对任意的,函数总有单调递减区间,并求出单调递减区间的长度的取值范围.(区间的长度=)

【答案】,,

,切点,斜率为.

∴切线的方程:

(Ⅱ)切线与曲线有且只有一个公共点等价于方程有且只有一个实数解.

令,则有且只有一个实数解.

∵,∴有一解.

①在上单调递增,

∴是方程的唯一解;

②,

∴,

∴方程在上还有一解.故方程的解不唯一;

③当,

∴,而当且趋向-1时,趋向,趋向.

∴方程在上还有一解.故方程的解不唯一.

综上,当与曲线有且只有一个公共点时,.

(Ⅲ);∵∴等价于.

∵,对称轴,,∴有解,其中.

∴当时,.所以的减区间为

当时,区间长度

∴减区间长度的取值范围为]

20．（本题满分16分）己知数列是公差不为零的等差数列，数列是等比数列．

（1）若（n∈N*），求证：为等比数列；

（2）设（n∈N*），其中是公差为2的整数项数列，，若

，且当时，是递减数列，求数列的通项公式；

（3）若数列使得是等比数列，数列的前项和为，且数列满足：对任意，N*,或者恒成立或者存在正常数，使恒成