数理逻辑

命题逻辑
• 并且“∧”(合取) 表示：“并且”、“不但…而且...”、 “既…又 ...”“尽管…还… ”，“和”， “与”，“同”，“以及”，“而且”。 P Q P∧Q 例如 P：小王能唱歌。 F F F Q：小王能跳舞。 F T F P∧Q：小王能歌善舞。 T F F P∧Q读成P并且Q。 T T T P∧Q的真值为真，当且 仅当P和Q的真值均为真。
数理逻辑
使用计算机必须首先学会编“程序”，那么什么 是程序？ 程序＝算法＋数据 算法＝逻辑＋控制 可见“逻辑”对于编程序是多么重要。要想 学 好、使用好计算机，必须学习逻辑，此外，通过 学习逻辑，掌握逻辑推理规律和证明方法 ，会 培 养同学们的逻辑思维能力，提高证明问题的技巧。
数理逻辑
正如著名的计算机软件大师戴克斯特 拉 (E.W.Dijkstra)曾经说过：我现在年 纪大了，搞了这么多年软件，错误不知犯 了多少，现在觉悟了。我想，假如我早在 数理逻辑上好好下点功夫的话，我就不会 犯这么多错误。不少东西逻辑学家早就说 过了，可是我不知道。要是我能年轻20岁 的话，我就会回去学逻辑。
P F F T T
Q P∨Q F F T T F T T T
命题逻辑
P：第一节上数学。 P Q：第一节上英语。 F 例2中的复合命题 F 可写成P Q，读 T 成 P异或Q。 T P Q的真值为F， 当且仅当P与Q的真值相同。
Q P Q F F T T F T T F
命题逻辑
• 蕴含(条件)“” 表示“如果… 则 …”，“当... 则...”,“若...那么...”，“假如...那 么...” 例如： P表示：缺少水分。 Q表示：植物会死亡。 PQ：如果缺少水分，植物就会死亡。 PQ：也称之为蕴含式，读成“如果P则Q”。 也说成P是PQ 的前件，Q是PQ的后件。
数理逻辑
形式逻辑主要是研究推理的。 • 归纳推理：由若干个别事实推出一般结论。 如：铜能导电。铁能导电。锡能导电。铅 能导电。……一切金属都导电。 • 演绎推理：由一般规律推出个别事实。 形式逻辑主要是研究演绎推理的。 例1：如果天下雨，则路上有水。(一般规律) 天下雨了。 (个别事实) 推出结论：路上有水。 (个别结论)
命题逻辑
源自文库
• 命题公式的真值表 一个命题公式不是命题，所以它没有 真值，但是给其中的所有命题变元作指派以 后它就有了真值。可以以表的形式反应它的 真值情况，例如命题公式 (PQ)∨Q 的 真值表如下所示： P Q P P Q (PQ)∨Q F F T F F F T T T T T F F T T
命题逻辑
• 简单命题 (原子命题)：由最简单的陈述句 构成的命题 (该句再不能分解成更简单的 句子了)。通常用大写英字母表示,如P,Q等。 • 例1中的(1)、(2)、(3)是原子命题。 • 复合命题 (分子命题)：由若干个原子命题 通过一些联接词组成的较为复杂的命题。 • 例1中的(4)是由三个原子命题(a>b、b>c、 a>c)构成的复合命题。
命题逻辑
• 或者“∨”（析取） 表示“或者”，“或者”有二义性，看下面 两个例子： 例1. 灯泡或者线路有故障。 例2. 第一节课上数学或者上英语。 例1中的或者是可兼取的或。即或者“∨” 例2中的或者是不可兼取的或，也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
命题逻辑
P：灯泡有故障。 Q：线路有故障。 例1中的复合命题可 表示为：P∨Q，读 成P或者Q，P∨Q的 真值为F，当且仅当 P与Q均为F。
命题逻辑
• 由于对每个命题变元可以有两个真值(T,F) 被指派，所以有n个命题变元的命题公式 A(P1,P2,…,Pn) 的真值表有2n行，每个指派 对应公式的一个确定的值。
• 公式值的确定是按公式中联结词出现的先 后顺序及括号顺序逐步应用命题联结词的 真值表规定而得到的。
命题逻辑
所谓命题符号化，就是用命题公式的符号串来表示给定的命 题。 • 命题符号化的方法 1.首先要明确给定命题的含义。 2.对于复合命题，找联结词，用联结词断句，分解出各个原 子命题。 3.设原子命题符号，并用逻辑联结词联结原子命题符号，构 成给定命题的符号表达式。 4.为了减少括号的使用，在此做下列规定： (1)5个联接词的结合能力从强到弱顺序为：“否定”，“合 取”，“析取”，“蕴含”，“等价”。 (2)规定具有相同结合能力的联接词，按照出现的先后次序， 先出现者先运算，凡符合此要求者，括号均可除去。 (3)最外层括号可省去。
命题逻辑
• 等价“” 表示“当且仅当”、“充分且必要”,"相同"， “相等”，“一样” 例如： P：⊿ABC是等边三角形。 Q：⊿ABC是等角三角形。 PQ ：⊿ABC是等边三角形当且仅当 它是等角三角形。
命题逻辑
• PQ的真值为真，当且仅当P与Q的真值相 同。
P F F T T Q F T F T PQ T F F T
数理逻辑
数理逻辑是用数学的方法研究形式逻辑。 所谓“数学方法”：是建立一套有严格定义的 符号，即建立一套形式语言，来研究形式逻辑。 所以数理逻辑也称为“符号逻辑”。 它与数学的其它分支、计算机科学、人工智能、 语言学等学科均有密切联系。 • 这里只讨论“命题逻辑”和“谓词逻辑”。 • 下面就前面两个例子，说明如何将推理符号化 的。
命题逻辑
• 命题是一个能确定是真的或是假的判断。（判断都是用陈 述句表示） 例1. 判定下面这些句子哪些是命题。 ⑴ 2是个素数。 ⑵ 雪是黑色的。 ⑶ 2013年人类将到达火星。 ⑷ 如果 a>b且b>c，则a>c。 ⑸ x+y<5 ⑹ 请打开书！ ⑺ 您去吗？ ⑴⑵⑶⑷是命题
命题逻辑
• 一个命题所作的判断有两种可能：是正确 的判断或者是错误的判断。所以 一个命题的真值有两个：“真”或“假” • 真值为真:一个命题所作的判断与客观一致, 则称该命题的真值为真,记作T (True)。 • 真值为假:一个命题所作的判断与客观不一 致,则称该命题的真值为假,记作F (False)。 • 例1中(1)(4)的真值为真,(2)的真值为假, (3)暂时不能定，等到2013年确定。
• PQ的真值为假，当且仅当P为真、Q为假。 • 在这里，当前件P为假时，则不论后件是真还是假此蕴含 式一定为真。如“如果明天天气晴朗则举行运动会。”此 蕴含式是对“明天天气晴朗”条件成立而言，此时如举行 运动会则为真，不举行则为假。但是如果明天天气不晴朗， 此蕴含式并没有考虑这种情况，则不管举行还是不举行运 动会都认为真。
命题逻辑
重言(永真)蕴含式 定义：如果公式AB是重言式，则称A重言 (永真)蕴含B，记作 A B 。 注意符号“”不是联结词，它是表示公式 间的“永真蕴含”关系，也可以看成是 “推导”关系。即AB可以理解成由A可推 出B，即由A为真，可以推出B也为真。
命题逻辑
• 性质 1).有自反性：对任何命题公式A，有AA 2).有传递性：若AB且BC，则AC 3).若AB 且 AC，则AB∧C 4).若AB 且 CB，则A∨CB 我们可以通过列真值表(即列永真式的真值表) 来证明重言(永真)蕴含式。
命题逻辑
• 例4. 仅当天不下雨且我有时间，才上街。 P：天下雨。Q：我有时间。R：我上街。 分析：由于“仅当”是表示“必要条件” 的，既“天不下雨且我有时间”，是“我上 街”的必要条件。所以 该命题可写成： R(P∧Q) • 例5.人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必 犯人。 P是Q的充分条件 P是Q的必要条件 P：人犯我。 Q：我犯人。 P是Q的充分且必要条件 该命题可写成：(PQ)∧(PQ)
命题逻辑
例1.说离散数学无用且枯燥无味是不对的。 P：离散数学是有用的。 Q：离散数学是枯燥无味的。 该命题可写成： (P∧Q) 例2.如果小张与小王都不去，则小李去。 P：小张去。 Q：小王去。 R：小李去。 该命题可写成： (P∧Q)R 例3.如果小张与小王不都去，则小李去。 该命题可写成： (P∧Q)R 也可以写成： (P∨Q)R
命题逻辑
• 命题公式 定义：⑴ 单个命题变元是个命题公式。 ⑵ 若A是命题公式，则A是命题公式。 ⑶ 若A和B是命题公式，则(A∧B)， (A∨B)， (AB)和(AB)都是命题公式。 ⑷ 当且仅当有限次地应用⑴，⑵，⑶ 所得到 的含有命题变元、联结词和括号的 符号串
命题逻辑
• 下面的式子不是命题公式： P∧Q， PR， （P∨Q）∧R） • 下面的式子才是命题公式： (P∧Q)，(PR)，((P∨Q)∧R) • 按照合式公式定义最外层括号必须写。 • 约定：为方便，最外层括号可以不写，上 面的命题公式可以写成： P∧Q，PR，(P∨Q)∧R
命题逻辑
• 联结词 复合命题的构成：是用“联结词”将原子命题联 结起来构成的。 归纳自然语言中的联结词，定义了五个逻辑联结 词，分别是： (1) 否定“” (2) 并且“∧” (3) 或者“∨” (4) 蕴含“” (5) 等价“”
命题逻辑
• 否定“” 表示：“…不成立”，“不…”，“非”，“没 有”，“无”，“并非”，“并不”。 用于:对一个命题P的否定,写成P,并读成“非 P”。 P P P的真值：与P真值相反。 F T 例1中 P：2是素数。 T F P：2不是素数。
命题逻辑
• 方法1. 列真值表。 例如，证明 (P∧(PQ))Q 为重言式。 P Q PQ P∧(PQ) (P∧(PQ))Q F F T F T F T T F T T F F F T T T T T T 永真式的真值表的最后一列全是“T”
命题逻辑
永真式的性质 1).如果A是永真式，则A是永假式。 2).如果A，B是永真式，则(A∧B)、(A∨B)、 (AB)和(AB)也都是永真式。 有些重言(永真)式，如(P∧(PQ))Q， 公式中间是“”联结词，是很重要的， 称之为重言蕴含式。
F F T T
F T F T
T T F T
命题逻辑
• 充分条件：就是只要条件成立，结论就成立，则该条件就 是充分条件。 上例中，“缺少水分”就是“植物会死亡” 的充分条件。在自然语言中表示充分条件的词有 ： 如 果 …则… ，只要… 就…，若…则… • 必要条件：就是如果该条件不成立，那么结论就不成立, 则该条件就是必要条件。 上例中，“植物死亡”就是“缺少水分”的必要条件(植 物未死亡，一定不缺少水分)。 在自然语言中表示必要条件的词有 ： 只有 …才… ； 仅当…，… ; …, 仅当…。
第五篇 数理逻辑
逻辑--是研究人的思维的科学。它包含： 1.辩证逻辑：是研究人的思维中的辩证法。是 研究思维内在语义规律，属于哲学的范畴。 例如：用全面的和发展的观点观察事物； 具体问题具体分析； 实践是检查事物正误的唯一标准；等等。 2.形式逻辑：是研究人的思维的形式和一般规 律。是研究思维外部表现的规律。 这里我们只关心形式逻辑。
命题逻辑
常值命题与命题变元 • 常值命题：即是我们前面所说的命题。它是有具体含义 (真值)的。 例如：“3是素数。”就是常值命题。 • 命题变元：用大写的英字母如P、Q等表示任何命题。称这 些字母为命题变元。 • 对命题变元作指派(给命题变元一个解释)：将一个常值命 题赋予命题变元的过程，或者是直接赋给命题变元真值 “T”或“F”的过程。 • 注意：命题变元本身不是命题，只有给它一个解释，才变 成命题。
命题逻辑
• 重言式(永真式)与矛盾式(永假式) 例子： P P∨P P∧P F T F T T F 可见不论P取什么真值P∨P 的真值总 是为真，P∧P的真值总是为假。故称 P∨P为重言式(永真式)，称P∧P为矛盾 式(永假式)。
命题逻辑
• 重言式(矛盾式)定义 A(P1,P2,…,Pn) 是含有命题变元P1,P2,…, Pn的命题公式，如不论对P1, P2 , …, Pn作 任何指派，都使得A(P1,P2,…, Pn) 为真 (假)，则称之为重言式(矛盾式), 也称之 为永真式 (永假式)。 • 重言式的证明方法 方法1：列真值表。 方法2：公式的等价变换，化简成“T”。