平面向量典型题型大全

平面向量

题型1.基本概念判断正误： 例2

（1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r

___；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r

____；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r _____

（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则||a b c ++r r r

＝_____

（3）若O 是ABC V 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，则ABC V 的形状为_

9．与向量a =（12，5）平行的单位向量为 （ ）

A ．125,1313⎛⎫-

⎪⎝⎭ B ．12

5,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭

C ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫--

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 D ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫

-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

或 10．如图，D 、E 、F 分别是∆ABC 边AB 、BC 、CA 上的

中点，则下列等式中成立的有_________：

①+-=u u u r u u u r u u u r

FD DA AF 0 ②+-=u u u r u u u r u u u r

FD DE EF 0 ③+-=u u u r u u u r u u u r

DE DA BE 0

④+-=u u u r u u u r u u u r

AD BE AF 0

11.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r

，则（ ）

A.0PA PB +=u u u r u u u r r

B.0PC PA +=u u u r u u u r r

C.0PB PC +=u u u r u u u r r

D.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r

12.已知点(3,1)A ，(0,0)B ，(3,0)C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=u u u r u u u r

，其中λ等于

（ ）

A.2

B.

1

2

C.-3

D.－13

13.设向量a=(1, －3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，

则向量d 为 ( )

A.(2,6)

B.(－2,6)

C.(2,－6)

D.(－2,－6)

14.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r

，则 x = ，y =

.

图2

15、已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r

那么（ ）

Ａ．AO OD =u u u r u u u r

Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r

Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD

=u u u r u u u r

题型3平面向量基本定理

F E C B

A

平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

性质：向量 PA PB PC u u u r u u u r u u u r

、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得PA PB PC αβ=+u u u r u u u r u u u r 且1αβ+=. 例3

（1）若(1,1),a b ==r r (1,1),(1,2)c -=-r ，则c =r

______ （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A. 12(0,0),(1,2)e e ==-u r u u r

B. 12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u r

C. 12(3,5),(6,10)e e ==u r u u r

D. 1213(2,3),(,)24e e =-=-u r u u r

（3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==u u u r r u u u r r ,则BC u u u r

可用向量,a b r r 表示为 （4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→

−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___

（5）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→

−OC −→

−−→

−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______ 练习

1.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A. 12(0,0),(1,2)e e ==-u r u u r

B. 12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u r

C. 12(3,5),(6,10)e e ==u r u u r

D. 1213(2,3),(,)24

e e =-=-u r u u r

2.（2011全国一5）在ABC △中，AB c =u u u r ，AC b =u u u r ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD u u u r

=（ ）

A ．

2133

b c + B ．5

233

c b -

C ．

2133

b c - D ．1

233

b c +

3．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD （ ）.

A ．BA BC 21+-

B ．BA B

C 21

-- C ．BA BC 21- D ．BA BC 2

1

+

题型4向量的坐标运算

例4

（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈u u u r u u u r u u u r

，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上

（2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y =u u u

r 且，,(,)22x y ππ

∈-，则x y +=

（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=u u r u u r u u r ，则合力123F F F F =++u r u u r u u r u u r

的终点坐标是

（4）设(2,3),(1,5)A B -，且13

AC AB =u u u r u u u r ，3AD AB =u u u

r u u u r ，则C 、D 的坐标分别是__________

练习

1.已知(4,5)AB =u u u r

，(2,3)A ，则点B 的坐标是 。

2.设平面向量()()3,5,2,1a b ==-r r

，则2a b -=r r ( )

（Ａ）()7,3 （Ｂ）()7,7 （Ｃ）()1,7 （Ｄ）()1,3

3.若向量(1,2)AB =u u u r ，(3,4)BC =u u u r

，则AC =u u u r

A. (4,6)

B. (4,6)--

C. (2,2)--

D. (2,2)

题型5.求数量积