【市级联考】安徽省巢湖市2019届高三三月联考数学（文科）试题
2019年合肥市高三三模数学文试题及答案
高考数学精品复习资料2019.5安徽省合肥市高三第三次教学质量检测数学试题（文）(考试时间：120分钟满分：150分）第I 卷（满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）1. 若U={-2,-1,0,1,2},M={-1，0,1}，N={-2,-1,2}，则)(N M C U ＝( )A. φB.{0，1}C.{-2，0,1，2}D. {-1}2. 已知（1+i)(a+bi)=3-i(i 为虚数单位，a ，b 均为实数），则a 的值为（ ）A.0B. 1C.2D.33.直线l 经过点（1，-2)，且与直线x+2y=O 垂直，则直 线l 的方程是（ ）A. 2x + y - 4 = OB. 2x + y - 4 = OC. 2x - y -4 =OD. 2x - y + 4 = O4. 已知函数f(x)=Asin()0,0(),>>+A x ωϕω的部分图像 如图所示,则实数ω的值为（ ) A. 21 B. 1 C.2 D.4 5. 若l ，m 为空间两条不同的直线，a, β为空间两个不同的平面，则l丄a 的一个充分条件是（ ）A,l//β且a 丄β B. l β⊂且a 丄βC.l 丄β且a//βD.l 丄m 且m//a6. 右图的程序框图中输出S 的结果是25，则菱形判断框内应填入的条件是（）A. i <9B.i>9C.i ≤9D.i ≥97. 对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据（x i ，y i )( i=1，2，…，8)，其回归直线方程是a x y +=31 ：，且x 1+x 2+x 3+…+x 8=2(y 1+y 2+y 3+…+y 8)=6，则实数a 的值是（ ） A. 161 B. 81 C. 41 D. 21 B.设e 1，e 2是两个互相垂直的单位向量，且2131e e OA +=，2121e e OB +=则OA 在OB 上的投影为（ ）A. 410B. 35C. 65D. 322 9. 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-≤+≤11313x y x y x y 所表示的平面区域面积为（ )A, 23 B.2 C. 25 D.3 10.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若f(x)的最小正周期为4，且f(1)>1，f(2)=m 2-2m,f(3)= 152+-m m ，则实数m 的取值集合是（ ） A. }32|{<m m B.{O ，2} C. }341|{<<-m m D. {0}第II 卷（满分1OO 分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置）11.函数f(x)= x lg 1-的定义域为______12.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为y=x 43，焦点到渐近线的距离为3，则该双曲线的方程为______ 13.甲、乙两人需安排值班周一至周四共四天，每人 两天，具体安排抽签决定，则不出现同一人连续 值班情况的概率是_____14.右图为一个简单组合体的三视图,其中正视图由 一个半圆和一个正方形组成，则该组合体的体积 为______.15.下列关于数列{a n }的命题：①数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n = a n + 1，则{a n }不一定是等比数列；②数列{a n }满足a n+ 3 - a n+ 2 = a n + 1 - a n 对任意正整数n 恒成立，则{a n }一定是等差数列； ③数列{a n }为等比数列，则{a n ·a n+1}为等比数列；④数列{a n }为等差数列，则{a n +a n+1}为等差数列；⑤数列{a n }为等比数列，且其前n 项和为S n 则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2 ,…也成等比数列. 其中真命题的序号是_______（写出所有真命题的序号）.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.(本小题满分12分）已知向量a= (1，-2)，b=(2sin 2A ,cos 2A ),且a ·b=1 (I)求sinA 的值；(II)若A 为ΔABC 的内角，)2,0(π∈A ,ΔABC 的面积为73，AB=4，求BC 的长.17.(本小题满分12分）根据空气质量指数4PI(整数）的不同，可将空气质量分级如下表：对甲、乙两城市某周从周一到周五共5天的空气质量进 行监测，获得的API 数据如下图的茎叶图.(I)请你运用所学的统计知识,选择三个角度对甲乙两城市本周空气质量进行比较；(II)某人在这5天内任选两天到甲城市参加商务活动，求他在两天中至少有一天遇到优良天气的概率.18.(本小题满分12分）如图BB 1 ,CC 1 ，DD 1均垂直于正方形AB 1C 1D 1所在平面A 、B 、C 、D 四点共面. (I)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(II)若E,F 分别为AB 1 ,D 1C 1上的点，AB 1 =CC 1 =2BB 1 =4,AE = D 1F =1.求证:CD 丄平面DEF;19.(本小题满分13分）已知椭圆C: )0(12222>>=+b a by a x 的顶点到焦点的最大距离为22+，且离心率为22(I)求椭圆的方程；(II)若椭圆上两点A 、B 关于点M(1，1)对称，求|AB|20.(本小题满分I3分）已知函数f(x)=(x-1)e x -ax 2(I)当a=1时，求函数f(x)在区间[0,2]上零点的个数;(II)若f(x)≤ 0在区间[0，2]上恒成立，求实数a 的取值范围.21.(本小题满分13分）已知正项等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，满足2S n =a n ·a n+1 (I )求数列{a n }的通项公式；(II)设b n =n a n S 21 ，T n =b 1+b 2+…+b n,求证:T n <3. 。
安徽省巢湖市2019届高三数学三月联考试题文(含解析)
安徽省巢湖市2019届高三年级三月联考数学（文科）试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分），则（已知集合，）1.B. A.D.C.【答案】C【解析】【分析】，再和集合求交集即可得出结果解不等式.得到集合【详解】解不等式，所以，又得，所以.故选C【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.，则的表达式为（（），为虚数单位）2. 设D.B.C.A.【答案】A【解析】【分析】，再由复数相等求出，进而可求出结果.由复数的运算法则化简又因，为所，以详【解】，.因此A故选【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则以及复数相等的充要条件即可，属于基础. 题型在点3.曲线处的切线经过点，则的值为（） C. D. A. 1B. 2- 1 -【答案】C【解析】【分析】，进而可得切线方程，再由切线过点，即可得出结果对函数.求导，求出【详解】因为，，所以，故，又所以曲线在点又该切线过点，处的切线方程为，所以，解得.故选C求出函数在点处的切线方程【点睛】本题主要考查导数的几何意义，先对函数求导，.即可，属于常考题型各种用途占比统计如图所示的折线图年收80000元，4.某位教师2017年的家庭总收入为入的各种用途占比统计如图所示的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018 年的家庭总收入为A. 100000元B. 95000元C. 90000元D. 85000元D 【答案】【解析】【分析】先求出2017年的就医费用，从而求出2018年的就医费用，由此能求出该教师2018年的家庭总收入．年的就医费用为元，【详解】由已知得，2017元，年的就医费用为元．2018该教师年的家庭总收入D故选：．年的家庭总收入的求法，考查折线图和条形统计图的性质等基础【点睛】本题考查教师2018- 2 -知识，考查运算求解能力，是基础题．已知的值为，，则5.D.B.A.C.【答案】A【解析】【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值.得，【详解】，.而A.故选【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，. 属于基础题 6.如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（）D. A. 2 B. C. 4A 【答案】【解析】【分析】所有截面都是等腰三角形，根据三角形的面积公式可知，当顶角为时，面积取得最大值，.由此求得最大的截面面积的半圆锥，故过其顶点的截面【详解】将三视图还原，可知几何体是一个轴截面的顶角为 A.面积.故选【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆锥的截面面积最大值的计算，考查三角- 3 -形面积公式，属于中档题.也是从区间若内任意选取的一个实数，则点是从区间7.内任意选取的一个实数，：内的概率为（在圆）D.A.C.B.C 【答案】【解析】【分析】内任意选取的一个实数，可知点是从区间也是从区间内任意选取的一个实数，由构成正方形区域，求出正方形的面积以及圆的面积，即可由面积比得出结果.【详解】也是从区间内任意选取的一个实数，是从区间所以点内任意选取的一个实数，因为的正方形区域，且正方形面积为的所有取值构成边长为4；如图所示，作出满足题意的正方形和圆，，所以；：可得，所以内，由在圆，因此，所以阴影部分面积为.：内的概率为在圆所以点C故选【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记公式即可，属于常考题型.8.函数的部分图象符合的是- 4 -B. A.D. C.B 【答案】【解析】【分析】的值进行排除即可．利用特殊值法分别计算，是偶函数，【详解】故得到函数y图象关于轴对称，C排除，DA，，，排除B故选：．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特殊值法是解决本题的关键．知式求图的问题常见的方法是先通过函数的定义域和值域进行排除，再由函数的特殊值进行排除，也. 可以采用判断极限的方法进行排除面轴分别交于点，上运动，则，点9.在椭圆已知直线：与轴，积的最大值为（）D.B.A. 6 C.D 【答案】【解析】【分析】坐标，根据点到直线距离长度，再由椭圆方程设出点由直线方程求出点，坐标，得到. 公式，求出三角形的高，进而可求出结果，，，因此与轴，【详解】因为：轴分别交于点，，所以上运动，所以可设在椭圆又点，- 5 -其(所以点的距离为到直线.，所以中)D故选【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，需要用到点到直线距离公式等，属于常考题. 型ABCabcABC，的面积的角，，10.三角形已知锐角，且的对边分别为，，，则的取值范围为D.B.C.A.D 【答案】【解析】【分析】ABDD，上，如图：根据面积算出于C因为三角形为锐角三角形，所以过做，在边，二次函数知识可求得．再根据勾股定理表示出CDABD作于上，如图：，在边【详解】因为三角形为锐角三角形，所以过因为：，所以，ADC在三角形中，，BDC在三角形，中，，，结合二次函数的性质得到：．设．D．故选：- 6 -【点睛】本题考查了三角函数的应用以及二次函数的值域，最值问题；题目难度中等.这个题目考查了二元问题的应用，一般采用的是二元化一元.的垂线，点作平面，过11.中，在的中点，在该垂线，时，三棱锥外接球的半径为（）上，当 D.B. C.A.D 【答案】【解析】【分析】所以外接球球心在为底面外接圆圆心，可得，先由，因此，，连结，即可结合勾股定理求解.上，记球心为又因为，为底面外接圆圆心，，，【详解】因此因为，所以，连结上，记球心为，则，平面，所以外接球球心在，设球的半径为中，，即，又所以，，所以在.解得D故选【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.以为圆心，的左，右顶点为右焦点分别为，，12.，已知双曲线：若为半径的圆与双曲线，在第一象限的交点为，（且，为坐标原点）则双曲线的离心率为（）D. A.B.C.- 7 -【答案】A【解析】【分析】求出，，再由双曲线的定义结合求出先由题意得到，，两式相等，即可求出结果.所以，，，【详解】，由题意可得因为在双曲线的右支上，所以又因点；因此，因为，所以以，，解得所以所，因即为，，.A故选【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）k的值为，若向量共线，则实数，13.，已知向量与向量 ______．【答案】【解析】【分析】共线，即可先由的坐标表示，再由向量与向量，得出向量. 求出结果向量，，，所以【详解】因为向量；又.与向量共线，所以，解得故答案为【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理即可，属于基础题型.14.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽__________人．【答案】60【解析】- 8 -【分析】先由题中数据求出抽样比，确定每乡抽取的人数，进而可求出结果.【详解】由题意可得，三乡共有人，从中抽取500人，因此抽样人；南乡共抽取，所以北乡共抽取比为人，所以北乡比南乡多抽人.故答案为【点睛】本题主要考查分层抽样，只需依题意确定抽样比即可求解，属于基础题型.，则的取值范围为__________满足约束条件．15.若，【答案】【解析】【分析】连先由约束条件作出可行域，再由目标函数表示可行域内的点与定点. 线的斜率，结合图像即可得出结果【详解】由约束条件作出可行域如下：与定点连线的斜率，所以由图像可得因为目标函数表示可行域内的点解得；由，由；或解得的取值范围是，因此，所以.- 9 -故答案为【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何. 意义即可求解，属于基础题型的已知函数，函数是定义域为，则16.的奇函数，且．值为__________【答案】【解析】【分析】.，进而可求出结果，再由先由题意求出的奇函数，求出是定义域为，即，所以，【详解】因为，的奇函数，所以是定义域为又函数，.因此故答案为. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，熟记函数奇偶性定义即可，属于基础题型 82.0分）三、解答题（本大题共7小题，共n17.项和为已知等差数列的前，公差为，，求数列若的通项公式；ndnd使，，的值，是否存在并求出数列成立？若存在，试找出所有满足条件的的通项公式；若不存在，请说明理由． 2）见解析（1（）；【答案】【解析】【分析】到由，得通差接直代入等数列的项公式答案；得，公求已由知得差nddn的，分类分析即可得到所有满足条件的，然后依次取，值，求得值，并求得通项公式．．，得【详解】当时，由，即；- 10 -由题意可知，，即．，，不合题意；令时，得，符合．时，得此时数列的通项公式为；，不合题意；时，得，符合．时，得；此时数列的通项公式为时，得，符合．；此时数列的通项公式为时，得，不合题意；时，得，不合题意；，不合题意；时，得时，，均不合题意． 3组，其解与相应的通项公式分别为：存在，，；，，；，，．n项和，考查分类讨论的数学思【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前想方法，考查计算能力，是中档题．的中点，将△PADD是ABCP中，CP∥AB，CP⊥BC，CPAB=BC=CP，，在直角梯形18.如图（一）上的动点．，点M为棱P′CP′的位置得到图（二）AD沿折起，使点P到达点在何处时，平面ADM⊥平面P′BC，并证明；1（）当M的距ABCDP′到平面P′ADCAB=22（）若，∠P′DC=135°，证明：点到平面的距离等于点离，并求出该距离．- 11 -2）【答案】（1）见解析；（【解析】【分析】BC⊥平面AD⊥平面，再证明平面D中点MC，先证垂直，进而证明与DM，（1AD）取到C的距离等于点到平面ADADM；（2）利用转换顶点三棱锥体积不变底面积相等易证点.,并求该距离平面ABCD的距离，ADM⊥平面BC1）当点M为C的中点时，平面【详解】解：（中点，为C证明如下：∵D=DC，M C⊥DM，∴∵AD⊥DP，AD⊥DC，，D∴AD⊥平面C C，∴AD⊥ ADM，∴C⊥平面 ADM；∴平面BC⊥平面）（2，于证明：在平面CDH上作H⊥CD C）中AD⊥平面，D由（1，可知平面CD⊥平面ABCD ABCD，∴H⊥平面 DH=45°，由题意得D=2，∠- 12 -H=∴，，又 h，到平面AD设点C的距离为 =即，，由题意△ADC≌△AD，∴H=h．的距离，且距离为到平面AD的距离等于点到平面故点CABCD【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查等体积法和点到面的距离的求法，.意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力名同学进行竞赛预选6019.为了选拔学生参加全市中学生物理竞赛，学校先从高三年级选取分组，赛，将参加预选赛的学生成绩（单位：分）按范围，，，得到的频率分布直方图如图：）计算这次预选赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（1 2的学生进行校内奖励，估计获奖分数线；）若对得分在前（名学生中男女生比例为）若这60分评估为“成绩良好”，否则评估为，成绩不低于60（3列联表，是否有“成绩一般”，试完成下面的把握认为“成绩良好”与“性别”有关？- 13 -附：，临界值表：0.010 0.05 0.106.6353.8412.706.）有的把握认为“成绩良好”与“性别”有关分；（3（1）56分；2）67.5【答案】（【解析】【分析】）平均值等于每组的中间值乘以该组频率再求和，即可得出结果；（1，再由题意列出方程，即可）根据题意先求出获奖分数线所在的区间，设获奖分数线为（2 求出结果；求出男女生人数，，60名学生中男女生比例为(3)先求出成绩落在区间的人数，根据即可完善列联表，再由公式求出.,结合临界值表即可得出结果）预选赛的平均成绩为.（1【详解】解：（分）的频率是，成绩落在区间的频率是2）因为成绩落在区间（，，.所以获奖分数线落在区间，设获奖分数线为，则解得，. 分即获奖分数线为67.5，）成绩落在区间的人数为（3人，女生，故男生40人中男女生比例为又6020人，可得列联表如下：- 14 -.所以又因为，.的把握认为“成绩良好”与“性别”有关所以有【点睛】本题主要考查频率分布直方图中平均值的计算，以及独立性检验问题，熟记公式即. 可求解，属于基础题型CE．已知抛物线：：，圆20.llCEF与圆若过抛物线方程；的焦点相切，求直线的直线xABlE使，在的条件下，若直线交抛物线轴上是否存在点于两点，M的坐标；若不存在，请说明理由．为坐标原点？若存在，求出点）存在定点（2；【答案】（1）【解析】【分析】，解方程可得所求求得抛物线的焦点，设出直线的方程，运用直线和圆相切的条件：BA的坐标，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公直线方程；，设出Mt式，化简整理，解方程可得的坐标，即可得到结论．，即由题意可得抛物线的焦点，【详解】kCF，方程设为的直线不可能与圆相切，设直线的斜率为当直线的斜率不存在时，过，，，由圆心到直线的距离为即当直线与圆相切时，，解得，即直线方程为；，，，可设直线方程为，联立抛物线方程可得，，则x轴上假设存在点使，即有，可得，- 15 -，即为，由，可得，，，即符合题意；即，由对称性可得也符合条件．当直线为使得．所以存在定点【点睛】本题考查直线与圆的位置关系和直线与抛物线的位置关系，考查相切的条件和联立涉以及方程思想和变形能力，属于中档题．方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，及方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．.21.设函数）试讨论函数的单调性；（1方程，附：）证明：若，，有且仅有3个不同的实数根.（2（）. 2）详见解析（1）详见解析；（【答案】【解析】【分析】）先对函数求导，分类讨论两种情况，即可得出结果；（1和中结果，得到函数单调性，求出代入函数解析式，得到）将(1)，根据（2. 函数极值，即可得出结果）由【详解】解：（1，，得，令所以，所以当时，，恒成立，- 16 -恒成立，即所以单调递增；，时，，，此时方程当，不妨设有两个不相等的根令，，所以，，所以当时，，所以即单调递增；时，当，即，所以单调递减；时，，当. 单调递增即，所以在时，上单调递增；综上，当的单调递增区间为；当的单调递减区间，时，.为，时，（2）当）知，函数上单调递增，在上单调递减，在在由（1 上单调递增，时，函数有极大值，且所以当，当有极小值，时，函数.且- 17 -，又因为，与函数个交点，的图象在区间上有且仅有3所以直线.个不同的实数根时，方程有且仅有所以当3【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，由导数的方法研究函数. 的单调性和极值等，属于常考题型作（中，圆为参数）的参数方程为22.，过点在平面直角坐标系. 的直线两点与圆，斜率为交于，求到直线的值；（1的距离为）若圆心.中点）求线段（2的轨迹方程. ）；1（（）2【答案】【解析】【分析】的方程，再根据点到直线1（）先由圆的参数方程消去参数得到圆的普通方程，由题意设直线的距离公式即可求出结果；代入圆的方程，，的参数方程为（为参数）（2）由题意，设直线. 坐标，进而可求出结果结合韦达定理写出点E的普通方程为（1，）由题知，圆【详解】解：.即圆，半径的圆心为的方程为依题可设过点的直线，即，到直线设圆心，的距离为则，.解得的参数方程为（设直线，代入圆为参数）（，，： 2）.得，，，则设，，对应的参数分别为，.，所以- 18 -又点，的坐标满足，即的轨迹的参数方程为，所以点.化为普通方程为. 【点睛】本题主要考查参数方程，熟记参数方程与普通方程的互化即可求解，属于常考题型.23.已知函数）在平面直角坐标系中作出函数（1的图象；.）若当恒成立，求时，不等式（2的最大值-6. ））详见解析；1（2【答案】（【解析】【分析】写出分段函数的形式，在坐标系内作出每段的图像即可；将函数(1)，各部分所在直线轴的交点的纵坐标为可求出数(2) 3当的图象与时，由(1)，再由不等式-3的斜率的最小值为恒成立，可求出的范围，进而可. 求出结果（【详解】解：1），其图象如下图：- 19 -31轴的交点的纵坐标为）知函数，的图象与（2）若，由（ -3，各部分所在直线的斜率的最小值为恒成立，故当且仅当且时时，不等式所以，，所以-6.的最大值为故. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，通常需要分情况去绝对值求解，属于常考题型- 20 -。
【市级联考】安徽省巢湖市2019届高三三月联考数学(文科)试题-c1517d71819846d9b8821f2118a8de2f
………外…………………内…………绝密★启用前【市级联考】安徽省巢湖市2019届高三三月联考数学（文科)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合 ， ，则 （ ） A ． B ． C ．D ．2．设（ ， 为虚数单位），则 的表达式为（ ） A ．B ．C ．D ．3．曲线 在点 处的切线经过点 ，则 的值为（ ） A ．1B ．2C ．D ．4．某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如图所示的折线图 年收入的各种用途占比统计如图所示的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为A ．100000元B ．95000元C ．90000元D ．85000元5．已知 ，，则 的值为………○…………………线…………※※在※※装※※订※※线※※………○…………………线…………A ．B ．C ．D ．6．如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（ ）A ．2B ．C ．4D ．7．若 是从区间 内任意选取的一个实数， 也是从区间 内任意选取的一个实数，则点 在圆 ： 内的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．8．函数 的部分图象符合的是A ．B ．C ．D ．9．已知直线 ： 与 轴， 轴分别交于点 ， ，点 在椭圆上运动，则 面积的最大值为（ ） A ．6B ．C ．D ．10．已知锐角 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且 ，三角形ABC 的面积 ，则 的取值范围为 A ．B ．C ．D ．11．在 中， ， ， ，过 的中点 作平面 的垂线，点 在该垂线上，当 时，三棱锥 外接球的半径为（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知双曲线 ：的左，右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，以 为圆心， （ 为坐标原点）为半径的圆与双曲线 在第一象限的交点为 ，若A．B．C．D．……外…………内……第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知向量 ， ， ，若向量 与向量 共线，则实数k 的值为______．14．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽__________人．15．若 ， 满足约束条件，则的取值范围为__________．16．已知函数，函数 是定义域为 的奇函数，且 ，则的值为__________． 三、解答题17．已知等差数列 的前n 项和为 ， ，公差为 若 ，求数列 的通项公式；是否存在d ，n 使 成立？若存在，试找出所有满足条件的d ，n 的值，并求出数列 的通项公式；若不存在，请说明理由．18．如图（一），在直角梯形ABCP 中，CP∥AB，CP⊥BC，AB=BC=CP ，D 是CP 的中点，将△PAD 沿AD 折起，使点P 到达点P′的位置得到图（二），点M 为棱P′C 上的动点． （1）当M 在何处时，平面ADM⊥平面P′BC，并证明；（2）若AB=2，∠P′DC=135°，证明：点C 到平面P′AD 的距离等于点P′到平面ABCD 的距离，并求出该距离．19．为了选拔学生参加全市中学生物理竞赛，学校先从高三年级选取60名同学进行竞赛预选赛，将参加预选赛的学生成绩（单位：分）按范围 ， ， ， 分组，得到的频率分布直方图如图：…………○………………○……（1）计算这次预选赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若对得分在前 的学生进行校内奖励，估计获奖分数线；（3）若这60名学生中男女生比例为 ，成绩不低于60分评估为“成绩良好”，否则评估为“成绩一般”，试完成下面 列联表，是否有 的把握认为“成绩良好”与“性别”有关？ 附：，临界值表：20．已知抛物线E ： ，圆C ： ． 若过抛物线E 的焦点F 的直线l 与圆C 相切，求直线l 方程；在 的条件下，若直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，x 轴上是否存在点 使 为坐标原点 ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．设函数. （1）试讨论函数 的单调性；（2）若 ，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附： ，…订…………○………※※内※※答※※题※※…订…………○………22．在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为（ 为参数），过点作斜率为 的直线 与圆 交于 ， 两点. （1）若圆心 到直线 的距离为，求 的值； （2）求线段 中点 的轨迹方程. 23．已知函数 .（1）在平面直角坐标系中作出函数 的图象；（2）若当 时，不等式 恒成立，求 的最大值.参考答案1．C【解析】【分析】解不等式得到集合，再和集合求交集即可得出结果.【详解】解不等式得，所以，又，所以.故选C【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2．A【解析】【分析】由复数的运算法则化简，再由复数相等求出，，进而可求出结果.【详解】因为，又，所以，，因此.故选A【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则以及复数相等的充要条件即可，属于基础题型. 3．C【解析】【分析】对函数求导，求出，进而可得切线方程，再由切线过点，即可得出结果. 【详解】因为，所以，故，又，所以曲线在点处的切线方程为，又该切线过点，所以，解得.故选C【点睛】本题主要考查导数的几何意义，先对函数求导，求出函数在点处的切线方程即可，属于常考题型.4．D【解析】【分析】先求出2017年的就医费用，从而求出2018年的就医费用，由此能求出该教师2018年的家庭总收入．【详解】由已知得，2017年的就医费用为元，年的就医费用为元，该教师2018年的家庭总收入元．故选：D．【点睛】本题考查教师2018年的家庭总收入的求法，考查折线图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．A【解析】【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】，得，而.故选A.【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.6．A【解析】【分析】所有截面都是等腰三角形，根据三角形的面积公式可知，当顶角为时，面积取得最大值，由此求得最大的截面面积.【详解】将三视图还原，可知几何体是一个轴截面的顶角为的半圆锥，故过其顶点的截面面积.故选A.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆锥的截面面积最大值的计算，考查三角形面积公式，属于中档题.7．C【解析】【分析】由是从区间内任意选取的一个实数，也是从区间内任意选取的一个实数，可知点构成正方形区域，求出正方形的面积以及圆的面积，即可由面积比得出结果. 【详解】因为是从区间内任意选取的一个实数，也是从区间内任意选取的一个实数，所以点的所有取值构成边长为4的正方形区域，且正方形面积为；如图所示，作出满足题意的正方形和圆，在圆：内，由可得，所以，所以；，因此弓形三角形弓形，所以阴影部分面积为阴影.所以点在圆：内的概率为阴影正方形故选C【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记公式即可，属于常考题型.8．B【解析】【分析】利用特殊值法分别计算，的值进行排除即可．【详解】故得到函数是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，，排除A，D，故选：B．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特殊值法是解决本题的关键．知式求图的问题常见的方法是先通过函数的定义域和值域进行排除，再由函数的特殊值进行排除，也可以采用判断极限的方法进行排除.9．D【解析】【分析】由直线方程求出点，坐标，得到长度，再由椭圆方程设出点坐标，根据点到直线距离公式，求出三角形的高，进而可求出结果.【详解】因为：与轴，轴分别交于点，，所以，，因此，又点在椭圆上运动，所以可设，，所以点到直线的距离为(其中)，所以.面积故选D【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，需要用到点到直线距离公式等，属于常考题型. 10．D【解析】【分析】因为三角形为锐角三角形，所以过C做于D，D在边AB上，根据面积算出，再根据勾股定理表示出，由二次函数知识可求得．【详解】因为三角形为锐角三角形，所以过C作于D，D在边AB上，如图：因为：，所以，在三角形ADC中，，在三角形BDC中，，，，．设结合二次函数的性质得到：．故选：D．本题考查了三角函数的应用以及二次函数的值域，最值问题；题目难度中等.这个题目考查了二元问题的应用，一般采用的是二元化一元.11．D【解析】【分析】先由，，可得，因此为底面外接圆圆心，所以外接球球心在上，记球心为，连结，即可结合勾股定理求解.【详解】因为，，，所以，因此为底面外接圆圆心，又因为平面，所以外接球球心在上，记球心为，连结，设球的半径为，则，所以，又，所以在中，，即，解得.故选D【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.12．A【解析】【分析】先由题意得到，，求出，再由双曲线的定义结合求出，两式相等，即可求出结果.由题意可得，，因为，所以，又因点在双曲线的右支上，所以，因为，所以；因此，即，所以，解得，因为，所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.13．【解析】【分析】先由，得出向量的坐标表示，再由向量与向量共线，即可求出结果.【详解】因为向量，，所以，；又，向量与向量共线，所以，解得.故答案为【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理即可，属于基础题型.14．60【解析】【分析】先由题中数据求出抽样比，确定每乡抽取的人数，进而可求出结果.【详解】由题意可得，三乡共有人，从中抽取500人，因此抽样比为，所以北乡共抽取人；南乡共抽取人，所以北乡比南乡多抽人.故答案为本题主要考查分层抽样，只需依题意确定抽样比即可求解，属于基础题型.15．【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数表示可行域内的点与定点连线的斜率，结合图像即可得出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：因为目标函数表示可行域内的点与定点连线的斜率，所以由图像可得或，由解得；由解得；所以，，因此的取值范围是.故答案为【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义即可求解，属于基础题型.16．【分析】先由题意求出，再由是定义域为的奇函数，求出，进而可求出结果. 【详解】因为，，所以，即，又函数是定义域为的奇函数，所以，因此.故答案为【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，熟记函数奇偶性定义即可，属于基础题型.17．（1）；（2）见解析【解析】【分析】由已知求得公差，直接代入等差数列的通项公式得答案；由，得到，然后依次取n值，求得d，分类分析即可得到所有满足条件的d，n的值，并求得通项公式．【详解】当时，由，得，即．；由题意可知，，即，．令时，得，不合题意；时，得，符合．此时数列的通项公式为；时，得，不合题意；时，得，符合．此时数列的通项公式为；时，得，符合．此时数列的通项公式为；时，得，不合题意；时，得，不合题意；时，得，不合题意；时，，均不合题意．存在3组，其解与相应的通项公式分别为：，，；，，；，，．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，考查分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题．18．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取中点M，先证与DM，AD垂直，进而证明AD⊥平面D C，再证明平面BC⊥平面ADM；（2）利用转换顶点三棱锥体积不变底面积相等易证点C到平面AD的距离等于点到平面ABCD的距离,并求该距离.【详解】解：（1）当点M为C的中点时，平面ADM⊥平面BC，证明如下：∵D=DC，M为C中点，∴C⊥DM，∵AD⊥DP，AD⊥DC，∴AD⊥平面D C，∴AD⊥C，∴C⊥平面ADM，∴平面BC⊥平面ADM；（2）证明：在平面CD上作H⊥CD于H，由（1）中AD⊥平面D C，可知平面CD⊥平面ABCD，∴H⊥平面ABCD，由题意得D=2，∠DH=45°，∴H=，又，设点C到平面AD的距离为h，即=，由题意△ADC≌△AD，∴H=h，故点C到平面AD的距离等于点到平面ABCD的距离，且距离为．【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查等体积法和点到面的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．（1）56分；（2）67.5分；（3）有的把握认为“成绩良好”与“性别”有关. 【解析】【分析】（1）平均值等于每组的中间值乘以该组频率再求和，即可得出结果；（2）根据题意先求出获奖分数线所在的区间，设获奖分数线为，再由题意列出方程，即可求出结果；(3)先求出成绩落在区间的人数，根据60名学生中男女生比例为，求出男女生人数，即可完善列联表，再由公式求出,结合临界值表即可得出结果.【详解】解：（1）预选赛的平均成绩为（分）.（2）因为成绩落在区间的频率是，成绩落在区间的频率是，，所以获奖分数线落在区间.设获奖分数线为，则，解得，即获奖分数线为67.5分.（3）成绩落在区间的人数为，又60人中男女生比例为，故男生40人，女生20人，可得列联表如下：所以.又因为，所以有的把握认为“成绩良好”与“性别”有关.【点睛】本题主要考查频率分布直方图中平均值的计算，以及独立性检验问题，熟记公式即可求解，属于基础题型.20．（1）；（2）存在定点【解析】【分析】求得抛物线的焦点，设出直线的方程，运用直线和圆相切的条件：，解方程可得所求直线方程；设出A，B的坐标，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，解方程可得t，即M的坐标，即可得到结论．【详解】由题意可得抛物线的焦点，当直线的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，设直线的斜率为k，方程设为，即，由圆心到直线的距离为，当直线与圆相切时，，解得，即直线方程为；可设直线方程为，，，联立抛物线方程可得，则，，x轴上假设存在点使，即有，可得，即为，由，，可得，即，即，符合题意；当直线为，由对称性可得也符合条件．所以存在定点使得．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系和直线与抛物线的位置关系，考查相切的条件和联立方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及方程思想和变形能力，属于中档题．涉及方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，分类讨论和两种情况，即可得出结果；（2）将代入函数解析式，得到，根据(1)中结果，得到函数单调性，求出函数极值，即可得出结果.【详解】解：（1）由，得，令，所以，所以当时，，恒成立，即恒成立，所以单调递增；当时，，此时方程有两个不相等的根，，不妨设，令，所以，，所以当时，，即，所以单调递增；当时，，即，所以单调递减；当时，，即，所以单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.（2）当时，，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有极大值，且，当时，函数有极小值，且.又因为，，所以直线与函数的图象在区间上有且仅有3个交点，所以当时，方程有且仅有3个不同的实数根.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，由导数的方法研究函数的单调性和极值等，属于常考题型.22．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由圆的参数方程消去参数得到圆的普通方程，由题意设直线的方程，再根据点到直线的距离公式即可求出结果；（2）由题意，设直线的参数方程为（为参数），代入圆的方程，结合韦达定理写出点E坐标，进而可求出结果.【详解】解：（1）由题知，圆的普通方程为，即圆的圆心为，半径.依题可设过点的直线的方程为，即，设圆心到直线的距离为，则，解得.（2）设直线的参数方程为（为参数），，代入圆：，得.设，，对应的参数分别为，，，则，所以，.又点的坐标满足，所以点的轨迹的参数方程为，即，化为普通方程为.【点睛】本题主要考查参数方程，熟记参数方程与普通方程的互化即可求解，属于常考题型. 23．（1）详见解析；（2）-6.【解析】【分析】(1)将函数写出分段函数的形式，在坐标系内作出每段的图像即可；(2) 当时，由(1)可求出数的图象与轴的交点的纵坐标为3，各部分所在直线的斜率的最小值为-3，再由不等式恒成立，可求出，的范围，进而可求出结果.【详解】解：（1），其图象如下图：（2）若，由（1）知函数的图象与轴的交点的纵坐标为3，各部分所在直线的斜率的最小值为-3，故当且仅当且时时，不等式恒成立，所以，所以，故的最大值为-6.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，通常需要分情况去绝对值求解，属于常考题型.。
合肥市2019高三三模数学文试题及答案
安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学试题（文）(考试时间：120分钟满分：150分）第I 卷（满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）1. 若U={-2,-1,0,1,2},M={-1，0,1}，N={-2,-1,2}，则)(N M C U ＝( )A. B.{0，1} C.{-2，0,1，2}D. {-1}2. 已知（1+i)(a+bi)=3-i(i 为虚数单位，a ，b 均为实数），则a 的值为（ ）B. 13.直线l 经过点（1，-2)，且与直线x+2y=O 垂直，则直 线l 的方程是（ ）A. 2x + y - 4 = OB. 2x + y - 4 = OC. 2x - y -4 =OD. 2x - y + 4 = O4. 已知函数f(x)=Asin()0,0(), A x 的部分图像 如图所示,则实数ω的值为（ ) A. 21 B. 1 C.2 5. 若l ，m 为空间两条不同的直线，a, 为空间两个不同的平面，则l 丄a 的一个充分条件是（ ）A,l l 且a 丄丄 且a 右图的程序框图中输出S 的结果是25，则菱形判断框内应填入的条件是（）A. i <9 >9 C.i ≤9 ≥97. 对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据（x i ，y i )( i=1，2，…，8)，其回归直线方程是a x y31 ：，且x 1+x 2+x 3+…+x 8=2(y 1+y 2+y 3+…+y 8)=6，则实数a 的值是（ ）A. 161B. 81C. 41D. 21B.设e 1，e 2是两个互相垂直的单位向量，且2131e e OA ，2121e e OB 则OA 在OB 上的投影为（ ）A. 410B. 35C. 65D. 322 9. 在平面直角坐标系中，不等式组11313x y x y x y 所表示的平面区域面积为（ ) A, 23 B.2 C. 25 10.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若f(x)的最小正周期为4，且f(1)>1，f(2)=m 2-2m,f(3)= 152 m m ，则实数m 的取值集合是（ ） A. }32|{ m m B.{O ，2} C. }341|{ m m D. {0}第II 卷（满分1OO 分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置） 11.函数f(x)= x lg 1 的定义域为______12.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为y=x 43，焦点到渐近线的距离为3，则该双曲线的方程为______ 13.甲、乙两人需安排值班周一至周四共四天，每人 两天，具体安排抽签决定，则不出现同一人连续 值班情况的概率是_____14.右图为一个简单组合体的三视图,其中正视图由 一个半圆和一个正方形组成，则该组合体的体积 为______.15.下列关于数列{a n }的命题：①数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n = a n + 1，则{a n }不一定是等比数列；②数列{a n }满足a n+ 3 - a n+ 2 = a n + 1 - a n 对任意正整数n 恒成立，则{a n }一定是等差数列；③数列{a n }为等比数列，则{a n ·a n+1}为等比数列；④数列{a n }为等差数列，则{a n +a n+1}为等差数列；⑤数列{a n }为等比数列，且其前n 项和为S n 则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2 ,…也成等比数列. 其中真命题的序号是_______（写出所有真命题的序号）.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.(本小题满分12分）已知向量a= (1，-2)，b=(2sin 2A ,cos 2A ),且a ·b=1 (I)求sinA 的值；(II)若A 为ΔABC 的内角，)2,0( A ,ΔABC 的面积为73，AB=4，求BC 的长.17.(本小题满分12分）根据空气质量指数4PI(整数）的不同，可将空气质量分级如下表：对甲、乙两城市某周从周一到周五共5天的空气质量进 行监测，获得的API 数据如下图的茎叶图.(I)请你运用所学的统计知识,选择三个角度对甲乙两城市本周空气质量进行比较；(II)某人在这5天内任选两天到甲城市参加商务活动，求他在两天中至少有一天遇到优良天气的概率.18.(本小题满分12分）如图BB 1 ,CC 1 ，DD 1均垂直于正方形AB 1C 1D 1所在平面A 、B 、C 、D 四点共面. (I)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(II)若E,F 分别为AB 1 ,D 1C 1上的点，AB 1 =CC 1 =2BB 1 =4,AE = D 1F =1.求证:CD 丄平面DEF;19.(本小题满分13分）已知椭圆C: )0(12222 b a by a x 的顶点到焦点的最大距离为22 ，且离心率为22 (I)求椭圆的方程；(II)若椭圆上两点A 、B 关于点M(1，1)对称，求|AB|20.(本小题满分I3分）已知函数f(x)=(x-1)e x -ax 2(I)当a=1时，求函数f(x)在区间[0,2]上零点的个数; (II)若f(x)≤ 0在区间[0，2]上恒成立，求实数a 的取值范围.21.(本小题满分13分）已知正项等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，满足2S n =a n ·a n+1 (I )求数列{a n }的通项公式；(II)设b n =n a n S 21 ，T n =b 1+b 2+…+b n,求证:T n <3.。
安徽合肥2019高三3月第二次教学质量检查-数学文
安徽合肥2019高三3月第二次教学质量检查-数学文数学试题(文)(考试时间：120分钟满分:150分)第I卷（满分50分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出旳四个选项中，只有一项是符合题目要求旳。
）1。
已知i是虚数单位，则复数=()A。
B.C。
D.2.已知集合且R为实数集，则下列结论正确旳是（)A。
B。
C.D.3。
右图是一个几何体旳三视图，则该几何体旳，表面积为（）A。
B.C.D。
4。
焦点在x轴上旳双曲线C旳左焦点为F，右顶点为A,若线段FA旳中垂线与双曲线C有公共点，则双曲线C旳离心率旳取值范围是（）A. (1,3)B. （1，3]C。
（3, +∞） D.[3，+∞)5。
若tana=，则cos2a =( )A。
B.C。
D.6。
点(x，y）满足，若目标函数z=x—2y旳最大值为1，则实数a旳值是（ ) A。
1B。
—1C. —3D。
37.已知f（x)是偶函数，当。
x∈［0，]时,f（x)=xsinx,若a =f（cos1)，b =f(cos2），c =f(cos3)，则a，b，c旳大小关系为(）A。
a < b 〈 cB. b 〈 a 〈 cC。
c 〈 b 〈 aI)。
b< c< a8.如图所示旳程序框图中，若a i=i2,则输出旳结果是（)A.5B.6G。
7D.89。
ΔAB C中，角A，B，C所对旳边分别为a，b，c，若C=—，3a = 2c= 6，则b旳值为(）A。
B。
C.D。
10。
定义域为R旳奇函数f（x)旳图像关于直线。
x=1对称,当x∈［0，1]时,f(x) = x,方程f(x)=log2013x实数根旳个数为（）A。
1006 B.1007 C。
2012 D.2014第II卷（满分100分）二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡旳相应位置)11。
甲、乙两名同学在5次数学测验中旳成绩统计如右面旳茎叶图所示,则甲、乙两人5次数学测验旳平均成绩依次为______。
2019年合肥市高三第三次模拟考试文科数学试卷答案
高三数学试题（文科）答案 第1 页（共4页）合肥市2019年高三第三次教学质量检测 数学试题（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(0，2) 14.1 33⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 15.216.14-三、解答题：17.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由3456a a a +=，得2610q q --=，解得12q =或13q =-.∵数列{}n a 为递减数列，且首项为1 ∴12q =∴1111122n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………………………6分(Ⅱ)∵012111111232222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1231111112322222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 两式相减得0121111111222222n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111222221222212nn n nn n n n ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=-⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-∴1242n n n T -+=-. ……………………………12分18.(本小题满分12分) 解：(Ⅰ)由题意得：城镇居民 农村居民 合计 经常阅读 100 24 124 不经常阅读 50 26 76 合计150 50 200题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D A CC D D B B A D高三数学试题（文科）答案 第2 页（共4页）则()2220010026502498005.546 5.02415050124761767K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以，有97.5%的把握认为经常阅读与居民居住地有关. ……………………………6分 (Ⅱ)采取分层抽样抽取出6人，则其中经常阅读的有4人，不经常阅读的有2人，∴62155P ==. ……………………………12分19.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)取AD 的中点为O ，连结OP ，OB ，OC.设OB 交AC 于点H ，连结GH.∵AD ∥BC ，12AB BC CD AD ===∴四边形ABCO 与四边形OBCD 均为菱形 ∴OB ⊥AC ，OB ∥CD ∴CD AC ⊥ PAD PO AD∆∴⊥ 为等边三角形，O为AD中点PAD ABCD PAD ABCD AD PO PAD PO AD PO ABCD⊥=⊂⊥∴⊥ 平面平面且平面平面，平面且平面∵CD ABCD ⊂平面 ∴PO CD ⊥∵H ，G 分别为OB， PB 的中点 ∴GH ∥PO ∴GH CD ⊥又∵GH AC H = ∴CD GAC ⊥平面. ………………………6分(Ⅱ)1:1222D GAC G ADC G ADC ADC P ABC P ABC G ABC ABC V V V S AD V V V S BC---∆---∆=====. ……………………………12分20.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由椭圆C 经过点P (1 2，)，且12PF F ∆，得1c =，且221112a b +=.∵222221a b c a b =+∴=+ ∴42222111210112b b b b b+=--==+即，解得 ∴22a =∴椭圆C 的方程为2212xy +=. ……………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知()11 0F -，，()21 0F ，.令()11A x y ，，()22B x y ，.若直线l 的斜率不存在，则2272F A F B ⋅= .当直线l 的斜率存在时，设():1l y k x =+，代入椭圆方程得()()2222124210k x k x k +++-=. 则()()4222168121880k k k k ∆=-+-=+>恒成立 .∴2122412k x x k +=-+，()21222112k x x k -=+ ∴()()222121222971721121212k F A F B x x y y k k-⋅=--+==-++高三数学试题（文科）答案 第3 页（共4页）令2121t k =+≥，则()2227971 22221F A F B k ⎡⎫⋅=-∈-⎪⎢+⎣⎭，. 综上可知，22F A F B ⋅ 的取值范围为71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ……………………………12分21.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)()()()()211x xx a x a x x a f x e e-++--'==，由()0f x '=得，1x =或x a =. 当1a =时，()0f x '≥，函数()f x 在()-∞+∞，单调递增. 当1a <时，函数()f x 的递增区间为()() 1 a -∞+∞，，，，递减区间为() 1a ，. 当1a >时，函数()f x 的递增区间为()() 1a -∞+∞，，，，递减区间为()1a ，. ……………………………6分(Ⅱ)证明：对[)0x ∀∈+∞，，()1f x ≥-，即证[)0x ∈+∞，，()min 1f x ≥-. ①由(Ⅰ)单调性可知，当1a >，[)0x ∈+∞，时，()()(){}min min 0f x f f a =，. ()1aa f a e --=. 设()11a a g a a e --=>，，()0a ag a e '=>，∴()g a 在()1+∞，单调递增，故()()211g a g e>=->-，即()1f a >-. 又∵()01f =- ∴()min =1f x -.②当1a =时，函数()f x 在[)0+∞，单调递增，()()min 01f x f ==-.③当31e a -≤<时，由(Ⅰ)单调性可知，[)0x ∈+∞，时，()()(){}min min 01f x f f =，. ()()33311e a f e e---=≥=-. 又∵()01f =- ∴()min =1f x -. 综上，当3a e ≥-时，对[)0x ∀∈+∞，，()1f x ≥-. ……………………………12分22.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)曲线C：224x y +=(0y ≥)，曲线E：2214x y +=. ……………………………5分(Ⅱ)设A (2cos 2sin αα，)，[]0απ∈，，要使得AOB ∆面积的最大，则B (2cos sin αα-，).∴1133sin 2cos sin 2222AOB B S AB x ααα∆=⋅=⋅⋅= ∵[]202απ∈，∴当4πα=时，AOB ∆的面积取最大值32. ……………………………10分高三数学试题（文科）答案 第4 页（共4页）23.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)()42131124 1142 1x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=-++=-+-<<⎨⎪-≥⎩，，，当1x =时，()f x 的最小值为2k =. ……………………………5分(Ⅱ)依题意，2242m n +=.()22222222111414144614444m n m n m n m n ⎛⎫+=+=+++⋅ ⎪+++⎝⎭(222214441314566244n m m n ⎡⎤+=+++≥+=⎢⎥+⎣⎦. 当且仅当222244444n m m n +=+，即220m n ==，时，等号成立. ……………………………10分。
合肥市2019高三三模数学文试题及答案
安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学试题（文）(考试时间：120分钟满分：150分）第I 卷（满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）1. 若U={-2,-1,0,1,2},M={-1，0,1}，N={-2,-1,2}，则)(N M C U ＝( )A. φB.{0，1}C.{-2，0,1，2}D. {-1}2. 已知（1+i)(a+bi)=3-i(i 为虚数单位，a ，b 均为实数），则a 的值为（ ）A.0B. 1C.2D.33.直线l 经过点（1，-2)，且与直线x+2y=O 垂直，则直 线l 的方程是（ ）A. 2x + y - 4 = OB. 2x + y - 4 = OC. 2x - y -4 =OD. 2x - y + 4 = O4. 已知函数f(x)=Asin()0,0(),>>+A x ωϕω的部分图像 如图所示,则实数ω的值为（ ) A. 21 B. 1 C.2 D.4 5. 若l ，m 为空间两条不同的直线，a, β为空间两个不同的平面，则l 丄a 的一个充分条件是（ ）A,l//β且a 丄β B. l β⊂且a 丄βC.l 丄β且a//βD.l 丄m 且m//a6. 右图的程序框图中输出S 的结果是25，则菱形判断框内应填入的条件是（）A. i <9B.i>9C.i ≤9D.i ≥97. 对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据（x i ，y i )( i=1，2，…，8)，其回归直线方程是a x y +=31 ：，且x 1+x 2+x 3+…+x 8=2(y 1+y 2+y 3+…+y 8)=6，则实数a 的值是（ ）A. 161B. 81C. 41D. 21 B.设e 1，e 2是两个互相垂直的单位向量，且2131e e OA +=，2121e e OB +=则OA 在OB 上的投影为（ ） A. 410 B. 35 C. 65 D. 322 9. 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-≤+≤11313x y x y x y 所表示的平面区域面积为（ )A, 23 B.2 C. 25 D.3 10.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若f(x)的最小正周期为4，且f(1)>1，f(2)=m 2-2m,f(3)= 152+-m m ，则实数m 的取值集合是（ ） A. }32|{<m m B.{O ，2} C. }341|{<<-m m D. {0}第II 卷（满分1OO 分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置）11.函数f(x)= x lg 1-的定义域为______12.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为y=x 43，焦点到渐近线的距离为3，则该双曲线的方程为______ 13.甲、乙两人需安排值班周一至周四共四天，每人 两天，具体安排抽签决定，则不出现同一人连续 值班情况的概率是_____14.右图为一个简单组合体的三视图,其中正视图由 一个半圆和一个正方形组成，则该组合体的体积 为______.15.下列关于数列{a n }的命题：①数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n = a n + 1，则{a n }不一定是等比数列；②数列{a n }满足a n+ 3 - a n+ 2 = a n + 1 - a n 对任意正整数n 恒成立，则{a n }一定是等差数列；③数列{a n }为等比数列，则{a n ·a n+1}为等比数列；④数列{a n }为等差数列，则{a n +a n+1}为等差数列；⑤数列{a n }为等比数列，且其前n 项和为S n 则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2 ,…也成等比数列. 其中真命题的序号是_______（写出所有真命题的序号）.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.(本小题满分12分）已知向量a= (1，-2)，b=(2sin 2A ,cos 2A ),且a ·b=1 (I)求sinA 的值；(II)若A 为ΔABC 的内角，)2,0(π∈A ,ΔABC 的面积为73，AB=4，求BC 的长.17.(本小题满分12分）根据空气质量指数4PI(整数）的不同，可将空气质量分级如下表：对甲、乙两城市某周从周一到周五共5天的空气质量进 行监测，获得的API 数据如下图的茎叶图.(I)请你运用所学的统计知识,选择三个角度对甲乙两城市本周空气质量进行比较；(II)某人在这5天内任选两天到甲城市参加商务活动，求他在两天中至少有一天遇到优良天气的概率.18.(本小题满分12分）如图BB 1 ,CC 1 ，DD 1均垂直于正方形AB 1C 1D 1所在平面A 、B 、C 、D 四点共面.(I)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(II)若E,F 分别为AB 1 ,D 1C 1上的点，AB 1 =CC 1 =2BB 1 =4,AE = D 1F =1.求证:CD 丄平面DEF;19.(本小题满分13分）已知椭圆C: )0(12222>>=+b a by a x 的顶点到焦点的最大距离为22+，且离心率为22 (I)求椭圆的方程；(II)若椭圆上两点A 、B 关于点M(1，1)对称，求|AB|20.(本小题满分I3分）已知函数f(x)=(x-1)e x -ax 2(I)当a=1时，求函数f(x)在区间[0,2]上零点的个数;(II)若f(x)≤ 0在区间[0，2]上恒成立，求实数a 的取值范围.21.(本小题满分13分）已知正项等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，满足2S n =a n ·a n+1(I )求数列{a n }的通项公式； (II)设b n =na n S 21 ，T n =b 1+b 2+…+b n,求证:T n <3.。
安徽省巢湖市2019-2020学年高考三诊数学试题含解析
安徽省巢湖市2019-2020学年高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则MN ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b ab+=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C ．15 D ．105【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d ++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555a aa a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5PQ a =.在12PF F △和1PFQ V 中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得105c e a ==.故选D ． 3．已知1111143579π≈-+-+-L ，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A ．121i n =-- B ．12i i =-+ C ．(1)21ni n -=+D ．(1)2ni i -=+【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由于111113579-+-+-L 中正项与负项交替出现，根据S S i =+可排除选项A 、B ；执行第一次循环：011S =+=，①若图中空白框中填入(1)21n i n -=+，则13i =-，②若图中空白框中填入(1)2ni i -=+，则13i =-，此时20n >不成立，2n =；执行第二次循环：由①②均可得113S =-，③若图中空白框中填入(1)21ni n -=+，则15i =，④若图中空白框中填入(1)2ni i -=+，则35i =，此时20n >不成立，3n =；执行第三次循环：由③可得11135S =-+，符合题意，由④可得13135S =-+，不符合题意，所以图中空白框中应填入(1)21ni n -=+，故选C ．4．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（ ）A ．63B ．34C ．12D 3【答案】A 【解析】 【分析】联立直线方程与椭圆方程，解得B 和C 的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得2232c a =，由离心率定义可得结果. 【详解】由222212x y a b b y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得322x a b y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,22b B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 由题意知(),0F c ，所以3,2b BF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，3,2b CF c a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r . 因为90BFC ∠=︒,所以BF CF ⊥,所以22222223333102244442b a c BF CF c a c a c a c a ⎛⎫⎛⎫-⋅=+-+=-+=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r .所以2232c a =，所以63c e a ==， 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.5．已知函数2,0()2,0x xx f x e x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2(0,)3eB ．2(,0)3e-C ．(,0)2e-D ．(0,)2e【答案】D 【解析】 【分析】将函数的零点个数问题转化为函数()y f x =与直线1()2y k x =+的交点的个数问题，画出函数()y f x =的图象，易知直线1()2y k x =+过定点1(,0)2-，故与()f x 在0x <时的图象必有两个交点，故只需与()f x 在0x >时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.【详解】由图知()y f x =与1()2y k x =+有4个公共点即可，即()0,k k ∈切，当设切点()00,x y ，则0000011()2x x x k ex k x e -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，0122x k e ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩2k e∴∈.故选：D. 【点睛】本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.6．如果0b a <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．22log log b a < B ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33b a >D ．2ab b <【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出. 【详解】∵0b a <<，∴22log log b a >，1122b a⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33b a <，2ab b <. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题. 7．下列不等式正确的是（ ）A ．3sin130sin 40log 4>>o oB ．tan 226ln 0.4tan 48<<o oC ．()cos 20sin 65lg11-<<ooD ．5tan 410sin 80log 2>>o o【答案】D 【解析】 【分析】根据3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)sin 70sin 65<1<<<-=>o o o o o，利用排除法，即可求解．【详解】由3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)cos 20sin 70sin 65<1<<<-==>o o o o o o，可排除A 、B 、C 选项，又由551tan 410tan 501sin80log 5log 22=>>>=>o o o， 所以5tan 410sin 80log 2>>o o．故选D ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，，∴，，∵，∴，∴， ∴若：，，∴， 若：，，∴，若：，，∴，综上可知，同理可知，故选A.考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.9．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定【答案】A 【解析】 【分析】利用F 的坐标为()2,0，设直线l 的方程为20x my --=，然后联立方程得282y xmy x ⎧=⎨=-⎩，最后利用韦达定理求解即可 【详解】据题意，得点F 的坐标为()2,0.设直线l 的方程为20x my --=，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y .讨论：当0m =时，122x x ==；当0m ≠时，据282y x my x ⎧=⎨=-⎩，得()228440x m x -++=，所以124x x =，所以()()22AC BD AF BF ⋅=-⋅-()()121222224x x x x =+-⋅+-==. 【点睛】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题10．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ） A ．()0,2 B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,3【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇函数求出m 的值，然后结合单调性求解不等式. 【详解】据题意，得()010f m =+=，得1m =-，所以当0x ≥时，()21xf x x =+-.分析知，函数()f x 在R上为增函数.又()12f =，所以()12f -=-.又()212f x -<-<，所以111x -<-<，所以02x <<，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.11．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，则（ ）A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S ><【答案】D 【解析】由题意可得955a a a =，从而得到53a =，再由53a =就可以得出其它各项的值，进而判断出9S 的范围． 【详解】解：i j a a +Q ，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，29a a ∴+或者29a a 或者92a a 是该数列中的项， 又Q 数列{}n a 是递增数列， 1239a a a a ∴<<<⋯<， 299a a a ∴+>，299a a a >，只有92a a 是该数列中的项， 同理可以得到93a a ，94a a ，..，98a a 也是该数列中的项，且有99919872a a a a a a a a <<<⋯<<， ∴955a a a =，53a ∴=或53a =-（舍)，63a ∴>， 根据11a =，53a =，99a =，同理易得1423a =，1233a =，3443a =，5463a =，3273a =，7483a =，94912914133613S a a a -∴=++⋯+=<-，故选：D ． 【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题． 12．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得.为得到11sin 222y cosx x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 将1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 故可得1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 再将1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 向左平移6π个单位长度，故可得111sin sin 236222y x x cosx πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年安徽省合肥市巢湖居巢区第三中学高三数学文月考试卷含解析
2019年安徽省合肥市巢湖居巢区第三中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f（x）＝为奇函数，且在（0，＋）上单调递增，则a等于（）A、0B、－1C、1D、±1参考答案：C2. 已知抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为A．B．C．D．参考答案：C3. 已知集合,则（）A． B． C．D．参考答案：D略4. 已知全集，集合，那么等于A. B． C. D．参考答案：D5. 若方程的根在区间上，则的值为A． B．1 C．或1 D．或2参考答案：答案：C6. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若f（log2a）+f（log a）＞2f（1），则实数a的取值范围是（）A．（，2）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（，+∞）参考答案：A【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据偶函数的定义将所给不等式转化为不等式f（log2a））＞f（1），再利用偶函数的单调性列出关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（log2a）+f（log a）＞2f（1）?2f（log2a）＞2f（1）?f（|log2a|）＞f（1），又由函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则f（|log2a|）＞f（1）?|log2a|＜1，解可得＜a＜2；即实数a的取值范围是（，2）；故选：A．7. 已知a、b、c为三条不重合的直线，下面结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个参考答案：B略8. 已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是（）A．B．C． D．参考答案：A9. “a＜b＜0”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】利用不等式的性质判断出“a＜b＜0”则有“”，通过举反例得到，“”成立，推不出“a＜b＜0”成立，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：由a＜b＜0，得，﹣a＞﹣b＞0，由不等式的性质可得，＞0；反之则不成立，例如a=1，b=2满足，但不满足“a＜b＜0”∴“a＜b＜0”是“”的充分不必要条件，故选A．【点评】此题主要考查不等式与不等关系之间的联系，此题可以举反例进行求解，属基础题．10. 已知和，若，则||=（）A．5 B．8 C．D．64参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得x+2﹣2x=0，解方程可得x，即可求出||．【解答】解：∵和，，∴x+2﹣2x=0，解得x=2，∴||=|（5，0）|=5．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 连掷两次骰子得到的点数分别为和,若记向量与向量的夹角为,则为锐角的概率是 .参考答案：略12. 已知是定义在上周期为4的函数，且，当时，，则．参考答案：-113. 若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40．则a5+a7= ．参考答案：考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的首项和公比，由已知列方程组求出首项和公比，即可求出a5+a7．解答：解：设等比数列的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴a1q+a1q3=20，a1q2+a1q4=40，解得a1=q=2∴a n=a1q n﹣1=2n，∴a5+a7=160，故答案为：160．点评：本题考查的知识点是等比数列的前n项和，等比数列的通项公式，其中根据已知构造关于首项和公比的方程组，是解答的关键．14. 已知点为坐标原点，点满足则的最大值是 .参考答案：略15. 实数x ,y满足，则x2＋（y+1）2的最大值与最小值的差为；＿＿＿参考答案：16. 某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为：；经过数据处理，得到如右图的频率分布表：则频率分布表中示知量________．参考答案：略17. （x﹣）6的展开式中常数项为．参考答案：﹣考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0得常数项．解答：解：展开式的通项公式为T r+1=（﹣）r C6r x6﹣2r，令6﹣2r=0得r=3，得常数项为C63（﹣）3=﹣．故答案为：﹣．点评：二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019届安徽省巢湖市高三上学期第一次月考数学试卷(文科)Word版含解析
2019届安徽省巢湖市高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题1．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．设x，y∈R，那么“x＞y＞0”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条D．既不充分又不必要条件3．已知α是第二象限角，tanα=﹣，则sinα=（）A．B．C．D．4．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cos2x B．y=log2|x| C．D．y=x3+15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（）的值为（）A．B．0 C．1 D．6．若三角形ABC中，sin（A+B）sin（A﹣B）=sin2C，则此三角形的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形7．已知x=lnπ，y=logπ，z=e，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x8．已知﹣＜x＜0，sinx+cosx=，则sinx﹣cosx的值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为．则cos∠POQ=（）A．B．C．﹣D．﹣10．已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）=﹣ln（1﹣x），设函数f（x）=，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（1，2） D．（﹣2，1）11．已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（1﹣x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=x2，则函数y=f（x）﹣log5x的零点个数是（）A．3 B．4 C．5 D．612．设D是函数y=f（x）定义域内的一个子区间，若存在x∈D，使f（x）=﹣x，则称x是f（x）的一个“开心点”，也称f（x）在区间D上存在开心点．若函数f（x）=ax2﹣2x﹣2a﹣在区间[﹣3，﹣]上存在开心点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[﹣，0] C．[﹣，0] D．[﹣，﹣]二、填空题13．设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是．14．△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于．15．函数f（x）=e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为．16．下列说法正确的有（填序号）①命题“若x=，则sinx=”的逆命题为真命题②在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B③命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，都有x2+x+1＞0”④函数f（x）=x﹣sinx在R上有且只有一个零点⑤已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形中心角为1．三、解答题（共70分）．17．已知全集U=R，集合A={x|（x﹣2）（x﹣3）＜0}，函数y=lg的定义域为集合B．B）（1）若a=，求集合A∩（∁U（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=sin（π﹣ωx）cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的最小值．19．某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12﹣x）2万件．（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．20．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2﹣a2+bc=0．（1）求角A的大小；（2）若a=，求bc的最大值；（3）求的值．21．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．2019届安徽省巢湖市高三上学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】并集及其运算．【分析】先由M∪{1}={1，2，3}可知集合M必含2和3，是否含1，不确定，则得出两种可能集合，得出答案．【解答】解：满足条件M∪﹛1﹜=﹛1，2，3﹜的集合M，M必须包含元素2，3，所以不同的M集合，其中的区别就是否包含元素1．那么M可能的集合有{2，3}和{1，2，3}，故选：B．【点评】本题考查集合的并集运算，属于基础题目，较简单，掌握并集的定义即可．2．设x，y∈R，那么“x＞y＞0”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用不等式的性质判断出“x＞y＞0”能推出“”，反之不成立，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：当x＞y＞0时成立，若，则出现x＞y＞0和x＜y＜0两种情形，即若成立，则x＞y＞0不一定成立，所以“x＞y＞0”是“”的充分不必要条件，故选B．【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件应该先判断前者是否能推出后者；反之后者是否能推出前者，利用充要条件的有关定义进行判断．3．已知α是第二象限角，tanα=﹣，则sinα=（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值．【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式，求解即可．【解答】解：tanα==﹣，∴cosα=﹣sinα，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α=，又α是第二象限角，sinα＞0，∴sinα=，故选：C．【点评】本题考查同角三角函数基本关系式，三角函数值在各象限的符号．要做到牢记公式，并熟练应用．4．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（ ）A ．y=cos2xB ．y=log 2|x|C ．D ．y=x 3+1 【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用函数奇偶性的定义及基本函数的单调性可作出判断．【解答】解：函数y=log 2|x|的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且log 2|﹣x|=log 2|x|，∴函数y=log 2|x|为偶函数， 当x ＞0时，函数y=log 2|x|=log 2x 为R 上的增函数，所以在（1，2）上也为增函数，故选B ．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法．5．函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的图象如图所示，则f （）的值为（ ）A ．B ．0C ．1D ． 【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】函数f （x ）=Asin （ωx+φ）A ，ω，φ图象可知A ，可求得ω与φ的值，从而可求f （）的值．【解答】解：由函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的图象知A=2，==，∴T=π，又T=，∴ω=2．又×2+φ=，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴f（）=2sin（×2+）=．故选：D．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得f（x）=2sin（2x+）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．6．若三角形ABC中，sin（A+B）sin（A﹣B）=sin2C，则此三角形的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sinC不为0得到sin（A﹣B）=sinC，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，【解答】解：∵△ABC中，sin（A+B）=sinC，∴已知等式变形得：sinCsin（A﹣B）=sin2C，即sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B），整理得：sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，即2cosAsinB=0，∴cosA=0或sinB=0（不合题意，舍去），∴A=90°，则此三角形形状为直角三角形．故选：B．【点评】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键．7．已知x=lnπ，y=logπ，z=e，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【考点】对数值大小的比较．【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，判断出x、y、z与0、的大小关系即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞1，y=logπ＜0，z=e∈（0，1），∴y＜z＜x，故选：D．【点评】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用：比较大小，一般与中间量：0、1进行比较，属于基础题．8．已知﹣＜x＜0，sinx+cosx=，则sinx﹣cosx的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由题意可得sinxcosx的值，且sinx＜0，cosx＞0，再根据sinx﹣cosx=﹣，计算求得结果．【解答】解：∵sinx+cosx=，﹣＜x＜0，∴平方可得1+2sinxcosx=，∴sinxcosx=﹣，∵sinx＜0，cosx＞0，则sinx﹣cosx=﹣=﹣=﹣．故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．9．已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为．则cos∠POQ=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin∠xOP和cos∠xOQ的值，利用同角三角函数的基本关系求得 cos∠xOP 和 sin∠xOQ，再利用两角和的余弦公式求得cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ ）的值．【解答】解：由题意可得，sin∠xOP=，∴cos∠xOP=；再根据cos∠xOQ=，可得 sin∠xOQ=﹣．∴cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ ）=cos∠xOPcos∠xOQ﹣sin∠xOPsin∠xOQ=﹣=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．10．已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）=﹣ln（1﹣x），设函数f（x）=，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（1，2） D．（﹣2，1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】先由函数g（x）是奇函数，求出函数g（x）的解析式，再利用f（x）与g（x）的关系得到f（x）的单调性，利用函数单调性解不等式f（2﹣x2）＞f（x），求出实数x的取值范围．【解答】解：∵函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）=﹣ln（1﹣x），∴当x＞0时，g（x）=﹣g（﹣x）=﹣[﹣ln（1+x）]=ln（1+x）．∵函数f（x）=，∴当x≤0时，f（x）=x3为单调递增函数，值域（﹣∞，0]．当x＞0时，f（x）=lnx为单调递增函数，值域（0，+∞）．∴函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增．∵f（2﹣x2）＞f（x），∴2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，∴（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1．∴x∈（﹣2，1）．故选：D．【点评】本题考查了奇函数的解析式求法、分段函数的单调性研究、函数单调性的应用，属于中档题，确定函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增是关键．11．已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（1﹣x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=x2，则函数y=f x的零点个数是（）（x）﹣log5A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断；奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可求得函数是一个周期函数，且周期为2，故可以研究出一个周期上的函数图象，再研究所给的区间包含了几个周期即可知道在这个区间中的零点的个数【解答】解：函数f（x）是R上的偶函数，可得f（﹣x）=f（x），又f（1﹣x）=f（1+x），可得f（2﹣x）=f（x），故可得f（﹣x）=f（2﹣x），即f（x）=f（x﹣2），即函数的周期是2又x∈[0，1]时，f（x）=x2，要研究函数y=f（x）﹣logx在区间[0，5]零点个数，可将问题转化为y=f（x）5x在区间[0，5]有几个交点与y=log5如图，由图知，有四个交点．故选B【点评】本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数y=f（x）x在区间[0，5]的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得﹣log5本题的求解变得较容易．12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个子区间，若存在x0∈D，使f（x）=﹣x，则称x是f（x）的一个“开心点”，也称f（x）在区间D上存在开心点．若函数f（x）=ax2﹣2x﹣2a﹣在区间[﹣3，﹣]上存在开心点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[﹣，0] C．[﹣，0] D．[﹣，﹣]【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据“f（x）在区间D上有开心点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零点”，依题意，存在x∈[﹣3，﹣]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣2a﹣+x=0，将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围，即可求出a的范围．【解答】解：依题意，存在x∈[﹣3，﹣]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣2a﹣+x=0，解得a=，由a′==0，求出[﹣3，﹣]上的x=﹣2，此时a=﹣；当x=﹣3时，a=﹣；x=﹣时，a=0，故实数a的取值范围是[﹣，0]．故选：B．【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数零点和利用导数研究最值等有关知识，属于中档题．二、填空题13．设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是[0，+∞）．【考点】指、对数不等式的解法；对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据题意，分情况讨论：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，分别求解即可．【解答】解：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2，解得 x≥0，因为x≤1，故0≤x≤1；x≤2，解得x≥，故x＞1．x＞1时，f（x）=1﹣log2综上所述，不等式f（x）≤2的解集为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查分段函数、解不等式问题、对数函数的单调性与特殊点，属基本题，难度不大．14．△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于或．【考点】解三角形．【分析】由已知，结合正弦定理可得，从而可求sinC及C，利用三角形的内角和公式计算A，利用三角形的面积公式进行计算可求【解答】解：△ABC中，c=AB=，b=AC=1．B=30°由正弦定理可得b＜c∴C＞B=30°∴C=60°，或C=120°当C=60°时，A=90°，当C=120°时，A=30°，故答案为：或【点评】本题主要考查了三角形的内角和公式，正弦定理及“大边对大角”的定理，还考查了三角形的面积公式，在利用正弦定理求解三角形中的角时，在求出正弦值后，一定不要忘记验证“大边对大角”．15．函数f（x）=e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为2．【考点】函数的图象．【分析】根据函数f（x）和g（x）关于直线2x﹣y﹣3=0，则利用导数求出函数f（x）到直线的距离的最小值即可．【解答】解：∵f（x）=e x+x2+x+1，∴f′（x）=e x+2x+1，∵函数f（x）的图象与g（x）关于直线2x﹣y﹣3=0对称，∴函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．直线2x﹣y﹣3=0的斜率k=2，由f′（x）=e x+2x+1=2，即e x+2x﹣1=0，解得x=0，此时对于的切点坐标为（0，2），∴过函数f（x）图象上点（0，2）的切线平行于直线y=2x﹣3，两条直线间距离d就是函数f（x）图象到直线2x﹣y﹣3=0的最小距离，此时d==，由函数图象的对称性可知，|PQ|的最小值为2d=2．故答案为：2．【点评】本题主要考查导数的应用以及两点间距离的求解，根据函数的对称性求出函数f（x）到直线的距离是解决本题的关键．16．下列说法正确的有②④（填序号）①命题“若x=，则sinx=”的逆命题为真命题②在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B③命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，都有x2+x+1＞0”④函数f（x）=x﹣sinx在R上有且只有一个零点⑤已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形中心角为1．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】运用所学知识逐个判断真假．①写出逆命题，再判断真假；②采用正弦定理推导；③特称命题的否定，改条件，否结论；④单调性法结合零点存在性定理判断．若用数形结合构造函数作函数y=x和y=sinx 的图象，对y=sinx作图不规范，容易画出3个交点，从而认为是3个零点，而导致错误，此命题易错；⑤方程思想联立方程组计算可得．【解答】解：分别判断命题①至⑤真假如下；命题①：“若x=，则sinx=”的逆命题为“若sinx=，则”是假命题．解方程sinx=，得：或（k∈Z），∴所以命题①不正确．命题②：在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，由正弦定理：且 sinA＞sinB，∴a＞b，又∵三角形ABC中，大边对大角，小边对小角，∴A＞B故命题②是真命题，即命题②正确．命题③：命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”，故命题③不正确．命题④：对函数求导得f′（x）=1﹣cosx≥0，知f（x）为R上的增函数，又有f（0）=0，所以，函数f（x）在R上有且只有一个零点．故命题④正确．命题⑤：设扇形半径为R，扇形弧长为L，周长为C，面积为S，扇形中心角为α，列方程组如下：解得：或，∴扇形中心角为1或4，命题⑤不正确．故答案为：②④．【点评】本题涉及知识面比较广，要求对各模块知识点掌握，但各命题判断难度不大，属于中档题．三、解答题（共70分）．17．已知全集U=R，集合A={x|（x﹣2）（x﹣3）＜0}，函数y=lg的定义域为集合B．B）（1）若a=，求集合A∩（∁U（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．【考点】函数的定义域及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）把a=代入化简集合AB，再取交集；（2）由q是p的必要条件等价于p是q的充分条件，即A⊆B，化简集合，列出不等式解a得范围．【解答】解：（1）因为集合A={x|2＜x＜3}，因为a=函数y=lg，由＞0，可得集合B={x|＜x＜}B={x|x或x}CUB）={x|≤x＜3}．故A∩（CU（2）因为q是p的必要条件等价于p是q的充分条件，即A⊆B由A={x|2＜x＜3}，而集合B应满足＞0，因为a2+2﹣a=（a﹣）2+＞0故B={x|a＜x＜a2+2}，依题意就有：，即a≤﹣1或1≤a≤2所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．【点评】本题主要考查集合的化简与运算，注意集合之间的关系是解题的关键，属于基础题．18．已知函数f（x）=sin（π﹣ωx）cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力．（2）要求三角函数的有关性质的问题，题目都要变形到y=Asin（ωx+φ）的形式，变形时利用诱导公式和二倍角公式逆用．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（π﹣ωx）cosωx+cos2ωx，∴f（x）=sinωxcosωx+=sin2ωx+cos2ωx+=sin（2ωx+）+由于ω＞0，依题意得，所以ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2x+）+，∴g（x）=f（2x）=sin（4x+）+∵0≤x≤时，≤4x+≤，∴≤sin（4x+）≤1，∴1≤g（x）≤，g（x）在此区间内的最小值为1．【点评】利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式（1）化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出．19．某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12﹣x）2万件．（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）根据题意先求出每件产品的利润，再乘以一年的销量，便可求出分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）根据L与x的函数关系式先求出该函数的导数，令L′（x）=0便可求出极值点，从而求出时最大利润，再根据a的取值范围分类讨论当a取不同的值时，最大利润各为多少．【解答】解：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=（x﹣3﹣a）（12﹣x）2，x∈[9，11]．（2）L′（x）=（12﹣x）2+2（x﹣3﹣a）（12﹣x）×（﹣1）=（12﹣x）2﹣2（x﹣3﹣a）（12﹣x）=（12﹣x）（18+2a﹣3x）．令L′（x）=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）．∵3≤a≤5，∴8≤6+a≤．在x=6+a两侧L′的值由正值变负值．所以，当8≤6+a≤9，即3≤a≤时，Lmax=L（9）=（9﹣3﹣a）（12﹣9）2=9（6﹣a）；当9＜6+a≤，即＜a≤5时，L max =L （6+a ）=（6+a ﹣3﹣a ）[12﹣（6+a ）]2=4（3﹣a ）3，即当3≤a ≤时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9（6﹣a ）万元；当＜a ≤5时，当每件售价为（6+a ）元，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=4（3﹣a ）3万元．【点评】本题主要考查了函数的导数的求法以及利用导数来求得函数的最值问题，是各地高考的热点和难点，解题时注意自变量的取值范围以及分类讨论等数学思想的运用，属于中档题．20．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2﹣a 2+bc=0．（1）求角A 的大小；（2）若a=，求bc 的最大值；（3）求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根据题中等式，结合余弦定理算出cosA=，而A ∈（0，π），可得A=．（2）由a=代入已知等式得b 2+c 2=3﹣bc ，再用基本不等式即可得到当且仅当c=b=1时，bc 取得最大值为1．（3）根据正弦定理，将化简为．再由sinB=sin （A+C ）和A=，将分子、分母展开化简，然后将分子分母约去公因式，即可得到的值．【解答】解：（1）∵△ABC 中，b 2+c 2=a 2﹣bc∴根据余弦定理，得cosA==﹣∵A ∈（0，π），∴A=．（2）由a=，得b 2+c 2=3﹣bc ，又∵b2+c2≥2bc（当且仅当c=b时取等号），∴3﹣bc≥2bc，可得当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1．（3）由正弦定理，得=2R，∴==∵sin（60°﹣C）﹣sinC=cosC﹣sinC﹣sinC=cosC﹣sinC∴==．【点评】本题给出三角形边之间的平方关系，求角A的大小并求bc的最大值，着重考查了特殊三角函数的值、两角和与差的正弦公式和用正、余弦定理解三角形等知识，属于中档题．21．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，利用f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，可得3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，从而可求实数a的取值范围；（2）依题意x=﹣是f（x）的一个极值点，所以，从而可得f（x）=x3﹣4x2﹣3x，利用导数确定函数的单调性与极值，从而可求f（x）在[1，4]上的最大值；（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x3﹣4x2﹣3x=bx恰有3个不等实根，即方程x2﹣4x﹣3﹣b=0有两个非零不等实根，从而可求实数b的取值范围【解答】解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，即3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，则必有且f′（1）=﹣2a≥0，∴a≤0（2）依题意x=﹣是f（x）的一个极值点，∴即∴a=4，∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x令f′（x）=3x2﹣8x﹣3=0，得则当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x 1 （1，3） 3 （3，4） 4f′（x）﹣0 +f（x）﹣6 ﹣18 ﹣12∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=﹣6（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x3﹣4x2﹣3x=bx恰有3个不等实根∴x3﹣4x2﹣3x﹣bx=0恰有3个不等实根∵x=0是其中一个根，∴方程x2﹣4x﹣3﹣b=0有两个非零不等实根，∴∴b＞﹣7，且b≠﹣3【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数图象的交点问题，解题的关键是将函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，转化为方程x3﹣4x2﹣3x=bx恰有3个不等实根．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调增区间； （Ⅱ）证明；当x ＞1时，f （x ）＜x ﹣1；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0＞1，当x ∈（1，x 0）时，恒有f （x ）＞k （x ﹣1）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f （x ）的单调增区间；（Ⅱ）令F （x ）=f （x ）﹣（x ﹣1），证明F （x ）在[1，+∞）上单调递减，可得结论；（Ⅲ）分类讨论，令G （x ）=f （x ）﹣k （x ﹣1）（x ＞0），利用函数的单调性，可得实数k 的所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=lnx ﹣，∴f ′（x ）=＞0（x ＞0），∴0＜x ＜，∴函数f （x ）的单调增区间是（0，）；（Ⅱ）令F （x ）=f （x ）﹣（x ﹣1），则F ′（x ）=当x ＞1时，F ′（x ）＜0， ∴F （x ）在[1，+∞）上单调递减， ∴x ＞1时，F （x ）＜F （1）=0， 即当x ＞1时，f （x ）＜x ﹣1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x 0＞1满足题意；当k ＞1时，对于x ＞1，有f （x ）＜x ﹣1＜k （x ﹣1），则f （x ）＜k （x ﹣1），从而不存在x 0＞1满足题意；当k ＜1时，令G （x ）=f （x ）﹣k （x ﹣1）（x ＞0），则G ′（x ）==0，可得x 1=＜0，x 2=＞1，当x ∈（1，x 2）时，G ′（x ）＞0，故G （x ）在（1，x 2）上单调递增，从而x∈（1，x）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），2综上，k的取值范围为（﹣∞，1）．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．。
【水印已去除】2019年安徽省合肥市高考数学三模试卷(文科)
2019年安徽省合肥市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）复数在复平面上的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）已知R是实数集，集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|2x﹣1≥0}，则A∩（∁R B）＝（）A．B．C．{1}D．{﹣1，0}3．（3分）执行如图所示的程序框图，若输入x＝﹣1，则输出的y＝（）A．B．C．D．4．（3分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a2+a3＝4，S6＝10，则a3＝（）A．B．C．D．5．（3分）若向量的夹角为120°，，，则＝（）A．B．C．1D．26．（3分）若函数的最小正周期为，则f（x）图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．7．（3分）已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βC．若α∥β，a∥α，则a∥βD．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c8．（3分）在区间[﹣4，4]上任取一个实数a，使得方程表示双曲线的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a sin B＝2b sin C，cos B＝，b＝3，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．（3分）已知直线与圆交于点M，N，点P 在圆C上，且，则实数a的值等于（）A．2或10B．4或8C．D．11．（3分）若圆锥SO1，SO2的顶点和底面圆周都在半径为4的同一个球的球面上，两个圆锥的母线长分别为4，，则这两个圆锥公共部分的体积为（）A．B．8πC．D．12．（3分）已知t＞2，点A（t，lnt），B（t+2，ln（t+2）），C（t+4，ln（t+4）），则△ABC 的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，ln2）C．D．二、填空题：把答案填在答题卡的相应位置.13．（3分）抛物线x2＝8y的焦点坐标为．14．（3分）设点（x，y）是不等式组表示的平面区域内的点，则过点（x，y）和点（﹣2，﹣4）的直线的斜率的取值范围是．15．（3分）函数f（x）＝x2﹣2x﹣1﹣|x﹣1|的所有零点之和等于．16．（3分）已知函数f（x）＝cos2x+sin x，若对任意实数x，恒有f（α1）≤f（x）≤f（α2），则cos（α1﹣α2）＝．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等比数列{a n}是首项为1的递减数列，且a3+a4＝6a5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．18．在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人．在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人．（1）填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10024不经常阅读合计200（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出6人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这6位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△P AD 是等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证：CD⊥平面GAC；（2）求三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣ABC的体积之比．20．已知F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆C上，且△PF1F2的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，求的取值范围．21．已知函数（e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求证：当a≥3﹣e时，对∀x∈[0，+∞），f（x）≥﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，α∈[0，π]）．在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2（1+3sin2θ）＝4．（1）求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；（2）若直线l：x＝t分别交曲线C、曲线E于点A，B，求△AOB的面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝3|x﹣1|+|x+1|的最小值为k．（1）求实数k的值；（2）设m，n∈R，m≠0，m2+4n2＝k，求证：+≥．2019年安徽省合肥市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：，在复平面上的对应点为（2，1），位于第一象限．故选：A．2．【解答】解：因为，所以∁R B＝{x|x＜}．又A＝{﹣1，0，1}，所以A∩（∁R B）＝{﹣1，0}．故选：D．3．【解答】解：输入x＝﹣1，，不成立，；，成立，跳出循环，输出．故选：D．4．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．∵a1+a2+a3＝4，S6＝10，∴3a1+3d＝4，6a1+d＝10，联立解得：a1＝，d＝∴．故选：A．5．【解答】解：因为，又，，，所以，解得（舍去）或．故选：C．6．【解答】解：函数f（x）的最小正周期为，解得ω＝3.，令，解得，取k＝1，可得f（x）图象的一条对称轴为．故选：C．7．【解答】解：A，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不正确．B，若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β或α与β相交，故B不正确．C，若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β，故C不正确．D，如图，由a∥b可得b∥α，易证b∥c，故D正确．故选：D．8．【解答】解：若方程表示双曲线，则（a+2）（a﹣3）＜0，解得﹣2＜a＜3．在区间[﹣4，4]上任取一个实数a，当a∈（﹣2，3）时，题中方程表示双曲线，由几何概型，可得所求概率为．故选：D．9．【解答】解：由a sin B＝2b sin C结合正弦定理可得ab＝2bc，则a＝2c．由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得，解得，则a＝3．又，所以．故选：B．10．【解答】解：由可得．在△MCN中，CM＝CN＝2，，可得点到直线MN，即直线的距离为．所以，解得a＝4或8．故选：B．11．【解答】解：易得S，O1，O2，O在同一条直线上，过该直线作出截面图如图所示．A1B1是圆锥SO1底面圆的直径，A2B2是圆锥SO2底面圆的直径，两直径都与OS垂直．在△OA1S中，SA1＝4，OA1＝OS＝4，则可得OO1＝O1S＝2．在△OA2S中，，则，则OA2⊥OS．又O2A2⊥O2S，所以点O，O2重合．这两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，其底面半径为，高为O1S＝2，所以所求体积为．故选：A．12．【解答】解：如图，点A（t，lnt），B（t+2，ln（t+2）），C（t+4，ln（t+4））都在曲线y ＝lnx上，分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，易得A1B1＝B1C1＝2，AA1＝lnt，BB1＝ln（t+2），CC1＝ln（t+4）．设△ABC的面积为S，则＝[lnt+ln （t+2）]+[ln（t+2）+ln（t+4）]﹣2[lnt+ln（t+4）]＝2ln（t+2）﹣lnt﹣ln（t+4）＝．又t＞2，则随t的增大而减小，，所以，即△ABC面积的取值范围为．故选：D．二、填空题：把答案填在答题卡的相应位置.13．【解答】解：抛物线x2＝8y中，p＝4，焦点在y轴上，则其焦点坐标为（0，2）；故答案为（0，2）．14．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A（1，1），B（1，﹣3），C（﹣1，﹣1）．记P（﹣2，﹣4），过点（x，y）和点P（﹣2，﹣4）的直线的斜率为k，由图象可得k PB≤k≤k PC，而，所以，即过点（x，y）和点（﹣2，﹣4）的直线的斜率的取值范围为．故答案为：．15．【解答】解：令f（x）＝x2﹣2x﹣1﹣|x﹣1|＝0，则（x﹣1）2﹣|x﹣1|﹣2＝0．设t＝|x﹣1|≥0，则t2﹣t﹣2＝0，解得t＝﹣1（舍去）或t＝2．所以t＝|x﹣1|＝2，解得x＝﹣1或x＝3．所以函数f（x）有两个零点﹣1，3，它们之和等于﹣1+3＝2．故答案为：2．16．【解答】解：对任意实数x，恒有f（α1）≤f（x）≤f（α2），则f（α1）为最小值，f（α2）为最大值．因为，而﹣1≤sin x≤1，所以当sin x＝﹣1时，f（x）取得最小值；当时，f（x）取得最大值．所以．所以cosα1＝0．所以．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【解答】解：（1）由a3+a4＝6a5，得6q2﹣q﹣1＝0，解得或．∵数列{a n}为递减数列，且首项为1，∴．∴．（2）∵，∴．两式相减得＝＝，∴．18．【解答】解：（1）由题意得：城镇居民农村居民合计经常阅读10024124不经常阅读502676合计15050200则＝，∴有97.5%的把握认为经常阅读与居民居住地有关；（2）城镇居民150人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有50人．采取分层抽样抽取出6人，则其中经常阅读的有4人，记为A，B，C，D；不经常阅读的有2人，记为x，y．从这6人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为AB，AC，AD，BC，BD，CD，Ax，Ay，Bx，By，Cx，Cy，Dx，Dy，xy，共15种．被选中的2位居民都是经常阅读居民的情况有6种，∴所求概率为．19．【解答】证明：（1）取AD的中点为O，连接OP，OC，OB，设OB交AC于H，连接GH．∵AD∥BC，，∴四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形．∴OB⊥AC，OB∥CD．∴CD⊥AC．∵△P AD为等边三角形，O为AD中点，∴PO⊥AD．∵平面P AD⊥平面ABCD且平面P AD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面P AD且PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD．∵CD⊂平面ABCD，∴PO⊥CD．∵H，G分别为OB，PB的中点，∴GH∥PO．∴GH⊥CD．又∵GH∩AC＝H，∴CD⊥平面GAC．（2）三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣ABC的体积之比为：＝．20．【解答】解：（1）由题意，可知：∵椭圆C经过点，∴可将点P坐标代入椭圆方程，得：，又∵△PF1F2的面积为，∴，解得：c＝1．∵a2﹣b2＝c2＝1，即a2＝b2+1，∴可将a2＝b2+1代入，解得：a2＝2，b2＝1．∴椭圆C的方程为．（2）由（1），可知：F1（﹣1，0），F2（1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．①若直线l的斜率不存在，则可得点A，B的坐标分别为，则＝（﹣2，），＝（﹣2，﹣）∴．②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l：y＝k（x+1），代入椭圆方程，得：（1+2k2）x2+4k2x+2（k2﹣1）＝0．∴△＝16k4﹣8（1+2k2）（k2﹣1）＝8k2+8＞0．∴，．∴＝＝＝．又∵k2≥0，∴．综上①②可知，的取值范围为．21．【解答】解：（1）＝，由f'（x）＝0得x＝1或x ＝a．当a＝1时，f'（x）≥0，函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增．当a＜1时，函数f（x）在（﹣∞，a），（1，+∞）内单调递增，在（a，1）内单调递减．当a＞1时，函数f（x）在3，（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减．（2）证明：要证∀x∈[0，+∞），f（x）≥﹣1，即证x∈[0，+∞），f（x）min≥﹣1．①由（1）可知，当a＞1，x∈[0，+∞）时，f（x）min＝min{f（0），f（a）}．f（0）＝﹣1，．设，a＞1，则，∴g（a）在（1，+∞）单调递增，故，即f（a）＞﹣1．∴f（x）min＝﹣1．②当a＝1时，函数f（x）在[0，+∞）单调递增，f（x）min＝f（0）＝﹣1．③当3﹣e≤a＜1时，由（1）可知，x∈[0，+∞）时，f（x）min＝min{f（0），f（1）}．又∵f（0）＝﹣1，，∴f（x）min＝﹣1．综上，当a≥3﹣e时，对∀x∈[0，+∞），f（x）≥﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）由（α为参数，α∈[0，π]）．消去参数α，可得曲线C的普通方程为x2+y2＝4（y≥0）．由ρ2（1+3sin2θ）＝4，可得ρ2+3（ρsinθ）2＝4，则x2+y2+3y2＝4，则曲线E的直角坐标方程为；（2）设A（2cosα，2sinα），α∈[0，π]，其中t＝2cosα，则B（2cosα，±sinα）．要使得△AOB面积的最大，则B（2cosα，﹣sinα）．∴＝＝．∵2α∈[0，2π]，∴sin2α∈[﹣1，1]．当，即时，△AOB的面积取最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f（x）＝3|x﹣1|+|x+1＝，当x＝1时，f（x）取得最小值，即k＝f（1）＝2；（2）证明：依题意，m2+4n2＝2，则m2+4（n2+1）＝6．所以＝＝，当且仅当，即m2＝2，n2＝0时，等号成立．所以．。
安徽省巢湖市2019-2020学年高考第三次大联考数学试卷含解析
安徽省巢湖市2019-2020学年高考第三次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．3【答案】C 【解析】 【分析】先根据奇偶性，求出()()f x g x -的解析式，令1x =，即可求出。
【详解】因为()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，21()()(1)2x f x g x x ++=+-，用x -替换x ，得21()()(1)2x f x g x x -+-+-=-+- ，化简得21()()(1)2x f x g x x -+-+=--，即12()()2(1)x f x g x x -+-=--令1x =，所以0(1)(1)201f g -=-=，故选C 。
【点睛】本题主要考查函数性质奇偶性的应用。
2．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1- B ．1C ．i -D ．i【答案】A 【解析】 【分析】由虚数单位i 的运算性质可得1z i =-，则答案可求. 【详解】 解：∵41i =，∴202045051i i ⨯==，201945043i i i ⨯+==-， 则202020191z i i ⋅=+化为1z i =-， ∴z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查了虚数单位i 的运算性质、复数的概念，属于基础题.3．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n+1+a n+2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132 B ．299C ．68D ．99【答案】B 【解析】 【分析】由12n n n a a a ++++为定值，可得3n n a a +=，则{}n a 是以3为周期的数列，求出123,,a a a ，即求100S . 【详解】对任意的n ∈+N ，均有12n n n a a a ++++为定值，()()123120n n n n n n a a a a a a +++++∴++-++=，故3n n a a +=，{}n a ∴是以3为周期的数列，故17298392,4,3a a a a a a ======，()()()100123979899100123133S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++=+++L ()332432299=+++=.故选：B . 【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题.4．设集合{}2320M x x x =++>，集合1{|()4}2xN x =≤ ，则 M N ⋃=（ ）A ．{}2x x ≥- B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤-D ．R【答案】D 【解析】试题分析：由题{}{}2320|21M x x x x x x =++=--或，{}2111|()4|()|2222x x N x x N x x -⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎛⎫=≤=≤==≥-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭，M N R ∴⋃=，选D考点：集合的运算5．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ）A ．25B ．2C ．72D ．3【答案】B 【解析】 【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SASF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB pTS p∴==. 故选：B . 【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 6．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．14【答案】A 【解析】 【分析】基本事件总数4520n =⨯=，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率． 【详解】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数， 基本事件总数4520n =⨯=，其和等于11包含的基本事件有：(9,2)，(3,8)，(7,4)，(5,6)，共4个，∴其和等于11的概率41205p ==． 故选：A ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 7．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】设切点为()00x ,y ，则300y x =，由于直线l 经过点()1,1，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处的切线斜率，建立关于0x 的方程，从而可求方程． 【详解】若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠，则32000000y 1x 1k x x 1x 1x 1--===++--， 又∵2y'3x =，∴200y'x x 3x ==，∴2002x x 10--=，解得0x 1=，01x 2=-， ∴过点()P 1,1与曲线3C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=，【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A1 B1C．12D．12【答案】B 【解析】 【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -， 则PA m PF====当0y =时，1m =，当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，2PA PF ==，Q 点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B.本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．9．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种【答案】C 【解析】 【分析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果. 【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有122412C C =种组合； 若一名学生物理和历史都选，则有144C =种组合；因此共有12416+=种组合. 故选C 【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型. 10．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-【答案】D 【解析】 【分析】由132a a a ，，成等差数列得3122a =a +a ，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q 的方程. 【详解】由题意3122a =a +a ，∴2a 1q 2=a 1q+a 1，∴2q 2=q+1，∴q=1或q=1-2故选：D ． 【点睛】本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q 是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练． 11．函数()()ln 1f x x =++的定义域为（ ） A ．()2,+∞ B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．(]1,2-【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】函数的定义域应满足20,1 2.10x x x ->⎧∴-<<⎨+>⎩故选C.12．已知函数()ln x f x x=，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221kx e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．24e D ．21e 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，()()xg x f e=，由()()()120f x g x k k ==<可得出101x<<，20x <，利用导数可得出函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，函数()y g x =在区间(),0-∞上单调递增，进而可得出21xx e =，由此可得出()22221x x x g x k x e ===，可得出2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，构造函数()2k h k k e =，利用导数求出函数()y h k =在(),0k ∈-∞上的最大值即可得解.【详解】()ln x f x x =Q ，()()ln xx x x x e g x f e e e===，由于()111ln 0x f x k x ==<，则11ln 001x x <⇒<<，同理可知，20x <， 函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()21ln 0xf x x-'=>对()0,1x ∀∈恒成立，所以，函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，同理可知，函数()y g x =在区间(),0-∞上单调递增，()()()212x f x g x f e ∴==，则21x x e =，()22221x x x g x k x e ∴===，则2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 构造函数()2kh k k e =，其中k 0<，则()()()222kkh k k k e k k e '=+=+.当2k <-时，()0h k '>，此时函数()y h k =单调递增；当20k -<<时，()0h k '<，此时函数()y h k =单调递减.所以，()()2max 42h k h e =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【数学】安徽省巢湖市高三三月份联考试题(文)(解析版)
安徽省巢湖高三三月联考数学试题（文）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】解不等式得，所以，又，所以.故选C2.设（，为虚数单位），则的表达式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，又，所以，因此.故选A3.曲线在点处的切线经过点，则的值为（）A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】因为，所以，故，又，所以曲线在点处的切线方程为，又该切线过点，所以，解得.故选C4.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如图所示的折线图年收入的各种用途占比统计如图所示的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为A. 100000元B. 95000元C. 90000元D. 85000元【答案】D【解析】由已知得，2017年的就医费用为元，年的就医费用为元， 该教师2018年的家庭总收入元．故选：D ． 5.已知，，则的值为A.B.C.D.【答案】A 【解析】，得，而.故选A.6.如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（ ）A. 2B.C. 4D.【答案】A【解析】将三视图还原，可知几何体是一个轴截面的顶角为的半圆锥，故过其顶点的截面面积.故选A.7.若是从区间内任意选取的一个实数，也是从区间内任意选取的一个实数，则点在圆：内的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为是从区间内任意选取的一个实数，也是从区间内任意选取的一个实数，所以点的所有取值构成边长为4的正方形区域，且正方形面积为；如图所示，作出满足题意的正方形和圆，在圆：内，由可得，所以，所以；因此，所以阴影部分面积为，所以点在圆：内的概率为.故选C8.函数的部分图象符合的是A. B.C. D.【答案】B【解析】故得到函数是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，，排除A，D，故选：B．9.已知直线：与轴，轴分别交于点，，点在椭圆上运动，则面积的最大值为（）A. 6B.C.D.【答案】D【解析】因为：与轴，轴分别交于点，，所以，，因此，又点在椭圆上运动，所以可设，所以点到直线的距离为(其中)，所以.故选D10.已知锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，三角形ABC的面积，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】因为三角形为锐角三角形，所以过C作于D，D在边AB上，如图：因为：，所以，在三角形ADC 中，， 在三角形BDC 中，， ，，．设结合二次函数的性质得到：．故选：D ． 11.在中，，，，过的中点作平面的垂线，点在该垂线上，当时，三棱锥外接球的半径为（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】因为，，，所以，因此为底面外接圆圆心，又因为平面，所以外接球球心在上，记球心为，连结，设球的半径为，则，所以，又，所以在中，，即，解得.故选D12.已知双曲线：的左，右焦点分别为，，右顶点为，以为圆心，（为坐标原点）为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，，因为，所以，又因点在双曲线的右支上，所以，因为，所以；因此，即，所以，解得，因为，所以.故选A二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，，若向量与向量共线，则实数k的值为______．【答案】【解析】因为向量，，所以；又，向量与向量共线，所以，解得.故答案为14.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽__________人．【答案】60【解析】由题意可得，三乡共有人，从中抽取500人，因此抽样比为，所以北乡共抽取人；南乡共抽取人，所以北乡比南乡多抽人.故答案为15.若，满足约束条件，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由约束条件作出可行域如下：因为目标函数表示可行域内的点与定点连线的斜率，所以由图像可得或，由解得；由解得；所以，，因此的取值范围是.故答案为16.已知函数，函数是定义域为的奇函数，且，则的值为__________．【答案】【解析】因为，，所以，即，又函数是定义域为的奇函数，所以，因此.故答案为三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列的前n项和为，，公差为若，求数列的通项公式；是否存在d，n使成立？若存在，试找出所有满足条件的d，n的值，并求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．解：当时，由，得，即．；由题意可知，，即，．令时，得，不合题意；时，得，符合．此时数列的通项公式为；时，得，不合题意；时，得，符合．此时数列的通项公式为；时，得，符合．此时数列的通项公式为；时，得，不合题意；时，得，不合题意；时，得，不合题意；时，，均不合题意．存在3组，其解与相应的通项公式分别为：，，；，，；，，．18.如图（一），在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥BC，AB=BC=CP，D是CP的中点，将△P AD沿AD折起，使点P到达点P′的位置得到图（二），点M为棱P′C上的动点．（1）当M在何处时，平面ADM⊥平面P′BC，并证明；（2）若AB=2，∠P′DC=135°，证明：点C到平面P′AD的距离等于点P′到平面ABCD的距离，并求出该距离．（1）解：当点M为C的中点时，平面ADM⊥平面BC，证明如下：∵D=DC，M为C中点，∴C⊥DM，∵AD⊥DP，AD⊥DC，∴AD⊥平面D C，∴AD⊥C，∴C⊥平面ADM，∴平面BC⊥平面ADM；（2）证明：在平面CD上作H⊥CD于H，由（1）中AD⊥平面D C，可知平面CD⊥平面ABCD，∴H⊥平面ABCD，由题意得D=2，∠DH=45°，∴H=，又，设点C到平面AD的距离为h，即=，由题意△ADC≌△AD，∴H=h，故点C到平面AD的距离等于点到平面ABCD的距离，且距离为．19.为了选拔学生参加全市中学生物理竞赛，学校先从高三年级选取60名同学进行竞赛预选赛，将参加预选赛的学生成绩（单位：分）按范围，，，分组，得到的频率分布直方图如图：（1）计算这次预选赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若对得分在前的学生进行校内奖励，估计获奖分数线；（3）若这60名学生中男女生比例为，成绩不低于60分评估为“成绩良好”，否则评估为“成绩一般”，试完成下面列联表，是否有的把握认为“成绩良好”与“性别”有关？附：，临界值表：解：（1）预选赛的平均成绩为（分）.（2）因为成绩落在区间的频率是，成绩落在区间的频率是，，所以获奖分数线落在区间.设获奖分数线为，则，解得，即获奖分数线为67.5分.（3）成绩落在区间的人数为，又60人中男女生比例为，故男生40人，女生20人，可得列联表如下：所以.又因为，所以有的把握认为“成绩良好”与“性别”有关.20.已知抛物线E：，圆C ：．若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；在的条件下，若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点使为坐标原点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：由题意可得抛物线的焦点，当直线的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，设直线的斜率为k，方程设为，即，由圆心到直线的距离为，当直线与圆相切时，，解得，即直线方程为；可设直线方程为，，，联立抛物线方程可得，则，，x轴上假设存在点使，即有，可得，即为，由，，可得，即，即，符合题意；当直线为，由对称性可得也符合条件．所以存在定点使得．21.设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附：，，）解：（1）由，得，令，所以，所以当时，，恒成立，即恒成立，所以单调递增；当时，，此时方程有两个不相等的根，，不妨设，令，所以，，所以当时，，即，所以单调递增；当时，，即，所以单调递减；当时，，即，所以单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.（2）当时，，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有极大值，且，当时，函数有极小值，且.又因为，，所以直线与函数的图象在区间上有且仅有3个交点，所以当时，方程有且仅有3个不同的实数根.22.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），过点作斜率为的直线与圆交于，两点.（1）若圆心到直线的距离为，求的值；（2）求线段中点的轨迹方程.解：（1）由题知，圆的普通方程为，即圆的圆心为，半径.依题可设过点的直线的方程为，即，设圆心到直线的距离为，则，解得.（2）设直线的参数方程为（为参数），，代入圆：，得.设，，对应的参数分别为，，，则，所以，.又点的坐标满足，所以点的轨迹的参数方程为，即，化为普通方程为.23.已知函数.（1）在平面直角坐标系中作出函数的图象；（2）若当时，不等式恒成立，求的最大值.解：（1），其图象如下图：（2）若，由（1）知函数的图象与轴的交点的纵坐标为3，各部分所在直线的斜率的最小值为-3，故当且仅当且时时，不等式恒成立，所以，所以，故的最大值为-6.。
安徽省巢湖市第一中学2019届高三上学期第一次月考数学文试题
巢湖市第一中学2019学年高三第一学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，满分50分）1．设集合U ＝{x |x <5，x ∈N *}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，则∁U M ＝ ( )．A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,3}D ．{3,4}2．方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )．A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0 3．下列命题中的真命题是 ( )． A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32 B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x4．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧ log 2(8－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为 ( )． A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－35．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于( )．A ．－2B ．2C ．－98D ．986．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )．A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围 ( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)8．已知锐角α的终边上一点P (sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝( )． A ．80° B ．70° C ．20° D ．10°9．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝ ( )．A ．－43 B.54 C ．－34 D.4510．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )．A.15B.25C.35D.45二、填空题（每小题5分，满分25分）11．设OA→＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为________．12．函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调增区间为________．13．若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．14．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围是________．15．给出下列命题：①存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32；②若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β；③函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 5的最小正周期为5π；④函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋7π2是奇函数； ⑤函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象． 其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上)．三．解答题16．(12分)已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期； (2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．17．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)证明：函数f(x)在R上是减函数；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．18．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sin A－sin B)＋y sin B＝c sin C上．(1)求角C的值；(2)若a2＋b2＝6(a＋b)－18，求△ABC的面积．19．(13分)已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．20．(13分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值为c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．21．(13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2，sin 3A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．巢湖一中2019届高三文科数学第一次月考试卷答案1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．C 7．B 8．.B 9．D 1 0．C11． 8 12． (－∞，1) 13． [－1,1] 14． (－1,0) 15． ③④16． 解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin[⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3]＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6. ∵x ∈[0，π]， ∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1. 17． (1)解 因为f (x )是R 上的奇函数，故f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1， 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2. ∴f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2x ＋1. ∴a ＝2，b ＝1. (2)证明 设x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12(2x 1＋1)－1－2x 22(2x 2＋1) ＝(1－2x 1)(1＋2x 2)－(1－2x 2)(1＋2x 1)2(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2x 2－2x 1(2x 1＋1)(2x 2＋1). ∵x 1<x 2，则2x 2－2x 1>0，∴f (x 1)>f (x 2)． 故f (x )是R 上的减函数．(3)解 由(2)知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0恒成立，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.18． 解 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0， 从而得a ＝b ＝3，所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.19．解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)，即13x －y －32＝0.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x 4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎨⎧ x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎨⎧ x 0＝－1，y 0＝－18.所以切线方程为y －(－14)＝4(x －1)或y －(－18)＝4(x ＋1)．即4x －y －18＝0或4x －y －14＝0.20．解 (1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ，由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎨⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16. 化简得⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝c －16.由题设条件知，16＋c ＝28，解得c ＝12，此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝c －16＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.21．解 (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2＝3， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ，∴sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3×32， 即32sin B ＋12cos B ＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6， ∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2.当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6. 故△ABC 是直角三角形.。
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【市级联考】安徽省巢湖市2019届高三三月联考数
学（文科）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则（）
A．B．
C．D．
2. 设（，为虚数单位），则的表达式为
（）
A．B．C．D．
3. 曲线在点处的切线经过点，则的值为
（）
A．B．
C．D．
4. 某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（）
A．100000元B．95000元C．90000元D．85000元
5. 已知，，则的值为
A．B．C．D．
6. 如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（）
A．2 B．C．4
D．
7. 若是从区间内任意选取的一个实数，也是从区间内任意选取的一个实数，则点在圆：内的概率为（）A．B．C．D．
8. 函数的部分图象符合的是
A．B．
C．D．
9. 已知直线：与轴，轴分别交于点，，点在椭圆
上运动，则面积的最大值为（）
A．6
B．C．D．
10. 已知锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积，则的取值范围为（）
A．B．
C．D．
11. 在中，，，，过的中点作平面
的垂线，点在该垂线上，当时，三棱锥外接球的半径为（）
A．B．C．D．
12. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，右顶点为，以为圆心，（为坐标原点）为半径的圆与双曲线在第一象限的
交点为，若，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．
二、填空题
13. 已知向量，，，若向量与向量共线，则实数k的值为______．
14. 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽__________人．
15. 若，满足约束条件，则的取值范围为
__________．
16. 已知函数，函数是定义域为的奇函数，且
，则的值为__________．
三、解答题
17. 已知等差数列的前n项和为，，公差为
若，求数列的通项公式；
是否存在d，n使成立？若存在，试找出所有满足条件的d，n的值，并求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
18. 如图（一），在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥BC，AB=BC=CP，D是CP 的中点，将△PAD沿AD折起，使点P到达点P′的位置得到图（二），点M为棱P′C上的动点．
（1）当M在何处时，平面ADM⊥平面P′BC，并证明；
（2）若AB=2，∠P′DC=135°，证明：点C到平面P′AD的距离等于点P′到
平面ABCD的距离，并求出该距离．
19. 为了选拔学生参加全市中学生物理竞赛，学校先从高三年级选取60名同学进行竞赛预选赛，将参加预选赛的学生成绩（单位：分）按范围，，，分组，得到的频率分布直方图如图：
（1）计算这次预选赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若对得分在前的学生进行校内奖励，估计获奖分数线；
（3）若这60名学生中男女生比例为，成绩不低于60分评估为“成绩良
好”，否则评估为“成绩一般”，试完成下面列联表，是否有的把握认为“成绩良好”与“性别”有关？
成绩良好成绩一般合计
男生15
女生
合计
附：，
0.10 0.05 0.010
2.706
3.841 6.635
20. 已知抛物线E：，圆C：．
若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；
在的条件下，若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点使为坐标原点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21. 设函数.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附：，，）
22. 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），过点作斜率为的直线与圆交于，两点.
（1）若圆心到直线的距离为，求的值；
（2）求线段中点的轨迹方程.
23. 已知函数.
（1）在平面直角坐标系中作出函数的图象；
（2）若当时，不等式恒成立，求的最大值.。