小学奥数专题--排列组合推理篇
小学奥数专题--排列组合(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】✧排列问题题型分类：1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题✧组合问题题型分类：1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题✧常用解题方法和技巧1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法11.住店法12. 对应法 13. 去头去尾法 14. 树形图法 15. 类推法 16. 几何计数法 17. 标数法 18. 对称法分类相加，分步组合，有序排列，无序组合基础知识（数学概率方面的基本原理）一. 加法原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1中不同的方法， 在第二类办法中有M 2中不同的方法，……， 在第N 类办法中有M n 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M n 种不同的方法。
二. 乘法原理：如果完成某项任务，可分为k 个步骤，完成第一步有n 1种不同的方法， 完成第二步有n 2种不同的方法，…… 完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法。
三.两个原理的区别⏹做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。
每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)⏹做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同⏹这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．四.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 P m n 表示. P m n =n(n-1)(n-2)……(n -m+1)=n!(n-m)!(规定0!=1). 2. 组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号C m n 表示.C mn = P mn /m!= n!(n-m)!×m!一般当遇到m 比较大时（常常是m>0.5n 时），可用C m n = C n-m n 来简化计算。
四年级奥数-排列组合(1)
排列组合排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有2112520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
奥数题排列组合问题附答案
奥数题排列组合问题附答案
奥数题排列组合问题附答案
小学生想要学好数学，做题是最好的办法，但想要奏效，还得靠自己的积累。
多做些典型题，并记住一些题的解题方法。
以下是小学频道为大家提供的二年级奥数题排列组合问题附答案，供大家复习时使用！
1、有10把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次?
2、上体育课时,同学们站好了队,1、2报数，然后让报1的学生退出队列;再1、2报数，让报1的学生退出队列;从第三次开始每次报数后，一律让报2的学生退出队列，直到最后一个人为止，问剩下的一个人最初在队列的第几位?
1、解析：
第1把锁，试9次可以确定所配的`钥匙;第2把锁，试8次可以确定所配的钥匙;第3把锁，试7次可以确定所配的钥匙……第9把锁，试1次可以确定所配的钥匙;第10把锁不用试。
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45次。
2、解析：
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14……
第1次：留下的是2、4、6、8、10、12……
第2次：留下的是4、8、12、16……
第3次：留下的是4、12、20、28……
第4次：留下的是4、20、……
第5次：留下的是4……
从第3次开始，报2的退出，那么最后一个人总是第4位。
小学奥数之排列组合问题
题目：将5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为 _______． 答案：60
掌握基础概念和公式
理解排列组合的原理和计算方法
理解排列组合的概念和公式
练习题：有5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为多少？ 答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。练习题：用数字0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字且大于2000的三位数？ 答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。
小学奥数专题--排列组合
✧排列问题题型分类：1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题✧组合问题题型分类：1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题✧常用解题方法和技巧1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法11.住店法12.对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加，分步组合，有序排列，无序组合✧基础知识（数学概率方面的基本原理）一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有Mn种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+Mn种不同的方法。
二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n1种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法。
三.两个原理的区别⏹做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。
每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)⏹做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同⏹这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．四.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 Pmn表示.Pmn =n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cmn表示.Cmn = Pmn /m!= n!(n-m)!×m!一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用Cmn = Cn-mn 来简化计算。
四年级奥数-排列组合
排列组合排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =ð共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A ð中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
奥数之数论与排列组合
奥数之数论与排列组合
引言
数论与排列组合是奥林匹克数学竞赛中的重要内容之一。
数论涉及整数的性质和关系，而排列组合则研究如何计算对象的不同排列和组合方式。
数论
数论是研究整数的性质和关系的数学分支。
在奥数竞赛中，数论题目常常涉及诸如质数、最大公约数、最小公倍数以及模运算等概念。
数论题目通常要求解决整数的特定问题，如找出某个数的因子，验证某个数的性质等。
解决数论问题需要掌握一些基本的数论定理和技巧。
排列组合
排列组合是研究对象的不同排列和组合方式的数学分支。
在奥林匹克数学竞赛中，排列组合题目常常涉及诸如排列、组合、二项式系数等概念。
排列组合题目通常要求计算对象在不同条件下的排列或组合数量。
解决排列组合问题需要了解基本的计数原理和组合公式。
竞赛应用
数论和排列组合在奥数竞赛中扮演着重要的角色。
通过掌握数论和排列组合的基本原理和方法，参赛者可以更好地解决奥数竞赛中的相关问题。
这些问题不仅能帮助参赛者提高数学思维能力，还能锻炼他们的逻辑推理和问题解决能力。
总结
数论和排列组合是奥林匹克数学竞赛中重要的内容之一。
掌握数论和排列组合的基本原理和方法，对于提高数学竞赛成绩非常有帮助。
通过解决数论和排列组合问题，可以培养参赛者的数学思维能力和解决问题的能力。
奥数竞赛中的数论和排列组合题目也是考察参赛者数学综合素质的重要手段之一。
小升初奥数—排列组合问题
小升初奥数—排列组合问题一、排列组合的应用【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。
【解析】 （1）775040P =（种）。
（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×66P =1440(种)．（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ⨯= (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ⨯=（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。
【例 2】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种。
第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312⨯=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．【例 3】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?【解析】 设A :BC DE 是满足题意的时刻，有A 为8，B 、D 应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有26P 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有27P 种选法，所以共有26P ×27P =1260种选法。
组合排列判断推理
组合排列判断推理首先，让我们来了解一下组合排列的基本概念。
在数学中，组合排列是指将一组元素按照一定规则进行排列或组合的方式。
通常来说，排列是指将一组元素按照一定顺序进行排列，而组合则是指从一组元素中取出一部分元素，按照一定规则进行组合。
在实际应用中，组合排列有着广泛的用途，比如在密码学、排列组合问题、概率统计等领域都会用到组合排列的概念。
在组合排列中，最常见的问题之一就是要判断给定的一组元素是否满足某种排列规则。
在这种情况下，我们通常需要对题目中给出的条件进行分析，并根据条件给出的要求来判断这组元素是否满足排列规则。
常见的判断问题包括判断是否存在重复元素、是否满足特定条件等。
举一个简单的例子来说明这种情况。
假设我们有一组元素{1, 2, 3, 4}，要求将这些元素按照一定规则进行排列，要求是2和3不能相邻。
那么我们可以通过列举所有可能的组合来判断是否存在满足要求的排列。
首先我们可以将2和3固定在一起，然后将1和4分别插入到2和3的中间，得到排列{2, 1, 3, 4}和{2, 4, 1, 3}。
在这个例子中，我们通过列举所有可能的排列，来判断是否存在满足特定条件的排列。
除了判断问题外，组合排列中还有一个重要的问题就是推理问题。
推理问题通常是指给定一组元素和一些条件，要求找出符合条件的所有排列或组合。
在这种情况下，我们需要通过逻辑分析和排列组合知识来找出所有符合条件的排列。
举一个推理问题的例子来说明。
假设我们有一组元素{1, 2, 3, 4, 5}，要求找出所有排列中1和2相邻的排列。
在这种情况下，我们可以通过逻辑分析和排列组合知识来找出符合条件的所有排列。
首先我们可以将1和2固定在一起，然后将其他元素进行排列，得到排列{1, 2, 3, 4, 5}和{2, 1, 3, 4, 5}等。
通过逻辑分析和排列组合知识，我们可以找出所有符合条件的排列。
在实际应用中，组合排列的判断和推理问题有着广泛的应用。
奥数思维挑战解决排列组合问题
奥数思维挑战解决排列组合问题奥数思维挑战：解决排列组合问题在数学领域中，排列组合是一种常见的问题类型。
解决排列组合问题需要灵活运用奥数思维，通过合理的思考和分析找到最优解。
本文将介绍一些奥数思维的方法和技巧，帮助你解决排列组合问题。
1. 基本概念在探讨排列组合问题之前，我们需要先了解一些基本概念。
排列是指从给定的一组元素中，按一定顺序选择若干个元素进行排列的不同方式。
排列的计算公式为：P(n, m) = n!/(n-m)!组合是指从给定的一组元素中，不考虑顺序选择若干个元素的不同方式。
组合的计算公式为：C(n, m) = n!/[m!(n-m)!]其中，n表示元素的总数，m表示选择的元素个数，!表示阶乘运算。
2. 奥数思维方法2.1. 利用图形和图表当排列组合问题涉及到物体摆放或者数学集合时，我们可以通过绘制图形和图表来帮助解决问题。
例如，可以使用格子图或者树状图来表示排列组合的可能性。
2.2. 分类讨论法有时候，排列组合问题的不同情况需要进行分类讨论，以找到最终的解决方案。
通过将问题分解成几个子问题，并对每个子问题进行独立的排列组合计算，可以更好地理清思路。
2.3. 利用数学公式排列组合问题的计算往往会涉及到阶乘和组合计算。
掌握这些基本的数学公式，可以更快地解决问题。
此外，还可以运用数学归纳法来简化复杂问题的计算过程。
3. 实例分析为了更好地理解奥数思维在排列组合问题中的应用，我们来看一个实例。
例题：有5个小朋友，其中3个小朋友要排队上台表演。
请问，有多少种不同的排队方式？解析：根据排列的计算公式，可以得知该问题是一个3个元素从5个元素中选择的排列问题。
因此，可以使用排列公式进行计算，P(5, 3) = 5!/(5-3)! = 60 种不同的排队方式。
4. 奥数思维的重要性奥数思维不仅仅在解决排列组合问题中起着关键的作用，还能培养学生的逻辑思维能力和创造性思维能力。
通过运用奥数思维，学生能够培养独立思考、分析问题和解决问题的能力。
五年级奥数专题第六章 组合与推理
五年级奥数专题第六章组合与推理第一讲包含与排除【一】同学们站成一排报数,从左往右报数时,小明报8,从右往左报数时,小明报7,这排同学有多少人？练习1、一些同学站成一排报数,从左往右报数时,小明报11,从右往左报数时,小明报5,这排同学有多少人？2、中心小学某班进行队列练习,向前走时,小勇数了数,他前面有6人,老师喊：“向后转”的口令后,小勇数了数,他前面有7人,这行同学有多少人？【二】学校买来三种花,月季花和菊花一共有25盆,菊花和茶花一共有30盆,三种花一共有40盆,三种花各买来多少盆？练习1、苹果树、梨树和桃树共80棵,其中苹果树和梨树一共60棵,梨树和桃树一共有50棵,三种树各有多少棵？2、小丽从家到学校,走了60米后有一个商店,放学后小丽从学校回家,走了60米后超过了商店10米,小丽家离学校有多少米？【三】实验小学五年级196名学生都订了刊物,有165人订了少年报,有146人订了小学生报,问两种刊物都订的有多少人？练习1、五（1）班50人都在做语文和数学作业,有34人做完了语文作业,有30人做完了数学作业,这个班语文、数学作业都做完的有多少人？2、五年级有120人参加语文、数学考试,每人至少有一门功课得优,其中,语文得优的有76人,数学得优的有85人,问语文、数学都得优的有多少人？【四】中山市的外语教师中,每人至少懂得英语和日语中的一中语言。
已知有55人懂英语,32人懂日语,两种语言都懂的有20人,中山市有多少个外语教师？练习1、五年级的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动,已知有780人爱好体育活动,有860人爱好文娱活动,其中320人两种活动都爱好。
五年级共有学生多少人？2、某班在一次测验中有26人语文获优,有30人数学获优,其中语、数双优的有12人,另外还有8人语、数均未获优,这个班共有多少个学生？【五】在100个外语教师中,懂英语的75人,懂日语的45人,其中必然有既懂英语又懂日语的老师,问：只懂英语的老师有多少人？练习1、40人都在做加法的两道题,并且至少做对了其中的一题,已知做对第一题的有35人,做对第二题的有20人,问：只做对第一题的有多少人？2、实验小学五年级120名同学参加语文、数学考试,每人至少有一门得优,已知语文64人得优,数学76人得优,求只有语文一门得优的人数。
数学推理应用排列组合解决问题
数学推理应用排列组合解决问题正文：数学推理应用排列组合解决问题在解决问题时，数学推理是一种非常重要的思维方法。
而排列组合作为数学中的一个重要概念，可以帮助我们有效地解决各种问题。
本教案将以数学推理应用排列组合解决问题为主题，通过具体的案例分析和实践演练，培养学生运用排列组合解决问题的能力。
一、示例讲解1. 实际问题引入假设有5个学生A、B、C、D、E，现在要从中选出3位学生作为班长、副班长和体育委员。
请问有多少种不同的选举结果呢？2. 理论知识讲解引入排列组合的概念，并讲解排列和组合的区别。
通过讲解规则和公式，让学生了解如何计算排列和组合的数量。
3. 解题方法介绍- 排列计算：根据题目所给条件，确定每个位置可以选择的人数，并进行乘法运算。
- 组合计算：根据题目所给条件，确定选择的人数和位置没有先后顺序，并进行除法运算。
4. 解题过程演示根据学生名字和角色的问题，引导学生列出所有的可能情况，并进行计算。
通过具体的案例演示，让学生掌握排列组合的应用方法。
二、问题探究1. 小组讨论题目学生分成小组，讨论以下问题：从10本不同的书中挑选3本，有多少种不同的挑选方式？2. 学生动手解决问题鼓励学生自行计算，并将不同的解决方法进行比较。
学生可以使用排列组合的方法，也可以尝试其他的解决思路。
3. 解题过程展示请学生在黑板上或 PPT 上展示他们的解题过程，并进行讲解和讨论。
鼓励学生在解题过程中思考、交流和合作，培养他们的数学推理和解决问题的能力。
三、拓展应用1. 练习题设计设计一些排列组合的练习题，难易程度适中，让学生进行自主练习。
可以根据学生的实际情况，设置不同的题目类型和难度。
2. 创设情境在实际生活中，引入更多的排列组合问题情境，并让学生运用所学知识进行解决。
例如，让学生计算在一个餐厅有5种主食、3种汤和4种甜品的情况下，一共有多少种不同的套餐组合方式。
四、课堂总结在课堂总结环节，对本节课的学习内容进行回顾和总结。
排列组合推理公式
排列组合推理公式好的，以下是为您生成的关于“排列组合推理公式”的文章：在咱们学习数学的这个大旅程中，排列组合推理公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多难题的大门。
这玩意儿，初看可能觉得有点头疼，但只要咱把它琢磨透了，那可真是乐趣无穷。
我记得有一次，学校组织活动，要从班里选几个同学去参加文艺表演。
老师说，咱们班一共 30 个人，要选 5 个人去唱歌，8 个人去跳舞。
这可把大家难住了，到底有多少种选法呀？这时候，排列组合推理公式就派上用场啦。
咱先来说说排列。
排列呢，讲究的是顺序。
比如说，从 5 个不同的球里，选出 3 个排成一排，那这第一个球有 5 种选法，第二个球就剩 4 种选法，第三个球就剩 3 种选法。
所以总的排列数就是 5×4×3 = 60 种。
再看看组合。
组合不管顺序，只要选出来就行。
还是从 5 个球里选3 个，这时候就不用管谁先谁后了。
那组合数就是 5×4×3÷(3×2×1) = 10 种。
回到选同学参加表演的事儿。
选 5 个人唱歌，那就是从 30 个人里选 5 个人的组合数，C(30, 5) = 30×29×28×27×26÷(5×4×3×2×1) ，算出来这数字可不小。
再选 8 个人跳舞，就是 C(30 - 5, 8) ，也就是 C(25,8) 。
把这两个组合数乘起来，就是总的选法。
学习排列组合推理公式的时候，可别死记硬背。
得像玩游戏一样，多琢磨琢磨其中的规律。
比如说，想象自己在分糖果，有几种分法；或者想象在排座位，怎么排才合理。
还有啊，做排列组合的题，一定要仔细读题，看清是要排列还是组合。
有时候就因为没看清这一点，答案就差得老远啦。
排列组合推理公式在生活中也用处多多。
比如说买彩票，虽然中奖概率低得可怜，但从数学角度看，那也是个排列组合的问题。
三年级奥数培优专题第五章 组合与推理(二)
三年级奥数培优专题第五章组合与推理（二）第一讲简单推理（二）【专题简析】小文比小林高,小林比小佳高,那我们可以推断,小文一定比小佳长得高,这也是一种推理。
与前面推理题不同的是,这种推理解答时不需要或很少用到计算,而要求我们根据题目中给出的已知条件,通过分析和判断,得出正确合理的结论。
做推理题时,要根据已知条件认真分析,为了找到突破口,有时先假设一个结论是正确的,然后验证它是不是符合所给的一切条件,若没有矛盾,说明推理正确,否则再换个结论来验证。
【典型例题】【例1】晴晴比珊珊高,珊珊比惠惠高。
她们三人中,谁最高？【试一试】1．青青比林林重,林林比力力重。
他们三人中,谁最轻？谁最重？2．爷爷的年龄比奶奶大,奶奶的年龄比外婆大。
他们三人中,谁最大？谁最小？【例2】桌上有三盘苹果,小猫说：“第一盘比第三盘多3个。
”小狗说：“第三盘比第二盘少5个。
”猜一猜,哪盘苹果最多？哪盘苹果最少？【试一试】1．三个小朋友比大小,根据下面的两句话,请你猜一猜,谁最大？谁最小？（1）芳芳比阳阳大3岁,（2）宁宁比芳芳小1岁。
2．有三种水果,请根据动物们的话,猜一猜,哪种水果最重？哪种水果最轻？小猪：“香蕉比桃重”；小龟：“苹果比香蕉轻”；小鹿：“苹果比桃重。
”【例3】红红、聪聪和颖颖都戴着太阳帽去参加野炊活动,她们戴的帽子一个是红的,一个是黄的,一个是蓝的。
只知道红红没有戴黄帽子。
聪聪既不戴黄帽子,也不戴蓝帽子,请你判断红红、聪聪和颖颖分别戴的是什么颜色的帽子？【试一试】1．爸爸买回3双袜子,其中2双是花袜子,1双是红袜子,爸爸塞了1双花袜子给妹妹,又塞了1双红袜子给哥哥,把剩下的1双袜子藏在自己手中,让兄妹猜是什么颜色的,谁猜对就把袜子给谁。
你们说,谁肯定会猜对？2．黄颖、李红和马娜都穿着新衣服,她们穿的衣服一个是花的,一个是粉红的,一个是蓝的。
已知黄颖穿的不是花衣服,李红既不穿蓝衣服,又不穿花衣服,她们分别穿的是什么颜色的衣服？【例4】一个正方体有六个面,每个面分别涂有红、绿、黄、白、蓝、黑六种颜色,你能根据这个正方体的三种不同的摆法,判断出这个正方体每一种颜色的对面是什么颜色吗？【试一试】1．有一个正方体,每个面上分别写着1,2,3,4,5,6,有三个人从不同的角度观察,结果如下图：这个正方体每个数字的对面是什么数？2．有一个正方体,每个面上都画有 ○、□、◎、※、§、△,根据它三种不同的摆法,判断这个正方体每种图形的对面各是什么？【例5】已知某月中,星期二的天数比星期一的天数多,而星期二的天数比星期四的天数多,那么这个月的最后一天是星期几？△ §□ ※ ○ △ □ ◎ ※ 红 黑 白 黄 绿 红 白 蓝黄 3 1 4 1 2 6 5 2 3【试一试】1．某年二月,星期日的天数最多,那么这个月最后一天是星期几？2．某月中,星期日的天数比星期六的天数多,而星期二的天数比星期三的天数多,那么这个月最后一天是星期几？【※例6】王帆、李昊、吴一凡三人中,有一人看了《地球奥秘》这部科技片。
小学奥数思维训练-排列组合(经典透析)(通用,含答案)
保密★启用前小学奥数思维训练排列组合（经典透析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．小明和小王从北京出发先到天津看海，然后再到上海东方明珠塔参观．从北京到天津可以坐火车或者坐公共汽车，坐火车有4种车次，坐公共汽车有3种车次；而从天津到上海可以坐火车，公共汽车，轮船或者飞机，火车有3种，汽车有5种，轮船有4种，飞机有2种．问小明和小王从北京到上海旅游一共有多少种走法？2．某公园有两个园门，一个东门，一个西门．若从东门入园，有两条道路通向龙凤亭，从龙凤亭有一条道路通向园中园，从园中园又有两条道路通向西门．另外，从东门有一条道路通向游乐场．从游乐场有两条道路通向水上世界，另有一条道路通向园中园．从水上世界有一条道路通向西门，另有一条道路通向小山亭，从小山亭有一条道路通向西门．问若从东门入园，从西门出园一共有多少种不同的走法（不走重复路线）？3．由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？①可组成多少个没有重复数字的三位数？4．如下图，A、B、C、D、E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？5．4名同学到照相馆照相。
他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？6．从分别写有1、3、5、7、8五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：①有多少个不同的乘积？①有多少个不同的乘法算式？7．如下图，问：①下左图中，共有多少条线段？①下右图中，共有多少个角？8．从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？9．国家举行足球赛，共15个队参加．比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队．各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）．然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军．问：①共需比赛多少场？①如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？参考答案：1．98种【解析】【分析】首先看他们完成整个过程需要几个步骤，这是判断利用加法原理和乘法原理的依据．很明显整个过程要分两步完成，先从北京到天津，再从天津到上海，应该用乘法原理．我们再分开来看，先看从北京到天津，无论是坐火车还是汽车都是一步完成，所以要用加法原理，同样的道理，从天津到上海的走法计算也应该用加法原理．【详解】解：从北京到天津走法有：4+3=7种，从天津到上海走法有：3+5+4+2=14（种）．从北京到上海的走法有：7×14=98（种）．答：小明和小王从北京到上海旅游一共有98种走法．2．10种【解析】【详解】解法一：这个题的已知条件比较复杂．我们可将已知条件稍加“梳理”：1.从东门入园，从西门出园；2.从东门入园后，可以通向两个游览区，龙凤亭与游乐场；3.从龙凤亭经园中园可达到西门；4.从游乐场经水上世界可达到西门，或从游乐场经园中园可达到西门；5.从水上世界经小山亭可达到西门；根据以上五条可知，从东门入园经龙凤亭经园中园达到西门为一主干线．而东门到龙凤亭有两条不同路线；龙凤亭到园中园只有一条路线；园中园到西门又有两条不同的路线．由乘法原理，这条主干线共有2×1×2=4种不同的走法．再看从东门入园后到游乐场的路线．从东门到游乐场只有一条路，由游乐场分成两种路线，一是经园中园到西门，这条路线由乘法原理可知有1×1×2=2种不同走法；二是经水上世界到西门，从水上世界到西门共有两条路线（由水上世界直接到西门和经小山亭到西门），再由乘法原理可知这条路线有1×2×2=4种不同路线．最后由加法原理计算．从东门入园从西门出园且不走重复路线的走法共有2×1×2+1×1×2+1×2×2=10种．解法二：“枚举法”解题．如图，图中A 表示东门，B 表示西门，C 表示龙凤亭，D 表示园中园，E 表示游乐场，F 表示水上世界，G 表示小山亭，线表示道路．不同的走法有10种．1121111A C D BA C DB A E D BA E F G BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→ 1222222A C D BA C DB ACD B AEFG BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→答：不走重复路线，共有10种不同走法．【点睛】本题主要考察加法乘法原理．先分类利用加法原理，再对每一类进行分步利用乘法原理．建议可以利用加法与乘法原理的题型就没必要用枚举法，因为枚举法比较容易重复和遗漏．3．①48个①18个【解析】【分析】在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。
四年级奥数-排列组合
排列组合排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =ð共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A ð中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
小学奥数专题--排列组合
.✧排列问题题型分类：1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题✧组合问题题型分类：1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题✧常用解题方法和技巧1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法11.住店法12.对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加，分步组合，有序排列，无序组合基础知识（数学概率方面的基本原理）一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有M n种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法。
二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n1种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法。
三.两个原理的区别⏹做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。
每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)⏹做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同⏹这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．四.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P m n表示.P m n =n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号C m n表示.C m n = P m n /m!=n! (n-m)!×m!一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用C m n = C n-m n来简化计算。
逻辑推理-排列和组合问题1
逻辑推理-排列和组合问题1逻辑推理-排列和组合问题1一．选择题（共12小题）1．用数码2、4、5、7组成的四位数中，每个数码只出现一次．将所有这些四位数从小到大排列，则排在第13个的四位数是（）A．4527 B．5247 C．5742 D．72452．在所有六位数中，各位数字之和等于52的六位数有（）A．2个B．12个C．21个D．31个3．甲乙丙丁四位同学站成一横排照相，如果任意安排四位同学的顺序，那么恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是（）A．B．C．D．4．某校某天上午要排数学、语文、外语、体育四节课的课表，数学只能排第一、二节，语文只能排第二、三节，外语必须排在体育前面，满足以上要求的课表排法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种5．电话号码由5位变成6位，可以增加（）个不同的号码．A．90万B．60万C．50万D．110万6．在体育活动中，初二（1）班的n个学生围成一圈做游戏，与每个学生左右相邻的两个学生的性别不同．则n的取值可能是（）A．43 B．44 C．45 D．467．有四对夫妇参加一次乒乓球单打训练，训练中某些人两两打球（夫妻之间不打球），训练完后，其中一位李先生打听其余每个人参加打球的次数，知他们打球的次数各不相同，则李夫人打球的次数为（）A．1B．3C．4D．68．在圆形的钥匙圈上挂了5把不同的钥匙，则不同顺序的排法有（）A．5种B．10种C．12种D．24种9．若（x2+x+1）6=a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0，则a11+a9+a7+a5+a3+a1=（）A．364 B．365 C．730 D．72810．设（2x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5．则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=（）A．﹣1 B．1C．﹣243 D．24311．从装有7种颜色每色77个球的袋中摸球出来，摸时没法判断颜色，要确保摸出的球装满7盒，每盒7个球，盒中的球同色，则至少需要摸出（）个球．A．85 B．84 C．71 D．5012．现有1、2、3、4、5共五个数，从中取若干个数分给A、B两组，两组都不能放空，要使得B组中最小的数比A组中最大的数都大，则有（）种分配方法．A．44 B．49 C．51 D．32二．填空题（共18小题）13．某校6个班级举行象棋比赛，比赛规定每班各选出3人参加本班单循环赛，然后每班第一名代表该班参加全校的单循环赛，则共需要举行_________场比赛才能决出名次．14．红领巾春节慰问小组在确定敬老院的演出节目单时，遇到如下问题：除夕夜的演出有唱歌、舞蹈、杂技、小品4个节目．如果要求唱歌不排在第4个演出，舞蹈不排在第3个演出，杂技不排在第2个演出，小品不排在第1个演出．那么，满足上述要求的节目单，共有_________种不同的排法．15．10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过_________次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列．16．在4×4的正方形网格棋盘中，放入黑、白各一枚，共有_________种不同的放法．17．在±1±2±3±5±20中，适当选择+、﹣号，可以得到不同代数和的个数是_________．18．给你0、1、2、3，最多可组成_________个四位数．（注：各数位上的数字允许相同）19．有一人利用休假的四个城市a、b、c、d旅游，他今天在这个城市，明天又到另一个城市，请问该同志从a城出发5天后又回到a城的不同旅游线路有_________条．20．在平面上放置四个点，两两连接所成六条线段，其中最大线段长为1，最小线段长为a，则所有满足上述条件排布的四个点中，a所取的最大值是_________．21．将2个相同的黑球和11个相同的白球排在一个圆周上，共有_________种不同的排法．（旋转，翻转相同的方法算同一种）22．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A（10，0），B （0，10），C（﹣10，0），D（0，﹣10），则该正方形内及边界上共有_________个整点（即纵横坐标都是整数的点）．23．在表达式S=中，x1、x2、x3、x4是1、2、3、4的一种排列（即：x1、x2、x3、x4取1、2、3、4中的某一个数，且x1、x2、x3、x4互不相同）．则使S为实数的不同排列的种数有_________种．24．如图，数一数，图中共有多少个（包含大小不同的）正方形？答案_________．25．如下图，是用木条做成的小正方形窗格，一个小虫子从A点以最短距离沿窗格的木条爬行到B点，则有_________条不同的爬行路线．26．如图，图中平行四边形共有的个数是_________．27．用三个数码1和三个数码2可以组成_________个不同的四位数．28．从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有_________个．29．小张购买了同样件数的圆珠笔、铅笔和塑胶擦三种学习用具，各件用具的款式都不相同．如果小张能在同一年内每天都有不同样的圆珠笔、铅笔和塑胶擦配套使用，那么，他购买每种学习用具至少_________件．30．（x+y+z）4的乘积展开式中数字系数的和是_________．逻辑推理-排列和组合问题1参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．用数码2、4、5、7组成的四位数中，每个数码只出现一次．将所有这些四位数从小到大排列，则排在第13个的四位数是（）A．4527 B．5247 C．5742 D．7245考点：排列与组合问题．专题：数字问题．分析：首先找到以2开头的四位数的个数，然后再找到以4开头的四位数的个数，这些数共有12个，则第13个数从5开头，找出这个最小的四位数即可．解答：解：千位上是2的四位数的个数有3×2×1=6个，千位上是4的四位数的个数有3×2×1=6个，即可知排在第13个四位数是千位上是5，又知这些从小到大排列，第13个数为5247，故选B．点评：本题主要考查排列与组合的知识点，解答本题的关键是找到以2和4开头的四位数的个数，本题比较简单．2．在所有六位数中，各位数字之和等于52的六位数有（）A．2个B．12个C．21个D．31个考点：排列与组合问题．专题：计算题．分析：由已知此题属排列组合问题，各位数字之和为52，则六位数只能是5个9，1个7；或4个9，2个8两种情况，第一种情形，5个9有六个位置可以放置7，故有C（6，1）=6个；第二种情形，四个9有五个位置，若两个8 相邻，有C（5，1）=5个，不相邻有C（5，2）=10个，共15个，从而求出各位数字之和等于52的六位数有多少个．解答：解：若各位数字之和为52，则六位数只能是5个9，1个7；或4个9，2个8；所以共有C（6，1）+C（5，1）+C（5，2）=6+5+10=21，故选：C．点评：此题考查的知识点是排列与组合问题，关键是掌握两种情况：各位数字之和为52，则六位数只能是5个9，1个7；或4个9，2个8；运用排列组合公式计算．3．甲乙丙丁四位同学站成一横排照相，如果任意安排四位同学的顺序，那么恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是（）A．B．C．D．考点：排列与组合问题．分析：当甲乙丙丁四位同学任意站成一横排照相，共有4×3×2×1=24种方法，再固定甲乙相临且甲在乙左边，用“甲乙”表示，进一步讨论他们所在位置，求得站的方法解答问题即可．解答：解：四位同学任意的顺序站成一横排照相，共有P44=4×3×2×1=24种方法，因为甲乙相临且甲在乙左边，有下列情形：“甲乙”丙丁，“甲乙”丁丙，丙“甲乙”丁，丁“甲乙”丙，丙丁“甲乙”，丁丙“甲乙”共6种情况，所以恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是=．故选A．点评：此题主要利用排列组合的计算方法：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，共有P n m种方法．4．某校某天上午要排数学、语文、外语、体育四节课的课表，数学只能排第一、二节，语文只能排第二、三节，外语必须排在体育前面，满足以上要求的课表排法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种考点：排列与组合问题．专题：应用题．分析：易得体育只能在第4节，那么根据所给方案，进行排列，计算出总的排课方法即可．解答：解：第一节第二节第三节第四节数学语文外语体育或数学外语语文体育或语文数学语文体育共3种排课方法．故选C．点评：考查排列与组合方法的应用；判断出体育的位置是解决本题的突破点．5．电话号码由5位变成6位，可以增加（）个不同的号码．A．90万B．60万C．50万D．110万考点：排列与组合问题．专题：数字问题．分析：当电话5位时，号码的个数为10×10×10×10×10﹣1个，当电话位时，号码的个数为10×10×10×10×10×10﹣1个，由此解答问题．解答：解：当电话号码为5位字时，有号码105﹣1=99999个；当电话号码为6位字时，有号码106﹣1=999999个；号码增加了999999﹣99999=90万个．故选A．点评：此题考查排列与组合中的乘法原理，当电话号码n位时，每一个号码的位置都有10个数字可选，因此共有10n个不同的号码．6．在体育活动中，初二（1）班的n个学生围成一圈做游戏，与每个学生左右相邻的两个学生的性别不同．则n的取值可能是（）A．43 B．44 C．45 D．46考点：排列与组合问题．专题：应用题．分析：理解与每个学生左右相邻的两个学生的性别不同，可得这组学生数应为某个常数的倍数，据此解答即可．解答：解：假设有一个学生为男，那么他左边为男，则右边一定为女，这个女生的左边为男生，右边一定是女生，那么排列的可能为男，男，女，女，男，男，女，女，…∵每4个数为一组循环，∴这组学生数应为4的倍数，故选B．点评：考查排列与组合的应用；理解题意，得到相应的排列规律是解决本题的关键．7．有四对夫妇参加一次乒乓球单打训练，训练中某些人两两打球（夫妻之间不打球），训练完后，其中一位李先生打听其余每个人参加打球的次数，知他们打球的次数各不相同，则李夫人打球的次数为（）A．1B．3C．4D．6考点：排列与组合问题．专题：探究型．分析：构造八边形，求出八边形的边数及对角线条数，再去掉4条线段（夫妻之间不打球），即为四对夫妇的打球次数．再根据其余三对夫妇打球的次数各不相同，即可求出李夫人打球的次数．解答：解：构造正八边形，其对角线条数为=20条，其边数为8条，共计28条线段．由于4对夫妻之间不打球，故去掉4条线段，此次比赛共有24次．每对夫妇6次．∵3+3=6=1+5=2+4=6+0，又∵其余三对夫妇打球的次数各不相同，∴李夫人打球的次数为3次．故选B．点评：此题考查了排列与组合问题，将实际问题转化为多边形的边数与对角线条数问题是解题的关键．8．在圆形的钥匙圈上挂了5把不同的钥匙，则不同顺序的排法有（）A．5种B．10种C．12种D．24种考点：排列与组合问题．分析：正确区分5把不同的钥匙，在圆形圈上按不同顺序的排法，与在同一条直线上按不同顺序挂了4把的排法是相同的，由此找出问题的解决方案．解答：解：在圆形的钥匙圈上挂了5把不同的钥匙，相当于在同一条直线上按不同顺序挂了4把的排法是相同的，即有（5﹣1）!=4×3×2×1=24种排法．故选D．点评：此题考查排列与组合中的乘法原理，关键在于理解按不同方式、不同顺序的排法的区别与联系．9．若（x2+x+1）6=a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0，则a11+a9+a7+a5+a3+a1=（）A．364 B．365 C．730 D．728考点：排列与组合问题．专题：计算题．分析：观察所求的式子，可令x=1得出a12+a11+a10+…+a1x+a0的值，令x=﹣1可求出a12﹣a11+a10﹣a9+…﹣a1+a0的值，两式相减可得出2（a11+a9+a7+a5+a3+a1）的值，从而可得出答案．解答：解：令x=1可得：a12+a11+a10+…+a1x+a0=36；令x=﹣1可得：a12﹣a11+a10﹣a9+…﹣a1+a0=1②；①﹣②得2（a11+a9+a7+a5+a3+a1）=728，即可得a11+a9+a7+a5+a3+a1=364．故选A．点评：此题考查了排列及组合的知识，技巧性较强，关键是观察题目所给的式子，利用赋值法得出要求式子的表示形式，难度一般．10．设（2x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5．则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=（）A．﹣1 B．1C．﹣243 D．243考点：排列与组合问题．专题：计算题．分析：令x=﹣1，这样可直接得出所求式子的值．解答：解：令x=﹣1，则可得（﹣3）5=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5，故可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣243．故选C．点评：此题考查了排列组合的知识，技巧性比较强，关键是仔细观察题目，得出要求式子的特征，进而利用赋值法求解，有一定难度．11．从装有7种颜色每色77个球的袋中摸球出来，摸时没法判断颜色，要确保摸出的球装满7盒，每盒7个球，盒中的球同色，则至少需要摸出（）个球．A．85 B．84 C．71 D．50考点：排列与组合问题．专题：方案型．分析：由题意可知，只要够七个就能装一盒，最多13个同色的能装一盒，前6种取完后，第七种只要够7个就一定能完成任务．解答：解：前六种需要13×6=78个，第七种摸完7个不论是何种颜色都可以完成．78+7=85．故选A．点评：本题主要考查了排列组合问题，找出只能装一盒的最大数是解答本题的关键．12．现有1、2、3、4、5共五个数，从中取若干个数分给A、B两组，两组都不能放空，要使得B组中最小的数比A组中最大的数都大，则有（）种分配方法．A．44 B．49 C．51 D．32考点：排列与组合问题．分析：首先分别从若A中最大为1，2，3，4去分析，将每种情况下B的可能性再依次分析，即可求得答案．解答：解：∵①若A中最大为1，则A有1种，B可以1个数，则有4种，B可以2个数，则有6种，B可以3个数，则有4种，B可以4个数，则有1种，此时共有1×（4+6+4+1）=15（种）；②若A最大为2，则A有2种，B可以1个数，则有3种，B可以2个数，则有3种，B可以3个数，则有1种，此时共有2×（3+3+1）=14（种）；③若A中最大为3，若A中有1个数，则A有1种，若A中有2个数，则A有2种，若A中有3个数，则A有1种，则B可以1个数，则有2种，B可以2个数，则有1种，此时共有（1+2+1）×（2+1）=12（种）；④若A最大是4，则B有1种，若A中有1个数，则A有1种，若A中有2个数，则A有3种，若A中有3个数，则A有3种，若A中有4个数，则A有1种，此时共有（1+3+3+1）×1=8（种）；∴总共为15+14+12+8=49（种）．故选B．点评：此题考查了排列组合的问题．解题的关键是分类讨论思想的应用，注意要不重不漏．二．填空题（共18小题）13．某校6个班级举行象棋比赛，比赛规定每班各选出3人参加本班单循环赛，然后每班第一名代表该班参加全校的单循环赛，则共需要举行33场比赛才能决出名次．考点：排列与组合问题．专题：计算题．分析：首先求出各个班级内部比赛的总场次然后求出各个班级之间的比赛的场次，即可求出总场次．解答：解：每个班级内部各选出3人参加本班单循环赛需要3场比赛，故6个班级需要18场比赛，6个班级第一名代表该班参加全校的单循环赛需要场次为C62=15，故共需要举行比赛场次为15+18=33，故答案为33．点评：本题主要考查排列与组合的知识点，解答本题的突破口是分别求出各个班级内比赛场数和各个班级之间比赛的场数，本题比较简单．14．红领巾春节慰问小组在确定敬老院的演出节目单时，遇到如下问题：除夕夜的演出有唱歌、舞蹈、杂技、小品4个节目．如果要求唱歌不排在第4个演出，舞蹈不排在第3个演出，杂技不排在第2个演出，小品不排在第1个演出．那么，满足上述要求的节目单，共有9种不同的排法．考点：排列与组合问题．专题：常规题型．分析：首先随意把一种排到一个位置上，有三种可能，然后安排第二个节目，也有三种可能性，再安排剩余两个节目时发现必然至少有一种和剩下的位置相矛盾，因此剩下的排法唯一，据此即可得到答案．解答：解：先随意把一种排到一个位置上，有三种可能．（比如唱歌，可以排到3、2、1）然后把那个位置不能排的一种随意排到剩下的三个位置，也有三种可能．（比如已经把唱歌排到3号位了，那么可以随意把舞蹈排到剩下的4、2、1号位）．剩下两种，必然至少有一种和剩下的位置相矛盾，因此剩下的排法唯一．（比如舞蹈排到了2号位，那么剩下的小品和1号位互斥，只能排到4号位）所以应该是3×3=9种可能．故答案为：9．点评：本题主要考查排列与组合的知识点，解答本题的关键是对各个节目进行有序的排列，本题难度不是很大．15．10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过45次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列．考点：排列与组合问题．专题：常规题型．分析：如果将最小的一张卡片调至最左边，看需要最多几次操作，再把数次小的一张卡片调到左边第2张，看需要最多几次操作，依此类推，即可计算出至多经过多少次能将它们按从小到大的顺序排列．解答：解：将数最小的一张卡片调到最左边，至多需要9次操作，将数次小的一张卡片调到左边第2张，至多需要8次操作，依此类推，至多经过9+8+7+6+5+4+3+2+1=45次操作，能将它们按从小到大的顺序排列．另一方面，如果这10张卡片开始时从左到右按从大到小的顺序排列，则需要45次操作才能按从小到大的顺序排列．故答案为：45．点评：本题主要考查排列与组合的知识点，解答本题的关键是把卡片上数从小到大依次进行排列，直到出现按从小到大的顺序排列为止，本题难度一般．16．在4×4的正方形网格棋盘中，放入黑、白各一枚，共有240种不同的放法．考点：排列与组合问题．分析：在4×4的正方形网格棋盘中，放入黑、白各一枚，相当于16个位置，任意放入两个不同元素，共有多少种方法，直接利用排列公式即可．解答：解：由排列公式可得P4×42=16×15=240种不同的放法．故答案为：240．点评：此题主要考查排列公式：从n个元素中取m个任意排一下，有n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+1）种，即P n m=．17．在±1±2±3±5±20中，适当选择+、﹣号，可以得到不同代数和的个数是24．考点：排列与组合问题．专题：数字问题．分析：从题干数字可知1，2，3，5，20中，有奇数三个，故其代数和必为奇数，找到由1，2，3，5可以得到绝对值≤11的所有奇数，当有20这个数参与时，用20减去这些绝对值小于等于11的数，得到不同数．解答：解：1，2，3，5，20中，有奇数三个，故其代数和必为奇数；由1，2，3，5可以得到绝对值≤11的所有奇数：这是由于1=1﹣2﹣3+5，3=﹣1+2﹣3+5，5=1+2﹣3+5，7=1﹣2+3+5，9=﹣1+2+3+5，11=1+2+3+5；以上各式通乘﹣1，可得﹣1，﹣3，﹣5，﹣7，﹣9，﹣11的表达式；而据题意，表达式中，1，2，3，5及20都必须参与，那么，能得到的整数应是±20加或减1，3，5，7，9，11，即得到十二个正奇数9，11，13，…，31和十二个负奇数﹣9，﹣11，…，﹣31；因此可表出的数共计24个，故答案为24．点评：本题主要考查排列与组合的知识点，解答本题的突破口是把±1±2±3±5±20这些数进行组合得到不重复的数字，本题难度一般．18．给你0、1、2、3，最多可组成192个四位数．（注：各数位上的数字允许相同）考点：排列与组合问题．专题：规律型．分析：由于最高位上不能为0，则千位上的数字有三种可能，因为各数位上的数字允许相同，所以其余数位上的数字都有四种可能，根据乘法原理即可求出．解答：解：∵最高位上不能为0，各数位上的数字允许相同，∴最多可组成3×4×4×4=192个四位数．故答案为：192．点评：本题考查了排列与组合中的乘法原理，解题的关键是不要忘记最高位千位上不能为0．19．有一人利用休假的四个城市a、b、c、d旅游，他今天在这个城市，明天又到另一个城市，请问该同志从a城出发5天后又回到a城的不同旅游线路有24条．考点：排列与组合问题．专题：行程问题．分析：某人旅游了4天，到了4个城市，一天到一个城市，所以第一天从4个城市选一，所以有4条路线，第二天有3条，第三天有两条，第四天一条，所以可求结果．解答：解：因为第一天，有4条路线，第二天有，有三条路线，第三天有二条路线，第四天有一条路线，所以有4×3×2×1=24条路线．故答案为：24．点评：本题考查排列与组合中的乘法原理关键是知道第一天有4条，第二条有3条，第三条二条，第4条一条．20．在平面上放置四个点，两两连接所成六条线段，其中最大线段长为1，最小线段长为a，则所有满足上述条件排布的四个点中，a所取的最大值是．考点：排列与组合问题．分析：平面上放置4个点，这四个点两两连接构成六条线段，这六条线段任意选取三条都能构成三角形，因此根据最大线段长为1，最小线段长为a，且三角形三边关系，可求得a的最小值．解答：解：这四个两两点不在同一直线上，才能连接成六条线段，即六条线段里面任取三条都能构成三角形，因为最大线段长为1，最小线段长为a，a所取的最大值是．故答案为：．点评：本题考查平面点构成线的关系，以及三角形三边关系．21．将2个相同的黑球和11个相同的白球排在一个圆周上，共有6种不同的排法．（旋转，翻转相同的方法算同一种）考点：排列与组合问题．专题：规律型．分析：按2个相同的黑球之间白球个数的不同，即可得出不同的排法的种数．注意如果两球间隔6球的话，那就只剩下5个白球，即和两球间隔5球方法相同，因为排法可翻转、旋转，以此类推…解答：解：①●●两球相邻；②●○●两球间隔1球；③●○○●两球间隔2球；④●○○○●两球间隔3球；⑤●○○○○●两球间隔4球；⑥●○○○○○●两球间隔5球．共六种方法．故答案为：6．点评：本题考查了排列与组合问题，解题的关键是以2个相同的黑球为基础，根据2个相同的黑球之间白球个数的不同，得出不同的排法的种数．22．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A（10，0），B （0，10），C（﹣10，0），D（0，﹣10），则该正方形内及边界上共有221个整点（即纵横坐标都是整数的点）．考点：排列与组合问题．专题：规律型．分析：根据A（10，0），B （0，10），C（﹣10，0），D（0，﹣10）可知正方形ABCD的四条边的方程分别是x+y=10、x﹣y=﹣10、x+y=﹣10、x﹣y=10；然后分别找出直线y=10、9、8、7…与正方形的边和内部有交点的个数是1、3、5、7…19；对称的正方形在x轴的下发还有同样多，另外最后直线y=0（对角线x轴）上有（﹣10，0）、（﹣9，0）、…（0，0）、…（10，0）共21个；所以符合条件的整点数有：2（1+3+5+…+19）+21（个）．解答：解：正方形ABCD的四条边的方程分别是x+y=10、x﹣y=﹣10、x+y=﹣10、x﹣y=10．直线y=10与正方形交于B（0，10）（共1个）；直线y=9与正方形的边交于（﹣1，9）、（1，9），界于其间的还有（0，9），（共3个）；依次是y=8与正方形的边和内部有交点（﹣2，8）、（﹣1，8）、（0，8）、（﹣1，8）、（2，3），（共5个）；…直线y=1与正方形的边和内部有交点（﹣9，1）、…、（9，1），（共19个）；对称的正方形在x轴的下方还有同样多，最后直线y=0（对角线x轴）上有（﹣10，0）、（﹣9，0）、…（0，0）、…（10，0）共21个所以正方形及其内部共有：2（1+3+5+…+19）+21=2×+21=221（个）整点．故答案为：221．点评：本题考查了排列、组合问题．解答此题的关键是找出找出直线y=10、9、8、7…与正方形的边和内部有交点的个数是1、3、5、7…19．23．在表达式S=中，x1、x2、x3、x4是1、2、3、4的一种排列（即：x1、x2、x3、x4取1、2、3、4中的某一个数，且x1、x2、x3、x4互不相同）．则使S为实数的不同排列的种数有16种．考点：排列与组合问题．专题：计算题．分析：若不考虑二次根式有意义的条件，因此，共有P44种排列方法，但其中x1+x3=3的共有C24P22种．所以，它们的差即为所求．解答：解：∵x1﹣x2+x3﹣x4≥0，∴x1+x3≥x2+x4；符合条件的排列数是：P44﹣C42P22=24﹣8=16（种）故答案为：16．点评：本题考查了排列与组合的问题．解答此题时，要分清排列与组合的区别．排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合．24．如图，数一数，图中共有多少个（包含大小不同的）正方形？答案55．考点：排列与组合问题．专题：网格型．分析：首先数出单独1个小方格构成的正方形有25个，再数出由4个小方格构成的正方形有16个，再数出由9个小方格构成的正方形有9个，再数出由16个小方格构成的正方形有4个，最后数出由25个小方格构成的正方形有1个，因此问题即可解决．解答：解：由1个小方格构成的正方形有25个，由4个小方格构成的正方形有16个，由9个小方格构成的正方形有9个，由16个小方格构成的正方形有4个，由25个小方格构成的正方形有1个，因此图中共有25+16+9+4+1=55个正方形．故答案为：55．点评：此题考查了排列与组合问题，主要利用正方性的性质，边长相等，按一定的规律数出即可．25．如下图，是用木条做成的小正方形窗格，一个小虫子从A点以最短距离沿窗格的木条爬行到B点，则有20条不同的爬行路线．考点：排列与组合问题．专题：网格型．分析：根据一个小虫子从A点以最短距离沿窗格的木条爬行到B点，则小虫子只能向右或向上爬行，依此按顺序得到小虫子不同的爬行路线的条数．解答：解：如图所示：A﹣1﹣2﹣3﹣4﹣5﹣B；A﹣1﹣2﹣8﹣4﹣5﹣B；A﹣1﹣2﹣8﹣11﹣5﹣B；A﹣1﹣2﹣8﹣11﹣14﹣B；A﹣1﹣7﹣8﹣4﹣5﹣B；A﹣1﹣7﹣8﹣11﹣5﹣B；A﹣1﹣7﹣8﹣11﹣14﹣B；A﹣1﹣7﹣10﹣11﹣5﹣B；A﹣1﹣7﹣10﹣11﹣14﹣B；A﹣1﹣7﹣10﹣13﹣14﹣B；A﹣6﹣7﹣8﹣4﹣5﹣B；A﹣6﹣7﹣8﹣11﹣5﹣B；A﹣6﹣7﹣8﹣11﹣14﹣B；A﹣6﹣7﹣10﹣11﹣5﹣B；A﹣6﹣7﹣10﹣11﹣14﹣B；A﹣6﹣7﹣10﹣13﹣14﹣B；A﹣6﹣9﹣10﹣11﹣5﹣B；A﹣6﹣9﹣10﹣11﹣14﹣B；A﹣6﹣9﹣10﹣13﹣14﹣B；A﹣6﹣9﹣12﹣13﹣14﹣B．故由A点出发，有20种走法．故答案为：20．点评：本题考查了排列与组合问题，解题的关键是得到小虫子爬行方向只能向右或向上，注意按顺序依次数出，做到不重复不遗漏．26．如图，图中平行四边形共有的个数是36．考点：排列与组合问题．专题：数形结合．分析：先找单个的平行四边形的个数，再找2个，3个，4个，6个，9个平行四边形组成的平行四边形的个数，相加即可．解答：解：单个的平行四边形有9个；2个小平行四边形组成的平行四边形有12个；。
小学奥数排列组合解析
小学奥数排列组合解析
介绍
在小学奥数中，排列组合是一个重要的概念。
通过排列组合，我们可以确定不同物品的排列方式或组合方式。
在此文档中，我们将详细解析排列组合的概念和应用。
排列
排列指的是从一组物品中，取出一些物品按照一定的顺序进行排列的方式数。
例如，从A、B、C、D中选出两个，所有可能的排列如下：
AB、AC、AD
BA、BC、BD
CA、CB、CD
DA、DB、DC
因此，从四个不同的物品中选出两个进行排列的方式数为：4 X 3 = 12
组合
组合指的是从一组物品中，取出一些物品进行组合的方式数。
与排列不同，组合不考虑排列顺序。
例如，从A、B、C、D中选出两个，所有可能的组合如下：
AB、AC、AD、BC、BD、CD
因此，从四个不同的物品中选出两个进行组合的方式数为：4! / (2! * (4-2)!) = 6
应用
排列和组合在数学以及现实生活中有广泛应用。
例如，从一组球员中选出不同的首发阵容，从一组物品中选出特定的组合等等。
在小学奥数研究中，排列组合也是其他数学概念研究的基础，是培养逻辑思维和解决问题能力的关键部分。
结论
在小学奥数中，排列组合是重要的数学概念和应用，通过学习和理解排列组合可以帮助我们更好地理解其他有关概率和统计学的概念。
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排列问题题型分类:1•信号问题2. 数字问题3. 坐法问题4. 照相问题5. 排队问题组合问题题型分类：1. 几何计数问题2. 加乘算式问题3. 比赛问题4. 选法问题常用解题方法和技巧1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10..消序法11.住店法12.对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加，分步组合，有序排列，无序组合基础知识（数学概率方面的基本原理）.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M中不同的方法,在第二类办法中有M中不同的方法，……,在第N类办法中有M种不同的方法，那么完成这件事情共有M+M+ ......... +M n种不同的方法。
.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n i种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，……完成第k步有n k种不同的方法，那么完成此项任务共有n i Xn 2 X ............ Xn k种不同的方法。
.两个原理的区别做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。
每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) 做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理.任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互”独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来.四.排列及组合基本公式1. 排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mcn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(mcn)个元素的所有排列的个数, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P m n表示.P m =n(n-1)(n- 2)……(n -m+1)n!_(n-m)!2. 组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(mcn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(mc n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c n表示.一般当遇到m比较大时(常常是m>0.5n时)，可用C, = C畀来简化计算规定：C n =1, C n = 1.3. n的阶乘(n!) ―― n个不同元素的全排列Pn=n!=n x (n-1) x (n-2)…3x 2x 1五.两个基本计数原理及应用1.首先明确任务的意义【例1】从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有___________ 。
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差，••• 2b=a+c,可知b由a,c决定，又••• 2b是偶数，• a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，女口：a=1，c =7,则b=4 (即每一组a,c必对应唯一的b,另外1、4、7和7、4、1按同一种等差数列处理)•10X 9 = 90,同类(同奇或同偶)相加，即本题所求=2x 90= 180。
【例2] 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，贝U从M到N有多少种不同的走法？分析：对实际背景的分析可以逐层深入(一)从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
(二)每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。
(规定0!=1) •C n = P 带/m!=n!(n-m)! x m!（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。
从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，•••本题答案为：C8=56。
2.注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。
采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。
注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段（排序）可转化为排列问题。
【例3】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有 ____________ 种。
分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类: A在第一-垄，B有3种选择;第二一类：A在第二二垄，B有2种选择;第三类：A在第三垄，B有1种选择,同理A、B位置互换，共12种。
【典型问题】第豆厢杯堆罗虞金豊艺于莖学泄请赛• X零第必题1 ［恰好能被6，7，8，9整除的五位数有多少个？【分析与解】6、7、8、9的最小公倍数是504,五位数中，最小的是10000,最大为99999.因为10000-504：19……424，99999-504=198-••…207.所以，五位数中，能被504整除的数有198-19=179个.所以恰好能被6，7，8，9整除的五位数有179个.@@皴劇饶簟扛竝" I卜—n ■；- -r c： * * ” - -AL .. 亍、■ ■ 1• -北京审第九届“迎春杯”就学竟宴•决賽第二題錢9題2.小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，…，13 .如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积. 那么，其中能被6整除的乘积共有多少个？【分析与解】这些积中能被6整除的最大一个是13X 12=26X 6,最小是6.但在I X 6〜26X6之间的6的倍数并非都是两张卡片上的乘积，其中有25X 6，23X 6，21 X 6，19X6，17X6 这五个不是.•所求的积共有26-5=21个.鑽響级数：車*車3 . 1, 2, 3, 4, 5, 6这6个数中，选3个数使它们的和能被 3整除.那么不同的选法有几种【分析与解】 被3除余1的有1，4；被3除余2的有2,5 ； 能被3整除的有3，6.从这6个数中选出3个数，使它们的和能被 3整除，则只能是从上面3类中各选一个，因为每类中的选择是相互独立的, • ••共有2X 2X 2=8种不同的选法.4 •同时满足以下条件的分数共有多少个？1 1①大于-，并且小于-；②分子和分母都是质数;65【分析与解】 由①知分子是大于1，小于20的质数.22 2如果分子是2,那么这个分数应该在 —与-之间，在这之间的只有 —符合要求.10 8 11 3 33 如果分子是3，那么这个分数应该在 —与—之间，15与18之间只有质数17,所以分数是 —.15 1817同样的道理，当分子是 5, 7, 11, 13, 17, 19时可以得到下表.于是，同时满足题中条件的分数共 13个.级数：拿車»5 .一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的•将这个六位数的 6个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11整除的六位数？【分析与解】 设这个六位数为 abcdef ，则有(a c e)、(b d f)的差为0或11的倍数. 且a 、b 、c 、d 、e 、f 均不为0,任何一个数作为首位都是一个六位数. 先考虑a 、c 、e 偶数位内，b 、d 、f 奇数位内的组内交换，有 F 33x F 33=36种顺序；再考虑形如badcfe 这种奇数位与偶数位的组间调换，也有戌x p 3=36种顺序.所以，用均不为0的a 、b 、c 、d 、e 、f 最少可以排出36+36=72个能被11整除的数(包含原来的abcdef ). 所以最少还能排出 72-1=71个能被11整除的六位数.级数:*拿章③分母是两位数.分子分数22 11 33175 5293 7 737'41分子分数11 111159'61 1313 13 13 17 89'97 19199767’ 71'73 17 17豳级数瘵枣北京市第一届“迎春杯E數学竞赛•刊眼第骂题（有改动）6•在大于等于1998，小于等于8991的整数中，个位数字与十位数字不同的数共有多少个【分析与解】先考虑2000〜8999之间这7000个数，个位数字与十位数字不同的数共有7X 10X R0=63OO.但是1998, 8992〜8998这些数的个位数字与十位数字也不同，且1998在1998〜8991内，8992〜8998这7个数不在1998〜8991之内.所以在1998〜8991之内的个位数字与十位数字不同的有6300+1-7=6294个.® ®级数土*車車7 .个位、十位、百位上的3个数字之和等于12的三位数共有多少个？【分析与解】12 = 0 + 6 + 6 = 0 + 5 + 7 = 0 + 4 + 8 = 0 + 3 + 9 = 1 + 5 + 6= 1 + 4 + 7=1 + 3 + 8 = 1 + 2 + 9 = 2 + 5 + 5 = 2 +4 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 2 + 8 =3 + 4 + 5 = 3 + 3 + 6 = 4 + 4 + 4 .3 3其中三个数字均不相等且不含0的有7组，每组有卩3种排法，共7 X P3 =42种排法；其中三个数字有只有2个相等且不含0的有3组，每组有P33+2种排法，共有3 X F33十2=9种排法;其中三个数字均相等且不含0的只有1组，每组只有1种排法；2 2在含有0的数组中，三个数字均不相同的有3组，每组有2 F2种排法，共有3 X 2 X F2 =12种排法；在含有0的数组中，二个数字相等的只有1组，每组有2F22+2种排法，共有2种排法.所以，满足条件的三位数共有42 + 9 + 1 + 12 + 2 = 66 个.8 .一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数” 例如1331 , 7, 202都是回文数，而220则不是回文数.问：从一位到六位的回文数一共有多少个？其中的第1996个数是多少？【分析与解】我们将回文数分为一位、二位、三位、…、六位来逐组计算.所有的一位数均是“回文数”，即有9个；在二位数中，必须为aa形式的，即有9个（因为首位不能为0,下同）；在三位数中，必须为即有9X 10 =90个；aba（a、b可相冋，在本题中，不冋的字母代表的数可以相冋）形式的,在四位数中，必须为abba形式的，即有9 X 10个；在五位数中，必须为abcba形式的，即有9X 10X 10=900个；在六位数中，必须为abccba形式的，即有9X 10X 10=900个.12所以共有 9 + 9 + 90 + 90 + 900 + 900 = 1998 个，最大的为 999999，其次为998899，再次为 997799.而第1996个数为倒数第3个数，即为997799. 所以，从一位到六位的回文数一共有1998个，其中的第1996个数是997799.9. 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24 30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个？【分析与解】 设A:BC DE 是满足题意的时刻，有 A 为8, B 、D 应从0, 1 , 2, 3, 4, 52这6个数字中选择两个不同的数字，所以有F 6种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中2 2 2选择两个不同的数字，所以有P 7种选法，所以共有F 6 x P =1260种选法，即从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个.首位数字 5满足题意的 6数字个数因为对称的缘故，当首位数字为 1时的情形等同与首位数字为 5时的情形, 首位数字为2时的情形等同于首位数字为 4时的情形.所以，满足题意的五位数共有6 + 9 + 12 + 9 + 6 = 42 个.11 .用数字1, 2组成一个八位数，其中至少连续四位都是10 .有些五位数的各位数字均取自1 , 2, 3, 4, 5,并且任意相邻两位数字（大减小）的差都是1.问这样的五位数共有多少个【分析与解】 如下表，我们一一列出当首位数字是5, 4, 3时的情况.所有满足题意的 5 5 44 5 5 443 3 3 21数 字 列 表5 4 5 45 34 5 4 44 4 32 34 32 21 25 5 43 5 443 33 21 35 4 3 3 3 2 21级数：車車事*1的有多少个？【分析与解】当只有四个连续的1时，可以为11112 * * *,211112 * * ,* 211112 *,* *211112 , * * * 21111 ，因为*号处可以任意填写1或2, 所以这些数依次有23，22，22，22，23个，共28个；当有五个连续的I 时，可以为111112 * * ，2111112 *，*2111112，* * 211111 ，依次有22，2，2，22个，共12个；当有六个连续的1时，可以为1111112 *，21111112，* 2111111，依次有2，1，2个，共5个; 当有七个连续的1时，可以为11111112，21111111，共2个：当有八个连续的I时，只能是11111111，共1个.所以满足条件的八位数有28 + 12 + 5 + 2 +仁48 个.12 .在1001，1002，…，2000这1000个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位【分析与解】设1bcd, xyzw为满足条件的两个连续自然数，有xyzw=1bcd +1.我们只用考察1bCd的取值情况即可.我们先不考虑数字9的情况(因为d取9，则w为0，也有可能不进位)，则d 只能取0，1，2，3，4; c只能取0，1，2，3，4; b 只能取0，1，2，3，4;对应的有5X 5X 5=125组数.当d =9时，有1bc9的下一个数为1b(c 1)0，要想在求和时不进位，必须 c (c 1) W9，所以c此时只能取0，1，2，3，4;而b也只能取0，1，2，3，4;共有5X 5=25组数.当cd =99时，有1B99的下一个数为1(b 1)00，要想在求和时不进位，必须b+( b +1) W 9，所以b此时只能取0，1, 2，3，4;共有5组数.所以，在1001，1002，…，2000这1000个自然数中，可以找到125 + 25 + 5 = 155 对相邻的自然数,满足它们相加时不进位.g)(g)级数：車車卓13 .把1995，1996，1997，1998，1999这5个数分别填入图20-1中的东、南、西、北、中5个方格内,使横、竖3个数的和相等.那么共有多少种不同填法？【分析与解】显然只要有“东” + “西”=“南” + “北”即可，剩下的一个数字即为“中”因为题中五个数的千位、百位、十位均相同，所以只用考虑个位数字，显然有 5 + 9 = 6 + 8 ，5 + 8 = 6 + 7 ，6 + 9 = 7 + 8 .先考察5 + 9 = 6 + 8，可以对应为“东” + “西”=“南” + “北”，因为“东”、“西”可以调换，“南”、“北”可以对调，有2X 2=4种填法，而“东、西”，“南、北”可以整体对调，于是有4X 2=8种填法.5 + 8 =6 +7 ，6 + 9 = 7 +8 同理均有8种填法，所以共有8X 3=24种不同的填法.® @级熱車亨車…'蛀市第十四局“迎春杯”數学龙赛•决賽第三題第斗题14 .在图20-2的空格内各填人一个一位数，使同一行内左面的数比右面的数大，同一列内上面的数比下面的数 小，并且方格内的 6个数字互不相同，例如图 20-3为一种填法.那么共有多少种不同的填法？2 3图 20-2 6 4 2 753图 20-3【分析与解】 为了方便说明，标上字母：C D 2 AB3要注意到，A 最大，D 最小，B 、C 的位置可以互换.但是，D 只能取4, 5, 6,因为如果取7,就找不到3个比它大的一位数了. 当D 取4, 5, 6时分别剩下5, 4, 3个一位大数.有 B 、C 可以互换位置. 所有不同的填法共 C 5 X 2+C 4 X 2+ C 3 X 2=10 X 2+4 X 2+X2 =30 种.补充选讲问题 (2003年一零一中学小升初第 12题)将一些数字分别填入下列各表中，要求每个小格中填入一个数字,横行中从左到右数字由小到大，每一竖列中从上到下数字也由小到大排列.⑵5种：1和6是固定的，其他的格子不确定.有如下5种:表中的每(1) 将1至4填入表 1 中, 方法有 种: ⑵将1至6填入表 2 中, 方法有种;⑶将1至9填入表 3 中, 方法有 种.表1【分析与和4是固定的，另外两格任意选取，故有2种;[1L .2314 35 6匕斗2 5623X2 是5种:为5种.如下:轰2(1)2 种：如图，14的规律已经知道, 1、2、3确定后，剩下的6个格子是3X 2,条件的只有如下几种:北京市第九届“迎粽杯”数学竟赛•决赛第二題第蛊题15.从1至9这9个数字中挑出6个不同的数填在图 20-4的6个圆圈内, 使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数•那么共能找出多少种不同的挑法 （6个数字相同、排列次序不同的都算同一种.）1U 20-4【分析与解】 显然任意两个相邻圆圈中的数一奇一偶，因此，应从 圆圈中.第一种情况:填入2、4、6，这时3与9不能同时填入（否则总有一个与 6相邻，和3+6或9+6不是质数）.没 有3、9的有1种；有3或9的，其他3个奇数I 、5、7要去掉1个，因而有2X 3=6种，共1+6= 7种.第二种情况| :填入2、4、&这时7不能填入（因为7+2, 7+8都不是质数），从其余4个奇数中选3个，有4 种选法，都符合要求.第三种情况：填入2、6、8.这时7不能填入，而3与9只能任选1个，因而有2种选法.第四种情况：填入4、6、8.这时3与9只能任选1个，1与7也只能任选1个•因而有2 X 2=4种选法.总共有7 + 4 + 2 + 4 = 17 种选法5种，因为第一排右边的数限制了其下方的数字，满足另外，将以上所有情况翻转过来,敎级数；*車*車12321 X 2=42 种.2、4、6、8中选3个数填入3个不相邻的注意到例外，对应的不是 也是满足题意的排法，所以共20. 一个骰子六个面上的数字分别为0, 1, 2, 3, 4, 5,现在掷骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是几？1. 从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有种.2. 甲、乙、丙3个班各有三好学生3, 5, 2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有种不同的推选方法.3. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加某天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动.有种不同的选法.4. 从a、b、c、d这4个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有种不同的排法.5. 若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派的方案有_____________________ 种.6. 有a, b, c, d, e共5个火车站，都有往返车，问车站间共需要准备种火车票.7. 某年全国足球甲级联赛有14个队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一场，共进行_______________________ 场比赛.8. 由数字1、2、3、4、5、6可以组成__________________ 个没有重复数字的正整数.9. 用0到9这10个数字可以组成个没有重复数字的三位数.10. (1)有5本不同的书，从中选出3本送给3位同学每人1本，共有种不同的选法；(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学每人1本，共有种不同的选法.11. 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列方式有种.12. (1)将18个人排成一排，不同的排法有少种；(2)________________________________________________________ 将18个人排成两排，每排9人，不同的排法有_______________________________________________________________________ 种；(3)将18个人排成三排，每排6人，不同的排法有种.13. 5人站成一排，(1)其中甲、乙两人必须相邻，有种不同的排法；(2)其中甲、乙两人不能相邻，有种不同的排法；(3 )其中甲不站排头、乙不站排尾，有____________________ 种不同的排法.14. 5名学生和1名老师照相，老师不能站排头，也不能站排尾，共有种不同的站法.15. 4名学生和3名老师排成一排照相，老师不能排两端，且老师必须要排在一起的不同排法有种.16. 停车场有7个停车位，现在有4辆车要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法有种.17. 在7名运动员中选出4名组成接力队参加4X 100米比赛，那么甲、乙都不跑中间两棒的安排方法有种.18. 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.(1)从口袋内取出3个球，共有种取法；(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有种取法；(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有种取法.19. 甲，乙，丙，丁4个足球队举行单循环赛：(1 )共需比赛_________________ 场；(2)冠亚军共有种可能.20. 按下列条件，从12人中选出5人，有__________________ 种不同选法.(1 )甲、乙、丙三人必须当选；(2 )甲、乙、丙三人不能当选；(3)甲必须当选，乙、丙不能当选;(4 )甲、乙、丙三人只有一人当选;(5)甲、乙、丙三人至多2人当选；(6 )甲、乙、丙三人至少1人当选；21. 某歌舞团有7名演员，其中3名会唱歌，2名会跳舞，2名既会唱歌又会跳舞，现在要从7名演员中选出2人，一人唱歌，一人跳舞，到农村演出，问有种选法.22. 从6名男生和4名女生中，选出3名男生和2名女生分别承担A, B, C, D, E五项工作，一共有种不同的分配方法.。