空间向量坐标ppt课件
合集下载
2022-2023学年人教A版选择性必修第一册 1-3-2 空间向量运算的坐标表示 课件(48张)
第一章 空间向量与立体几何
1．3 空间向量运算的坐标表示/
新课程标准
新学法解读 1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算
问题． 1.掌握空间向量的线性
2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两 运算的坐标表示．
个向量是否共线或垂直． 2．掌握空间向量的数量
数量积
a·b
a·b＝_____a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3___________
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当 b≠0 时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a12＋a22＋a32； cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ a21＋a1ba122＋＋aa232b2b＋21＋a3bb223＋b23.
知识点三 空间两点间的距离公式 设 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则 P1P2＝|P→1P2|＝
_____x_2－__x_1__2＋___y_2_－__y1__2＋___z_2_－__z1__2 ____.
2．已知向量 a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝ 29，且 λ>0，则 λ 等于( C ) A．5 B．4 C．3 D．2
解析：λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝ 42＋1－λ2＋λ2 ＝ 29，且 λ>0，解得 λ＝3.
研习 1 空间向量的坐标运算 [典例 1] (1)已知 a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求 a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)， (a＋b)·(a－b)．
1．3 空间向量运算的坐标表示/
新课程标准
新学法解读 1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算
问题． 1.掌握空间向量的线性
2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两 运算的坐标表示．
个向量是否共线或垂直． 2．掌握空间向量的数量
数量积
a·b
a·b＝_____a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3___________
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当 b≠0 时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a12＋a22＋a32； cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ a21＋a1ba122＋＋aa232b2b＋21＋a3bb223＋b23.
知识点三 空间两点间的距离公式 设 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则 P1P2＝|P→1P2|＝
_____x_2－__x_1__2＋___y_2_－__y1__2＋___z_2_－__z1__2 ____.
2．已知向量 a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝ 29，且 λ>0，则 λ 等于( C ) A．5 B．4 C．3 D．2
解析：λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝ 42＋1－λ2＋λ2 ＝ 29，且 λ>0，解得 λ＝3.
研习 1 空间向量的坐标运算 [典例 1] (1)已知 a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求 a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)， (a＋b)·(a－b)．
空间向量基本定理--课件(共25张PPT)
都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，
且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ，，
表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量
1 2
1
A. a- b+ c
2 3
2
1 1 1
C. a+ b- c
2 2 2
2 1
1
B.- a+ b+ c
3 2
2
2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
1
2
2
1
1
解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底，在三棱柱中，
，，1 不共面，可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量.(
)
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若, , 不能构成空间的
=
1 1 1
1
+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，
且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ，，
表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量
1 2
1
A. a- b+ c
2 3
2
1 1 1
C. a+ b- c
2 2 2
2 1
1
B.- a+ b+ c
3 2
2
2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
1
2
2
1
1
解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底，在三棱柱中，
，，1 不共面，可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量.(
)
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若, , 不能构成空间的
=
1 1 1
1
+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=
课件7-1向量坐标
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
M2 a
向量表示：a 或 M1M2
M1
几何上：以 M1为起点 M2 为终点的有向线段.
以坐标原点为起点的向量称为向径 r OM .
向量的模：向量的大小,记为
|
a
|或
MM 12
单位向量：模长为1的向量. a0 或
零向量：模长为0的向量.
a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
数乘：
(ax
bx ,
ay
by,
az
bz )
a (ax )i (ay ) j (az )k (ax , ay , az )
a (ax , ay , az )
有序数
R
C
z
B
M
xo y
Qy
xP
A
空间点 M r OM 11 有序数组 ( x, y, z)
称x, y, z为点M的坐标，记作M x, y, z .
也称x, y, z为向量r OM的坐标,记作r x, y, z.
z
特殊点的坐标表示:
坐标轴上的点 P, Q, R,
2,
cos z 3 z 3 1 z 4, z 2,
AB AB x2 x1 2 + y2 y1 2 + z2 z1 2
例5 设 P 在 x轴上，它到P1(0, 2,3)的距离为到 点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
解 因为P在x轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
2
PP1 ( x)2 2 32 x2 11,
空间向量基本定理(PPT)
（二）空间向量基本定理
【探究1】空间中怎样的向量能构成基底？
1.不同基底下,同一向量的表达式也
【提示】空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．
有可能不同.
2.由于零向量与任意一个非零向量
【探究2】基底与基向量的概念有什么不同？
【提示】一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，
)
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若 , , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(
)
)
答案: (1)× (2)√ (3)√ (4)√
【做一做1】(教材P12练习1改编)已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，
(2)正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
（三）典型例题
1.基底的判断
例1.设 Ԧ = Ԧ + , Ԧ = + ,
Ԧ = Ԧ + ，且
Ԧ
,
Ԧ , Ԧ 是空间的一个基底，给出下列向量组：① ,
Ԧ , Ԧ ，②
,
Ԧ ,
Ԧ Ԧ ，③ ,
（2）∵ ’ = −Ԧ + ，∴
Ԧ
’ = 2 Ԧ ， =
∵’ ∙ = −Ԧ + Ԧ ∙ +
1
Ԧ
2
1
=2 Ԧ2
=
1
2
Ԧ
5
2
2，∴cos
Ԧ ，
’, =
1
2
2
空间向量及其运算的坐标表示_课件
数量积
a·
b
_____a_1_b__1＋__a__2b__2_＋_______ a3b3
已知a＝(1,-2,1)，a-b＝(-1,2,-1)，则b 等于（ ）
A.(2,-4,2)
B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2)
D.(2,1,-3)
解析 依题意，得b＝a-(-1,2,-1)＝a＋(1,-2,1)＝2(1,-2,1) ＝(2,-4,245°）， ∠yOz=90°,如下图
空间直角坐标系
空间直角坐标系
坐标表示：对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z} ， 使得p＝xi＋yj＋zk，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底i，j ， k下的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中数x就叫做点P的横坐标，数 y就叫做点P的纵坐标，数z就叫做点P的竖坐标
在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是D1D ， B中D点的，中试点建，立点适G当在的棱坐CD标上系，，且写|C出GE|＝，F|，CDG|，，HH的坐 标.
解 建立如图所示的空间直角坐标系 . 点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0
， 而过EF作为FDMD⊥1的A中D点, F故N⊥其D坐C标, 由为平面几何知识 ，
空间向量运算的坐标表示
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，
b3). 向量运算
向量表示
坐标表示
加法 减法 数乘
a＋b a－b λa
(_a_1_＋__b__1，___a_2_＋__b_2_，__a_3_＋___ b_(_3a)_1_-_b__1，__a__2-_b__2，___a_3_-_b_3_)_ _____(λ__a_1_，__λ_a_2_，__λ_a__3)____
空间向量运算的坐标表示ppt课件
我们已经学过平面向量运算的坐标表示：
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示课件
53
53
53
13
A. 4
B. 2
C. 2
D. 2
解析 AB 中点 M(2，32，3)，又 C(0,1,0)，
所以C→M＝(2，12，3)，
故 M 到 C 的距离为 CM＝|C→M|＝
22＋122＋32＝
53 2.
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示
解析答案
12345
3.设 O 为坐标原点，M(5,－1,2)，A(4,2,－1)，若O→M＝A→B，则点 B 应为( B )
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示
自主学习
答案
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23.
知识点三 空间两点间的距离 已知点 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 A，B 两点间的距离 dAB＝|A→B|
学习目 标
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标. 2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些 知识解决一些相关问题.
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示
栏目索 引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示
Байду номын сангаас
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示 例 1 设 O 为坐标原点，向量O→A＝(1,2,3)，O→B＝(2,1,2)，O→P＝(1,1,2)， 点 Q 在直线 OP 上运动，则当Q→A·Q→B取得最小值时，求点 Q 的坐标.
课件2：1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23
知识点四 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系
以空间中两两__垂__直____且相交于一点 O 的三条直线分别
定义
为 x 轴、y 轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系 Oxyz，其中点 O 叫做坐标__原__点____，x 轴、y 轴、z 轴叫
【基础自测】
1．已知向量 a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且 a·b＝2，
则 x 的值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：∵a·b＝－3×1＋2x＋5×(－1)＝2，∴x＝5. 答案：C
2．已知向量 a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则 4a＋2b 等于( )
A．(16,0,4)
方法归纳 解决空间向量垂直、平行问题的思路 1．若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如， 设向量 a＝(x，y，z)． 2．在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已 知 a∥b，则引入参数 λ，有 a＝λb，再转化为方程组求解． 3．选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
跟踪训练 3 (1)(变条件)若将本例(1)中“c∥B→C”改为 “c⊥a 且 c⊥b”，求 c.
做_坐__标__轴___．通过每两个坐标轴的平面叫做_坐__标__平__面_，
分别称为 xOy 平面、yOz 平面、___x_O_z___平面
画法
在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使∠xOy＝ __1_3_5_°___，∠yOz＝90°
图示
说明
本书建立的坐标系都是___右__手___直角坐标系，即在空间 直角坐标系中，让右手拇指指向____x____轴的正方向， 食指指向____y____轴的正方向，中指指向____z____轴的 正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)
1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
空间向量运算的坐标表示(课件)2022-2023学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
思路分析(1)根据 c∥,设 c=λ,则向量 c 的坐标可用 λ 表示,再利用|c|=3 求 λ 值;
(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
解:(1)∵ =(-2,-1,2)且 c∥ ,
∴设 c=λ =(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
2x1－x2＝2，
x1＝1，
(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，由题设可得
解得
x1＋2x2＝1，
x2＝0，
同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝(1，－1，1)，
b＝(0，2，－1)，
a·
b＝0－2－1＝－3， |a|＝ 3，|b|＝ 5，
a·
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
15
cos〈a，b〉＝
∴
2，－2λ，－λ＝0，
λ＋1，1，2λ·
5λ2＋2λ＝3，
化简，得
2
2－2λ ＝0，
因此，a＝(0,1，－2).
解得 λ＝－1.
归纳总结
用坐标表示空间向量的步骤如下:
归纳总结
空间向量的坐标运算注意以下几点:
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.
(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算,牢记运算
∴|c|= (-2)2 + (-)2 + (2)2 =3|λ|=3,解得 λ=±1.
∴c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2).
(2)∵a==(1,1,0),b==(-1,0,2),
∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
思路分析(1)根据 c∥,设 c=λ,则向量 c 的坐标可用 λ 表示,再利用|c|=3 求 λ 值;
(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
解:(1)∵ =(-2,-1,2)且 c∥ ,
∴设 c=λ =(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
2x1－x2＝2，
x1＝1，
(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，由题设可得
解得
x1＋2x2＝1，
x2＝0，
同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝(1，－1，1)，
b＝(0，2，－1)，
a·
b＝0－2－1＝－3， |a|＝ 3，|b|＝ 5，
a·
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
15
cos〈a，b〉＝
∴
2，－2λ，－λ＝0，
λ＋1，1，2λ·
5λ2＋2λ＝3，
化简，得
2
2－2λ ＝0，
因此，a＝(0,1，－2).
解得 λ＝－1.
归纳总结
用坐标表示空间向量的步骤如下:
归纳总结
空间向量的坐标运算注意以下几点:
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.
(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算,牢记运算
∴|c|= (-2)2 + (-)2 + (2)2 =3|λ|=3,解得 λ=±1.
∴c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2).
(2)∵a==(1,1,0),b==(-1,0,2),
∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
空间向量PPT课件
p点坐标为共面对应坐标成比例表示可以用共面omabcm的方向向量是直线线线平行线面平行空间向量运算异面直线夹角线面夹角二面角异面直线距离点面距离面面距离面面平行线线垂直线面垂直面面垂直线线平行线面平行空间向量知识结构图1122331223一常用公式
空间向量
1
一、平面向量复习
1.向量：既有大小又有方向的量。
D1
A1
DG O
A
C1 B1
C B
21
rr
r rr
例3：已知向量 a b ，向量 c 与a, b 的夹角都为
且 600
r a
1,
r b
，2,计cr 算 3：
r r r r
(1) 3a 2b b 3c
7 2
r rr
(2) a 2b c
11
r rrr
(3)a 2b c与b的夹角
4、求两异面直线AB与CD的夹角：
cos | AB CD |
| AB | | CD |
5、求直线l与平面 所成的角：
| sin | | PM n | | PM || n|
，( PM l M n 为 的法向量)
6、求二面角的平面角 :
ur uur
cos urn1 nu2ur
| n1 | | n2 |
空间向量知识结构图
空
间
建
坐
立
标
坐
系
标
概
系
坐 标 运 算
念
空间直角坐标系
角
空
证 明
间 向 量
求 解
距
离
异面直线夹角 线面夹角
二面角 异面直线距离 点面距离 面面距离
空间向量运算
空
空
空间向量
1
一、平面向量复习
1.向量：既有大小又有方向的量。
D1
A1
DG O
A
C1 B1
C B
21
rr
r rr
例3：已知向量 a b ，向量 c 与a, b 的夹角都为
且 600
r a
1,
r b
，2,计cr 算 3：
r r r r
(1) 3a 2b b 3c
7 2
r rr
(2) a 2b c
11
r rrr
(3)a 2b c与b的夹角
4、求两异面直线AB与CD的夹角：
cos | AB CD |
| AB | | CD |
5、求直线l与平面 所成的角：
| sin | | PM n | | PM || n|
，( PM l M n 为 的法向量)
6、求二面角的平面角 :
ur uur
cos urn1 nu2ur
| n1 | | n2 |
空间向量知识结构图
空
间
建
坐
立
标
坐
系
标
概
系
坐 标 运 算
念
空间直角坐标系
角
空
证 明
间 向 量
求 解
距
离
异面直线夹角 线面夹角
二面角 异面直线距离 点面距离 面面距离
空间向量运算
空
空
空间向量及其运算的坐标表示(15张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
深度探究
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
空间向量之立体几何建系和求点坐标(共24张PPT)
xOy面内D yOz面内E zOx面内F
坐标形式 (x,y,0)
(0,y,z)
(x,0,z)
基础知识：
2、空间中在底面投影为特殊位置的点：
如果 A' x1, y1, z 在底面的投影为 A x2, y2,0 ，那么x1 x2, y1 y2
（即点与投影点的横纵坐标相同） 由这条规律出发，在写空间中的点坐标时，可看一下在底面的
建系方法2练习2 练2.如图，已知四棱锥P ABCD的底面是菱形，对角线AC, BD交于点O, OA 4,OB 3,OP 4,且OP 平面ABCD,点M为PC的三等分点（靠近P）, 建立适当的直角坐标系并求各点坐标。
找“墙角”
14
建系方法2练习3
练3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB // CD, AD DC CB 1, ABC 60,CF 平面ABCD,且CF 1,建立适当的直角坐标系 并确定各点坐标。
找“墙角”
建系方法2练习5
真题（辽宁卷）如图,AB 是圆的直径,PA 垂 直圆所在的平面,C 是圆上的点.
(1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC； (2)若 AB＝2，AC＝1，PA＝1，求证：二面
角 C－PB－A 的余弦值.
造“墙角”
建系方法3例题
三、利用面面垂直关系构建空间直角坐标系（转化为墙角模型） 例3.在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．点P、H分别是线段VC、AD的 中点．试建立空间直角坐标系并写出P、V、A、B、C、D的坐标.
互相垂直，EF // BD, ED BD, AD 2, EF ED 1, 试建立合适的 空间直角坐标系并确定各点的坐标
空间向量建系 PPT
(2)向 量 的 数 量 :a•积 b|a坐 ||b|c标 os公 x1x2式 y1y2z1z2
(3 )向 量 的 :co 夹 s a •b 角x 1 公 x 2 y 1y 式 2 z1 z2 |a|b || x 1 2 y 1 2 z1 2 x 2 2 y 2 2 z2 2
(4)向量平行:a的 //b 充 ab 要 x条 1y1件 z1
F
( 3 , 1 ,0) 22
F1
( 3 , 3 ,2) 22
x
练 习 2 ： 已 知 直 三 棱 柱 A B C A 1 B 1 C 1 中 ， A C B 9 0 ,L 是 A 1 C 1 的 中 点 ， M 是 A 1 B 1 的 中 点 ， N 是 B C 的 中 点 ， 求 证 ： L N // M B .
Oy轴的正方向； (3)右手中指所指方向表示
Oz轴的正方向.
空间点的坐标
z
B
A
D
3
O
4
2
F
E
H
x
D (2,4,3)
AC (2 ,0 ,3 ) B (0,0,3)
y
G
空间向量的基本公式
设 a (x 1 ,y 1 ,z 1 )b , (x 2 ,y 2 ,z2 ) (1)向量的长:|a度 | 公 x12式 y12z12
CE 1 CP
P
2
1(APAC) 2
AE
D
1c1(ABAD)
22
B
C
1c1a1b
222
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
例 ： 平 A行 BC A 六 1B D 1C 1面 D 1中体 ， D 1A 设 a,
D 1B 1b,D 1Cc,求 D 1B D 1B D 1B 1D 1D bD 1D D 1BD 1CC BcCB
(3 )向 量 的 :co 夹 s a •b 角x 1 公 x 2 y 1y 式 2 z1 z2 |a|b || x 1 2 y 1 2 z1 2 x 2 2 y 2 2 z2 2
(4)向量平行:a的 //b 充 ab 要 x条 1y1件 z1
F
( 3 , 1 ,0) 22
F1
( 3 , 3 ,2) 22
x
练 习 2 ： 已 知 直 三 棱 柱 A B C A 1 B 1 C 1 中 ， A C B 9 0 ,L 是 A 1 C 1 的 中 点 ， M 是 A 1 B 1 的 中 点 ， N 是 B C 的 中 点 ， 求 证 ： L N // M B .
Oy轴的正方向； (3)右手中指所指方向表示
Oz轴的正方向.
空间点的坐标
z
B
A
D
3
O
4
2
F
E
H
x
D (2,4,3)
AC (2 ,0 ,3 ) B (0,0,3)
y
G
空间向量的基本公式
设 a (x 1 ,y 1 ,z 1 )b , (x 2 ,y 2 ,z2 ) (1)向量的长:|a度 | 公 x12式 y12z12
CE 1 CP
P
2
1(APAC) 2
AE
D
1c1(ABAD)
22
B
C
1c1a1b
222
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
例 ： 平 A行 BC A 六 1B D 1C 1面 D 1中体 ， D 1A 设 a,
D 1B 1b,D 1Cc,求 D 1B D 1B D 1B 1D 1D bD 1D D 1BD 1CC BcCB
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设 a(a1,a2,a3)、 b(b1,b2,b3)
a//ba 1b 1,a 2b 2,a 3b 3 (b 0)
aba1b1a2b2a3b30 (a0,b0)
精品课件
9
例1： 设空间三点 P ( 2 ,0 ,2 ) ,M ( 1 ,1 ,2 ) ,N ( 3 ,0 ,4 ) ，
设 aP M ,bP N .那么当 kab与 ka2b
9.6 空间向量的 坐标运算
精品课件
1
引入：
（1）某人去电影院看电影，座位是10排6号；
在平面直角坐标系中，一点P的坐标是(x,y)；
（2）吊在房间的一个灯泡的位置是距相邻两面墙 各3 米，距地面4米；
（3）一架飞机某时刻的方位是东经 80度，北纬40度， 海拔3000 米；
类比：在空间直角坐标系中，一点P的坐标是
z
A(x1, y1, z1)
A B ( x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 )
o
M
B(x2, y2, z2)
y
x
思考2：在空间直角坐标系中，若点
M是线段AB的中点，则M的坐标为
_(_x_1 _2_x2_,_y_1_ 2_y_2_,z_1_ 2_z_2)?
精品课件
8
空间向量平行、垂直的充要条件的 坐标表示：
(x,y,z).
精品课件
2
1.空间直角坐标系
平面直角坐标系xOy
y
空间直角坐标系O-xyz
z
z
y
y
O
x
O
x
O
x
精品课件
3
2.
平面向量坐标表示 空间向量坐标表示
y
j
o
i
z
a
a
k
o
y
i
j
x x
a xi y j
a(x, y)
a xi y j zk
a(x,y,z)
精品课件
4
3.单位正交基底：i, j , k
互相垂直时，k 的值是多少？
解：a (1,1,0),b (1,0,2)
kab (k 1,k,2),ka2b (k 2,k,4)
(kab) (ka2b),源自(k1,k,2)(k2,k,4) (k1)(k2)k2 80
即2k2 k100,得k 5或k 2
2 精品课件
10
例2：在正方体 ABCDA1B1C1D 1中，E、F、
P分别是 A D , A1B1 , C C1 的中点
求证：B D 1 平面 EFP;
思考：求证
z
D1
A B 1 // 平面EFP
A1
F
C1
B1
P
D
E
A
x 精品课件
C
y
B
11
课堂小结：
1、空间直角坐标系的概念， 2、空间向量的直角坐标表示， 3、空间向量的坐标运算法则， 4、空间向量平行、垂直的坐标表示
空间直角坐标系 O xyz 就是选定空间
一点O和一个单位正交基底i, j , k
建立的。向量 i , j , k 都叫做坐标向量。
z
k
O
j
i
x
精品课件
y
5
4.空间任一点P的坐标表示及确定方法
z
C
P
o
A
x
精品课件
By
6
5.
向量坐 标运算
平面向量
a(a1,a2) b(b1,b2)
空间向量
a(a1,a2,a3)
b(b1,b2,b3)
ab (a1b1,a2b2) (a1b1,a2b2,a3b3)
ab (a1b1,a2b2) (a1b1,a2b2,a3b3)
a (a1,a2)
a b a1b1 a2b2
(a1,a2,a3)
a1b1a2b2a3b3
精品课件
7
思考1：空间向量坐标与表示它的有向 线段端点坐标之间有什么关系？
精品课件
12
思考题：在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z),
试写出下列各点的坐标：
（1）点P在xOy平面内的射影P1(
);
（2）点P关于 yOz平面的对称点P2(
);
（3）点P关于原点的对称点P3(
);
（4）点P关于x轴的对称点P4(
)
精品课件
13
精品课件
14
a//ba 1b 1,a 2b 2,a 3b 3 (b 0)
aba1b1a2b2a3b30 (a0,b0)
精品课件
9
例1： 设空间三点 P ( 2 ,0 ,2 ) ,M ( 1 ,1 ,2 ) ,N ( 3 ,0 ,4 ) ，
设 aP M ,bP N .那么当 kab与 ka2b
9.6 空间向量的 坐标运算
精品课件
1
引入：
（1）某人去电影院看电影，座位是10排6号；
在平面直角坐标系中，一点P的坐标是(x,y)；
（2）吊在房间的一个灯泡的位置是距相邻两面墙 各3 米，距地面4米；
（3）一架飞机某时刻的方位是东经 80度，北纬40度， 海拔3000 米；
类比：在空间直角坐标系中，一点P的坐标是
z
A(x1, y1, z1)
A B ( x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 )
o
M
B(x2, y2, z2)
y
x
思考2：在空间直角坐标系中，若点
M是线段AB的中点，则M的坐标为
_(_x_1 _2_x2_,_y_1_ 2_y_2_,z_1_ 2_z_2)?
精品课件
8
空间向量平行、垂直的充要条件的 坐标表示：
(x,y,z).
精品课件
2
1.空间直角坐标系
平面直角坐标系xOy
y
空间直角坐标系O-xyz
z
z
y
y
O
x
O
x
O
x
精品课件
3
2.
平面向量坐标表示 空间向量坐标表示
y
j
o
i
z
a
a
k
o
y
i
j
x x
a xi y j
a(x, y)
a xi y j zk
a(x,y,z)
精品课件
4
3.单位正交基底：i, j , k
互相垂直时，k 的值是多少？
解：a (1,1,0),b (1,0,2)
kab (k 1,k,2),ka2b (k 2,k,4)
(kab) (ka2b),源自(k1,k,2)(k2,k,4) (k1)(k2)k2 80
即2k2 k100,得k 5或k 2
2 精品课件
10
例2：在正方体 ABCDA1B1C1D 1中，E、F、
P分别是 A D , A1B1 , C C1 的中点
求证：B D 1 平面 EFP;
思考：求证
z
D1
A B 1 // 平面EFP
A1
F
C1
B1
P
D
E
A
x 精品课件
C
y
B
11
课堂小结：
1、空间直角坐标系的概念， 2、空间向量的直角坐标表示， 3、空间向量的坐标运算法则， 4、空间向量平行、垂直的坐标表示
空间直角坐标系 O xyz 就是选定空间
一点O和一个单位正交基底i, j , k
建立的。向量 i , j , k 都叫做坐标向量。
z
k
O
j
i
x
精品课件
y
5
4.空间任一点P的坐标表示及确定方法
z
C
P
o
A
x
精品课件
By
6
5.
向量坐 标运算
平面向量
a(a1,a2) b(b1,b2)
空间向量
a(a1,a2,a3)
b(b1,b2,b3)
ab (a1b1,a2b2) (a1b1,a2b2,a3b3)
ab (a1b1,a2b2) (a1b1,a2b2,a3b3)
a (a1,a2)
a b a1b1 a2b2
(a1,a2,a3)
a1b1a2b2a3b3
精品课件
7
思考1：空间向量坐标与表示它的有向 线段端点坐标之间有什么关系？
精品课件
12
思考题：在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z),
试写出下列各点的坐标：
（1）点P在xOy平面内的射影P1(
);
（2）点P关于 yOz平面的对称点P2(
);
（3）点P关于原点的对称点P3(
);
（4）点P关于x轴的对称点P4(
)
精品课件
13
精品课件
14