巧添辅助线
初中数学常用辅助线添加技巧
初中数学常⽤辅助线添加技巧⼈们从来就是⽤⾃⼰的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建⽴已知与未知的桥梁，把问题转化为⾃⼰能解决的问题，这是解决问题常⽤的策略。
初中数学常⽤辅助线添加技巧⼀.添辅助线有⼆种情况：1按定义添辅助线：如证明⼆直线垂直可延长使它们相交后证交⾓为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证⾓的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个⼏何定理都有与它相对应的⼏何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质⽽基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防⽌乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平⾏线是个基本图形：当⼏何中出现平⾏线时添辅助线的关键是添与⼆条平⾏线都相交的等第三条直线(2)等腰三⾓形是个简单的基本图形：当⼏何问题中出现⼀点发出的⼆条相等线段时往往要补完整等腰三⾓形。
出现⾓平分线与平⾏线组合时可延长平⾏线与⾓的⼆边相交得等腰三⾓形。
(3)等腰三⾓形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三⾓形底边上的中点添底边上的中线;出现⾓平分线与垂线组合时可延长垂线与⾓的⼆边相交得等腰三⾓形中的重要线段的基本图形。
(4)直⾓三⾓形斜边上中线基本图形出现直⾓三⾓形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直⾓三⾓形的斜边则要添直⾓三⾓形斜边上的中线得直⾓三⾓形斜边上中线基本图形。
(5)三⾓形中位线基本图形⼏何问题中出现多个中点时往往添加三⾓形中位线基本图形进⾏证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三⾓形不完整时则需补完整三⾓形; 当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带⼀个中点则可过这中点添倍线段的平⾏线得三⾓形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平⾏线得三⾓形中位线基本图形。
2020 年中考数学巧妙的添加辅助线
中考数学巧妙的添加辅助线这次给同学们带来的是数学辅助线，辅助线对于同学们来说并不陌生，解几何题的时候经常用到。
当题目给出的条件不够时，我们通过添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这便是辅助线的作用。
一条巧妙的辅助线常常使一道难题迎而解。
所以我们要学会巧妙的添加辅助线。
一添辅助线有二种情况1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
如何添辅助线解几何题
如何添辅助线解几何题添辅助线是解决几何题的常用方法之一，它可以帮助我们发现角、线段的关系，简化原问题，缩短思维过程，提高解题效率。
下面我将向大家介绍如何添辅助线解几何题。
一、加垂线垂线是一种常见的加辅助线的方法，它能够把原图分成两个或多个简单的图形，以便更好地研究它们的性质。
下面是一些常用的加垂线的情况：1.以一个点为圆心作圆，垂直于圆上一点所在的切线的垂线。
这种情况一般用于证明圆内角等于该圆对应圆心角的一半的情况。
2.连接角的顶点到对边的中点所在的垂线。
这种情况一般用于证明角平分线的性质。
3.连接一个角的顶点和对边两个点，与另一个角相交于一点的垂线。
这种情况一般用于证明垂线定理的性质。
4.连接一个角的顶点和另一个角的两个点，与对边相交于一点的垂线。
这种情况一般用于证明相似三角形定理的性质。
二、加平行线平行线是另一种常用的加辅助线的方法，它能够帮助我们研究线段的比例关系、角的对应关系等等。
下面是一些常用的加平行线的情况：1.通过两个点作一条直线，再以这条直线作为一边，与指定点相交于一点的平行线。
这种情况一般用于证明相似三角形定理的性质。
2.连接两个角顶点，将一个角补成一个平行四边形，再通过直线将平行四边形画成两个相等的三角形。
这种情况一般用于证明平行四边形的性质。
3.通过两个角顶点作一条直线，与给定角相交，再作一条平行于给定边的直线与另一条边相交。
这种情况一般用于证明三角形内角和定理的性质。
三、加辅助图形有时候，我们可以在原图的上或下方添加一些辅助图形，以便方便研究问题。
下面是一些常见的添加辅助图形的情况：1.在一个矩形的中心处添加一个正方形或三角形，以便更好地研究矩形的性质。
2.在一个圆的内部或外部添加一个三角形或四边形，以便更好地研究圆的性质。
3.在一个三角形的内部或外部添加一个菱形或梯形，以便更好地研究三角形的性质。
总的来说，添辅助线是解决几何问题的一种重要技巧，它可以缩短解题时间，简化思维过程，并有助于发现问题中隐藏的规律和特征。
初中数学三角形辅助线技巧
初中数学三角形辅助线技巧
在解决初中数学中的三角形问题时，添加辅助线是一种常见的策略。
以下是一些常见的三角形辅助线添加技巧：
1. 中点连线：如果已知三角形的一个中点，可以通过连接这个中点到其他顶点来找到新的等腰三角形或平行四边形，从而简化问题。
2. 平行线：通过作平行线，可以构造新的平行四边形或相似三角形，从而利用这些图形的性质来解决问题。
3. 延长线：在某些情况下，延长线可以帮助我们找到新的角或线段，从而利用这些信息解决问题。
4. 作高：在直角三角形中，可以通过作高来找到新的线段或角，从而找到解决问题的线索。
5. 作角平分线：角平分线可以将一个角分为两个相等的角，从而帮助我们找到新的等腰三角形或平行线。
6. 构造全等三角形：通过添加辅助线，可以构造两个或多个全等的三角形，从而利用全等三角形的性质解决问题。
7. 倍长中线：在已知中点的情况下，可以通过倍长中线来找到新的等腰三角形或平行四边形。
8. 构造相似三角形：通过添加辅助线，可以构造两个相似的三角形，从而利用相似三角形的性质解决问题。
以上技巧并非一成不变，需要根据具体的问题和条件灵活运用。
在解决三角形问题时，多思考、多实践是提高解题能力的关键。
学会巧妙的添加辅助线
学会巧妙的添加辅助线一、添辅助线有二种情况：1. 按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90。
;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2. 按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此添线” 应该叫做补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1) 平行线是个基本图形当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2) 等腰三角形是个简单的基本图形当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3) 直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(4) 等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(5) 全等三角形全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线(6) 相似三角形相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。
若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。
巧添辅助线 妙用中位线定理(初中数学)
巧添辅助线妙用中位线定理在解与几何图形有关的问题中，若图中涉及多个中点，要注意联想三角形的中位线定理，来实现线段或角的转化．常见的构造中位线的方法有：已知三角形两边的中点，连接这两个中点；已知三角形一边的中点，在另一边上取中点，再连接两个中点；已知三角形一边的中点，过中点作其他两边任意一边的平行线．例1如图1，在△ABC中，D是BC上一点，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点．求证：EG，HF互相平分．图1证明：如图1，连接EH，GH，GF．因为E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，所以AB△HE△GF，HG△BC．所以HG△EF．所以四边形EFHG是平行四边形．所以EG，HF互相平分．例2如图2，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3．若E，F分别是AD，BC的中点，则EF长的取值范围是（）A．0＜EF＜1B．2＜EF＜3C．0.5＜EF＜2.5D．1＜EF＜5图2解析：如图2，连接AC，取AC的中点H，连接EH，FH．CD＝1.5．因为E，H分别是AD，AC的中点，所以EH＝12AB＝1．同理，得FH＝12在△EHF中，EH﹣FH＜EF＜EH+FH，即0.5＜EF＜2.5．故选C．例3如图3，在△ABC中，△A＝40°，点D，E分别在AB，AC上，且BD＝CE．若BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于点P，Q，求△APQ的度数．图3解析：如图3，取BC的中点H，连接MH，NH．CE．因为M，H分别是BE，BC的中点，所以HM△CE，HM＝12BD．同理，得HN△BD，HN＝12因为BD＝CE，所以HM＝HN．所以△HMN＝△HNM．因为HM△CE，所以△HMN＝△AQP．同理，得△HNM＝△APQ．×（180°﹣△A）＝70°．所以△APQ＝△AQP＝12例4如图4，在△ABC中，△A＝90°，AC＞AB＞4，点D，E分别在边AB，AC上．若BD ＝4，CE＝3，取DE，BC的中点M，N，则线段MN的长为（）A．2.5B．3C．4D．5图4解析：如图4，过点C作CH△AB，连接DN并延长交CH于点H，连接EH．因为BD△CH，所以△B＝△NCH，△ECH+△A＝180°．因为△A＝90°，所以△ECH＝90°．易证得△BDN△△CHN，所以CH＝BD＝4，DN＝NH．在Rt△ECH中，由勾股定理，得EH5．EH＝2.5．故选A．因为M，N分别是DE，DH的中点，所以MN＝12。
第十二章第三讲全等的构造-巧添辅助线(教案)
1.教学重点
-核心知识：全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）及其在实际问题中的应用。
-巧添辅助线的方法及其应用，包括延长两边、构造平行线、利用特殊线段（中点、角平分线、高线）等。
-典型例题的分析与解答，强化全等三角形构造的解题技巧。
举例解释：在讲解全等三角形判定方法时，重点强调SAS判定法中，两边及其夹角必须一一对应相等。通过具体例题，如“已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，证明三角形ABD全等于三角形ACD”，让学生直观理解SAS判定法的应用。
其次，我发现学生们在分组讨论和实验操作环节，表现得非常积极。他们通过互相交流、探讨，不仅提高了自己的思考能力，还学会了如何团队合作。这一点让我深感欣慰，也证明了我的教学方法是有效的。
然而，我也注意到，在小组讨论过程中，有些学生较为内向，不愿意发表自己的观点。为了解决这个问题，我计划在今后的教学中，多关注这部分学生，鼓励他们大胆表达自己的看法，提高他们的自信心。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了全等三角形的基本概念、判定方法以及巧添辅助线的技巧。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对全等构造的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我认识到教学反思的重要性。通过反思，我可以发现自己在教学过程中的不足，及时调整教学方法，以便更好地满足学生的需求。同时，我也将继续学习，提高自己的教育教学水平，为学生们提供更优质的教学。
此外，对于教学难点和重点的把握，我认为自己在课堂上还需要进一步加强。在讲解全等三角形的判定方法和巧添辅助线的过程中，我应该更加明确地指出每个方法的关键点，并通过更多典型的例题来帮助学生巩固知识点。
高中几何添加辅助线的常用技巧
高中几何添加辅助线的常用技巧
高中几何学习中，添加辅助线是解决许多问题的有效方法。
以下是几种常用的几何辅助线技巧：
1、平移辅助线：通过将线段或图形平移，将其移动到更方便处理的位置来简化问题。
比如，对于一条直线外一点的角平分线，我们可以通过平移这条直线，使该点与角的顶点重合，然后再画出该点到角两边的垂线，这样就可以得到角平分线。
2、垂线辅助线：通过向一条直线引垂线来解决问题。
比如，对于一条直线上一点到另一条直线的垂线，我们可以通过在该点处引垂线使两条直线相交，然后再利用垂线的性质来解题。
3、相似三角形辅助线：利用相似三角形的性质来解决问题。
比如，对于一条直线外一点到两条平行线的距离，我们可以利用相似三角形的性质，构造出一个相似三角形，然后利用相似三角形的对应边比相等的性质来求出所需的距离。
4、角平分线辅助线：通过构造角平分线来解决问题。
比如，对于一个三角形的内角平分线，我们可以通过构造该角的外角平分线，然后利用外角和内角的性质来求出该角的内角平分线。
5、中垂线辅助线：通过构造线段中点的垂线来解决问题。
比如，对于一个三角形的垂心，我们可以通过构造三角形三边的中垂线，然后利用中垂线的性质来求出垂心的位置。
这些技巧可以帮助学生更好地理解几何概念和解题思路，提高几何水平。
【初中数学】几何几何，挤破脑壳：只需牢记4个口诀，学会添加辅助线！
【初中数学】几何几何，挤破脑壳：只需牢记4个口诀，学会添加辅助线！【初中数学】几何几何，挤破脑壳：只需牢记4个口诀，学会添加辅助线！其实初中几何题，首先需要记住定理，然后就是学会添加辅助线。
很多学生都说几何很困难，难点就在辅助线。
那么，辅助线到底如何添？首先需要把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
下面分享4个应对常见几何题型添加辅助线的口诀：第一个：注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
第二个：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
第三个：四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为△和□。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
第四个：圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
第四节 全等的构造——巧添辅助线-学而思培优
第四节 全等的构造——巧添辅助线一、课标导航二、核心纲要1.添加辅助线的方法和语言表述(1)作线段：连接……．(2)作平行线：过点……作……／／……．(3)作垂线（作高）：过点……作……上……，垂足为……．(4)作中线：取……中点……，连接……．(5)延长并截取线段：延长……使……等于……．(6)截取等长线段：在……上截取……，使……等于……．(7)作角平分线：作……平分……，作角……等于已知角……．(8)作一个角等于已知角：作角……等于……．2．全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：(1)倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线（与中点有关的线段），构造全等三角形．(2)截长补短法：若遇到证明线段的和、差、倍、分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形．①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段．(3)有的题目需要根据几何图形的特殊性或题目中的条件和结论考虑添加辅助线．3．基本模型本节重点讲解：辅助线的作法及应用，三、全能突破基 础 演 练1．已知，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，若,6,4==AC AB 则AD 的取值范围是( )．1.>AD A 5.<AD B 51.<<AD C 102.<<AD D2．如图12 -4—1所示，,,CD BC CD BC AB AE ABH AE =⊥=-⊥且点E 、B 、D 到直线L 的距离分别为6、3、4，计算图中实线所围成的图形的面积S 是( )50.A 62.B 65.C 68.D3．如图12-4-2所示，,,D A DC AB ∠=∠=求证：.C B ∠=∠4．如图12-4-3所示，已知.,,,BC EF DC AF DE AB D A ===∠=∠求证：.//EF BC5．如图12-4-4所示，在凸五边形中，M FD BC AE AB E B ,,,==∠=∠为CD 中点，求证：.CD AM ⊥能 力 提 升6．如图12-4—5所示，D 是AB 的中点，,90 =∠ACB 求证：.21AB CD =7．如图12-4-6所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，,DF DE ⊥试判断CF BE +与EF 的大小关系，并证明你的结论．8．如图12-4-7所示，CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且=∠ACB .ABC ∠求证：.2CE CD =9．如图12-4-8所示，E 为四边形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且=∠DAE ,90, =∠=∠∠D C FAE 求证：.CF AD AF +=10.如图12-4-9所示，在△ABC 中，CE BD A 、,60=∠分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD 、CE 交于点0，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．11.如图12 -4 -10所示，EB EA BD AC 、,//分别平分∠CAB 和∠DBA ，点E 在线段CD 上，求证：.BD AC AB +=12．(1)如图12 -4 -11所示，G 、H 分别是四边形ABCD 的边AD 、AB 上的点，B DCB D CB CD ∠=∠=∠=,,45,90 =∠=GCH 求证：.GH BH DG =+(2)如图12 -4 -12所示，G 、H 分别是四边形ABCD 的边AD 、AB 上的点，B DCB D CB CD ∠=∠=∠=,.,,90BHC GHC HGC DGC ∠=∠∠=∠=试探究：①GH 、DG 和BH 之间的关系；②求∠GCH 的度数．13．如图12 -4 -13所示，在五边形ABCDE 中，,180,, =∠+∠=+=AED ABC CD DE BC AE AB求证：AD 平分.CDE ∠14.如图12 -4 -14所示，,90,2=∠=∠=+===AFD ABC DE BC CD AE AB 求五边形ABCDE 的面积．15．如图12 -4 -15所示，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在P(5，5)处，两条直角边与坐标轴分别交于点A 和点B ，(1)如图12-4-15(a)所示，点A 、点B 分别在x 轴、y 轴正半轴上运动时，试探究OA+ OB 的值或取值范围．(2)如图12-4-15(b)所示，点A 在x 轴正半轴上运动，点B 在y 轴的负半轴时，试探究OA -OB 的值或取值范围，直接写出结果．16.如图12 -4 -16所示，D AOB ,90 =∠为OA 的中点，BD OE ⊥于点F ，交AB 于点,,,b OB a OA E == 且a 、b 满足.0|4|4=-+-b a 求证：.EDA BDO ∠=∠17.如图12 -4 -17所示，已知B （-1，0），C(l ，0)，A 为y 轴正半轴上一点，点D 为第二象限一动点，点E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于点F ，且.BAC BDC ∠=∠(1)求证：;ACD ABD ∠=∠(2)求证：AD 平分;CDE ∠(3)若在D 点运动的过程中，始终有,DB DA DC +=在此过程中，BAC ∠的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出BAC ∠的度数？中 考 链 接18.（2011．山东烟台改编）如图12 -4 -18所示，在四边形ABCD 中，,,,90AD CD CB AB ABC ⊥==∠,AD BE ⊥试证明：.CD AF BE +=巅 峰 突 破19．如图12 -4 -19所示，,3,2,,,,//===⊥⊥BC AD ED CD DE CD BC AB BC AD 则△ADE 的面积为( )．1.A2.B 5.C D ．无法确定20.如图12-4-20所示，在四边形ABCD 中，,45,105=∠=∠=∠=∠ADC ABC BAD ACB 求证：.AB CD =。
巧添辅助线 妙求线段比演示文稿1
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例题展示 如图，已知AD是△ABC的中线，E是AD上
一点，AE：ED=1：3，BE的延长线交AC 于F，AF：FC= 1： 6。
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6x G3x
例题展示 如图，已知AD是△ABC的中线，E是AD上
一点，AE：ED=1：3，BE的延长线交AC 于F，AF：FC= ຫໍສະໝຸດ ： 6 .xG3x
复习小专题
巧添辅助线 妙求线段比
德化五中 易昌坚
复习小专题
巧添辅助线 妙求线段比
德化五中 易昌坚
复习小专题
巧添辅助线 妙求线段比
德化五中 易昌坚
构造基本图形间接求
（1）两个基本图形：A字型或8字型 （2）过已知两条线段的交点做第三条线段的
平行线，找到两个基本图形
例题展示
如图，已知AD是△ABC的中线，E是AD上一 点，AE：ED=1：3，BE的延长线交AC于F， AF：FC= 1： 6 。
3x
例题展示 如图，已知AD是△ABC的中线，E是AD上
一点，AE：ED=1：3，BE的延长线交AC 于F，AF：FC= 1： 6 。
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学会巧妙的添加辅助线
学会巧妙的添加辅助线一、添辅助线有二种情况：1.按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2.按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平行线是个基本图形当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形是个简单的基本图形当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(4)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(5)全等三角形全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线(6)相似三角形相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。
若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。
巧添辅助线证三角形全等(上)
初中数学巧添辅助线证三角形全等（上）编稿刘群丽一校杨雪二校安宁审核杨国勇1. 截长补短证线段的和差问题，常常借助于全等三角形的对应边相等，将不在一条直线上的两条（或多条）线段转化到同一直线上。
可以通过翻转构造全等三角形。
在无法直接证明的情况下，利用“截长补短”作辅助线的方法，常可使思路豁然开朗，问题迎刃而解。
截长：在较长线段上截取与其他两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。
补短：（1）延长较短的线段使其等于较长线段，证明延长出的线段等于另一条线段；（2）延长较短的线段使其等于两条较短线段和，证明线段和等于较长线段。
截长补短的基本模型：例：在等腰直角△ACB中，AD为∠BAC的角平分线，交BC于点D。
求证：AB=AC+CD。
方法一：在AB边上取AE=AC，连接DE，证CD=BE。
方法二：延长AC到E，使AE=AB，连接ED，证CD=CE。
注意：适合于证明线段的和、差、倍、分等类型的题目。
通常作出辅助线后都能求证全等三角形。
2. 倍长中线把过中点的线段延长一倍，从而出现等量线段，连接已知端点和倍长之后的端点，构造8字形，从而得出全等三角形。
倍长中线的基本模型:△ABC中AD是中线方法一：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，可证△ADC≌△EDB。
方法二：M为AB边任意一点，延长MD到N，使DN=MD，连接CN，可证△BMD≌△CND。
方法三：CF⊥AD与点F，延长FD至E，使FD=DE，连接BE，可证△BED≌△CFD。
口诀：遇中点，想倍长；找关系，证全等。
倍长中线结论：“8”字形两个对边位置关系为平行，数量关系为相等。
例题 以直角△ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt △ABD 和等腰Rt △ACE ，∠BAD =∠CAE =90°，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点，则AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 。
三角形全等添加辅助线的技巧和方法
三角形全等添加辅助线的技巧和方法嘿，朋友们！今天咱就来聊聊三角形全等添加辅助线的那些超棒技巧和方法。
比如说，当遇到两个看起来不太好直接证明全等的三角形时，咱就可以巧妙地加条辅助线呀！就好像走在迷宫里突然找到了一条捷径一样。
比如在一个三角形里，有一条边特别长，而另一个三角形里对应的边较短，这时候怎么办呢？咱就在长边上截取一段，让它和短边一样长，这不就多了个等量关系嘛！
还有哦，要是两个三角形有共同的边或者角，那辅助线简直就是开启全等大门的钥匙呀！像有两个三角形，它们有一条公共边，但是其他条件不好用，这时候把公共边延长或者作垂线，哇塞，全等的条件可能一下子就冒出来啦！比如说小明和小红一起做数学题，小明就被一道题难住了，后来小红提醒他加个辅助线，结果一下子就豁然开朗了，这不就像是在黑暗中找到了明灯嘛！
总之呀，三角形全等添加辅助线真的太神奇啦，只要你掌握了这些技巧和方法，那些原本难搞的题目就会变得轻而易举啦！。
初中数学_巧添辅助线__解证几何题
巧添辅助线解证几何题[引出问题] 在几何证明或计算问题中.经常需要添加必要的辅助线.它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线.使图形的性质由隐蔽得以显现.从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线.使分散的条件得以集中.从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。
值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。
一、倍角问题研究∠α＝2∠β或∠β=12∠α问题通称为倍角问题。
倍角问题分两种情形：1、∠α与∠β在两个三角形中.常作∠α的平分线.得∠1=12∠α.然后证明∠1=∠β；或把∠β翻折.得∠2=2∠β.然后证明∠2=∠α（如图一）2、∠α与∠β在同一个三角形中.这样的三角形常称为倍角三角形。
倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二）[例题解析]例1：如图1.在△ABC中.AB=AC,BD⊥AC于D。
求证：∠DBC=12∠BAC.分析：∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C.可利用三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC和∠C的关系。
证法一：∵在△ABC中.AB=AC.∴∠ABC=∠C=12（180°-∠BAC）=90°-12∠BAC。
∵BD⊥AC于D ∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-12∠BAC)=12∠BAC即∠DBC= 12∠BAC分析二：∠DBC、∠BAC分别在直角三角形和等腰三角形中.由所证的结论“∠DBC= ½∠BAC”中含有角的倍、半关系.因此.可以做∠A的平分线.利用等腰三角形三线合一的性质.把½∠A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折构造2∠DBC求解。
证法二：如图2.作AE⊥BC于E.则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC ∴∠EAG=12∠BAC∵BD⊥AC于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC（同角的余角相等）即∠DBC=12∠BAC。
巧添辅助线
巧添辅助线【巧添辅助线】：为了完成问题的解答，需在图形中添加一些线，称之为辅助线.辅助线的添加有利于使题目中的条件集中，能较容易找到一些量之间的关系，进而引刃而解.目前为止，添加辅助线有以下几类： 1）“连接法”——看似山重水复疑无路，却也柳暗花明又一村. 2）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”，依据是全等变换中的“对折”． 3）遇到三角形的中线，倍长中线，构造全等三角形，利用全等变换中的“旋转”． 4）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线段，会给我们带来两个“惊 喜”——直角和距离相等，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．※ 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答． 1）连接法【例1】如图，已知∠A=∠C=Rt ∠，且AB=CD ，试证明AD=BC.【练习】已知，如图AB=AC ，且∠ABD=∠ACD.试证明BD=CD.2）等腰三角形中，可作底边上的高.【例2】如图，已知D 、E 两点在线段BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ，试说明BD=CE 的理由.3）倍长中线【例3】已知△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 【练习】如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.4）角平分线上的点向角两边引垂线段【例4】如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ， 求证：∠BAD+∠C=180°A C DO A B C D A CE D E D CB A【练习】如图4，在△ABC 中，BD=CD ，∠ABD=∠ACD,求证AD 平分∠BAC.5）截长补短【例5】如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC【练习】如图，已知△ABC 为等边三角形，其边长为k ，△DBC 为等腰三角形，BD=CD 且∠BDC=120°过点D 作∠PDQ=60°，DP 、DQ 分别交AB 、AC 于点M 、N ，记AMNC为x ，ABCC为y .（1）如图1，特别地，当BM=CN 时，易证BM+CN=MN.此时：()()()2AMNx CAM AN MN AM AN BM BN AM BM AN CN AB AC k ==++=+++=+++=+=3ABCy CAB AC BC k ==++=,于是2233x k y k ==. （2）如图2，当∠PDQ 绕点D 旋转，使得DP 、DQ 交线段AB 、AC 于点M 、N 时，（1）中的结论还成立吗？请说明.（3）如图3，当∠PDQ 绕点D 旋转，使得DP 、DQ 交BA 、AC 的延长线于点M 、N 时，（1）中的结论还成立吗？请说明.CD BAA B CDC图1D图2 图3※旋转【例6】已知：△ABC 中，BC=AC ，且∠C=90°.点D 为AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F ，当∠MDN 绕点D 转动时.（1）写出点D 到△ABC 三个顶点的距离之间的数量关系;（2）试判断△DEF 的形状.【作业】1、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。
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精小班第十讲：巧添辅助线——倍长中线
【夯实基础】
例：ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC 方法1：作D E ⊥AB 于E ，作D F ⊥AC 于F ，证明二次全等 方法2：辅助线同上，利用面积 方法3：倍长中线AD
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ，
AD 是BC 边中线 使DE=AD ，
连接BE
方式2：间接倍长
作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CD
【经典例题】
例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边
例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE
方法1：过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，证明ΔDGF ≌ΔCEF 方法2：过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G ，证明ΔEFG ≌ΔDFB 方法3：过D 作DG ⊥BC 于G ，过E 作EH ⊥BC 的延长线于H 证明ΔBDG ≌ΔECH 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF
提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形
C
D
A
B
D A B
C E
D A
B
C F E
D C B
A N
D
C
B A
M
F
E
D
A
B
C
F
E
C A
B
D
2
例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 提示：
方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH
例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ）
进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）
【融会贯通】
1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论
提示：延长AE 、DF 交于G 证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC
2、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+ 提示：
方法1：在DA 上截取DG=BD ，连结EG 、FG 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG 、CF=FG
利用三角形两边之和大于第三边 方法2：倍长ED 至H ，连结CH 、FH 证明FH=EF 、CH=BE
利用三角形两边之和大于第三边
3、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.
提示：过T 作TN ⊥AB 于N 证明ΔBTN ≌ΔECD
第 1 题图
A
B
F
D
E
C
E D
A
B
C
F
E
A
B
C
D
第 14 题图
D
F C
B
E
A
D
A
B
C M
T
E。