平行四边形判定定理的简单应用
平行四边形的判定shuoke)
《平行四边形的判定》说课稿全国说课比赛一等奖我是来自，我今天说课的内容是九年义务教育初中人教版几何第二册第二章第二节：《平行四边形的判定》。
这节课我将由教材分析、教学目标、…和学习评价这六个方面来介绍我的设计构思。
平行四边形是我们日常生活中应用非常广泛的一种图形，尤其是像矩形、菱形、正方形这类特殊的平行四边形。
我们今天学习的平行四边形，则是这些特殊平行四边形的奠基石。
针对于这节课来说，大量的运用了平行线和全等三角形的知识，可以说是这些知识的应用与延伸，又对今后即将学到的特殊平行四边形的判定定理具有指导意义，也便于学生弄清这几种图形之间的特性、共性与从属关系，有利于他们逻辑思维能力的发展。
数学教学大纲中明确指出，学生掌握平行四边形的判定定理，并运用它进行简单的论证和计算，在定理的推导过程中，蕴含着类比、转化的数学思想。
让学生经历知识形成和发展的过程。
所以这节课的重点是平行四边形的判定定理及其应用，难点为定理的推导过程。
在推导过程中，需要学生经过观察、猜想、实验、推理、交流等一系列数学活动，要求比较高。
加之他们思维的差异性和局限性，将五条判定定理找全也十分困难。
要想更好的突出重点突破难点，这节课的关键应该是通过问题情境的的设计，课堂的实验研讨，让学生自己去发现、分析并解决问题。
根据去年国家教育部颁布的新数学课堂教育理念，学生的学习目标应将知识与技能、三法与过程、情感态度价值观三方面连为一体。
为了落实这几点，我们本节课的教学目标制定如下：从知识与技能方面来说，要让学生掌握平行四边形的判定定理，并会运用判定定理解决相关的问题；从方法与过程方面来说，让学生自己探索由三角形堆成平行四边形的方法，由此发现判定定理，让学生体验到数学活动充满着探索性与挑战性；从情感态度价值观来说，让学生经过自主探索和合作交流，使他们敢于发表自己的见解，能够从交流中获益。
这样制定教学目标，符合学生学习数学的认知规律，让他们亲身经历将实际问题抽象成数学问题，并进行解释与应用的过程，增强他们对问题的感性认识，让他们通过一系列的推理论证，提高他们对问题的理性认识，也可以培养学生良好的个性品质。
平行四边形的判定定理培优讲解及练习
平行四边形的判定定理【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】类型一、平行四边形的判定例1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG ∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形AECF为平行四边形，∴ AF∥CE．页1∵四边形DEBF为平行四边形，∴ BE∥DF．∴四边形EGFH为平行四边形．【变式】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠F，∵CE=CF，∴∠F=∠3，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．例2、如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．页2（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF 是平行四边形即可．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（1），可得△ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．例3、已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．求证：四边形PBQD是平行四边形．页3页 4【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明． 【答案与解析】证明：连接BD 交AC 与O 点，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO ， 又∵AP=CQ， ∴AP+AO=CQ+CO， 即PO=QO ，∴四边形PBQD 是平行四边形．【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．举一反三：【变式1】如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，且AF=DC ，连接CF ．试说明：D 是BC 的中点.【答案】证明：∵AF∥BC ，∴∠AFE=∠DBE ， ∵E 是AD 的中点， ∴AE=DE ，页 5在△AEF 和△DEB 中，∵ ∴△AEF ≌△DEB （AAS ）， ∴AF=BD ， ∵AF=DC ， ∴BD=DC ， ∴D 是BC 的中点.【变式2】如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 及等边△ABE ，已知：∠BAC=30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF ． （1）试说明AC=EF ；（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形．【答案】证明：（1）∵Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴AB=2BC ，又∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ， ∴AB=2AF ∴AF=BC ，在Rt △AFE 和Rt △BCA 中，，∴Rt △AFE ≌Rt △BCA （HL ），,,,＝＝＝AFE DBE AEF DEB AE DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩页 6∴AC=EF ；（2）∵△ACD 是等边三角形， ∴∠DAC=60°，AC=AD ， ∴∠DAB=∠DAC +∠BAC=90° 又∵EF ⊥AB ， ∴EF ∥AD ， ∵AC=EF ，AC=AD ， ∴EF=AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形．例4、如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F ．求证：四边形AECF 是平行四边形．【思路点拨】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形ABCD 是平行四边形，可证OF=OE ，OA=OC ，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决． 【答案与解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB ，OA=OC ， ∵AB ∥CD ，∴∠DFO=∠BEO ，∠FDO=∠EBO ， ∴在△FDO 和△EBO 中，,＝＝＝DFO BEO FDO EBO OD OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△FDO≌△EBO（AAS），∴OF=OE，∴四边形AECF是平行四边形．类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用例1、如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．（1）猜想探究：BE与DF之间的关系： ________________.（2）请证明你的猜想．【思路点拨】（1）BE平行且等于DF；（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF即可．【答案与解析】（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，故答案为：平行且相等．（2）证明：连接BD交AC于O，∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理是你解决本题的关键，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．举一反三：【变式】如图，在ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．请你猜想BE与DF的关系，并说明理由．页7页 8【答案】解：猜想BE 与DF 的关系是BE=DF ，BE ∥DF ，理由是：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD=BC ， ∵AE=CF ， ∴AD-AE=BC-CF ， 即DE=BF ， ∵DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形， ∴BE=DF ，BE ∥DF ．例2、如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线交AD 于点E ，交BC 于点F ．若PE=PF ，且AP+AE=CP+CF ． （1）求证：PA=PC ．（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD 的面积．【思路点拨】（1）首先在PA 和PC 的延长线上分别取点M 、N ，使AM=AE ，CN=CF ，可得PN=PM ，则易证四边形EMFN 是平行四边形，则可得ME=FN ，∠EMA=∠CNF ，即可证得△EAM ≌△FCN ，则可得PA=PC ；（2）由PA=PC ，EP=PF ，可证得四边形AFCE 为平行四边形，易得△PED ≌△PFB ，则可得四边形ABCD 为平行四边形，由AB=15，AD=12，∠DAB=60°，即可求得四边形ABCD 的面积． 【答案与解析】（1）证明：在PA 和PC 的延长线上分别取点M 、N ，使AM=AE ，CN=CF ． ∵AP+AE=CP+CF ， ∴PN=PM ． ∵PE=PF ，∴四边形EMFN 是平行四边形．∴ME=FN ，∠EMA=∠CNF．又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，∴△EAM≌△FCN．∴AM=CN．∵PM=PN，∴PA=PC．（2）解：∵PA=PC，EP=PF，∴四边形AFCE为平行四边形．∴AE∥CF．∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，∴△PED≌△PFB．∴DP=PB．由（1）知PA=PC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，∴四边形ABCD的面积为90．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．例3、如图，△ABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．【思路点拨】（1）由题意得出BD=CE，由平行线的性质得出∠DGB=∠ACB，由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，得出∠B=∠DGB，证出BD=GD=CE，即可得出结论；（2）由（1）得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM，由平行线得出GF=CF，即可得出结论．【答案与解析】解：（1）四边形CDGE是平行四边．理由如下：如图1所示：3页9∵D、E移动的速度相同，∴BD=CE，∵DG∥AE，∴∠DGB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DGB，∴BD=GD=CE，又∵DG∥CE，∴四边形CDGE是平行四边形；（2）BM+CF=MF；理由如下：如图2所示：由（1）得：BD=GD=CE，∵DM⊥BC，∴BM=GM，∵DG∥AE，∴GF=CF，∴BM+CF=GM+GF=MF．【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．举一反三【变式】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．【答案】页10∴ AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；（2）四边形MENF是平行四边形．证明：由（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠MDB=∠NBD，∵DM=BN，∴△DMF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．例4、如图，已知在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）【思路点拨】（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD，AB∥CD，根据两直线平行内错角相等得∠GBE=∠HDF．再由SAS可证△GBE≌△HDF，利用全等的性质，证明∠GEF=∠HFE，从而得GE∥HF，又GE=HF，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证．（2）仍成立．可仿照（1）的证明方法进行证明．【答案与解析】页11页 12∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠GBE=∠HDF ． 又∵AG=CH ，∴BG=DH ． 又∵BE=DF ，∴△GBE ≌△HDF ．∴GE=HF ，∠GEB=∠HFD ，∴∠GEF=∠HFE ， ∴GE ∥HF ，∴四边形GEHF 是平行四边形．（2）解：仍成立．（证法同上）【总结升华】本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 举一反三 【变式】如图，ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，BG ⊥AG 于G ，DH ⊥AC 于H ．求证：四边形GEHF 是平行四边形．【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO=DO ，AO=CO ，AB=CD ，AB ∥CD ， ∴∠ABD=∠CDB ，∵AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，∴∠AEB=∠CFD=90°， 在△ABE 和△CDF 中,∴△ABE ≌△CDF （AAS ）， ∴BE=DF ， ∴BO-BE=DO-DF ， 即：EO=FO ，同理：△ABG ≌△CDH ， ∴AG=CH ， ∴AO-AG=CO-CH ， ,＝＝＝AB CD ABE CDF AEB CFD ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩即：GO=OH，∴四边形GEHF是平行四边形．【课堂练习】一.选择题1.点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ).A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形5. 已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d，且a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形页136. 如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙二.填空题7. 如图，E、F 是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形．8.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，直线EF过点O且EF∥AD，直线GH过点O且GH∥AB，则能用图中字母表示的平行四边形共有______________个．9．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1cm/s的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动，若AB=7cm，CD=9cm，则秒时四边形ADFE是平行四边形．页1410. 如图，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF=______________.11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．12．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD 的中点．有下列结论：①AD=BC，②△DHG≌△BFE，③BF=HO，④AO=BO，⑤四边形HFEG是平行四边形，其中正确结论的序号是．三.解答题13．如图，在口ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：（1）△BEG≌△DFH；（2）四边形GEHF是平行四边形．14.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为边AB、BC的中点，点F在边AC的延长线上，∠FEC=∠B，求证：四边形CDEF是平行四边形．页1515.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】解：如图，连接PQ、QR、PR，分别过P、Q、R三点作直线l∥QR、m∥PR、n∥PQ，分别交于点D、E、F，∵DP∥QR，DQ∥PR，∴四边形PDQR为平行四边形，同理可知四边形PQRF、四边形PQER也为平行四边形，故D、E、F三点为满足条件的M点，故选C．页162.【答案】C；【解析】①②③能判定平行四边形.3.【答案】B；【解析】平行四边形对角相等.∠A与∠C为对角，∠B与∠D为对角.4.【答案】A；【解析】∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，∴AD=BC AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故选A．5.【答案】A；【解析】由a2+ab-ac-bc=0，可知（a+b）（a-c）=0，则a-c=0，即a=c；由b2+bc-bd-cd=0，可知（b+c）（b-d）=0；则b-d=0，即b=d．（其中a，b，c，d都是正数，a+b、b+c一定不等于0）由a=c；b=d知四边形ABCD的两组对边分别相等，则四边形ABCD是平行四边形．故选A．6.【答案】D；【解析】图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；延长AD和BF交于C，如图2，∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，同理EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD，DE=CF，即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；延长AG和BK交于C，如图3，与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；即甲=乙=丙，故选D．页17页 18二.填空题 7.【答案】BE=DF ；【解析】添加的条件是BE=DF ，理由是：连接AC 交BD 于O ， ∵平行四边形ABCD ， ∴OA=OC ，OB=OD ， ∵BE=DF ， ∴OE=OF ，∴四边形AECF 是平行四边形． 故答案为：BE=DF ．8.【答案】18；【解析】图中平行四边形有：AEOG ，AEFD ，ABHG ，GOFD ，GHCD ，EBHO ，EBCF ，OHCF ，ABCD ，EHFG ，AEHO ，AOFG ，EODG ，BHFO ，HCOE ，OHFD ，OCFG ，BOGE ．共18个．故答案为：18． 9.【答案】3；【解析】解：设t 秒时四边形ADFE 是平行四边形；理由：当四边形ADFE是平行四边形，则AE=DF，即t=9﹣2t，解得：t=3，故3秒时四边形ADFE是平行四边形．故答案为：3．10．【答案】8；【解析】过E点作EG∥PD，过D点作DH∥PF，∵PD∥AC，PE∥AD，∴PD∥GE，PE∥DG，∴四边形DGEP为平行四边形，∴EG=DP，PE=GD，又∵△ABC是等边三角形，EG∥AC，△BEG为等边三角形，∴EG=PD=GB，同理可证：DH=PF=AD，∴PD+PE+PF=BG+GD+AD=AB=8．．11．【答案】平行四边形；12.【答案】①，②，③，⑤；【解析】解：平行四边形ABCD中，∴AD=BC，故①正确；∵平行四边形ABCD，∴DC∥AB，DC=AB，OD=OB，∴∠CDB=∠DBA，∵E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴DG=BE=AB，DH=BF=OD，∴②△DHG≌△BFE，故②正确；∵HO=DH，DH=BF，∴BF=HO，故③正确；平行四边形ABCD，OA=OC，OB=OD，故④错误；E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴HG∥OC，HG=OC，EF∥OA，EF=OA，∴HG∥EF，HG=EF，HEFG是平行四边形，故⑤正确；故答案为：①，②，③，⑤．三.解答题页1913.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥DC，∴∠ABE=∠CDF，∵AG=CH，∴BG=DH，在△BEG和△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（SAS）；（2）∵△BEG≌△DFH（SAS），∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，∴∠GEF=∠HFB，∴GE∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形．14.【解析】证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为边AB、BC的中点，∴DE∥AC，CD=AB=AD=BD，∴∠B=∠DCE，∵∠FEC=∠B，∴∠FEC=∠DCE，∴DC∥EF，∴四边形CDEF是平行四边形．15.【解析】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，页20∴AC∥DE．又∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形．∴DE＝AC＝2在Rt△CDE中，由勾股定理∵D是BC的中点，∴BC＝2CD＝在Rt△ABC中，由勾股定理．∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC＝4∴四边形ACEB的周长＝AC＋CE＋BE＋BA＝10＋.【课后作业】一.选择题1．如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（）A．（3，-1） B．（-1，-1） C．（1，1） D．（-2，-1）2．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个．A.1B.2C.3D.无数CD==AB==页21页 223．A ，B ，C ，D 在同一平面内，从①AB ∥CD ，②AB=CD ，③BC ∥AD ，④BC=AD 这四个中任选两个作为条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（ ） A ．6种 B ．5种 C ．4种 D ．3种4. 如图，在▱ABCD 中，EF ∥AD ，HN ∥AB ，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD ）的个数共有（ ）A ．9个B ．8个C ．6个D ．4个5. 如图，在ABCD 中， 对角线AC 、BD 相交于点O. E 、F 是对角线AC 上的两个不同点，当E 、F 两点满足下列条件时，四边形DEBF 不一定是平行四边形( ).A. AE ＝CFB.DE ＝BFC. D.6．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°，①四边形ACED 是平行四边形； ②△BCE 是等腰三角形； ③四边形ACEB 的周长是10+2； ④四边形ACEB 的面积是16． 则以上结论正确的是（ ）CBF ADE ∠=∠CFB AED ∠=∠A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④二.填空题7.已知四边形ABCD的对角线相交于O，给出下列5个条件①AB∥CD ②AD∥BC③AB=CD ④∠BAD=∠DCB，从以上4个条件中任选2个条件为一组，能推出四边形ABCD为平行四边形的有____________组．8.在▱ABCD中，对角线相交于点O，给出下列条件：①AB=CD，AD=BC，②AD=AB，AD∥BC，③AB∥CD，AD∥BC，④AO=CO，BO=DO其中能够判定ABCD是平行四边形的有____________.9.如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出______个平行四边形．10.如图，已知AB=CD，AD=CB，则∠ABC+∠BAD=___________度．11.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，若要使四边形是平行四边形，则需要添加的一个条件是．（只写出一种情况即可）12．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为．页23三.解答题13. 在ABCD中，对角线BD、AC相交于点O，BE＝DF，过点O作线段GH交AD于点G，交BC于点H，顺次连接EH、HF、FG、GE，求证：四边形EHFG是平行四边形.14.如图，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE=DF，∠E=∠F，OB=OC．（1）求证：△ACE≌△DBF；（2）如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，连接BE和CG．求证：四边形BGCE是平行四边形．15. 如图所示，已知△ABC是等边三角形，D、F两点分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF．页24(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；(2)若BF＝EF，求证：AE＝AD．【答案与解析】一.选择题1．【答案】D；【解析】A、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（3，-1）时，∴BO=AC1=2，∵A，C1，两点纵坐标相等，∴BO∥AC1，∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确；B、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（-1，-1）时，∴BO=AC2=2，∵A，C2，两点纵坐标相等，∴BO∥AC2，∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确；C、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，页25页 26当第四个点为（1，1）时， ∴BO=AC 1=2，∵A ，C 1，两点纵坐标相等， ∴C 3O=BC 3=， 同理可得出AO=AB=，进而得出C 3O=BC 3=AO=AB ，∠OAB=90°， ∴四边形OABC 3是正方形；故此选项正确；D 、∵以O （0，0）、A （1，-1）、B （2，0）为顶点，构造平行四边形， 当第四个点为（-1，-1）时，四边形OC 2AB 是平行四边形；∴当第四个点为（-2，-1）时，四边形OC 2AB 不可能是平行四边形； 故此选项错误．故选：D ．2．【答案】C ；【解析】分别以AB ，BC ，AC 为对角线作平行四边形. 3．【答案】C ；【解析】根据平行四边形的判定，可以有四种：①与②，③与④，①与③，②与④都能判定四边形是平行四边形，故选C ．4.【答案】B ；【解析】设EF 与NH 交于点O ，∵在▱ABCD 中，EF ∥AD ，HN ∥AB ，∴AD ∥EF ∥BC ，AB ∥NH ∥CD ，则图中的四边AEOH 、DHOF 、BEON 、CFON 、AEFD 、BEFC 、AHNB 、DHNC 和ABCD 都是平行四边形，共9个． 故选B ．5.【答案】B ； 22页 27【解析】C 选项和D 选项均可证明△ADE ≌△CBF ，从而得到AE ＝CF ，EO ＝FO ，BO ＝DO ，所以可证四边形DEBF 是平行四边形.6.【答案】A ；【解析】解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴∠ACD=∠CDE=90°， ∴AC∥DE， ∵CE∥AD，∴四边形ACED 是平行四边形，故①正确； ②∵D 是BC 的中点，DE⊥BC， ∴EC=EB，∴△BCE 是等腰三角形，故②正确； ③∵AC=2，∠ADC=30°， ∴AD=4，CD=2，∵四边形ACED 是平行四边形， ∴CE=AD=4， ∵CE=EB，∴EB=4，DB=2， ∴CB=4，∴AB==2，∴四边形ACEB 的周长是10+2故③正确； ④四边形ACEB 的面积：×2×4+×4×2=8，故④错误，故选：A ．二.填空题 7.【答案】4;【解析】①和②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD 为平行四边形；①和③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD 为平行四边形；①和④，②和④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有四组．故答案为：4．8.【答案】①③④；【解析】∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴①正确；∵AD=BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴②正确；∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴③正确；∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴④正确；即其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有①②③④，故答案为：①②③④．9.【答案】15;【解析】两个全等的等边三角形，以一边为对角线构成的四边形是平行四边形，这样的两个平行四边形又可组成较大的平行四边形，从该图案中可以找出15个平行四边形．故答案为：15．10.【答案】180°；【解析】依题意得ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°．11.【答案】AD=BC；【解析】∵AD=BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：AD=BC．12．【答案】6；【解析】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴BC2=AB2+AC2，∴∠BAC=90°，页28页 29∵△ABD，△ACE 都是等边三角形， ∴∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAE=150°．∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形， ∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°， ∴∠DBF=∠ABC． 在△ABC 与△DBF 中，∴△ABC≌△DBF（SAS ）， ∴AC=DF=AE=4，同理可证△ABC≌△EFC， ∴AB=EF=AD=3，∴四边形DAEF 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． ∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，∴S 口AEFD =AD•（DF ×）=3×（4×）=6． 即四边形AEFD 的面积是6． 故答案为：6．二.解答题 13.【解析】 证明：在ABCD 中AD ∥BC ，AO ＝CO ，BO ＝DO∴∠GAO ＝∠HCO 在△AGO 和△CHO 中∴△AGO ≌△CHO∴GO ＝HO 又∵BO ＝DO ，BE ＝DF GAO HCO AO CO GOA HOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴EO＝FO∴四边形EHFG为平行四边形.14.【解析】证明：（1）如图1，∵OB=OC，∴∠ACE=∠DBF，在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（AAS）；（2）如图2，∵∠ACE=∠DBF，∠DBG=∠DBF，∴∠ACE=∠DBG，∴CE∥BG，∵CE=BF，BG=BF，∴CE=BG，∴四边形BGCE是平行四边形．15.【解析】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°．页30又∵∠EFB＝60°，∴ EF∥BC，即EF∥DC．又∵ DC＝EF，∴四边形EFCD是平行四边形．(2)如图，连接BE．∵ BF＝EF，∠EFB＝60°，∴△EFB是等边三角形，∴ BE＝BF＝EF，∠EBF＝60°，∴ DC＝EF＝BE．∵△ABC是等边三角形，∴ AC＝AB，∠ACD＝60°．在△ABE和△ACD中，∵ AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，∴△ABE≌△ACD，∴ AE＝AD．页31。
平行四边形所有判定定理
平行四边形所有判定定理1. 什么是平行四边形嘿，大家好！今天咱们要聊的就是平行四边形。
你可能在数学课上听过这个名词，但今天我想用一种轻松幽默的方式来给你讲解。
平行四边形就像个爱穿相同衣服的双胞胎，总是有一对对边平行，另一对边也绝对不会落后。
这可不是随便说说的，平行四边形在生活中到处可见，像是桌子、书本，甚至是你那张已经发黄的老照片，都是平行四边形的“忠实粉丝”。
你有没有想过，平行四边形的神奇之处在哪里呢？让我们一起深入探讨吧！2. 平行四边形的判定定理2.1 对边平行首先，咱们来聊聊平行四边形的第一个判定定理，那就是对边平行。
这就像一对好朋友，总是形影不离，绝对不让对方走丢。
只要你看到一个四边形的对边是平行的，恭喜你，这绝对是个平行四边形。
想象一下，如果你在街上看到两个兄弟穿着一模一样的T恤，他们的身高也差不多，那你肯定会觉得这俩是亲兄弟吧？这就是平行四边形的感觉！2.2 对边相等接下来，平行四边形的第二个判定定理是对边相等。
你是不是觉得这就像是一场赛跑，两个运动员在同一条跑道上，谁也不想输，最后竟然跑出了相同的成绩！在平行四边形里，两个对边的长度完全一样，像是量了一百遍的饺子皮，总是那么标准。
只要你发现了这一点，那就放心大胆地说，“这就是平行四边形！”3. 内角相等3.1 内角相等的魅力再来聊聊平行四边形的第三个定理，那就是内角相等。
这就像一场家庭聚会，每个人的性格都有点不同，但大家坐在一起的时候，总能找到共同的话题，气氛特别融洽。
在平行四边形里，两个内角是相等的，感觉就像是给你送上了一杯热腾腾的奶茶，暖心又舒适。
你只要看到其中一组对角相等，其他的角自然也就会跟着“排排坐，吃果果”了。
3.2 斜角互补当然，咱们还有个小秘密，那就是平行四边形的斜角互补。
想象一下，两个好友总是一起玩耍，互相补充，形成了一个完美的搭档关系。
在平行四边形中，一个角和其对角的和是180度，就像是两个好伙伴互相帮助，形成了和谐的“配合”。
《平行四边形性质与判定的应用：中位线定理》
三角形中位线定理的探索及其判定一、说教材三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
(地位与关系)三角形中位线定理的探索及其判定，属于平行四边形性质定理与判定定理的应用，因而，在教材中这部分知识被安排在平行四边形性质与判定之后。
但从研究方法的角度而言，三角形中位线定理的研究较平行四边形的性质与判定有很大的不同。
后者，我们主要是利用三角形及其全等来研究平行四边形，而前者，则主要是利用我们学习的平行四边形去研究三角形中的有关问题。
(作用)三角形中位线定理涉及到了线段的位置关系，也涉及到了数量关系，特别是倍长关系，由于这些特殊性，使得其应用极其广泛。
同时，中位线定理证明过程中所涉及到的思考问题的方法对于相关类型的题目的解答具有启发意义。
二、教材的设计思想教材中关于三角形中位线定理的叙述大致思路如下：首先，给出三角形中位线的定义，辨别出中位线与中线之间的区别；其次，引导学生，提出猜想，讨论中位线与底边的位置关系与数量关系；最后，引导学生，证明猜想，得出中位线定理。
三、教学目的以及重难点教学目的：掌握三角形中位线定理及其应用。
难点：理解中位线定理的证明过程四、教学过程①回顾知识，引出问题师：前几节课，我们学习了平行四边形的性质定理与判定定理，大家还记得当时我们的结论是如何得出来的，比如说平行四边形的性质：对角线相互平分，这是如何得到的？生：通过证三角形全等得到的。
师：还比如说：我们知道两组对边相互平行的四边形是平行四边形，这是根据平行四边形的定义得到的判定定理。
而还有一些判定定理：如对角线相互平分的四边形是平行四边形，这个判定定理是如何得出的，大家还记得吗？生：记得，通过证三角形全等，得到内错角相等，然后得到对应边相互平行，得出是平行四边形。
师：那么，我们就会发现，关于平行四边形的性质定理、判定定理的得出，都是利用三角形的性质，特别是三角形全等。
也就是说，我们是利用三角形及其性质来研究平行四边形的性质。
初中数学《平行四边形的的性质和判定》单元教学设计以及思维导图
平行四边形的的性质和判定适用年八年级级所需时六课时间主题单元学习概述《初中数学八年级下》第五章平行四边形是人们日常生活和生产实践中应用广泛的一种图形，本单元是在学生已经学习了三角形相关知识、平行四边形的定义的基础上进行学习的，在教学内容中起着承上启下的作用，“承上”：定理的证明是三角形全等知识、平行线知识的再应用；“启下”：平行四边形的性质和判定定理以及探究的模式为进一步学习特殊四边形奠定了基础。
本单元包括两个专题：专题一：平行四边形的性质；专题二：平行四边形的判定。
平行四边形的性质定理和判定定理是两个互逆的定理，定理的证明方法都用到了三角形全等的知识。
通过合作探究，测量、计算、对折剪开、旋转、平移、推理等探索定理证明的不同思路和方法，运用定理解决较简单的问题；归纳、总结解决四边形问题的常用数学方法；进行适当的比较和讨论，渗透化归思想和数学建模思想，从而形成知识体系。
主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识与技能：知识与技能：1.通过合作探究，认识平行四边形的性质定理和判定定理。
2.理解平行四边形的性质定理和判定定理，并学会简单运用。
过程与方法：过程与方法：1.通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等学习活动，进一步增强动手能力、合情推理能力。
2.在运用平行四边形的性质和判定方法解决问题的过程中，培养和发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力。
情感态度与价值观：情感态度与价值观：通过对平行四边形性质和判定方法的探究和运用，感受数学思考过程中的合理性、数学证明的严谨性，认识事物的相互联系、相互转化，学会用辨证的观点分析事物。
对应课标《初中数学新课程标准》1.有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
2. 教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
数学教案-平行四边形的判定
数学教案－平行四边形的判定数学教案－平行四边形的判定（精选3篇）数学教案－平行四边形的判定篇1教学建议1.重点平行四边形的判定定理重点分析平行四边形的判定方法涉及平行四边形元素的各方面，同时它又与平行四边形的性质联系，判定一个四边形是否为平行四边形是利用平行四边形性质解决其他问题的基础，所以平行四边形的判定定理是本节的重点.2.难点灵活运用判定定理证明平行四边形难点分析平行四边形的判定方法较多，综合性较强，能灵活的运用判定定理证明平行四边形，是本节的难点.3.关于平行四边形判定的教法建议本节研究平行四边形的判定方法，重点是四个判定定理，这也是本章的重点之一.1.教科书首先指出，用定义可以判定平行四边形.然后从平行四边形的性质定理的逆命题出发，来探索平行四边形的判定定理.因此在开始的教学引入中，要充分调动学生的情感因素，尽可能利用形式多样的多媒体课件，激发学生兴趣，使学生能很快参与进来.2.素质教育的主旨是发挥学生的主体因素，让学生自主获取知识.本章重点中前三个判定定理的顺序与它的性质定理相对应，因此在讲授新课时，建议采用实验式教学模式或探索式教学模式：在证明每个判定定理时，由学生自己去判断命题成立与否，并根据过去所学知识去验证自己的结论，比较各种方法的优劣，这样使每个学生都积极参与到教学中，自己去实验，去探索，去思考，去发现，在动手动脑中得到的结论会更深刻――同时也要注意保护学生的参与积极性.3.平行四边形的判定方法较多，综合性较强，能灵活的运用判定定理证明平行四边形，是本节的难点.因此在例题讲解时，建议采用启发式教学模式，根据题目中具体条件结合图形引导学生根据分析法解题程序从条件或结论出发，由学生自己去思考，去分析，充分发挥学生的主体作用，对学生灵活掌握熟练应用各种判定定理会有帮助.教学设计示例1[教学目标] 通过本节课教学,使学生训练掌握平行四边形的各条判定定理,并能灵活地运用平行四边形的性质定理和判定定理及以前学过的知识进行有关证明,培养学生的逻辑思维能力。
初中八年级数学教案-平行四边形判定定理的简单应用-“衡水杯”一等奖
《平行四边形判定定理的简单应用》教学设计邯郸市育华中学曹海霞一、教材分析：本节课是新人教版八年级下册第十八章《平行四边形》，第一节《平行四边形》的第三课时：平行四边形判定定理的简单应用。
这是一节习题课，是继学生学习了平行四边形的判定定理之后的应用提升课。
它在学生学习了平行四边形的性质和判定定理之后来探究，表明本节重在提高学生的综合推理能力及知识迁移能力。
在解题过程中体会知识之间的联系，渗透初中数学中分类讨论思想、方程思想及数形结合思想也是本节的一项内容。
二、教学目标：知识与技能：1、通过小组活动，熟练掌握平行四边形判定定理的内容。
2、理解平行四边形形的判定方法，并学会运用适当的定理解决问题。
过程与方法：1、通过观察、实验、推理、证明、交流等教学活动，进一步培养学生的动手能力、合情推理能力。
2、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力，提高学生解决问题的能力。
情感、态度与价值观：通过平行四边形判定方法的应用，使学生感受数学思考过程中的逻辑性、数学证明的严谨性，认识事物的相互联系、相互转化，学会用辩证的观点分析事物。
三、重点难点重点平行四边形判定方法的运用以及平行四边形的性质和判定的结合运用。
难点利用坐标求解平行四边形的存在性问题。
四、学情分析：经过近两年的初中学习，学生推理意识与能力有所加强。
在知识储备上，学生已经学习了平行四边形的性质，平行四边形的判定定理。
五、教学过程：一、动手发现，合作交流。
1、小组合作（多媒体展示问题）：你能用：（1）两块全等的三角形纸板；（2）两根等长的小棒；（3）两条不等长的毛线；（4）一支粉笔，这4组物品，结合你对平行四边形判定的认识，构造出平行四边形吗说说你的方法和依据。
开动脑筋，尝试一下吧！AECBHGA FE D C HGAFE C B 设计意图：借助道具构造平行四边形，一方面让学生复习回顾了平行四边形的五个判定方法，初步尝试应用知识解决实际问题的过程，另一方面激发学生学习及探究的兴趣，调动学习积极性。
平行四边形的判定说课稿（通用8篇）
平行四边形的判定说课稿平行四边形的判定说课稿（通用8篇）作为一名老师，通常需要用到说课稿来辅助教学，说课稿有助于顺利而有效地开展教学活动。
快来参考说课稿是怎么写的吧！下面是小编整理的平行四边形的判定说课稿范文，仅供参考，欢迎大家阅读。
平行四边形的判定说课稿篇1一、说教材本节课是平行四边形的判定的第一课时，其探究的主要内容是“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，以及“对角线互相平行的四边形是平行四边形”这两种判定方法。
它是在学习了三角形的相关知识、平行四边形的定义、性质的基础上进行学习的，在教学内容上起着承上启下的作用。
二、说学情八年级的学生已经学习了初中阶段包括全等三角形的相关知识、平行四边形的性质在内的绝大多数几何概念及定理。
学生的抽象思维能力、逻辑推理能力有了很大的提高，学生对于新鲜的知识也充满着好奇心和强烈的求知欲望，而平行四边形的判定条件中，又有许多颇有思考价值的问题。
因此，由教师组织教学，让学生自主探索平行四边形的判定定理不仅成为可能，又可以作为初中几何知识综合能力的一次检验、一次再提升！三、教学目标【知识技能目标】1、运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的第三个判定方法。
2、理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用。
【过程与方法目标】1、通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动，进一步培养学生的动手能力、合情推理能力。
2、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。
【情感态度与价值观目标】1、使学生学会将平行四边形的问题转化为三角形的问题，渗透化归意识。
2、通过对平行四边形两个判定方法的探究，提高学生解决问题的能力。
3、通过对平行四边形两个判定方法的探究和运用，使学生感受数学思考过程中的合理性、数学证明的严谨性，认识事物的相互联系、相互转化，学会用辨证的观点分析事物。
四、教学重点、难点【重点】平行四边形判定方法的探究、运用以及平行四边形的性质和判定的综合运用。
平行四边形性质和判定定理的实际应用
北师大版·八年级数学下册第六章·平行四边形性质和判定定理复习平行四边形性质和判定定理的实际应用教学设计郑州市第七十一中学金琼《平行四边形性质和判定定理的实际应用》教学设计郑州市第七十一中学金琼一、教材分析：《平行四边形》是北师大版八年级数学下册第六章的内容。
学生在七年级下册学习了《相交线与平行线》、《三角形》，八年级上册学习了《平行线的证明》，下册第一章学习了《三角形的证明》，这些平面几何的学习都是采用分为“两阶段”——探索阶段和证明阶段的处理方式；本章是初中阶段第一章采取“合二为一”——边探索边证明的处理方式，把合情推理和演绎推理融为一体。
本章通过实例引入平行四边形的概念，逐步探索并证明平行四边形的有关性质定理和判定定理，让学生经历“探索——发现——猜想——证明”的完整过程，加深对合情推理和演绎推理各自的意义、作用的认识，发展学生的推理论证能力.二、学情分析：1、学生的已有基础：知识基础：学生通过之前学习平行线的判定和性质，三角形全等的证明，及本章平行四边形的性质和判定方法，具备探索和证明本节课有关平行四边形实际情景问题的知识基础；且通过七、八年级对“图形与几何”有关知识的学习，学生已初步掌握综合法证明的格式，具备一定数学表达能力.经验基础：经过七、八年级的学习，学生已经初步经历过“探索——发现——猜想——证明”的知识探究过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验，并且能够通过小组合作完成知识的获取与分享，具备了一定的合作和交流能力.2、学生面临的问题：该年龄段的学生虽然学习积极性高，但数学活动的经验较少，把所学知识与实际生活相融合，用所学知识解决实际问题的能力欠佳.本节课学习要求学生对设计的方案和所得的结论用规范的数学语言进行说理，对学生还有一定的难度.三、目标制定：依据《课程标准》，根据教材内容和本班学生的实际情况，确定本节课的学习目标为：1.通过平行四边形验证环节，能熟练应用平行四边形判定定理解决简单的实际问题，并准确说明理由；2.通过方案设计一、二，能熟练应用平行四边形性质定理解决简单的实际问题，并准确说明理由；3.通过设计方案三及拓展应用，能综合应用平行四边形性质和判定定理，通过使用转化、归纳等方法来解决稍微复杂的实际问题.重点：用规范的数学语言对设计的方案和所得的结论说明理由.难点：用规范的数学语言对设计的方案和所得的结论说明理由.四、评价设计:针对本节课的三个学习目标，评价任务如下：评价任务一：学生能够运用平行四边形的判定定理设计方案，验证花槽是否是平行四边形，并说明自己设计方案的依据；能够归纳总结平行四边形的判定定理，建构知识框架；评价任务二：学生能够对方案设计一、二准确说理，能够归纳总结平行四边形的性质，完善知识框架；评价任务三：学生能够按要求对平行四边形花槽进行设计，能够独立思考并积极参与小组合作和课堂交流，并对所设计的方案能准确说理，写出证明过程，具备良好的数学表达能力和数学思考能力.五、教法、学法：新课程标准明确指出：学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者,因此本节课我采用的独立思考、小组交流、代表展示的教学法.教学中，我充分运用多媒体资源及实物教具、学具，在思考、操作、交流、展示等师生的共同活动中引导学生学习，使学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中，从而实现教与学的最优化，最终达成本节课的学习目标.六、课前准备：多媒体课件、几何画板演示动画、实际问题情景配音、平行四边形卡纸、线绳等.七、教学过程：学习环节学习目标学习活动学习评价设计目的环节一：平行四边形验证能熟练应用平行四边形的判定定理解决简单的实际问题，并准确说明理由；活动一：（目标一）学校想美化校园，购置了几个四边形花槽，准备在里面种植花草.佳悦和换换负责确定花槽是否是平行四边形，但佳悦手里只有一把量角器，换换只有一根足够长的绳子.她们可以选择独立完成任务，也可以选择合作进行.请你选择一种合适的方法帮她们确定花槽（如示意图四边形ABCD）是否是平行四边形.学习要求：（时间3分钟）1.自主完成；2.代表发言.建构知识框架：关注学生描述验证方法的语言表达能力，是否能准确说出验证方法的依据.关注学生是否能准确的说出平行四边形的判定定理及定理的证明依据.通过在实际情景中验证四边形是否是平行四边形，回顾应用平行四边形的判定定理，让学生体会数学知识与实际生活的联系。
八年级数学下册《平行四边形判定定理的简单应用》优秀教学案例
（四）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学的内容，总结平行四边形的判定定理。
-提问：“本节课我们学习了哪些平行四边形的判定定理？”
-学生回答，教师总结。
2.强调判定定理在实际问题中的应用，激发学生将数学知识应用于生活的意识。
-提问：“在生活中，我们可以如何运用这些判定定理？”
-引导学生发现图案中的平行四边形元素。
3.导入新课：“今天我们将学习如何判断一个四边形是平行四边形，并了解它的性质和应用。”
（二）讲授新知
1.介绍平行四边形的定义，回顾相关的基本性质。
-平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。
-基本性质：对边平行、对角相等、对角线互相平分等。
2.逐一讲解平行四边形的判定定理。
-定理1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
-定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
-定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
-定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
-定理5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
3.结合实例，引导学生运用判定定理判断平行四边形。
-出示例题，讲解解题思路和步骤。
2.通过学习，使学生感受到数学的严谨性和逻辑性，提高学生的审美观念。
3.培养学生勇于面对困难，敢于挑战的精神，树立克服困难的决心。
4.引导学生关注社会、关注生活，将所学知识与社会实际相结合，培养学生的社会责任感。
5.培养学生尊重他人、合作共享的价值观，形成积极向上、乐观进取的人生态度。
三、教学策略
（一）情景创设
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用校园环境或生活中的实例，如篮球场、操场等，引导学生观察并发现其中的平行四边形。
平行四边形的性质及应用
平行四边形的性质及应用一、平行四边形的定义平行四边形是四边形的一种，具有以下性质：1.两组对边分别平行且相等；2.对角相等；3.对边相等；4.对角线互相平分；5.相邻角互补，即和为180度；6.对边角相等，即对边上的角相等。
二、平行四边形的判定1.如果一个四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形；2.如果一个四边形的对角相等，则这个四边形是平行四边形；3.如果一个四边形的对边相等，则这个四边形是平行四边形；4.如果一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；5.如果一个四边形的相邻角互补，则这个四边形是平行四边形；6.如果一个四边形的对边角相等，则这个四边形是平行四边形。
7.性质应用：求解平行四边形的边长、角度等；8.性质应用：证明四边形是平行四边形；9.性质应用：计算平行四边形的面积；10.性质应用：证明平行四边形的对角线互相平分；11.性质应用：证明平行四边形的对角相等；12.性质应用：证明平行四边形的对边角相等。
四、平行四边形的实际应用1.建筑设计：在建筑设计中，平行四边形的性质可以用于计算建筑物的面积、确定建筑物的结构稳定性等；2.交通工程：在交通工程中，平行四边形的性质可以用于设计道路标志、信号灯等；3.几何作图：平行四边形的性质可以用于进行几何作图，如绘制平行线、计算角度等。
平行四边形是中学数学中的重要知识点，掌握其性质和应用对于中学生来说非常重要。
通过学习平行四边形的定义、判定和性质，学生可以更好地理解和解决与平行四边形相关的问题。
同时，平行四边形的实际应用也使得这个知识点更具实用价值。
习题及方法：1.习题：已知平行四边形ABCD中，AB || CD，AD || BC，AB = CD，AD= BC，求证ABCD是平行四边形。
根据平行四边形的定义，我们需要证明ABCD的两组对边分别平行且相等。
已知AB || CD，AD || BC，且AB = CD，AD = BC，因此两组对边分别平行且相等，所以ABCD是平行四边形。
平行四边形的判定定理(3)
章节小组：姓名：平行四边形的判定定理（3）1、理解三角形中位线的概念，掌握它的性质；2、能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3、理解两条平行线的距离的概念、并熟练运用。
探究：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？1、动手操作（1）剪一个三角形记为△ABC；（2）分别取AB、AC的中点D、E，连接DE；（3）沿DE将△ABC剪成两部分，将△ADE绕点E旋转180°，得四边形BCFD，如图1。
2、观察思考：图中四边形BCFD是平行四边形吗？为什么？我们能够得出什么结论。
3、结合课本P88例4及以上结论，归纳：（1）连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线．（2）三角形中位线定理：．〖个性导学〗1、新课导入。
AAFEDEDCB B C图11．如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（）．A．15m B．25m C．30m D．20m2．如图,在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（）．A．10 B．20 C．30 D．403已知三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．4．如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=12BD．5.已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．【我的问题】相信自己，检查下自己学的怎么样。
自主预习课本89页的内容，完成下列题目：1.两条平行线之间的距离的概念：两条平行线中,一条直线上的点到另一条直线的叫做两条平行线之间的距离.2.平行线之间的距离的性质：两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离. 自主探究：1、如图1，点A与点B之间的距离是的长度。
平行四边形的性质和判定教案
平行四边形的性质和判定教案教学目标知识技能目标1．运用投影的方法，通过学生的合作探究，得出结论平行四边形的认定方法．2．理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用．过程与方法目标1．经历平行四边行判别条的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识．2 ．在运用平行四边形的认定方法解决问题的过程中，进一步培育和发展学生的逻辑思维能力和推理小说论证的表达能力．情感态度价值观目标通过平行四边形辨别条的积极探索，培育学生直面挑战，敢于克服困难的意志，引导学生大胆尝试，从中获得成功的体验，唤起学生的自学热情．教学重点：教学难点：对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用．教学过程第一环节复习引入：（ 3分钟，教师明确提出问题1，2，由学生独立思考，并口答得出结论定义正反两方面的促进作用，出来平行四边形的其他几条性质．）问题1（多媒体展示问题）1．平行四边形的定义就是什么？它存有什么促进作用？2．平行四边形还有哪些性质？问题2有一块平行四边形的玻璃块，假如不小心碰碎了一部分，聪明的技师拿着细绳很快将原的平行四边形画了出，你知道他用的是什么方法吗？第二环节积极探索活动（12分钟，学生动手探究，小组合作）活动1：工具:两根长度成正比的笔,两条平行线(可利用横格线）.动手:恳请利用两根长度成正比的笔和两条平行线,摆以笔顶端为顶点的平行四边形吗?思考1.1：你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？思索1.2：以上活动事实,能够用字语言表达吗？目的：得出结论平行四边形的一个性质：一组对边平行且成正比的四边形就是平行四边形.活动2工具:两根相同长度的细纸条.动手:能否用这两根细纸条在平面上思索2.1：你能够表明你们摆的四边形就是平行四边形吗？思考2.2：以上活动事实,能用字语言表达吗？目的：得出平行四边形的性质：对角线互相平分的四边形是平行四边形第三环节稳固练（20分钟，学生思索探讨再各自画图，图画不好后互相交流画法，教师巡回检查．对个别学生稍加指点）随堂练习：1．未知：在平行四边形abcd 中，点e、f在对角线ac上，并且ｏe=ｏf．(１)oa与oc，ob与od相等吗？(２)四边形bfde就是平行四边形吗？(３)若点ｅ，f在ｏａ，ｏｃ的中点上，你能解决上述问题吗？2．再返回前问题：同学们想想看，是不是办法把原的平行四边形再次图画出来？（让学生思考讨论，再各自画图，画好后互相交流画法，教师巡回检查．对个别学生稍加点拨，最后请学生回答画图方法）学生想起的画法存有：(1)分别过a，c作bc，ba的平行线，两平行线相交于d；(2）分别以a，c为圆心，以bc， ba的短为半径画弧，两弧平行于d，相连接ad，cd；(3)这一种方法学生不易想到，即为平行四边形对角线的特性，引导学生得出连线ac，取ac的中点o，再连接bo，并延长bo到d，使bo=do，连接ad，cd．第四环节小结：（4分钟，学生提问问题）师生共同小结，主要围绕下列几个问题：（1）认定一个四边形就是平行四边形的方法存有哪几种？这些方法从什么角度回去考量的？（2）我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的，这样的探索过程对你有什么启发？（3）投影、观测、积木、实验等都就是自学数学、辨认出结论的常用方法．第五环节布置作业：b、c组与（中等生和后三分之一生）本页习题4.3第1题、第2题a组（优等生）：① 对于随堂练习题，若将g，h分别在ob ，od上移动至与b，d重合，e，f分别在oa，oc上移动，使ae=cf（如图），则结论还成立吗？② 对于随堂练习题，若e，f继续移动至oa，oc的延长线上，仍并使ae=cf（例如图），则结论还设立吗？一教学目标：1．在积极探索平行四边形的辨别条件中，认知并掌控用边、对角线去认定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培育用投影、逆向M18x及运动的思维方法去研究问题．二重点、难点2．难点：平行四边形的认定定理与性质定理的有效率应用领域．3．难点的突破方法：平行四边形的辨别方法就是本节课的核心内容．同时它又就是后面进一步研究矩形、菱形、正方形辨别的基础，更是发展学生合情推理小说及用笔的较好素材．本节课的教学重点为平行四边形的辨别方法．在本课中，可以积极探索活动为载体，并将论证做为积极探索活动的自然沿袭与必要发展，从而将直观操作方式与直观推理小说有机融合，达至突出重点、集中难点的目的．（1）平行四边形的判定方法1、2都是平行四边形性质的逆命题，它们的证明都可利用定义或前一个方法来证明．（2）平行四边形存有四种认定方法，与性质相似，可以从边、对角线两方面展开记忆．必须特别注意：①本教材没有把用角来作为判定的方法，教学中可以根据学生的情况作为补充；②本节课只了解前两个认定方法．（3）教学中，我们可创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，如通过欣赏图片及识别图片中的平行四边形，使学生建立对平行四边形的直觉认识．并复习平行四边形的定义，建立新旧知识间的相互联系．接着提出问题：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？从而组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握“平行四边形的判别”的方法．然后利用学生手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、悖论、检验、积极探索形成平行四边形的条件．在学生拼图的活动中，教师可以以问题串的形式展开对平行四边形判别方法的探讨，让学生在问题解决中，实现对平行四边形各种判别方法的掌握，并发展了学生说理及简单推理的能力．（4）从本节已经开始，就应当使学生轻易运用平行四边形的性质和认定回去解决问题，凡是可以用平行四边形科学知识证明的问题，不要再返回用三角形全系列等证明．必须对学生明确提出这个建议．（5）平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如，求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．（6）平行四边形的概念、性质、认定都就是非常关键的基础知识，这些科学知识就是本章的重点内容，必须并使学生熟练地掌控这些科学知识．三例题的意图分析本节课精心安排了3个例题，基准1就是教材p96的基准3，它就是平行四边形的性质与认定的综合运用，此题最出色先使学生讲出证明的思路，然后老师总结并表示其最佳方法．基准2与基准3都就是补足的题目，其目的就是使学生能够有效率和综合地运用平行四边形的认定方法和性质去解决问题．基准3就是一道积木题，教学时，可以使学生动起来，边积木边表明道理，即为可以提升学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提升学生的自学兴趣．例如使学生再用四个不等边三角形比拼一个例如图的大三角形，使学生表示图中所有的平行四边形，并表明理由．四课堂引入1．观赏图片、明确提出问题．展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2．【探究】：小明的父亲手中存有一些木条，他想要通过适度的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能够帮忙他编出一些办法去吗？让学生利用手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能够适度挑选手中的硬纸板条构建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能够讲出你的作法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的'一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能够找到其他方法吗？从探究中得到：平行四边形认定方法1 两组对边分别成正比的四边形就是平行四边形。
平行四边形定义性质以及判定定理
性质（1）假如一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分离相等.（简述为“平行四边形的两组对边分离相等”[2]）（2）假如一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对角分离相等.（简述为“平行四边形的两组对角分离相等”[2]）（3）假如一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的邻角互补.（简述为“平行四边形的邻角互补”）（4）夹在两条平行线间的平行的高相等.（简述为“平行线间的高距离处处相等”）（5）假如一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两条对角线互相等分.（简述为“平行四边形的对角线互相等分”[2]）（6）衔接随意率性四边形各边的中点所得图形是平行四边形.（推论）（7）平行四边形的面积等于底和高的积.（可视为矩形.）（8）过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形.（9）平行四边形是中间对称图形,对称中间是两对角线的交点.（10）平行四边形不是轴对称图形,但平行四边形是中间对称图形.矩形和菱形是轴对称图形.注：正方形,矩形以及菱形也是一种特别的平行四边形,三者具有平行四边形的性质.（11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点,则AC和DE互相三等分,一般地,若E为AB上接近A的n等分点,则AC和DE互相(n+1)等分.（12）平行四边形ABCD中,AC.BD是平行四边形ABCD的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和.（13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份.（14）平行四边形中,两条在不合对边上的高所构成的夹角,较小的角等于平行四边形中较小的角,较大的角等于平行四边形中较大的角.（15）平行四边形的面积等于相邻双方与其夹角正弦的乘积平行四边形的剖断办法（共6种）1.两组对边分离平行的四边形是平行四边形（界说剖断法）;2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;3.对角线互相等分的四边形是平行四边形;4.两组对角分离相等的四边形是平行四边形;5.所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形;6.两组对边分离相等的四边形是平行四边形.帮助线作法一.衔接对角线或平移对角线.二.过极点尴尬刁难边的垂线构成直角三角形.三.衔接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构成线段平行或中位线.四.衔接极点与对边上一点的线段或延伸这条线段,结构类似三角形或等积三角形.五.过极点尴尬刁难角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.平行四边形的界说：在统一平面内有两组对边分离平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的界说.性质：（1）平行四边形对边平行且相等.（2）平行四边形两条对角线互相等分.（菱形和正方形）（3）平行四边形的对角相等,两邻角互补（4）衔接随意率性四边形各边的中点所得图形是平行四边形.(推论）（5）平行四边形的面积等于底和高的积.（可视为矩形）（6）平行四边形是扭转对称图形,扭转中间是两条对角线的交点.（7）过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形.（8）平行四边形是中间对称图形,对称中间是两对角线的交点.（9）一般的平行四边形不是轴对称图形,菱形是轴对称图形.（10）平行四边形ABCD中,AC.BD是平行四边形ABCD的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和（可用余弦定理证实）.（11）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分.剖断：（1）两组对边分离相等的四边形是平行四边形; （2）对角线互相等分的四边形是平行四边形; （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; （4）两组对边分离平行的四边形是平行四边形; （5）两组对角分离相等的四边形是平行四边形; （6）一组对边平行一组对角线互相等分的四边形是平行四边形; （7）一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形;。
判定平行四边形的五种方法
判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F 在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF 是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，图1AB C DEF并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判图3别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件.解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例 4 如图4，在平行四边形ABCD中，∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF∥EC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF是平行四边形.AB CDEF图41 32理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB=∠BCD ，所以AF ∥EC.又因为∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ，所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3， 所以∠1=∠3，所以AE ∥CF.所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
平行四边形的判定定理(基础)知识讲解
平行四边形的判定定理（基础）【学习目标】1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF 都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形AECF为平行四边形，∴AF∥CE．∵四边形DEBF为平行四边形，∴BE∥DF．∴四边形EGFH为平行四边形．【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．举一反三：【变式】（2015•厦门校级一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．（【答案】证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠F，∵CE=CF，∴∠F=∠3，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．2、（2016青海）如图，在ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．【思路点拨】△1）根据全等三角形的判定方法，判断出ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF是平行四边形即可．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（△1），可得ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．3、（2015•张掖校级模拟）已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．求证：四边形PBQD是平行四边形．【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明．【答案与解析】证明：连接BD交AC与O点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，又∵AP=CQ，∴AP+AO=CQ+CO，即PO=QO，∴四边形PBQD是平行四边形．【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．试说明：D是BC的中点.【答案】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，∵ ⎨∠AEF ＝∠DEB , ⎪ AE ＝DE , （ ∴AE=DE ，在△AEF 和△DEB 中，⎧∠AFE ＝∠DBE , ⎪ ⎩∴△AEF ≌△DEB （AAS ），∴AF=BD ，∵AF=DC ，∴BD=DC ，∴D 是 BC 的中点.类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4、如图，在平行四边形 ABCD 中，E 、F 是对角线 AC 上的点，且 AE=CF ．（1）猜想探究：BE 与 DF 之间的关系： ________________.（2）请证明你的猜想．【思路点拨】 1）BE 平行且等于 DF ；（2）连接 BD 交 AC 于 O ，根据平行四边形的性质得出 OA=OC ，OD=OB ，推出 OE=OF ，得出平 行四边形 BEDF 即可．【答案与解析】（1）解：BE 和 DF 的关系是：BE=DF ，BE ∥DF ，故答案为：平行且相等．（2）证明：连接 BD 交 AC 于 O ，∵ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，∵AE=CF ，∴OE=OF ，∴BFDE 是平行四边形，∴BE=DF ，BE ∥DF ．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能否熟练地运用平行四边形的性 质和判定进行推理是你解决本题的关键，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问 题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．举一反三：变式：如图，在ABCD 中，E 、F 分别在 AD 、BC 边上，且 AE=CF ．请你猜想 BE 与 DF 的关 系，并说明理由．（【答案】解：猜想 BE 与 DF 的关系是 BE=DF ，BE ∥DF ，理由是：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∵AE=CF ，∴AD-AE=BC-CF ，即 DE=BF ，∵DE ∥BF ，∴四边形 BFDE 是平行四边形，∴BE=DF ，BE ∥DF ．5、如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 P ，过点 P 作直线交 AD 于点 E ，交 BC 于点 F ．若 PE=PF ，且 AP+AE=CP+CF ．（1）求证：PA=PC ．（2）若 AD=12，AB=15，∠D AB=60°，求四边形 ABCD 的面积．【思路点拨】 1）首先在 PA 和 PC 的延长线上分别取点 M 、N ，使 AM=AE ，CN=CF ，可得 PN=PM ， 则易证四边形 EMFN 是平行四边形，则可得 ME=FN ，∠EMA=∠CNF ，即可证得△EAM ≌△FCN ， 则可得 PA=PC ；（2）由 PA=PC ，EP=PF ，可证得四边形 AFCE 为平行四边形，易得△PED ≌△PFB ，则可得四 边形 ABCD 为平行四边形，由 AB=15，AD=12，∠DAB=60°，即可求得四边形 ABCD 的面积．【答案与解析】（1）证明：在 PA 和 PC 的延长线上分别取点 M 、N ，使 AM=AE ，CN=CF ．∵AP+AE=CP+CF ，∴PN=PM ．∵PE=PF ，∴四边形 EMFN 是平行四边形．∴ME=FN ，∠EMA=∠CNF ．又∵∠AME=∠AEM ，∠CNF=∠CFN ，∴△EAM ≌△FCN ．∴AM=CN ．∵PM=PN ，∴PA=PC ．（2）解：∵PA=PC ，EP=PF ，∴四边形 AFCE 为平行四边形．∴AE ∥CF ．∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，∴△PED≌△PFB．∴DP=PB．由（1）知PA=PC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，∴四边形ABCD的面积为903．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．。
18.1.3平行四边形判定的简单应用
1、在四边形ABCD中， AB∥CD；AD∥BC，AC与BD相 交于点O ，且AC=12，则 AO=____
2，新月广场风光秀丽，花木葱茏，广场上有一个形 状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、 蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB//EF//DC， BC//GH//AD，那么下列说法中错误的是（ ）
理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
思考： 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
例1： 已知：如图，E、F是平行四边形 ABCD 的 对角线 AC 上的两点，AE=CF．
求证：四边形DEBF是平行四边形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC 且 AD=BC O
∴∠DAE=∠BCF
例1和 思考中都可以用“对角线互相平分的四边形 是平行四边形”来判定四边形DEBF是平行四边形 （连接对角线）
O
O
（AE=CF）
（DE//BF）
比较这些方法哪一种更简单？你有什么启示？
（应用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明最简单， 当一题多解时，要注意方法的灵活性和简便性，当题目条件集 中指向对角线上时，应用对角线的有关判定定理证明更简便）
∵AE=CF
∴△ADE≌△CBF(SAS) ∴DE=BF 同理 DF=BE
思考还有其他方法吗
∴四边形DEBF是平行四边形
例1： 已知：如图，E、F是平行四边形 ABCD 的 对角线 AC 上的两点，AE=CF．
求证：四边形DEBF是平行四边形
O 思考：
若将题目条件AE=CF改为DE//BF,其余条件不变，四边形 DEBF还是平行四边形吗？请说明理由。
文文字字语语言言
图图形形
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18.1.2 平行四边形判定
第1课时 平行四边形的判定（1）
三塔中心学校 范新璐
学习目标
情境引入
1.平行四边形判定方法的探究.（重点） 2.平行四边形判定方法的理解和灵活应用.（难点）
导入新课
学习了平行四边形之后，小明回家用细木棒钉制了 一个平行四边形.第二天，小明拿着自己动手做的平行四 边形向同学们展示.
小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形 呢?
大家都困惑了……
平行四边形的判定定理1
小强提议说：我们可以度量它的边， A 如果它的两组对边分别相等，那么它 就是一个平行四边形.
B
讲授新课
D C
你能根据平行 四边形的定义 证明它们吗？
已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
当堂练习
1. 根据下列条件，不能判定一个四边形为平行四边形的 是（ C ）
A. 两组对边分别相等 C
B . 两条对角线互相平分 分析 D C . 两条对角线相等
D . 两组对边分别平行
A
B
2.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：∠A:∠B:∠C:∠D 的值为（ D ）
A. 1:2:3:4 B. 1:4:2:3 C. 1:2:2:1 D. 3:2:3:2
B
∴△AOB≌△COD(SAS)
D C
∴ ∠BAO=∠OCD ,
判定定理3：
∠ ABO=∠CDO.
对角线互相平分的四
∴AB∥ CD , AD∥ BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
边形是平行四边形
归纳小结
平行四边形判定定理
判定 文字语言
两组对边分别 定理1 相等的四边形
是平行四边形
两组对角分别 定理2 相等的四边形
发现它们被记号的点分成的两段都能重合，小丽高兴地说：
“这的确是个平行四边形！”
A
D
你能用平行四边形的定义进行证明吗?
B
C
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边 形ABCD是平行四边形.
A
证明： 在△AOB和△COD中,
OA=OC (已知)
O
∠AOB=∠COD (对顶角相等)
OB=OD (已知)
证明： 连结AC， 在△ABC和△CDA中, AB=CD (已知)
A
D
2 1
4 3
AC=CA (公共边)
B
C
BC=DA(已知) ∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3
∴AB∥ CD , AD∥ BC
∴四边形ABCD是平行四边形 。
判定定理1： 两组对边分别相等的 四边形是平行四边形.
3. 如图所示，△ABC是等边三角形，P是其内任意一点，
PD//AB,PE//BC,PF//AC,若△ABC的周长为24，则 A
PD+PE+PF= 8
.
F
P
E
BD
C
定义法
课堂小结
判定 方法
判定理理1 判定定理2
判定定理3
平行四边 形的判定 （１）
思 选
①已知一组对边平行，可以证 另一组对边平行，即定义法.
（1）若AB//CD，补充条件 AD//BC ，使四边形ABCD为 平行四边形；
（2）若AB=CD，补充条件 AD=BC ，使四边形ABCD为
平行四边形；
（3）若对角线AC、BD交于点O，OA=OC=3，OB=5，
补充条件
OD=5
，使四边形ABCD为平行四边形.
A
D
解题方法：紧扣平行四边形的判
定方法补上缺失条件. B
是平行四边形
对角线互相平 定理3 分的四边形是
平行四边形
图形语言
符号语言
A
B A
B A O
B
D ∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是
C
ABCD
∵ ∠ A= ∠ C,
D ∠ B= ∠ D,
∴四边形ABCD是
C
ABCD
D C
∵AO=CO,BO=DO, ∴四边形ABCD是
ABCD
典例精析
例1 填空：如图在四边形ABCD中
∴ AD∥BC 同理得 AB∥ CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
C
判定定理2： 两组对角分别相等的 四边形是平行四边形
平行四边形的判定定理3
小丽却说：“我可以不用任何作图工具，只要两条细绳就
能判断它是不是平行四边形.”
只见小丽用两条细绳做四边形的对角线，并在两条对角线
的交点处作了个记号.然后分别把两条对角线沿记号点对折，
平行四边形的判定定理2
小伟提议说：我们可以度量它的角
A
，如果它的两组对角分别相等，那
么它就是一个平行四边形. B
D C
你能根据平行 四边形的定义 证明它们吗？
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
D
证明：
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360° 又∵∠A=∠C，∠B=∠D ∴2∠A+2∠B=360° 即∠A+∠B=180°
②已知一组对边相等，可以证另 一组对边相等，构成判定定理1.
路 择 ③已知一组对角相等，再证另一
组对角相等，构成判定定理2.
④已知有一条对角线被平分，再证另一 条对角线被平分，构成判定定理3.
课后作业
一、家庭作业：1、练习册P37-38页。 2、课本P47也练习部分。
二、课堂作业：课本P49页习题18.1第1、 3、4题。
O C
（4）如图， □ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC
上的两点，补充条件： AE=CF ,使得四边形BFDE是平行四
边形.
A
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AO=CO,BO=DO.
E OF
∵AE=CF ，
B
C
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
ห้องสมุดไป่ตู้
又 BO=DO. ∴四边形BFDE是平行四边形.
想想还有
其他证法吗？
想一想：判定一个四边形是平行边形可以从哪些角度思考?具 体有哪些方法?
两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法） 从边考虑
两组对边分别相等的四边形是平行四边形（判定定理1）
从角考虑 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（判定定理2）
从对角线考虑 对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）