第12讲空间中的夹角和距离

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第12讲角及余角、补角、对顶角(9大考点)(解析版)

第12讲角及余角、补角、对顶角（9大考点）考点考向一、角的相关概念1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边．角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形．如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角.2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）．1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°．3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种：(1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置．(2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆．(3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α．4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）．5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的160为1分，记作“1′”，即l°＝60′.1′的160为1秒，记作“1″”，即1″＝60″．二、角的比较1）角的比较方法(1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．(2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF 等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF 大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF 小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC.提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”.2）角的和、差由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1．3）角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图4-4-9所示，射线OC 是∠BOA 的平分线，则∠BOC ＝∠COA ＝21∠BOA ,∠BOA ＝2∠BOC ＝2∠COA . 4）方向的表示○1方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。

空间向量的夹角与距离求解公式-高中数学知识点讲解

空间向量的夹角与距离求解公式1．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式→→设空间向量푎=（a1，a2，a3），푏=（b1，b2，b3），→→cos＜푎，푏＞=→→푎⋅푏→→|푎|⋅|푏|=푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3푎12+푎22+푎32⋅푏12+푏22+푏32注意：→→→→（1）当 cos＜푎，푏＞= 1时，푎与푏同向；→→→→（2）当 cos＜푎，푏＞=― 1时，푎与푏反向；→→→→（3）当 cos＜푎，푏＞= 0时，푎⊥푏．2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则→퐴퐵=(푥2―푥1，푦2―푦1，푧2―푧1)→d A，B＝|퐴퐵| =→퐴퐵⋅→퐴퐵=(푥2―푥1)2+(푦2―푦1)2+(푧2―푧1)2．【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写出向量坐标→利用公式求夹角2．求空间两点的距离建系→写出点的坐标→利用公式求距离．【命题方向】（1）利用公式求空间向量的夹角→→例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量퐴퐵与퐴퐶的夹角为（）1/ 3A.30°B.45°C.60°D.90°→→→分析：由题意可得：퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，进而得到퐴퐵⋅→→→→→퐴퐶与|퐴퐵|，|퐴퐶|，再由cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→可得答案．|퐴퐵||퐴퐶|解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以→→퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，→所以퐴퐵⋅→→→퐴퐶═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|퐴퐵|＝3 2，|퐴퐶| = 2，→→所以 cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→|퐴퐵||퐴퐶|=332×2=12，→→∴퐴퐶的夹角为 60°퐴퐵与故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．（2）利用公式求空间两点的距离例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B 两点间的距离是（）A.3B. 29C.25D.5分析：求出AB 对应的向量，然后求出AB 的距离即可．解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），→→所以퐴퐵=（﹣3，0，﹣4），所以|퐴퐵|=(―3)2+02+(―4)2= 5．故选D．点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．2/ 33/ 3。

20学而思教材讲义高二数学秋季秋季第12讲空间向量与立体几何综合教师版

当前形势空间向量与立体几何在近五年北京卷（理）考查14分高考要求内容要求层次具体要求A B C证明平行与垂直√运用向量的数量积证明直线与直线的平行与垂直直线的方向向量√灵活掌握共线向量性质平面的法向量√利用向量的数量积来计算平面的法向量线、面位置关系√运用空间向量的性质判断线面之间的平行与垂直线线、线面、面面的夹角√运用空间向量的数量积计算线线角线面角面面角北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第16题14分第16题14分第16题14分第16题14分第17题14分新课标剖析满分晋级第12讲空间向量与立体几何综合立体几何9级点面距离与动点问题立体几何10级空间向量与立体几何综合立体几何11级折叠问题与最值问题考点1：空间向量的运算1．向量的加法、减法与数乘向量运算与平面向量类似； 2．空间向量的基本定理：共线向量定理：对空间两个向量a ，b （0b ≠），a b ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =．共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+．空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一一个有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++．表达式xa yb zc ++，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合．上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ，，，其中a b c ，，都叫做基向量．由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．四点共面定理：设点P 满足等式：OP xOA yOB zOC =++，其中x y z ∈R ，，，则P A B C ，，，四点共面的充要条件是1x y z ++=．<教师备案>四点共面定理的证明．充分性即证：若1x y z ++=，则P A B C ，，，四点共面，必要性即证：若P A B C ，，，四点共面，则有1x y z ++=．先证充分性：∵1x y z ++=， ∴1z x y =--，∴(1)OP xOA yOB x y OC =++--()()x OA OC y OB OC OC =-+-+xCA yCB OC =++．即CP xCA yCB =+，由共面向量定理知P A B C ，，，四点共面．再证必要性：设x y z k ++=，由条件OP xOA yOB zOC =++，得：()OP xOA yOB k x y OC =++--()()x OA OC y OB OC kOC =-+-+()()(1)x OA OC y OB OC OC k OC =-+-++-，∴()()(1)OP OC x OA OC y OB OC k OC -=-+-+-，即(1)CP xCA yCB k OC =++-，∵P A B C ，，，四点共面，而点O 为空间任意一点， ∴只能1k =，即1x y z ++=．综上知，命题成立．知识点睛12.1空间向量的概念与运算3．两个向量的夹角：已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b 〈〉，．通常规定0πa b 〈〉≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉，，．如果90a b 〈〉=︒，，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 4．两个向量的数量积：已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：cos a b a b a b ⋅=〈〉，空间两个向量的数量积具有如下性质： ⑴ 0ab a b ⇔⋅=；⑵ 2a a a =⋅；⑶ ab a b ⋅≤．空间两个向量的数量积满足如下运算律：⑴ ()()a b a b λλ⋅=⋅；⑵ a b b a ⋅=⋅；⑶ ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．<教师备案>空间向量的运算法则与平面向量大致一样，只不过是从二维平面转到三维空间．空间向量主要是用来解决立体几何问题．空间向量在暑期没有预习课程，只有这一讲同步讲义．提高班学案1【铺1】 ⑴ 给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；②若空间向量a ，b ，满足a b =，则a b =； ③在正方体1111ABCD A B C D -中，必有11AC A C =；④若空间向量m ，n ，p 满足m n =，n p =，则m p =； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 ⑵ 如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD的交点，若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的是（） A ．111222a b c -++ B ．111222a b c ++C ．1122a b c -+D ．1122a b c -++⑶ 设1e ，2e 是空间两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-，且A B D ，，三点共线，则k =＿＿． ⑷ 若ABC △中，90C ∠=︒，()123A k -，，，()210B -，，，()402C k -，，，则k =＿＿．【解析】 ⑴ C当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①错；根据向量相等的定义，不仅模相等，而且方向相同，故②经典精讲c b a MD 1C 1B 1A 1DCBA错；根据正方体1111ABCD A B C D -中，向量AC 与11A C 的方向相同，模也相等，应有11AC A C =，故③正确；命题④显然正确；空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． ⑵ D∵()12AM AB AD =+，∴()12AM a b =+，又∵11B A a =-，1A A c =，1111B M B A A A AM =++，∴()1111222B M a c a b a b c =-+++=-++．⑶ 8-∵123CB e e =+，122CD e e =-，∴()()121212234BD CD CB e e e e e e =-=--+=-，∵A B D ，，三点共线，∴AB xBD =，∴()121212244e ke x e e xe xe +=-=-，∵1e ，2e 是不共线向量，∴24xk x =⎧⎨=-⎩，∴8k =-． ⑷ 10±()612CB k =-，，，()32CA k =--，，，则()()()263222200CB CA k k k ⋅=-⨯-++⨯-=-+=，∴10k =±．【例1】 ⑴已知A B C ，，三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点 A B C ，，一定共面的是（）A ．OM OA OB OC =++ Ｂ．2OM OA OB OC =--Ｃ．1123OM OA OB OC =++ Ｄ．111333OM OA OB OC =++⑵设a b ⊥，π3a c =，，π6b c =，，且1a =，2b =，3c =，则a b c ++=（）A ．1763+ Ｂ．1743+ Ｃ．63Ｄ．932⑶若()213a x =，，，()129b y =-，，，如果a 与b 为共线向量，则（） A ．11x y ==，Ｂ．1122x y ==-，Ｃ．1362x y ==-，Ｄ．1362x y =-=，⑷已知空间三点()111A ，，，()104B -，，，()223C -，，，则向量AB 与CA 的夹角θ的大小是_______．【解析】 ⑴ D由向量四点共面的充要条件，只有D 选项中OA OB OC ，，系数和为1，所以选D ⑵ A∵2222ππ2221496cos 12cos 176336a b c a b c a b a c b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++++=+∴1763a b c ++=+；⑶ C∵()213a x =，，与()129b y =-，，共线，故有213129x y ==-，∴1362x y ==-，．⑷ 120︒()213AB =--，，，()132CA =--，，，()()()()2113321cos 21414AB CA -⨯-+-⨯+⨯-==-⋅，，∴120AB CA θ==︒，．【例2】 ⑴如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别在1B B 和1D D 上，且113BE BB =，123DF DD =，①证明1A E C F ，，，四点共面；②若1EF xAB y AD z AA =++，求x y z ++． F E ABC DA 1B 1C 1D 1⑵已知空间四边形OABC 中，AOB BOC AOC ∠=∠=∠，且OA OB OC ==，M N ，分别是OA BC ，的中点，G 是MN 的中点，求证：OG BC ⊥．【解析】 ⑴①∵11111233AC AB AD AA AB AD AA AA =++=+++111233AB AA AD AA ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AB BE AD DF =+++AE AF =+，∴1A E C F ，，，四点共面 ②()EF AF AE AD DF AB BE =-=+-+112133AD DD AB BB =+--113AB AD AA =-++，∴1113x y z =-==，，，∴13x y z ++=．⑵ 如图，连接ON ，设AOB BOC AOC θ∠=∠=∠=，OA a =，OB b =，OC c =，则a b c ==，又()12OG OM ON =+()111222OA OB OC ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()14a b c =++，BC c b =-，所以()()14OG BC a b c c b ⋅=++⋅- ()2214a c ab bc b c b c =⋅-⋅+⋅-+-⋅()22221cos cos 04a a a a θθ=--+=，所以OG BC ⊥．12.2平行垂直问题GN MO CBA考点2：用空间向量证明平行垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的概念； 2．线、面平行与垂直：（设直线12l l ，的方向向量分别为12v v ，，平面αβ，的法向量分别为12n n ，） ⑴线线的平行关系：1l ∥2l （或1l 与2l 重合）1v ⇔∥2v ；线面的平行关系：1l ∥α或1l α⊂⇔存在实数x y ，，使1v xm yn =+110v n ⇔⋅=（其中m n ，为平面α内的两个不共线的向量）面面的平行关系：α∥β（α，β重合）⇔1n ∥2n ； ⑵线线垂直：12l l 12120v v v v ⇔⇔⋅=；⑶线面垂直：1l α⊥11v n ⇔∥；⑷面面垂直：12120n n n n αβ⇔⇔⋅=；<教师备案>上面的证明线、面平行或垂直的结论不是绝对的，有其它的等价条件，需要灵活运用．一般来讲，证明平行或垂直用纯粹的立体几何更简便，涉及到稍微复杂的求角度时，适合用空间向量无脑算．提高班学案2【铺1】如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PC AD ⊥．底面ABCD 为梯形，AB DC ∥，AB BC ⊥．PA AB BC ==，点E 在棱PB 上，且2PE EB =．求证：PD ∥平面EAC ．EDCBAP【解析】证法一：以A 为原点、AB 、AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA AB BC a ===，则(000)A ，，，(00)B a ，，，(0)C a a ，，，(00)P a ，，，2033a a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，．设(0)D a y ，，，则()PC a a a =-，，，(0)AD a y =，，， ∵PC AD ⊥，∴20PC AD a ay ⋅=+=，解得y a =-；则有(0)D a a -，，，()PD a a a =--，，，经典精讲知识点睛z yPEB A2033a a EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，33a a EC a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，；∵2PD EA EC =+，PD ⊄平面EAC ，∴PD ∥平面EAC ．（或者求出平面EAC 的法向量(112)n =-，，得出PD 与n 垂直也可证明结论）证法二：AB BC =，AB BC ⊥，∴ABC △是等腰直角三角形；PA ⊥平面ABCD ⇒PA AD ⊥，又AD PC ⊥，∴AD ⊥平面PAC ；∴AD AC ⊥．又AB DC ∥，∴DAC △也是等腰直角三角形； ∴22DC AC AB ==．连接BD ，交AC 于点M ，则2DM DC MB AB==．在BPD △中，2PE DMEB MB==，∴PD EM ∥．又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC ．【例3】如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，45PDA ∠=︒，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．⑴求证：AF ∥平面PCE ；⑵求证：平面PCE ⊥平面PCD ；【追问】PC 上是否存在一点H ，使得AC ⊥面EFH ？【解析】以A 为坐标原点，建立如图所示的坐标系A xyz -．⑴ ()002P ，，，()020D ，，，()200B ，，，()220C ，，，则()011F ，，，()100E ，，，于是，()011AF =，，，()102EP =-，，，()120EC =，，因为()12AF EP EC =+，所以AF 与EP EC ，共面．又AF ⊄面ECP ，所以AF ∥平面PCE ．⑵ 因为()022PD =-，，，所以0AF PD ⋅=，即AF PD ⊥；又()200DC =，，，所以0AF DC ⋅=，即AF DC ⊥．于是AF ⊥面PCD ，由⑴AF ∥平面PCE ，则面PCE ⊥面PCD ．【追问】设22H x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，则()220AC =，，，()111EF =-，，，212EH x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，易知0AC EF ⋅=，由()121202AC EH x x x ⋅=-+=⇒=．于是点112222H ⎛ ⎝⎭，，满足AC ⊥面EFH ． MPEBA DP FEDBAHz yx P FE DCBAMz yxPED CB A 【点评】证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面PCE 内找一向量与AF 共线；二是说明AF能用平面PCE 内的两不共线向量线性表示，三是证明AF 与平面的法向量垂直．证明面面垂直，也可以转化证明它们的法向量垂直，或者其中一个面的法向量平行于另一个面．尖子班学案1【拓2】如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE △是等腰直角三角形，AB AE =，FA FE =，45AEF ∠=︒． ⑴求证：EF ⊥平面BCE ；⑵设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得∥PM 平面BCE ？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；PFEDCBA【解析】 ⑴ ∵ABE △为等腰直角三角形，AB AE =，∴AE AB ⊥．又∵面ABEF ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABEF ，平面ABEF 平面ABCD AB =，∴AE ⊥平面ABCD ．∴AE AD ⊥．因此，AD ，AB ，AE 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．设1AB =，则1AE =，(010)B ，，，(100)D ，，，(001)E ，，，(110)C ，，．∵FA FE =，45AEF ∠=︒，∴90AFE ∠=︒．从而，11022F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，．∴11022EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，(011)BE =-，，，(100)BC =，，．110022EF BE ⋅=+-=，0EF BC ⋅=．∴EF BE ⊥，EF BC ⊥．∵BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BC BE B =，∴EF ⊥平面BCE ．⑵ 存在点M ，当M 为AE 中点时，PM ∥平面BCE ．设(00)M m ，，，1102P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，．从而112，，PM m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由11111002222，，，，PM EF m m ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即M 为AE 中点时，PM FE ⊥，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内，故PM ∥平面BCE ．目标班学案1【拓3】如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点． ⑴ 求证：AC SD ⊥；⑵ 若SD ⊥平面PAC ，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ．若存在，求:SE EC 的值；若不存在，试说明理由．【解析】 ⑴ 连BD ，设AC 交BD 于O ，连接SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，OB ，OC ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图．设底面边长为a ，则高()222622SO aa a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭．于是600S a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，200D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，200C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，， 200OC a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，260SD a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 0OC SD ⋅=，故OC SD ⊥．从而AC SD ⊥．⑵ 在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC ．由题设知，260DS a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，是平面PAC 的一个法向量，设CE tCS =，则由260CS a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，200B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，220BC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，可得： ()2261BE BC CE BC tCS a a t at ⎛⎫=+=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，．而22661003BE DS a a a at t ⎛⎫⋅=⇔⨯-+⨯=⇔= ⎪ ⎪⎝⎭．即当21SE EC =∶∶时，BE DS ⊥．而BE 不在平面PAC 内，故BE ∥平面PAC ．考点3：用空间向量求异面直线所成角和点面距离12.3角度与距离问题OPC BA Sx y z EPDBA S1．设直线12l l ，的方向向量分别为12v v ，，则12l l ，所成角θ满足：121212cos cos v v v v v v θ⋅=〈〉=，，π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 2．空间中的点面距离⑴体积法⑵空间向量法：定点A 到平面α的距离，可设平面α的法向量为n ，面α内一点B ，则点A 到平面α的距离为AB n n⋅<教师备案>空间两条直线所成角的范围是π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，异面直线所成角的范围是π02⎛⎤⎥⎝⎦，，而两个向量之间的夹角范围是[]0π，，这些是求空间中两条直线所成角时需要注意的地方．尖子班学案2【铺2】如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长与侧面棱长都是2，M 是PC 的中点．⑴ 求异面直线AD 和BM 所成角的大小． ⑵ 求异面直线AM 和PD 所成角的余弦值．【解析】 ⑴ 解法一：∵AD BC ∥，∴AD 和BM 所成的角就是BC 和BM 所成的角； ∵PBC △是正三角形，∴30MBC ∠=︒； ∴AD 和BM 所成的角为30︒．解法二：设P 在底面的射影为O ，由于P ABCD -为正四棱锥，所以O 为底面正方形的中心；以O 点为原点，DA 方向为x 轴正方向，DC 方向为y 轴正方向，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -；由于四棱锥侧面都是边长为2的正三角形， ∴斜高3PH =，2PO =；∴(110)A -，，，(110)B ，，，(110)C -，，，(110)D --，，，()002P ，，；∴11222M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(200)AD =-，，，31222BM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，； ∴3cos 23AD BM AD BM AD BM⋅===⋅，；经典精讲知识点睛Oz yxMPD BAH AB CDPM1第12讲·提高-尖子-目标·教师版∴向量AD 与向量BM 所成的角为30︒，即直线AD 和BM 所成的角为30︒． ⑵ 由⑴解法二得()112PD =---，，，33222AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，；∴5cos AM PD AM PD AM PD⋅==-⋅，；而直线AM 和PD 所成角只能在0︒至90︒之间，∴直线AM 和PD 所成角的余弦值为5．【例4】如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，π4ABC ∠=，OA ⊥底面ABCD ，2OA =，M 为OA 的中点，N 为BC的中点．⑴ 证明：直线MN ∥平面OCD ；⑵ 求异面直线AB 与MD 所成角的大小； ⑶ 求点B 到平面OCD 的距离．【解析】作AP CD ⊥于点P ，如图，分别以AB 、AP 、AO 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．()000A ，，，()100B ，，，220D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，()002O ，，，()001M ，，，200P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，2210C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，2210N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． ⑴ 2211MN ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，202OP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，222OD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，．设平面OCD 的法向量为()n x y z =，，，则00n OP n OD ⋅=⋅=，，即2202220z y z ⎧-=⎪⎨⎪-=⎪⎩，，取2z =解得(042n =，，．∵(22110420MN n ⎛⎫⋅=--⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，，，， ∴MN ∥平面OCD ． ⑵ 设AB 与MD 所成的角为θ，∵()221001AB MD ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，， ∴1cos 2AB MDAB MD θ⋅==⋅，∴π3θ=，即AB 与MD 所成角的大小为π3．PNM O D CB AxyzNM ODCBA24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版⑶ 设点B 到平面OCD 的距离为d ，则d 为OB 在平面OCD 的法向量(042n =，，上的投影的绝对值；由()102OB =-，，，得23OB n d n⋅==，所以点B 到平面OCD 的距离为23．目标班学案2【拓3】如图，已知棱锥S ABCD -的底面是边长为4的正方形，S 在底面的射影O 落在正方形ABCD内，且O 到AB 、AD 的距离分别是2、1．⑴ 求证：AB SC ⋅是定值；⑵ 已知P 是SC 的中点，且3SO =，问在棱SA 上是否存在一点Q ，使异面直线OP 与BQ 所成的角为90︒？若不存在，说明原因；若存在，则求AQ 的长．O SPCD 解析图xyzOD ABCPS【解析】 ⑴ 以点O 为坐标原点，OS 所在的直线为z 轴，过点O 且与AD 平行的直线为x 轴，过点O 且与AB 平行的直线为y 轴，建立如图的空间直角坐标系．设高OS h =，则由已知得()()()000210230O A B -，，，，，，，，，()()23000C S h -，，，，，，()()04023AB SC h ==--，，，，，，则()()0243012AB SC h ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，即AB SC ⋅是定值．⑵ 在棱SA 上任取一点()000Q x y z ，，，使01AQ AS λλ=，≤≤．由已知得()3333003112222S P OP ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，()213AS =-，，．由AQ AS λ=得()()00021213x y z λ-+=-，，，，，从而022x λ=-，01y λ=-，03z λ=，()00023BQ x y z =--，，．假设OP BQ ⊥，则0OP BQ ⋅=，即()()0003323022x y z --+-+=， ∴()()392400122λλλλ+-+=∈，，，∴34λ=．故在棱SA 上存在点119244Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，使OP BQ ⊥．1第12讲·提高-尖子-目标·教师版此时()22233321314444AQ AS ==-++=．考点4：用空间向量求线面角设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为n ，则l 与α所成角θ满足： sin cos v nv n v nθ⋅=〈〉=，（π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，）；<教师备案> 用空间向量求角度时很多都不是直接求的角度本身的三角函数值，而是相关联的其它值，需要注意根据角度的范围定出所求角度的具体值．【例5】如图，已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，60PDA ∠=︒． ⑴ 求DP 与1CC 所成角的大小； ⑵ 求DP 与平面11AA D D 所成角的大小．【解析】如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA =，，，1(001)CC =，，．连结BD ，11B D ．在平面11BB D D 中，延长DP 交11B D 于H ．设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA 〈〉=︒，，由cos DA DH DA DH DA DH ⋅=〈〉，可得2221m m =+．解得2m =，所以221DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，． ⑴ 因为1220011222cos 12DH CC ⨯+⨯+⨯〈〉==⨯，，所以145DH CC 〈〉=︒，．即DP 与1CC 所成的角为45︒．⑵ 平面11AA D D 的一个法向量是(010)DC =，，．因为220110122cos 212DH DC ⨯+⨯+⨯〈〉==⨯，，所以60DH DC 〈〉=︒，．可得DP 与平面11AA D D 所成的角为30︒．经典精讲知识点睛D 1C 1B 1A 1D C BAPP D 1C 1B 1A 1D CB AH x y z24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版尖子班学案3【拓2】如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，且CP m =，⑴试确定m ，使得直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为32 ⑵在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ？并证明你的结论．【解析】 ⑴ 建立如图所示的空间直角坐标系，则()100A ，，，()110B ，，， ()01P m ，，，()010C ，，，()000D ，，，()1111B ，，，()1001D ，，，所以()110BD =--，，，()1001BB =，，，()11AP m =-，，，()110AC =-，，，又由0AC BD ⋅=，10AC BB ⋅=知AC 为平面11BB D D 的一个法向量，设AP 与平面11BB D D 所成的角为θ，则2πsin cos 222AP AC AP AC mθθ⋅⎛⎫=-==⎪⎝⎭⨯⨯+， ()223222132m =⨯++，解得13m =，故当13m =时，直线AP 与平面11BDD B 所成的角的正切值为32⑵若在11A C 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，则()11Q x x -，，，()110D Q x x =-，，，依题意，对任意的m 要使1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ，等价于()1110102D Q AP AP D Q x x x ⊥⇔⋅=⇔-+-=⇔=，即Q 为11A C 的中点时，满足题设要求．目标班学案3【拓3】如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BB =，D 为AC 的中点，1AC ⊥平面1A BD ．⑴ 求证：11B C ⊥平面11ABB A ；⑵ 设E 是1CC 的中点，试求出1A E 与平面1A BD 所成角的正弦值．E A 1B 1C 1ABCD【解析】 ⑴ 连接1AB ，∵1AB B B =，∴四边形11ABB A 为正方形，∴11A B AB ⊥．yz Q PD 1C 1B 1A 1DCBAz EC 1B 1A 1AB C D A 1B 1C 1D 11第12讲·提高-尖子-目标·教师版又∵1AC ⊥面1A BD ，∴11AC A B ⊥，∴1A B ⊥面11AB C ， ∴111A B B C ⊥．又111BB B C ⊥，∴11B C ⊥平面11ABB A ． ⑵ 在矩形11ACC A 中，由11AC A D ⊥可知11~A AD ACC △△，则11112CC CC AC AA AD AC==，故12AC AA =，从而AB BC =．建立如图的空间直角坐标系，不妨设2AB =，则()200A ，，，()1202A ，，，()1022C ，，，()021E ，，，可得()1222AC =-，，，()1221A E =--，，．由题意可知1AC 即为平面1A BD 的一个法向量，设1A E 与平面1A BD 所成的角为θ，则1111113sin cos 233AC A E AC A E AC A Eθ⋅====⨯⨯，．考点5：用空间向量求二面角设平面αβ，的法向量分别为12n n ，，则αβ，所成的二面角θ满足：121212cos cos n n n n n n θ⋅=〈〉=，（θ为平面α，β所生成的二面角，[]0πθ∈，）<教师备案> 利用空间向量求二面角的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．【例6】如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB =，PA PB ⊥， AB BC ⊥，30BAC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ．⑴ 求证：PA ⊥平面PBC ；⑵ 求二面角P AC B --的余弦值；⑶ 求异面直线AB 和PC 所成角的余弦值．【追问】在线段PC 上有一点E ，PE PC λ=，求λ的值，使得二面角C AB E --的大小为60︒？【解析】在平面PAB 中作PO AB ⊥于点O ，∵平面PAB ⊥平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC ．过点O 作BC 的平行线，交AC 于点D ．经典精讲知识点睛PBA24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版如图，以O 为原点，直线OD OB OP ，，分别为x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设6PA PB ==．∵PA PB ⊥， ∴233AB PO BO AO ===． ∵30AB BC BAC ⊥∠=︒，， ∴tan302BC AB =⋅︒=．∴()000O ，，，()030A ，，()030B ，， ()230C ，，，(003P ，，，()100.D ，， ⑴ ∵(033PA =-，，()200BC =，，， ∴0PA BC ⋅=，∴PA BC ⊥．又∵PA PB ⊥， ∴PA ⊥平面PBC ．⑵ 由⑴知，(003OP =，，为平面ABC 的一个法向量，设()n x y z =，，为平面PAC 的一个法向量，∵()2230AC =，，则3302230n PA y z n AC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =得，31x z ==-，则()311n =--，，， ∴35cos 35n OP n OP n OP⋅-===⨯⨯，由图象知，二面角P AC B --为锐角，故二面角P AC B --5． ⑶ ∵()(0230233AB PC ==，，，，-，∴30cos AB PC AB PC AB PC⋅〈〉==，， ∴异面直线AB 和PC 30．【追问】由PE PC λ=，可得点((2313E λλλ-，，，平面ABC 的法向量为()003OP =，，可以算出平面ABE 的一个法向量为)()13102n λλ=--，，，于是11πcos 3OP n OP n ⋅=，解得13λ=（1-舍）．提高班学案3【拓1】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动．AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π4？PBOM DCxyz D 1C 1B 1A 11第12讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，则()1101A ，，，()1001D ，，，()10E x ，，，()100A ，，，()020C ，，．由题意可知1DD 为平面ECD 的一个法向量，设平面1D EC 的法向量为()n a b c =，，，∵()120CE x =-，，，()1021D C =-，，，()1001DD =，，， ∴()120020.0b c n D C a b x n CE ⎧-=⋅=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+-=⎪⋅=⎪⎩⎩，令1b =，得2c =，2a x =-， ∴()212n x =-，，．依题意()121π22cos425n DD n DD x ⋅===⋅-+ ∴123x =+，223x =-∴23AE =1D EC D --的大小为π4．【备选】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，13AC AA ==60ABC ∠=︒．⑴ 证明：1AB AC ⊥； ⑵ 求二面角1A ACB --的余弦值．【解析】方法一：⑴ ∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AB AA ⊥在ABC △中，1AB =，3AC ，60ABC ∠=︒，由正弦定理得30ACB ∠=︒， ∴90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥．∴AB ⊥平面11ACC A ，又1A C ⊂平面11ACC A ，∴1AB AC ⊥． ⑵ 如图，作1AD AC ⊥交1A C 于点D 点，连结BD ，由三垂线定理知1BD AC ⊥∴ADB ∠为二面角1A ACB --的平面角．在1Rt AAC △中，113366AA AC AD AC ⋅⋅== 在Rt BAD △中，6tan AB ADB AD ∠==∴15cos ADB ∠=，即二面角1A ACB --15．方法二：⑴∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA AB ⊥，1AA AC ⊥．在ABC △，1AB =，3AC =，60ABC ∠=︒，由正弦定理得30ACB ∠=︒，∴90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥．如图，建立空间直角坐标系，则(000)A ，，，(100)B ，，，()030C ，，(1003A ，，DCBA C 1B 1A 1CB AC 1B 1A 1AB C DA 1B 1C 1D 1Ez y x24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版∴(100)AB =，，，()1033AC =-，，∵()11003030AB AC ⋅=⨯+⨯+⨯-= ∴1AB AC ⊥． ⑵ 如图可取(100)m AB ==，，为平面1AAC 的法向量，设平面1A BC 的法向量为()n x y z =，，，则0BC n ⋅=，10A C n ⋅=，又()130BC =-，，，∴30330x y y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩∴3x y =，z y = 不妨取1y =，则()311n =，，()22222231101015cos 311100m n m n m n⋅⨯+⨯+⨯===⋅++⋅++，，结合图象知二面角1A ACB --为锐二面角， ∴二面角1A ACB --的余弦值为15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为B 点，且12AB AC A B ===． ⑴ 分别求出1AA 与底面ABC 、棱BC 所成的角；⑵ 在棱11B C 上确定一点P ，使14AP =并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值．【解析】 ⑴ 因1A 在底面ABC 上的射影恰为B 点，则1A B ⊥底面ABC ．所以1A AB ∠就是1AA 与底面ABC 所成的角．因112AB A B A B AB ==⊥，，故1π4A AB ∠=，即1AA 与底面ABC 所成的角是π4．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则()200C ，，，()020B ，，，()1022A ，，，()1042B ，，，()1222C ，，，()1022AA =，，，()11220BC B C ==-，，，则1111cos 288AA BC AA BC AA BC⋅===-⨯⋅，，故1AA 与棱BC 所成的角是π3．⑵ 设()111220B P B C λλλ==-，，，则()2422P λλ-，，．于是()2214424142AP λλλ=+-+=（32λ=舍去），则P 为棱11B C 的中点，其坐yzxC B AC 1B 1A 1Pyx A B CC 1B 1A 1A 1B 1C 1CBA1第12讲·提高-尖子-目标·教师版标为()132P ，，．设平面PAB 的法向量为()1n x y z =，，，则11032022000n AP x y z x z y y n AB ⎧⋅=++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⋅=⎩⎩⎪⎩，，，，不妨取1z =，得()1201n =-，，．而平面1ABA 的法向量为()2100n =，，，则121212225cos 55n n n n n n ⋅-===-⋅，，故二面角1P AB A --的平面角的余弦值是255．【演练1】⑴ 设空间四点O A B P ，，，满足OP mOA nOB =+，其中1m n +=，则（）A ．P AB ∈ B ．P AB ∉C ．点P 不一定在直线AB 上D ．以上都不对⑵ 已知a b ，是空间两个向量，若2a =，2b =，7a b -=，则cos a b =，＿【解析】 ⑴ A已知1m n +=，则1m n =-，()1OP n OA nOB OA nOA nOB =-+=-+()OP OA n OB OA ⇒-=-AP nAB ⇒=，0AB ≠∵，AP ∴和AB 共线，即点A P B ，，共线 ⑵18将7a b -=化为()27a b -=，求得12a b ⋅=，再由cos a b a b a b ⋅=，求得1cos 8a b =，【演练2】在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则异面直线CM 与1D N夹角的正弦值为（）A ．19B ．459C ．259D ．23 实战演练24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版NMA 1B 1C 1D 1AB CD解析图：zyxA 1B 1C 1D 1ABC DMN【解析】 B设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，可知()221CM =-，，，()1221D N =-，，， 1111cos 999CM D N CM D N CM D N⋅===-⨯⨯，，∴145sin CM D N =，【演练3】三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=︒，1A A ⊥平面ABC ，13A A =1122AB AC AC ===，D 为BC 中点．⑴ 证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； ⑵ 求二面角1A CC B --的余弦值．【解析】 ⑴ 如图，建立空间直角坐标系，则()()()000200020A B C ，，，，，，，，， ((11003013A C ，，，，，．∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为()110，，． ∴()()()1110003220AD AA BC ===-，，，，，，，，， ∵()1212000AD BC ⋅=⨯-+⨯+⨯=， ()10202300AA BC ⋅=⨯-+⨯+=．∴1BC AD BC AA ⊥⊥，，又1AA AD A =，∴BC ⊥平面1A AD ，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ． ⑵ ∵AB ⊥平面11ACC A ，如图，可取()200m AB ==，，为平面11ACC A 的法向量，设平面11BCC B 的法向量为()n x y z =，，，则0BC n ⋅=，10CC n ⋅=． ∵(1013CC =-，，，∴22030x y y z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，可取1y =，则311n ⎛= ⎝⎭，，． DABCA 1B 1C 1z yA 1B 1C 1ABDC1第12讲·提高-尖子-目标·教师版222222321010213cos 3200113m n ⨯+⨯+〈〉==⎛⎫++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭，． ∴二面角1A CC B --21．【演练4】如图，已知长方体1AC 中，112AB BC BB ===，，连接1B C ，过B 点作1B C 的垂线交1CC 于E ，交1B C 于F ．⑴ 求证：1AC ⊥平面EBD ； ⑵ 求点A 到平面11A B C 的距离；⑶ 求直线ED 与平面11A B C 所成角的正弦值．【解析】如图建立空间直角坐标系．∵1B BC BCE ∆∆∽，故2112BC CE BB ==； ⑴ ()()1000002A A ，，，，，， ()()()100010110B D C ，，，，，，，，，1112E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，∴()111112011022AC BE DE ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，， ∵()111011202AC BE ⋅=⨯+⨯+-⨯=， ()111110202AC DE ⋅=⨯+⨯+-⨯=． ∴1A C BE ⊥，1A C DE ⊥，即1AC BE ⊥，1AC DE ⊥， ∵BEDE E =，所以1A C ⊥平面EBD ．⑵ 设平面11A B C 的一个法向量为()m x y z =，，由11(100)A B =，，，1(012)B C =-，，，而1110A B m B C m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴02x y z =⎧⎨=⎩，令1z =，得()021m =，，；而()1002AA =，，， ∴所求的距离为12555AA m d m⋅===⑶ 由⑵知，()021m =，，；而1102ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，， ∴设ED 与m 所成角为θ，则1cos 5m ED m EDθ⋅==-⋅所以直线ED 与平面11A B C 所成角的正弦值为15．【演练5】如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，12AA =，棱1DD 上是否存在点P ，使平面1APC ⊥平面1ACC ，证明你的结论．A 1D 1B 1C 1A BCD E F F E D 1C 1B 1A 1D CBA x y z24 第12讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】如图建立空间直角坐标系，则()100A ，，，()120B ，，，()020C ，，，()1022C ，，，假设P 点存在，且DP a =，则∵平面1APC ⊥平面1ACC ，()00P a ，，，法一：∴在平面1ACC 中作1CH AC ⊥，垂足为H 1A H C ∵，，三点共线，∴()11CH CA CC λλ=+-()()()1201002λλ=-+-，，，， ()222λλλ=--，，，1CH AC ⊥∵，()()12221220CH AC λλλ⋅=--⋅-=∴，，，，， 49λ=∴，4810999CH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴，，，∵面1APC ⊥面1ACC ，1CH AC ⊥，CH ⊥∴面1APC CH AP ⇒⊥， ()4810100999CH AP a ⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪⎝⎭∴，，，，，25a =∴，∴存在点2005P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，使面1APC ⊥面1ACC ．法二：()10,0,2CC =，()11,2,2AC =-，()1,0,AP a =-，设平面1ACC 的法向量为(),,m r s t =，平面1APC 的法向量为(),,n x y z =，则1120220m CC t m AC r s t ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，10220n AP x az n AC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 即可取()2,1,0m =，2,,12a n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以平面1ACC ⊥平面1APC ⇔0m n m n ⊥⇔⋅=，即2202a a -+=，解得25a =．∴存在点2005P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，使平面1APC ⊥平面1ACC ．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为AD 、1AA 、11A B 中点， ⑴ 求B 到平面EFG 的距离；⑵ 求二面角1G EF D --的余弦值．大千世界ABC DA 1B 1C 1D 1P zyxHP D 1C 1B 1A 1D C B AD 1C 1B 1A 1DCBAE FG1第12讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】以A 为原点，AB 、AD 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的坐标系．则(010)E ，，，()200B ，，，(001)F ，，，(102)G ，，；于是向量(011)FE =-，，，(101)FG =，，；设面EFG 的法向量为()n x y z =，，，则0n FE n FG ⋅=⋅=，即00y z x z -=⎧⎨+=⎩，于是可取(111)n =-，，； ⑴ (210)EB =-，，，设B 到面EFG 的距离为h ；则33n EB h n⋅===⑵ 平面11ADD A 的法向量可取成(100)m =，，；于是3cos 3m n m n m n⋅===，由图象知二面角1G EF D --3G EA C D1B 1C D 1xy。

数学竞赛教案讲义(12)——立体几何

数学竞赛教案讲义(12)——立体几何第十二章立体几何一、基础知识公理1一条直线。

上如果有两个不同的点在平面。

内．则这条直线在这个平面内，记作：aa．公理2两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。

公理3过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。

即不共线的三点确定一个平面．推论l直线与直线外一点确定一个平面．推论2两条相交直线确定一个平面．推论3两条平行直线确定一个平面．公理4在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．定义1异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．定义2直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．定义3直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直．定理1如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．定理2两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．定理3若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．定理4平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离．定义5一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角．结论1斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角．定理4(三垂线定理)若d为平面。

2020年中考数学二轮核心考点讲解第12讲运动路径长度问题解析版

【中考数学二轮核心考点讲解】第12讲运动路径长度问题想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：1.《隐圆模型》2.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”3.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”4.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型此外，还需要明白的动点类型还有：5.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上6.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上7.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半8.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例9.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等一、路径为圆弧型解题策略：①作出隐圆，找到圆心②作出半径，求出定长解题关键：通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论. 二、路径为直线型解题策略：①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点三、路径为往返型解题策略：①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点解题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．【分析】解题标签：《共顶点模型》中的旋转相似、《隐圆模型》中的动点定长模型、《主从联动模型》【解析】如图，连接OP，AQ，设⊙O与AB相切于C，连接OC，则OC⊥AB，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OB＝，∴AB＝2，OP＝OC＝AB＝，∵△ABO和△QBP均为等腰直角三角形，∴＝，∠ABO＝∠QBP＝45°，∴＝，∠ABQ＝∠OBP，∴△ABQ∽△OBP，∴∠BAQ＝∠BOP，＝，即＝，∴AQ＝，又∵点P在弧MN上由点M运动到点N，∴0°≤∠BOP≤90°，∴0°≤∠BAQ≤90°，∴点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的圆弧，∴点Q运动的路径长为＝，故选：D．[本题用《主从联动模型》来接替会更快得到结果]【例题2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．πB．C．πD．2【分析】解题标签：“定边对直角”确定隐圆模型【解析】作DQ⊥AC于Q，如图，当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，∵∠AFD＝90°，∴点F在以AD为直径的圆上，∴点F运动的路径为，∵弦CD⊥AB且过OB的中点，∴OE＝OD，CE＝DE＝，AC＝AC＝2，∴∠DOE＝60°，∴∠DAC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴MQ和ME为中位线，∴MQ＝，∠QME＝60°，∴F运动的路径长度＝＝．故选：A．【例题3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型【解析】连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故答案为：．【例题4】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A. B. C. 1 D. 2【分析】解题标签：“线段垂直平分线”产生“平行定距型”【解析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=22AP=22CQ，QF=22BQ，∴PE+QF=22（CQ+BQ）=22BC=2×22=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=12（PE+QF）=12，即点M到AB的距离为12，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12AB=1，故答案为：C．[或连接OM，CM，点M运动路径为线段OC中垂线]【例题5】已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且∠BAO＝30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．（1）如图2，当∠ODB＝45°时，求证：OE平分∠BED．（2）如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标．（3）利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度．【分析】解题标签：“共顶点模型”、“全等或相似转固定角度法确定动点的直线运动”【解析】（1）∵∠ODB＝45°，∠AOB＝90°，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴OD＝OB，∵△BDE是等边三角形，∴DE＝BE，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠DEO＝∠BEO，即OE平分∠BED；（2）∵△BOE是等边三角形，∴∠EDB＝60°，∵OB⊥DE，设OD＝x，则OE＝x，∵∠BAO＝30°，∠AOB＝90°，∴∠DBO＝∠ABD＝∠BAO＝30°，∴BD＝2OD＝2x，AD＝BD＝2x，∵OA＝AD+OD＝3x＝6，解得，x＝2，∴E（0，﹣2）；（3）如图1，在x轴上取点C，使BC＝BA，连接CE，∵∠ABD+∠OBD＝∠CBE+∠OBD＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAO＝30°，∴当D在OA上滑动时，点E总在与x轴夹角为30°的直线CE上滑动，如图可知，点E运动路径的长度为6．【例题6】如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是8﹣12．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长，∴AC′＝OC＝8，∵AC′∥OB，∴∠AC′O＝∠COB，∴cos∠AC′O＝cos∠COB＝＝，∴＝，∴OC′＝4，∴CC′＝4﹣8；②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，综上所述，点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；故答案为：8﹣12．【例题7】如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x＝2，∴c＝0，﹣＝2，则b＝﹣4、c＝0，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x；（2）设点B（a，a2﹣4a），∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴点A（2，﹣4），则OA2＝22+42＝20、OB2＝a2+（a2﹣4a）2、AB2＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，①若OB2＝OA2+AB2，则a2+（a2﹣4a）2＝20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，解得a＝2（舍）或a＝，∴B（，﹣），则直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣3，即P（2，﹣3），∴t＝（﹣3+4）÷1＝1；②若AB2＝OA2+OB2，则（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2＝20+a2+（a2﹣4a）2，解得a＝0（舍）或a＝，∴B（，），则直线OB解析式为y＝x，当x＝2时，y＝1，即P（2，1），∴t＝[1﹣（﹣4）]÷1＝5；③若OA2＝AB2+OB2，则20＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2+a2+（a2﹣4a）2，整理，得：a3﹣8a2+21a﹣18＝0，a3﹣3a2﹣5a2+15a+6a﹣18＝0，a2（a﹣3）﹣5a（a﹣3）+6（a﹣3）＝0，（a﹣3）（a2﹣5a+6）＝0，（a﹣3）2（a﹣2）＝0，则a＝3或a＝2（舍），∴B（3，﹣3），∴直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣2，即P（2，﹣2），∴t＝[﹣2﹣（﹣4）]÷1＝2；综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5．（3）∵⊙M为△AOB的外接圆，∴点M在线段OA的中垂线上，∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，当t＝1时，如图1，由（2）知∠OAB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，∵B（，﹣），∴M（，﹣）；当t＝5时，如图2，由（2）知，∠AOB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，∵B（，）、A（2，﹣4），∴M（，﹣）；当t＝2时，如图3，由（2）知，∠OBA＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OA的中点，∵A（2，﹣4），∴M（1，﹣2）；则点M经过的路径长度为＝．【例题8】如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A．2B．2C．D．5【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】建立如图坐标系．设OB＝t，则OA＝5﹣t，∴B（t，0），A（0，5﹣t），∵AP＝PB，∴P（，），令x＝，y＝，消去t得到，y＝﹣x+（0≤x≤），∴点P的运动轨迹是线段HK，H（0，），K（，0），∴点P的运动路径的长为＝，故选：C．【例题9】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6．∵点Q（0，2t），P（6-t，0）∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．把x= 代入y=-2x+6得y=-2×+6=t，∴点M3在直线M1M2上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．∴M1M2=2∴线段PQ中点M所经过的路径长为2 单位长度．【例题10】（1）如图1，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（2）如图2，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（3）如图3，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（4）如图4，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰△BDE，且∠BDE=120°，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；【分析】解题标签：“主从联动模型”【解析】22；2；4；26【例题11】如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型、主从联动模型【解析】如图所示，易得点D的运动轨迹的长为=2 π．1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．【解析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，∴AB＝＝2，∴OP＝AB＝1，∵CM＝MP，CK＝OK，∴MK＝OP＝，∴当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，长为半径的半圆，∴点M运动的路径长＝•2•π•＝，故答案为．2．已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为4﹣3．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H．∵△APE和△PBF都是等腰三角形，且∠AEP＝∠BFP∵∠A＝∠FPB，∴AH∥PF，同理，BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵M为EF的中点，∴M为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QN．∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝8﹣6，∴QN＝CD＝4﹣3，即M的移动路径长为4﹣3．故答案是：4﹣3．3．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为5．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H，∵∠A＝∠FPB＝60°，∴AH∥PF，∵∠B＝∠EP A＝60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．∴MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．故答案为：54．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．【解析】连接BQ，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AP•AQ＝AB2．即＝，而∠BAP＝∠QAB，∴△ABP∽△AQB，∴∠ABQ＝∠APB＝90°，∴BQ为⊙O的切线，点Q运动的路径长为切线长，∵弧AC的度数是60°，∴∠AOC＝60°，∴∠OAC＝60°，当点P在C点时，∠BAQ＝60°，∴BQ＝AB＝3，即点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．故答案为3．5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P 从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．【答案】4【解析】如图所示：过点M作GH⊥AD.∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC.在△EGM和△FHM中，∴△EGM≌△FHM.∴MG=MH.∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段当点P与A重合时,BF1=AE=2，当点P与点B重合时,∠F2+∠EBF1=90∘,∠BEF1+∠EBF1=90∘，∴∠F2=∠EBF1.∵∠EF1B=∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2.∴，即∴F1F2=8，∵M1M2是△EF1F2的中位线，∴M1M2= F1F2=4.故答案为：4.6．等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）∠APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．【解析】（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，又∵AE＝CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF．又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP+∠BAP，∴∠APE＝∠BAP+∠CAF＝60°．∴∠APB＝180°﹣∠APE＝120°．（2）如图1，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP 为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，∴∠AOB＝120°，又∵AB＝2，∴OA＝2，点P的路径是l＝＝＝；（3）如图2，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，∴当点E运动到AC的中点时，CP长度的最小，即点P为△ABC的中心，过B作BE′⊥AC于E′，∴PC＝BE′，∵△ABC是等边三角形，∴BE′＝BC＝3，∴PC＝2．∴CP长度的最小值是2．方法二：由图1可知，CP最小值等于CO减OA，OA就是那圆弧的半径，可得PC的最小值为2．7．如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足∠COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．【答案】【解析】解：点C从点A运动到点D与点B从何时，AD与BC的相点P运动的轨迹是一条弧，C,D两点运动到恰好是半圆的三等分点时，AD与BC的相点P是弧的最高点，作AP,BP的中垂线，两线交于点E，点E是弧APB的圆心；由题意知：AD=BD，∠PAB=∠PBA=30°,连接AE,DE，根据圆的对称性得出A、O、E三点在同一直线上，易证△ADE是一个等边三角形，∠AED=60°,在Rt△ADO中，∠DOA=90°,∠PAB=30°,AO=1,故AD=,∴AE=AD=,弧APB的长度==。

第12讲电磁感应规律及其应用

第12讲电磁感应规律及其应用考点考题统计考情分析楞次定律法拉第电磁感应定律2023·湖北卷T 5、2022·河北卷T 5、2022·广东卷T 4T 10、2022·山东卷T 12本讲主要考查电磁感应的基本规律和方法，熟练应用动力学和能量观点分析并解决电磁感应问题。

主要规律有：楞次定律和法拉第电磁感应定律的理解及应用；电磁感应中的平衡问题；电磁感应中的动力学和能量问题。

本专题选择题和计算题都有可能命题，选择题一般考查楞次定律和法拉第电磁感应定律的应用，题目有一定的综合性，难度中等；计算题主要考查电磁感应规律的综合应用，难度较大。

电磁感应中的电路、图像问题2023·辽宁卷T 4、2022·河北卷T 8、2022·全国乙卷T 24、2022·全国甲卷T 16、2021·辽宁卷T 9、2021·河北卷T 7、2021·广东卷T 10考点一楞次定律法拉第电磁感应定律1.感应电流方向的两种判断方法（1）楞次定律：线圈面积不变，磁感应强度发生变化的情形，往往用楞次定律。

（2）右手定则：导体棒切割磁感线的情形往往用右手定则。

2.楞次定律中“阻碍”的四种表现形式（1）阻碍原磁通量的变化——“增反减同”；（2）阻碍物体间的相对运动——“来拒去留”；（3）使线圈面积有扩大或缩小的趋势——一般情况下为“增缩减扩”；（4）阻碍原电流的变化（自感现象）——一般情况下为“增反减同”。

3.感应电动势的四种求解方法（1）法拉第电磁感应定律E ＝n ΔΦΔt{S 不变时，E ＝nS ΔBΔtB 不变时，E ＝nBΔS Δt （2）导体棒垂直切割磁感线：E ＝Blv 。

（3）导体棒以一端为圆心在垂直匀强磁场的平面内匀速转动：E ＝12Bl 2ω。

（4）线圈绕与磁场垂直的轴匀速转动（从线圈位于中性面开始计时）：e ＝nBSωsin ωt 。

第12讲立体几何问题选讲

第12讲立体几何问题选讲【赛点突破】常用思想：转化与化归新的工具：空间向量【范例解密】例1一个平面与正方体相交所得的截面可能是正五边形吗？解：不能为正五边形，因为截面必然和正方体的五个面相交，必有两个面是相对的平行面，故截得的五边形必有两条边互相平行，而正五边形中没有两条边平行，故结论成立。

注：本答案是刘未末同学首创。

例2与三条异面直线,,a b c都相交的直线有多少条？解：有无数条。

在直线a上选一点A，在直线b上选一点B，当B在直线b上运动时，所有的直线轨迹是过点A和直线b的平面，如果这个平面和直线c有交点C，则过A，B，C的直线和三条异面直线都相交。

如果变换A的位置，将有无数个过直线b的平面，而这些平面中至多只有一个平面和直线c平行（否则直线c和直线b平行），故满足条件的直线有无数条。

注：本题运用了动态变化的观点。

例3如果一个四面体的三组对棱分别相等，则称这个四面体为等腰四面体。

若一个等腰四面体的三组对棱长分别为,,a b c。

（1）证明四面体的每个面都是锐角三角形；（2）求四面体的体积。

分析与解：（1）如图，取BD的中点E，则AE CE==AE CE AC+>，故c>，即222a b c+>，同理222b c a+>，222a c b+>，故每个面都是锐角三角形；(2)如图，将四面体放入长方体内，即可求得体积。

注：第一问比较难于说明，第二问得构造值得学习。

例4用平面截一个四棱锥，使平面与棱锥的四条侧棱分别相交，则一定能使截面为平行四边形吗？分析与解：如图，设两组相对侧面的两条交线分别为,l m，直线,l m确定的平面为α，则平行于α的平面与四棱锥截得的四边形为平行四边形。

注：本题的交线比较隐蔽，需注意。

例5如图，四面体PABC 中，,PA BC PB AC ⊥⊥，证明：PC AB ⊥。

证明：作PH ⊥面ABC 于H 。

由于PA BC ⊥，由三垂线定理逆定理知AH BC ⊥，同理 BH AC ⊥，故H 为ABC ∆垂心，CH AB ⊥，由三垂线定理得PC AB ⊥。

【北师大】七年级上册数学第12讲平面图形的应用讲义(含答案)

教师讲义四、典型例题〔一〕、七巧板1、如下图的七巧板中，三角形有_________块，正方形有_________块，45°角的有_________个，90°的角有_________个，135°的角有_________个．2、如图，答复以下问题：〔1〕G是线段_________中点，O既是线段_________的中点，又是线段_________的中点，E，F，H，K 分别是线段_________，_________，_________，_________的中点．〔2〕图中，EK_________BK，EK_________AG，HG_________AB〔填“⊥〞或“∥〞〕3、在一副七巧板中，有_________个锐角，_________个直角，_________个钝角．4、假设七巧板中，小正方形的面积为2cm2，那么制作该七巧板的原正方形的面积是_________cm2．5、如图，用边长为1的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅〞图案，其中阴影局部的面积为_________．同步练习1、如图，有一块边长为2的正方形ABCD厚纸板，按照下面做法，做了一套七巧板：作图①，作对角线AC，分别取AB，BC中点E，F，连接EF作DG⊥EF于G，交AC于H，过G作GL∥BC，交AC于L，再由E作EK∥DG，交AC于K，将正方形ABCD沿画出的线剪开，现由它拼出一座桥〔如图②〕，这座桥的阴影局部的面积是〔〕A、8B、6C、5D、4典型例题〔二〕单元综合1、如图，直线AB、CD、EF都经过点O，且AB⊥CD，∠COE=35°，求∠DOF、∠BOF的度数．2、在图中，〔1〕分别找出三组互相平行、互相垂直的线段，并用符号表示出来．〔2〕找出一个锐角、一个直角、一个钝角，将它们表示出来．3、如图，∠AOB=∠BOC，∠COD=∠AOD=3∠AOB，求∠AOB和∠COD的度数．4、线段AB=8cm，答复以下问题：〔1〕是否存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于6cm，为什么？〔2〕是否存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于8cm，点C的位置应该在哪里？为什么？这样的点C有多少个？同步练习1、一个钝角与一个锐角的差是〔〕A、锐角B、钝角C、直角D、不能确定2、以下各直线的表示法中，正确的选项是〔〕A、直线AB、直线ABC、直线abD、直线Ab3、以下说法中，正确的有〔〕①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短；④假设AB=BC，那么点B是线段AC的中点．A、1个B、2个C、3个D、4个4、以下说法中正确的个数为〔〕①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；②平面内经过一点有且只有一条直线与直线垂直；③经过一点有且只有一条直线与直线平行；④平行同一直线的两直线平行．A、1个B、2个C、3个D、4个5、图中有_________条线段，分别表示为_________．6、钟表上8点30分时，时针与分针所夹的锐角是_________度．7、线段AB，延长AB到C，使BC=AB，D为AC的中点，假设AB=9cm，那么DC的长为_________．8、如图，点D在直线AB上，当∠1=∠2时，CD与AB的位置关系是_________．9、如下图，射线OA的方向是北偏东_________度．10、如图，∠AOB内有一点P，过点P画MN∥OB交OA于C，过点P画PD⊥OA，垂足为D，并量出点P到OA距离．11、如图点C为AB上一点，AC=12cm，CB=AC，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．五、课堂练习1.以下图中表示∠ABC的图是〔〕A、B、C、 D、2.如图，从A到B最短的路线是〔〕A、A⇒G⇒E⇒BB、A⇒C⇒E⇒BC、A⇒D⇒G⇒E⇒BD、A⇒F⇒E⇒B3.，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC=2：3，那么∠BOC的度数为〔〕A、30°B、150°C、30°或150°D、90°、4.在同一平面内，三条直线的交点个数不能是〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个5.如图，与OH相等的线段有〔〕A、8B、7C、6D、46.以下说法正确的选项是〔〕〔A〕过一点能作直线的一条平行线〔B〕过一点能作直线的一条垂线〔C〕射线AB的端点是A和B 〔D〕点可以用一个大写字母表示，也可用小写字母表示7.以下4 种说法中，正确的有〔〕〔1〕一根绳子，不用任何工具，可以找到它的中点，〔2〕用圆规可把一个圆六等分，〔3〕用圆规可把一个圆三等分〔4〕画在透明纸上的一个角，不用任何工具，可以找到它的角平分线，图1CNM BA图2CBAH GFEDCBA〔A〕1个〔B〕2个〔C〕3个〔D〕4个8.如图，与CD既不平行，又不相交的棱有〔〕〔A〕４条〔B〕３条〔C〕２条〔D〕１条9.探照灯发出的光线可近似看作：；两根长长的铁轨可近似看作：；跳远时测量成绩，尺子所在直线与起跳线必须；10.七〔１〕班的同学用二个图钉就把刚获得的校田径运动会团体总分第一名的奖状挂在墙上了，请你用本章的一个知识来说明这样做的道理：；11.如图1，AB的长为m，OC的长为n，MN分别是AB，BC的中点，那么MN =_____；12.如图2，用“＞〞、“＜〞或“＝〞连接以下各式，并说明理由．AB＋BC_____AC，AC＋BC_____AB，BC_____AB＋AC，理由是______ ___；13.计算：48°39′+67°41′=_________；90°－78°19′40″=___________；21°17′×5=_______；176°52′÷3=_________(精确到分)；14.将一张正方形的纸片，按如下图对折两次，相邻两条折痕〔虚线〕间的夹角为_________度．15.如图，B、C两点在线段AD上，〔1〕BD=BC+_________；AD=AC+BD﹣_________；〔2〕如果CD=4cm，BD=7cm，B是AC的中点，那么AB的长为_________cm．16.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，假设得∠AOB′=70°，那么∠B′OG的度数为_________．六、课堂小结ABCDE七、课后作业一．填空题：〔1.如图中，∠AOB=180°，∠AOC=90°，∠DOE=90°，那么图中相等的角有＿对，分别为_______________；两个角的和为90°的角有___________对；两个角的和为180°的角有________对；2.平面上两条直线的位置关系只有两种，即__________和_________________；3.平面面上有四个点，无三点共线，以其中一点为端点，并且经过另一点的射线共有___条；4.面上有五条直线，那么这五条直线最多有_____交点，最少有_____个交点．5.在无风的情况下，一重物从高处落入池塘，它的运动路线与水面的位置关系是，在阳光下，站在操场上的学生与他影子的位置关系是；二．选择题6.线段AB = 6厘米，在直线AB 上画线段AC=2厘米，那么BC 的长是〔〕〔A 〕 8厘米〔B 〕 4厘米〔C 〕 8厘米或4厘米〔D 〕不能确定7.以下推理中，错误的选项是〔〕〔A 〕在m 、n 、p 三个量中，如果n m =, p n =，那么p m =；〔B 〕∠A 、∠B 、∠C 、∠D 四个角中，如果∠A=∠B ，∠C=∠D ，∠A=∠D ，那么∠B=∠C ；〔C 〕a 、b 、c 是同一平面内的三条直线，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；〔D 〕a 、b 、c 是同一平面内的三条直线，如果a 丄b ，b 丄c ，那么a 丄c ；8.甲、乙、丙、丁四个学生判断时钟的分针与时针互相垂直时，他们每个人都说了两个时间，说对的是〔〕〔A 〕甲说3点时和3点30分〔B 〕乙说6点15分和6点45分〔C 〕丙说9时整和１２时１５分〔D 〕丁说3时整和9时整9.如图，四条表示方向的射线中，表示北偏东60°的是〔〕〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕10.一个人从A 点出发向北偏东60°的方向走到B 点，再从B 点出发向南偏西15°方向走到C 点，那么∠ABC 的度数是〔〕〔A 〕75° 〔B 〕105° 〔C 〕45° 〔D 〕 135°11. 同一平面内互不重合的三条直线的公共点的个数是〔〕OE DCBAEFEDCB A18.如下图，OA 丄OB ，OC 丄OD ，OE 为∠BOD 的平分线，∠BOE=17°18′，求∠AOC 的度数19.如图，将书角斜折过去，直角顶点A 落在F 处 , BC 为折痕，∠FBD = ∠DBE, 求∠CBD的度数. 附答案典型例题〔一〕七巧板1、三角形有5块；正方形有1块；45°角的有12个；90°的角有12个；135°的角2个．2、〔1〕G 是线段 EF 中点，O 既是线段 BD 的中点，又是线段 KH 的中点，E ，F ，H ，K 分别是线段 BC ，DC ，OD ，BO 的中点；〔2〕图中，EK ⊥BK ，EK ∥AG ，HG ∥AB ．故答案为：EF ，BD ，KH ，BC ，DC ，OD ，BO ；⊥，∥，∥． 3、解：七巧板如下图：根据图示可知，在一副七巧板中，有12个锐角，13个直角，5个钝角． 4、解：S 小=2cm 2所以小正方形边长为：cm最大三角形直角边为：2cm最大三角形斜边为：4 cm即为大正方形边长所以原正方形的面积为42=16cm2．故答案为16．5、解：如图，阴影局部面积是正方形的面积减去，A，B，C局部的面积，A与B的和是正方形的面积的一半，C的面积是正方形的，所以，阴影局部面积=1﹣﹣=．故答案为．同步练习 D〔二〕、单元综合1、解：如图，∵∠COE=35°，∴∠DOF=∠COE=35°，∵AB⊥CD，∴∠BOD=90°，∴∠BOF=∠BOD+∠DOF，=90°+35°=125°．2、解：〔1〕答案不唯一，如：AD∥LF，AD∥JG，AJ∥DG；AD⊥DG，AD⊥AJ，AJ⊥JG；〔2〕答案不唯一，如：锐角∠MNO、直角∠DAJ、钝角∠LOG．3、解：设∠AOB=x°，由题意3x+3x+2x+x=360，解之可得x=40，即∠AOB=40°，又因为∠COD=3∠AOB，即∠COD=120°．故答案为40°、120°．4、解：〔1〕①当点C在线段AB上时，AC+BC=8，故此假设不成立；②当点C在线段AB外时，由三角形的构成条件得AC+BC＞AB，故此假设不成立；所以不存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于6cm．〔2〕由〔1〕可知，当点C在AB上，AC+BC=8，所以存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于8cm，线段是由点组成的，故这样的点有无数个．同步练习1.D2.B3.B4.C5、解：图中共有6条线段，分别表示为AD、AC、AB、DC、DB、CB．6、解：8点30分，时针和分针中间相差个大格．∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴8点30分分针与时针的夹角是2.5×30°=75°．7、解∵BC=AB，AB=9cm，∴BC=3cm，AC=AB+BC=12cm，又因为D为AC的中点，所以DC=AC=6cm．故答案为：6cm．8、解：∵∠1+∠2=180°，又∠1=∠2，∴∠1=∠2=90°．故答案为：CD⊥AB．9、解：根据方向角的概念，射线OA表示的方向是北偏东60°．10、解：根据题意，如以下图所示，〔量PD的长度，请学生自己动手操作．〕11、解：根据题意，AC=12cm，CB=AC，所以CB=8cm，所以AB=AC+CB=20cm，又D、E分别为AC、AB的中点，所以DE=AE﹣AD=〔AB﹣AC〕=4cm．即DE=4cm．故答案为4cm．课堂练习1.C 2.D 3.C 4.D 5.B 6.B 7.D 8.A9.射线、平行线、互相垂直；10.两点确定一条直线；4321F E D C BA 11.)(21n m +；12.> > < ，两点之间线段最短； 13.⑴116°20′ ⑵11°40′20″；⑶106°25′；⑷58°57′；14、解：根据题意可得相邻两条折痕〔虚线〕间的夹角为度．15、解：〔1〕由图可知：BD=BC+CD ，AD=AC+BD ﹣CB ；〔2〕如果CD=4cm ，BD=7cm ，B 是AC 的中点，那么BC=BD ﹣CD=7﹣4=3cm ，∴AC=2BC=6cm ，∴AB=BC=3cm ，故答案为：3cm ．16、解：根据轴对称的性质得：∠B′OG=∠BOG又∠AOB′=70°，可得∠B′OG+∠BOG=110°∴∠B′OG=×110°=55°．课后作业一、填空题1.3 ∠AOC=∠BOC ， ∠BOC=∠DOE ，∠DOE=∠AOC 4， 3；2.相交平行；3.12 ；4.10 0 ；5.垂直，垂直；二、选择题6.C ；7.D ； 18.D ；9.B ； 10.C ； 11.C ； 12.D ； 13.B ；14.D ；三．解答题15、16．略17．∠1=∠2+∠3 18、145°24′19．如图，∠ABE 是一个平角，∴∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =︒180，又∵∠1 =∠2，∠3 =∠4， ∴2〔∠2 +∠3〕=︒180，∴∠2 +∠3 =︒90即∠CBD =︒90；。

2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第12讲空间点、直线、平面之间的关系

(2)证明：由四边形 ABCD 为正方形，有 AB⊥BC. 证明：为正方形，证明 ⊥ 又 EF∥AB，∴EF⊥BC. ∥ ， ⊥ 而 EF⊥FB，∴EF⊥平面 BFC. ⊥ ， ⊥ ∴EF⊥FH，∴AB⊥FH. ⊥ ， ⊥ 又 BF＝FC，H 为 BC 的中点，∴FH⊥BC. ＝，的中点， ⊥ ∴FH⊥平面 ABCD，∴FH⊥AC. ⊥ ， ⊥ 又 FH∥EG，∴AC⊥EG. ∥ ， ⊥ 又 AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面 EDB. ⊥ ， ∩ ＝， ⊥ (3)解：EF⊥FB，∠BFC＝90°，解 ⊥ ，＝， ∴BF⊥平面 CDEF. ⊥ 在平面 CDEF 内过点 F 作 FK⊥DE 交 DE 的延长线 ⊥ 于 K，则∠FKB 为二面角 B－DE－C 的一个平面角．，－－的一个平面角．设 EF＝1，则 AB＝2，FC＝ 2，DE＝ 3. ＝，＝，＝，＝
1.正三棱柱 A1B1C1－ABC 中，点 D 是 BC 的中点，BC＝正三棱柱的中点，＝ 2BB1，设 B1D∩BC1＝F.求证：求证： ∩ 求证 (1)A1C∥平面 AB1D； ∥ ； (2)BC1⊥平面 AB1D. 证明：(1)连结 A1B，设 A1B 与 AB1 交于 E，连结 DE. 证明：连结，，中点，中点， ∵点 D 是 BC 中点，点 E 是 A1B 中点，∴DE∥A1C ∥ ∵A1C⊄平面 AB1D， ⊄ ， DE⊂平面 AB1D， ⊂ ， ∴A1C∥平面 AB1D. ∥
2．直线、平面平行的判定及其性质．直线、 (1)线面平行的判定定理 ∵a⊄α，b⊂α，a∥b，∴a∥α. 线面平行的判定定理 ⊄ ， ⊂ ， ∥ ， ∥ (2)线面平行的性质定理 ∵a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b. 线面平行的性质定理 ∥ ， ⊂ ， ∩ ＝， ∥ (3)面面平行的判定定理 ∵a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，面面平行的判定定理 ⊂ ， ⊂ ， ∩ ＝， ∥ ， b∥α，∴α∥β. ∥ ， ∥ (4)面面平行的性质定理 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，面面平行的性质定理 ∥ ， ∩ ＝， ∩ ＝， ∴a∥b. ∥ 3．直线、平面垂直的判定及其性质．直线、 (1)线面垂直的判定定理 ∵m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，线面垂直的判定定理 ⊂ ， ⊂ ， ∩ ＝，⊥ ， l⊥n，∴l⊥α. ⊥ ， ⊥ (2)线面垂直的性质定理 ∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b. 线面垂直的性质定理 ⊥ ， ⊥ ， ∥ (3)面面垂直的判定定理 ∵a⊂β，a⊥α，∴α⊥β. 面面垂直的判定定理 ⊂ ， ⊥ ， ⊥ (4)面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理 ∵α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l， ⊥ ， ∩ ＝， ⊂ ， ⊥， ∴a⊥β. ⊥

数学-九年级-第12讲-解直角三角形的应用-教案

学员姓名：学科教师：汪艳芬年级：初三辅导科目：数学授课日期时间主题第12讲-解直角三角形的应用学习目标1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.教学内容回顾相似三角形知识。

已知，如图，小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长2米，若此时测得一塔在同一地面的影长为60米，则塔高应为多少米？参考答案：45米教学说明：由前面的问题中，知道AC AB DF DE =，将比例式中同一三角形的边放在一边有AC DFAB DE=；引出下面的问题。

在直角三角形中，我们至少知道哪些元素就可以求出其余元素？参考答案：知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素备注：老师可以引导学生回顾直角三角形全等判定条件来寻找答案。

解直角三角形无非以下两种情况： (1)已知两条边，求其它边和角.1.5m 2mB E D FC A60m(2)已知一条边和一个锐角，求其它边角【知识梳理1】（仰俯角）1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线. 2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线.3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.[说明] 在仰角和俯角这两个概念中，必须强调是视线与水平线所夹的角，而不是视线与铅垂线所成的角.【例题精讲】例1.如图，甲乙两栋楼之间的距离CD 等于45米，现在要测乙楼的高BC ，（BC ⊥CD ）,所以观察点A 在甲楼一窗口处，AD ∥⊥BC ∥.从A 处测得乙楼顶端B 的仰角为45o ，底部C 的俯角为30o ，求乙楼的高度（取3 1.7=，结果精确到1米）.∥∥∥分析：过点A 作AE⊥BC 于点E ，在直角⊥ACE 中利用三角函数求得CE 的长，然后在直角⊥ABE 中求得BE 的长，即可求解。

第12讲：全等图形-教案

【答案】不符合规定，理由见解析。
【解析】解：不符合规定．如图，延长AB、CD交于点O，
∵△AOC中，∠BAC=32°，∠DCA=65°，
∴∠AOC=180°-∠BAC-∠DCA=180°-32°-65°=83°＜85°
∴不符合规定．
【题干】如图所示，（1）在图a中把正方形分成四个全等的三角形；（2）在图b中把正五边形分成五个全等的三角形；（3）在图c中把正六边形分成六个全等的三角形？（4）通过（1）（2）（3）的解答，你发现了什么?
【教学建议】
本节课要让学生能够熟悉三角形的概念，并对三角形的边、角关系及其中的重要线段有初步认识，为全等图形的学习打下良好的基础；然后可以结合实际生活中的例子让学生对全等图形有基本的概念，理解全等图形的边角关系，并利用全等图形的性质解决相关问题。
学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：
1.三角形的内角和及三边关系的计算；
1.三角形的定义；
2.三角形的三边关系：
（1）两边之和大于第三边；（2）两边之差小于第三边；
3.三角形的内角和。
1.三角形的中线；
2.三角形的角平分线；
3.三角形的高。
1.全等图形的性质；
2.全等三角形的概念及性质。
【题干】下面是小明用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是( )
A.（A）B.（B）C.（C）D.（D）
∵AD是ΔBAC的角平分线
∴∠CAD=40°
3.图中所示的是两个全等的五边形，∠β=115°，d=5，指出它们的对应顶点•对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值．
【答案】见解析。
【解析】解：对应顶点：A和G，E和F，D和J，C和I，B和H，
对应边：AB和GH，AE和GF，ED和FJ，CD和JI，BC和HI；

线性代数第12讲

14 2010-12-1
定理2中的W称为由V的非空子集S生成的V的子空间, 或者说S生成W, 当S为有限子集 {α1,α2,...,αm}时, 记W=L(α1,α2,...,αm), 并称W是由向量组α1,α2,...,αm生成的子空间例如, 齐次线性方程组AX=0的解空间是由它的基础解系生成的子空间; R3中任一个过原点的平面上的全体向量所构成的子空间, 由由该平面上任意两个线性无关的向量生成的子空间.
4 2010-12-1
定理6 若列向量X,Y∈Rn在n阶正交矩阵A作用下变换为AX, AY∈Rn, 则向量的内积与长度及向量间的夹角都保持不变, 即 (AX,AY)=(X,Y), |AX|=|X|, {AX,AY}={X,Y}. 证 (AX,AY)=(AX)T(AY)=XT(ATA)Y =XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因此 ( AX , AY) ( X ,Y) cos〈 AX , AY〉 = = = cos〈 X ,Y〉, | AX || AY | | X || Y | 所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.
17 2010-12-1
由于线性空间关于两种运算和Fn关于其线性运算一样满足相同的8条规则和简单的性质, 因此, Fn中的向量的线性相关性的定义及有关的基本结论也都适用于一般的线性空间V. 对此, 不再重复叙述, 但要注意, 那里的向量 α,β,γ, ..., 在这里是V中的元素, 那里的零向量是这里的V的零元素.
2 2010-12-1
于是 T T T T α1 α1 α1 α2 L α1 αn α1 αTα αTα L αTα αT T 2 2 2 n A A = 2 [α1,α2 ,L,αn ] = 2 1

第十二讲点线面的位置关系

第12讲│ 要点热点探究
► 探究点三空间角与距离的求法例 3 已知四棱锥 P－ABCD 的三视图及直观图如图 4－12 －5 所示，E 是侧棱 PC 上的动点．
图 4－12－5
第12讲│ 要点热点探究
(1)求四棱锥 P－ABCDFra bibliotek的体积； (2)不论点 E 在何位置，是否都有 BD⊥AE？证明你的结论； (3)若点 E 为 PC 的中点，求二面角 D－AE－B 的大小．
第12讲│ 要点热点探究
垂直关系的证明解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于 D 为 AA1 的中点，故 DC＝DC1.(1 分) 1 又 AC＝ AA1，可得 DC2＋DC2＝CC2， 1 1 2 所以 DC1⊥DC.(2 分) 而 DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以 DC1⊥平面 BCD. 又 BC⊂平面 BCD，故 DC1⊥BC.(4 分) (2)因为 DC1⊥BC，CC1⊥BC，且 DC1∩CC1＝C1，所以 BC⊥面 ACC1A1，所以 BC⊥AC.取 A1B1 的中点 O，过点 O 作 OH⊥BD 于点 H，连接 C1O，C1H，如图．
第12讲│ 要点热点探究
平行关系的证明
证明： (1)∵ABC－A1B1C1 是直三棱柱， ∴CC1⊥平面 ABC. (1 分) 又∵AD⊂平面 ABC，∴CC1⊥AD.(2 分) 又∵AD⊥DE，CC1，DE⊂平面 BCC1B1，CC1∩DE＝E， ∴AD⊥平面 BCC1B1.(4 分) 又∵AD⊂平面 ADE，∴平面 ADE⊥平面 BCC1B1.(5 分)
第12讲│ 要点热点探究
[规范评析] 在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直．使用综合几何的方法求解二面角首先要作出二面角的平面角，其最主要的方法就是通过面面垂直得线面垂直，从而找出二面角的一个半平面内的一个特殊点在另一个半平面内的射影点，再从射影点作棱的垂线，连接棱上的垂足和特殊点即得二面角的平面角(实际上就是三垂线定理法)．本题求解过程中是直接找出这个射影点，实际上三棱柱的上底面和侧面垂直，只要过点 C1 在平面 A1B1C1 作 A1B1 的垂线，垂足就是点 C1 在二面角的半平面 A1BD 内的射影，当然这个点是 A1B1 的中点．找二面角平面角的过程实际上就是综合运用垂直关系的过程．

第12讲图形的初步认识(二)(13大考点)(原卷版)

第12讲图形的初步认识（二）（13大考点）考点考向一.角的概念（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．（5）比较角的大小有两种方法：①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．二.角的计算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB．∠AOB∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．三.余角与补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．四.对顶角与邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．五.平行：（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．六.垂直：（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（4）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．考点精讲一．角的概念（共2小题）1．（2021秋•定海区期末）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB、∠O三种方法表示同一角的图形是（）A．B．C．D．2．（2021秋•上虞区期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（）A．B．C．D．二．钟面角（共1小题）3．（2021秋•余姚市期末）钟面上4时30分，时针与分针的夹角是度，15分钟后时针与分针的夹角是度．三．方向角（共4小题）4．（2021秋•龙泉市期末）如图，点A在点O的南偏东20°方向上，且射线OA与OB的夹角是110°，则射线OB的方向是（）A．北偏东70°B．北偏东60°C．北偏东50°D．北偏东40°5．（2021秋•椒江区期末）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏西10°的方向上，同时货轮B 在它北偏东60°的方向上，则此时∠AOB的大小是（）A．140°B．130°C．120°D．100°6．（2021秋•台州期末）如图，点A在点O的东南方向，点B在点O的北偏东50°方向，则∠AOB＝°．7．（2021秋•定海区期末）如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西北方向，若∠AOC＝∠AOB，则OC 的方向是．四．度分秒的换算（共5小题）8．（2021秋•钱塘区期末）若∠α＝42°24′，∠β＝15.3°，则∠α与∠β的和等于．9．（2021秋•柯桥区期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，∠2的大小是（）A．27°40′B．57°40′C．58°20′D．62°20′10．（2021秋•椒江区期末）48°21′+67°9′＝°．11．（2021秋•柯桥区期末）把35°12'化为以度为单位，结果是．12．（2021秋•滨江区期末）若∠A＝36°18′，则90°﹣∠A＝．（结果用度表示）五．角的计算（共9小题）13．（2021秋•海曙区期末）如图，将三个三角板直角顶点重叠在一起，公共的直角顶点为点B，若∠ABE＝45°，∠GBH＝30°，那么∠FBC的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°14．（2021秋•嘉兴期末）如图放置一副三角板，若∠BOC＝∠COD，则∠AOD的度数是．15．（2021秋•定海区期末）计算：35°49'+44°26'＝．16．（2021秋•江北区期末）如图，∠AOB＝∠COD＝120°，若∠BOC＝108°，则∠AOD的度数是．17．（2021秋•温州期末）如图，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（）A．20°B．30°C．35°D．45°18．（2021秋•青田县期末）如图，∠COD是Rt∠，∠BOD＝35°，则∠AOC＝．19．（2021秋•金华期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．（1）如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．（2）点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．20．（2021秋•新昌县期末）有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．（1）如图，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．（2）当∠A′EB′＝∠B′EB时，设∠A′EB′＝x．①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．21．（2021秋•湖州期末）（1）如图1，点D是线段AC的中点，且AB＝BC，BC＝6，求线段BD的长；（2）如图2，已知OB平分∠AOD，∠BOC＝∠AOC，若∠AOD＝100°，求∠BOC的度数．六．余角和补角（共8小题）22．（2021秋•定海区期末）若一个角是53°，则它的补角是．23．（2021秋•东阳市期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若∠DCE＝35°，则∠ACB 的度数为．24．（2021秋•衢江区期末）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β不一定相等的是（）A．B．C．D．25．（2021秋•金华期末）与25°角互余的角的度数是（）A．55°B．65°C．75°D．155°26．（2021秋•青田县期末）将一副尺子中的两个三角板按如图方式摆放，其中∠1＝∠2的有几个（）A．1 B．2 C．3 D．427．（2021秋•嘉兴期末）已知∠α与∠β满足2∠α+3∠β＝180°（∠α≠0°，∠β≠0°），下列式子表示的角：①90°﹣∠β；②30°+∠α；③∠α+∠β；④2∠α+∠β中，其中是∠β的余角的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④28．（2021秋•镇海区期末）已知∠A的余角比∠A的2倍少15°，则∠A＝度．29．（2021秋•义乌市期末）将一副三角尺按下列三种位置摆放，其中能使∠α和∠β相等的摆放方式是（）A． B．C． D．七．七巧板（共3小题）30．（2020秋•长兴县月考）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中h的值为（）A．6 B．4C．4+D．831．（2021秋•定海区校级月考）如图，把一幅七巧板按如图所示进行①～⑦编号，①～⑦号分别对应着七巧板的七块，如果编号①对应的面积等于2，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于．32．（2022秋•鹿城区校级期中）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为（取1.4）．八．角的大小比较（共2小题）33．（2021秋•海曙区期末）已知∠1＝12.30°，∠2＝12°30′，比较这两个角的大小，结果为∠1 ∠2．34．（2021秋•杭州期末）如图，∠AOB，以OA为边作∠AOC，使∠BOC＝∠AOB，则下列结论成立的是（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＜∠AOBC．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC九．相交线（共2小题）35．（2020秋•奉化区校级期末）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（）A．100个B．135个C．190个D．200个36．（2020秋•奉化区校级期末）下列说法：①若|a|＝﹣b，|b|＝b，则a＝b＝0；②若﹣a不是正数，则a 为非负数；③|﹣a2|＝（﹣a）2；④若+＝0，则＝﹣1；⑤平面内n条直线两两相交，最多个交点．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个一十．对顶角、邻补角（共4小题）37．（2021秋•杭州期末）如图，直线AC、DE交于点B，则下列结论中一定成立的是（）A．∠ABE+∠DBC＝180°B．∠ABE＝∠DBCC．∠ABD＝∠ABE D．∠ABD＝2∠DBC38．（2021秋•钱塘区期末）下列说法中，正确的是（）A．相等的角是对顶角B．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点C．过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大90度39．（2021秋•新昌县期末）如图，三条直线AB、CD、EF相交于一点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于．40．（2021秋•普陀区期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°．（1）若∠AOC＝37°，求∠BOE的度数．（2）若∠BOD：∠BOC＝3：6，求∠AOE的度数．一十一．垂线（共4小题）41．（2021秋•新昌县期末）如图，点O在直线BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，则∠BOC的度数为（）A．20°B．70°C．80°D．90°42．（2021秋•东阳市期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE＝135°，∠BOD＝45°，则OE⊥AB．请说明理由（补全解答过程）．解：∵∠AOC＝∠BOD＝45°（）；∴∠AOE＝＝（°）；∴OE⊥AB（）．43．（2021秋•温州期末）如图，直线AB，CD交于点O，OM⊥AB，ON⊥CD．（1）写出图中所有与∠AOC互余的角．（2）当∠MON＝120°时，求∠BOD的度数．（2021秋•海曙区期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，已知∠BOD＝30°，则∠COE＝．44．一十二．垂线段最短（共2小题）45．（2021秋•湖州期末）如图，口渴的马儿在A点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路AB奔跑，其中的数学依据是．46．（2021秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；（3）在以上的图中，互余的角为，互补的角为．（各写出一对即可）一十三．点到直线的距离（共3小题）47．（2021秋•滨江区期末）如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则点B到直线AC的距离是线段的长．48．（2021秋•东阳市期末）如图，表示点A到BC距离的是（）A．AD的长度B．AE的长度C．BE的长度D．CE的长度49．（2021秋•上城区期末）如图，点P在直线l外，点A、B在直线l上，若PA＝4，PB＝7，则点P到直线l的距离可能是（）A ．3B ．4C ．5D ．7一、单选题1．（2021·浙江嵊州·七年级期末）下列图中是对顶角的为（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·浙江仙居·七年级期末）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ．若∠BOD ＝42°，则∠EOD 的度数为（）A ．96°B ．94°C ．104°D ．106°3．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知2A B ∠=∠，下列选项正确的是（）A ．若A ∠是锐角，则B 是钝角B ．若A ∠是钝角，则B 是锐角C ．若B 是锐角，则A ∠是锐角D ．若B 是锐角，则A ∠是钝角4．（2020·浙江浙江·七年级期中）比较16.30,1630160,.3'︒︒︒大小，正确的是（）A ．163016.3016.03'︒>︒>︒B ．16.30163016.03'︒>︒>︒C ．16.3016.031630'︒>︒>︒D ．无法比较5．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，点O 在直线AB 上，射线OC ，射线OD ，射线OE 在直线AB 同侧，若OC OD ⊥，OE 平分AOC ∠，则（）巩固提升A ．DOE BOC ∠=∠B ．3DOE BOD ∠=∠C ．DOC COE BOD AOE ∠-∠=∠+∠D ．DOC COE BOD AOE ∠+∠=∠+∠二、填空题 6．（2021·浙江仙居·七年级期末）如图，三角形ABC 中，AC ⊥BC ，则边AC 与边AB 的大小关系是________，依据是________．7．（2020·浙江杭州·模拟预测）1.471︒=︒_______分_________秒．8．（2021·浙江嵊州·七年级期末）已知25α∠=︒，则α∠的余角=_______________．三、解答题9．（2021·浙江·杭州市公益中学七年级月考）如图，将∠AOB 绕点O 逆时针旋转θ角，得到∠A ′OB ′．（1）若∠AOB ＝90°，且∠A ′OB ＝32°，求∠AOB ′的度数．（2）若∠AOB ′＝160°，且∠A ′OB ：∠BOB ′＝2：3，求θ角的度数．10．（2020·浙江杭州·七年级期中）计算：1081856.5'︒-︒11．（2021·浙江浙江·七年级期中）已知：如图，直线AB CD 、相交于点O ，EO CD ⊥于O ．（1）若:2:7BOD BOC ∠∠=，求AOE ∠的度数；（2）在（1）的条件下，请你过点O 画直线MN AB ⊥，并在直线MN 上取一点F （点F 与O 不重合），然后直接写出EOF ∠的度数．12．（2021·浙江浙江·七年级期末）已知同一平面上以O 为端点有三条射线,,OA OB OC ；①若80,20AOB BOC ∠=︒∠=︒，求AOC ∠的度数；②若,AOB BOC αβ∠=∠∠=∠，（,αβ∠∠均为锐角），求AOC ∠的度数（用,αβ∠∠表示）．13．（2018·浙江镇海·七年级期末）已知O 是直线AB 上的一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠.（1）如图①，若30AOC ∠=︒，求DOE ∠的度数；（2）在图①中，若AOC α∠=，直接写出DOE ∠的度数（用含α的代数式表示）；（3）在（1）问前提下COD ∠绕顶点O 顺时针旋转一周.①当旋转至图②的位置，写出AOC ∠和DOE ∠的度数之间的关系，并说明理由；②若旋转的速度为每秒10︒，几秒后30BOD ∠=︒？（直接写出答案）14．（2020·浙江·金华市南苑中学七年级月考）如果两个锐角的和等于90°，就称这两个角互为余角．类似可以定义：如果两个角的差的绝对值等于90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠l=120°，∠2=30°，|∠1∠2|=90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）.（1）如图，0为直线AB 上一点，OC 丄AB 于点O ，OE⊥OD 于点O ，请写出图中所有互为垂角的角有_____________；（2）如果有一个角的互为垂角等于这个角的补角的45，求这个角的度数.15．（2017·浙江嵊州·七年级期末）点A，O，B依次在直线MN上，如图1，现将射线OA绕点O顺时针方向以每秒10°的速度旋转，同时射线OB绕着点O按逆时针方向以每秒15°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t秒（t≤12）．（1）在旋转过程中，当t=2时，求∠AOB的度数．（2）在旋转过程中，当∠AOB=105°时，求t的值．（3）在旋转过程中，当OA或OB是某一个角（小于180°）的角平分线时，求t的值．。

空间向量研究距离,夹角问题

解:以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1), 所以直线A1C1的方向向量
又因为
所以点B到直线A1C1的距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:
(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;
(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;
讲课
直线和平面间的距离：
如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. 两个平行平面之间的距离
如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
讲
课
人
：
邢
启强
6
典型例题
例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3, ∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.
P
N
D
C
M
A
B
讲

课
人
：
邢
启强
10
解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz
则D(0,0,0),A(2a ,0,0),B( 2a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0a, )
∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( 2 a , 0, 0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
距离问题
前面,我们把平面向量推广到
空间向量
向量渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工

高中数学知识点精讲精析夹角的计算

5 夹角的计算1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a 与b ，在空间中任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a ,b ＞．说明：⑴规定：0≤＜a ，b ＞π≤．当＜a 、b ＞＝０时，a 与b 同向；当＜a 、b ＞＝π时，a 与b 反向；当＜a 、b ＞＝2π时，称a 与b 垂直，记a ⊥b ． ⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a ,b ＞＝＜b ,a ＞．⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的． ②＜a ,b ＞≠(a ,b )2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与b ，|a ||b |cos ＜a 、b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝０；⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.几何意义：已知向量AB ＝a 和轴l ，e 是l 上和l 同方向的单位向量．作点A 在l 上的射影A ′，点B 在l 上的射影B ′，则''A B 叫做向量AB 在轴l 上或在e 方向上的正射影，简称射影．可以证明：''A B ＝｜AB ｜cos ＜a ,e ＞＝a ·e ．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a ·e 的几何意义．3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：⑴a ·e ＝｜a ｜·cos ＜a ,e ＞； ⑵a ⊥b ⇔a ·b ＝０⑶当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜；当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜.特别地，a ·a ＝｜a ｜2或｜a ⑷cos ＜a ,b ＞＝a ba b⋅⋅; ⑸｜a ·b ｜≤｜a ｜·｜b ｜. 4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律： ⑴(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)； ⑵ a ·b ＝b ·a (交换律)； ⑶a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)说明：⑴(a ·b )c ≠a （b ·с）；⑵有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2，(a ＋b )2＝a 2＋２a ·b ＋b 25. 夹角公式推导：∵ a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞∴ 1122a b a b a++cos ＜a ,b ＞由此可以得出：cos ＜a ,b这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 同向；当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 反向；当cos ＜a 、b ＞＝0时，a ⊥b ．1．设)32 ,322 ,321( ),4 ,4 ,2(+-+==b a，试求b a ,之夹角。

第12讲主从联动模型(解析版)

中考数学几何模型12：主从联动模型名师点睛① 当轨迹为直线时思考1如图，P 是直线BC 上一动点，连接AP ，取AP 中点Q ，当点P 在BC 上运动时， Q 点轨迹是？PQ ABCN CBAQP M揭秘：将点P 看成主动点，点Q 看成从动点，当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A 、Q 向BC 作垂线，垂足分别为M 、N ，在运动过程中，因为AP =2AQ ，所以QN 始终为AM 的一半，即Q 点到BC 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线，且Q 点运动路径长为P 点运动路径长的一半．思考2如图，点C 为定点，点P 、Q 为动点，CP=CQ ，且∠PCQ 为定值，当点P 在直线 AB 上运动，请探究点Q 的运动轨迹.揭秘：当CP 与CQ 夹角固定，且AP =AQ 时，P 、Q 轨迹是同一种图形，且PP 1=QQ 1．可以这样理解：易知△CPP 1≌△CPP 1，则∠CPP 1=CQQ 1，故可知Q 点轨迹为一条直线.思考3如图，点C 为定点，点P 是直线AB 上的一动点，以CP 为斜边作Rt △CPQ ，且 ∠P=30°，当点P 在直线AB 上运动，请探究点Q 的运动轨迹.揭秘：条件CP 与CQ 夹角固定时，P 、Q 轨迹是同一种图形，且有11PP CP QQ CQ．可以这样理解：由CPQ ∽△CP 1Q 1，易得△CPP 1≌△CPP 1，则∠CPP 1=CQQ 1，故可知Q 点轨迹为一条直线.总结条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量．结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；轨迹是直线④ 当主动点、从动点到定点的距离不相等时，=从动点运动路径从动点到定点距离主动点运动路径主动点到定点距离.典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．A【分析】根据△DPF 是等边三角形，所以可知F 点运动路径长与P 点相同，P 从E 点运动到A 点路径长为8，故此题答案为8．变式练习>>>1．如图，在平面直角坐标系中，A （-3,0），点B 是y 轴正半轴上一动点，以AB 为边在AB 的下方作等边△ABP ，点B 在y 轴上运动时，求OP 的最小值．P 点轨迹，根据△ABP 是等边三角形且B 点在直线上运动，故可知P 点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B 与点O 重合时，作出P 点位置P 1；（2）当点B 在x 轴上方且AB 与x 轴夹角为60°时，作出P 点位置P 2．连接P 1P 2，即为P 点轨迹．根据∠ABP =60°可知：12P P 与y 轴夹角为60°，作OP ⊥12P P ，所得OP 长度即为最小值，OP 2=OA =3，所以OP =32．P 2P 1y xBAOPP 2P 1y xBAO例题2. 如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为．GABC DEF G 2G 1E D CBAFHG 2G 1ED CBA【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G 点运动轨迹．CG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF =1G E =1，CF =1322CE ，所以CH =52，因此CG 的最小值为52．变式练习>>>2．（2017秋•江汉区校级月考）如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，点E 在AB 上，点D 为BC 的中点，△EDM 为等边三角形．若点E 从点B 运动到点A ，则M 点所经历的路径长为 6 ．【解答】解：当点E 在B 时，M 在AB 的中点N 处，当点E 与A 重合时，M 的位置如图所示，所以点E 从点B 运动到点A ，则M 点所经历的路径为MN 的长， ∵△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝30°， ∵AB ＝6， ∴AD ＝＝3，∵△EDM 是等边三角形，∴AM ＝AD ＝3，∠DAM ＝60°， ∴∠NAM ＝30°+60°＝90°， ∵AN ＝AB ＝3，在Rt △NAM 中，由勾股定理得：MN ＝＝＝6，则M 点所经历的路径长为6，故答案为：6．例题3. 如图，已知点A 是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y =-x 于点N ，若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB =30°，BA ⊥P A ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是________．yxN MPACBO【分析】根据∠P AB =90°，∠APB =30°可得：AP :AB =3:1，故B 点轨迹也是线段，且P 点轨迹路径长与B 点轨迹路径长之比也为3:1，P 点轨迹长ON 为26，故B 点轨迹长为22．变式练习>>>3．（2019•东台市模拟）如图，平面直角坐标系中，点A（0，﹣2），B（﹣1，0），C（﹣5，0），点D 从点B出发，沿x轴负方向运动到点C，E为AD上方一点，若在运动过程中始终保持△AED～△AOB，则点E运动的路径长为．【解答】解：如图，连接OE．∵∠AED＝∠AOD＝90°，∴A，O，E，D四点共圆，∴∠EOC＝∠EAD＝定值，∴点E在射线OE上运动，∠EOC是定值．∵tan∠EOD＝tan∠OAB＝，∴可以假设E（﹣2m，m），当点D与C重合时，AC＝＝，∵AE＝2EC，∴EC＝＝，∴（﹣2m+5）2+m2＝，解得m＝或（舍弃），∴E（﹣，），∴点E的运动轨迹＝OE的长＝，故答案为．名师点睛②当轨迹为弧线时思考1如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？A OPQ揭秘：Q点轨迹是一个圆，考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，1=2 QM AQPO AP．QPOA M小结：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．思考2：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，作AQ ⊥AP 且AQ =AP ．当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？OP QA揭秘： Q 点轨迹是个圆，可理解为将AP 绕点A 逆时针旋转90°得AQ ，故Q 点轨迹与P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP ⊥AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM ⊥AO ；考虑AP =AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM =AO ，且可得半径MQ =PO ．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ≌△AQM ．MA QPO思考3：如图，△APQ 是直角三角形，∠P AQ =90°，且AP =2AQ ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？OPQA揭秘：考虑AP ⊥AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM ⊥AO ；考虑AP ：AQ =2：1，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AO ：AM =2：1．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ∽△AQM ，且相似比为2．OPQM A推理：（1）如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为一边作等边△APQ ．当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是和圆O 全等的一个圆.（2）如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为斜边作等腰直角△APQ ．当点P在圆O 上运动时，Q 点轨迹为按AP ：AQ=AO ：AM：1的比例缩放的一个圆.总结：为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量，即：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； ②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP ：AQ 是定值）．典题探究启迪思维探究重点例题4. 如图，点P （3，4），圆P 半径为2，A （2.8，0），B （5.6，0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．OyxA B CM P【分析】M 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点．考虑C 是BM 中点，可知C 点轨迹：取BP 中点O ，以O 为圆心，OC 为半径作圆，即为点C 轨迹．当A 、C 、O 三点共线且点C 在线段OA 上时，AC 取到最小值，根据B 、P 坐标求O ，利用两点间距离公式求得OA ，再减去OC 即可．答案为32OOy xA BC M PO PMC BAxyO变式练习>>>4．如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC =2P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当点P 从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．B MPDO BM P【分析】考虑C 、M 、P 共线及M 是CP 中点，可确定M 点轨迹：取AB 中点O ，连接CO 取CO 中点D ，以D 为圆心，DM 为半径作圆D 分别交AC 、BC 于E 、F 两点，则弧EF 即为M 点轨迹．当然，若能理解M 点与P 点轨迹关系，可直接得到M 点的轨迹长为P 点轨迹长一半，即可解决问题．答案为2例题5. 如图，正方形ABCD中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．OABCDE F【分析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO =2，故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．考虑DE ⊥DF 且DE =DF ，故作DM ⊥DO 且DM =DO ，F 点轨迹是以点M 为圆心，2为半径的圆．直接连接OM ，与圆M 交点即为F 点，此时OF 最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM ，减去MF 即可得到OF的最小值．答案为变式练习>>>5．△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．AB CDE O【分析】考虑到AB 、AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB ，将AC 看成动线段，由此引发正方形BCED 的变化，求得线段AO 的最大值．根据AC =2，可得C 点轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆．接下来题目求AO 的最大值，所以确定O 点轨迹即可，观察△BOC 是等腰直角三角形，锐角顶点C 的轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆，所以O 点轨迹也是圆，以AB 为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M 即为点O 轨迹圆圆心．连接AM 并延长与圆M 交点即为所求的点O ，此时AO 最大，根据AB 先求AM ，再根据BC 与BO 的比值可得圆M 的半径与圆A 半径的比值，得到MO ，相加即得AO ．答案为名师点睛③ 当轨迹为其他种类时根据刚才我们的探究，所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．典题探究启迪思维探究重点例题6. 如图，在反比例函数2y x=-的图像上有一个动点A ，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数ky x=的图像上运动，若tan ∠CAB =2，则k 的值为（）CBAOyx NM xyOABCA ．2B ．4C ．6D ．8 【分析】∠AOC =90°且AO ：OC =1：2，显然点C 的轨迹也是一条双曲线，分别作AM 、CN 垂直x 轴，垂足分别为M 、N ，连接OC ，易证△AMO ∽△ONC ，∴CN =2OM ，ON =2AM ，∴ON ·CN =4AM ·OM ，故k =4×2=8．【思考】若将条件“tan ∠CAB =2”改为“△ABC 是等边三角形”，k 会是多少？变式练习>>>6．（2017•深圳模拟）如图，反比例函数y ＝的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y ＝的图象上运动，tan ∠CAB ＝2，则关于x 的方程x 2﹣5x +k ＝0的解为 x 1＝﹣1，x 2＝6 ．【解答】解：连接OC ，过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ，如图所示， ∵由直线AB 与反比例函数y ＝的对称性可知A 、B 点关于O 点对称，∴AO ＝BO ．又∵AC ＝BC ，∴CO ⊥AB ． ∵∠AOE +∠AOF ＝90°，∠AOF +∠COF ＝90°， ∴∠AOE ＝∠COF ，又∵∠AEO ＝90°，∠CFO ＝90°， ∴△AOE ∽△COF ，∴＝＝，∵tan ∠CAB ＝＝2，∴CF ＝2AE ，OF ＝2OE ．又∵AE •OE ＝，CF •OF ＝|k |，∴k ＝±6．∵点C 在第二象限，∴k ＝﹣6，∴关于x 的方程x 2﹣5x +k ＝0可化为x 2﹣5x ﹣6＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝6．故答案为：x 1＝﹣1，x 2＝6．例题7. 如图，A （-1,1），B （-1,4），C （-5,4），点P 是△ABC 边上一动点，连接OP ，以OP 为斜边在OP 的右上方作等腰直角△OPQ ，当点P 在△ABC 边上运动一周时，点Q 的轨迹形成的封闭图形面积为________．QCxyOA B P【分析】根据△OPQ 是等腰直角三角形可得：Q 点运动轨迹与P 点轨迹形状相同，根据OP :OQ =2:1，可得P 点轨迹图形与Q 点轨迹图形相似比为2:1，故面积比为2:1，△ABC 面积为1/2×3×4=6，故Q 点轨迹形成的封闭图形面积为3．【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．变式练习>>>7．（2017春•工业园区期末）如图，△ABC的面积为9，点P在△ABC的边上运动．作点P关于原点O的对称点Q，再以PQ为边作等边△PQM．当点P在△ABC的边上运动一周时，点M随之运动所形成的图形面积为（）A．3 B．9 C．27 D．【解答】解：如图，∵点P从点A出发，沿△ABC的边从A﹣B﹣C﹣A运动一周，且点Q关于原点O与点P对称，∴点Q随点P运动所形成的图形是△ABC关于O的中心对称图形，以PQ为边作等边△PQM，M点对应的A，B，C的点分别为M a，M b，M c，∵△M b Q b B是等边三角形，∴M b O＝OB，同理M c O＝OC，∴＝＝，∵∠COB+∠BOM c＝90°，∠M c OM b+∠BOM c＝90°∴∠COB＝∠M c OM b，∴△M c OM b∽△COB，∴M b M c＝BC，同理，M a M b＝AB，M a M c＝AC，∴△M a M b M c∽△ABC，∴△M a M b M c的面积＝9×（）2＝27，即点M随点P运动所形成的图形的面积为27．故选：C．例题8. 如图所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为___________．ABCDPE MPDCB ANE A BCD PM【分析】固定AB 不变，AC =2，则C 点轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆，以BC 为斜边作等腰直角三角形BCD ，则D 点轨迹是以点M 为圆心、2为半径的圆考虑到AP =2AD ，故P 点轨迹是以N 为圆心，22为半径的圆，即可求出PB 的取值范围．答案为4-22422PB ≤≤+变式练习>>>8．（2018秋•新吴区期末）如图已知：正方形OCAB ，A （2，2），Q （5，7），AB ⊥y 轴，AC ⊥x 轴，OA ，BC 交于点P ，若正方形OCAB 以O 为位似中心在第一象限内放大，点P 随正方形一起运动，当PQ 达到最小值时停止运动．以PQ 的长为边长，向PQ 的右侧作等边△PQD ，求在这个位似变化过程中，D 点运动的路径长（）A ．5B ．6C ．2D ．4【解答】解：如图，连接OQ ，以OQ 为边向下作等边△OQH ，连接DH ，作QE ⊥OA 交OA 的延长线于E ． ∵△OQH ，△PQD 都是等边三角形，∴QO ＝QH ，QP ＝QD ，∠OQH ＝∠PQD ＝60°， ∴∠OQP ＝∠HQD ，∴△OQP ≌△HQD （SAS ）， ∴OP ＝DH ，∴点D 的运动路径的长＝点P 的运动路径的长，∵直线OA 的解析式为y ＝x ，Q （5，7），QE ⊥OA ，∴直线EQ使得解析式为y＝﹣x+12，由，解得，∴E（6，6），∵P（1，1），∴PE＝5，根据垂线段最短可知，当点P与点E重合时，PQ的长最短，∴点P的运动路径的长为5，∴点D的运动路径的长为5，故选：A．例题9. （2019秋•硚口区期中）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在一个平面上，边AC 与EF重合，BC＝4cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动，当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为（24﹣12）cm．【解答】解：∵BC＝4cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°，∴AC＝BC＝12cm，AB＝2BC＝8cm，ED＝DF＝AC＝6cm，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M，如图所示：∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°，∴∠E'D'N＝∠F'D'M，在△D'NE'和△D'MF'中，，∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS），∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM，∴CD'平分∠ACM，即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6）cm，∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm；故答案为：（24﹣12）．变式练习>>>9．（2018•金华模拟）如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O 重合时运动结束．在这个运动过程中．（1）AB中点P经过的路径长π．（2）点C运动的路径长是8﹣12．【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，P为AB的中点，∴OP＝AB，∵AB＝4，∴OP＝2，∴AB中点P运动的轨迹是以O为圆心，以OP为半径的圆弧，即AB中点P经过的路径长＝×2×2π＝π；（2）①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长，∴AC′＝OC＝8，∵AC′∥OB，∴∠AC′O＝∠COB，∴cos∠AC′O＝cos∠COB＝＝，∴＝，∴OC′＝4，∴CC′＝4﹣8；②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，综上所述，点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；故答案为：（1）π；（2）8﹣12．达标检测领悟提升强化落实1. （2018秋•黄冈期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，则Q点运动的路径为2cm．【解答】解：如图，Q点运动的路径为QQ′的长，∵△ACQ和△ABQ′是等边三角形，∴∠CAQ＝∠BAQ′＝60°，AQ＝AC＝AQ′＝2cm，∵∠BAC＝90°，∴∠QAQ′＝90°，由勾股定理得：QQ′＝＝＝2，∴Q点运动的路径为2cm；故答案为：2．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是．【解答】解：E的运动路径是线段EE'的长；∵AB＝4，∠DCA＝30°，∴BC＝，当F与A点重合时，在Rt△ADE'中，AD＝，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°，∴DE'＝，∠CDE'＝30°，当F与C重合时，∠EDC＝60°，∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°，在Rt△DEE'中，EE'＝；故答案为．3．（2019•铜山区二模）如图，已知点M（0，4），N（4，0），开始时，△ABC的三个顶点A、B、C分别与点M、N、O重合，点A在y轴上从点M开始向点O滑动，到达点O结束运动，同时点B沿着x 轴向右滑动，则在此运动过程中，点C的运动路径长4．【解答】解：过点C'作C'D⊥x轴，C'E⊥y轴∵点M（0，4），N（4，0），∴OM＝ON，∵∠CA'C'+45°＝∠EAB+∠MGB＝45°+∠MGB，∴∠EA'C'＝∠B'GB，∵∠B'GB+∠GB'B＝45°，∠GB'B+∠DB'C'＝45°，∴∠EA'C'＝∠DB'C'，又∵A'C'＝B'C'，∴Rt△A'C'E≌Rt△B'C'D（HL），∴EC'＝DC'，∴C'在第四象限的角平分线上，∴C的运动轨迹是线段AC，∴C的运动路径长为4；故答案为4；3．（2018•宝应县三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，若P是以AB为直径所作半圆上由A沿着半圆向B运动的一点，连接CP，过P向下作PM⊥CP，且有PM＝0.5CP，如图示，求点P运动过程中，点M的运动路径长是π．【解答】解：如图，∵点P的运动轨迹是半圆，PM⊥CP，且有PM＝0.5CP，可见点M的运动轨迹是半圆．当PC是直径时，CM也是的直径，∴PC＝AB＝4时，PM＝2，∴CM＝＝2，∴的长＝•π＝π，故答案为π4．如图，已知线段AB＝8，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP＝2不变，连结BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连结BC、AC，则线段AC长的最大值是2．【解答】答案为：625．（2017•江阴市二模）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为2+1．【解答】解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝2，∠OCP＝∠ECD，∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，∴CP＝2CD，∴＝＝2，∴△COP∽△CED，∴＝＝2，即ED＝OP＝1（定长），∵点E是定点，DE是定长，∴点D在半径为1的⊙E上，∵OD≤OE+DE＝2+1，∴OD的最大值为2+1，故答案为．6．（2018•建湖县一模）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（0，﹣3），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为 1.5．【解答】解：解法一：如图，取点D（﹣4，0），连接PD，∵C是AP的中点，O是AD的中点，∴OC是△APD的中位线，∴OC＝PD，连接BD交⊙B于E，∵OD＝4，OB＝3，∴BD＝5，当点P与点E重合时，PD最小为5﹣2＝3，故OC的最小值为1.5；解法二：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时，OC的长最小，设线段AB交⊙B于Q，Rt△AOB中，OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，∵⊙B的半径为2，∴BP1＝2，AP1＝5+2＝7，∵C1是AP1的中点，∴AC1＝3.5，AQ＝5﹣2＝3，∵C2是AQ的中点，∴AC2＝C2Q＝1.5，C1C2＝3.5﹣1.5＝2，即⊙D的半径为1，∵AD＝1.5+1＝2.5＝AB，∴OD＝AB＝2.5，∴OC＝2.5﹣1＝1.5，故答案为：1.5．7．（2016•江岸区校级模拟）如图，线段AB＝2，C是AB上一动点，以AC、BC为边在AB同侧作正△ACE、正△BCF，连EF，点P为EF的中点．当点C从A运动到B时，P点运动路径长为1．【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H．∵∠A＝∠FCB＝60°，∴AH∥CF，∵∠B＝∠ECA＝60°，∴CE∥BH，∴四边形ECFH为平行四边形，∴EF与HC互相平分．∵P为CH的中点，∴P正好为EF中点，即在P的运动过程中，P始终为CH的中点，所以P的运行轨迹为三角形HAB的中位线MN．∵AB＝2，∴MN＝1，即P的移动路径长为1，故答案为：18．（2019秋•江岸区校级月考）如图，正△ABC中，AB＝2，AD⊥BC于D，P，Q分别是AB，BC上的动点，且PQ＝AD，点M在PQ的右上方且PM＝QM，∠M＝120°，当P从点A运动到点B时，M运动的路径长为3﹣．(看成固定三角板滑动处理/或反其道而行之)【解答】解：如图1中，作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，连接BM．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠MEB＝∠MFB＝90°，∴∠EMF＝∠PMQ＝120°，∴∠PME＝∠QMF，∵MP＝MQ，∴△MEP≌△MFQ（AAS），∴ME＝MF，∴BM平分∠ABC，∴点M的在射线BM上运动．如图2中，由题意，当PQ∥AC时，BM的值最大，最大值BM＝＝＝＝2，当P1Q1落在BC上时，得到BM1的值最小，最小值BM1＝＝＝1，设BM交AC于G，点M的运动路径是G→M→M1∴点M的运动路径的长＝MG+MM1＝BM﹣BG+BM﹣BM1＝2﹣+2﹣1＝3﹣．故答案为3﹣．9．如图，点P（t，0）（t＞0）是x轴正半轴上的一定点，以原点为圆心作半径为1的弧分别交x轴．y轴于A，B两点，点M是上的一个动点，连结PM，作∠MPM1＝90°，∠PMM1＝60°，当P是x轴正半轴上的任意一点时，点M从点A运动至点B，M1的运动路径长是π．【解答】解：如图作PH⊥x轴，使得PH＝OP．∵∠APH＝∠MPM1，∴∠OPM＝∠HPM1∵＝＝，∴△PHM1∽△POM，∴＝＝，∵OM＝1，∴HM1＝．即点M1的运动路径为圆心为H，半径为的弧，∵∠AOB＝90°，∴点M1的运动的弧的圆心角为90°其长度为×2π×＝π，∴M1的运动路径长＝π．故答案为：π．10．（2017秋•宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点（C始终在第一象限），且tan∠BAC＝．则当点A从A0（0，10）滑动到O（0，0），B从O（0，0）滑动到B0（10，0）的过程中，点C运动的路径长为20﹣6．【解答】解：如图1中，作射线OC．∵tan∠BAC＝，∴∠CAB是定值，∵∠COB＝∠CAB，∴∠COB是定值，∴点C在射线OC上运动．如图2中，当线段AB在y轴上时，设OC1＝k，A1C1＝2k，则有：k2+4k2＝102，∴k＝2∴OC1＝2，如图2中，四边形A2OB2C2是矩形时，OC2＝AB＝10，此时OC2的值最大，当线段AB在x轴上时，同法可得OC3＝4，观察图形可知，点C的运动轨迹是C1→C2→C3，∴点C的运动路径为：（10﹣2）+（10﹣4）＝20﹣6，故答案为20﹣6．。

中考数学几何模型第12讲主从联动模型(解析版)

根据模型可知：与AB夹角为60°，故 ⊥ ．过点E作EF⊥CH于点F，则HF= =1，CF= ，所以CH= ，因此CG的最小值为．
变式练习>>>
2．（2017秋•江汉区校级月考）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E在AB上，点D为BC的中点，△EDM为等边三角形．若点E从点B运动到点A，则M点所经历的路径长为6．
变式练习>>>
6．（2017•深圳模拟）如图，反比例函数y＝的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝的图象上运动，tan∠CAB＝2，则关于x的方程x2﹣5x+k＝0的解为x1＝﹣1，x2＝6．
【解答】解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，如图所示，
【分析】根据∠PAB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB= ，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为，P点轨迹长ON为，故B点轨迹长为．
变式练习>>>
3．（2019•东台市模拟）如图，平面直角坐标系中，点A（0，﹣2），B（﹣1，0），C（﹣5，0），点D从点B出发，沿x轴负方向运动到点C，E为AD上方一点，若在运动过程中始终保持△AED～△AOB，则点E运动的路径长为．
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．
典题探究启迪思维探究重点
例题4.如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．
【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．答案为

第12讲-蜂窝技术清华大学《无线通信》讲义

第12讲蜂窝技术无线通信工程
清华大学微波与数字通信技术国家重点实验室
蜂窝系统概念（蜂窝系统概念（续）
在蜂窝系统中，基站位置的设置可以有两种方法：－中心发射小区，用于全向天线。－边角发射小区，用于扇形天线。
o
o
中心发射小区
第12讲蜂窝技术无线通信工程
边角发射小区
清华大学微波与数字通信技术国家重点实验室
3 Rc 2
u
300
x = u cos 30 0 =
3 u 2 1 0 y = u sin 30 + v = u + v 2
无线通信工程
清华大学
第12讲蜂窝技术
微波与数字通信技术国家重点实验室
蜂窝坐标系统（蜂窝坐标系统（续）坐标系统
环状蜂窝坐标系统六个扇区旋转对称，每个扇区600 在扇区中的一个小区其坐标：（n,i）其中n为环的圈数，i为在第n的环中小区的序号，i=1,2,…,n 第n个环上第i个小区到原点的距离：
γ γ C 1 1 γ /2 = (3K ) 6 + 12 + 18 + L I 2 3
1
(3K )γ / 2 1 + 1 γ 1 + 1 γ 1 + L =
6 2 3
(3K )γ / 2 = 6 × ζ (γ 1)
其中：ζ（）是黎曼Zeta函数。
f4 f3 f1 f3 f1 f2 f4 f2 f4 f3 f1 f3 f1 f3 f1 K＝4 f2 f4 f2 f2 f4 f3 f1 f3 f1
D
第12讲蜂窝技术无线通信工程
清华大学微波与数字通信技术国家重点实验室
簇（Cluster）的概念（续））的概念（

第12讲空间向量——立体几何问题化为向量问题

第12讲空间向量——立体几何问题化为向量问题空间向量是平面向量在空间的推广，应与平面向量对比复习，从定义、表示、共线(面)定理、基本定理、加减法运算、数乘运算、数量积运算等方面全面复习，掌握空间向量的基础知识．空间向量是解决立体几何问题的重要工具，它的作用就是用向量运算尤其是坐标运算代替线线、线面、面面的平行和垂直的推理论证，将空间角的求解转化为空间向量夹角的求解．1．确定垂直关系——坐标运算的前提．利用空间向量解决立体几何问题，首先要根据空间几何体的结构特征与空间线面关系，挖掘、明确几何体中的线面垂直关系，找到或作出两两垂直的三条直线，从而建立空间直角坐标系，完成向量坐标运算的前提．虽然向量开辟了解决立体几何问题的新途径，但是空间中的线面位置关系仍然是基础．2．写出相关点的坐标——坐标运算的基础．建立适当的坐标系后，就要写出一些关键点的坐标，以便求解直线的方向向量，平面的法向量．求解点A的坐标，一般要确定它在坐标平面xOy内的射影A′，然后在平面xOy内确定点A′分别在x轴、y轴上的射影，求出A′的横、纵坐标，即点A的横、纵坐标，然后再根据线段AA′的长度及点A′的位置写出A的竖坐标，于是确定了点A的坐标．继而求出直线的一个方向向量、平面的一个法向量．3．清楚空间角与向量夹角的区别与联系．首先要清楚向量夹角的概念及各种空间角(异面直线所成角、线面角、二面角)的概念，能运用数形结合的思想弄清向量夹角与空间角的区别与联系，没必要死记结论．如线面角，如图，线面角θ与∠OAB互余，而∠OAB与向量夹角α相等或互补(α可能为锐角，也可能为钝角)，故sin θ＝cos ∠OAB＝|cos α|＝|n1·n2| |n1||n2|.例1已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：(1)AD1∥平面BDC1；(2)A1C⊥平面BDC1.解后反思利用空间向量证明位置关系的方法：线线平行⇔直线方向向量平行(直线不重合)；线面平行⇔直线方向向量与平面法向量垂直；面面平行⇔平面法向量平行(平面不重合)；线线垂直⇔直线方向向量垂直；线面垂直⇔直线方向向量与平面法向量共线；面面垂直⇔平面法向量垂直．例2在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，求直线BC与平面P AC所成的角．解后反思1．设直线l的方向向量为a，直线m的方向向量为b，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n 2，则直线l 与直线m 所成的角θ满足cos θ＝|a·b ||a ||b |；设直线l 与平面α所成的角φ满足sin φ＝|a·b ||a ||b |；平面α与平面β所成的角γ满足|cos γ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|.2．由底面是正方形，SO ⊥底面ABCD ，SO ＝OD ，知CS ＝CD ，则CP ⊥SD ，同理，AP ⊥SD ，故SD ⊥平面P AC ，故SD →为平面P AC 的法向量．挖掘线面垂直关系，能更快地写出平面的法向量．例3 在棱长AB ＝AD ＝2，AA 1＝3的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是平面BCC 1B 1上的动点，点F 是CD 的中点．试确定点E 的位置，使D 1E ⊥平面AB 1F .解后反思探索符合某些条件的特殊点，先要设出点的坐标，利用已知条件，建立方程(组)，通过方程(组)是否有解来确定．总结感悟1．根据空间几何体的结构特征与空间线面关系，挖掘、明确几何体中的线面垂直关系，是利用空间向量的坐标运算解决问题的前提．2．要善于挖掘线面垂直关系，利用平面的垂线，以便更快、更准地写出平面的法向量．3．探索符合某些条件的特殊点，先要设出点的坐标，利用已知条件，建立方程(组)，通过方程(组)是否有解来确定．如果探索的点在空间几何体的棱上，一般利用向量共线，设出一个未知数即可．如果探索的点在某个面内，一定不要忽略“在面内”这个条件．A 级1．设M (3，－1，4)，A (4，3，－1)，若OM →＝AB →(O 为坐标原点)，则点B 的坐标应为____________．2．平面α的一个法向量为v 1＝(1，2，1)，平面β的一个法向量为v 2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β的位置关系是________．3．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝________．4．已知A (3，0，－1)、B (0，－2，－6)、C (2，4，－2)，则△ABC 是的形状是__________三角形．5．设点C (2a ＋1，a ＋1，2)在点P (2，0，0)、A (1，－3，2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________．6.如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．7．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD→＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于结论： ①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．B 级8．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为________．9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为________．10．平面α的法向量为(1，0，－1)，平面β的法向量为(0，－1，1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为______．11．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A －BD －C 的正弦值为________．12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．13．(2016·全国Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，平面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角DAFE 与二面角CBEF 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥EFDC ； (2)求二面角EBCA 的余弦值．第12讲空间向量——立体几何问题化为向量问题题型分析例1 证明以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz . 设正方体的棱长为1，则有D (0，0，0)，A (1，0，0)，D 1(0，0，1)，A 1(1，0，1)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，C 1(0，1，1)，∴AD →1＝(－1，0，1)，A 1C →＝(－1，1，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDC 1的法向量，则n ⊥DB →，n ⊥DC →1. ∴⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·（1，1，0）＝0，（x ，y ，z ）·（0，1，1）＝0. ∴⎩⎨⎧x ＋y ＝0，y ＋z ＝0. 令x ＝1，则n ＝(1，－1，1)．(1)n ·AD →1＝(1，－1，1)·(－1，0，1)＝0，知n ⊥AD →1.又AD 1⊄平面BDC 1， ∴AD 1∥平面BDC 1.(2)∵n ＝(1，－1，1)，A 1C →＝(－1，1，－1)，知n ∥A 1C →.∴A 1C ⊥平面BDC 1.例2 解如图，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz .设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a ，0，0)，B (0，a ，0)，C (－a ，0，0)，P (0，－a 2，a 2)，则CA →＝(2a ，0，0)，AP →＝(－a ，－a 2，a 2)，CB →＝(a ，a ，0)．设平面P AC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·CA →＝0，且n ·AP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＝0，－ax －a 2y ＋a 2z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x ＋12y －12z ＝0，可取n ＝(0，1，1)，设直线BC 与平面P AC 所成的角为θ，则sin θ＝|CB →·n |CB →|·|n ||＝a 2a 2·2＝12， ∴〈CB →，n 〉＝60°，∴直线BC 与平面P AC 的夹角为30°. 例3 解建立空间直角坐标系如图，则A (0，0，0)，F (1，2，0)，B 1(2，0，3)，D 1(0，2，3)，设E (2，y ，z )，则D 1E →＝(2，y －2，z －3)，AF →＝(1，2，0)，AB 1→＝(2，0，3)， ∵D 1E ⊥平面AB 1F ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧D 1E →·AF →＝0，D 1E →·AB 1→＝0.即⎩⎨⎧2＋2（y －2）＝0，4＋3（z －3）＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝53.∴E (2，1，53)即为所求．线下作业 1．(7，2，3)解析 ∵OM→＝AB →＝OB →－OA →，∴OB →＝OM →＋OA →＝(7，2，3)． 2．平行解析由v 1∥v 2故可判断α∥β. 3.75解析 k a ＋b ＝(k －1，k ，2)， 2a －b ＝(3，2，－2)．若k a ＋b 与2a －b 垂直，则(k a ＋b )·(2a －b )＝0. 即3(k －1)＋2k －4＝0. 解得k ＝75. 4．直角解析 AB→＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1，4，－1)，则AB →·AC →＝－3×(－1)－2×4＋5＝0， |AB→|≠|AC →|. ∴AB →⊥AC →，故△ABC 为直角三角形． 5．16解析 P A →＝(－1，－3，2)，PB →＝(6，－1，4)．根据共面向量定理，设PC →＝xP A →＋yPB →(x 、y ∈R )，则(2a －1，a ＋1，2)＝x (－1，－3，2)＋y (6，－1，4) ＝(－x ＋6y ，－3x －y ，2x ＋4y )，∴⎩⎨⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.6.25 解析方法一 ∵AM →＝AA 1→＋A 1M →，CN →＝CB →＋BN →，∴AM →·CN →＝(AA 1→＋A 1M →)·(CB →＋BN →)＝AA 1→·BN →＝12. 而|AM →|＝（AA 1→＋A 1M →）·（AA 1→＋A 1M →）＝ |AA 1→|2＋|A 1M →|2＝ 1＋14＝52. 同理，|CN →|＝52.如令α为所求角，则 cos α＝|AM →·CN →||AM →||CN →|＝1254＝25.方法二如图以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，M (1，12，1)，C (0，1，0)，N (1，1，12)，∴AM →＝(1，12，1)－(1，0，0)＝(0，12，1)，CN →＝(1，1，12)－(0，1，0)＝(1，0，12)．故AM →·CN →＝0×1＋12×0＋1×12＝12，|AM →|＝ 02＋（12）2＋12＝52，|CN →|＝ 12＋02＋（12）2＝52.∴cos α＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1252·52＝25. 7．①②③解析由于AP →·AB→＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0， AP →·AD→＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 8．30°解析设l 与α所成角为θ，∵cos 〈m ，n 〉＝－12，∴sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.9.105解析建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D (0，0，0)， B (2，2，0)，B 1(2，2，2)，E (0，2，1)．∴BD →＝(－2，－2，0)，BB 1→＝(0，0，2)，BE →＝(－2，0，1)．设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∵n ⊥BD →，n ⊥BB 1→， ∴⎩⎨⎧－2x －2y ＝0，2z ＝0.∴⎩⎨⎧x ＝－y ，z ＝0.令y ＝1，则n ＝(－1，1，0)．∴cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n ||BE→|＝105，设直线BE 与平面B 1BD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BE →〉|＝105.10.π3或2π3解析设u ＝(1，0，－1)，v ＝(0，－1，1)，则cos θ＝±|cos 〈u ，v 〉|＝±|－12×2|＝±12.∴θ＝π3或2π3. 11.255解析取BC 中点O ，连结AO ，DO ，建立如图所示的坐标系：设BC ＝1，则A (0，0，32)，B (0，－12，0)，D (32，0，0)．所以OA →＝(0，0，32)， BA →＝(0，12，32)，BD →＝(32，12，0)．由于OA →＝(0，0，32)为平面BCD 的法向量，设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BD →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0，取x ＝1，则y ＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，OA →〉＝55，sin 〈n ，OA →〉＝255.12.23解析以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ，设棱长为1.则A 1(0，0，1)，E (1，0，12)，D (0，1，0)，∴A 1D →＝(0，1，－1)，A 1E →＝(1，0，－12)．设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，所以有⎩⎪⎨⎪⎧A 1D →·n ＝0，A 1E →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎨⎧y ＝2，z ＝2. ∴n 1＝(1，2，2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，即所成的锐二面角的余弦值为23.13.(1)证明由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC ，又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)解过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF→的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz .由(1)知∠DFE 为二面角DAFE 的平面角，故∠DFE ＝60°，则|DF |＝2，|DG |＝3，可得A (1，4，0)，B (－3，4，0)，E (－3，0，0)，D (0，0，3)．由已知，AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC ，又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF ，由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角CBEF 的平面角，∠CEF ＝60°，从而可得C (－2，0，3)．所以EC→＝(1，0，3)，EB →＝(0，4，0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4，0，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0.所以可取n ＝(3，0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0. 同理可取m ＝(0，3，4)，则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.故二面角EBCA 的余弦值为－21919.。

第12讲 空间中的夹角和距离

第12讲 角及余角、补角、对顶角(9大考点)(解析版)