第12讲 空间中的夹角和距离

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座12）—空间中的夹角和距离

一．课标要求：

1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。

2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角； 3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角； 二．要点精讲 1．距离

空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

（1）两条异面直线的距离

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。

（2）点到平面的距离

平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。

（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；

（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定）

2．夹角

空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。

（1）两条异面直线所成的角

求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2

,

0(π

，向量所成的角范围是

],0[π，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。

（2）直线和平面所成的角

求法：

“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”。

（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的

解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos

＝

S

S

，其中S 为斜面面积，S ′为射影面积， 为斜面与射影面所成的二面角。

3．等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 三．典例解析

题型1：直线间的距离问题

例1．已知正方体的棱长为1，求直线DA'与AC 的

距离。

解法1：如图1连结A'C'，则AC ∥面A'C'D'， 连结DA'、DC'、DO'，过O 作OE ⊥DO'于E

因为A'C'⊥面BB'D'D ，所以A'C'⊥OE 。

又O'D ⊥OE ，所以OE ⊥面A'C'D 。

因此OE 为直线DA'与AC 的距离。 求得

在Rt △OO'D 中，，可点评：此题是异面直线的距离问题：可作出异面直线的公垂线。

解法2：如图2连接A'C'、DC'、B'C 、AB'A'，得到分别包含DA'和AC 的两

个平面A'C'D 和平面AB'C ，

又因为A'C'∥AC ，A'D ∥B'C ，所以面A'C'D ∥面AB'C 。

故DA'与AC 的距离就是平面A'C'D 和平面AB'C 的距离，连BD'分别交

两平面于两点，易证是两平行平面距离。

不难算出，所以，所以异面直

线BD 与之间的距离为。 点评：若考虑到异面直线的公垂线不易做出，可分别过两异面直线作两平面互相平行，则异面直线的距离就是两平面的距离。 题型2：线线夹角

例2．如图1，在三棱锥S —ABC 中，，

，

，

，

求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。

B C

A D

B' C'

O'

A' D'

图1

E

O C B

D A

C' O 2 B'

D' A'

O 1

图2

S

A

C

B

图1

解法1：用公式 当直线

平面

，AB 与

所成的角为

，l 是

内的一条直线，l 与AB 在内的射影

所成的角为

，则异面直线l 与AB 所成的角满足。以此为据求解。

由题意，知平面ABC ，

，由三垂线定理，知，所以

平面SAC 。

因为，由勾股定理，得

。

在

中，

，在

中，

。

设SC 与AB 所成角为，则，

解法2：平移

过点C 作CD//BA ，过点A 作BC 的平行线交CD 于D ，连结SD ，则是异面直线SC 与AB 所成的角，如

图2。又四边形ABCD 是平行四边形。

由勾股定理，得：

。

S

A B

C

D

图2

在

中，由余弦定理，得：

。

点评：若不垂直，可经过如下几个步骤求解：（1）恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角；（2）证明这个角（或其补角）就是异面直线所成角；（3）解三角形（常用余弦定理），求出所构造角的度数。 题型3：点线距离

例3．（2002京皖春，15）正方形ABCD 的边长是2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角（如图所示）.M 为矩形AEFD 内一点，如果∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为

2

1

，那么点M 到直线EF 的距离为 。