平方差公式法因式分解
利用完全平方差公式进行因式分解
因式分解的几种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x3 -2x 2-xx3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a2 +4ab+4b2解：a2 +4ab+4b2 =（a+2b）23、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m2 +5n-mn-5m解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n= (m2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x2 -19x-6分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x2 +6x-40解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 ) 2=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]=(x+10)(x-4)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
初二数学《平方差公式因式分解》教学设计（三案）
罗湖高级中学初中部“三案”课堂教学设计课题利用平方差公式法进行因式分解目标 1.经历通过整式乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆向变形得出公式法因式分解的方法，发展逆向思维和推理能力。
2.会用平方差公式法因式分解。
重点平方差公式法的结构特征难点如何运用平方差公式进行因式分解教学设计环节(一)课前预习或诊断性测项)分钟)1)温故知新(1)(x+5)(x-5)=_________________:(2)((3x~y)=____________ ；它们的结果有什么共同特征？ _______________尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：孑_25二__________________________________;9x2 -y2=_______________________;困惑2)小组学习(课本99页内容)1.因式分解与整式乘法的关系是2.温=-----------------------3.判断下列各式中，能否用平方差公式因式分解+y20-y2()-x24-y2o-X2-y2o x-4y204把下列各式因式分解:(1)25-16.x2(2)?-4r(3)4x2-9v2(4)9a2--b24环节（二）小组讨论,展示分享,精讲点评（13分钟）例1.把下列各式因式分解，（1）2x3-8x（2）-4y2+x2 1；）16（/n+n）2-（/n-n）2（4）注意：公式中的a,b既可以是_________，也可以_______。
环节（三）课中习（13分钟）1.下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（）A.—x2+尸B.—1—n2C.a2—16b2D.9m2-42.把下列各式分解因式：（1）-9+4X2⑵9a2p2 -b2q-；—3ay、、4./-16y2困惑(5)9(m+n)2-4(m~n)2(6)'一)‘环节（四）小结（3）小结1.公式法中；的特点；①_____________:®_____________:③o2.应用平方差公式因式分解步骤：①________________j②环节（五）形成性测试（5分钟）1.下列各式中，因式分解正确的是()A.l+25a2=(l+5a)(l—5a)B・m2-16m=m(m+4)(m-4)C.x29b2=(x+9b)(x9b)D.16x2=(4+x)(4x)2.因式分解：(1)a2-4=_________________(2)-9s2 +t2=_____________(3)0.25q2-12ip2__________________(4)4x3-36x=________________3.已知a+b=4,a-b=3则a?—b2=______________4.已知x+y=2,则x2-y2+4y的值为______________5.先化再求值：(2a+3b)2—(2a—3b)2,其中a=7]-.bb环节（六）课后习巩固拓展作业1.[2017春•穿城县期末]多项式x2(x—2)+(2—x)因式分解的结果是()A.(X—2) (x2+1)B.(x-2)(x2-1)C.(x-2) (x+1)(x-1)•教学反思D.(x—2) (1+x)(1—x)2.因式分解：(1)[2017•河池]x2-25=(2)[2017•湘潭]tn?-n2=.⑶[2017-大庆]X，一4x=・(4)[2017•扬州]3x2一27=.(5)[2016•贺州](x—2)+m(2—x)=3.把多项式25(m+n)2—16(m —n)2因式分解为4.若x?—9=(x—3)(x+a),则a=.5.把下列各式因式分解：(1)0.49p2-144;(2)(2x+y»—(x+2y».。
因式分解公式平方差公式
因式分解公式平方差公式因式分解公式中的平方差公式，那可是数学世界里的一个超级实用的工具！咱们先来看看啥是平方差公式。
简单说，就是 a² - b² = (a + b)(a - b) 。
这公式看着简单，用起来可厉害着呢！就拿我曾经教过的一个学生小明的例子来说吧。
有一次课堂练习，题目是分解因式 x² - 25 。
小明一开始抓耳挠腮，不知道从哪儿下手。
我就提醒他，看看这式子像不像平方差公式的样子？他眼睛一亮，马上反应过来，25 不就是 5 的平方嘛，这式子不就是 x² - 5²嘛。
然后，他迅速写下 (x + 5)(x - 5) ，那脸上的表情，别提多得意了。
再比如，遇到 9m² - 4n²这样的式子。
咱们一看，9m²就是 (3m)²，4n²就是 (2n)²，那这就可以用平方差公式分解为 (3m + 2n)(3m - 2n) 。
平方差公式在解决实际问题中也大有用处。
比如说，要计算一个长方形场地的面积，已知它的长是 (x + 3) 米，宽是 (x - 3) 米，那面积就是 (x² - 9) 平方米。
这时候用平方差公式一分解，就能更清楚地知道具体数值。
而且啊，平方差公式还能帮我们在做数学证明题的时候找到思路。
有些看起来特别复杂的式子，一旦发现能用平方差公式分解，就好像找到了打开难题大门的钥匙。
我还记得有一次考试，有一道题是分解 16a⁴ - b⁴。
很多同学都被难住了，但那些真正掌握了平方差公式的同学，很快就把它分解为 (4a²+ b²)(2a + b)(2a - b) ，轻松拿下分数。
在数学的学习中，平方差公式就像是我们的得力助手，只要用对了地方，就能让难题变得简单。
所以同学们一定要好好掌握这个公式，多做练习，让它成为我们解题的神器！总之，平方差公式虽然简单，但是用处多多。
因式分解-平方差公式
知识探索
2、口答下列各题： (1) a2-1=( a )2-( 1 )2 (2) x4y2-4= ( x2y )2-( 2 )2 (3) 0.49x2-0.01y2=( 0.7x )2-( 0.1y )2
(4) 0.0001-121x2=( 0.01 )2-( 11x )2 3、能用平方差公式因式分解的多项式有 何特征？①有且只有两个平方项； ②两个平方项异号；
)
是 否 否
把下列各式进行因式分解 1. a3b3-a2b-ab ab(a2b2-a-1)
2. -9x2y+3xy2-6xy -3xy(3x-y+2)
在横线内填上适当的式子，使等式成立： （1）（x+5)(x-5)= （2）（a+b)(a-b)= （3） x2-25 = (x+5)( （4） a2-b2 = (a+b)( x2-25 a2-b2 x-5 a-b ; ; ); )。
2
2
= (a ▲ + b )( a b) ▲
（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号， 并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数 的差的形式。
你对平方差公式认识有多深？
2 2 a -b =(a+b)(a-b)
进一步分解因式。
4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简，
直到不能再分解为止。
小试身手
把下列各式分解因式:
(1) (2) 2 2 2 解：(1) 36-25x =6 -(5x) =(6+5x)(6-5x) (2) 16a2-9b2 =(4a)2-(3b)2 =(4a+3b)(4a-3b)
平方差公式分解因式
=a(1 +a2) (1 -a2) =a(1 +a2) (1+a) (1-a)
(2) 3m2-27n2 解：原式=3(m 2 -9n 2 ) =3(m+3n)（m-3n）
练习：将下列各式分解因式。
(3)2x4-8
解：原式=2(x4-4)
=2(x2 +2) (x2 -2)
若有公因式，先提取公因式； 套公式；
平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2= a2 +2ab+b2 完全平方公式： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
a2-b2 = (a+b)(a-b)
a2 +2ab+b2 = (a+b)2 a2 - 2ab+b2 =(a-b)2
你能快速算出 9992-1的结果来吗？
学会用平方差公式因式分解； 提公因式法与平方差公式的综合运用。
1.计算下列各式：
2 -4 a (1) (a+2)(a-2)=_________ 2-b2 a (2) (a+b)(a-b)=_________. 2-4b2 9 a (3) (3a+2b)(3a-2b) =_______.
2. 根据上面的算式填空：
运用平方差公式分解因式的一般步骤：
(1) 还原成平方差的形式.
(2) 运用公式写成两数和与两数差的积的形式.
(3) 分别在括号内合并同类项.
(4) 各因式分解到不能再分解为止.
9(a+b)2-4(a-b)2
=[3(a+b)]2-[2(a-b)] 2 =[3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a+b)] =(3a+3b+2a-2b)(3a+3b-2a+2b) =(5a+b)(a+5b)
平方差公式法因式分解
平方差公式法因式分解掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解；情感态度与价值观：在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验换元思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。
[ 教学重点 ] 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式[ 教学难点 ] 使学生能把多项式转换成符合平方差公式的形式进行因式分解。
[ 教学过程 ] 一：复习旧知：A 因式分解的概念是什么？B 平方差公式的内容用字母怎样表示？计算：1）运用平方差公式计算：2+a)(a-2);(-4s+t)(t+4s)(m2+2n2)(2n 2- m2)(x+2y) (x-2y)(2a +b-c)(2a-b+c )二：导入新课： 平方差公式： (a+b)(a-b) = a 2 - b 2理解运用平方差公式分解因式与整式乘法是相反的变形： 对照平方差公式怎样将下面的式子相乘过程与方法： 通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；[ 教学目标 ]知识与技能：(1) (m+4 (m-4) (2 ) (2x —3y)(2x+3y)(m+4 (m-4)=m2-162 2(2x —3y)(2x+3y)=4x -9y这是我们学习的整式的乘法运算。
如果上述等式左右两边互换位置，又是什么形式呢？01-9= ( m+4 (m-4)16x2-9y2=(2x —3y)(2x+3y)三：新课讲解:我们可以发现，刚才因式分解的过程中我们是逆用平方差公式的方法,像这样逆用乘法公式将一个多项式分解因式的过程叫做公式法分解因式。
今天我们主要学习使用平方差公式进行因式分解。
平方差公式反过来可得：a2-b 2=(a+b)(a-b)这个公式叫做因式分解中的平方差公式。
学生思考：当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式因式分解? 1、填空：(1)a 6=( ) 2; (2) 9x 2=()(4) 25x4=( ) 2 (5) 0.25a 2=()4平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，8 10 z 、⑶ m n =()2等于这两个数的和与这两个数的差的练习I :2、分解因式：(1) 16a2- 1 四：练习巩固分解因式：(1)(2 )(3)2 2 2 2 2 2 (2 ) 4x 2 m2n2 (3) 1-25a ;⑷-9x +y; (5) a b-c ;2 2 (a+b) -(a-c); x4-16;3x3-12x;(9y 2-x2)+(x+3y).(5) ( x + z )2- ( y + z ) 2(6) 4( a + b) 2- 25(a - c) 2 (7) 4a3- 4a4、练习巩固2:分解因式:(1) -a 4 + 16 (2) 6a2b _54b(3) (x+y+z) 2 - (x-y-z) 23⑷(x-y) +(y-x).5、用平方差公式进行简便计算：382-37 2五：类型小结: 平方差公式的四种应用1、直接应用例1、分解因式解：：x2-4=x2- 22= (x+2)( x-2) 2、提后用公式例2、分解因式：3x2-27=解: 3x2-27=3 (X2-9)=3( x2- 32)=3 (x+3)( x-3)3、变化指数后用公式例3、224-1能被1和10之间的两个数整除。
因式分解——运用公式法
因式分解——运用公式法因式分解是将一个多项式化简成一系列乘积的过程。
通常有两种方法用于进行因式分解：公式法和分组法。
公式法可以概括为以下几种常用的因式分解公式：1.a²-b²=(a+b)(a-b)这是平方差公式，用于因式分解差的平方。
例如，我们可以将x²-4分解为(x+2)(x-2)。
2. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这是立方和公式，用于因式分解和的立方。
例如，我们可以将x³+8分解为(x+2)(x²-2x+4)。
3. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)这是立方差公式，用于因式分解差的立方。
例如，我们可以将x³-8分解为(x-2)(x²+2x+4)。
4. a⁴ + b⁴ = (a² + √2ab + b²)(a² - √2ab + b²)这是四次和公式，用于因式分解和的四次方。
例如，我们可以将x⁴+16分解为(x²+4√2x+4)(x²-4√2x+4)。
5. a⁴ - b⁴ = (a² - √2ab + b²)(a² + √2ab + b²)这是四次差公式，用于因式分解差的四次方。
例如，我们可以将x⁴-16分解为(x²-4√2x+4)(x²+4√2x+4)。
除了以上这些常用的因式分解公式外，还有一些其他形式的因式分解公式，以及一些特殊的因式分解技巧。
例如，对于一个二次方程式ax² + bx + c，我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a 来因式分解。
根据求根公式，我们可以将二次方程ax² + bx + c 分解为两个因式的乘积 (x - x₁)(x - x₂)，其中 x₁和 x₂是由求根公式得到的两个根。
专题14-18 因式分解-平方差公式(知识讲解)(人教版)
专题14.18 因式分解-平方差公式（知识讲解）【学习目标】1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法——平方差公式1、分解因式（1）4x 2-16 （2）16-125m 2 （3）()222x y x +- （4）9a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）()()22a b a b a b -=+-a b a b【答案】（1）()()422x x +-；（2）114455m m ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()3x y x y ++； （4）()()()3232x y a b a b --+；【分析】 （1）先提取公因式，再运用平方差公式分解；（2）直接运用平方差公式分解；（3）直接运用平方差公式分解，注意合并即可；（4）先提取公因式，再运用平方差公式分解；【详解】（1）原式=()244x -=()()422x x +- （2）原式=114455m m ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）原式=()()22x y x x y x ⎡⎤⎡⎤+++-⎣⎦⎣⎦=()()3x y x y ++（4）原式=()()2294x y a b --=()()()3232x y a b a b --+【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法和使用顺序是解题关键． 举一反三：【变式1】因式分解：(1) 33a b ab -； (2) 44-b a ．【答案】（1）()()ab a b a b +-，（2）22()()()a b a b a b ++-【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行分解因式即可；（2）运用平方差公式进行两次分解因式即可解答．解：（1）33a b ab -=22()ab a b -=()()ab a b a b +-；（2） 44-b a=2222+)((a b )a b -=22()()()a b a b a b ++-．【点拨】本题考查了运用提公因式法和平方差公式法分解因式，难度不大，属于基础题，熟练掌握基本运算公式和方法是解答的关键．2、()()22324a b a b +--【答案】()()423a b a b -+【分析】首先根据平方差公式进行因式分解，然后对每项合并同类项．解：原式()()324324a b+a b a b a b =+-+--⎡⎤⎣⎦ ()()42324a b a b a b =-+-+()()2226a b a b =-+()()423a b a b =-+【点拨】本题考查因式分解，熟练利用提公因式法和平方差公式进行因式分解是解题关键．【变式2】分解因式（1）228ax a （2）2221x xy y -+- （3）441681-x y【答案】（1）()()222a x x +-；（2）()()11x y x y -+--；（3）()()()22492323x yx y x y ++- 【分析】（1）先提公因式2a ，再利用平方差公式分解因式可得到答案；（2）利用分组分解法，把原式化为：()21x y --，再利用平方差公式分解即可得到答案；（3）先把原式化为：()()222249x y -，再利用平方差公式分解为：()()22224949x y x y +-，再次利用平方差公式把2249x y -分解即可得到答案． 解：（1）228ax a()224a x =-()()222a x x =+-（2）2221x xy y -+-()21x y =-- ()()11x y x y =-+--（3）(1)(3)1x x --+244x x =-+()22x =-（4）441681-x y ()()222249x y =- ()()22224949x y x y =+-()()()22492323x y x y x y =++-【点拨】本题考查的是因式分解，掌握提公因式与公式法，分组分解法分解因式是解题的关键．类型二、平方差公式的应用3、n 为整数，证明：（2n +1）2－1能被8整除．【分析】先利用因式分解把原式化为()41n n +，根据n 和n+1是两个连续整数，()1n n +能被2整除即可求证本题．解:（2n +1）2－1=()()()()21121122241n n n n n n +++-=+=+， ∵n 是整数，∵n 和n+1是两个连续整数，()1n n +能被2整除，∵()41n n +能被8整除，即（2n+1）2－1能被8整除．。
平方差公式的运用
平方差公式的运用平方差公式（Difference of Squares Formula）是一种用于将一个算式的平方差表示为两个因数乘积的公式。
它可以用于解决多种数学问题，包括因式分解、求解方程等。
以下是关于平方差公式的运用的一些例子。
例1：因式分解考虑如下的多项式：x^2-9、我们可以使用平方差公式将其因式分解为两个乘积的形式：(x-3)(x+3)。
这里，平方差公式的形式是a^2-b^2=(a-b)(a+b)。
通过使用平方差公式，我们可以将多项式因式分解为两个一次因式的乘积。
例2：求解方程假设我们要求解方程x^2-4=0。
我们可以使用平方差公式将其转化为两个一次方程的乘积：(x-2)(x+2)=0。
这样，我们可以将原方程转化为两个简单的一次方程，并求解得到x=2或x=-2例3：求解三角方程平方差公式也可以在解决三角方程时派上用场。
考虑如下的三角方程：sin^2(x) - cos^2(x) = 0。
我们可以使用平方差公式将其转化为(sinx - cosx)(sinx + cosx) = 0。
这样，我们可以将原方程转化为两个简单的三角方程，并求解得到多个解。
例4：求解二次方程通过使用平方差公式，我们可以求解二次方程。
考虑如下的二次方程：x^2-6x+5=0。
我们可以将其转化为平方差的形式：(x-1)(x-5)=0。
这样，我们可以使用平方差公式将二次方程转化为两个一次方程，并求解得到x=1或x=5例5：证明恒等式综上所述，平方差公式在数学中有多种用途，包括因式分解、求解方程、求解三角方程、求解二次方程等。
它是我们解决各种数学问题的重要工具之一。
平方差公式因式分解
4、请在例4中（2）题的每个步骤后面写出解题方法，并总结做因 式分解题的解题步骤。
第1步，提公因式法；第2步，因式分解法。
请同学们结合上面内容，自学5分钟，再用1分钟小组讨论；
6分钟后，比谁能正确地做出完与整版例pt 题类似的习题。
(3) -x2+y2 能，-x2+y2=(y+x)(y-x)
(4) -x2 - y2 不能，这是平方和的相反数
2、因式分解：
（1）
（2）9a2-25b2
（3）x2y-4y
（4）-a4+16
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6
1.如果多项式各项含有公因式，则第一步是 提出这个公因式 。
2.如果多项式各项没有公因式，则第一步考 虑用公式分解因式。
3.第一步分解因式以后，所含的多项式还可 以继续分解，则需要进一步分解因式。直到 每个多项式都不能分解为止。
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必做题：课本171页第2题 选做题：P171第4（2）题
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例题自学指导 ：认真看课本167页-----168页练习上面的例3、例4：
1、例3中（1）题分别是哪两个数的平方差。 2x和3
2、例3中（2）题那些分别是公式中的a和b，注意“思考云图”的
提示。 x+p表示公式的a，x+q表示公式的b。
3、例4中（1）题的第2步你是如何理解的？请注意“黄色书签”的
4
例3：分解因式 (1)4x2-9 (2)(x+p)2-(x+q)2
分析：在（1）中，4x2=(2x)2,9=32,4x2-9=(2x)2-32, 即可用平方差公式分解因式。 在（2）中，把(x+p)和(x+q)各看成一个整体。
因式分解平方差公式
因式分解平方差公式因式分解平方差公式是高中数学中的一个重要概念，它在代数运算中有着广泛的应用。
本文将介绍因式分解平方差公式的定义、推导方法以及实际应用。
一、定义因式分解平方差公式是指将两个平方数的差分解为两个因数的平方差的代数公式。
具体表达式为：a² - b² = (a + b)(a - b)，其中a和b为任意实数。
二、推导方法为了更好地理解因式分解平方差公式，我们可以通过几何图形来进行推导。
我们将一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形相邻地放置在一起，构成一个长方形。
根据几何图形的性质，这个长方形的长为a + b，宽为a - b。
然后，我们可以计算这个长方形的面积，即 (a + b)(a - b)。
根据几何图形的性质，这个长方形的面积等于两个正方形的面积之差，即a² - b²。
我们得到了因式分解平方差公式的推导过程：a² - b² = (a + b)(a - b)。
三、实际应用因式分解平方差公式在数学问题的解决中有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的实际应用场景。
1. 平方差的因式分解在解决代数表达式的因式分解问题时，经常会用到平方差的因式分解。
例如，我们要将x² - 4 分解为两个因数的平方差，根据因式分解平方差公式，可以得到x² - 4 = (x + 2)(x - 2)。
2. 求解方程因式分解平方差公式也可以用于求解一元二次方程。
例如，对于方程x² - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为 (x - 2)(x - 3) = 0，从而得到方程的两个解为 x = 2 和 x = 3。
3. 计算面积在几何学中，我们经常需要计算各种形状的面积。
因式分解平方差公式可以帮助我们计算一些特殊图形的面积。
例如，在计算一个矩形的面积时，如果只知道长和宽的和以及长和宽的差，我们可以使用因式分解平方差公式来计算出长和宽，进而求得矩形的面积。
平方差公式法分解因式
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回顾与思考
x2-4 y2-25
探究新知 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。 整式乘法 因式分解
01
a2-b2 =(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b) = a2-b2
02
a2-b2 =(a+b)(a-b)
这就是用平方差公式进行因式分解。
课堂小结 平方差公式： a2-b2 =(a+b)(a-b) 用平方差公式因式分解步骤： 一变、二分解
作业 课本p171 2题
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（2）（x+p)2-(x+q)20503Fra bibliotek0104
02
课堂练习
01
02
03
04
05
06
07
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课后练习 分解因式: a2- b2; (2)9a2-4b2; x2y – 4y ; (4) –a4 +16.
(x+4)(x-4)
(3+t)(3-t)
×
√
√
×
思考：能用平方差公式因式分解的多项式有何特征？
①有且只有两个平方项；
②两个平方项异号；
例3分解因式:
4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析:
在(1)中,4x2 = (2x)2,9=32,4x2-9 = (2x )2 –3 2,即可用平方差公式分解因式. 解（1）4x2 – 9 = (2x)2 – 3 2 = (2x+3)(2x-3)
14.3.2因式分解公式法—平方差公式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两 个数的差的积。
注意：与整式乘法中的平方差公式不一样。
平方差公式的特点：
（1）两项的多项式; （2）两项都是平方项或是都能化为平方项; （3）两项的符号相反.
下列多项式能转化成( )2－( )2的形式吗？
如果能，请将其转化成( )2－( )2的形式。
(1) m2 －1 = m2 －12
★分解因式应分解到各 因式都不能再分解为止.
(5)9(a+b)2-4(a-b)2.
解：9(a+b)2-4(a-b)2 =[3(a+b)]2-[2(a-b)]2
=[3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a-b)] =(3a+3b+2a-2b) (3a+3b-2a+2b) =(5a+b)(a+5b)
(3)x4-16
解：原式 =(x2)2-42
(4)2x3-8x
解：原式=2x (x2-4) 2_ 2 2 2 =2x (x 2 ) =(x +4)(x -4) =(x2+4)(x+2)(x-2) =2x (x+2)(x-2)
★若多项式中有公 因式,应先提取公因 式,然后再进一步 分解因式,直到 不能分解为止.
4、公因式如何确定?
数、字母
新知探究
平方差公式：
整式乘法
2 2 + (a b)(a b) = a - b
两个数的和与两个数的差的乘积， 等于这两个数的平方差。
a - b = ( a+ b)( a - b)
2 2
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的乘积.
因式分解16种方法
因式分解16种方法因式分解是代数学中的一项重要内容，它是将一个多项式写成几个因子相乘的形式。
在代数中，我们可以使用不同的方法来进行因式分解，下面将介绍16种常用的因式分解方法。
一、常数公因子法：当多项式中的每一项都有一个相同的因子时，可以将这个公因子提取出来。
二、提公因式法：可以将多项式中的公因子提取出来，并分别乘在每一项的前面。
三、平方差公式：平方差公式可以将两个平方差分解为两个因子相乘的形式。
四、求和差公式：求和差公式可以将两个数的和或差分解为两个因子相乘的形式。
五、特殊公式：特殊公式是一些特定形式的因式分解规律，如完全平方公式、立方差公式等。
六、分组法：将多项式中的项分成若干组，每一组内部有一个公因子，然后进行合并、提公因子的操作。
七、配方法：如果多项式中存在二次项或一次项，可以使用配方法将其转化为完全平方或完全立方。
八、三项因式分解法：将三个项的多项式进行因式分解，可以根据其特征进行分解，如完全平方三项式、卷积三项式等。
九、因式分解公式：在代数学中，有一些常见的因式分解公式，如平方差公式、和差的立方公式等。
十、分式因式分解法：将分式分解为最简形式，可以进行因式分解，然后进行约分、合并等操作。
十一、二次三项式分解法：将二次三项式进行因式分解，可以根据特定的形式进行分解，如完全平方三项式、卷积三项式等。
十二、差的立方公式：差的立方公式可以将两个数的差分解为两个因子相乘的形式。
十三、平方根的平方差公式：平方根的平方差公式可以将平方根的平方差分解为两个因子相乘的形式。
十四、特殊三项式分解法：特殊三项式分解法是针对特定形式的三项式进行因式分解，如完全平方三项式、卷积三项式等。
十五、分场因子法：将多项式中的每一项提取出一个因子，并按照对应的规律进行提取。
十六、根与系数的关系：多项式的根与系数之间存在一定的关系，可以通过观察根与系数之间的关系进行因式分解。
以上是常用的16种因式分解方法，每一种方法都适用于特定的情况和形式的多项式。
平方差公式的运用
平方差公式的运用(a+b)(a-b)=a^2-b^2其中，a和b可以是任意实数或复数。
在应用平方差公式时，我们可以将一个数表示为两个数之和和差的形式，从而简化计算过程。
下面，我们将分别讨论平方差公式在数学和物理学中的应用。
一、数学中的应用：1.因式分解：平方差公式可以用于将二次多项式进行因式分解。
例如，对于二次多项式x^2-4，可以使用平方差公式(x+2)(x-2)进行因式分解。
2.求解一元二次方程：平方差公式也可以被用来求解一元二次方程。
例如，对于方程x^2-5x+6=0，我们可以使用平方差公式(x-3)(x-2)=0进行求解，从而得到方程的根x=3和x=23. 求解三角方程：在解决一些特殊的三角方程时，平方差公式也可以被应用。
例如，对于方程sin^2(x) - cos^2(x) = 1，我们可以使用平方差公式sin^2(x) - cos^2(x) = sin^2(x) - (1 - sin^2(x)) =2sin^2(x) - 1 = 1进行求解。
二、物理学中的应用：1.力的分解：在物理学中，平方差公式可以用于解决力的分解问题。
例如，当一个力F斜向作用于一个物体时，可以将力F分解为水平方向的力F_x和垂直方向的力F_y。
通过使用平方差公式，我们可以得到力F的大小F以及F_x和F_y之间的关系，从而简化问题的求解过程。
2. 计算加速度：平方差公式也可以用于计算加速度。
例如，当一个物体以初速度v_0匀加速运动到其中一时刻时，其速度可以表示为v =v_0 + at，其中a为加速度， t为时间。
我们可以使用平方差公式v^2 - v_0^2 = 2aΔx来计算加速度。
3. 计算动能差：在物理学中，平方差公式也可以被应用于计算动能差。
例如，当一个物体从高度h自由下落到地面时，其动能的变化量可以表示为ΔE_k = mgh，其中m为物体的质量，g为重力加速度。
利用平方差公式，我们可以将ΔE_k表示为ΔE_k = mg(h - 0) = mgh，从而计算动能差。
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平方差公式法因式分解教学设计【教材依据】本节课是北师大版数学八年级下册第四章因式分解第三节公式法第一课时内容。
【教材分析】因式分解是初中数学的一个重要内容，是代数式恒等变形的重要手段之一。
它贯穿、渗透在各种代数式问题之中，为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。
本节课是在学习了整式的乘法、乘法公式和提公因式法因式分解之后，让学生利用逆向思维而得到平方差公式因式分解的方法，而运用平方差公式分解因式又是因式分解中的一个重要内容。
它对学习完全平方公式因式分解和后面即将要学习的分式化简和计算，对九年级学习一元二次方程的解法和二次函数都有着重要的影响，所以学好本节课对后面的学习至关重要！【学情分析】学生已有七年级学习的整式运算的基础知识，在前一节课中已经学习了提公因式法分解因式，初步体会到了因式分解与乘法运算的互逆关系，通过对乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆向变形，容易得出a2-b2= (a+b)(a-b),但准确理解和掌握公式的结构特征,进行因式分解对学生来说还有很大的难度,学生的观察、归纳、类比、概括等能力，有条理的思考及语言表达能力还有待加强。
【指导思想】以新课标要求“培养学生的合作探究和归纳总结”的教育理念为指导，引导学生通过复习旧知逐步过渡到新知，进一步应用生活问题作为课堂学习的载体，培养学生学有用数学的理念，贯穿类比、换元的数学思想方法。
结合八年级学生年龄特点及认知规律，采用学生讲解习题的方法培养学生准确应用数学符号、文字语言表达问题的能力，从而达到素质教育要求发展学生综合素养的目标。
【教学目标】知识与技能：理解平方差公式的特点，掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解；过程与方法：通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；培养探究知识、合作学习的能力，深化逆向思维的能力和数学的应用意识，渗透整体思想和转化思想。
情感态度与价值观：在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验换元思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。
在自主合作学习的过程中体验成功的喜悦，感悟数学美，体会数学知识的合理性和严谨性，养成积极思考，独立思考的好习惯。
现代化教学手段的运用：使用交互式多媒体激发学生的学习兴趣，增大课堂容量，设计检测试卷落实“堂堂清”的课堂教学效果。
【教学重点】掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式。
解决办法：通过大量实例的观察，分析，再通过对特殊例题的观察，讨论与交流总结相应的特征，感受它们的区别。
【教学难点】使学生能把多项式转换成符合平方差公式的形式进行因式分解。
突破措施：通过观察及交流增强认识，突破难点，让学生自己对特征反复描述、总结，体会图形研究的方法与视角。
【教学过程】利用ppt课件展示复习内容了解学生对因式分解概念及提公因式法的掌握情况，进一步复习应用平方差公式进行整式乘法运算。
1 、知识回顾A、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？1）(2x-1)2=4x2-4x 2） 3x2+9xy-3x＝3x(x+3y-1) 3）4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y)B、把下列各式进行因式分解:1） a3b3-a2b-ab 2） -9x2y+3xy2-6xyC、和老师比一比，看谁算的又快又准确！1、 322-3122、 682-6723、 5.52-4.524、(8/15)2-(7/15)2D、在横线内填上适当的式子，使等式成立：（1）（x+5)(x-5)= （2）(4x-3y)(4x+3y)= （3）（a+b)(a-b)= （4） x2-25 = (x+5) （5） 16x2 - 9y2 = (4x-3y) (6) a2-b2 = (a+b) 2、导入新课：（x+5)(x-5)=x2-25 (4x—3y)(4x+3y)=16x2-9y2这是我们学习的整式的乘法运算。
如果上述等式左右两边互换位置，又是什么形式呢？x2-25 =（x+5)(x-5) 16x2-9y2=(4a—3y)(4x+3y)这是因式分解的形式。
你能对下列两个多项式因式分解吗？（1）9a2-0.25b2（2）4x2-9y23、新课讲解：我们可以发现，刚才因式分解的过程中我们是逆用平方差公式的方法，像这样逆用乘法公式将一个多项式分解因式的过程叫做公式法分解因式。
今天我们主要学习使用平方差公式进行因式分解。
平方差公式反过来可得：a2-b2=(a+b)(a-b)这个公式叫做因式分解中的平方差公式。
学生思考：1、当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式因式分解？（小组讨论，教师深入小组，倾听学生的交流后，引导学生从项数、次数、符号等方面观察归纳出多项式的特点：多项式为两项；两项符号相反；两项都可以写成平方的形式。
）【设计意图】让学生充分经历观察、类比、归纳、概括的过程，探究出将乘法公式逆用就能解决问题，再来归纳出分解因式的平方差公式．2、文字叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
【设计意图】锻炼学生的文字概括及语言表达能力．加强对公式本质的理解．练习Ⅰ：1）填空：(1)a6=( )2; (2) 9x2=( )2; (3) m8n10=( )2;(4) x4=( )2(5) 0.25a2n=( )2; (6) x4-0.81=( )2-( )2 【设计意图】使学生学会把一个代数式写成（）2形式的平方数，为平方差公式因式分解的应用变形做铺垫。
2 ）下列多项式哪些可以用平方差公式分解因式？(1) a2+4b2; (2) 4a2-b2; (3) a2-(-b)2;(4) –4+a2; (5) –4-a2; (6) x2-9;3）分解因式：（1）a2-16 （2）64-b2(3) 1-25a2; (4) -9x2+y2;(5) a2b2-c2; (6) x4-y2.【设计意图】通过2）和3）练习，进一步使学生理解平方差公式因式分解时多项式的特点，并学会熟练掌握应用平方差公式进行分解因式的规范书写格式，从而达到培养学生符号运用能力，使学生养成勤于观察和规范书写的习惯，体现本节课的重点。
利用ppt课件展示a2-b2=(a+b)(a-b)公式中a和b可以表示数、单项式、多项式，教师引导学生进行当场编题训练使学生进一步对平方差公式分解因式有更全面的理解。
a2 - b2= ( a + b ) ( a – b )教师展示（1） a=2006, b=2005(2) a=2mn, b=xy(3) a=x+z, b=y+p利用以上三组数引导学生进行对比得出公式中的a和b可以表示“数、单项式、多项式”，并让学生分解所编的题达到渗透换元的数学思想方法。
例1：把下列各式分解因式：（1） 16a2-9b2 (2) (x+p)2-(x+q)2 (3) 9(a+b)2-4(a-b)2在使用平方差公式分解因式时，要注意：先把要计算的式子与平方差公式对照，明确哪个相当于a，哪个相当于 b.重点强调（3）中式子9(a+b)2=【3（a+b）】2，4(a-b)2=【2（a-b）】2的变形，引导学生当a,b是多项式时如何进行具体的因式分解步骤。
练一练：把下列各式分解因式：(1) x2 -1/16Y2 (2)0.25m2n2 – 1(3) (2a+b)2 - (a+2b)2 (4) 25(x+y)2 - 16(x-y)2【设计意图】进一步加深对公式本质的认识，体会整体的数学思想并用换元的方法将问题转化为公式的基本形式加以解决．例2：把下列各式分解因式：(1) 4x3-xy2（2）4x3 - 4x (3)x4-y4引导学生经历探究、猜想和验证，直至解决问题的过程．归纳出因式分解的步骤“一提二套”的方法，再一次加深对多种方法（提公因式法、平方差公式）分解因式的综合运用，以及分解要彻底地思想．练一练：把下列各式分解因式：1）a3b－ab 2） 12x2－3y2【设计意图】使学生体验发现问题，解决问题的猜想和验证，直至解决问题的过程．从中体验成功地感受，再一次加深对多种方法（提公因式法、平方差公式）分解因式的综合运用以及分解因式应进行到每一个多项式因式不能再分解为止的原则。
【小结】1、本节课我们主要学习了运用平方差公式进行因式分解，利用平方差公式时主要先判断能否使用平方差公式进行因式分解，判断的依据：1) 是一个二项式（或可看成一个二项式）2)每项可写成平方的形式3)两项的符号相反２、在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，再用平方差公式分解因式。
３、分解因式，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
【布置作业】1、课本习题4.4．１、3—82、1-62、课后思考:观察下列各式：1–9 = - 8, 4-16= -12, 9-25=-16,16-36= -20······（1）把以上各式所含的规律用含n(n为正整数）的等式表示出来。
（2）按照（1）中的规律，请写出第10个等式。
【课后反思】本节课上下来我整体感觉完成了我课前设定的目标，学生能够很快地掌握利用平方差公式来进行因式分解，而且对一般形式的能使用平方差公式的多项式能够进行因式分解。
学生在课堂上和老师的互动也比较好，自我感觉这节课上得比较成功。
通过课后学科组教师点评使我首先清楚认识到我的教学特点：语言流畅、教态亲切、语速合适、设计合理、设计中小步骤。
当然,本节课也存在一些问题，其中比较突出的就是在例题的安排上对题目的把握不是很好。
把所有类型的利用平方差进行因式分解的题型在同一道例题中出现，对于刚接触这种方法的学生来说要求过高，也违背了我小步骤教学的教学特点。
北师大版数学八年级下册第二章因式分解第三节平方差公式法因式分解教学设计教师：马香娥学校：高陵县泾渭中学时间：2015年5月5日。