特殊的平行四边形的证明

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特殊平行四边形证明

特殊平行四边形证明设特殊平行四边形ABCD的两对边分别平行，其中AB与CD平行，BC与AD平行；设AB=CD，BC=AD。

我们要证明对角线AC和BD互相平分，并且AC=BD。

首先，我们可以通过观察发现，在特殊平行四边形ABCD中，角BAD和角CDA分别等于角BCD和角ADC，这是因为平行线AB与CD分别与平行线AD与BC交叉，形成了对应角。

因此，我们可以得出：角BAD=角CDA (1)角BCD=角ADC (2)A________BD--------C我们可以注意到四边形ABCD可以分成两个三角形：△AED和△BEC。

根据上述所得到的结论，我们知道角BAD等于角CDA，角BCD等于角ADC。

由于BD是BC的延长线，所以角BCD也等于角BCE。

根据三角形内角和定理，我们可以得到三角形△BEC中的角BEC等于角BCD+角BCE，即角BCD+角BCE=角BCD+角BCD=2角BCD同样地，我们可以得到△AED中的角AED等于角BAD+角AED，即角BAD+角AED=角BAD+角BAD=2角BAD根据题设条件，我们知道AB=CD，所以△AEB和△CED是等腰三角形，因此角AEB等于角BEA，角CED等于角CED。

通过观察我们可以发现，角AEB等于角BEA等于角BEC，角CED等于角CDE等于角BCE。

所以角AEB=角BEA=角BEC (3)角CED=角CDE=角BCE (4)现在，我们可以将(3)代入△BEC的等式中，得到：角BCD+角BEC=2角BCD=2角AEB同样地，将(4)代入△AED的等式中，得到：角BAD+角AED=2角BAD=2角CED由于以E点为顶点的两个角分别等于以B点和C点为顶点的两个角的两倍，所以根据角等于其对边所对的弧长，我们可以得出：∠BAE=∠BCE (5)∠CDE=∠CAE (6)由(5)、(6)两式可知，∠BAE=∠BCE，∠CAE=∠CDE，根据等腰三角形的性质，我们可以得到AE=CE。

平行四边形四种证明方式

平行四边形的性质有很多种证明方式，下面列举了四种常见的证明方式：
1. 同底异边平行四边形性质证明：
性质：若平行四边形的一对对边分别平行，则该平行四边形是平行四边形。

证明：利用平行线的性质，通过对应角相等或同位角相等的方式证明。

2. 同位角平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的同位角相等。

证明：利用平行线的同位角性质，通过角对应或同位角相等的方式证明。

3. 对角线分割平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的对角线互相等分，即平行四边形的一条对角线把它分成两个全等的三角形。

证明：利用三角形的全等条件，通过SAS、ASA等证明两个三角形全等。

4. 边角对应平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的对应边成比例，对应角相等。

证明：利用对应角相等和平行线的性质，通过相似三角形的性质证明对应边成比例。

这些证明方式可以根据具体的平行四边形问题选择合适的方法。

在证明中，要善于利用平行线的性质和三角形的性质，灵活应用各种角关系和边关系。

特殊的平行四边形

④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分其中真命题有
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.若梯形的上底边长为 ,中位线长为 ,则此梯形的下底长为
A. B. C. D.
10.如图，在梯形ABCD中，边AB与CD平行，对角线BD与边AD的长相等.若＝110°， °，那么等于
A.80°B.90°C.100°D.110°
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
15.以线段、为梯形的两底，以为一腰，则另一腰长d的范围是________；
A.30°B.45°C.60°D.135°
4.等腰梯形ABCD中，，AC与BD交于O点，图中全等三角形有
A.两对B.四对C一对D.三对
5.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，若∠D=110°，∠ACD=30°，则∠BAC等于
A.80°B.90°C.100°D.110°
6.等腰梯形中，下列判断正确的是
3、判定：①有三个角是直角的四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③有一个角是直角的平行四边形是矩形。
４、面积公式：S＝ab（a是一边的长，b是这边上的）
．
2如图，E为矩形ABCD的边CD上的一点，AB＝AE＝4，BC＝2，则∠BEC是（）
（A）15°（B）30°（C）60°（D）75°
3如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为…（）

特殊平行四边形证明

特殊平行四边形证明
证明如下：
首先，我们假设有一个平行四边形ABCD，其中AB∥CD，并且AC与BD相交于O。

由于AB∥CD，所以有∠BAD=∠BCD（对应角）、∠ABD=∠ACD（同位角）。

又由于平行四边形的两组对角线互相平分，所以我们可以得到两个重要的等角关系：
∠BAO=∠DAO (1)
∠CAO=∠CDO (2)
然后，我们在平行四边形ABCD中作AO的垂线，垂足为O'，并且连接CO'和DO'。

由于AO是ABCD的对角线，根据垂心定理，AO是CO'与DO'的公共垂线。

所以CO'和DO'垂直于AO，即∠CO'O=∠DO'O=90°。

又根据(1)，∠BAO=∠DAO，我们可以得到三角形BAO和DAO是相似三角形。

同理可得三角形CAO和CDO是相似三角形。

由于相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：
OA/OD=BA/AD (3)
OA/OC=DA/CA (4)
QA:QD=QO:OA=QO:OD (5)
PA:PB=PO:OA=PO:OC (6)
其中，P和Q是AO的中点。

根据三角形的相似比例关系，我们可以进一步得到：OA/OD=OB/OC，并且DA/CA=DB/CB。

由于BA∥CD，所以根据平行四边形的内角性质，我们可以得到
∠ADB=∠BCA（同位角）。

综上所述，我们证明了平行四边形ABCD的对角线互相平分，并且有直角相等，即一个特殊平行四边形。

证毕。

特殊平行四边形的证明(讲义及答案)

特殊平行四边形的证明（讲义）➢知识点睛菱形已知条件中有某个特殊的四边形，往往从其性质着手考虑．要证明某个四边形是特殊的四边形，则需要考虑其判定或定义．在求解时，具体选择哪一条性质与判定，往往需要结合题目给出的条件进行分析．➢精讲精练1.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．DA EOB C F2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°．AG∥CD，交BC于点G，E，F分别为AG，CD的中点，连接DE，FG，DG．（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形ABGD是矩形．A DFEB G C3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，O为AB的中点，连接DO并延长至点E，使OE=DO，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？请说明理由．O ED C BA4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，且AF =CE =AE ．（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请说明理由．FED CBA5. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．FEDCB6. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AE =AF ．（1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ，交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM =OA ，连接EM ，FM ，则四边形AEMF 是什么特殊四边形？请证明你的结论．MOFED C B A7. 如图，在△ABC 中，O 是AC 边上的一动点（不与点A ，C 重合），过点O作直线MN ∥BC ，直线MN 与∠BCA 的平分线相交于点E ，与∠DCA （△ABC 的外角）的平分线相交于点F ．（1）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请证明你的结论．（2）在（1）的条件下，∠ACB 的大小为多少时，四边形AECF 为正方形（不要求说明理由）？ABCD E F NMOABC D8. 如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，BD =12 cm ，AC =6 cm ，点E在线段BO 上从点B 以1 cm/s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2 cm/s 的速度运动．（1）若点E ，F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形AECF 是平行四边形；（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，四边形AECF是菱形，为什么？9. 如图所示，在等边三角形ABC 中，BC =8 cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1 cm/s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2 cm/s 的速度运动，设运动时间为t （s ）．（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）填空：①当t 为_______s 时，四边形ACFE 是菱形；②当t 为_______s 时，△ACE 的面积是△ACF 的面积的2倍．GF E DCB A10. 如图所示，在△ABC 中，分别以AB ，AC ，BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD ，等边△ACE ，等边△BCF ，连接DF ，EF ．（1）求证：四边形DAEF 是平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明） ①当△ABC 满足____________条件时，四边形DAEF 是矩形； ②当△ABC 满足____________条件时，四边形DAEF 是菱形；③当△ABC 满足____________条件时，以D ，A ，E ，F 为顶点的四边形不存在．FEDCBA11. 顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是_____________；顺次连接对角线__________的四边形的各边中点，所得的四边形是矩形；顺次连接对角线____________的四边形的各边中点，所得的四边形是菱形；顺次连接对角线______________的四边形的各边中点，所得的四边形是正方形．12. 如图，已知四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 互相垂直，四边形A 1B 1C 1D 1是中点四边形．若AC =3，BD =4，则四边形A 1B 1C 1D 1的面积为_______________．D 1C 1B 1A 1DC BA【参考答案】➢精讲精练1.（1）证明略．提示：先证AB=AD=BC，再证四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD 是菱形．2.（1）证明略．提示：先证四边形AGCD是平行四边形，得到AG=CD，进而可得EG=DF，则四边形DEGF是平行四边形．（2）证明略．提示：先证明四边形ABGD是平行四边形，再结合∠B=90°，进而可得四边形ABGD是矩形．3.（1）证明略．提示：由OE=DO，AO=BO得，四边形AEBD是平行四边形；又因为AB=AC，AD是△ABC的角平分线，所以AD⊥BC，进而得证四边形AEBD是矩形．（2）当△ABC是等腰直角三角形，即AB=AC，∠BAC=90°时，四边形AEBD 是正方形；理由略．4.（1）证明略．提示：先证AC∥EF，∠EAC=∠AEF，又AF=CE=AE，则∠EAF=∠AEC，AF∥CE，即证得四边形ACEF是平行四边形．（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形，理由略．5.四边形ADCF是菱形，证明略．6.（1）证明略．提示：证明△ABE≌△ADF．（2）四边形AEMF是菱形，证明略．7.（1）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，证明略；（2）当∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形．8.（1）当t=2 s时，四边形AECF是平行四边形；（2）当AB=时，四边形AECF是菱形．9.（1）证明略；（2）①8；②165或163．10.（1）证明略；（2）①150°；②AB=AC≠BC；③∠BAC=60°．11.平行四边形；互相垂直；相等；互相垂直且相等12.3。

课题：特殊平行四边形的有关证明教案

2016年6月18—19日“富源县老厂中学课堂教学联合调研”活动课题：特殊平行四边形的有关证明教案学校：富源县第六中学授课教师：叶志波教学目标1．熟悉几种特殊的平行四边形的性质和判定，识别它们之间的区别与联系，形成知识结构；2．运用几种特殊平行四边形的性质和判定解决问题．教学重点运用几种特殊平行四边形的性质和判定解决问题．教学难点识别几种特殊平行四边形的区别与联系，构建知识网络．教学方法“看—做—议—讲”结合法教学课时一课时教学工具多媒体、三角板等教学过程一、课题引入我们已经学习了特殊平行四边形的一些证明，要学好本部分内容的方法是：弄清楚平行四边形，矩形、菱形和正方形之间的联系和区别．今天，我们将对我们所学的知识进行复习整理．二、教师板书课题、引领学生解读学习目标请同学们先看一下我们本节课的学习目标．（教师板书课题），之后教师解读学习目标．三、学生自主完成导学案上的知识点梳理内容学生自主完成导学案上的知识点梳理内容，期间教师走进学生中间观察学生自学情况，适当的给予自学引导．四、知识梳理1．有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分；既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴．矩形的判定方法：（1）有三个角是直角的四边形；（2）是平行四边形且有一个角是直角；（3）对角线相等的平行四边形；（4）对角线相等且互相平分的四边形．2．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴．菱形的判定方法：（1）四条边都相等；（2）有一组邻边相等的平行四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形；（4）对角线互相垂直平分的四边形．3．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形的四个角都是直角，四条边都相等，两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；既是轴对称图形，又是中心对称图形，有四条对称轴．正方形的判定方法：（1）邻边相等的矩形；（2）有一角是直角的菱形．五、探究点分析设计意图：在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来求证的．要熟悉各判定定理的联系和区别，解题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法．探究一：矩形的有关证明【探究1】(2014·枣庄)如图，四边形ABCD 的对角线BD AC ,交于点O ，已知O 是AC 的中点，BE DF CF AE //,=．（Ⅰ）求证：DOF BOE ∆≅∆；（Ⅱ）若AC OD 21=，求证四边形ABCD 是矩形．设计意图：探究一要求学生掌握有关矩形证明的相关概念，平行四边形与矩形的联系，在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件可为矩形；若在四边形O BAD C的基础上，则需有三个角是直角(第四个角必是直角)则可判定为矩形．探究二：菱形的有关证明【探究2】(2014·厦门)如图，在平行四边形ABCD 中，BC AM ⊥，垂足为M ，DC AN ⊥，垂足为N ，若AN AM =，求证：四边形ABCD 是菱形．设计意图：探究二要求学生掌握有关菱形证明的相关概念，平行四边形与菱形的联系，在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件可为菱形；若在四边形的基础上，需有四边相等则可判定为菱形．探究三：正方形形的有关证明【探究3】如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接DG BE ,．求证：DG BE =．设计意图：探究三要求学生掌握有关正方形证明的相关性质，能运用正方形的相关性质解决问题．同时还要掌握菱形、矩形与正方形的联系，正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）．六、课堂练习1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（）A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直2．在矩形ABCD 中，对角线BD AC ,相交于点O ，若︒=∠60AOB ，10=AC ，则AB = ． (第2题) （第3题）3．已知菱形的两对角线长分别为 6cm 和 8 cm ，则菱形的面积为_________2cm ；周长为__________cm ．【自助训练】(2014·扬州)如图，已知ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，先把ABC ∆绕点B 顺时针旋转90°至DBE ∆后，再把ABC ∆沿射线平移至FEG ∆，FG DE ,相交于点H ．（Ⅰ）判断线段FG DE ,的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．七、课堂小结本节课你学到了什么知识？八、课后作业整理导学案，认真梳理知识点，没有完成自助练习的同学完成自助练习．板书设计左黑板右黑板特殊平行四边形的有关证明1．矩形的性质与判定2．菱形的性质与判定3．正方形的性质与判定学生展示区课后反思课题：特殊平行四边形的有关证明学案一．学习目标1．理解平行四边形、菱形、矩形、正方形的概念，并了解它们之间的联系；2．掌握菱形、矩形、正方形的性质和判定，并能熟练运用相关知识解决问题．二．知识梳理矩形、菱形、正方形的性质、判定矩形菱形正方形性质边角对角线判定1．定义：有一个角是的平行四边形是矩形；2．有三个内角是的四边形是矩形；3．对角线的平行四边形是矩形；1．定义：一组邻边的平行四边形是菱形；2．都相等的四边形是菱形；3．对角线的平行四边形是菱形；1．定义：有一个角是，且有一组相等的平行四边形叫做正方形；2．的矩形是正方形，的菱形是正方OB ADC 三．合作探究探究一：矩形的有关证明【探究1】(2014·枣庄)如图，四边形ABCD 的对角线BD AC ,交于点O ，已知O 是AC 的中点，BE DF CF AE //,=．（Ⅰ）求证：DOF BOE ∆≅∆；（Ⅱ）若AC OD 21=，求证四边形ABCD 是矩形．规律方法总结：探究二：菱形的有关证明【探究2】(2014·厦门)如图，在平行四边形ABCD 中，BC AM ⊥，垂足为M ，DC AN ⊥，垂足为N ，若AN AM =，求证：四边形ABCD 是菱形．规律方法总结：探究三：正方形形的有关证明【探究3】如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接DG BE ,．求证：DG BE =．规律方法总结：四．反馈练习1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（）A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直2．在矩形ABCD 中，对角线BD AC ,相交于点O ，若︒=∠60AOB ，10=AC ，则AB = ．(第2题) （第3题） 3．已知菱形的两对角线长分别为 6cm 和 8cm ，则菱形的面积为_________2cm ；周长为__________cm ．【自助训练】(2014·扬州)如图，已知ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，先把ABC ∆绕点B 顺时针旋转90°至DBE ∆后，再把ABC ∆沿射线平移至FEG ∆，FG DE ,相交于点H ．（Ⅰ）判断线段FG DE ,的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）连接CG ，求证：四边形CBEG 是正方形．4．对角线且的四边形是矩形．4．对角线且的四边形是菱形．形； 3．两条对角线互相平分且的四边形是正方形．。

平行四边形的性质与证明

平行四边形的性质与证明平行四边形是几何学中的一类特殊四边形，具有一些独特的性质和特点。

本文将详细介绍平行四边形的性质，并给出对应的证明过程。

一、定义平行四边形是指有四条边都是平行的四边形。

常用符号来表示平行四边形，如ABCD。

二、性质1. 对角线性质平行四边形的对角线互相平分。

即对角线AC和BD平分彼此。

证明：设ABCD为平行四边形。

连接AC和BD，交于点O。

要证明对角线AC和BD平分彼此，即证明AO=OC和BO=OD。

首先，根据平行四边形的定义，我们知道AB∥CD和AD∥BC。

所以，三角形AOB与三角形COD是全等三角形。

因此，三角形AOB和三角形COD的对应边长相等，即AO=OC，BO=OD。

证毕。

2. 邻边性质平行四边形的邻边互补，即相邻两边的内角和为180度。

证明：设ABCD为平行四边形。

根据平行四边形的定义，我们知道AB∥CD和AD∥BC。

根据内错角的性质，我们可以得到∠A+∠D=180度和∠B+∠C=180度。

这表明相邻两边的内角和为180度。

3. 同底角性质平行四边形的同底角相等，即平行四边形相对的两个内角相等。

证明：设ABCD为平行四边形。

我们需要证明∠A=∠C和∠B=∠D。

由平行四边形的定义可知AB∥CD。

因此，∠A和∠C是平行线与截线的内错角，所以∠A=∠C。

同理，根据平行四边形的定义，我们知道AD∥BC。

因此，∠B和∠D是平行线与截线的内错角，所以∠B=∠D。

综上所述，平行四边形的同底角相等。

证毕。

4. 副对角线性质平行四边形的副对角线相等，即AC=BD。

证明：设ABCD为平行四边形。

连接AC和BD，交于点O。

我们需要证明AC=BD。

首先，根据平行四边形的定义，我们知道AB∥CD和AD∥BC。

所以，三角形AOB与三角形COD是全等三角形。

因此，三角形AOB和三角形COD的对应边长相等，即AO=OC，BO=OD。

又由对角线性质可知，AC和BD平分彼此，即AO=OC和BO=OD。

证明平行四边形的方法

证明平行四边形的方法
平行四边形是一种特殊的四边形，它有着独特的性质和特点。

在几何学中，我们常常需要证明一个四边形是平行四边形，下面我将介绍几种证明平行四边形的方法。

1. 直角边相等法。

如果一个四边形的两条相对边相等，并且对角线互相垂直，那么这个四边形就是平行四边形。

这是因为直角边相等的四边形是矩形，而矩形是特殊的平行四边形。

2. 对角线互相平分法。

如果一个四边形的对角线互相平分，并且相交于一点，那么这个四边形就是平行四边形。

这是因为对角线互相平分的四边形是菱形，而菱形是特殊的平行四边形。

3. 同位角相等法。

如果一个四边形的两组对应角相等，那么这个四边形就是平行四边形。

这是因为同位角相等的四边形是平行四边形。

4. 同位角和内错角互补法。

如果一个四边形的两组对应角互补，那么这个四边形就是平行四边形。

这是因为同位角和内错角互补的四边形是平行四边形。

5. 对边平行法。

如果一个四边形的对边平行，那么这个四边形就是平行四边形。

这是平行四边形的定义。

以上是几种证明平行四边形的方法，通过这些方法我们可以轻松地证明一个四边形是平行四边形。

在实际问题中，我们经常需要利用这些方法来解决各种几何问题，因此熟练掌握这些方法对我们的学习和工作都是非常有益的。

希望大家能够认真学习并灵活运用这些方法，提高自己的几何学能力。

平行四边形的证明

平行四边形的证明
平行四边形是由四条相互平行的线段组成的一种多边形，它的特性使它在几何中变得非常重要。

下面将对其进行证明。

根据定义，平行四边形是由四条相互平行的线段组成的，因此我们必须证明四个线段都是平行的。

要做到这一点，首先我们需要确定的是，四边形的每个顶点之间的距离都是相等的。

例如，如果ABCD是一个平行四边形，那么AB=BC=CD=DA。

接下来，我们要证明的是，四边形的每个边都是平行的。

为了做到这一点，首先我们需要证明的是，四边形的每个内角都是相等的。

例如，如果ABCD是一个平行四边形，那么∠A=∠B=∠C=∠D。

现在，我们来证明四条线段是平行的。

这可以通过反证法来证明。

即，假设AB不是平行的，那么AB和CD之间存在一个内角，记作θ。

根据上面的结论，
∠A=∠B=∠C=∠D，因此θ=∠A=∠B。

但是，根据三角形的外角定理，∠A+∠B+θ=180°，因此θ=180°-2*∠A。

由于∠A=∠B，所以θ=180°-2*∠A=180°-2*∠B，这和之前的结论θ=∠A=∠B矛盾，因此AB不可能不平行。

同样，我们可以用同样的方法证明BC、CD和DA都是平行的。

因此，我们已经证明了ABCD是一个平行四边形。

总之，平行四边形的证明包括以下几个步骤：首先证明四边形的每个顶点之间的距离都是相等的；然后证明四边形的每个内角都是相等的；最后利用反证法证明四条线段是平行的。

证明平行四边形的性质

证明平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，拥有一些独特的性质。

在本文中，我们将证明平行四边形的一些关键性质，并通过合适的证明格式来展示。

性质一：对角线互相平分设ABCD为平行四边形，连接AC和BD分别为其对角线。

我们需要证明对角线AC和BD互相平分。

证明：首先，通过平行四边形的定义，我们知道AB∥CD以及AD∥BC。

以AD为基线构建等腰三角形，即在AD上作AE=ED；以BC为基线构建等腰三角形，即在BC上作BF=FC。

根据等腰三角形的性质，我们可以得出∠AED=∠EDF以及∠DCB=∠DBC。

由AD∥BC可知∠DBC与∠ADC为同位角，同理∠BAC与∠BDC为同位角。

因此，∠BAC=∠BDC。

既然∠AED=∠DFC，且∠BAC=∠BDC，那么根据割线定理，我们可以得出对角线AC和BD互相平分。

性质二：对边平行设ABCD为平行四边形，我们需要证明其对边AB和CD平行。

证明：根据平行四边形的定义，我们知道AB∥CD以及AD∥BC。

在三角形ABC和BCD中，我们可以利用转角相等来证明边AB和CD平行。

因为AD∥BC，所以∠ABC=∠BCD。

同理，在三角形ABD和ADC中，我们可以利用转角相等来证明边AB和CD平行。

因为AD∥BC，所以∠ABD=∠ACD。

因为∠ABC=∠BCD以及∠ABD=∠ACD，根据转角相等定理，我们可以得知边AB和CD是平行的。

性质三：对边长度相等设ABCD为平行四边形，我们需要证明其对边AB和CD的长度相等。

证明：根据平行四边形的定义，我们已知AB∥CD以及AD∥BC。

在三角形ABD和ADC中，我们可以利用边对应相等来证明边AB 和CD的长度相等。

因为AD∥BC，所以AB=CD。

同理，在三角形ABC和BCD中，我们可以利用边对应相等来证明边AB和CD的长度相等。

因为AB∥CD，所以BC=AD。

因为AB=CD以及BC=AD，根据边对应相等定理，我们可以得知对边AB和CD的长度是相等的。

平面几何的性质平行四边形的性质及其证明

平面几何的性质平行四边形的性质及其证明平面几何的性质——平行四边形的性质及其证明平行四边形是平面几何中的一种特殊形状，具有独特的性质和特点。

本文将介绍平行四边形的性质以及相关的证明。

一、平行四边形的定义及性质平行四边形是指四边形的对边两两平行，即其中任意两条边都是平行的四边形。

在平行四边形中，存在以下性质：1. 对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分。

证明如下：设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。

由于平行四边形的两组对边平行，因此∠BAD=∠BCD、∠ABD=∠ACD。

再结合共同顶点A和共线的点B、D，根据三角形内角和定理可得：∠BAD+∠ABD+∠ACD=180°。

又因为∠BAD=∠BCD，代入上述等式，得到2∠BAD+∠BAD=180°，即3∠BAD=180°，所以∠BAD=∠BCD=60°。

同理可证，∠ABC=∠ADC=120°。

因此，以点O为圆心，OB为半径的圆可以过点D，以点O为圆心，OD为半径的圆可以过点B，这说明对角线AC和BD互相平分。

2. 对边相等平行四边形的对边相等。

证明如下：由于平行四边形的两组对边平行，可以得到以下等式：AB ∥ CD，AD ∥ BC。

根据平行线与横切线定理可知，任意一条横切线AB与平行线CD之间的交角等于对边AD与平行线BC之间的交角。

因为平行线CD与AD之间的交角等于∠ADC，平行线BC与AB之间的交角等于∠ABC，根据前述证明可得∠ADC=∠ABC=120°。

再结合对角线互相平分的性质，可以推导出∠ACD=∠ABD=60°。

根据三角形的全等条件，可以得到△ADC≌△ABC，因此AD=BC，AB=CD，即平行四边形的对边相等。

3. 对角线长度关系平行四边形的对角线长度关系。

证明如下：设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。

根据三角形内角和定理可得∠ADC+∠ACD+∠ADC=180°。

8证明三——特殊平行四边形

证明三——特殊平行四边形知识要点1．矩形一、性质矩形除具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形的四个角都是直角，对角线相等二、判定（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形；（3）矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．三、推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形2．菱形一、性质：菱形除具有平行四边形的所有性质之外，还具有，菱形的四边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角二、判定（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）菱形的判定定理1：四边都相等的四边形是菱形；（3）菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．3．正方形一、性质：正方形除具有平行四边形所有性质外，还具有，正方形的四个角都是直角，两条对角线相等，并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角二、判定（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（2）判定定理1：一组邻边相等的矩形是正方形；（3）判定定理2：一个角是直角的菱形是正方形．（一）菱形、矩形、正方形的有关概念：（二）菱形、矩形、正方形的性质（三）菱形、矩形、正方形的判别：题型归类一、选择题1．下列命题正确的是（）A 、有两个角是直角的四边形是矩形B 、两条对角线相等的四边形是矩形C 、两条对角线垂直且相等的四边形是矩形D 、四个角都是直角的四边形是矩形 2．过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是（） A 、不等边三角形 B 、等腰三角形C 、等边三角形D 、等腰直角三角形3．矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则边与对角线组成的直角三角形的个数是（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4．如图4-4-1，已知正方形ABCD 的边长为cm 35，E 为DC 边上一点，∠EBC=30°，则BE 的长为（）∥ = A 、cm 5B 、cm 52C 、5cmD 、10cm5．如图4-4-2，等边三角形ABE 与正方形ABCD 有一条公共边，则∠AED 等于（） A 、10° B 、12.5° C 、15° D 、20° 6．若矩形各角平分线能围成一个四边形，则这个四边形是（） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形 7．E 为矩形ABCD 中AB 边上的中点，CE ⊥DE ，那么∠CEB 等于（） A 、30° B 、45° C 、60° D 、75° 8．下列命题中错误的是（） A 、正方形既是矩形又是菱形 B 、有一个内角是直角的菱形是正方形C 、有一组邻边相等的矩形是正方形D 、两条对角线想到垂直且相等的四边形是正方形 9．正方形具有而矩形不一定具有性质是（） A 、对角线互相垂直 B 、对角线相等C 、对角线互相平分D 、对角线互相平分且相等10．如图4-4-3，E 是正方形ABCD 内一点，且△EAB 是等边三角形，则∠ADE 等于（） A 、70° B 、72.5° C 、75° D 、77.5° 11．用长为30cm 的一根绳子，围成一个矩形，其面积最大值为（）A 、225cm 2B 、112.5cm 2C 、56.25cm 2D 、100cm 2 12．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个边形是正方形的是（）A 、AC=BD ，∠A=∠B ，∠C=∠D B 、∠ABD=∠CBD ，AB CD ，∠A=∠BC 、AO=CO ，BO=DO ，∠A=∠BD 、AO=CO ，BO=DO ，AB=BC13．如图4-4-4，设M 、N 是正方形ABCD 的边AB 、AD 的中点，MD 与NC 相交于P ，若△PCD 的面积是S ，则四边形AMPN 的面积是（） A 、S 32 B 、S C 、S 34 D 、非上述答案14．如图4-4-4（上题图），若CE=MN ，∠MCE=35°，那么∠ANM 的度数是（） A 、45° B 、55° C 、65° D 、35°15．如图4-4-5，正方形ABCD 的边长为3，以CD 为一边向CD 两旁作等边△PCD 和等边△QCD ，那么PQ 的长为（） A 、233 B 、332C 、33D 、3616．一个正方形和一个等腰三角形周长相等，等腰三角形两边长为13cm 和6cm ，这个正方形的面积是（） A 、64cm 2B 、16625cm 2C 、32cm 2D 、25cm 2图4-4-1 图4-4-2图4-4-3B17．在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，EF ⊥AC ，EG ⊥BD ，垂足为F 、G ，如果AC=10cm ，那么EF+EG 等于（） A 、10cm B 、7.5cm C 、5cm D 、2.5cm 18．用两个全等的直角三角形拼下面图形：（1）平行四边形（2）矩形（3）菱形（4）正方形（5）等腰三角形（6）等边三角形，可以拼成的图案是（） A 、（1）（4）（5） B 、（2）（5）（6） C 、（1）（2）（3） D 、（1）（2）（5） 19.下列判别错误的是（）A 、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形B 、有一条对角线平分对角的四边形是菱形C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D 、邻边相等的平行四边形是菱形20.在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，且AE=4cm ，则菱形ABCD 的边长为（） A 、4cm B 、5cm C 、6cm D 、7cm 21.在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，且BE=EC ，CF=FD ，则∠AEF 等于（）A 、120°B 、45°C 、60°D 、150° 22.已知菱形的周长是40cm ，一条对角线的长是12cm ，那么这个菱形的面积是（） A 、190cm 2 B 、96cm 2 C 、48cm 2 D 、40cm 2 23.菱形的周长等于它的高的8倍，则它的相邻两个角的度数是（） A 、20°和160° B 、60°和120° C 、45°和135° D 、30°和150° 24.菱形中，两条对角线相交于一点，则这个图形中，面积相等的三角形有（） A 、8对 B 、12对 C 、15对 D 、16对 25.菱形ABCD 中，若∠ABC=120°，则BD ：AC 的值是（） A2BC 、1:2D26.如图4-3-1，等边△AEF 与菱形ABCD 有一个公共顶点A ，且边长相等；△AEF 的顶点E 、F 分别在菱形的边BC 、CD 上，则BAD 等于（） A 、80° B 、90° C 、100° D 、120°二、填空题1．已知矩形的周长为72cm ，一边中点与对边的两个端点连线的夹角是直角。

证明平行四边形的方法

证明平行四边形的方法平行四边形是指具有两对相对平行的边的四边形。

下面将介绍几种证明平行四边形的方法。

方法一：使用向量证明考虑平行四边形ABCD。

我们可以使用向量来证明其边的平行性。

设向量AB=a，向量AD=b。

则向量AC=a+b。

如果ABCD是平行四边形，则向量AB与向量CD平行，即向量AB=k*向量CD，其中k为实数。

同样地，向量AD与向量BC平行，即向量AD=k*向量BC。

我们可以将向量AB、CD、AD、BC写成其坐标形式：AB=(x2-x1, y2-y1)，CD=(x4-x3, y4-y3)，AD=(x4-x1, y4-y1)，BC=(x3-x2, y3-y2)。

根据向量平行的定义，可以列出如下方程：(x2-x1, y2-y1) = k*(x4-x3, y4-y3)，(x4-x1, y4-y1) = k*(x3-x2, y3-y2)。

我们可以将第一个方程展开为以下两个方程：x2-x1 = k*(x4-x3)，y2-y1 = k*(y4-y3)。

同样地，我们将第二个方程展开为以下两个方程：x4-x1 = k*(x3-x2)，y4-y1 = k*(y3-y2)。

可以发现，以上四个方程构成一个线性方程组。

如果能够找到k的一个确定的解，那么就可以证明ABCD是平行四边形。

我们可以将两对等式相除，得到如下两个等式：(x2-x1)/(x4-x3) = (y2-y1)/(y4-y3)，(x4-x1)/(x3-x2) = (y4-y1)/(y3-y2)。

如果上述两个等式成立，则可以断定ABCD是平行四边形。

方法二：使用平行线性质证明考虑平行四边形ABCD。

我们可以利用平行线的性质来证明其边的平行性。

首先，我们可以通过证明两对边的斜率相等来证明平行四边形的边是平行的。

设AB的斜率为k1，CD的斜率为k2。

如果k1=k2，则AB与CD是平行的。

同样地，我们假设AD的斜率为k3，BC的斜率为k4。

如果k3=k4，则AD与BC是平行的。

初中数学特殊平行四边形的证明及详细答案

初中数学特殊平行四边形的证明一. 解答题（共30小题）1．（2019•泰安模拟）如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC的垂直平分线DE交BC于D, 交AB于E, F在DE上, 并且AF=CE．（1）求证: 四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时, 四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论.2．（2019•福建模拟）已知: 如图, 在△ABC中, D、E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 延长DE到点F, 使得EF=BE, 连接CF．求证: 四边形BCFE是菱形.3．（2019•深圳一模）如图, 四边形ABCD中, AB∥CD, AC平分∠BAD, CE∥AD交AB于E．（1）求证: 四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点, 试判断△ABC的形状, 并说明理由.4．（2019•济南模拟）如图, 四边形ABCD是矩形, 点E是边AD的中点．求证: EB=EC.5. （2019•临淄区校级模拟）如图所示, 在矩形ABCD中, DE⊥AC于点E, 设∠ADE=α, 且cosα= , AB=4, 则AC的长为多少？6. （2019春•宿城区校级月考）如图, 四边形ABCD是矩形, 对角线AC、BD相交于点O, BE ∥AC交DC的延长线于点E. 求证：BD=BE.7．（2019•雅安）如图：在▱ABCD中, AC为其对角线, 过点D作AC的平行线及BC的延长线交于E．（1）求证: △ABC≌△DCE；（2）若AC=BC, 求证: 四边形ACED为菱形.8．（2019•贵阳）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D.E分别为AB, AC边上的中点, 连接DE, 将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE, 连接AF, AC．（1）求证: 四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8, AC=6, 求四边形ABCF的周长.9．（2019•遂宁）已知：如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O, E是CD中点, 连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F, 连结DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形.10. （2019•宁德）如图, 在梯形ABCD中, AD∥BC, 点E是BC的中点, 连接AC, DE, AC=AB, DE∥AB. 求证: 四边形AECD是矩形.11. （2019•钦州）如图, 在正方形ABCD中, E、F分别是AB、BC上的点, 且AE=BF. 求证：CE=DF.12．（2019•贵港）如图, 在正方形ABCD中, 点E是对角线AC上一点, 且CE=CD, 过点E 作EF⊥AC交AD于点F, 连接BE．（1）求证: DF=AE；（2）当AB=2时, 求BE2的值.13．（2019•吴中区一模）已知：如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB.CD上的点, ∠BAF=∠DAE．（1）求证: AE=AF；（2）若AE垂直平分BC, AF垂直平分CD, 求证: △AEF为等边三角形.14. （2019•新乡一模）小明设计了一个如图的风筝, 其中, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形, 点C在AF上, 点E, G分别在BC, CD上, 若∠BAD=135°, ∠EAG=75°, AE=100cm, 求菱形ABCD的边长.15. （2019•槐荫区三模）如图, 菱形ABCD的边长为1, ∠D=120°. 求对角线AC的长.16. （2019•历城区一模）如图, 已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm, AE ⊥BC于点E, 求AE的长.17．（2019•湖南校级模拟）如图, AE=AF, 点B.D分别在AE、AF上, 四边形ABCD是菱形, 连接EC、FC（1）求证: EC=FC；（2）若AE=2, ∠A=60°, 求△AEF的周长.18．（2019•清河区一模）如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D.E、F分别是△ABC三边的中点．求证: 四边形ADEF是菱形.19. （2019春•防城区期末）如图, 已知四边形ABCD是平行四边形, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是为E, F, 并且DE=DF. 求证：四边形ABCD是菱形.20．（2019•通州区一模）如图, 在四边形ABCD中, AB=DC, E、F分别是AD.BC的中点, G、H分别是对角线BD.AC的中点．（1）求证: 四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1, 则当∠ABC+∠DCB=90°时, 求四边形EGFH的面积.21．（2019•顺义区二模）如图, 在△ABC中, D、E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 过点C 作CF∥BE交DE的延长线于F．（1）求证: 四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4, ∠BCF=120°, 求菱形BCFE的面积.22．（2019•祁阳县校级模拟）如图, O为矩形ABCD对角线的交点, DE∥AC, CE∥BD．（1）求证: 四边形OCED是菱形.（2）若AB=6, BC=8, 求四边形OCED的周长.23. （2019•荔湾区校级一模）已知点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点, 且AD=DE, 连结BE交CD于点O, 求证：△AOD≌△BOC.24．（2019•东海县二模）已知：如图, 在正方形ABCD中, 点E、F在对角线BD上, 且BF=DE, （1）求证: 四边形AECF是菱形；（2）若AB=2, BF=1, 求四边形AECF的面积.25．（2019•玉溪模拟）如图, 正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上, 连接BE、DG．求证: BE=DG.26．（2019•工业园区一模）已知：如图正方形ABCD中, E为CD边上一点, F为BC延长线上一点, 且CE=CF（1）求证: △BCE≌△DCF；（2）若∠FDC=30°, 求∠BEF的度数.27．（2019•深圳模拟）四边形ABCD是正方形, E、F分别是DC和CB的延长线上的点, 且DE=BF, 连接AE、AF、EF．（1）求证: △ADE≌△ABF；（2）若BC=8, DE=6, 求△AEF的面积.28. （2019•碑林区校级模拟）在正方形ABCD中, AC为对角线, E为AC上一点, 连接EB、ED. 求证：∠BEC=∠DEC.29．（2019•温州一模）如图, AB是CD的垂直平分线, 交CD于点M, 过点M作ME⊥A C, MF ⊥AD, 垂足分别为E、F．（1）求证: ∠CAB=∠DAB；（2）若∠CAD=90°, 求证: 四边形AEMF是正方形.30．（2019•湖里区模拟）已知：如图, △ABC 中, ∠ABC=90°, BD 是∠ABC 的平分线, DE⊥AB 于点E, DF ⊥BC 于点F ．求证：四边形DEBF 是正方形．初中数学特殊平行四边形的证明参考答案及试题解析一. 解答题（共30小题）1．（2019•泰安模拟）如图, 在△ABC 中, ∠ACB=90°, BC 的垂直平分线DE 交BC 于D, 交AB 于E, F 在DE 上, 并且AF=CE ．（1）求证: 四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时,四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的菱形的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定. 菁优网版权所有结论．考点:考点：专题:证明题.（1）ED是BC的垂直平分线, 根据中垂线的性质: 中垂线上的分析:点线段两个端点的距离相等, 则EB=EC, 故有∠3=∠4, 在直角三角形ACB中, ∠2及∠4互余, ∠1及∠3互余, 则可得到AE=CE, 从而证得△ACE和△EFA都是等腰三角形, 又因为FD⊥BC, AC⊥BC, 所以AC∥FE, 再根据内错角相等得到AF∥CE, 故四边形ACEF是平行四边形；（2）由于△ACE是等腰三角形, 当∠1=60°时△ACE是等边三角形, 有AC=EC, 有平行四边形ACEF是菱形．（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形.（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．解: （1）∵ED是BC的垂直平分线解答:∴EB=EC, ED⊥BC,∴∠3=∠4,∵∠ACB=90°,∴FE∥AC,∴∠1=∠5,∵∠2及∠4互余, ∠1及∠3互余∴∠1=∠2,∴AE=CE,又∵AF=CE,∴△ACE和△EFA都是等腰三角形,∴∠5=∠F,∴∠2=∠F,∴在△EFA和△ACE中∵,∴△EFA≌△ACE（AAS）,∴∠AEC=∠EAF∴AF∥CE∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时, 四边形ACEF是菱形. 证明如下: ∵∠B=30°, ∠ACB=90°∴∠1=∠2=60°∴∠AEC=60°∴AC=EC∴平行四边形ACEF是菱形.点评:本题综合利用了中垂线的性质、等边对等角和等角对等边、直角三角形的性质、平行四边形和判定和性质、菱形的判定求解, 有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2. （2019•福建模拟）已知: 如图, 在△ABC中, D.E分别是AB.AC 的中点, BE=2DE, 延长DE到点F, 使得EF=BE, 连接CF.菱形的判定. 菁优网版权所有求证：四边形BCFE是菱形.考点:考点：专题:证明题.分析:由题意易得, EF 及BC 平行且相等, ∴四边形BCFE 是平行四边形．又EF=BE, ∴四边形BCFE 是菱形．解答: 解: ∵BE=2DE, EF=BE,∴EF=2DE. （1分）∵D.E 分别是AB.AC 的中点,∴BC=2DE 且DE ∥BC. （2分）∴EF=BC. （3分）又EF ∥BC,∴四边形BCFE 是平行四边形. （4分）又EF=BE,∴四边形BCFE 是菱形. （5分）∴四边形BCFE 是菱形．（5分）点评: 此题主要考查菱形的判定, 综合利用了平行四边形的性质和判定．3. （2019•深圳一模）如图, 四边形ABCD 中, AB ∥CD, AC 平分∠BAD, CE ∥AD 交AB 于E.（1）求证: 四边形AECD 是菱形；菱形的判定及性质. 菁优网版权所有（2）若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由．考点:考点：几何图形问题.专题:（1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形, 进而证明分析:一组邻边相等可得该四边形为菱形；（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等, 进而证明∠ACB为直角即可．（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可.（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．解: （1）∵AB∥CD, CE∥AD,解答:∴四边形AECD为平行四边形, ∠2=∠3,又∵AC平分∠BAD,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AD=DC,∴四边形AECD是菱形；（2）直角三角形.理由: ∵AE=EC∴∠2=∠4,∵AE=EB,∴EB=EC,∴∠5=∠B,又因为三角形内角和为180°,∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°,∴∠ACB=∠4+∠5=90°,∴△ACB为直角三角形.点评:考查菱形的判定及性质的应用；用到的知识点为：一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的4条边都相等.4. （2019•济南模拟）如图, 四边形ABCD是矩形, 点E是边AD的中点.求证：矩形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有EB=EC.考点:考点：专题: 证明题.分析: 利用矩形的性质结合全等三角形的判定及性质得出△ABE ≌△DCE（SAS）, 即可得出答案．解答: 证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC, ∠A=∠D=90°,∵点E是边AD的中点,∴AE=ED,在△ABE和△DCE中,,∴△ABE≌△DCE（SAS）,∴EB=EC.∴EB=EC．点评: 此题主要考查了全等三角形的判定及性质以及矩形的性质, 得出△ABE≌△DCE是解题关键．矩形的性质. 菁优网版权所有5. （2019•临淄区校级模拟）如图所示, 在矩形ABCD中, DE⊥AC于点E, 设∠ADE=α,且cosα= ,AB=4, 则AC的长为多少？考点：分析: 根据等角的余角相等, 得∠BAC=∠ADE=α；根据锐角三角函数定义可求AC的长．解答: 解: ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°, AD∥BC,∴∠EAD=∠ACB,∵在△ABC及△AED中,∵DE⊥AC于E, ∠ABC=90°∴∠BAC=∠ADE=α.∴cos∠BAC=cosα= ,∴AC= = .∴AC==．点评: 此题综合运用了锐角三角函数的知识、勾股定理、矩形的性质.矩形的性质；平行四边形的判定及性质. 菁优网版权所有6.（2019春•宿城区校级月图, 四边形ABCD是矩形, 对角线AC.BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. 求证:BD=BE.考点:考点：专题: 证明题.分析: 根据矩形的对角线相等可得AC=BD, 对边平行可得AB∥CD,再求出四边形ABEC 是平行四边形, 根据平行四边形的对边相等可得AC=BE, 从而得证．解答: 证明: ∵四边形ABCD 是矩形,∴AC=BD, AB ∥CD,又∵BE ∥AC,∴四边形ABEC 是平行四边形,∴AC=BE,∴BD=BE.∴BD=BE．点评: 本题考查了矩形的性质, 平行四边形的判定及性质, 熟记各性质并求出四边形ABEC 是平行四边形是解题的关键．7. （2019•雅安）如图: 在▱ABCD 中, AC 为其对角线, 过点D 作AC 的平行线及BC 的延长线交于E.（1）求证: △ABC ≌△DCE ；（2）若AC=BC, 求证：四边形ACED为菱菱形的判定；全等三角形的判定及性质；平行四边形的性质. 菁优网版权所有形．考点:考点：专题: 证明题.分析: （1）利用AAS判定两三角形全等即可；（2）首先证得四边形ACED为平行四边形, 然后证得AC=AD,利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可.（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．解答: 证明: （1）∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD, AB=CD,∴∠B=∠1,又∵DE∥AC∴∠2=∠E,在△ABC及△DCE中,,∴△ABC≌△DCE；（2）∵平行四边形ABCD中,∴AD∥BC,即AD∥CE,由DE∥AC,∴ACED为平行四边形,∵AC=BC,∴∠B=∠CAB,由AB∥CD,∴∠CAB=∠ACD,又∵∠B=∠ADC,∴∠ADC=∠ACD,∴AC=AD,∴四边形ACED为菱形.点评: 本题考查了菱形的判定等知识, 解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理, 难度不大．8. （2019•贵阳）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D.E分别为AB, AC边上的中点, 连接DE, 将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE, 连接AF, AC.（1）求证: 四边形ADCF是菱形；（2）菱形的判定及性质；旋转的性质. 菁优网版权所有若BC=8,AC=6,求四边形ABCF的周长．考点:考点：几何综合题.专题:（1）根据旋转可得AE=CE, DE=EF, 可判定四边形ADCF是平行分析:四边形, 然后证明DF⊥AC, 可得四边形ADCF是菱形；（2）首先利用勾股定理可得AB长, 再根据中点定义可得AD=5, 根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5, 进而可得答案．（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案.（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．（1）证明: ∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,解答:∴AE=CE, DE=EF,∴四边形ADCF是平行四边形,∵D.E分别为AB, AC边上的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,∵∠ACB=90°,∴∠AED=90°,∴DF⊥AC,∴四边形ADCF是菱形；（2）解: 在Rt△ABC中, BC=8, AC=6,∴AB=10,∵D是AB边上的中点,∴AD=5,∵四边形ADCF是菱形,∴AF=FC=AD=5,∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28.∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28．此题主要考查了菱形的判定及性质, 关键是掌握菱形四边相点评:等, 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．9. （2019•遂宁）已知: 如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC.BD相交于点O, E是CD中点, 连结OE. 过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F, 连结DF. 求证:（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形. 考点: 考点：矩形的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定. 菁优网版权所有专题: 证明题.分析: （1）根据两直线平行, 内错角相等可得∠ODE=∠FCE, 根据线段中点的定义可得CE=DE, 然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC, 再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形, 根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD, 然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．解答: 证明: （1）∵CF∥BD,∴∠ODE=∠FCE,∵E是CD中点,∴CE=DE,在△ODE和△FCE中,,∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE,∴OD=FC,∵CF∥BD,∴四边形ODFC是平行四边形,在矩形ABCD中, OC=OD,∴四边形ODFC是菱形.∴四边形ODFC是菱形．点评: 本题考查了矩形的性质, 全等三角形的判定及性质, 菱形的判定, 熟记各性质及平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．10.矩形的判定. 菁优网版权所有（2019•宁德）如图, 在梯形ABCD中,AD∥BC,点E是BC的中点,连接AC,DE,AC=AB,DE∥AB.求证:四边形AECD是矩形.考点:考点：专题: 证明题.分析: 先判断四边形AECD为平行四边形, 然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．解答: 证明: ∵AD∥BC, DE∥AB,∴四边形ABED是平行四边形.∴AD=BE.∵点E是BC的中点,∴EC=BE=AD.∴四边形AECD是平行四边形.∵AB=AC, 点E是BC的中点,∴AE⊥BC, 即∠AEC=90°．∴▱AECD是矩形.∴▱AECD是矩形．点评: 本题考查了梯形和矩形的判定, 难度适中, 解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．正方形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有11.（2019•钦州）如图,在正方形ABCD中, E、F分别是AB.BC上的点, 且AE=BF.求证:CE=DF.考点:考点：专题: 证明题.分析: 根据正方形的性质可得AB=BC=CD, ∠B=∠BCD=90°, 然后求出BE=CF, 再利用“边角边”证明△BCE和△CDF全等, 根据全等三角形对应边相等证明即可．解答: 证明: 在正方形ABCD中, AB=BC=CD, ∠B=∠BCD=90°, ∵AE=BF,∴AB﹣AE=BC﹣BF,即BE=CF,在△BCE和△CDF中,,∴△BCE≌△CDF（SAS）,∴CE=DF.∴CE=DF．点评: 本题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定及性质, 熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．12. （2019•贵港）如图, 在正方形ABCD中, 点E是对角线AC上一点, 且CE=CD, 过点E作EF⊥AC交AD于点F, 连接BE.（1）求证: DF=AE；正方形的性质；角平分线的性质；勾股定理. 菁优网版权所有（2）当AB=2时,求BE2的值．考点:考点：（1）连接CF, 根据“HL”证明Rt△CDF和Rt△CEF全等, 根分析:据全等三角形对应边相等可得DF=EF, 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠EAF=45°, 求出△AEF是等腰直角三角形, 再根据等腰直角三角形的性质可得AE=EF, 然后等量代换即可得证；（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC, 然后求出AE, 过点E作EH⊥AB于H, 判断出△AEH是等腰直角三角形, 然后求出EH=AH= AE, 再求出BH, 然后利用勾股定理列式计算即可得解．（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH= AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解.（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解．（1）证明: 如图, 连接CF,解答:在Rt△CDF和Rt△CEF中,,∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL）,∴DF=EF,∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠EAF=45°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴AE=EF,∴DF=AE；（2）解: ∵AB=2,∴AC= AB=2 ,∵CE=CD,∴AE=2 ﹣2,过点E作EH⊥AB于H,则△AEH是等腰直角三角形,∴EH=AH= AE= ×（2 ﹣2）=2﹣,∴BH=2﹣（2﹣）= ,在Rt△BEH中, BE2=BH2+EH2=（）2+（2﹣）2=8﹣4 ．本题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定及性质, 等腰直点评:角三角形的判定及性质, 勾股定理的应用, 作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．13. （2019•吴中区一模）已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB.CD上的点, ∠BAF=∠DAE.（1）求证: AE=AF ；（2）若AE 垂直平分BC, AF 垂直平分CD, 求证：△AEF 为等边三角形．考点:考点：菱形的性质；全等三角形的判定及性质；等边三角形的判定. 菁优网版权所有专题:证明题. 分析:（1）首先利用菱形的性质得出AB=AD, ∠B=∠D, 进而得出△ABE ≌△ADF （ASA ）, 即可得出答案；（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形, 进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°, 求出△AEF 为等边三角形．（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF 为等边三角形.（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF 为等边三角形．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD, ∠B=∠D,又∵∠BAF=∠DAE,∴∠BAE=∠DAF,在△ABE和△ADF中,,∴△ABE≌△ADF（ASA）,∴AE=AF；（2）解: 连接AC,∵AE垂直平分BC, AF垂直平分CD,∴AB=AC=AD,∵AB=BC=CD=DA,∴△ABC和△ACD都是等边三角形,∴∠CAE=∠BAE=30°, ∠CAF=∠DAF=30°,∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°,又∵AE=AF,∴△AEF是等边三角形.点评: 此题主要考查了等边三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质等知识, 熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．14. （2019•新乡菱形的性质. 菁优网版权所有一模）小明设计了一个如图的风筝, 其中, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形,点C在AF上, 点E, G分别在BC,CD上, 若∠BAD=135°, ∠EAG=75°,AE=100cm, 求菱形ABCD的边长.考点:考点：分析: 根据菱形的性质可得出∠BAE=30°, ∠B=45°, 过点E作EM⊥AB于点M, 设EM=x, 则可得出AB、AE的长度, 继而可得出的值, 求出AB即可．解答: 解: ∵∠BAD=135°, ∠EAG=75°, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形,∴∠B=180°﹣∠BAD=45°, ∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=30°,过点E作EM⊥AB于点M, 设EM=x,在Rt△AEM中, AE=2EM=2x, AM= x,在Rt△BEM中, BM=x,则= = ,∵AE=100cm, ∴AB=50（+1）cm,∴菱形ABCD的边长为：50（+1）cm.点评: 本题考查了菱形的性质及解直角三角形的知识, 属于基础题, 关键是掌握菱形的对角线平分一组对角．15. （2019菱形的性质. 菁优网版权所有•槐荫区三模）如图,菱形ABCD的边长为1, ∠D=120°.求对角线AC的长.考点:考点：分析: 连接BD及AC交于点O, 根据菱形的性质可得AB=AD, AC=2AO, ∠ADB= ∠ADC, AC⊥BD, 然后判断出△ABD是等边三角形, 根据等边三角形的性质求出AO, 再根据AC=2AO计算即可得解．解答: 解: 如图, 连接BD及AC交于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD, AC=2AO, ∠ADB= ∠ADC, AC⊥BD,∵∠D=120°,∴∠ADB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AO=AD×sin∠ADB= ,∴AC=2AO= .点评: 本题考查了菱形的性质, 等边三角形的判定及性质, 熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．16.菱形的性质；勾股定理. 菁优网版权所有（2019•历城区一模）如图, 已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm,AE⊥BC于点E, 求AE的长.考点：分析: 根据菱形的对角线互相垂直平分求出CO、BO, 再利用勾股定理列式求出BC, 然后利用菱形的面积等于底乘以高和对角线乘积的一半列出方程求解即可．解答: 解: ∵四边形ABCD是菱形,∴CO= AC=3cm, BO= BD=4cm, AO⊥BO,∴BC= = =5cm,∴S菱形ABCD= =BC•AE,即×6×8=5•AE,解得AE= cm.答：AE的长是cm.答: AE的长是cm．答：AE 的长是cm．点评: 本题考查了菱形的性质, 勾股定理, 熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键, 难点在于利用菱形的面积列出方程．17. （2019•湖南校级模拟）如图, AE=AF, 点B.D分别在AE、AF上, 四边形ABCD是菱形, 连接EC.FC（1）求证: EC=FC；（2）若菱形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有∠A=60°,求△AEF的周长．考点:考点：分析: （1）连接AC, 根据菱形的对角线平分一组对角可得∠CAE=∠CAF, 然后利用“边角边”证明△ACE和△ACF全等, 根据全等三角形对应边相等可得EC=FC；（2）判断出△AEF是等边三角形, 然后根据等边三角形的三条边都相等解答．（2）判断出△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答.（2）判断出△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答．解答: （1）证明: 如图, 连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴∠CAE=∠CAF,在△ACE和△ACF中,,∴△ACE≌△ACF（SAS）,∴EC=FC；（2）解: 连接EF,∵AE=AF, ∠A=60°,∴△AEF是等边三角形,∴△AEF的周长=3AE=3×2=6.点评: 本题考查了菱形的性质, 全等三角形的判定及性质, 等边三角形的判定及性质, 熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．18. （2019•清河区一模）如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D.E、F分别是△ABC三边的中点.求证：菱形的判定；三角形中位线定理. 菁优网版权所有四边形ADEF是菱形.考点:专题: 证明题.分析: 利用三角形中位线的性质得出DE AC, EF AB, 进而得出四边形ADEF 为平行四边形．, 再利用DE=EF 即可得出答案．解答: 证明: ∵D.E 、F 分别是△ABC 三边的中点,∴DE AC, EF AB,∴四边形ADEF 为平行四边形.又∵AC=AB,∴DE=EF.∴四边形ADEF 为菱形.∴四边形ADEF 为菱形．点评: 此题主要考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的判定和菱形的判定等知识, 熟练掌握菱形判定定理是解题关键．19. （2019春•防城区期末）如图, 已菱形的判定；全等三角形的判定及性质；平行四边形的性质. 菁优网版权所有形ABCD是平行四边形, DE⊥AB,DF⊥BC, 垂足分别是为E, F,并且DE=DF.求证:四边形ABCD是菱形.考点:考点：专题: 证明题.分析: 首先利用已知条件和平行四边形的性质判定△ADE≌△CDF, 再根据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形ABCD是菱形．解答: 证明: 在△ADE和△CDF中,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∵DE⊥AB, DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.又∵DE=DF,∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC,∴平行四边形ABCD是菱形.∴平行四边形ABCD是菱形．点评: 本题考查了平行四边形的性质, 全等三角形的判定和性质以及菱形的判定方法, 解题的关键是熟练掌握各种图形的判定和性质．20. （2019•通州区一模）如图, 在四边形ABCD中, AB=DC, E、F分别是AD.BC的中点, G、H分别是对角线BD.AC的中点.（1）求证: 四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1, 则当∠ABC+∠DCB=90°时, 求四边形EGFH 的面积．考点:考点：菱形的判定及性质；正方形的判定及性质；中点四边形. 菁优网版权所有分析: （1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH 的四边相等, 即可证得；（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°, 得到菱形EGFH 是正方形, 利用三角形的中位线定理求得GE 的长, 则正方形的面积可以求得．（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH 是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE 的长，则正方形的面积可以求得.（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH 是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE 的长，则正方形的面积可以求得．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD中, E、F、G、H分别是AD.BC.BD.AC 的中点,∴FG= CD, HE= CD, FH= AB, GE= AB.∵AB=CD,∴FG=FH=HE=EG.∴四边形EGFH是菱形.（2）解: ∵四边形ABCD中, G、F、H分别是BD.BC.AC的中点,∴GF∥DC, HF∥AB.∴∠GFB=∠DCB, ∠HFC=∠ABC．∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°.∴∠GFH=90°.∴菱形EGFH是正方形.∵AB=1,∴EG= AB= .∴正方形EGFH的面积=（）2= .点评: 本题考查了三角形的中位线定理, 菱形的判定以及正方形的判定, 理解三角形的中位线定理是关键．21. （2019•顺义区二模）如图, 在△ABC中, D.E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 过点C作CF∥BE交DE的延长线于F.（1）求证: 四边形BCFE是菱形；（2）若菱形的判定及性质. 菁优网版权所有CE=4, ∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积．考点:考点：分析: （1）由题意易得, EF及BC平行且相等, 故四边形BCFE 是平行四边形. 又麟边EF=BE, 则四边形BCFE是菱形；（2）连结BF, 交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度, 则BF=2BO．利用菱形的面积= CE•BF进行解答．（2）连结BF，交CE于点O. 利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形. 通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO. 利用菱形的面积= CE•BF进行解答.（2）连结BF，交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO．利用菱形的面积=CE•BF进行解答．解答: （1）证明: ∵D.E分别是AB.AC的中点,∴DE∥BC, BC=2DE.∵CF∥BE,∴四边形BCFE是平行四边形.∵BE=2DE, BC=2DE,∴BE=BC.∴□BCFE是菱形；（2）解: 连结BF, 交CE于点O.∵四边形BCFE是菱形, ∠BCF=120°,∴∠BCE=∠FCE=60°, BF⊥CE,∴△BCE是等边三角形.∴BC=CE=4.∴.∴.点评: 此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算, 使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．22. （2019•祁阳县校级模拟）如图, O为矩形ABCD对角线的交点, DE ∥AC, CE∥BD.矩形的性质；菱形的判定. 菁优网版权所有（1）求证: 四边形OCED是菱形.（2）若AB=6,BC=8,求四边形OCED的周长．考点:考点：分析: （1）根据矩形性质求出OC=OD, 根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形, 根据菱形判定推出即可；（2）根据勾股定理求出AC, 求出OC, 得出OC=OD=CE=ED=5,相加即可．（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可.（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=2OC, BD=2OD, AC=BD,∴OD=OC,∵DE∥AC, CE∥BD,∴四边形OCED是菱形.（2）解: ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∵AB=6, BC=8,∴在Rt△ABC中, 由勾股定理得: AC=10,即OC= AC=5,∵四边形OCED是菱形,∴OC=OD=DE=CE=5,∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20.∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20．。

平行四边形的性质及其证明

平行四边形的性质及其证明平行四边形是一种特殊的四边形，其具有一些独特的性质。

本文将介绍平行四边形的性质，并给出相应的证明。

性质一：对边平行平行四边形的两组对边是平行的。

设平行四边形ABCD的对边AB与CD，以及对边BC与AD。

为了证明对边平行，可以利用平行线的性质来推导。

首先，连接AC和BD两条对角线。

根据平行四边形的定义，可以得出∠ABC = ∠CDA和∠ABD = ∠CDB。

由此，我们可以得出∠ABD + ∠CDA = 180°和∠ABC + ∠CDB = 180°。

再加上AC与BD是相交直线，根据内角和定理可知∠CDA + ∠CDB = 180°。

将以上两个等式相加，得到∠ABD + ∠ABC + ∠CDA + ∠CDB = 360°，即四个角的和为360°。

但是，由平行四边形的性质可知，∠ABD + ∠ABC= 180°，∠CDA + ∠CDB = 180°。

因此，∠ABD + ∠ABC + ∠CDA +∠CDB = 360°等式成立，推导得证。

性质二：对角线相等平行四边形的对角线相等。

设平行四边形ABCD的对角线AC和BD。

为了证明对角线相等，可以利用三角形的性质来推导。

根据前面的证明，∠ABC = ∠CDA和∠ABD = ∠CDB。

又因为平行四边形的对边平行，所以∠BAD = ∠CBA和∠CBD = ∠ADC。

根据AA相似性质，可以得出△ABC与△CDA相似，以及△ABD与△CDB相似。

根据相似三角形的性质，我们可以得出下面的比例关系：AB/CD = BC/AD和AD/BC = CD/AB。

这两个比例关系可以合并为AB × AD = BC × CD，说明对角线的乘积相等。

因此，平行四边形的对角线相等，证明完成。

性质三：对角线平分平行四边形的对角线互相平分。

设平行四边形ABCD的对角线AC和BD。

特殊平行四边形的证明与计算(解析版)

特殊平行四边形的证明与计算考点体系考点1：特殊平行四边形性质与判定的综合应用典例：（2020·北京密云初二期末）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AD交于点O、E、F，连接AE和CF．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB，BC=3，求菱形AECF的边长．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】（1）证明：∵AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AD交于点O、E、F，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠F AO＝∠ECO，在△AOF和△COE中，∵∠F AO＝∠ECO，OA=OC，∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∴AE＝EC＝CF＝AF，∴四边形AECF为菱形；（2）解：设AE＝CE＝x，则BE＝3﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，2+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝2，即AE＝2，∴菱形AECF的边长是2．方法或规律点拨本题考查了线段垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质以及勾股定理等知识，能综合运用以上知识进行推理是解此题的关键．巩固练习1．（2020·宁夏盐池初二期中）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OE、OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）AB⊥BC时，四边形AEOF正方形．【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，∵点E、F分别是边AB、AD的中点，∴BE=12AB，DF=12AD，∴BE=DF，在△BCE和△DCF中，BE DFB D BC CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△DCF．（2）AB⊥BC，理由如下：∵四边形AEOF是正方形，∴∠AEO=90°，∵点E、O分别是边AB、AC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴OE//BC，∴∠B=∠AEO=90°，∴AB⊥BC．2．（2020·湖北潜江初二期末）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）在△ADE 与△CDE 中，AD CDDE DE EA EC=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE ，∴∠ADE=∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE=∠CBD ，∴∠CDE=∠CBD ，∴BC=CD ，∵AD=CD ，∴BC=AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD=CD ，∴四边形ABCD 是菱形；（2）∵BE=BC ，∴∠BCE=∠BEC ，∵∠CBE ：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180×2233++ =45°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD 是正方形．3．（2018·内蒙古杭锦后旗初二期中）（1）如图矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点D 作//DP OC ，且DP OC =，连接CP ，判断四边形CODP 的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．【答案】（1）四边形CODP 的形状是菱形，理由见解析；（2）四边形CODP 的形状是矩形，理由见解析；（3）四边形CODP 的形状是正方形，理由见解析.【解析】（1）四边形CODP 的形状是菱形，理由是：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==， ∴OC OD =，∵//DP OC ，DP OC =，∴四边形CODP 是平行四边形，∵OC OD =，∴平行四边形CODP 是菱形；（2）四边形CODP 的形状是矩形，理由是：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，∴90DOC ∠=，∵//DP OC ，DP OC =，∴四边形CODP 是平行四边形，∵90DOC ∠=，∴平行四边形CODP 是矩形；（3）四边形CODP 的形状是正方形，理由是：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，AC BD =，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==， ∴90DOC ∠=，OD OC =，∵//DP OC ，DP OC =，∴四边形CODP 是平行四边形，∵90DOC ∠=，OD OC =∴平行四边形CODP 是正方形． 4．（2018·河南嵩县初二期末）如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，且AE ＝CF.(1)求证：四边形BEDF 是菱形；(2)若正方形ABCD 的边长为4，AE ，求菱形BEDF 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】(1)连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，OD ＝OB ＝OA ＝OC.∵AE ＝CF ，∴OA －AE ＝OC －CF ，即OE ＝OF ，∴四边形BEDF 为平行四边形，又∵BD ⊥EF ，∴四边形BEDF 为菱形．(2)∵正方形ABCD 的边长为4，∴BD ＝AC＝.∵AE ＝CF，∴EF ＝AC－∴S 菱形BEDF ＝12BD·EF ＝12×. 5．（2020·云南昭阳初二期中）在正方形ABCD 中，对角线BD 所在的直线上有两点E 、F 满足BE=DF ，连接AE 、AF 、CE 、CF ，如图所示．（1）求证：△ABE ≌△ADF ；（2）试判断四边形AECF 的形状，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）菱形【解析】证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ，∴∠ABE=∠ADF ，在△ABE 与△ADF 中AB AD ABE ADF BE DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△ADF.（2）如图，连接AC ，四边形AECF是菱形．理由：在正方形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF，∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．6．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初二月考）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BE∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=CF．（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF=CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠FAG=60°，∵AB=AG=AF，∴△AFG是等边三角形，∴AG=GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG=CG，∵AG=GD，∴AD=CF，∴四边形ACDF是矩形．考点2：利用特殊四边形性质探究几何量典例：（2020·江苏鼓楼初二期末）已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．【答案】（1）DE；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF＋CF DF或|AF－CF|DF【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CB，当点E、F与点B重合时，则，故答案为：CF；（2）在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：情况1：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB=AD=AB=AE，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，过点C作CG⊥CF，交DF于G，如图②所示：则∠BCD=∠GCF=90°，∴∠DCG=∠BCF ，设BC 交DF 于P ，∵BF ⊥DE ，∴∠BFD=∠BCD=90°，∵∠DPC=∠FPB ，∴∠CDP=∠FBP ，在△CDG 和△CBF 中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），∴DG=FB ，CG=CF ，∴△GCF 是等腰直角三角形，∴，连接BE ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α，∵AD=AE ，∴∠DEA=∠ADE=90°-α，∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，∴∠EAB=90°-2α，∵AB=AE ，∴∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=12（180°-90°+2α）=45°+α， ∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，∵BF ⊥DE ，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，∴EF=DG ，∴EF+EG=DG+EG ，即DE=FG ，∴CF ；情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，如图③所示：∵∠GCF=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCF ，∵∠FPD=∠BPC ，∴∠FDP=∠PBC ，在△CDG 和△CBF 中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），∴DG=FB ，CG=CF ，∴△GCF 是等腰直角三角形，∴，设∠CDG=α，则∠CBF=α，同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α，∴∠EAB=90°+2α，∵AB=AE ，∴∠BEA=∠ABE=45°-α，∴∠FEB=∠DEA -∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°，∵BF ⊥DE ，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，∴EF=DG ，∴DE=FG ，∴CF ；（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，如图④所示：由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ），∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，∴，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，∴∠HDA=∠FDC ，在△HDA 和△FDC 中，DH DF HDA FDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△HDA ≌△FDC （SAS ），∴CF=HA ，DF=HF=HA+AF=CF+AF ，即DF ；②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，如图⑤所示：设∠DAE=α，则∠CDN=∠CND=90°-α，∴∠DCN=2α，∴∠NCB=90°-2α，∵CN=CD=CB ，∴∠CNB=∠CBN=12（180°-∠NCB ）=12（180°-90°+2α）=45°+α， ∵∠CNE=180°-∠CND=180°-（90°-α）=90°+α，∴∠FNB=90°+α-（45°+α）=45°，∴△BFN 是等腰直角三角形，∴BF=NF ，在△CNF 和△CBF 中，CN CB CF CF NF BF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CNF ≌△CBF （SSS ），∴∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°， ∴△DFH 是等腰直角三角形，∴，DF=DH ，∵∠ADC=∠HDE=90°，∴∠ADF=∠CDH ，在△ADF 和△CDH 中，AD CD ADF CDH DF DH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△CDH （SAS ），∴CH=AF ，∴FH=CH+CF=AF+CF ，∴；③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，如图⑥所示：由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ），∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，∴，DH=DF ，∵∠ADC=∠HDF=90°，∴∠ADH=∠CDF ，在△ADC 和△HDF 中，AD CD ADH CDF DH DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC ≌△HDF （SAS ），∴AH=CF ，∴HF=AF -AH=AF -CF ，∴AF -DF ；④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，如图⑦所示：∵AB=AE=AD ，∴∠AED=∠ADE ，∵∠PFD=∠PAB=90°，∠FPD=∠BPA ，∴∠ABP=∠FDP ，∴∠FEA=∠FBA ，∵AB=AE ，∴∠AEB=∠ABE ，∴∠FEB=∠FBE ，∴△BFE 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ），∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴∠DFH=∠EFA=45°，∴△HDF 是等腰直角三角形，∴DH=DF ，HF=DF ，∵∠HDF=∠CDA=90°，∴∠HDA=∠FDC ，在△HDA 和△FDC 中，DH DF HDA FDC AD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△HDA ≌△FDC （SAS ），∴AF=CF ，∴AH -AF=CF -AF=HF ，∴CF -DF ，综上所述，线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系：或|AF -DF ，故答案为：或|AF -DF ．方法或规律点拨本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．巩固练习1．（2020·安徽肥东初二期末）如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点P 在边AD 上从点A 到点D 运动，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BD 于点F ，已知AB=3，AD=4，随着点P 的运动，关于PE+PF的值，下面说法正确的是（）A ．先增大，后减小B ．先减小，后增大C ．始终等于2.4D ．始终等于3【答案】C【解析】解：连接PO ，如下图：∵在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，∴12ABCD S AB BC ==矩形,AO OC =，OB OD =，AC BD =，5AC ， ∴1112344AOD ABCD S S ==⨯=矩形, 52OA OD ==， 11115()()322222AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF PE PF =+=+=+=⨯+=， ∴12 2.45PE PF +==；故选C ．2．（2020·山东德州初二期末）以四边形ABCD 的边AB 、AD 为边分别向外侧作等边三角形ABF 和ADE ，连接EB 、FD ，交点为G ．(1)当四边形ABCD为正方形时(如图1)，EB和FD的数量关系是；(2)当四边形ABCD为矩形时(如图2)，EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；(3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．【答案】（1）EB=FD，（2）EB=FD，证明见解析；（3）不变，等于60°.【解析】解：（1）EB=FD，理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∵以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，∴AF=AE，∠FAB=∠EAD=60°，∵∠FAD=∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°，∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+60°=150°，∴∠FAD=∠BAE，在△AFD和△ABE中，AF AEFAD BAE AD AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFD ≌△ABE ，∴EB=FD ；（2）EB=FD ．证：∵△AFB 为等边三角形 ∴AF=AB ，∠FAB=60° ∵△ADE 为等边三角形， ∴AD=AE ，∠EAD=60°∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD ，即∠FAD=∠BAE∴△FAD ≌△BAE∴EB=FD ；（3）解：同（2）易证：△FAD ≌△BAE ， ∴∠AEB=∠ADF ，设∠AEB 为x°，则∠ADF 也为x°于是有∠BED 为（60﹣x ）°，∠EDF 为（60+x ）°，∴∠EGD=180°﹣∠BED ﹣∠EDF=180°﹣（60﹣x ）°﹣（60+x ）°=60°．3．（2020·四川龙泉驿初一期末）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝100°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝50°．探究图中线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论是（直接写结论，不需证明）；（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且2∠EAF ＝∠BAD ，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，四边形ABCD 是边长为7的正方形，∠EBF ＝45°，直接写出△DEF 的周长．【答案】（1）EF ＝BE +DF ；（2）成立，理由详见解析；（3）14．【解析】证明：（1）延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，在△ABE 和△ADG 中，90AB AD ABE ADG BE DG ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠BAD ＝100°，∠EAF ＝50°，∴∠BAE +∠F AD ＝∠DAG +∠F AD ＝50°，∴∠EAF ＝∠F AG ＝50°，在△EAF 和△GAF 中，∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAF ≌△GAF （SAS ），∴EF ＝FG ＝DF +DG ，∴EF ＝BE +DF ，故答案为：EF ＝BE +DF ；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ，∵∠ABC +∠D ＝180°，∠ABG +∠ABC ＝180°，∴∠ABG ＝∠D ，∵在△ABG 与△ADF 中，AB=AD ABG=D BG=DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABG ≌△ADF （SAS ），∴AG ＝AF ，∠BAG ＝∠DAF ，∵2∠EAF ＝∠BAD ，∴∠DAF +∠BAE ＝∠BAG +∠BAE ＝12∠BAD ＝∠EAF ， ∴∠GAE ＝∠EAF ，又AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF （SAS ），∴EG ＝EF ．∵EG ＝BE +BG ．∴EF ＝BE +FD ；（3）如图，延长EA 到H ，使AH ＝CF ，连接BH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝7＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠BAH ＝∠BCF ＝90°，又∵AH ＝CF ，AB ＝BC ，∴△ABH ≌△CBF （SAS ），∴BH ＝BF ，∠ABH ＝∠CBF ，∵∠EBF ＝45°，∴∠CBF +∠ABE ＝45°＝∠HBA +∠ABE ＝∠EBF ，∴∠EBH ＝∠EBF ，又∵BH ＝BF ，BE ＝BE ，∴△EBH ≌△EBF （SAS ），∴EF ＝EH ，∴EF ＝EH ＝AE +CF ，∴△DEF 的周长＝DE +DF +EF ＝DE +DF +AE +CF ＝AD +CD ＝14．4．（2020·甘肃麦积初二期末）如图1，ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折叠后得到GBE ，且点G 在□ABCD 内部．将BG 延长交DC 于点F ．（1）猜想并填空：GF ________DF （填“>”、“<”、“=”）；（2）请证明你的猜想；（3）如图2，当90A ∠=，设BG a =，GF b =，EG c =，证明：2c ab =．【答案】（1）＝；（2）见解析；（3）见解析【解析】解：（1）GF=DF，故答案为：=；（2）理由是：连接DG，由折叠得：AE=EG，∠A=∠BGE，∵E在AD的中点，∴AE=ED，∴ED=EG，∴∠EGD=∠EDG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180°，∵∠BGE+∠EGF=180°，∴∠EDF=∠EGF，∴∠EDF-∠EDG=∠EGF-∠EGD，即∠GDF=∠DGF，∴GF=DF；（3）证明：如图2，由（2）得：DF=GF=b，由图可得：BF=BG+GF=a+b，由折叠可得：AB=BG=a，AE=EG=c，在ABCD中，BC=AD=2AE=2c，CD=AB=a，∴CF=CD-DF=a-b，∵∠A=90°，∴ABCD 是矩形，∴∠C=90°，在Rt △BCF 中，由勾股定理得，BC 2+CF 2=BF 2，∴(2c)2+(a -b)2=(a+b)2，整理得：c 2=ab ．5．（2020·山东济南初二期末）如图1，在菱形ABCD 中，AC ＝2，BD ＝，AC ，BD 相交于点O ．(1)求边AB 的长；(2)求∠BAC 的度数；(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD 的顶点A 处，绕点A 左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC ，CD 相交于点E ，F ，连接EF ．判断△AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由．【答案】（1）2；（2）60︒ ；（3）见详解【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴△AOB 为直角三角形，且111,22OA AC OB BD ====∴2AB ===；（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC ，由（1）得：AB=AC=BC=2，∴△ABC 为等边三角形，∠BAC=60°；（3）△AEF 是等边三角形，∵由（1）知，菱形ABCD 的边长是2，AC=2，∴△ABC 和△ACD 是等边三角形，∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，∴∠BAE=∠CAF ，在△ABE 和△ACF 中，BAE CAF AB ACEBA FCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△ACF （ASA ），∴AE=AF ，∵∠EAF=60°，∴△AEF 是等边三角形．6．（2020·黑龙江鹤岗中考真题）以Rt ABC ∆的两边AB 、AC 为边，向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接EG ，过点A 作AM BC ⊥于M ，延长MA 交EG 于点N ．（1）如图1，若90BAC ∠=︒，AB AC =，易证：EN GN =；（2）如图2，90BAC ∠=︒；如图3，90BAC ∠≠︒，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）90BAC ∠=︒时，（1）中结论成立，证明见解析；90BAC ∠≠︒时，（1）中结论成立，证明见解析．【解析】（1）证明：∵90BAC ∠=︒，AB AC =，∴45ACB ∠=︒，∵AM BC ⊥，∴45MAC ∠=︒，∴45EAN MAC ∠=∠=︒，同理45NAG ∠=︒，∴EAN NAG ∠=∠，∵四边形ABDE 和四边形ACFG 为正方形，∴AE AB AC AG ===，∴EN GN =.（2）如图1，90BAC ∠=︒时，（1）中结论成立.理由：过点E 作EP AN ⊥交AN 的延长线于P ，过点G 作GQ AM ⊥于Q ，∵四边形ABDE 是正方形，∴AB AE =，90BAE ∠=︒，∴1809090EAP BAM ∠+∠=︒-︒=︒，∵AM BC ⊥，∴90ABM BAM ，∴ABM EAP ∠=∠，在ABM ∆和EAP ∆中，90ABM EAPAMB P AB AE∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴()AAS ABM EAP ∆∆≌，∴EP AM =，同理可得：GQ AM =，∴EP GQ =，在EPN ∆和GQN ∆中，P NQGENP GNQ EP GQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS EPN GQN ∆∆≌，∴EN NG =.如图2，90BAC ∠≠︒时，（1）中结论成立.理由：过点E 作EP AN ⊥交AN 的延长线于P ，过点G 作GQ AM ⊥于Q ，∵四边形ABDE 是正方形，∴AB AE =，90BAE ∠=︒，∴1809090EAP BAM ∠+∠=︒-︒=︒，∵AM BC ⊥，∴90ABM BAM ，∴ABM EAP ∠=∠，在ABM ∆和EAP ∆中，90ABM EAPAMB P AB AE∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴()AAS ABM EAP ∆∆≌，∴EP AM =，同理可得：GQ AM =，∴EP GQ =，在EPN ∆和GQN ∆中，P NQG ENP GNQ EP GQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS EPN GQN ∆∆≌，∴EN NG =.7．（2020·湖南醴陵初二期末）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且CE=CF ．（1）求证：BE=DF ；（2）若点G 在AD 上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD 成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD ，∠B=∠CDA=90°，∵F 是AD 延长线上一点，∴∠CDF=180˚-∠CDA=90°.在Rt △CBE 和Rt △CDF 中，CE CF BC CD=⎧⎨=⎩， ∴Rt △CBE ≌Rt △CDF （HL ），∴BE=DF ．（2）成立，理由如下：∵△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE=∠DCF.又∵∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°，∴∠ECF=∠DCF+∠DCE=90°.∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠ECF -∠GCE=45°.在△ECG 和△FCG 中，CE CF GCE GCF GC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ECG ≌△FCG （SAS ），∴GE=GF=DF+DG.又∵BE=DF ，∴GE=BE+DG.8．（2020·河南焦作初二期末）如图，在菱形ABCD 中，60,ABC E ∠=︒是对角线AC 上一点，F 是线段BC 延长线上一点，且,CF AE =连接BE ．（1）发现问题如图①，若E 是线段AC 的中点.连接,EF 其他条件不变，填空：线段BE 与EF 的数量关系是；（2）探究问题如图②，若E 是线段AC 上任意一点，连接,EF 其他条件不变，猜想线段BE 与EF 的数量关系是什么?请证明你的猜想；（3）解决问题如图③，若E 是线段AC 延长线上任意一点，其他条件不变，且30,1EBC AB ∠==，请直接写出AF 的长度．【答案】（1）BE EF =；（2）猜想线段BE 与EF 的数量关系为：BE EF =；证明见解析．（3．【解析】（1）BE EF =，证明：∵四边形ABCD 是菱形∴AB =BC∵60ABC ∠=︒∴ABC 是等边三角形∴60BCA ∠=︒∵E 是AC 中点∴30CBE ABE ∠=∠=︒，AE =CE∵CF AE =∴CE =CF ∴1302F CEF BCA ∠=∠=∠=︒ ∴30CBE F ∠=∠=︒∴BE EF =；（2）BE EF =，证明：如下图，过点E 作//EG BC 交AB 于点G∵四边形为ABCD 菱形，60ABC ∠=︒∴AB BC =，120BCD ∠=︒，//AB CD ，ABC 与ACD △都是等边三角形∵AC 是菱形ABCD 的对角线 ∴1602ACD BCD ∠=∠=︒ ∴60DCF ABC ∠=∠=︒，AB AC =∴120ECF ∠=︒又∵//EG BC∴60AGE ABC ∠=∠=︒又∵60BAC ∠=︒∴AGE 是等边三角形∴AG AE GE ==∴BG CE =，120BGE ECF ∠=︒=∠又∵CF AE =∴CE CF =在BGE △和CEF △中BG EC BGE ECF GE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BGE ECF SAS ≌∴BE EF =；（3）AF =证明：如下图，连接EF ，过点E 作//EG BC 交AB 延长线于点G∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒∴AB =BC ，ABC 是等边三角形∴60ACB ∠=︒∴60ECF ∠=︒又∵//EG BC∴60AGE ABC ∠=∠=︒又∵60BAC ∠=︒∴AGE 是等边三角形∴AG =AE =GE∴BG =CE ，BGE ECF ∠=∠又∵AE =CF∴GE =CF在BGE △和CEF △中BG CE BGE ECF GE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BGE ECF SAS ≌∴BE =EF∵60ABC ∠=︒，30EBC ∠=︒∴603090ABE ABC EBC ∠=∠+∠=︒+︒=︒∵ABC 是等边三角形∴60BAC ∠=︒∴180180906030BEA ABE BAC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∵1AB =∴2212AE AB ==⨯=，tan 303AB BE ===︒∵BE =EF∴EF =30EBC EFB ∠=∠=︒∴1803030120BEF ∠=︒-︒-︒=︒∴1203090AEF BEF BEA ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴AF ===．9．（2019·河南栾川初二期末）问题背景：在正方形ABCD 的外侧，作△ADE 和△DCF ，连结AF 、BE ．（1）特例探究：如图①，若△ADE 与△DCF 均为等边三角形，试判断线段AF 与BE 的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）拓展应用：如图②，在△ADE 与△DCF 中，AE=DF ，ED=FC ，且BE=4，则四边形ABFE 的面积为．【答案】(1)特例探究：AF=BE ，AF ⊥BE ；理由见解析；（2）拓展应用：8【解析】解：（1）特例探究：AF=BE ，AF ⊥BE ．∵四边形ABCD 为正方形，△ADE 与△DCF 均为等边三角形，∴AB=AD=CD ，∠BAD=∠ADC ，AE=AD=CD=DF ，∠DAE=∠CDF ，∴∠BAD+∠DAE=∠ADC+∠CDF ，即∠BAE=∠ADF ，在△ABE 与△DAF 中，{AB ADBAE ADF AE DF=∠=∠=，∴△ABE ≌△DAF （SAS ），∴AF=BE ，∠ABE=∠DAF ，∵∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴AF ⊥BE ；（2）拓展应用：在△ADE 与△CDF 中，∵{AD CDAE DF CF DE===，∴△ADE ≌△CDF （SSS ），∴∠DAE=∠CDF ，∠ADF=∠ADC+∠CDF=90°+∠CDF ，∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+∠EAD ， ∴∠ADF=∠BAE ，在△ABE 与△DAF 中，{AB ADBAE ADF AE DF=∠=∠=，∴△ABE ≌△DAF （SAS ），∴AF=BE ，∠ABE=∠DAF ，∵∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴AF ⊥BE ，∴S 四边形ABFE =1·2AF BE =12×4×4=8． 10．（2020·河南三门峡初二期末）在菱形ABCD 中，60B ∠=︒，点E 和点F 分别是射线BA 和射线AD 上的点（不与A ，B 重合），且60ECF ∠=︒．（1）问题初现如图1，当点E 和点F 分别在线段BA 和线段AD 上（不与端点重合）时，线段BC ，BE ，DF 之间的数量关系是_________；（2）深入探究如图2，当点E 和点F 分别在线段BA 和线段AD 的延长线上（不与端点重合）时，线段BC ，BE ，DF 之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）拓展应用在（2）的条件下，若BC CE ⊥，且4BC =，则DF =_________．【答案】（1）BE+DF=BC ；（2）BE=BC+DF ；理由见解析；（3）DF=4【解析】解：（1）BE+DF=BC ．理由：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC ．∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC ，∠ACB=∠BAC=60°，即∠BCE+∠ACE=60°，∴∠FAC=60°．∵∠ECF=60°，即∠ACE+∠ACF=60°，∴∠BCE=∠ACF ，在△ACF 与△BCE 中，B FACBC AC BCE ACF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACF ≌△BCE （ASA ），∴BE=AF ，∴BC=AD=AF+DF=BE+DF ；（2）BE=BC+DF ．理由如下：连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD ，∠B=∠ADC=60°，∴△ABC 和△ACD 为等边三角形，．∴∠BAC=∠ADC=60°，∴∠EAC=∠FDC=120°，又∵∠ACD=∠ECF=60°∴∠ACE=∠DCF ，在△EAC 和△FDC 中EAC FDC AC DCACE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△EAC ≌△FDC∴DF=AE ，又∵BE=AB+AE ，∴BE=BC+DF（3）DF=4，理由：∵90,60,BCE B ∠=︒∠=︒BC=AB=4，∴30BEC ∠=︒，∴BE=8，∴AE=BE -AB=8-4=4．考点3：与特殊平行四边形有关的最值探究典例：（2020·山东济南初二期末）如图①，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，且2BC =，CE =ABCD 固定，将正方形CEFG 绕点C 顺时针旋转α角(0360α︒<<︒)．（1）如图②，连接BG 、DE ，相交于点H ，请判断BG 和DE 是否相等？并说明理由；（2）如图②，连接AC ，在旋转过程中，当ACG ∆为直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数；（3）如图③，点P 为边EF 的中点，连接PB 、PD 、BD ，在正方形CEFG 的旋转过程中，BDP ∆的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）相等，理由见解析；（2）45α=︒和225α=︒；（3）存在，最大值为2+．【解析】（1）证明：相等∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，∴BC CD =，CG CE =，90BCD GCE ∠=∠=︒，∴BCD DCG GCE DCG ∠+∠=∠+∠，即BCG DCE ∠=∠，∴()BCG DCE SAS ∆∆≌；∴BG=DE（2）如图1，∠ACG=90°时，旋转角45DCG α=∠=︒；如图2，当∠ACG=90°时，旋转角360225DCG α=︒-∠=︒；综上所述，旋转角α的度数为45°或225°；（3）存在∵如图3，在正方形ABCD 中，2BC =，∴BD ==∴当点P 到BD 的距离最远时，BDP ∆的面积最大，作PH BD ⊥，连接CH ，CP ，则PH CH CP ≤+当,,P C H 三点共线时，PH 最大，此时BDP ∆的面积最大．∵CE =P 为EF 的中点，∴EP =此时12CH BD ==CP =∴11222BDP S BD PH ∆=⋅=⨯=+方法或规律点拨本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．巩固练习1．（2020·山东福山初三期中）如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，P 为对角线BD 上的一个动点，则下列线段的长等于AP EP +最小值的是（）A ．ABB ．DEC ．BD D ．AF【答案】D 【解析】解：过点E 作关于BD 的对称点E′，连接AE′，交BD 于点P ．∴PA+PE 的最小值AE′；∵E 为AD 的中点，∴E′为CD 的中点，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°,∴DE′=BF，∴ΔABF≌ΔAD E′，∴AE′=AF.故选D.2．（2020·江苏淮阴初二期中）如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（）A．15B．16C．19D．20【答案】A【解析】如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，，∵AD∥BC,AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形的宽都是3，∴AE=AF=3，∵S四边形ABCD=AE⋅BC=AF⋅CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形．如图2，，设AB=BC=x，则BE=9−x，∵BC2=BE2+CE2，∴x2=(9−x)2+32，解得x=5，∴四边形ABCD面积的最大值是：5×3=15.故选A.3．（2020·安徽和县初二期末）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选C．4．（2020·江苏泰州中学附属初中初二期末）如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝√2，连接AE、AF，则AE＋AF 的最小值为（）A．2√5B．3√2C．92D．225【答案】A【解析】解：如图作AH∥BD，使得AH=EF=√2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．∵AH=EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA=FH，∵FA=FC，∴AE+AF=FH+CF=CH，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH=90°，在Rt△CAH中，CH=√AC2+AH2=2√5，∴AE+AF的最小值2√5，故选：A．5．（2020·山东无棣初二期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC 上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为()A．B．4C．2D．4+【答案】C【解析】如下图，过点E作AC的对称点F，连接FB，FE，过点B作FE的垂线，交FE的延长线于点G∵菱形ABCD的边长为4，点E是BC的中点∴BE=2∵∠DAB=60°，∴∠FCE=60°∵点F是点E关于AC的对称点∴根据菱形的对称性可知，点F在DC的中点上则CF=CE=2∴△CFE是等边三角形，∴∠FEC=60°，EF=2∴∠BEG=60°∴在Rt△BEG中，EG=1，∴FG=1+2=3∴在Rt△BFG中，根据分析可知，BF=PB+PE∴△PBE的周长2故选：C6．（2020·四川遂宁初二期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P是AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF∥BC交AB于点F，连接EF，则EF的最小值为_____．【答案】12 5【解析】证明：如图，连接BP．∵∠B＝∠D＝90°，AD＝3，CD＝4，∴AC＝5，∵PE⊥BC于点E，PF∥BC，∠B＝90°，∴四边形PEBF是矩形；∴EF＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段EF的值最小，此时，S△ABC＝12BC•AB＝12AC•CP，即12×4×3＝12×5•CP，解得CP＝125．故答案为：125．7．（2020·江苏淮安初三三模）如图，正方形ABCD的边长为6，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF＝12x x ，连接CE ，CF ，则△CEF 周长的最小值为_____．【答案】【解析】如图作CH ∥BD ，使得CH ＝EF ＝，连接AH 交BD 由F ，则△CEF 的周长最小．∵CH ＝EF ，CH ∥EF ，∴四边形EFHC 是平行四边形，∴EC ＝FH ，∵FA ＝FC ，∴EC+CF ＝FH+AF ＝AH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∵CH ∥DB ，∴AC ⊥CH ，∴∠ACH ＝90°，在Rt △ACH 中，AH∴△EFC 的周长的最小值＝故答案为：8．（2020·江苏仪征初三二模）如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，点E 是AD 的中点，点M 是BE 上一动点，取CM 的中点为N ，则AN 的最小值是__________．【答案】【解析】取BC的中点F，由题意知点N在直线DF上，∴AN的最小值就是点A到直线DF的距离，连接AF，在矩形ABCD中，AD=BC=2AB=4，∴AB=BF=CF=CD=2，∠ABC=∠BCD=90︒，∴△ABF和△FCD都是等腰直角三角形，∴∠AFB=∠DFC=45︒，∴∠AFD=45︒，∴AF⊥FD，∴AN的最小值是AF的长，即AF=AB=故答案为：9．（2020·陕西碑林西北工业大学附属中学初一期末）问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，则AC＝；问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，点D是AC边上一点，且满足DA＝DB，则CD＝；问题解决（3）如图③，在Rt△ABC中，过点B作射线BP，将∠C折叠，折痕为EF，其中E为BC中点，点F在AC 边上，点C的对应点落在BP上的点D处，连接ED、FD，若BC＝8，求△BCD面积的最大值，及面积最大时∠BCD的度数．【答案】（1）20；（2）5；（3）S△BCD＝16；∠BCD＝45°【解析】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，∴20AC==，故答案为：20；（2）∵DA＝DB，∴∠A＝∠DBA，∵∠ABC＝90°∴∠A+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠C，∴DB＝DC，∴DB＝DC＝AD＝12AC＝5，故答案为：5；（3）∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝EC＝4，∵将∠C折叠，折痕为EF，∴DE＝EC＝4，当DE⊥BC时，S△BCD有最大值，S△BCD＝12×BC×DE＝12×8×4＝16，此时∵DE⊥BC，DE＝EC，∴∠BCD＝45°．故答案为：S△BCD＝16；∠BCD＝45°．考点4：与特殊平行四边形有关的动点问题典例：（2020·山东平阴初二期末）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随着移动．①当点Q 与点C 重合时，（如图2），求菱形BFEP 的边长；②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围．【答案】（1）证明过程见解析；（2）①边长为53cm ，②225cm S 9cm 3≤≤．【解析】解：（1）证明：∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，∴点B 与点E 关于PQ 对称，∴PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF ，又∵EF ∥AB ，∴∠BPF ＝∠EFP ，∴∠EPF ＝∠EFP ，∴EP ＝EF ，∴BP ＝BF ＝EF ＝EP ，∴四边形BFEP 为菱形；（2）①∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝5cm ，CD ＝AB ＝3cm ，∠A ＝∠D ＝90°，∵点B 与点E 关于PQ 对称，∴CE ＝BC ＝5cm ，在Rt △CDE 中，DE 4cm ，∴AE ＝AD ﹣DE ＝5cm -4cm ＝1cm ；在Rt △APE 中，AE ＝1，AP ＝3-PB ＝3﹣PE ，∴222EP =1(3-EP)+，解得：EP ＝53cm ，∴菱形BFEP 的边长为53cm ； ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时AE ＝1cm ，BP=53cm ， 2BFEP 5S =BP AE=cm 3⋅四边形，当点P 与点A 重合时，点E 离点A 最远，此时四边形ABQE 为正方形，AE ＝AB ＝3cm ，2ABQE BFEP S =S =9cm 正方形四边形， ∴菱形的面积范围：225cm S 9cm 3≤≤．方法或规律点拨本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，求出PE 是本题的关键．巩固练习1．（2020·河北景县初二期中）正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D ，在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积（）A ．先变大后变小B ．先变小后变大C ．一直变大D ．保持不变【答案】D【解析】连接DE，∵S△CDE＝12S四边形CEGF，S△CDE＝12S正方形ABCD，∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．故选D．2．（2020·江苏省泰兴市济川中学初二期末）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB 向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形【答案】B【解析】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：B．3．（2020·山东中区济南外国语学校初二期末）如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm、1cm，若将正方形AEFG绕点A旋转，则在旋转过程中，点C、F之间的最小距离为（）cm。