三角恒等变换教学设计
三角函数恒等变换教案
复杂恒等变换问题解析
01
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
02
03
多项式型恒等式
对于包含多个三角函数项 的多项式型恒等式，通过 分组、提取公因式、配方 等方法进行化简和证明。
分式型恒等式
对于分式形式的恒等式， 通过通分、约分、分子有 理化等手段进行化简和证 明。
含有参数的恒等式
对于含有参数的恒等式， 先对参数进行讨论，再根 据不同情况选择合适的方 法进行证明。
正弦为负，余弦、正切为 正。
诱导公式及周期性
诱导公式
通过加减整数倍的$pi/2$或$pi$，将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数 值。例如，$sin(pi - x) = sin x$，$cos(pi - x) = -cos x$等。
周期性
正弦、余弦函数的周期为$2pi$，正切函数的周期为$pi$。即对于任意整数$k$， 有$sin(x + 2kpi) = sin x$，$cos(x + 2kpi) = cos x$，$tan(x + kpi) = tan x$。
05
典型例题解析与讨论
简单恒等变换问题解析
1 2
利用基本恒等式进行变换 通过观察和运用基本的三角函数恒等式，如正弦、 余弦、正切的和差公式，将表达式化简为更简单 的形式。
角度变换 利用角度的加减、倍角、半角等关系，将复杂的 三角函数表达式转换为更易于处理的形式。
3
引入辅助角 通过引入辅助角，将原表达式转换为与辅助角相 关的三角函数形式，从而简化计算过程。
角的变换技巧
利用$sin(A+B)$、$cos(A+B)$等公式将 复杂角拆分为简单角。
倍角公式
如$sin 2A = 2sin A cos A$，用于将倍 角转换为单角。
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角恒等变换的概念和意义；（2）掌握三角恒等变换的基本公式；（3）能够运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳三角恒等变换的规律；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和探究欲望；（2）培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。
二、教学内容1. 三角恒等变换的概念和意义；2. 三角恒等变换的基本公式；3. 三角恒等变换的运用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角恒等变换的概念和意义；（2）三角恒等变换的基本公式；（3）三角恒等变换的运用。
2. 教学难点：（1）三角恒等变换公式的灵活运用；（2）解决实际问题时的变形和计算。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角恒等变换的规律；2. 通过示例讲解，让学生掌握三角恒等变换的基本公式；3. 利用练习题和小组讨论，提高学生的实际应用能力和团队合作意识。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关三角函数知识；（2）提问：什么是三角恒等变换？为什么学习三角恒等变换？2. 知识讲解：（1）讲解三角恒等变换的概念和意义；（2）介绍三角恒等变换的基本公式；（3）示例讲解：如何运用三角恒等变换解决实际问题。
3. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生独立完成；（2）选取部分学生的作业进行讲解和评价。
4. 小组讨论：（1）让学生分组讨论，分享解题心得和经验；5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容；（2）强调三角恒等变换在数学和实际生活中的重要性。
6. 课后作业：（1）布置巩固练习题；（2）鼓励学生自主学习，深入探究三角恒等变换的运用。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答的正确性以及与同学的合作情况。
2. 练习作业评价：检查学生作业的完成质量，包括答案的正确性、解题方法的合理性以及书写的规范性。
三角恒等变换说课稿 教案 教学设计
三角恒等变换一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。
你能根据下图回顾推导过程吗？2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。
4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。
5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等。
例题例1 已知sin （α+β）=32，sin （α-β）=51，求βαtan tan 的值。
例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°例3 化简（1）0070sin 120sin 3-；（2）sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2αcos2β。
例4 设为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π。
三角恒等变换教案优质课教案
三角函数的图像与变换
三角函数的基本图像
01
正弦、余弦、正切函数在坐标系中的图像及其特点。
图像的平移与伸缩
02
通过平移和伸缩变换，可以得到不同振幅、周期和相位的三角
函数图像。
图像的对称与周期性
03
三角函数图像具有对称性和周期性，可以通过这些性质进行图
像分析和变换。
三角函数的和差化积与积化和差公式
和差化积公式
05
06
$tan(A - B) = frac{tan A - tan B}{1 + tan A tan B}$
倍角公式与半角公式
倍角公式 $sin 2A = 2sin A cos A$
$cos 2A = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A$
解释三角恒等变换在几何图形中的应用，如角度、边长等的计算。
02
三角恒等变换在物理中的应用
阐述三角恒等变换在物理学中的应用，如振动、波动等问题的分析。
03
三角恒等变换在工程学中的应用
介绍三角恒等变换在工程领域中的应用，如建筑设计、机械制造等。
拓展：三角恒等变换在其他领域的应用
三角恒等变换在数学分析中的应用
三角恒等变换在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，是解决实际问题的重要 工具之一。
掌握三角恒等变换的方法和技巧，对于提高学生的数学素养和解决问题的能力具有 重要意义。
课程目标与要求
知识与技能目标
掌握三角恒等变换的基本方法和技巧， 能够熟练地进行三角函数的化简和计 算。
过程与方法目标
情感态度与价值观目标
将两个角的三角函数和差转化为 单个角的三角函数形式，便于计
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角恒等变换的概念和意义；（2）掌握三角恒等变换的基本公式；（3）能够运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察和分析，培养学生的逻辑思维能力；（2）通过练习和应用，提高学生解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作意识和解决问题的自信心。
二、教学内容1. 三角恒等变换的概念和意义（1）引入三角函数的定义和图像；（2）解释三角恒等变换的含义和作用。
2. 三角恒等变换的基本公式（1）sin(α±β)的公式；（2）cos(α±β)的公式；（3）tan(α±β)的公式。
三、教学过程1. 导入（1）复习相关三角函数的定义和图像；（2）提出问题，引导学生思考三角恒等变换的必要性。
2. 新课讲解（1）讲解三角恒等变换的概念和意义；（2）引导学生推导三角恒等变换的基本公式。
3. 练习与应用（1）布置相关的练习题，巩固学生对三角恒等变换的理解；（2）引导学生运用三角恒等变换解决实际问题。
四、教学评价1. 课堂讲解的评价：（1）观察学生在课堂上的参与度和理解程度；（2）通过提问和回答，检查学生对三角恒等变换的理解。
2. 练习题的评价：（1）检查学生完成练习题的情况和答案的正确性；（2）分析学生在解题过程中存在的问题和错误，及时进行反馈和指导。
五、教学资源1. 教学PPT：包含三角恒等变换的概念、意义和基本公式的讲解；2. 练习题：提供相关的练习题，供学生巩固和应用所学知识；3. 教学参考书：提供详细的三角恒等变换的讲解和例题。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的三角函数例子，让学生理解恒等变换的应用。
2. 小组讨论：让学生分组讨论三角恒等变换的性质，促进学生之间的交流和合作。
3. 问题解决：设计一些实际问题，让学生运用所学的三角恒等变换知识去解决，提高学生的应用能力。
高中数学教案《三角恒等变换》
教学计划：《三角恒等变换》一、教学目标知识与技能：学生能够理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括和差化积、积化和差、二倍角公式等。
学生能够熟练运用三角恒等变换公式进行化简、求值及证明。
培养学生的逻辑推理能力和代数运算能力。
过程与方法：通过观察、分析、归纳等数学活动，引导学生发现三角恒等变换的规律。
采用“公式推导—例题讲解—练习巩固”的教学模式，帮助学生逐步掌握三角恒等变换的方法。
鼓励学生自主探究，通过小组合作解决复杂问题，培养团队协作能力。
情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，感受数学的美妙与和谐。
培养学生的耐心和细心，养成严谨的科学态度。
引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性，增强应用数学的意识。
二、教学重点和难点重点：三角恒等变换的基本公式及其推导过程;运用公式进行化简、求值及证明。
难点：灵活运用三角恒等变换公式解决复杂问题;理解并记忆众多公式的内在联系。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）情境引入：通过展示一些与三角恒等变换相关的实际问题(如天文学中的角度计算、物理学中的波动分析等)，引导学生思考这些问题背后可能涉及的数学知识，从而引出三角恒等变换的主题。
复习旧知：简要回顾三角函数的基本性质、图像及诱导公式，为学习三角恒等变换做好铺垫。
明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握三角恒等变换的基本公式及其应用。
2. 公式推导（15分钟）和差化积公式推导：通过图形展示和代数运算相结合的方式，引导学生推导出和差化积公式。
强调公式的推导过程，帮助学生理解公式的来源和含义。
积化和差公式推导：类比和差化积公式的推导过程，引导学生自主推导积化和差公式。
鼓励学生提出疑问和见解，促进课堂互动。
二倍角公式推导：利用三角函数的倍角关系，引导学生推导出二倍角公式。
强调公式的记忆方法和应用技巧。
3. 例题讲解（10分钟）基础例题：选取具有代表性的基础例题进行讲解，如利用三角恒等变换公式化简表达式、求三角函数值等。
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案三角恒等变换教案一、教学目标：1.能够掌握三角恒等变换的概念和基本性质；2.能够灵活运用三角恒等变换求解简单的三角函数值；3.能够理解三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系。
二、教学内容：1.三角恒等变换的定义和基本性质；2.三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系；3.使用三角恒等变换求解简单的三角函数值。
三、教学重难点：1.三角恒等变换的基本性质的理解和运用；2.三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系。
四、教学方法：1.讲授结合练习，理论与实际相结合；2.举例分析和解题演练。
五、教学过程：第一步：引入新知识（10分钟）向学生简单介绍三角恒等变换的概念，并与他们讨论三角函数的图像、周期、奇偶性。
通过讨论的方法，激发学生的兴趣，引导学生主动思考。
第二步：讲解三角恒等变换的基本性质（15分钟）1.角的关系：讲解正弦、余弦、正切函数之间的关系，以及正角、负角之间的关系。
2.平方关系：讲解正弦、余弦、正切函数的平方和、平方差以及积与商之间的关系。
3.倒数关系：讲解正弦、余弦、正切函数的倒数之间的关系。
第三步：练习应用（20分钟）1.通过示例的方式，向学生展示如何使用三角恒等变换求解简单的三角函数值。
2.组织学生进行练习，让学生分小组进行解题，及时给予指导和反馈。
第四步：总结归纳（10分钟）请学生总结三角恒等变换的基本性质，并与他们讨论三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系。
第五步：小结（5分钟）对本节课学习的内容进行小结，并激发学生对三角函数的兴趣，鼓励他们进一步实践和研究。
六、教学反思本节课采用了理论与实际相结合的教学方法，通过讨论、演示和练习，使学生能够深入理解三角恒等变换的基本性质，并能够熟练灵活地应用。
课堂上，我积极引导学生思考和互动，激发了学生的学习兴趣和积极性。
但是，部分学生在练习环节遇到了一些困难，建议将练习题目难易程度适当调整，以使学生在解题过程中能够灵活运用所学知识。
人教版高中必修4(B版)第三章三角恒等变换教学设计
人教版高中必修4(B版)第三章三角恒等变换教学设计一、教学目标1.理解三角恒等变换的概念和性质。
2.掌握正弦、余弦、正切的恒等变换公式。
3.能够使用三角函数的恒等变换公式求解三角函数的值。
二、教学重点难点1.三角恒等变换概念和性质的理解。
2.正弦、余弦、正切的恒等变换公式的记忆和应用。
三、教学内容及方法1. 教学内容1.三角恒等变换的概念和性质。
2.正弦、余弦、正切的恒等变换公式。
2. 教学方法1.给出例题，并通过例题引出概念和性质。
2.讲解正弦、余弦、正切的恒等变换公式，并进行示例演练。
3.练习题的讲解和答疑。
四、教学过程设计1. 导入环节1.介绍本节课的主题和目标。
2.提问学生对三角恒等变换的了解和认识，引出三角恒等变换的概念和性质。
2. 讲解环节1.以例题的形式引出正弦、余弦、正切的恒等变换公式，讲解公式的推导过程和应用方法。
2.通过多组例题演示如何使用恒等变换公式求解三角函数的值。
3. 练习环节1.发放练习题，让学生进行练习并自行检验答案。
2.推广题目，让学生进行自主探究，并对想法进行讨论和答疑。
五、教学评估1.通过课后作业检查和测试等方式进行评估，考察学生对三角恒等变换的掌握情况。
2.针对评估结果进行适当调整和讲解，弥补学生掌握不足和漏洞。
六、教学资源1.PowerPoint演示文稿。
2.练习题和解答。
3.可视化三角恒等变换的工具软件，如GeoGebra或Desmos。
七、反思总结三角恒等变换是高中数学中比较基础而又重要的概念之一。
因此，在教学过程中，既要重视学生的掌握程度，也要注意教学内容和方式的生动和丰富。
此次教学中，我结合多组例题，并使用工具软件进行可视化演示，使学生可以更加深入地理解三角恒等变换的概念和性质，同时也更好地掌握了正弦、余弦、正切的恒等变换公式。
最后课后的总结和评估，也能帮助学生更深入地理解和记忆知识点。
《三角恒等变换》教学案
《三角恒等变换》教学案第1课时两角和与差的余弦教学过程一、问题情境[1]在实数运算中，有公式a(b+c)=ab+ac；在向量运算中，有公式a·(b+c)=a·b+a·c；在三角运算中，有公式cos(α-β)=cosα-cosβ吗？如果没有，式子一定不成立吗？二、数学建构问题1在直角坐标系xOy中，以Ox为始边分别作角α，β (0≤β≤α≤π)，其终边分别与单位圆交于P1，P2，则向量，的夹角是多少？·的值是多少？[2](图1)由图1可得向量，的夹角是α-β，=(cosα，sinα)，=(cosβ，sinβ).一方面，由向量数量积的定义，有·=||·||cos(α-β)=cos(α-β).另一方面，由向量数量积的坐标表示，有·=cosαcosβ+sinαsinβ.从而cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ， 0≤β≤α≤π.问题2如果α，β∈R，上述公式还成立吗？[3]当α-β∈[0，π]时，α-β就是，的夹角，所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.对于任意的α，β，总可选适当的整数k，使α-β-2kπ∈[-π，π).记β1=β+2kπ，则β1与β的终边相同，且α-β1∈[-π，π)，从而|α-β1|≤π，|α-β1|就是，的夹角.因此cos(|α-β1|)=cos(α-β1)=cos(α-β-2kπ)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.综上，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，这就是两角差的余弦公式，记为C(α-β).问题3cos(β-α)的展开式是什么？它与cos(α-β)展开式相等吗？为什么？cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ，它们展开式相等.因为余弦函数是偶函数，所以cos(α-β)=cos(β-α).问题4能利用两角差的余弦公式求cos(α+β)吗？[4]在两角差的余弦公式中，用-β代替β，就可以得到cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，这就是两角和的余弦公式，记为C(α+β).思考“用-β代替β”的换元方法体现在图形上有什么几何意义？能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗？用“-β代替β”的几何意义就是作出角β关于x轴的对称图形.(一) 公式理解1. 结构特征:①左边是两角差的余弦，右边是同名积的和；②左边是两角和的余弦，右边是同名积的差.2. 公式中的α，β可以是任意的角(或式子).3. 当α，β中有一个是90°的整数倍时，用诱导公式比较简便.(二) 巩固概念问题5请利用两角和(差)的余弦公式证明cos=sinα.[5]cos=cos cosα+sin sinα=sinα.三、数学运用【例1】利用两角和(差)的余弦公式，求cos75°，cos15°，sin15°，tan15°.[6][处理建议]引导学生将75°， 15°转化为两个特殊角的和或差，正弦需转化为余弦.[规范板书]解(1) 方法1:cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=.方法2:cos75°=cos(120°-45°)=cos120°cos45°+sin120°sin45°=.(2) 方法1:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=.方法2:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°=.(3) sin15°=cos(90°-75°)=cos75°=.(4) tan15°===2-.[题后反思](1)两角差(和)的余弦公式也适用于形式上不是差(和)角，但可以拆分成两角差(和)的情形；(2)角的拆分可能有多种形式，要根据题目选择适当的拆分.变式化简cos+cos.[规范板书]解原式=cos cosα-sin sinα+cos cosα+sin sinα=cosα.【例2】不查表，求下列式子的值:(1) cos120°cos15°-sin120°sin15°；(2) cos58°sin77°+sin122°sin13°.[处理建议]本例是逆用两角和(差)的余弦公式求值，要引导学生构造公式中的结构.[规范板书]解(1)原式=cos(120°+15°)=cos135°=-.(2) 原式=cos58°cos13°+sin58°sin13°=cos(58°-13°)=.变式不查表，求cos215°-sin215°的值.[规范板书]解cos215°-sin215°=cos(15°+15°)=.[题后反思] 只有式子结构与公式结构完全相同时才能逆用公式，否则需对式子进行变形.【例3】已知sinα=，α∈，cosβ=-，β∈，求cos(α+β)的值.[处理建议]由公式C(α+β)可知，欲求cos(α+β)，应先计算cosα，sinβ的值.cosα，sinβ是通过sin2x+cos2x=1(x为任意角)来求解的，要注意“±”的选取.[规范板书]解因为α∈，sinα=，所以cosα=-=-=-.又因为cosβ=-，β∈π，，所以sinβ=-=-=-，所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-×--×=.[题后反思]思考:在例3中，你能求出sin(α+β)的值吗？*【例4】若α，β为锐角，且满足cosα=，cos(α+β)=，求cosβ的值.[处理建议]先由学生自己分析解题思路，可能是“展开cos(α+β)，与sin2β+cos2β=1联立，解方程组”.再引导学生观察发现α，α+β，β三个角之间的关系为β=(α+β)-α，用两角差的余弦公式求解.最后由学生比较两种方法的简易度，让学生体会拆角方法的简捷和思路的合理性.[规范板书]解因为α，β为锐角，所以0<α<， 0<β<， 0<α+β<π.因为cosα=，cos(α+β)=，所以sinα=，sin(α+β)=，所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=.[题后反思] 在“给式求值”问题中，要注意用已知角来表示所求角.如本题已知角为α+β和α，所求角是β，则β=(α+β)-α.变式已知cos(2α-β)=-，sin(α-2β)=，且<α<， 0<β<，求cos(α+β)的值.[处理建议]引导学生寻找已知角与所求角之间的关系，即(2α-β)-(α-2β)=α+β.由α，β的取值范围，分别求出2α-β，α-2β的正弦值和余弦值，再利用公式即可求解.[规范板书]解∵<α<， 0<β<，∴<2α-β<π，-<α-2β<.由cos(2α-β)=-，sin(α-2β)=，得sin(2α-β)=，cos(α-2β)=，∴cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α-β)·cos(α-2β)+sin(2α-β)·sin(α-2β)=×+×=.四、课堂练习1. 化简:cos(30°+α)-cos(30°-α)=-sinα.2. 化简:cos65°cos115°-cos25°sin115°=-1.提示原式=cos65°cos115°-sin65°sin115°=cos(65°+115°)=cos180°=-1.3. 已知sinα=，α∈，cosβ=-，β是第三象限角，则cos(α-β)=-.提示因为α∈，sinα=，所以cosα=-=-=-.又因为cosβ=-，β是第三象限角，所以sinβ=-=-=-，所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=-.4. 已知α∈，cos=，则cosα=.提示因为α∈，所以α-∈，所以sin=-.因此，cosα=cos=cos-sin=.五、课堂小结1. 运用向量数量积的定义及坐标运算公式推导两角差的余弦公式，在两角差的余弦公式上用赋值法得到两角和的余弦公式.2. 两角和与差的余弦公式的结构特证.3. 三角变换时，注意角与角的关系(用已知角表示所求角).第2课时两角和与差的正弦(1)教学过程一、问题情境[1]如何求sin15°的值？二、数学建构问题1上节课中，我们是如何求sin15°的值？我们是将sin15°变换成cos75°，再利用两角和的余弦公式来计算.而sin15°=sin(45°-30°)，有没有两角和(差)的正弦公式？问题2能否用上述方法，将sin(α+β)转化成某个角的余弦？sin(α+β)=cos.问题3上述中涉及三个角和的余弦，如何展开才能使结果只含有α，β的正弦和余弦？cos=cos=cos cosβ+sin sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ，即sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，这就是两角和的正弦公式，记为S(α+β).问题4能得到两角差的正弦公式吗？即sin(α-β)=.[2]解法一在两角和的正弦公式中，用-β代替β，就可以得到sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，这就是两角差的正弦公式，记为S(α-β).解法二sin(α-β)=cos-(α-β)=cos-α+β=cos-αcosβ-sin-αsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.问题5能用同角三角函数的关系，由C(α±β)推导出S(α±β)？这样做有什么困难？用同角三角函数的关系推导时，会遇到符号确定的困难.问题6sin(β-α)的展开式是什么？它与sin(α-β)的展开式相同吗？为什么？sin(α-β)=sinβcosα-cosβsina，它与sin(α-β)的展开式互为相反数.因为正弦函数是奇函数，所以sin(β-α)=-sin(α-β).公式理解1. 结构特征:①左边是两角和的正弦，右边是异名积的和；②左边是两角差的余弦，右边是异名积的差.2. 公式中的α，β可以是任意的角(或式子).3. 运用公式要注意角及函数的位置排列顺序.4. 当α，β中有一个是90°的整数倍时，用诱导公式比较简便.三、数学运用【例1】已知sinα=-，α是第四象限角，求sin的值.[处理建议]由学生自己分析解题思路，教师引导学生注意cosα的正负.[规范板书]解因为sinα=-，α是第四象限角，所以cosα==，所以sin-α=sin cosα-cos sinα=×-×=.变式化简:sin+sin.[规范板书]解原式=sin cosα-cos sinα+=2sin cosα=cosα.【例2】已知α∈，sin=，求sinα的值.[处理建议]先由学生自己分析解题思路，可能是“展开sin，与sin2α+cos2α=1联立，解方程组”.再引导学生观察分析α，α+之间的关系，根据两角差的正弦公式求解.[规范板书]解因为α∈，所以α+∈，.又因为sin=，所以cosα+=，所以sinα=sin+α-=sin+αcos-cos+αsin=×-×=-.[题后反思](1)三角变换中要注意角与角的关系，如α=-，α=+等等.(2)利用平方关系确定cos时，一定要注意α+的范围.变式已知α∈，sin=，求sinα的值.[规范板书]解因为α∈，所以α+∈.又因为sin(α+)=，所以cosα+=±.(1) 当cos=-时，cos<cos，所以α+>，即α>(舍去).(2) 当cos=时，sinα=sin=sin cos-cos sin=×-×=-.【例3】已知cos(α+β)=，cosβ=，α，β均为锐角，求sinα的值.[处理建议]先由学生自己分析解题思路，可能是“展开cos(α+β)，与sin2β+cos2β=1联立，解方程组”.再引导学生思考:在学习两角和差的余弦公式时，有类似的题目吗？是如何解决的？(将α看成是α+β与β的差，即α=(α+β)-β，再用两角差的正弦公式求解) [规范板书]解因为α，β均为锐角，所以α+β∈(0，π).又因为cos(α+β)=，cosβ=，所以sin(α+β)=，sinβ=，所以sinα=sin=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=×-×=.[题后反思] (1)在“给式求值”问题中，要注意用已知角来表示所求角.如本题已知角为α+β和β，所求角是α，则α=(α+β)-β.(2)在解三角函数问题时，常通过条件缩小角的范围，避免讨论.如将本题β的范围改为(0，π)，则如何求解呢？(由cosβ=，β∈(0，π)，得β∈)变式已知<α<， 0<β<，cos=，sin=，试求sin(α+β)的值.[处理建议]引导学生思考:(1) 本题中的已知角是什么？所求角是什么？两者间有什么关系？(已知角是+β，-α，所求角是α+β，两者间的关系是-=+(α+β))(2) 已知角的和是+(α+β)，不是α+β，如何求sin(α+β)？(先求cos)[规范板书]解因为<α<， 0<β<，所以-α∈，+β∈.又因为cos=，sin=，所以sin=-，cos=-.所以cos=cos+β--α=cos+βcos-α+sin+βsin-α=-×+×-=-.又因为cos=-sin(α+β)，所以sin(α+β)=.*【例4】cos33°cos12°-cos57°cos78°=.[处理建议]引导学生从公式结构出发，构造与公式相同的结构，逆用公式.[规范板书]解法一(用两角和的余弦公式)原式=cos33°cos12°-sin33°sin12°=cos(33°+12°)=.解法二(用两角差的正弦公式)原式=sin57°cos12°-cos57°sin12°=sin(57°-12°)=.[题后反思]逆用公式要注意公式的结构与条件结构是否相同.变式1求函数y=sinx+cosx的最大值.[处理建议]引导学生思考:(1) 正弦函数、余弦函数分别在何时取最大值？(正弦函数当x=2kπ+，k∈Z时取最大值，余弦函数当x=2kπ，k∈Z时取最大值)(2) 题中函数的最值是在x=2kπ+，k∈Z，或x=2kπ，k∈Z时取得吗？(3) 本题如何求最大值？[规范板书]解y=sinxcos+cosxsin=sin.当x+=2kπ+，k∈Z，即x=+2kπ，k∈Z时，函数y取得最大值1.[题后反思]本题还有其他解法吗？(y=sinxsin+cosxcos=cos.当x-=2kπ，k∈Z，即x=+2kπ，k∈Z时，函数y取得最大值1)变式2求函数y=sinx+cosx的最大值.[处理建议]引导学生发现变式1与变式2之间的关系.[规范板书]解y=2sinx+cosx=2sinxsin+cosxcos=2cos x-.当x-=2kπ，k∈Z，即x=+2kπ，k∈Z时，函数y取得最大值2.[题后反思]解题过程中提出的系数2与原系数1，有何关系？(2=)四、课堂练习1. 计算:sin69°cos99°-cos69°sin99°=-.2. 在△ABC中， A=，cos B=，则sin C=.提示∵ A=，∴cos A=sin A=.又∵cos B=，B∈(0，π)，∴sin B=，∴sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=.3. 函数y=sinx-cosx的最小值是-2.提示y=2=2sin x-.当x-=2kπ-，k∈Z，即x=2kπ-，k∈Z时，函数y 取得最小值-2.4. 已知cosα=，cos(α+β)=，且α，β都为锐角，求sinβ的值.解由已知条件可得sinα=，sin(α+β)=，所以sinβ=sin=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=×-×=.五、课堂小结1. 运用两角和与差的余弦公式及三角函数的诱导公式来推导两角和与差的正弦公式.2. 两角和与差的正弦公式的结构特征.3. 三角变换时，注意角与角的关系(用已知角表示所求角).第3课时两角和与差的正弦(2)教学过程一、问题情境化简:sin+cos.二、数学建构活动解决问题情境中的问题.解原式=sin2xcos-cos2xsin+cos2xcos-sin2xsin=sin2x-cos2x+cos2x-sin2x=0.问题1在“两角和与差的余弦”这一课中，我们曾发现在求解三角函数问题时，如果能注意到角与角的关系，可以减少运算量，那么这道题中涉及哪些角，它们有什么关系？从局部看，本题涉及2x，，，它们没有明显关系.从整体来看，本题涉及2x-，2x+，它们的关系为-=.问题2能否根据上述回答想到其他解决思路？原式=sin2x-+cos+2x-=sin2x--sin2x-=0.总结在求解三角函数问题时，要注意角与角之间的关系.三、数学运用【例1】求的值.[处理建议]引导学生寻找题中角的关系，将50°看成60°-10°，从而减少非特殊角的个数(消元的思想).[规范板书]解原式===.[题后反思](1) 通过寻找角与角间的关系，减少非特殊角的个数，这是三角变换的重要思路之一.(2) 思考:为什么不将10°改写成60°—50°？【例2】已知sin(2α+β)+2sinβ=0，cos(α+β)cosα≠0，求证:tanα=3tan(α+β).[处理建议]引导学生观察条件中的角与结论中的角之间的关系.[规范板书]证明sin(2α+β)+2sinβ=sin+2sin=[sin(α+β)c osα+cos(α+β)sinα]+2[sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα]=3sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=0.又因为cos(α+β)cosα≠0，所以=，即tanα=3tan(α+β).【例3】已知sin(α+β)=，sin(α-β)=-，求的值.[处理建议]引导学生思考:(1) 条件是关于角的正弦，结论是关于角的正切，这种既含有正弦、余弦，又含有正切的问题，我们一般先做什么？(化切为弦，即求)(2) 要求，就要求sinαcosβ，cosαsinβ，条件中有吗？(只需将sin(α+β)，sin(α-β)展开即可)[规范板书]解由已知条件得所以从而==×=.[题后反思](1)三角变换要会“执果索因”，如本例及例1中将所求角表示成已知角.(2)本例的解法体现了方程思想.(3)思考:从本例的解题过程可以看出，只要知道sin(α+β)，sin(α-β)的值，就可以求出sinαcosβ，cosαsinβ.据此你能用α+β，α-β的正弦与余弦表示sinαcosβ，cosαsinβ，cosαcosβ，sinαsinβ吗？【例4】化简:sin(α+β)cosα-[sin(2α+β)-sinβ].[处理建议]引导学生观察2α+β，β，α+β，α四个角之间的关系，即2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α，从而可将原三角函数式化为关于角α+β和α的三角函数式，再做适当整合、化简.[规范板书]解原式=sin(α+β)cosα-=sin(α+β)cosα-·2cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=sin=sinβ.[题后反思](1)正确逆用两角和与差的正、余弦公式，是化简三角函数式的基本途径.(2)化简三角函数式要从分析角的关系入手，即找题中角与角的关系，这是化简三角函数式的一个切入点.四、课堂练习1. 求的值.解原式====.2. 证明:=tan(α+β).证明左边===tan(α+β)=右边.五、课堂小结1. 三角变换时，要注意角与角的关系，会“执果索因”.2. 灵活运用两角和(差)公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明.第4课时两角和与差的正切(1)教学过程一、问题情境回顾“两角和与差的余弦”例1中求tan15°的过程，我们是先分别求出sin15°，cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，那么能否由tan45°和tan30°直接求出tan15°呢？[1]二、数学建构问题1对于一般的角α，β，当α，β，α+β的正切值存在时，能由tanα，tanβ直接表示tan(α+β)吗？tan(α+β)===.问题2上述公式对于任意角α，β都成立吗？当α，β，α+β均不等于kπ+，k∈Z时，式子才成立，这就是两角和的正切公式，记为T(α+β).问题3如何由tanα，tanβ直接表示tan(α-β)？解法一tan(α-β)===.解法二用-β代换β，就可以得到tan(α-β)==.公式理解1. 结构特征:公式右边分子上的符号与左边的符号一致，而分母的符号与分子的符号相反；分子是两角正切值的和与差，分母含有两角正切值的积.2. 公式中的α，β，α+β，α-β的正切值都存在时，公式才能成立.三、数学运用【例1】(1) 已知tanα=，tanβ=，则tan(α+β)=；(2)已知tanα=3，则tan=.答案(1) 1；(2) -.[处理建议]本题是公式的直接运用，可让学生自己求解.变式1已知α，β均为锐角，且tanα=，tanβ=，则α+β=.[处理建议]引导学生思考:(1) 要求角的大小，先要求什么？(角的某个三角函数值和角的范围)(2) 本题中用哪个三角函数？为什么？(本题中用正切.一是因为题中涉及角的正切；二是因为α+β∈(0，π)，且在此范围内一个正切值对应一个角)[规范板书]解tan(α+β)===1.又因为α，β均为锐角，所以α+β∈(0，π)，所以α+β=.[题后反思]求角的大小，先求角的某一三角函数值和角的范围.变式2如图，三个相同的正方形相接，求证:α+β=.(变式2)[处理建议]引导学生选择适当的三角函数求解.[规范板书]解法一由题可知tanα=，tanβ=，所以tan(α+β)===1.又因为α，β均为锐角，所以α+β∈(0，π)，所以α+β=.解法二由题可知cosβ=，sinβ=，cosα=，sinα=，所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=.又因为α，β均为锐角，所以α+β∈(0，π)，所以α+β=.【例2】已知=4+，求tan的值.[处理建议]先由学生自己分析解题思路，可能会有两种:一是由已知求出tanα的值，然后由两角差的正切公式求出tan；二是由=tan直接得到答案.引导学生观察条件和结论之间的关系，学会用整体思想去分析问题.[规范板书]解法一由=4+，解出tanα=-，所以tan==4+.解法二tan==4+.变式1求值:.[规范板书]解原式==tan(45°-15°)=.变式2求值:.[规范板书]解原式==tan(60°-15°)=1.【例3】已知tanα与tanβ是方程x2-3x-3=0的两个根，求tan(α+β)的值.[处理建议]本题可以先直接求出tanα，tanβ，然后利用公式求tan(α+β)；也可以用韦达定理先求tanα+tanβ，tanαtanβ，然后利用公式求tan(α+β).再让学生比较这两种方法的繁易程度.[规范板书]解法一因为方程x2-3x-3=0的两个根为，所以tanα+tanβ=3，tanαtanβ=-3，所以tan(α+β)===.解法二由题可知Δ=(-3)2-4×(-3)=12>0，所以tanα+tanβ=3，tanαtanβ=-3，所以tan(α+β)===.变式已知tanα与tanβ是方程x2-3x-3=0的两个根，求sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)的值.[规范板书]解由题可知Δ=(-3)2-4×(-3)=12>0，所以tanα+tanβ=3，tanαtanβ=-3，所以tan(α+β)===.故sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)====-3.(例4)*【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A， B两点，已知A， B的横坐标分别为，.(1) 求tan(α+β)的值；(2) 求α+2β的值.[处理建议]引导学生根据三角函数的定义，求出tanα，tanβ，从而求出tan(α+β)和tan(α+2β)，并通过α+2β的范围确定α+2β的大小.[规范板书]解由题意知cosα=，cosβ=，又α，β为锐角，∴sinα=，sinβ=.因此tanα=7，tanβ=.(1) tan(α+β)==-3.(2) tan(α+2β)=tan==-1.∵α，β为锐角，∴ 0<α+2β<，∴α+2β=.(变式)变式 如图， A ， B 是单位圆O 上的点，且A 点坐标为， B 在第二象限， C 是圆O与x 轴正半轴的交点，△A O B 为正三角形，求tan ∠B O C 的值.[规范板书] 解 由题可知tan ∠A O C =， ∴ tan ∠B O C =tan (∠A O C +60°)====-.四、 课堂练习1. 已知tanα=-2， tanβ=5，则tan (α-β)=.2. 计算:=-.提示 原式==tan (45°+75°)=-.3. 已知α为锐角， cosα=，则tan =-3. 提示 由cosα=， α为锐角，得sinα=，则tanα=2，所以tan==-3.4. 已知0<α<， 0<β<，且tanα， tanβ是方程3x 2+4x-1=0的两根，求α+β的值.解 因为方程3x 2+4x-1=0的两根为，所以tanα+tanβ=-， tanα·tanβ=-，则tan (α+β)===-1.又0<α<， 0<β<，所以α+β∈(0， π)， 故α+β=.五、 课堂小结1. 运用两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式.2. 两角和与差的正切公式的结构特征和角的限制.3. 求角的步骤:先求出某个三角函数值，再根据角的范围求解.第5课时 两角和与差的正切(2)教学过程一、 问题情境 已知tan （a+4)=2，则tanα= . 二、 数学建构活动 解决问题情境中的问题. 解 tan==2，解得tanα=.问题1 本题条件中的角与结论中的角分别是什么？ 条件中的角是α+，结论中的角是α.问题2在即时体验2中，我们是如何求cosα的？先用条件中的角表示结论中的角，即α=-，再用两角差的余弦公式求解.问题3本题还有其他解法吗？tanα=tan+α-==.三、数学运用【例1】已知tan=2，tan=3，求tan(α+β)的值.[处理建议]先由学生自己分析解题思路，可能的思路有两个:一是由tan=2求出tanα，由tan=3求出tanβ，然后再求tan(α+β)；二是由-=+α+β，先求出tan，而后再求tan(α+β).再引导学生比较两种方法的繁简程度.[规范板书]解∵tan+α+β=tanβ+--α===，∴tan(α+β)=tan===.[题后反思]在三角函数“给式求值”问题中，要注意已知角与所求角之间的关系.【例2】证明:tan x-tan=.[处理建议]用问题:“本题中涉及几个角？它们有什么关系？”引导学生寻找角与角之间的关系.[规范板书]证明右边====tan-tan=左边.变式已知sin(2α+β)=5sinβ，求证:3tanα=2tan(α+β).[规范板书]证明由题可知sin(α+β)+α=5sin，则sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=5，化简得4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα，两边同除以cosαcos(α+β)得3tanα=2tan(α+β).【例3】求tan23°+tan37°+tan23°tan37°的值.[处理建议]引导学生由式中含有两角正切值的和与积，联想到两角和差的正切公式.[规范板书]解原式=tan(23°+37°)(1-tan23°tan37°)+tan23°tan37°=.[题后反思] 当题中出现两角正切值的和(差)与积时，要联想到两角和(差)的正切公式的变形:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).变式在斜三角形ABC中，求证:tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.[处理建议]引导学生分析式子的结构，发现式子中含正切值的和与积.[规范板书]证明在斜三角形ABC中，有A+B+C=π，即A+B=π-C，且A， B，A+B≠，所以左边=tan(A+B)(1-tan A tan B)+tan C=tan(π-C)(1-tan A tan B)+tan C=tan A tan B tan C=右边.[题后反思]一般地，当角A， B， C满足什么条件时，能使等式tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C成立？(一般地，当A+B+C=kπ，k∈Z时，此结论成立)【例4】如图(1)，两座建筑物AB， CD的高度分别为9m和15m，从建筑物 AB的顶部A看建筑物 CD的张角∠CAD=45°，求建筑物AB与CD的底部之间的距离BD.(例4(1))(例4(2))[处理建议]引导学生通过作 CD的垂线 A E，将中涉及到的量转移到两个直角三角形中.[规范板书]解如图(2)，作A E⊥CD于E.因为AB∥CD， AB=9， CD=15，所以D E=9，E C=6.设A E=x，∠CA E=α.因为∠CAD=45°，所以∠DA E=45°-α.在Rt△A E C和Rt△A E D中，有tanα=，tan(45°-α)=.因为tan(45°-α)=，所以=，解得x=18，x=-3(舍去).答:建筑物 AB与 CD的底部之间的距离 BD为18m.四、课堂练习1. 已知tan(α-β)=，tan=，则tan=.提示tanα+=tan(α-β)+β+=.2. 计算:=.提示原式===.(第3题)3. 如图，在矩形ABCD中，AB=a， BC=2a，在BC上取一点P，使得AB+B P=P D，求tan∠A P D的值.解由AB+B P=P D，得a+B P=，解得B P=a，故C P=a.设∠A P B=α，∠D P C=β，则tanα==，tanβ==，所以tan(α+β)==-18，所以tan∠A P D=tan(π-α-β)=-tan(α+β)=18.五、课堂小结1. 三角变换时，要注意角与角的关系，学会“执果索因”.2. 当条件中出现两角正切值的和(差)时，会用两角和(差)的正切公式的变形解题.第6课时二倍角的三角函数(1)教学过程一、问题情境问题我们已经知道函数y=sin2x与y=sinx的图象关系，也知道α+β的正弦、余弦和正切可用α，β的正弦、余弦和正切来表示，那么角α的三角函数和角2α的三角函数之间有怎样的数量关系？[1]在S(α+β)， C(α+β)，T(α+β)公式中，令β=α，就可以得到结果:sin2α=2sinαcosα(S2α)；cos2α=cos2α-sin2α(C2α)；tan2α=(T2α).二、数学建构问题1二倍角公式中，角有限制吗？二倍角的正弦、余弦公式中的角是任意角，但二倍角的正切公式中，2α≠+kπ，α≠+kπ，k∈Z.问题2二倍角的余弦公式中，同时出现了sin2α，cos2α，能否只保留一个？能.cos2α=2cos2α-1，cos2α=1-2sin2α.三、数学运用【例1】已知sinα=，α∈，求sin2α，cos2α，tan2α的值.[2][处理建议]引导学生先求出cosα的值，然后正确运用二倍角公式计算.[规范板书]解因为sinα=，α∈，所以cosα=-.于是，sin2α=2sinαcosα=2××=-，cos2α=1-2sin2α=1-2×=-，tan2α==×=.[题后反思] (1)还有其他方法求tan2α吗？(tanα==-，tan2α=)(2)已知sinα，求cos2α时，用公式cos2α=1-2sin2α可以避免讨论.若用sin22α+cos22α=1求解，则cos2α=±.哪种是错误答案，如何修正？(cos2α=±是错的.因为sinα=，α∈，所以α∈， 2α∈，所以cos2α=-)(3)已知角的某个三角函数值及范围，可以缩小角的范围.变式已知sinα=0.8，α∈，求sin2α，cos2α的值.[规范板书]解因为sinα=0.8，α∈，所以cosα=0.6，所以sin2α=2sinαcosα=0.96，cos2α=1-2sin2α=-0.28.【例2】化简:(1) cos cos ；(2) cos4-sin4；(3) .[处理建议]引导学生从公式的结构出发，构造与公式相同的结构，逆用公式.[规范板书]解(1)原式=cos sin==sin=.(2) 原式=cos2-sin2cos2+sin2=cos2-sin2=cosα.(3) 原式=·=tan45°=.[题后反思] (1)公式变形:sinαcosα=sin2α；(2)倍角公式中的倍角是相对的，如4α是2α的倍角，α是的倍角等.变式(1) 计算:-=4；(2)化简:-=tan2α.[规范板书]解(1)原式====4.(2) 原式==tan2α.【例3】求证:=.[处理建议]引导学生思考:(1) 式子左右两边有什么差异？(从角的差异来看，左边角是右边角的二倍；从名称的差异来看，题中涉及正弦、余弦和正切)(2) 三角变换时，从哪个差异入手比较简单？(从角的差异入手)[规范板书]证明左边====tan2θ==右边.∴原式得证.[题后反思] (1)三角变换时，首先要找到角与角之间的关系，如倍角关系、α=(α+β)-β等.(2)当题中出现1+cosα， 1-cosα时，要想到用倍角公式消1.变式若270°<α<360°，则=-cos.[处理建议]引导学生对结构“1+cos2α”进行变形，同时要注意开方后“±”的选取.[规范板书]解因为270°<α<360°，所以135°<<180°，cosα>0，cos<0.原式=====-cos.四、课堂练习1. 计算:(1) (sin15°+cos15°)2=.(2) sin22°30'cos22°30'=.(3) -=.(4) sin2-cos2=-.2. 求证:=tan(+x).证明====tan.五、课堂小结1. 运用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角公式.2. 注意二倍角正切公式中角的限制.3. 三角变换技巧:①变名；②变角；③变结构.第7课时二倍角的三角函数(2)教学过程一、数学运用【例1】已知sinθ+cosθ=，θ∈，求sinθ·cosθ，sin2θ，cos2θ，sinθ，cosθ的值.[处理建议]先由学生自己分析解题思路，可能是“联立方程sinθ+cosθ=与sin2θ+cos2θ=1求解”.再引导学生思考:(1)能否不通过sinθ，cosθ，直接求出sinθcosθ，sin2θ，cos2θ？(2) 结论中的sinθcosθ在条件中并没有出现，如何才能出现？(只需将sinθ+cosθ=平方即可)[规范板书]解法一由sinθ+cosθ=，得sinθ=-cosθ，将其代入恒等式sin2θ+cos2θ=1，得+cos2θ=1，化简得50cos2θ-10cosθ-24=0，解得cosθ=-或cosθ=.又因为θ∈，所以cosθ=-，则sinθ=-cosθ=，于是sinθ·cosθ=-，sin2θ=-，cos2θ=1-2sin2θ=1-2×=-.综上所述，sinθ·cosθ=-，sin2θ=-，cos2θ=-，sinθ=，cosθ=-.解法二由题意知(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=，所以sinθcosθ=-，sin2θ=-.又因为θ∈，所以2θ∈，故cos2θ=-.(cosθ-sinθ)2=1-2sinθcosθ=，又因为θ∈，所以cosθ-sinθ=-，与sinθ+cosθ=联立，解得sinθ=，cosθ=-.综上所述，sinθ·cosθ=-，sin2θ=-，cos2θ=-，sinθ=，cosθ=-.[题后反思](1)三角变换时要会“执果索因”，即用已知条件构造结果中的结构.(2)sinα+cosα，sinα·cosα，sinα-cosα三者之间可以互相转化.变式将例1中“θ∈”改为“θ∈(0，π)”.[处理建议]在解题过程中，引导学生根据结果适当缩小角的范围.[规范板书]解法一由sinθ+cosθ=，得sinθ=-cosθ，将其代入恒等式sin2θ+cos2θ=1，得+cos2θ=1，化简得50cos2θ-10cosθ-24=0，解得cosθ=-或cosθ=，代入sinθ=-cosθ，所以或又因为θ∈(0，π)，所以以下同例1的解法一.解法二由题可知(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=，所以sinθcosθ=-，sin2θ=-.又因为θ∈(0，π)，所以θ∈.又因为sinθ+cosθ=>0，所以θ∈，即2θ∈，故cos2θ=-.以下同例1题的解法二.[题后反思] 三角函数问题常需根据条件缩小角的范围，以避免讨论.【例2】已知sin=，0<θ<，求cos2θ，cos的值.[处理建议]引导学生寻找条件中的角与结论中角的关系.关系有两种:一是将条件中的-θ转化成θ求解；二是条件中角的两倍与结论中的2θ的和是，即2+2θ=.[规范板书]解法一因为0<θ<，所以-θ∈.又因为sin=，所以cos=，所以sinθ=sin--θ=cos-θ-sin-θ==，cosθ=.于是，cos2θ=1-2sin2θ=，cos=(cosθ-sinθ)=.解法二因为0<θ<，所以-θ∈.又因为sin=，所以cos-θ=，所以sin-2θ=2sin-θcos-θ=2××=，即cos2θ=，cos+θ=cos--θ=sin-θ=.[题后反思]三角变换时，要注意题中角与角的关系:如是否可以用一(两)个角表示其他角；α±β，α±2β是否特殊角等.变式设sin=，则sin2θ=-.[处理建议]引导学生思考:题中的角+θ与结论中的角2θ之间有什么关系？2+θ-2θ=[规范板书]解cos=cos2+θ=1-2sin2+θ=，所以sin2θ=-cos=-.【例3】化简:sin2α-+sin2α+-sin2α.[处理建议]引导学生分析式中角的关系与结构特征.[规范板书]解法一原式=+-sin2α=sin2α+cos2α-sin2α=.解法二由倍角公式cos2α=1-2sin2α，得sin2α=，于是，原式=+-=-=-=.[题后反思](1)二倍角余弦公式的变形(降幂公式):sin2α=，cos2α=.(2) 三角变换也可从“变结构”入手，常见的结构有1+cosα， 1-cosα等.变式求证:cos8α-sin8α=cos2α(1-sin22α).[处理建议]引导学生思考:(1)式子的左右两边有什么差异？(结构上的差异:三角函数的次方不同；角上的差异:角α与角2α有倍角关系)(2)本题从什么差异入手比较简单？(从结构入手，将左边的次数降低)[规范板书]证明左边=(cos4α-sin4α)(cos4α+sin4α)=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)(cos4α+sin4α)=cos2α·(cos2α+sin2α)2-2sin2αcos2α=cos2α·1-2sin2αcos2α=cos2α·=右边.*【例4】在半圆钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？[处理建议]引导学生作图，并选择圆心角∠B O A(θ)为自变量，建立关于θ的函数，同时注意应用题的书写规范.[规范板书](例4)解如图，设∠B O A=θ，且θ为锐角，半圆的半径为R，则面积最大的矩形ABCD必内接于半圆O，且两边长分别为AB=Rsinθ， DA=2O A=2Rcosθ，所以这个矩形的面积S=AB·DA=Rsinθ·2Rcosθ=R2sin2θ.所以当sin2θ=1(θ为锐角)，即θ=45°时，矩形ABCD的面积取得最大值R2.此时AD=R， AB=R.答:当这个矩形的两边长与半圆的半径的比是1∶2∶时，所截矩形的面积最大.[题后反思]求解与圆有关的最值问题时，常以圆心角为自变量.变式在一个圆的所有内接矩形中，怎样的矩形面积最大？[规范板书]解设ABCD是☉O的内接矩形，☉O半径为R，∠ACB=θ，则AB=2Rsinθ， BC=2Rcosθ，所以矩形ABCD的面积S=AB·BC=4R2sinθcosθ=2R2sin2θ.当sin2θ=1(θ为锐角)，即θ=45°时，矩形ABCD的面积最大.二、课堂练习1. 已知sin=，则sin2x=.提示sin2x=cos-2x=cos2-x=1-2sin2-x=1-2×2=.2. 如果sin2α=，α∈，那么cosα-sinα=-.提示(cosα-sinα)2=1-sin2α=，又α∈，所以cosα-sinα<0，故cosα-sinα=-.3. 化简:cos2θ+cos2+cos2.解法一原式=++=+++=.解法二原式=cos2θ++=cos2θ+cos2θ+sinθcosθ+sin2θ+cos2θ-sinθcosθ+sin2θ=.三、课堂小结1. sinα+cosα，sinαcosα，sinα-cosα三者之间的转化.2. 三角变换技巧:①变名(化切为弦)；②变角(用已知角表示所求角)；③变结构(降幂公式).第8课时本章复习教学过程一、数学运用【例1】化简:.[处理建议]观察分析待化简的式子，可以看到分子较容易处理，它是二倍角余弦公式的逆用.分母相对复杂，从名称看，有弦有切；从角看，两个角与分子中的角都不同，但-α，+α互余；从结构看，涉及正弦的平方.而后请学生从式子“角”、“结构”上的差异着手，使用不同的公式求解.[规范板书]解法一原式=(复角化单角) =(化切为弦)==1.(化简繁分式)解法二原式=(将分母化同角) =(化切为弦)===1.(逆用二倍角正弦公式) [题后反思]三角变换的实质是灵活地运用公式进行运算，在这个过程中，要从“名”、“角”、“结构”上的差异入手.变式化简:.[规范板书]解原式=·=·tan10°=·=-2.【例2】若sin=，则cos=-.[处理建议]引导学生找出已知角与所求角，并找出两角之间的关系:2+=π.[规范板书]解cos+2α=cosπ-2-α=-cos2-α=2sin2-π-1=-.[题后反思]三角变换过程中要注意寻找题中角与角的关系.变式1设α为锐角，若cos=，则sin=.[规范板书]解∵α为锐角，∴<α+<.又cos=，∴sin=.∴sin=2sin cos=，cos=2cos2-1=.∴sin=sin=sin cos-cos sin=.[题后反思]本题是2012年江苏高考卷第11题，解题的关键是寻找所求角与已知角之间的关系.本题也可以先求出sinα和cosα的值，从而可求得sin2α和cos2α的值，进一步可求得sin的值.变式2已知函数f(x)=sin+cos，x∈R.(1) 求f(x)的最小正周期和最小值；(2) 已知cos(β-α)=，cos(β+α)=-， 0<α<β≤，求证:-2=0.[规范板书]解(1)因为f(x)=sin+sin x-+=2sin x-，所以T=2π，f(x)的最小值为-2.(2) 由已知可得cosβcosα+sinβsinα=，cosβcosα-s inβsinα=-，两式相加得2cosαcosβ=0.又因为0<α<β≤，所以β=，所以-2=-2=0.【例3】已知函数f(x)=sin-cos+2cos2x.(1) 求f的值；(2) 求f(x)的最大值及相应x的值.[处理建议]第(1)问可直接代入化简、求值；第(2)问需将函数f(x)化为A sin(ωx+φ)+B 的形式.[规范板书]解(1) f=sin2×+-cos2×++2cos2=sin-。
数学教案三角恒等变换
数学教案三角恒等变换数学教案：三角恒等变换引言：三角恒等变换是高中数学中的重要内容，它在解题过程中具有广泛的应用。
本教案将通过多种实例，引导学生理解三角恒等变换的概念、性质及应用，提高学生解决三角函数相关问题的能力。
一、知识导入：基本概念与性质（500字左右）1. 引入：提出实际中的三角形问题，引发学生思考三角形之间的关系。
2. 提出三角恒等变换的概念，并解释其意义和用途。
3. 结合基本三角函数的定义，介绍三角恒等变换的性质和基本公式。
二、基本恒等变换（500字左右）1. 说明三角恒等变换的基本形式，并给出示例。
2. 推导和解释基本恒等变换的推导过程，帮助学生理解其中的数学原理。
3. 针对不同类型的三角函数，列举相应的基本恒等变换公式。
三、应用实例一：解三角方程（500字左右）1. 提供一些实际问题，通过三角恒等变换的方法，将其转化为解方程的问题。
2. 引导学生通过恒等变换的方式，解决多种类型的三角方程。
3. 鼓励学生总结解题方法和技巧，帮助他们深入理解三角恒等变换的实际应用。
四、应用实例二：三角函数的求值与简化（500字左右）1. 提供一些实际问题，要求学生利用三角恒等变换简化复杂的三角函数式子。
2. 引导学生通过代入不同的角度值，比较不同的三角函数值，推导出恒等变换的结果。
3. 帮助学生发现并总结三角函数简化的一般规律。
五、综合应用：证明三角恒等式（500字左右）1. 提出一些已知的三角恒等式，要求学生通过恒等变换的方式来证明其正确性。
2. 指导学生进行恒等变换的证明过程，注重逻辑推理和数学推导的合理性。
3. 提供一些挑战性问题，鼓励学生运用恒等变换证明复杂的三角恒等式。
六、总结与拓展（200字左右）1. 总结三角恒等变换的基本思想和方法，强调其在解题中的重要性。
2. 提供一些额外的拓展问题，引导学生进一步思考和应用所学的三角恒等变换知识。
3. 引导学生关注数学以及实际生活中的三角形相关问题，并从中发现和解决问题的方法。
高二数学简单的三角恒等变换教案(通用11篇)
高二数学简单的三角恒等变换教案（通用11篇）高二数学简单的三角恒等变换教案 1教学目标1、理解并掌握基本的三角恒等式，如和差化积、积化和差公式。
2、能够运用三角恒等式进行简单的三角恒等变换。
3、培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
教学重点1、三角恒等式的理解和记忆。
2、三角恒等变换的方法和步骤。
教学难点三角恒等式的灵活运用和复杂三角表达式的化简。
教学准备1、多媒体课件，包含三角恒等式、例题和练习题。
2、黑板和粉笔。
教学过程一、导入新课复习上节课内容，回顾三角函数的定义和性质。
提出问题：如何利用已知的三角函数公式推导出新的三角恒等式？二、新课讲解1、讲解三角恒等式的基本概念，介绍和差化积、积化和差等公式。
2、通过实例演示如何使用三角恒等式进行三角恒等变换。
3、引导学生总结三角恒等变换的.一般方法和步骤。
三、课堂练习布置一些简单的三角恒等变换练习题，让学生尝试运用所学知识解决问题。
教师巡视指导，及时纠正学生的错误，并给予适当的提示和帮助。
四、巩固提升分析一些较复杂的三角恒等变换问题，引导学生思考如何灵活运用三角恒等式进行化简。
鼓励学生相互讨论，分享解题思路和方法。
五、课堂小结总结本节课的重点内容，强调三角恒等变换的重要性和应用价值。
布置课后作业，要求学生完成一些三角恒等变换的练习题，以巩固所学知识。
教学反思本节课通过实例演示和课堂练习，使学生初步掌握了三角恒等变换的基本方法和步骤。
但在处理较复杂问题时，部分学生仍显得不够熟练，需要进一步加强练习和指导。
在今后的教学中，可以设计更多具有针对性的练习题，帮助学生巩固和提高三角恒等变换的能力。
同时，也要注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
高二数学简单的三角恒等变换教案 2理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括正弦、余弦、正切的和差公式，二倍角公式，半角公式等。
能够运用三角恒等变换解决一些简单的三角函数化简、求值及证明问题，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
32简单的三角恒等变换(教学案)
3． 2 简单的三角恒等变换【教学目标】会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、 和差化积公式〔公式不要求记忆〕，使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。
【教学重点、难点】教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为根本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
【教学过程】复习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2Tα先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α。
既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 半角公式的推导及理解 ：例1、 试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．〔二倍角公式中以α代2α，2α代α〕 解：因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 点评：⑴以上结果还可以表示为：sin2cos 2αα==并称之为半角公式〔不要求记忆〕，符号由2α角的象限决定。
⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。
变式训练1：求证sin tan21cos 1cos tan 2sin αααααα=+-=积化和差、和差化积公式的推导〔公式不要求记忆〕： 例2：求证： 〔１〕()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； 〔２〕sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：〔１〕因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； 〔２〕由〔１〕得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．点评：在例２证明中用到了换元思想，〔１〕式是积化和差的形式，〔２〕式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式． 变式训练2：课本p142 2〔2〕、3〔3〕例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值． 解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值。
简单的三角恒等变换教案
简单的三角恒等变换教案（一）一．教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．三、教学设想：（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式（二）新课讲授：1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与有什么样的关系？学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例2．已知135sin =α，且α在第三象限，求2tan α的值。
人教版高中必修43.2简单的三角恒等变换教学设计
人教版高中必修43.2简单的三角恒等变换教学设计一、教学目标1.理解三角恒等变换的相关概念；2.掌握三角恒等变换的基本性质；3.能够运用三角恒等变换解决实际问题。
二、教学重点和难点教学重点：三角恒等变换的基本性质。
教学难点：如何应用三角恒等变换解决实际问题。
三、教学准备1.教师准备好课件；2.准备好白板笔、橡皮、直尺和三角板等教学用具。
四、教学过程1. 导入环节教师首先通过简单的实例热身，让学生了解三角恒等变换的概念和作用。
例如：已知 $\\sin x=\\dfrac{3}{5}$，求 $\\cos x$ 和 $\\tan x$。
2. 讲授环节（1）三角恒等变换的定义教师通过课件和白板，讲解三角恒等变换的概念和定义。
（2）三角恒等变换的基本性质教师通过课件和三角板等教学用具，讲解三角恒等变换的基本性质。
例如，$\\sin(\\pi+\\theta)=-\\sin\\theta$，$\\cos(\\pi+\\theta)=-\\cos\\theta$，$\\tan(\\pi+\\theta)=\\tan\\theta$ 等。
（3）三角恒等变换的应用教师通过课件和实例，讲解如何应用三角恒等变换解决实际问题。
例如，根据所学的三角恒等变换，求证$\\sin\\left(\\dfrac{\\pi}{4}+\\theta\\right)=\\cos\\left(\\dfrac{\\pi}{ 4}-\\theta\\right)$。
3. 练习环节教师布置一些练习题，让学生在课堂上完成。
例如：已知 $\\cos\\alpha=-\\dfrac{3}{5}$，求$\\sin(90^{\\circ}+\\alpha)$ 和 $\\tan\\alpha$。
4. 总结环节教师通过回顾本节课的重点和难点，让学生对本节课所学内容有较深刻的认识和理解。
五、教学反思本节课是关于三角恒等变换的基本性质和应用，学生反应良好，能够很好地理解和掌握三角恒等变换的基本性质，在实例应用中也表现出较好的运用能力。
三角恒等变换教学设计
三角恒等变换教学设计教学目标：1.理解和掌握三角函数的三角恒等变换的概念；2.能够灵活运用三角恒等变换解决相关的数学问题；3.提高学生的逻辑思维、推理能力和数学计算能力。
教学准备：1.教师准备PPT和黑板；2.学生准备教材和笔。
教学内容和步骤：Step 1：引入三角恒等变换的概念（10分钟）教师使用PPT和黑板，先引导学生回顾和复习三角函数的基本知识，如正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、基本特性等。
然后给出一个实际问题，如一根高杆上的太阳镜影子长150米，太阳高度角为45°，要求学生思考并尝试用三角函数解决问题。
Step 2：引导学生发现三角恒等变换的需求（10分钟）Step 3：介绍三角恒等变换的基本内容（20分钟）教师使用PPT和黑板，向学生介绍三角恒等变换的基本内容，包括三角函数的正值、余值、割值的定义和性质以及三角函数的符号表达式等。
Step 4：学习基本的三角恒等变换公式（30分钟）教师向学生详细讲解三角恒等变换的常用公式，包括：1. 正弦函数的三角恒等变换：sin(θ) = sin(π - θ) = sin(θ + 2πk)2. 余弦函数的三角恒等变换：cos(θ) = cos(π - θ) = cos(θ + 2πk)3. 正切函数的三角恒等变换：tan(θ) = - tan(π - θ) = tan(θ + πk)，其中k为整数教师使用示例问题和计算步骤演示如何运用这些公式解决实际问题，鼓励学生积极参与讨论和习题。
Step 5：综合应用与拓展（30分钟）教师提供一些综合性的问题，让学生综合运用三角恒等变换的知识解决，或者抽象推导三角恒等变换的其他公式（如正弦函数的三角恒等变换公式为1 - 2sin²(θ/2)）。
鼓励学生在小组活动中合作解决问题，并展示自己的答案和思路。
Step 6：总结与拓展（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调三角恒等变换的重要性和实际应用价值，并提醒学生在课后复习和练习相关知识。
《三角恒等变换》教案6新人教A版
《三角恒等变换》教案6（新人教A版必
修4）
第三章三角恒等变换复习（一）
教学目标：
1. 通过对本章的知识的复习、总结，使学生对本章形成一
个知识框架网络.
2. 能灵活运用公式进行求值、证明恒等式.
教学重点：运用公式求值、证明恒等式.
教学难点：证明恒等式
教学过程
一、基础知识复习（略）
二、作业讲评
《习案》作业三十五中的第5、6题.
三、已知三角函数值求三角函数值
四、证明恒等式
五、课堂小结
1. 给值求角时，先要求所求角的某一三角函数值，需结合
角的范围确定角的符号；
2. 证明三角恒等式时，要灵活地运用公式.
六、课后作业
教材P.146第8题第(3)、(4)问； P.146第1、2、3题；
P.146第4题第(1)、(2)、(3)问； P.147第3题；。
三角恒等变换教案(完整资料).doc
教学过程一、复习预习二、知识讲解1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(Cα－β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(Cα＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(Sα－β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T α＋β)2． 二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3． 半角公式sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.根号前的正负号，由角α2所在象限确定．4． 函数f (x )＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba )或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝a b)．三、例题精析考点1 公式应用:化简、求值例1-1化简求值：⑴sin163sin223sin253sin313+=⑵=-001414cos74sinsincos74⑶=+007119sincoscossin161109⑷oo o o o o 80cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋=例1-21.化简：1＋sin θ＋cos θsin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；2.求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)．3. 化简：1＋sin α＋cos α⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π＜α＜2π)．4.已知34π＜α＜π，tan α＋1tan α＝－103，求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π2练1.在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tanB 的值为( )．A.14B.13C.12D.532．如果cos 2α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )． A ．－a2B.a2C ．－aD ．a3.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12B.32C. 3D. 2 4.(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( )A ．－53B ．－59 C.59 D.535.(2012·重庆)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°等于( )A．－32B．－12C.12D.326. 化简：2cos4x－2cos2x＋122tan⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－x sin2⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x.考点2 三角函数的给值求值、给值求角例2 1.已知0<β<π2<α<π，且cos⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－β2＝－19，sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值；2.已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．3.若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)等于( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－694.已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6【练】 1.已知sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＝－34，则sin 2x ＝__________.2. 已知0＜β＜π4＜α＜34π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．考点3 三角恒等式的证明【例3】1.求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α.2.已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，证明：α＋β＝π4.3.已知sin β＝m sin(2α＋β)(m ≠1)，求证：tan(α＋β)＝1＋m1－mtanα.考点4 三角变换的简单应用 例41.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. 【练】(1)函数f (x )＝3sin x ＋cos(π3＋x )的最大值为( )A ．2 B. 3 C ．1 D.12(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．课程小结课后作业A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.342． 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4等于( )A.1318B.1322C.322D.163． (2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．22－1 4． 若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为 ( )A ．－210 B.210 C.3210 D.72105． 在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π4二、填空题6． 若sin(π2＋θ)＝35，则cos 2θ＝________. 7． 若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为________．8. 3tan 12°－34cos 212°－2sin 12°＝________. 三、解答题9． 已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，求cos β的值．B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1． 已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos α－π4等于 ( )A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.2552． 定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于 ( )A.π12B.π6C.π4D.π33． 设x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为________． 4． 已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin 2π2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．5． 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5β－56π课后评价。
三角恒等变换 高中数学获奖教案
5.5.2三角恒等变换（第2课时）(人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第五章)一、教学目标1. 会将形如的函数转化成形式，并能用来解决周期、最值等问题；2. 可以使用三角函数解决简单的应用问题． 二、教学重难点1. 理解归纳辅助角公式中的推导过程及相关辅助角的理解；2. 尝试以角为自变量建立函数模型求解问题． 三、教学过程 1.问题引入 学习了两角和(差)公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，三角恒等变换不仅能解决倍角问题还能解决三角函数升降幂的问题，同时三角恒等变换在化简三角函数式中的也有着重要的作用,．那请大家思考以下问题：问题1：若已知，你能求函数的周期，最大值和最小值吗？ 【活动预设】给学生留出时间，让学生思考问题，教师暂不给出提示．追问1：观察例题中两个函数式，如果研究它们的周期和最大、最小值，要将函数式转化为的形式才可以使用正弦函数的性质去判断，那我们要如何利用三角函数公式进行变换呢？你能说出理由吗？【活动预设】教师提出问题，激发学生的求知欲，引导学生能够积极思考并尝试回答． 【设计意图】引导学生思考问题，发现学习辅助角公式的必要，从而产生学习辅助角公式的需求，顺利引入新课．2.例题探究例1.求下列函数的周期，最大值和最小值：=sin cos y a x b x +=sin y A x ωϕ+()=sin y A x ωϕ+()=cos y x x +=sin y A x ωϕ+()（1）； （2）．【活动预设】根据问题2的思考学生自主解决例1（1），教师引导学生能够积极思考并尝试回答例1（2）．问题2：在第（2）问的式子中提取何值可以使其构成正弦的和差公式呢？如果提取后两项系数不是三角函数特殊值怎么办呢？（2）设，则 ． 于是 ，， 于是 ， 所以 ．取A =5， 则 ，其中，， 即 ．因此，所求周期为，最大值为5，最小值为-5．【活动预设】学生思考后尝试分析回答，教师适当引导（1）式中可利用正弦的和角公式，所以要将函数式提取一个常数，使两项的系数可分别写为同一个角的余弦值和正弦值，这样就配凑成两角和的正弦公式，逆用公式即可写为的形式．（2）式中，由于，因此提取后要将两项的系数构成平方和是1的形式才能分别看成同一个角．=sin y x x +=3sin 4cos y x x +3sin 4cos =sin x x A x ϕ++（）3sin 4cos =sin cos cos sin x x A x A x ϕϕ++cos =3A ϕsin =4A ϕ2222cos +sin =25A A ϕϕ2=25A 34=5sin cos 55y x x +()=5sin cos cos sin x x ϕϕ+()=5sin x ϕ+()3cos =5ϕ4sin =5ϕ4tan =3ϕ2π=sin y A x ωϕ+()22sin cos =1αα+=5【设计意图】师生一起探究变形的过程，使学生明确公式的来龙去脉，从具体问题入手方便学生理解，为后面的辅助角公式的一般性推导打下基础．追问2：你能归纳一下怎样将转化为的形式吗？ 【活动预设】学生独立尝试，教师适当引导，最后归纳得出结果： ，其中． 【设计意图】本例是三角恒等变换在数学应用中的举例，归纳得到一般情况，我们称它为辅助角公式，它使得三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．追问3：类似的，是否可以写成余弦形式呢？ 【活动预设】教师引导学生得到结论 ，其中． 【设计意图】对于辅助角公式的余弦表示形式也给出推导过程，拓宽学生的思路，提升逻辑推理的数学素养．sin cos a xb x +sin Ax ωϕ+()sin cos a x b x +=x x +）=x ϕ+（）tan =b aϕ=sin y A x ωϕ+()sin cos a x b x +=x x +）=cos cos sin sin x x ϕϕ+）=x ϕ-（）tan =abϕ 例2如图5.5-2，已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记，求当角取何值时，矩形ABCD 面积最大？并求出这个最大面积．问题3：认真审题后思考，我们解题的思路是怎样的？需要使用什么数学知识与方法来解决问题？ 分析：可先建立矩形ABCD 的面积S 与之间的函数关系，再求函数的最大值．解：在中，，． 在中，． 所以 ， ． 设矩形ABCD 的面积为S，则π3=POC α∠αα=S f α()=S f α()RtOBC △=cos OB α=sin BC αRt OAD △=tan 60=DAOA︒===OABC α==cos AB OB OA αα--=S AB BC ⋅=cos sin ααα()2=sin cos ααα- 由，得，所以当，即时， ． 因此，当时，矩形ABCD【活动预设】找S 与之间的函数关系可以让学生自己尝试解决，教师启发引导，适时点拨．之后提醒学生，自变量的取值范围是，则的范围是，因此当，即时，，其中是将看成一个整体，利用正弦函数的图象性质求函数的最大值，蕴含了换元思想．【设计意图】由以上两道例题可以看出，通过三角恒等变换，我们把转化为的形式，这个过程中蕴含了化归思想．追问4：引申思考，本题可以去掉“”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，该如何解题？【活动预设】学生尝试解决，教师点拨提示，这时对自变量可多种选择，如设，则，尽管对所得函数暂时还无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，使学生感受到以角为自变量解决问题的优点．【设计意图】教师点拨，学生动手，增强学生解题的能力，提升数学运算素养．3.初步应用求下列函数的周期，最大值和最小值．1=sin 21cos22αα-)1=sin 22αα+-1=2cos22αα+）π=26α+-（π0<<3αππ5π<2<666α+ππ2=62α+π=6α==S 最大π=6αααπ0 3（，）π26α+π5π66（，ππ2=62α+π=6αS π26α+=sin cos y a x b x +=sin y A x ωϕ+()=POC α∠=AD x =S x x )（1）； （2） 【预设的答案】（1）解：（方法一） ，其中，，即 ． 因此，所求周期为，最大值为13，最小值为-13． （方法二）， 其中，，即 ． 因此，所求周期为，最大值为13，最小值为-13． （2）解：，其中，．因此，所求周期为，最小值为． 【活动预设】学生独立完成，教师对过程进行分析评价，并鼓励学生选择不同的三角恒等变换公式进行一题多解． 【设计意图】对三角公式的应用进行练习巩固，并用一题多解发散思维，提高分析和运算能力．4归纳小结教师引导学生回顾本节课的学习内容，并思考回答下面的问题：把形如的三角函数式转化为一个角的一个三角函数的形式，进而求解周期与最值问题．大家思考在这其中都使用了哪些数学思想方法呢？=5cos 12sin y x x -=cos +2sin y x x 512=13cos sin 1313y x x -()=13sin cos cos sin x x ϕϕ-()=13sin x ϕ-()=13sin x ϕ--()5sin =13ϕ12cos =13ϕ5tan =12ϕ2π512=13cos sin 1313y x x -()=13cos cos sin sin x x ϕϕ-()=13cos x ϕ+()5cos =13ϕ12sin =13ϕ12tan =5ϕ2π=y x x +)=cos cos sin sin x x ϕϕ+)=x ϕ-()cos =ϕsin =ϕtan =2ϕ2π=sin cos y a x b x +【活动预设】教师引导学生归纳：1．三角变换要考虑包含的角的不同、三角函数的种类差异，三角函数式的结构差异等多个因素，因此在三角恒等变换的过程中应注意对三角函数式的结构进行分析，根据结构特点选择合适的公式，进行恒等变形．还要思考一题多解、一解多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，逆用公式等；2．在使用辅助角公式时要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．【设计意图】回顾本节课例题中展现的思维过程，以及主要体现的数学思想方法，在总结中调动学生积极性，锻炼学生归纳总结及语言表达能力．四、课外作业教材第229页，习题5.5第11，12题．。
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三角恒等变换 单元教学设计
一、教材分析
1、本单元教学内容的范围
和角公式
3.1.1 两角和与差的余弦
3.1.2 两角和与差的正弦
3.1.3两角和与差的正切
倍角公式和半角公式
3.2.1 倍角公式
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
三角函数的积化和差和和差化积
2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用
变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一。
代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系。
在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换。
在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发推导其它三角函数恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。
通过本章学习，学生的推论能力和运算能力将得到进一步提高。
三角恒等变换在数学积应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推论能力和计算能力。
本章将通过三角恒等变换揭示一些问题的数学本质。
3、本单元教学内容总体教学目标
（1）和角公式
经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明问题的方法，进一步体会向量法的作用．
能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。
能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。
（2）倍角公式和半角公式
经历运用正弦、余弦、正切的和角公式，推导出它们对应的倍角公式积公式及公式2C α的两种变形，再运用二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式的过程，掌握倍角公式和半角公式，能正确运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值、恒等式的证明。
了解公式之间的内在联系，培养学生的逻辑推理能力。
（3）三角函数的积化和差和和差化积
经历运用两角和、两角差的三角函数公式推导出三角函数的积化和差和和差化积的过程，体会“解方程组”和“换元”的数学思想，掌握三角函数的积化和差和和差化积公式，能正确运用公式进行有关的计算和证明。
4、本单元教学内容重点和难点分析
（1）和角公式
重点：两角和与差的余弦公式求值和证明.
难点：两角和的余弦公式的推导.
（2）倍角公式和半角公式
重点：1.二倍角的正弦、.余弦、正切公式及公式2C α的两种变形；
2.半角的正弦、.余弦、正切公式。
难点：1.倍角公式与同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用；
2.半角公式和倍角公式之间的内在联系，以及应用公式时正负号的选取.
（3）三角函数的积化和差和和差化积
重点：公式的推导和应用.
难点：公式的灵活应用.
5、其他相关问题
删减：.
加强：
（3）人教B版教材特点
用向量证明和角公式，引导学生用向量研究和差化积公式；
建立和角公式与旋转变换之间的联系；
融入算法，引导学生找出求正弦函数值的方法；
引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化积、积化和差；
和角公式在三角恒等变换及三角形计算中的应用。
提供了“练习A、练习B”，“习题A、习题B”，“巩固与提高”，“自测与评估”，等多种形式的练习方式，为教学提供了丰富的可选择的空间.
二、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述
1、选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能
够体现数学的概念和结论，数学的思想和方法，以及数学应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟”的冲动，以达到培养其兴趣的目的。
2、通过“观察”，“思考”，“探究”等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的学
习方式。
3、在教学中强调类比，推广，特殊化，化归等数学思想方法，尽可能养成其逻辑思维的习惯。
4、本单元公式较多，有些是要求学生记忆的，有些是不要求学生记忆的，但要求会推导、会
运用；建议在教学中，注重公式内在的联系，尽量引导学生利用已有知识推导公式；在推导中记忆公式，运用公式，解决实际问题；
三、本单元所需教学资源概述
使用计算器解决计算有关弧度制角度制转化的问题、非特殊角求值等问题；使用几何画板、Excel、scilab等辅助教学软件帮助学生学习理解有关的数学问题.
四、本单元学时建议
§和角公式
§3.1.1 两角和与差的余弦 2课时
§3.1.2 两角和与差的正弦 1课时
§3.1.3 两角和与差的正切 1课时
§倍角公式和半角公式
§3.2.1 倍角公式 1课时
§1.2.2 半角的正弦、余弦、正切 1课时
§三角函数的积化和差与和差化积 1课时
本章小结 1课时（共计8课时）
教学方案
第一学时~第四学时（§和角公式）
一、学习目标
1、经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用；
2、理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用；
3、以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换；
二、重点难点
重点：1.用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；
2.两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
3.以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
难点：1.两角差的余弦公式的推导及运用；
2.两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用；
3.二倍角的理解及其灵活运用；
三、教学内容安排
§3.１.1两角和与差的余弦； 2课时
§3.１.２两角和与差的正弦； 1课时
§3.１.３两角和与差的正切； 1课时
四、教学资源建议
利用信息技术研究角的有关概念.利用几何画板、Scilab等软件
“练习”“习题”的选择以A组题为主，B组题为辅.
五、教学方法与学习指导策略建议
利用章头图所提供的观览车这一实际问题，联系现实生活，从数学角度提出问题，激发学生求知欲，也为后面研究其他问题做一个铺垫.
本节内容涉及概念较多，在教学方法上可以尝试先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.
第五学时~第六学时（§倍角公式和半角公式）
一、学习目标
1、以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用；
2、以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导半倍角的正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用；
二、重点难点
重点：公式的理解及熟练运用、灵活运用；
难点：公式的理解及其灵活运用；
三、教学内容安排
§3.2.1倍角公式； 1课时
§3.2.２半角公式； 1课时
四、教学资源建议
利用信息技术研究角的有关概念.利用几何画板、Scilab等软件
“练习”“习题”的选择以A组题为主，B组题为辅.
五、教学方法与学习指导策略建议
本节内容涉及概念较多，在教学方法上可以尝试先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.
第七学时（§三角函数的积化和差与和差化积）
一、学习目标
了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行和、积互化；能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明；提高学生的推理能力和运算能力；通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点；
二、重点难点
重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差，和差化积，半角公式为基本训练，学习三角变换的内容，思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的
特点，提高推理，运算的能力。
难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法推导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力；
三、教学内容安排
§三角函数的积化和差与和差化积； 1课时
四、教学资源建议
利用信息技术研究角的有关概念.利用几何画板、Scilab等软件
“练习”“习题”的选择以A组题为主，B组题为辅.
五、教学方法与学习指导策略建议
本节内容涉及公式较多，在教学方法上可以尝试先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学；注重学生自己推导与教师主导相结合；
第八学时（三角恒等变换复习小结）
一、教学目标：
1、知识目标：初步了解三角恒等变换公式的框图；熟悉公式之间的内在联系，并能用主要公式求
三角函数值及三角函数的性质；
2、能力目标：培养学生观察、分析、综合等能力；通过构造角，转化条件解决较为简单的三角函
数综合题；
3、情感目标：通过复习，提高学生对三角变换的应用能力；从而提高学生应用数学知识解决问题
的意识；
二、教学重点、难点：
强化公式的记忆，并利用公式解决三角函数综合题；
三、教学内容安排
三角恒等变换复习小结 1课时
四、教学资源建议
利用信息技术研究角的有关概念.利用几何画板、Scilab等软件
鼓励学有余力的同学做一些配套练习册的练习，量力而为；
五、教学方法：
利用较为常见的变换加强对公式的记忆，引导学生并通过学生的交流来达到用三角恒等变换解决三角函数问题的基本目标；从而对全章有个整体认识。