2.2二维拉普拉斯方程的边值问题

nπx = f ( x) a
u
y = 0 = f ( x ),
⇒∑
n =1
∞
{ An + Bn } sin
⇒ A + B = 2 a f (ξ ) sin nπ ξdξ n n ∫
a
0
a
u
y =a
= g (x). ⇒
∑
⇒
n =1
∞
nπb nπb nπx { An exp[ ] + Bn exp[− ]} sin = g ( x). a a a
真空静电势满足拉普拉斯方程： 真空静电势满足拉普拉斯方程：
方程
∆u ( x, y ) = 0
边界条件
或
∂ 2u ∂ 2 u + 2 =0 2 ∂x ∂y
云、地、导线。
导线的表面是等势面，取其为电势零点： 导线的表面是等势面，取其为电势零点： 零点
u u
x 2 + y 2 =a 2
= f 有限
a为导线半径
∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u + + 2 =0 2 2 ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂ϕ
⇒
R' ' Φ + R' Φ / ρ + RΦ' ' / ρ 2 = 0
ρ 2 R' ' / R + R' ρ / R + Φ ' ' / Φ = 0
ρ R ' ' / R + R ' ρ / R = −Φ ' ' / Φ = λ
nπb nπb 2 nπξ An exp[ ] + Bn exp[− ] = ∫ g ( x) sin dξ a a a0 a
aห้องสมุดไป่ตู้
2.2.1 圆域上拉普拉斯方程的边值问题
导线
⇒
求电场强度
解：
建立如右图坐标系，Z-轴沿导线。
z
无限长导线的情况，可将电场看作沿z 方向不变。 只需要研究 x-y 平面的状态 ⇒ 平面问题。 导线的存在，如何改变电场？
∞ m =1
ρ =a
⇒
A0 ∞ m f (ϕ ) = + ∑ a ( Am cos mϕ + Bm sin mϕ ) 2 m =1
2π
2 An = m πa 2 Bn = m πa
∫ f (ϕ ) cos mϕdϕ.(m = 0,1,2,− − −)
0
2π
∫ f (ϕ ) sin mϕdϕ.(m = 1,2,− − −)
0
n 2π 2 Y ' '− 2 Y = 0; a
nπy nπy Y ( y ) = A exp[ ] + B exp[− ] a a nπy nπy nπx un ( x, y ) = { An exp[ ] + Bn exp[− ]} sin a a a
u ( x, y ) = ∑
n =1
∞
nπy nπy nπx { An exp[ ] + Bn exp[− ]} sin a a a
Rm = Cm ρ + Dm ρ
m
−m
u ( ρ , ϕ ) = C0 + D0 ln ρ + ∑ (Cm ρ m + Dm ρ − m )( Am cos mϕ + Bm sin mϕ )
m =1
∞
u
ρ →0
有限 ⇒ Dm = 0(m = 0,1,2,− − −)
u ( ρ , ϕ ) = C0 + ∑ ( Am cos mϕ + Bm sin mϕ ) ρ m
X ( x)Y (0) = f ( x) X ( x)Y (b) = g ( x)
Y ' ' ( y ) X ' ' ( x) − = = −λ Y ( y) X ( x)
n 2π 2 λ= 2 a
X ' '+ λX = 0;
X (0) = 0
和
X ( a ) = 0.
n = 1,2,L
nπx X ( x) = C2 sin a
= f ( x), u
y =b
= g (x).
从数学上讲，边界条件与初始条件并无区别，都是 确定积分常数的代数公式。尽管本题只涉及边界 条件，但可将其一视为初始条件。
分离变量： 分离变量：
u ( x, t ) = X ( x)Y ( y )
X ' ' Y + XY ' ' = 0
X (0)Y ( y ) = 0 X (a )Y ( y ) = 0
2.2 二维拉普拉斯方程的边值问题
2.2.1 矩形域上拉普拉斯方程的边值问题
y
解：
U b
0
0
如图，散热片横截面为矩形。温度满足 U > u0 。 求稳定温度分布。 稳定分布温度满足拉氏方程：
0
u0
a
x
边界条件： 边界条件：
u xx + u yy = 0
u
x =0
= 0,
u
x =a
= 0, u
y =0
2
∂ R ∂R ρ +ρ − λR = 0 2 ∂ρ ∂ρ
2 2
Φ ' '+λΦ = 0
自然周期边界条件
u ( ρ , ϕ + 2π ) = u ( ρ , ϕ )
R( ρ )Φ (ϕ + 2π ) = R( ρ )Φ (ϕ )
或
Φ (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ )
Φ ' '+λΦ = 0
ϕ
ρ
m>0
ρ
2
∂2R ∂R ρ +ρ − m2R = 0 ∂ρ 2 ∂ρ
2
ρ
∂R = C ρ m m − D ρ −m m ∂ρ
∂2R = C ρ m m ( m − 1) + D ρ − m m ( m + 1), ∂ρ 2
∂2R ∂R ρ2 +ρ − m 2 R = C ρ m m ( m − 1) + D ρ − m m ( m + 1) + C ρ m m − D ρ − m m − m 2 R = 0 ∂ρ 2 ∂ρ
⇒
Φ m (ϕ ) = Am cos mϕ + Bm sin mϕ
λ=m
2
m = 0,1,2, L
∂2R ∂R 2 ρ +ρ − λR = 0 2 ∂ρ ∂ρ
m=0
ρ
2
1 ∂2R ∂2R ∂R = − 2 , + ρ =0 ∂ρ 2 ρ ∂ρ 2 ∂ρ
1 ∂R = ∂ρ ρ
R0 = C0 + D0 ln ρ
x 2 + y 2 →0
根据导线的边界条件， 根据导线的边界条件，本题应取平面极座标 ( ρ , ϕ ) ， 座标原点在导线中心。 座标原点在导线中心。
∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u + + 2 =0 2 2 ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂ϕ
u
ρ =a
= f (ϕ )
有限
u
ρ →0
分离变量
u ( ρ , ϕ ) = R( ρ )Φ (ϕ )