大学物理课后习题1第一章答案
大学物理第一章答案

大学物理第一章答案【篇一:大学物理第一章答案】(1)t = 2s时,它的法向加速度和切向加速度;(3)在哪一时刻,切向加速度和法向加速度恰有相等的值?[解答](1)角速度为法向加速度为角加速度为切向加速度为(2)总加速度为a = (at2 + an2)1/2,当at = a/2时,有4at2 = at2 + an2,即.由此得,即,解得.所以=3.154(rad).即 24t = (12t2)2,解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s).[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体a下落加速度.由于,所以物体下降3s末的速度为v = att = 0.6(m2s-1),这也是边缘的线速度,因此法向加速度为= 0.36(m2s-2).1.8 一升降机以加速度1.22m2s-2上升,当上升速度为2.44m2s-1时,有一螺帽自升降机的天花板上松落,天花板与升降机的底面相距2.74m.计算:(1)螺帽从天花板落到底面所需的时间;(2)螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.[解答]在螺帽从天花板落到底面时,升降机上升的高度为;螺帽做竖直上抛运动,位移为.由题意得h = h1 - h2,所以,解得时间为= 0.705(s).算得h2 = -0.716m,即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m.[注意]以升降机为参考系,钉子下落时相对加速度为a + g,而初速度为零,可列方程 h = (a + g)t2/2,由此可计算钉子落下的时间,进而计算下降距离.第一章质点运动学1.1 一质点沿直线运动,运动方程为x(t) = 6t2 - 2t3.试求:(1)第2s内的位移和平均速度;(2)1s末及2s末的瞬时速度,第2s内的路程;(3)1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度.[解答](1)质点在第1s末的位移大小为x(1) = 6312 - 2313 = 4(m).在第2s末的位移大小为x(2) = 6322 - 2323 = 8(m).在第2s内的位移大小为(2)质点的瞬时速度大小为v(t) = dx/dt = 12t - 6t2,因此v(1) = 1231 - 6312 = 6(m2s-1),v(2) = 1232 - 6322 = 0,(3)质点的瞬时加速度大小为a(t) = dv/dt = 12 - 12t,因此1s末的瞬时加速度为a(1) = 12 - 1231 = 0,第2s内的平均加速度为[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒.1.2 一质点作匀加速直线运动,在t = 10s内走过路程s = 30m,而其速度增为n = 5倍.试证加速度为.并由上述数据求出量值.[证明]依题意得vt = nvo,根据速度公式vt = vo + at,得a = (n – 1)vo/t,(1)根据速度与位移的关系式vt2 = vo2 + 2as,得a = (n2 – 1)vo2/2s,(2)(1)平方之后除以(2)式证得.计算得加速度为= 0.4(m2s-2).(1)矿坑有多宽?他飞越的时间多长?(2)他在东边落地时的速度?速度与水平面的夹角?取向上的方向为正,根据匀变速直线运动的速度公式vt - v0 = at,这里的v0就是vy0,a = -g;当他达到最高点时,vt = 0,所以上升到最高点的时间为 t1 = vy0/g = 2.49(s).再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式vt2 - v02 = 2as,可得上升的最大高度为h1 = vy02/2g = 30.94(m).他从最高点开始再做自由落体运动,下落的高度为h2 = h1 + h = 100.94(m).根据自由落体运动公式s = gt2/2,得下落的时间为= 4.49(s).因此他飞越的时间为t = t1 + t2 = 6.98(s).他飞越的水平速度为所以矿坑的宽度为x = vx0t = 419.19(m).(2)根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为vy = gt = 69.8(m2s-1),落地速度为v = (vx2 + vy2)1/2 = 92.08(m2s-1),与水平方向的夹角为方向斜向下.方法二:一步法.取向上的方向为正,他在竖直方向的位移为y = vy0t - gt2/2,移项得时间的一元二次方程,解得.这里y = -70m,根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小,由于时间应该取正值,所以公式取正根,计算时间为t = 6.98(s).由此可以求解其他问题.1.4一个正在沿直线行驶的汽船,关闭发动机后,由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度,即dv/dt = -kv2,k为常数.(1)试证在关闭发动机后,船在t时刻的速度大小为;(2)试证在时间t内,船行驶的距离为.[证明](1)分离变量得,积分,可得.(2)公式可化为,由于v = dx/dt,所以积分.因此.证毕.[讨论]当力是速度的函数时,即f = f(v),根据牛顿第二定律得f = ma.由于a = d2x/dt2,而dx/dt = v,所以 a = dv/dt,分离变量得方程,解方程即可求解.在本题中,k已经包括了质点的质量.如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比,则dv/dt = -kvn.(1)如果n = 1,则得,积分得lnv = -kt + c.当t = 0时,v = v0,所以c = lnv0,因此lnv/v0 = -kt,得速度为v = v0e-kt.而dv = v0e-ktdt,积分得.当t = 0时,x = 0,所以c` = v0/k,因此.(2)如果n≠1,则得,积分得.当t = 0时,v = v0,所以,因此.如果n = 2,就是本题的结果.如果n≠2,可得,读者不妨自证.(1)t = 2s时,它的法向加速度和切向加速度;(3)在哪一时刻,切向加速度和法向加速度恰有相等的值? [解答](1)角速度为法向加速度为角加速度为切向加速度为(2)总加速度为a = (at2 + an2)1/2,当at = a/2时,有4at2 = at2 + an2,即.由此得,即,解得.所以=3.154(rad).即 24t = (12t2)2,解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s).[解答]建立水平和垂直坐标系,飞机的初速度的大小为加速度的大小为运动方程为,.即,.令y = 0,解得飞机回到原来高度时的时间为t = 0(舍去);(s).将t代入x的方程求得x = 9000m.[注意]选择不同的坐标系,例如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向,也能求出相【篇二:大学物理习题答案第一章】3 如题1-3图所示,汽车从a地出发,向北行驶60km到达b地,然后向东行驶60km到达c地,最后向东北行驶50km到达d地。
大学物理课后习题详解(第一章)中国石油大学

习 题 一1-1 一质点在平面xOy 内运动,运动方程为t x 2=,2219t y -= (SI ).(1)求质点的运动轨道;(2)求s 1=t 和s 2=t 时刻质点的位置矢量;(3)求s 1=t 和s 2=t 时刻质点的瞬时速度和瞬时加速度;(4)在什么时刻,质点的位置矢量和速度矢量垂直?这时x 、y 分量各为多少?(5)在什么时刻,质点离原点最近?最近距离为多大?[解] 质点的运动方程t x 2=,2219t y -= (1)消去参数t ,得轨道方程为:22119x y -= ()0≥x(2)把s 1=t 代入运动方程,得j i j i r 172+=+=y x把s 2=t 代入运动方程,得()j i j i r 1142219222+=⨯-+⨯=(3)由速度、加速度定义式,有4/d d ,0/d d 4/d d ,2/d d y y x x y x -====-====t v a t v a t t y v t x v所以,t 时刻质点的速度和加速度分别为=v j i j i t v v 42y x -=+j j i a 4y x -=+=a a所以,s 1=t 时,j i v 42-=,j a 4-=s 2=t 时,j i v 82-=,j a 4-= (4)当质点的位置矢量和速度矢量垂直时,有0=⋅v r即 ()[][]04221922=-⋅-+j i j i t t t 整理,得 093=-t t解得 01=t ; 32=t ;33-=t (舍去)m 19,0,s 011===y x t 时 m 1,m 6,s 322===y x t 时(5)任一时刻t 质点离原点的距离()()()222222192tt yx t r -+=+=令0d d =tr 可得 3=t所以,s 3=t 时,质点离原点最近 () 6.08m 3=r1-2 一粒子按规律59323+--=t t t x 沿x 轴运动,试分别求出该粒子沿x 轴正向运动;沿x 轴负向运动;加速运动;减速运动的时间间隔.[解] 由运动方程59323+--=t t t x 可得 质点的速度 ()()133963d d 2+-=--==t t t t tx v (1)粒子的加速度 ()16d d -==t tv a(2) 由式(1)可看出 当3s >t 时,0>v ,粒子沿x 轴正向运动;当3s <t 时,0<v ,粒子沿x 轴负向运动.由式(2)可看出 当1s >t 时,0>a ,粒子的加速度沿x 轴正方向;当1s <t 时,0<a ,粒子的加速度沿x 轴负方向. 因为粒子的加速度与速度同方向时,粒子加速运动,反向时,减速运动,所以,当s 3>t 或1s 0<<t 间隔内粒子加速运动,在3s 1s <<t 间隔内里粒子减速运动.1-3 一质点的运动学方程为2t x =,()21-=t y (S1).试求: (1)质点的轨迹方程;(2)在2=t s 时,质点的速度和加速度.[解] (1) 由质点的运动方程 2t x = (1)()21-=t y (2)消去参数t ,可得质点的轨迹方程 ()21-=x y(2) 由(1)、(2)对时间t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 t tx v 2d d x ==()12d d y -==t ty v所以 ()j i j i v 122y x -+=+=t t v v (3)2d d 22x ==tx a 2d d22y ==tya所以 j i a 22+= (4) 把2s =t 代入式(3)、(4),可得该时刻质点的速度和加速度.j i v 24+= j i a 22+=1-4 质点的运动学方程为t A x ωsin =,t B y ωcos =,其中 A 、B 、ω为正常数,质点的轨道为一椭圆.试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心.[证明] 由质点的运动方程 t A x ωs i n= (1) t B y ωc o s = (2)对时间t 求二阶导数,得质点的加速度 t A t x a ωωs i n d d 222x -==t B tya ωωcos d d222y -==所以加速度矢量为 ()r j i a 22c o s s i n ωωωω-=+-=t B t A可得加速度矢量恒指向原点——椭圆中心.1-5 质点的运动学方程为()j i r 222t t -+= (SI ),试求:(1)质点的轨道方程;(2)2s =t 时质点的速度和加速度.[解] (1) 由质点的运动方程,可得tx 2= 22t y -=消去参数t ,可得轨道方程2412x y -=(2) 由速度、加速度定义式,有j i r v t t 22d /d -==j r a 2d /d 22-==t将2s =t 代入上两式,得j i v 42-= j a 2-=1-6 已知质点的运动学方程为t r x ωcos =,t r y ωsin =,ct z =,其中r 、ω、c 均为常量.试求:(1)质点作什么运动?(2)其速度和加速度? (3)运动学方程的矢量式.[解] (1) 质点的运动方程 t r x ωc o s= (1) t r y ωsin = (2)ct z = (3)由(1)、(2)消去参数t 得 222r y x =+此方程表示以原点为圆心以r 为半径的圆,即质点的轨迹在xoy 平面上的投影为圆. 由式(2)可以看出,质点以速率c 沿z 轴匀速运动.综上可知,质点绕z 轴作螺旋线运动.(2) 由式(1)、(2)、(3)两边对时间t 求导数可得质点的速度tr tx v ωωsin d d x -==t r ty v ωωcos d d y ==c tz v ==d d z所以 k j i k j i v c t r t r v v v ++-=++=ωωωωc o s s i nz y x 由式(1)、(2)、(3)两边对时间求二阶导数,可得质点的加速度t r tx a x ωωcos d d 222-==t r ty a y ωωsin d d 222-==0z =a所以 j i k j i a t r t r a a a ωωωωs i n c o s22z y x --=++= (3) 由式(1)、(2)、(3)得运动方程的矢量式k j i k j i r ct t r t r z y x ++=++=ωωsin cos1-7 湖中一小船,岸边的人用跨过高处的定滑轮的绳子拉船靠岸(如图所示).当收绳速度为0v 时,试问:(1)船的运动速度u 比v 大还是小?(2)若常量=v .船能否作匀速运动?如果不能,其加速度为何值?[解] (1) 由图知222h s L +=两边对t 求导数,并注意到h 为常数,得 ts stL Ld d 2d d 2=又 ts u t L v d d ,d d -=-=所以 su Lv = (1) 即1>=s L vu因此船的速率u 大于收绳速率v .(2) 将(1)式两边对t 求导,并考虑到v 是常量tu sts utL vd d d d d d +=所以 sa v u =-22 即 ()32222sv h sv ua =-=1-8 质点沿x 轴运动,已知228t v +=,当8=t s 时,质点在原点左边52m 处(向右为x 轴正向).试求:(1)质点的加速度和运动学方程;(2)初速度和初位置;(3)分析质点的运动性质.[解] (1) 质点的加速度 t t v a 4/d d ==又 t x v /d d = 所以 t v x d d =对上式两边积分,并考虑到初始条件得()⎰⎰⎰+==-ttxt t t v x 82852d 28d d所以 3.4573283-+=t t x因而质点的运动学方程为 33283.457t t x ++-=(2) 将0=t 代入速度表达式和运动学方程,得m/s 802820=⨯+=vm 3.457032083.45730-=⨯+⨯+-=x(3) 质点沿x 轴正方向作变加速直线运动,初速度为8m/s ,初位置为3.457-m.1-9 一物体沿x 轴运动,其加速度与位置的关系为x a 62+=.物体在0=x 处的速度为s m 10,求物体的速度与位置的关系.[解] 根据链式法则 xv vtx x v tv a d d d d d d d d ===()x x x a v v d 62d d +==对上式两边积分并考虑到初始条件,得 ()⎰⎰+=xvx x v v 010d 62d故物体的速度与位置的关系为100462++=x x v s m1-10 一质点在平面内运动,其加速度j i a y x a a +=,且x a ,y a 为常量.(1)求t -v 和t -r 的表达式;(2)证明质点的轨迹为一抛物线.0=t 时,0r r =,0v v =.[解] 由 td d v a =得 t d a v =两边积分得⎰⎰=tvt 0d 0a v v因x a ,y a 为常量,所以a 是常矢量,上式变为t a v v =-0 即 t a v v +=0由 td d r v =得 ()t t t d d d 0a v v r +==两边积分,并考虑到0v 和a 是常矢量,()⎰⎰+=tr t t 00d d 0a v r r即 20021t t a v r r ++=(2) 为了证明过程简单起见,按如下方式选取坐标系,使一个坐标轴(如y 轴)与a平行,并使质点在0=t 时刻位于0r .这样 00x t v x x += (1)00221y t v at y y ++=(2)联立 (1)~(2)式,消去参数t 得()()00x0y 0202x021y x x v v x x v a y +-+-=此即为轨道方程,它为一条抛物线.1-11 在重力和空气阻力的作用下,某物体下落的加速度为Bv g a -=,g 为重力加速度,B 为与物体的质量、形状及介质有关的常数.设0=t 时物体的初速度为零.(1)试求物体的速度随时间变化的关系式;(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值为多大?[解] (1) 由tv a d d =得t Bvg v d d =-两边分别积分,得⎰⎰=-t v t Bvg v 0d d所以,物体的速率随时间变化的关系为:()Bte Bg v --=1(2) 当0=a 时 有 0=-=Bv g a (或以∞=t 代入)由此得收尾速率 Bg v =1-12 一质点由静止开始作直线运动,初始加速度为a ,此后随t 均匀增加,经时间τ后,加速度变为2a ,经τ2后,加速度变为3a ,…….求经时间τn 后,该质点的加速度和所走过的距离.[解] 由题意可设质点的加速度与时间t 的关系为kt a a +=t (k 为常数)由 a k a a 2τ=+=τ得τak =所以 a t t aa a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=ττ1t 故当τn t =时,质点的加速度 ()a n a 1n τ+=由tv a d d =得t a v d d =对上式两边积分得⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=tvt a t v 00d 1d τ 所以 22t aat v τ+=又 tx v d d = t v x d d =对上式两边积分⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ττn st t a at x 020d 2d 经过时间τn 后,质点所走过的距离()2232361621τττa n nt a at s n +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1-13 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动,其加速ky a -=,k 为常数,y 是离开平衡位置的坐标值.设0y 处物体的速度为0v ,试求速度v 与y 的函数关系.[解] 根据链式法则 yv vty y v tv a d d d d d d d d ===y a v v d d =对上式两边积分⎰⎰⎰-==y y yy v y ky y a v v 000d d d v即 ()()2022022121y y k v v--=-故速度v 与y 的函数关系为()220202yy k v v -+=1-14 一艘正以速率0v 匀速行驶的舰艇,在发动机关闭之后匀减速行驶.其加速度的大小与速度的平方成正比,即2kv a -=, k 为正常数.试求舰艇在关闭发动机后行驶了x 距离时速度的大小.[解] 根据链式法则 xv vtx x v tv a d d d d d d d d ===v av x d d =对上式两边积分⎰⎰⎰-==vvvvxkvv v av x 0d d d 0化简得ln1v vkx -=所以kxev v -=0l-15 一粒子沿抛物线轨道2x y =运动,且知s m 3x =v .试求粒子在m 32=x 处的速度和加速度.[解] 由粒子的轨道方程 2x y = 对时间t 求导数 x y 2d d 2d d xv tx xty v ===(1)再对时间t 求导数,并考虑到x v 是恒量2x y 2d d v tv a ==(2)把m 32=x 代入式(1)得m 43322y =⨯⨯=v 所以,粒子在m 32=x 处的速度为s m 543222x 2x =+=+=v v v与x 轴正方向之间的夹角85334arctanarctanxy '===v v θ由式(2)得粒子在m 32=x 处的加速度为22s m 1832=⨯=a加速度方向沿y 轴的正方向.1-16 一质点沿半径为0.10m 的圆周运动,其角位置342t +=θ.(1)在2s =t 时,它的法向加速度和切向加速度各是多少?(2)切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时,θ值为多少?(3)何时切向加速度与法向加速度大小相等?[解] 质点的角速度 212d d t t==θω质点的线速度 222.11210.0t t R v =⨯==ω 质点的法向加速度n a ,切向加速度t a 为()4222n 4.1410.012t tR a =⨯==ω (1)t tv a 4.2d d t ==(2)(1)把2s =t 代入(1)式和(2)式,得此时2t 224n m/s8.424.2m/s 103.224.14=⨯=⨯=⨯=a a(2)质点的总加速度1364.262t 2n +=+=t t a a a由 a a 21t =得 1364.25.04.26+⨯=t t t解得 0.66s =t 所以 r a d 15.3423=+=t θ (3)当t n a a =即t t 4.24.144=时有 0.55s =t1-17 火车在曲率半径R =400m 的圆弧轨道上行驶.已知火车的切向加速度2.0t =a 2s m ,求火车的瞬时速率为s m 10时的法向加速度和加速度.[解] 火车的法向加速度 222n sm 25.040010===Rva方向指向曲率中心 火车的总加速度 2222t 2n s m 32.02.025.0=+=+=a a a设加速度a 与速度v 之间的夹角为θ,则025134.512.025.0arctanarctantn '====a a θ1-18 为了转播电视而发射的地球同步卫星在赤道上空的圆轨道上运动,周期等于地球的自转周期24h =T .求卫星离开地面的高度和卫星的速率(距地球中心r 处的重力加速度2e ⎪⎭⎫⎝⎛=r R g a ,e R 是地球的半径.)[解] 设同步卫星距地球的中心为r ,速率为v ,则Tr v π2=(1)2e 2⎪⎭⎫⎝⎛==r R g a r v(2) 解(2)式可得()()m 1022.443600241063788.947322233222e ⨯=⨯⨯⨯⨯==ππT gR r代入(1)式可得s m 1007.33600241022.42237⨯=⨯⨯==ππTr v所以,卫星距地面的高度m 1058.31063781022.4737e ⨯=⨯-⨯=-=R r h1-19 若登月舱在登上月球之前绕月球以半径e 31R r = (e R 为地球半径)作圆周运动,并且已知这时月球对登月舱的引力加速度g a 121=.试计算登月舱的速率和飞行一周所需要的时间.[解] 设登月舱的速率为v ,周期为T ,则a rv=2即g R v1213e2=(1)v Tr =π2 即v TR =32e π (2)解(1)式可得s m 1032.1106378368.93633e ⨯=⨯⨯==R g v代入(2)式可得s 1001.1368.931063782363243e⨯=⨯==ππg R T1-20 如图所示,一卷扬机自静止开始作匀加速运动,绞索上一点起初在A 处经3s 到达鼓轮的B 处,然后作圆周运动.已知0.45m =AB ,鼓轮半径0.5m =R ,求该点经过点C 时,其速度和加速度的大小和方向.[解] 设A 点的切向加速度为t a ,经过B 点时的速率为B v ,法向加速度为n a由A 到B 过程:2t 21t a AB =(1)t a v t B = (2)在B 点: R a R v //t B B ==βω, (3)由B 到C 过程:πβωω22B 2C =- (4)在C 点: R v C C ω= (5) 联立以上五式,得m 64.05.035.045.0435.045.02422222C C =⨯⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=+⎪⎭⎫⎝⎛==ππωR Rt AB Rt AB R v 方向沿切向Rv a 2C n =2t 2tAB a =22222n2ts m 83.05.064.0345.02=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛⨯=+=a a a 28330.4520.50.64arctanarctan22nt '=⨯==a a θ1-21 在一个转动的齿轮上,一个齿尖P 沿半径为R 的圆周运动,其路程随时间的变化规律为2021bt t v s +=,其中0v 和b 都是正常量.求t 时刻齿尖P 的速度及加速度的大小.[解] 设时刻t 齿尖P 的速率为v ,切向加速度t a ,法向加速度n a ,则Rbt v Rva b t va bt v t s v 202n t 0)(d d d d +====+==所以,t 时刻齿尖P 的加速度为24022n 2t )(Rbt v b a a a ++=+=1-22 一物体作斜抛运动,抛射角为α,初速度为0v ,轨迹为一抛物线(如图所示).试分别求抛物线顶点A 及下落点B 处的曲率半径.[解] 物体在A 点的速度设为A v ,法向加速度为nA a ,曲率半径为A ρ,由题图显然有αcos 0A v v = (1) nA a =g (2) A n A2Aa v =ρ (3)联立上述三式得 gv αρ220A c o s =物体在B 点的速度设为B v ,法向加速度为nB a ,曲率半径为B ρ,由题图显然有0B v v = (4) αcos nB g a = (5) nB B2Ba v =ρ (6)联立上述三式得 αρc o s 2B g v =1-23 一物体作如图所示的抛体运动,测得轨道的点A 处,速度的大小为v ,其方向与水平线的夹角为030,求点A 的切向加速度和该处的曲率半径.[解] 设A 点处物体的切向加速度为t a ,法向加速度为n a ,曲率半径为ρ,则 n t a a g +=由图知 g g a 5.030sin 0t -=-=2/330cos 0n g g a ==又 n 2a v=ρ所以 gv g va v3322/322n2===ρ1-24 一门火炮在原点处以仰角0130=θ、初速10v m 100=发射一枚炮弹.另有一门位于600=x m 处的火炮同时以初速8020=v s m 发射另一枚炮弹,其仰角2θ为何值时,可望能与第一枚炮弹在空中相碰? 相碰时间和位置如何(忽略空气阻力的影响)?[解] 设经过时间t 后,炮弹1、炮弹2的坐标分别为()11,y x 、()22,y x ,则 对炮弹1 t v x 1101cos θ= 2110121sin gt t v y -=θ对炮弹2 t v x x 22002cos θ+= 2220221sin gt t v y -=θ当炮弹1、炮弹2相碰时 21x x = 21y y =即 t v x t v 2200110cos cos θθ+= (1)2220211021sin 21sin gt t v gt t v -=-θθ (2)解(2)式可得 625.030sin 80100sin sin 0120102=⨯==θθv v (3)所以 02682.38625.0arcsin ==θ 由(1)式可得 s 48.2682.38cos 8030cos 10060cos cos 02201100=⨯-⨯=-=θθv v x t相遇时的坐标设为(x ,y ),则m 77.21448.230cos 100cos 011021=⨯⨯====t v x x x θm 86.9348.28.92148.230sin 10021sin 2211021=⨯⨯-⨯⨯=-===gtt v y y y θ1-25 河宽为d ,靠河岸处水流速度变为零,从岸边到中流,河水的流速与离开岸的距离成正比地增大,到中流处为0v .某人以相对水流不变的速率v 垂直水流方向驶船渡河,求船在达到中流之前的轨迹方程.[解] 取图示坐标系ky v =x已知 2d y =时,0x v v =代入上式得 d v k 02=所以 y dv v 0x 2=(1)又 v v =y积分得 vt y = (2) 代入(1)式得 vt d v v 0x 2=积分得 20vt d v x = (3)由(2)、(3)消去t 得 20y vdv x =1-26 如图所示,一航空母舰正以s m 17的速度向东行驶,一架直升飞机准备降落在舰的甲板上.海上有s m 12的北风吹着.若舰上的海员看到直升飞机以s m 5的速度垂直下降,求直升飞机相对海水及相对空气的速度?[解] 已知 k v 5-=机对舰 j v 17=舰对海 i v 12=气对海 故 ()s m 175j k v v v +-=+=舰对海机对舰机对海()m 51712k j i v v v -+-=+=海对气机对海机对气习题 1-26 图。
大学物理学(第三版)上课后习题答案

第一章运动的描述1-1 ||与有无不同?和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?试举例说明.解:(1)是位移的模,是位矢的模的增量,即,;(2)是速度的模,即.只是速度在径向上的分量.∵有(式中叫做单位矢),则式中就是速度径向上的分量,∴不同如题1-1图所示.题1-1图(3)表示加速度的模,即,是加速度在切向上的分量.∵有表轨道节线方向单位矢),所以式中就是加速度的切向分量.(的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论)1-2 设质点的运动方程为=(),=(),在计算质点的速度和加速度时,有人先求出r=,然后根据 =,及=而求得结果;又有人先计算速度和加速度的分量,再合成求得结果,即=及=你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在?解:后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量,在平面直角坐标系中,有,故它们的模即为而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的错误,即误把速度、加速度定义作其二,可能是将误作速度与加速度的模。
在1-1题中已说明不是速度的模,而只是速度在径向上的分量,同样,也不是加速度的模,它只是加速度在径向分量中的一部分。
或者概括性地说,前一种方法只考虑了位矢在径向(即量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位矢及速度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。
1-3 一质点在平面上运动,运动方程为=3+5, =2+3-4.式中以 s计,,以m计.(1)以时间为变量,写出质点位置矢量的表示式;(2)求出=1 s 时刻和=2s 时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移;(3)计算=0 s时刻到=4s时刻内的平均速度;(4)求出质点速度矢量表示式,计算=4 s 时质点的速度;(5)计算=0s 到=4s 内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算=4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式).解:(1)(2)将,代入上式即有(3)∵∴(4)则(5)∵(6)这说明该点只有方向的加速度,且为恒量。
大学物理(上册)课后习题及答案

因此有: ,∴
⑵由 得: ,两边积分得:
∴
⑶质点停止运动时速度为零, ,即t→∞,
故有:
⑷ 时,其速度为: ,
即速度减至 的 .
2.13作用在质量为10 kg的物体上的力为 N,式中 的单位是s,⑴求4s后,这物体的动量和速度的变化,以及力给予物体的冲量。⑵为了使这力的冲量为200 N·s,该力应在这物体上作用多久,试就一原来静止的物体和一个具有初速度 m/s的物体,回答这两个问题。
将 ,及 代入上式,即得: 。
6.9沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为 =0.05cos(10 ),式中 , 以米计, 以秒计。求:
⑴设 =100 N,问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转?⑵如果在2s内飞轮转速减少一半,需加多大的力 ?
解:⑴先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))。图中 、 是正压力, 、 是摩擦力, 和 是杆在 点转轴处所受支承力, 是轮的重力, 是轮在 轴处所受支承力。
杆处于静止状态,所以对 点的合力矩应为零,设闸瓦厚度不计,则有:
解:因为
将以上初值条件代入上式,使两式同时成立之值即为该条件下的初位相。故有: ,
,
5.9一质量为 的物体作谐振动,振幅为 ,周期为 ,当 时位移为 。求:
⑴ 时,物体所在的位置及此时所受力的大小和方向;
⑵由起始位置运动到 处所需的最短时间;
⑶在 处物体的总能量。
解:由题已知 ,∴
又, 时,
故振动方程为:
⑴将 代入得:
方向指向坐标原点,即沿 轴负向。
⑵由题知, 时, ; 时,
∴
⑶由于谐振动中能量守恒,故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为:
(完整版)大学物理课后习题答案详解

第一章质点运动学1、(习题1.1):一质点在xOy 平面内运动,运动函数为2x =2t,y =4t 8-。
(1)求质点的轨道方程;(2)求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。
解:(1)由x=2t 得,y=4t 2-8 可得: y=x 2-8 即轨道曲线 (2)质点的位置 : 22(48)r ti t j =+- 由d /d v r t =则速度: 28v i tj =+ 由d /d a v t =则加速度: 8a j =则当t=1s 时,有 24,28,8r i j v i j a j =-=+= 当t=2s 时,有 48,216,8ri j v i j a j =+=+=2、(习题1.2): 质点沿x 在轴正向运动,加速度kv a -=,k 为常数.设从原点出发时速度为0v ,求运动方程)(t x x =.解:kv dt dv-= ⎰⎰-=t vv kdt dv v 001 tk e v v -=0t k e v dtdx-=0 dt ev dx tk tx-⎰⎰=000)1(0t k e kv x --=3、一质点沿x 轴运动,其加速度为a = 4t (SI),已知t = 0时,质点位于x 0=10 m 处,初速度v 0 = 0.试求其位置和时间的关系式. 解: =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ⎰⎰=vv 0d 4d tt t v 2=t 2v d =x /d t 2=t 2t t x txx d 2d 020⎰⎰= x 2= t 3 /3+10 (SI)4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出,求:(1)小球的运动方程;(2)小球在落地之前的轨迹方程; (3)落地前瞬时小球的d d r t ,d d v t ,tv d d . 解:(1) t v x 0= 式(1)2gt 21h y -= 式(2) 201()(h -)2r t v t i gt j =+(2)联立式(1)、式(2)得 22v 2gx h y -=(3)0d -gt d rv i j t = 而落地所用时间 gh2t = 所以 0d -2gh d r v i j t =d d v g j t=- 2202y 2x )gt (v v v v -+=+= 2120212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+=5、 已知质点位矢随时间变化的函数形式为22r t i tj =+,式中r 的单位为m ,t 的单位为s .求:(1)任一时刻的速度和加速度;(2)任一时刻的切向加速度和法向加速度。
大学物理习题答案第一章

大学物理习题答案第一章-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN[习题解答]1-3 如题1-3图所示,汽车从A地出发,向北行驶60km到达B地,然后向东行驶60km到达C地,最后向东北行驶50km到达D地。
求汽车行驶的总路程和总位移。
解汽车行驶的总路程为;汽车的总位移的大小为∆r =位移的方向沿东北方向,与方向一致。
1-4 现有一矢量R是时间t的函数,问与在一般情况下是否相等为什么解与在一般情况下是不相等的。
因为前者是对矢量R的绝对值(大小或长度)求导,表示矢量R的大小随时间的变化率;而后者是对矢量R的大小和方向两者同时求导,再取绝对值,表示矢量R大小随时间的变化和矢量R方向随时间的变化两部分的绝对值。
如果矢量R方向不变只是大小变化,那么这两个表示式是相等的。
1-5 一质点沿直线L运动,其位置与时间的关系为r = 6t 2 -2t 3 ,r和t的单位分别是m和s。
求:(1)第二秒内的平均速度;(2)第三秒末和第四秒末的速度;(3)第三秒末和第四秒末的加速度。
解取直线L的正方向为x轴,以下所求得的速度和加速度,若为正值,表示该速度或加速度沿x轴的正方向,若为负值表示,该速度或加速度沿x轴的反方向。
(1)第二秒内的平均速度m⋅s-1;(2)第三秒末的速度因为,将t = 3 s 代入,就求得第三秒末的速度,为v3 = - 18 m⋅s-1;用同样的方法可以求得第四秒末的速度,为v4 = - 48 m⋅s-1;(3)第三秒末的加速度因为,将t = 3 s 代入,就求得第三秒末的加速度,为a3 = - 24 m⋅s-2;用同样的方法可以求得第四秒末的加速度,为v4 = - 36 m⋅s-2 .1-6 一质点作直线运动,速度和加速度的大小分别为和,试证明:(1) v d v = a d s;(2)当a为常量时,式v 2 = v02 + 2a (s-s0 )成立。
解(1);(2)对上式积分,等号左边为,等号右边为,于是得,即.1-7 质点沿直线运动,在经过时间t后它离该直线上某定点O的距离s满足关系式:s = (t-1)2 (t-2),s和t的单位分别是m和s。
大学物理课后习题及答案(1-4章)含步骤解

,根据流量守恒
,
(2)当
(3)当
时,
时,
−
,整理可得:
可得
,即
,
图1-34所示为输液的装置。设吊瓶的截面积为1 ,针孔的截面积为2 ,且1 ≫ 2 ,开始时( = 0),吊瓶内上下
液面距针孔的高度分别为ℎ1 和ℎ2 ,求吊瓶内药液全部输完时需要的时间。
,则针孔的流量为
液体总体积为
Ԧ =
= 2Ԧ − 2 Ԧ = −2Ԧ
1s末和2s末质点的速度为: 1 = 2Ԧ − 2Ԧ(m ∙ s−1 ),2 = 2Ԧ − 4Ԧ(m ∙ s −1 );
1s末和2s末质点的加速度相等:Ԧ = −2Ԧ (m ∙ s−2 )
已知一质点做直线运动,其加速度Ԧ = 4 + 3 m ∙ s−2 , 开始运动时,0 = 5 m,
= 0.06(m)
(2)设弹簧最大压缩量为∆′ , 与碰撞粘在一起的速度为 ′,0 = ( +
) ′,代入已知条件可得 ′ = 4Τ11, + 压缩弹簧的过程中,机械能守恒,则
1
(
2
1
+ ) 2 = 2 ∆′2 ,得∆′ =
+
≈ 0.04(m)
(1)角加速度 =
由 =
∆
∆
=
0−2×1500÷60
50
由 =
=
2×1500
60
= 50 (rad ∙ s −1 )
= − (rad ∙ s−2 )
= −,得 = −,两边进行积分
得到 − 50 = − − 0,
大学物理上册(湖南大学出版社-陈曙光)-课后习题答案全解

大学物理上册课后习题答案第一章 质点运动学1.1 一质点沿直线运动,运动方程为x (t ) = 6t 2 - 2t 3.试求: (1)第2s 内的位移和平均速度;(2)1s 末及2s 末的瞬时速度,第2s 内的路程; (3)1s 末的瞬时加速度和第2s 内的平均加速度.[解答](1)质点在第1s 末的位置为:x (1) = 6×12 - 2×13 = 4(m).在第2s 末的位置为:x (2) = 6×22 - 2×23 = 8(m). 在第2s 内的位移大小为:Δx = x (2) – x (1) = 4(m),经过的时间为Δt = 1s ,所以平均速度大小为:v =Δx /Δt = 4(m·s -1). (2)质点的瞬时速度大小为:v (t ) = d x /d t = 12t - 6t 2,因此v (1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s -1),v (2) = 12×2 - 6×22 = 0质点在第2s 内的路程等于其位移的大小,即Δs = Δx = 4m . (3)质点的瞬时加速度大小为:a (t ) = d v /d t = 12 - 12t ,因此1s 末的瞬时加速度为:a (1) = 12 - 12×1 = 0,第2s 内的平均加速度为:a = [v (2) - v (1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s -2).[注意] 第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒.1.2 一质点作匀加速直线运动,在t = 10s 内走过路程s = 30m ,而其速度增为n = 5倍.试证加速度为22(1)(1)n sa n t -=+,并由上述资料求出量值.[证明]依题意得v t = nv o ,根据速度公式v t = v o + at ,得a = (n – 1)v o /t , (1)根据速度与位移的关系式v t 2 = v o 2 + 2as ,得 a = (n 2 – 1)v o 2/2s ,(2) (1)平方之后除以(2)式证得:22(1)(1)n sa n t -=+.计算得加速度为:22(51)30(51)10a -=+= 0.4(m·s -2).1.3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑,他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s -1从西边起跳,准确地落在坑的东边.已知东边比西边低70m ,忽略空气阻力,且取g = 10m·s -2.问:(1)矿坑有多宽?他飞越的时间多长?(2)他在东边落地时的速度?速度与水平面的夹角? [解答]方法一:分步法.(1)夹角用θ表示,人和车(人)在竖直方向首先做竖直上抛运动,初速度的大小为v y 0 = v 0sin θ = 24.87(m·s -1).取向上的方向为正,根据匀变速直线运动的速度公式v t - v 0 = at ,这里的v 0就是v y 0,a = -g ;当人达到最高点时,v t = 0,所以上升到最高点的时间为t 1 = v y 0/g = 2.49(s).再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式:v t 2 - v 02 = 2a s , 可得上升的最大高度为:h 1 = v y 02/2g = 30.94(m).人从最高点开始再做自由落体运动,下落的高度为;h 2 = h 1 + h = 100.94(m). 根据自由落体运动公式s = gt 2/2,得下落的时间为:2t =. 因此人飞越的时间为:t = t 1 + t 2 = 6.98(s).图1.3人飞越的水平速度为;v x 0 = v 0cos θ = 60.05(m·s -1), 所以矿坑的宽度为:x = v x 0t = 419.19(m).(2)根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为:v y = gt = 69.8(m·s -1), 落地速度为:v = (v x 2 + v y 2)1/2 = 92.08(m·s -1), 与水平方向的夹角为:φ = arctan(v y /v x ) = 49.30º,方向斜向下.方法二:一步法.取向上为正,人在竖直方向的位移为y = v y 0t - gt 2/2,移项得时间的一元二次方程201sin 02gt v t y θ-+=,解得:0(sin t v g θ=.这里y = -70m ,根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小,由于时间应该取正值,所以公式取正根,计算时间为:t = 6.98(s).由此可以求解其它问题.1.4 一个正在沿直线行驶的汽船,关闭发动机后,由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度,即d v /d t = -kv 2,k 为常数.(1)试证在关闭发动机后,船在t 时刻的速度大小为011kt v v =+; (2)试证在时间t 内,船行驶的距离为01ln(1)x v kt k =+. [证明](1)分离变数得2d d vk t v =-, 故 020d d v t v v k t v =-⎰⎰,可得:011kt v v =+. (2)公式可化为001v v v kt=+,由于v = d x/d t ,所以:00001d d d(1)1(1)v x t v kt v kt k v kt ==+++ 积分00001d d(1)(1)x tx v kt k v kt =++⎰⎰.因此 01ln(1)x v kt k=+. 证毕.[讨论]当力是速度的函数时,即f = f (v ),根据牛顿第二定律得f = ma . 由于a = d 2x /d t 2, 而 d x /d t = v , a = d v /d t , 分离变数得方程:d d ()m vt f v =, 解方程即可求解.在本题中,k 已经包括了质点的质量.如果阻力与速度反向、大小与船速的n 次方成正比,则d v /d t = -kv n .(1)如果n = 1,则得d d vk t v=-, 积分得ln v = -kt + C .当t = 0时,v = v 0,所以C = ln v 0, 因此ln v/v 0 = -kt ,得速度为 :v = v 0e -kt .而d v = v 0e -kt d t ,积分得:0e `ktv x C k-=+-. 当t = 0时,x = 0,所以C` = v 0/k ,因此0(1-e )kt vx k -=.(2)如果n ≠1,则得d d n vk t v=-,积分得11n v kt C n -=-+-. 当t = 0时,v = v 0,所以101n v C n -=-,因此11011(1)n n n kt v v --=+-. 如果n = 2,就是本题的结果.如果n ≠2,可得1(2)/(1)020{[1(1)]1}(2)n n n n n v kt x n v k----+--=-,读者不妨自证.1.5 一质点沿半径为0.10m 的圆周运动,其角位置(以弧度表示)可用公式表示:θ = 2 + 4t 3.求:(1)t = 2s 时,它的法向加速度和切向加速度;(2)当切向加速度恰为总加速度大小的一半时,θ为何值? (3)在哪一时刻,切向加速度和法向加速度恰有相等的值? [解答](1)角速度为ω = d θ/d t = 12t 2 = 48(rad·s -1),法向加速度为 a n = rω2 = 230.4(m·s -2); 角加速度为 β = d ω/d t = 24t = 48(rad·s -2), 切向加速度为 a t = rβ = 4.8(m·s -2). (2)总加速度为a = (a t 2 + a n 2)1/2,当a t = a /2时,有4a t 2 = a t 2 + a n 2,即n a a =.由此得2r r ω=22(12)24t =解得36t =.所以3242(13)t θ=+=+=3.154(rad).(3)当a t = a n 时,可得rβ = rω2, 即: 24t = (12t 2)2,解得 : t = (1/6)1/3 = 0.55(s).1.6 一飞机在铅直面内飞行,某时刻飞机的速度为v = 300m·s -1,方向与水平线夹角为30°而斜向下,此后飞机的加速度为am·s -2,方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上,问多长时间后,飞机又回到原来的高度?在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少?[解答]建立水平和垂直坐标系,飞机的初速度的大小为 v 0x = v 0cos θ, v 0y = v 0sin θ.加速度的大小为a x = a cos α, a y = a sin α. 运动方程为2012x x x v t a t =+, 2012y y y v t a t =-+. 即 201cos cos 2x v t a t θα=⋅+⋅,201sin sin 2y v t a t θα=-⋅+⋅.令y = 0,解得飞机回到原来高度时的时间为:t = 0(舍去);02sin sin v t a θα==.将t 代入x 的方程求得x = 9000m .v[注意]选择不同的坐标系,如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向,也能求出相同的结果.1.7一个半径为R= 1.0m的轻圆盘,可以绕一水平轴自由转动.一根轻绳绕在盘子的边缘,其自由端拴一物体A.在重力作用下,物体A从静止开始匀加速地下降,在Δt = 2.0s内下降的距离h = 0.4m.求物体开始下降后3s末,圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度.[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度.由于212th a t=∆,所以a t = 2h/Δt2 = 0.2(m·s-2).物体下降3s末的速度为v = a t t = 0.6(m·s-1),这也是边缘的线速度,因此法向加速度为2nvaR== 0.36(m·s-2).1.8一升降机以加速度1.22m·s-2上升,当上升速度为2.44m·s-1时,有一螺帽自升降机的天花板上松落,天花板与升降机的底面相距2.74m.计算:(1)螺帽从天花板落到底面所需的时间;(2)螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.[解答]在螺帽从天花板落到底面时,升降机上升的高度为21012h v t at=+;螺帽做竖直上抛运动,位移为22012h v t gt=-.由题意得h = h1 - h2,所以21()2h a g t=+,解得时间为t=.算得h2 = -0.716m,即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m.[注意]以升降机为参考系,钉子下落时相对加速度为a + g,而初速度为零,可列方程h = (a + g)t2/2,由此可计算钉子落下的时间,进而计算下降距离.1.9 有一架飞机从A处向东飞到B处,然后又向西飞回到A处.已知气流相对于地面的速度为u,AB之间的距离为l,飞机相对于空气的速率v保持不变.(1)如果u = 0(空气静止),试证来回飞行的时间为2ltv=;(2)如果气流的速度向东,证明来回飞行的总时间为01221/ttu v=-;(3)如果气流的速度向北,证明来回飞行的总时间为2t=.[证明](1)飞机飞行来回的速率为v,路程为2l,所以飞行时间为t0 = 2l/v.(2)飞机向东飞行顺风的速率为v + u,向西飞行逆风的速率为v - u,所以飞行时间为1222l l vltv u v u v u=+=+--022222/1/1/tl vu v u v==--.(3)飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度.为了使飞机沿着AB之间的直线飞行,就要使其相对地的速度偏向北方,可作向量三角形,其中沿AB方向的速度大小为V=,所以飞行时间为图1.7A BA Bvv + uv - uA Bv uuvv22l t V ==== 证毕.1.10 如图所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速度为v 1,下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ,偏向于汽车前进方向,速度为v 2.今在车后放一长方形物体,问车速v 1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿?[解答]雨对地的速度2v 等于雨对车的速度3v 加车对地的速度1v ,由此可作向量三角形.根据题意得tan α = l/h .方法一:利用直角三角形.根据直角三角形得v 1 = v 2sin θ + v 3sin α,其中v 3 = v ⊥/cos α,而v ⊥ = v 2cos θ, 因此v 1 = v 2sin θ + v 2cos θsin α/cos α, 即 12(sin cos )lv v hθθ=+. 证毕. 方法二:利用正弦定理.根据正弦定理可得12sin()sin(90)v v θαα=+︒-,所以:12sin()cos v v θαα+=2sin cos cos sin cos v θαθαα+=2(sin cos tan )v θθα=+,即 12(sin cos )lv v hθθ=+. 方法三:利用位移关系.将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量,在t 时间内,雨滴的位移为l = (v 1 – v 2sin θ)t , h = v 2cos θ∙t .两式消去时间t 即得所求. 证毕.第二章 运动定律与力学中的守恒定律(一) 牛顿运动定律 2.1 一个重量为P 的质点,在光滑的固定斜面(倾角为α)上以初速度0v 运动,0v 的方向与斜面底边的水平约AB 平行,如图所示,求这质点的运动轨道.[解答]质点在斜上运动的加速度为a = g sin α,方向与初速度方向垂直.其运动方程为 x = v 0t ,2211sin 22y at g t α==⋅.将t = x/v 0,代入后一方程得质点的轨道方程为22sin g y x v α=,这是抛物线方程.2.2 桌上有一质量M = 1kg 的平板,板上放一品质m = 2kg 的另一物体,设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = 0.25,静摩擦因素为μs = 0.30.求:(1)今以水平力F 拉板,使两者一起以a = 1m·s -2的加速度运动,试计算物体与板、图1.101h lα图2.1与桌面间的相互作用力;(2)要将板从物体下面抽出,至少需要多大的力?[解答](1)物体与板之间有正压力和摩擦力的作用.板对物体的支持大小等于物体的重力:N m = mg = 19.6(N), 这也是板受物体的压力的大小,但压力方向相反.物体受板摩擦力做加速运动,摩擦力的大小为:f m = ma = 2(N),这也是板受到的摩擦力的大小,摩擦力方向也相反.板受桌子的支持力大小等于其重力:N M = (m + M )g = 29.4(N), 这也是桌子受板的压力的大小,但方向相反.板在桌子上滑动,所受摩擦力的大小为:f M = μk N M = 7.35(N). 这也是桌子受到的摩擦力的大小,方向也相反.(2)设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动,物体的运动方程为 f =μs mg = ma`,可得 a` =μs g .板的运动方程为F – f – μk (m + M )g = Ma`, 即 F = f + Ma` + μk (m + M )g= (μs + μk )(m + M )g ,算得 F = 16.17(N).因此要将板从物体下面抽出,至少需要16.17N 的力.2.3 如图所示:已知F = 4N ,m 1 = 0.3kg ,m 2 = 0.2kg ,两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2.求质量为m 2的物体的加速度及绳子对它的拉力.(绳子和滑轮品质均不计)[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a 2 = 2a 1,而力的关系为T 1 = 2T 2. 对两物体列运动方程得T 2 - μm 2g = m 2a 2, F – T 1 – μm 1g = m 1a 1. 可以解得m 2的加速度为 12212(2)/22F m m ga m m μ-+=+= 4.78(m·s -2),绳对它的拉力为2112(/2)/22m T F m g m m μ=-+= 1.35(N).2.4 两根弹簧的倔强系数分别为k 1和k 2.求证:(1)它们串联起来时,总倔强系数k 与k 1和k 2.满足关系关系式12111k k k =+; (2)它们并联起来时,总倔强系数k = k 1 + k 2.[解答]当力F 将弹簧共拉长x 时,有F = kx ,其中k 为总倔强系数.两个弹簧分别拉长x 1和x 2,产生的弹力分别为 F 1 = k 1x 1,F 2 = k 2x 2. (1)由于弹簧串联,所以F = F 1 = F 2,x = x 1 + x 2, 因此 1212F F F kk k =+,即:12111k k k =+. (2)由于弹簧并联,所以F = F 1 + F 2,x = x 1 = x 2,因此 kx = k 1x 1 + k 2x 2, 即:k = k 1 + k 2.2.5 如图所示,质量为m 的摆悬于架上,架固定于小车上,在下述各种情况中,求摆12图2.32 图2.4线的方向(即摆线与竖直线的夹角θ)及线中的张力T .(1)小车沿水平线作匀速运动;(2)小车以加速度1a 沿水平方向运动;(3)小车自由地从倾斜平面上滑下,斜面与水平面成φ角; (4)用与斜面平行的加速度1b 把小车沿斜面往上推(设b 1 = b ); (5)以同样大小的加速度2b (b 2 = b ),将小车从斜面上推下来.[解答](1)小车沿水平方向做匀速直线运动时,摆在水平方向没有受到力的作用,摆线偏角为零,线中张力为T = mg .(2)小车在水平方向做加速运动时,重力和拉力的合力就是合外力.由于tan θ = ma/mg , 所以 θ = arctan(a/g );绳子张力等于摆所受的拉力:T ==.(3)小车沿斜面自由滑下时,摆仍然受到重力和拉力, 合力沿斜面向下,所以θ = φ; T = mg cos φ.(4)根据题意作力的向量图,将竖直虚线延长, 与水平辅助线相交,可得一直角三角形,θ角的对边 是mb cos φ,邻边是mg + mb sin φ,由此可得:cos tan sin mb mg mb ϕθϕ=+,因此角度为cos arctansin b g b ϕθϕ=+;而张力为T ==.(5)与上一问相比,加速度的方向反向,只要将上一结果中的b 改为-b 就行了.2.6 如图所示:质量为m =0.10kg 的小球,拴在长度l =0.5m 的轻绳子的一端,构成一个摆.摆动时,与竖直线的最大夹角为60°.求:(1)小球通过竖直位置时的速度为多少?此时绳的张力多大?(2)在θ < 60°的任一位置时,求小球速度v 与θ的关系式.这时小球的加速度为多大?绳中的张力多大? (3)在θ = 60°时,小球的加速度多大?绳的张力有多大? [解答](1)小球在运动中受到重力和绳子的拉力,由于小球沿圆弧运动,所以合力方向沿着圆弧的切线方向,即F = -mg sin θ,负号表示角度θ增加的方向为正方向.小球的运动方程为 22d d s F ma m t ==,其中s 表示弧长.由于s = Rθ = lθ,所以速度为d d d d s v l t t θ==,因此(2)图2.6d d d d d d d d v v m v F mm v t t l θθθ===,即 v d v = -gl sin θd θ, (1) 取积分60d sin d Bv v v gl θθ︒=-⎰⎰,得2601cos 2B v gl θ︒=,解得:B v =s -1).由于:22B BB v v T mg m m mgR l -===,所以T B = 2mg = 1.96(N).(2)由(1)式积分得21cos 2C v gl C θ=+,当 θ = 60º时,v C = 0,所以C = -lg /2,因此速度为C v =切向加速度为a t = g sin θ;法向加速度为2(2cos 1)Cn v a g R θ==-.由于T C – mg cos θ = ma n ,所以张力为T C = mg cos θ + ma n = mg (3cos θ – 1). (3)当 θ = 60º时,切向加速度为2t a g== 8.49(m·s -2),法向加速度为 a n = 0,绳子的拉力T = mg /2 = 0.49(N).[注意]在学过机械能守恒定律之后,求解速率更方便.2.7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h 高度时,它的速率多大?(要求用牛顿第二定律积分求解)[解答]小石块在运动中受到重力和轨道的支持力,合力方向沿着曲线方向.设切线与竖直方向的夹角为θ,则F = mg cos θ.小球的运动方程为22d d sF ma m t ==,s 表示弧长.由于d d s v t =,所以 22d d d d d d d ()d d d d d d d s s v v s v v t t t t s t s ====,因此 v d v = g cos θd s = g d h ,h 表示石下落的高度.积分得 212v gh C=+,当h = 0时,v = 0,所以C = 0,因此速率为v =图2.72.8 质量为m 的物体,最初静止于x 0,在力2kf x =-(k 为常数)作用下沿直线运动.证明物体在x 处的速度大小v = [2k (1/x – 1/x 0)/m ]1/2.[证明]当物体在直线上运动时,根据牛顿第二定律得方程222d d k xf ma m x t =-==利用v = d x/d t ,可得22d d d d d d d d d d x v x v v v t t t x x ===,因此方程变为2d d k xmv v x =-,积分得212k mv Cx =+.利用初始条件,当x = x 0时,v = 0,所以C = -k /x 0,因此2012k kmv x x =-,即v =证毕.[讨论]此题中,力是位置的函数:f = f (x ),利用变换可得方程:mv d v = f (x )d x ,积分即可求解.如果f (x ) = -k/x n ,则得21d 2nx mv k x =-⎰. (1)当n = 1时,可得21ln 2mv k x C=-+利用初始条件x = x 0时,v = 0,所以C = ln x 0,因此 21ln 2x mv k x =, 即v =. (2)如果n ≠1,可得21121n k mv x C n -=-+-.利用初始条件x = x 0时,v = 0,所以101nk C x n -=--, 因此 2110111()21n n k mv n x x --=--, 即v =当n = 2时,即证明了本题的结果.2.9 一质量为m 的小球以速率v 0从地面开始竖直向上运动.在运动过程中,小球所受空气阻力大小与速率成正比,比例系数为k .求:(1)小球速率随时间的变化关系v (t ); (2)小球上升到最大高度所花的时间T .[解答](1)小球竖直上升时受到重力和空气阻力,两者方向向下,取向上的方向为下,根据牛顿第二定律得方程d d v f mg kv mt =--=,分离变数得d d()d v m mg kv t m mg kv k mg kv +=-=-++, 积分得ln ()mt mg kv C k =-++.当t = 0时,v = v 0,所以0ln ()mC mg kv k =+,因此00/ln ln/m mg kv m mg k v t k mg kv k mg k v ++=-=-++, 小球速率随时间的变化关系为0()exp()mg kt mgv v k m k =+--.(2)当小球运动到最高点时v = 0,所需要的时间为00/ln ln(1)/mg k v kv m m T k mg k k mg +==+.[讨论](1)如果还要求位置与时间的关系,可用如下步骤: 由于v = d x/d t ,所以0d [()exp()]d mg kt mg x v t k m k =+--,即0(/)d d exp()d m v mg k kt mgx tk m k +=---,积分得0(/)exp()`m v mg k kt mgx t C k m k +=---+,当t = 0时,x = 0,所以0(/)`m v mg k C k +=,因此0(/)[1exp()]m v mg k kt mg x tk m k +=---.(2)如果小球以v 0的初速度向下做直线运动,取向下的方向为正,则微分方程变为d d vf mg kv mt =-=,用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为0()exp()mg mg ktv v k k m =---.这个公式可将上面公式中的g 改为-g 得出.由此可见:不论小球初速度如何,其最终速率趋于常数v m = mg/k .2.10 如图所示:光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带,半径为R .一物体帖着环带内侧运动,物体与环带间的滑动摩擦因子为μk .设物体在某时刻经A 点时速率为v 0,求此后时刻t 物体的速率以及从A 点开始所经过的路程.[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力,即 N = mv 2/R .物体所受的摩擦力为f = -μk N ,负号表示力的方向与速度的方向相反.根据牛顿第二定律得2d d k v v f m m R t μ=-=, 即 : 2d d k vt R v μ=-.积分得:1k t C R v μ=+.当t = 0时,v = v 0,所以01C v =-, 因此 011kt Rv v μ=-.解得001/k v v v t R μ=+. 由于0000d d(1/)d 1/1/k k k k v t v t R R x v t R v t R μμμμ+==++, 积分得0ln (1)`k kv tR x C Rμμ=++,当t = 0时,x = x 0,所以C = 0,因此0ln (1)k kv tRx Rμμ=+.2.11 如图所示,一半径为R 的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动.在环上套有一珠子.今逐渐增大圆环的转动角速度ω,试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置.以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示.[解答]珠子受到重力和环的压力,其合力指向竖直直径,作为珠子做圆周运动的向心力,其大小为:F = mg tg θ.珠子做圆周运动的半径为r = R sin θ. 根据向心力公式得F = mg tg θ = mω2R sin θ,可得2cos mgR ωθ=,解得2arccosgR θω=±.(二)力学中的守恒定律2.12 如图所示,一小球在弹簧的弹力作用下振动.弹力F = -kx ,而位移x = A cos ωt ,其中k ,A 和ω都是常数.求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量.[解答]方法一:利用冲量公式.根据冲量的定义得d I = F d t = -kA cos ωt d t ,mg图2.11积分得冲量为/20(cos )d I kA t tωω=-⎰π,/20sin kAkAtωωωω=-=-π方法二:利用动量定理.小球的速度为v = d x/d t = -ωA sin ωt ,设小球的品质为m ,其初动量为p 1 = mv 1 = 0, 末动量为p 2 = mv 2 = -mωA ,小球获得的冲量为I = p 2 – p 1 = -mωA , 可以证明k =mω2,因此I = -kA /ω.2.13一个质量m = 50g ,以速率的v = 20m·s -1作匀速圆周运动的小球,在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少?[解答]小球动量的大小为p = mv ,但是末动量与初动量互相垂直,根据动量的增量的定义21p p p ∆=- 得:21p p p =+∆,由此可作向量三角形,可得:p ∆==. 因此向心力给予小球的的冲量大小为I p =∆= 1.41(N·s).[注意]质点向心力大小为F = mv 2/R ,方向是指向圆心的,其方向在不断地发生改变,所以不能直接用下式计算冲量24v TI Ft mR ==2/42R T T mv mvR ππ==.假设小球被轻绳拉着以角速度ω = v/R 运动,拉力的大小就是向心力F = mv 2/R = mωv , 其分量大小分别为 F x = F cos θ = F cos ωt ,F y = F sin θ = F sin ωt ,给小球的冲量大小为 d I x = F x d t = F cos ωt d t ,d I y = F y d t = F sin ωt d t , 积分得 /4/4cos d sin T T x FI F t t tωωω==⎰Fmvω==,/4/4sin d cos T T y FI F t t tωωω==-⎰Fmvω==,合冲量为I ==,与前面计算结果相同,但过程要复杂一些.2.14 用棒打击质量0.3kg ,速率等于20m·s -1的水平飞来的球,球飞到竖直上方10m 的高度.求棒给予球的冲量多大?设球与棒的接触时间为0.02s ,求球受到的平均冲力?[解答]球上升初速度为y v =s -1),其速度的增量为v ∆=s -1). 棒给球冲量为I = m Δv = 7.3(N·s),对球的作用力为(不计重力):F = I/t = 366.2(N).2.15 如图所示,三个物体A 、B 、C ,每个品质都为M ,B 和C 靠在一起,放在光滑水平桌面上,两者连有一段长度为0.4m 的细绳,首先放松.B 的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A 相连.已知滑轮轴上的摩擦也可忽略,绳子长度一定.问A 和B 起动后,经多长时间C 也开始运动?C 开始运动时的速度是多少?(取g = 10m·s -2)[解答]物体A 受到重力和细绳的拉力,可列方程Mg – T = Ma ,物体B 在没有拉物体C 之前在拉力T 作用下做加速运动, 加速度大小为a ,可列方程:T = Ma , 联立方程可得:a = g/2 = 5(m·s -2).根据运动学公式:s = v 0t + at 2/2, 可得B 拉C 之前的运动时间;t =.此时B 的速度大小为:v = at = 2(m·s -1).物体A 跨过动滑轮向下运动,如同以相同的加速度和速度向右运动.A 和B 拉动C 运动是一个碰撞过程,它们的动量守恒,可得:2Mv = 3Mv`, 因此C 开始运动的速度为:v` = 2v /3 = 1.33(m·s -1).2.16 一炮弹以速率v 0沿仰角θ的方向发射出去后,在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块,一块沿此45°仰角上飞,一块沿45°俯角下冲,求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少?[解答] 炮弹在最高点的速度大小为v = v 0cos θ,方向沿水平方向. 根据动量守恒定律,可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的 总动量,可作向量三角形,列方程得 /2`cos 452mmv v =︒,所以 v` = v /cos45° = 0cos θ.2.17 如图所示,一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动,这圆弧路面的半径为R .设马对雪橇的拉力总是平行于路面.雪橇的品质为m ,它与路面的滑动摩擦因子为μk .当把雪橇由底端拉上45°圆弧时,马对雪橇做了多少功?重力和摩擦力各做了多少功?[解答]取弧长增加的方向为正方向,弧位移d s 的大小为d s = R d θ. 重力G 的大小为:G = mg ,方向竖直向下,与位移元的夹角为π + θ,所做的功元为1d d cos(/2)d W G s G s θ=⋅=+πv xΔv v y图2.17sin d mgR θθ=-,积分得重力所做的功为454510(sin )d cos W mgR mgR θθθ︒︒=-=⎰(1mgR =-.摩擦力f 的大小为:f = μk N = μk mg cos θ,方向与弧位移的方向相反,所做的功元为2d d cos d W f s f s =⋅=πcos d k u mg R θθ=-,积分得摩擦力所做的功为4520(cos )d k W mgR μθθ︒=-⎰450sin k k mgR mgR μθ︒=-=.要使雪橇缓慢地匀速移动,雪橇受的重力G 、摩擦力f 和马的拉力F 就是平衡力,即0F G f ++=,或者 ()F G f =-+.拉力的功元为:d d (d d )W F s G s f s =⋅=-⋅+⋅12(d d )W W =-+,拉力所做的功为12()W W W =-+(1)k mgR =+.由此可见,重力和摩擦力都做负功,拉力做正功.2.18 一品质为m 的质点拴在细绳的一端,绳的另一端固定,此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动.设质点最初的速率是v 0,当它运动1周时,其速率变为v 0/2,求:(1)摩擦力所做的功; (2)滑动摩擦因子;(3)在静止以前质点运动了多少圈?[解答] (1)质点的初动能为:E 1 = mv 02/2, 末动能为:E 2 = mv 2/2 = mv 02/8,动能的增量为:ΔE k = E 2 – E 1 = -3mv 02/8, 这就是摩擦力所做的功W .(2)由于d W = -f d s = -μk N d s = -μk mgr d θ,积分得:20()d 2k k W mgr mgrπμθπμ=-=-⎰.由于W = ΔE ,可得滑动摩擦因子为20316k v gr μ=π.(3)在自然坐标中,质点的切向加速度为:a t = f/m = -μk g , 根据公式v t 2 – v o 2 = 2a t s ,可得质点运动的弧长为22008223k v v r s a g πμ===,圈数为 n = s/2πr = 4/3.[注意]根据用动能定理,摩擦力所做的功等于质点动能的增量:-fs = ΔE k , 可得 s = -ΔE k /f ,由此也能计算弧长和圈数。
大学物理第一章习题答案

21
站在台秤上,当你蹲下时台秤的读数如何变?如何解释?
台秤的示数为台秤对人的支持力。当人静止站在台秤上时, 台秤对人的支持力等于人的重力。当人蹲下时有向下的加速 度,按牛顿第二定律有
mg N ma N mg ma mg
N
可见,当人蹲下时台秤对人的支持力 小于人的重力,示数减小,当人停止 运动后回复为原值。
7
1-23:用绳子系一小球使之在竖直平面内做圆周运动,指出绳 内张力最大和最小的位置。
解:小球做圆周运动时满足
T mg ma
m
在法向投影得 绳子上的张力为
v T mg cos man m R v2 T m mg cos R
2
o
T
mg
显然,当夹角为 0 时(最上方)绳子上的张力最小,夹角为 π 时(最下方)绳子上的张力最大。
t1
r
都不相等。
r1
r
ˆ ˆ ˆ ˆ y ˆ ˆ r1 x1 i y1 j z1k , r2 x2 i j z k 2 2 O ˆ (y y )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r ( x2 x1 )i 2 1 j ( z 2 z1 )k xi yj zk | r | x 2 y 2 z 2 , r r2 r1 x2 2 y2 2 z2 2 ) x12 y12 z12
3
1-2:说明建立参照系、坐标系的必要性,对于描述质点的运 动而言,参照系应如何选择? 为了描述一个物体的运动,必须选择另一个物体作为参照, 才能确定物体的运动特征,参照物不同,物体的运动形式就 可能不同,因此必须指明参照系。 只有选择了坐标系,才能把物体的运动特征定量表示出来。 坐标系一般固定于参照系上。 在描述质点运动的问题中,参照系可以任意选择,没有任何 限制,但要注意解决问题是否方便。
大学物理课后习题答案第一章

第一章 质点运动学1.1 一质点沿直线运动,运动方程为x (t ) = 6t 2 - 2t 3.试求: (1)第2s 的位移和平均速度;(2)1s 末及2s 末的瞬时速度,第2s 的路程; (3)1s 末的瞬时加速度和第2s 的平均加速度.[解答](1)质点在第1s 末的位置为:x (1) = 6×12 - 2×13 = 4(m).在第2s 末的位置为:x (2) = 6×22 - 2×23 = 8(m). 在第2s 的位移大小为:Δx = x (2) – x (1) = 4(m),经过的时间为Δt = 1s ,所以平均速度大小为:=Δx /Δt = 4(m·s -1). (2)质点的瞬时速度大小为:v (t ) = d x /d t = 12t - 6t 2,因此v (1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s -1),v (2) = 12×2 - 6×22 = 0质点在第2s 的路程等于其位移的大小,即Δs = Δx = 4m . (3)质点的瞬时加速度大小为:a (t ) = d v /d t = 12 - 12t ,因此1s 末的瞬时加速度为:a (1) = 12 - 12×1 = 0,第2s 的平均加速度为:= [v (2) - v (1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s -2).[注意] 第几秒的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒.1.2 一质点作匀加速直线运动,在t = 10s 走过路程s = 30m ,而其速度增为n = 5倍.试证加速度为,并由上述数据求出量值.[证明]依题意得v t = nv o ,根据速度公式v t = v o + at ,得a = (n – 1)v o /t , (1)根据速度与位移的关系式v t 2 = v o 2 + 2as ,得 a = (n 2 – 1)v o 2/2s ,(2) (1)平方之后除以(2)式证得:.计算得加速度为:= 0.4(m·s -2).1.3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑,他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s -1从西边起跳,准确地落在坑的东边.已知东边比西边低70m ,忽略空气阻力,且取g = 10m·s -2.问:(1)矿坑有多宽?他飞越的时间多长?(2)他在东边落地时的速度?速度与水平面的夹角? [解答]方法一:分步法.(1)夹角用θ表示,人和车(人)在竖直方向首先做竖直上抛运动,初速度的大小为v y 0 = v 0sin θ = 24.87(m·s -1).取向上的方向为正,根据匀变速直线运动的速度公式v t - v 0 = at ,这里的v 0就是v y 0,a = -g ;当人达到最高点时,v t = 0,所以上升到最高点的时间为t 1 = v y 0/g = 2.49(s).再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式:v t 2 - v 02 = 2a s , 可得上升的最大高度为:h 1 = v y 02/2g = 30.94(m).人从最高点开始再做自由落体运动,下落的高度为;h 2 = h 1 + h = 100.94(m). 根据自由落体运动公式s = gt 2/2,得下落的时间为:= 4.49(s). 因此人飞越的时间为:t = t 1 + t 2 = 6.98(s).人飞越的水平速度为;v x 0 = v 0cos θ = 60.05(m·s -1),v a 22(1)(1)n sa n t -=+22(1)(1)n sa n t -=+22(51)30(51)10a -=+222h t g=70m22.5º 图1.3所以矿坑的宽度为:x = v x 0t = 419.19(m).(2)根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为:v y = gt = 69.8(m·s -1), 落地速度为:v = (v x 2 + v y 2)1/2 = 92.08(m·s -1),与水平方向的夹角为:φ = arctan(v y /v x ) = 49.30º,方向斜向下.方法二:一步法.取向上为正,人在竖直方向的位移为y = v y 0t - gt 2/2,移项得时间的一元二次方程, 解得:.这里y = -70m ,根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小,由于时间应该取正值,所以公式取正根,计算时间为:t = 6.98(s).由此可以求解其他问题.1.4 一个正在沿直线行驶的汽船,关闭发动机后,由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度,即d v /d t = -kv 2,k 为常数.(1)试证在关闭发动机后,船在t 时刻的速度大小为; (2)试证在时间t ,船行驶的距离为. [证明](1)分离变量得, 故 ,可得:. (2)公式可化为,由于v = d x/d t ,所以: 积分.因此 . 证毕.[讨论]当力是速度的函数时,即f = f (v ),根据牛顿第二定律得f = ma . 由于a = d 2x /d t 2, 而 d x /d t = v , a = d v /d t , 分离变量得方程:, 解方程即可求解.在本题中,k 已经包括了质点的质量.如果阻力与速度反向、大小与船速的n 次方成正比,则d v /d t = -kv n .(1)如果n = 1,则得, 积分得ln v = -kt + C .当t = 0时,v = v 0,所以C = ln v 0, 因此ln v/v 0 = -kt ,得速度为 :v = v 0e -kt .201sin 02gt v t y θ-+=0(sin t v g θ=011kt v v =+01ln(1)x v kt k=+2d d vk t v =-020d d v t v v k t v =-⎰⎰011kt v v =+001v v v kt=+00001d d d(1)1(1)v x t v kt v kt k v kt ==+++00001d d(1)(1)x tx v kt k v kt =++⎰⎰01ln(1)x v kt k=+d d ()m vt f v =d d vk t v=-而d v = v 0e -kt d t ,积分得:. 当t = 0时,x = 0,所以C` = v 0/k ,因此.(2)如果n ≠1,则得,积分得. 当t = 0时,v = v 0,所以,因此. 如果n = 2,就是本题的结果.如果n ≠2,可得,读者不妨自证.1.5 一质点沿半径为0.10m 的圆周运动,其角位置(以弧度表示)可用公式表示:θ = 2 + 4t 3.求:(1)t = 2s 时,它的法向加速度和切向加速度;(2)当切向加速度恰为总加速度大小的一半时,θ为何值? (3)在哪一时刻,切向加速度和法向加速度恰有相等的值? [解答](1)角速度为ω = d θ/d t = 12t 2 = 48(rad·s -1),法向加速度为 a n = rω2 = 230.4(m·s -2);角加速度为 β = d ω/d t = 24t = 48(rad·s -2), 切向加速度为 a t = rβ = 4.8(m·s -2). (2)总加速度为a = (a t 2 + a n 2)1/2,当a t = a /2时,有4a t 2 = a t 2 + a n 2,即.由此得,即 ,解得 .所以 =3.154(rad).(3)当a t = a n 时,可得rβ = rω2, 即: 24t = (12t 2)2,解得 : t = (1/6)1/3 = 0.55(s).1.6 一飞机在铅直面飞行,某时刻飞机的速度为v = 300m·s -1,方向与水平线夹角为30°而斜向下,此后飞机的加速度为a = 20m·s -2,方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上,问多长时间后,飞机又回到原来的高度?在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少?[解答]建立水平和垂直坐标系,飞机的初速度的大小为 v 0x = v 0cos θ, v 0y = v 0sin θ.加速度的大小为a x = a cos α, a y = a sin α. 运动方程为, . 即 ,.令y = 0,解得飞机回到原来高度时的时间为:t = 0(舍去);(s).将t 代入x 的方程求得x = 9000m .0e `ktv x C k-=+-0(1-e )kt vx k -=d d n vk t v=-11n v kt C n -=-+-101n v C n-=-11011(1)n n n kt v v --=+-1(2)/(1)020{[1(1)]1}(2)n n n n n v kt x n v k----+--=-3n t a a =23r r ωβ=22(12)243t t =33/6t =3242(13/3)t θ=+=+32012x x x v t a t =+2012y y y v t a t =-+201cos cos 2x v t a t θα=⋅+⋅201sin sin 2y v t a t θα=-⋅+⋅02sin 103sin v t a θα== y xO α v 0θ a a xa yv 0x v 0y[注意]选择不同的坐标系,如x 方向沿着a 的方向或者沿着v 0的方向,也能求出相同的结果.1.7 一个半径为R = 1.0m 的轻圆盘,可以绕一水平轴自由转动.一根轻绳绕在盘子的边缘,其自由端拴一物体A .在重力作用下,物体A 从静止开始匀加速地下降,在Δt = 2.0s 下降的距离h = 0.4m .求物体开始下降后3s 末,圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度.[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A 下落加速度.由于, 所以a t = 2h /Δt 2 = 0.2(m·s -2).物体下降3s 末的速度为v = a t t = 0.6(m·s -1),这也是边缘的线速度,因此法向加速度为= 0.36(m·s -2).1.8 一升降机以加速度1.22m·s -2上升,当上升速度为2.44m·s -1时,有一螺帽自升降机的天花板上松落,天花板与升降机的底面相距 2.74m .计算:(1)螺帽从天花板落到底面所需的时间;(2)螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.[解答]在螺帽从天花板落到底面时,升降机上升的高度为;螺帽做竖直上抛运动,位移为. 由题意得h = h 1 - h 2,所以, 解得时间为= 0.705(s).算得h 2 = -0.716m ,即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m .[注意]以升降机为参考系,钉子下落时相对加速度为a + g ,而初速度为零,可列方程h = (a + g )t 2/2,由此可计算钉子落下的时间,进而计算下降距离.1.9 有一架飞机从A 处向东飞到B 处,然后又向西飞回到A 处.已知气流相对于地面的速度为u ,AB 之间的距离为l ,飞机相对于空气的速率v 保持不变.(1)如果u = 0(空气静止),试证来回飞行的时间为; (2)如果气流的速度向东,证明来回飞行的总时间为;(3)如果气流的速度向北,证明来回飞行的总时间为.[证明](1)飞机飞行来回的速率为v ,路程为2l ,所以飞行时间为t 0 = 2l /v . (2)飞机向东飞行顺风的速率为v + u ,向西飞行逆风的速率为v - u , 所以飞行时间为 . (3)飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度.为了使飞机沿着AB 之间的直线飞行,就要使其相对地的速度偏向北方,可作矢量三角形,其中沿AB 方向的速度大小为,所以飞行时间为212t h a t =∆2n v a R=21012h v t at =+22012h v t gt =-21()2h a g t =+2/()t h a g =+02l t v =1221/t t u v =-02221/t t u v=-1222l l vl t v u v u v u =+=+--022222/1/1/t l v u v u v==--22V v u =-RA图1.7AB AB vv + uv - uABvuuvv. 证毕.1.10 如图所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速度为v 1,下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ,偏向于汽车前进方向,速度为v 2.今在车后放一长方形物体,问车速v 1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿?[解答]雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度,由此可作矢量三角形.根据题意得tan α = l/h .方法一:利用直角三角形.根据直角三角形得v 1 = v 2sin θ + v 3sin α,其中v 3 = v ⊥/cos α,而v ⊥ = v 2cos θ, 因此v 1 = v 2sin θ + v 2cos θsin α/cos α, 即 . 证毕. 方法二:利用正弦定理.根据正弦定理可得,所以:,即 . 方法三:利用位移关系.将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量,在t 时间,雨滴的位移为l = (v 1 – v 2sin θ)t , h = v 2cos θ∙t .两式消去时间t 即得所求. 证毕.22222222/1/l l l v t V v u u v ===--0221/t u v=-2v 3v 1v 12(sin cos )lv v hθθ=+12sin()sin(90)v v θαα=+︒-12sin()cos v v θαα+=2sin cos cos sin cos v θαθαα+=2(sin cos tan )v θθα=+12(sin cos )lv v hθθ=+v 1hl v 2θ图1.10v 1h lv 2θ v 3 α α v ⊥。
大学物理第一章课后习题答案【最新精选】

1.1 一质点在Oxy 平面内运动,运动方程为)SI (53+=t x ,)SI (432/2-+=t t y 。
(1)以时间t 为变量,写出质点位矢的表达式;(2)求出质点速度分量的表达式,并计算s 4=t 时,质点速度的大小和方向;(3)求出质点加速度分量的表达式,并计算出s 4=t 时,质点加速度的大小和方向。
解:(1))SI (53+=t x ,)SI (432/2-+=t t y 质点位矢的表达式为:j t t i t j y i x r )432/()53(2-+++=+=; (2)m/s 3)53(=+==t dt d dt dx v x ,m/s )3()432/(2+=-+==t t t dt d dt dy v ys 4=t ,m/s 3=x v ,m/s 7=y v ,m/s 6.7m/s 5822==+=y x v v v设θ是v 和x v 的夹角,则37tan ==x y v v θ,8.66=θ°; (3)2m/s 0)3(===dt d dt dv a x x ,2m/s 1)3(=+==t dt d dt dv a y ys 4=t ,2m/s 0=x a ,2m/s 1=y a ,222m/s 1=+=y x a a a方向沿y 轴方向。
1.2 质点在Oxy 平面内运动,运动方程为)SI (3t x =,)SI (22t y -=。
(1)写出质点运动的轨道方程;(2)s 2=t 时,质点的位矢、速度和加速度。
解:(1)质点运动方程)SI (3t x =,)SI (22t y -=,质点运动的轨道方程为:9/2)3(222x xy -=-=或2189x y -=;(2)j t i t j y i x r )2()3(2-+=+=,s 2=t 时: j i r 26-=j t i v 23-=,s 2=t 时:j i v43-=j a 2-=,s 2=t 时:j a2-=1.3质点沿直线运动,其坐标x 与时间t 有如下关系:)SI (cos t Aex tωβ-=(A 和β皆为常量)。
大学物理课后答案第1章质点运动学习题解答

,解得
(2) , ,
1-13质点M作平面曲线运动,自O点出发经图示轨迹运动到C点。图中,OA段为直线,AB、BC段分别为不同半径的两个1/4圆周。设 时,M在 点,已知运动方程为 (SI),求 s时刻,质点M的切向加速度和法向加速度的大小。
解: 时 此时质点在大圆上
…
时
1-14一质点沿半径为 的圆周按 的规律运动,其中 和 都是常数。求:(1)质点在 时刻的加速度;(2) 为何值时,加速度在数值上等于 ;(3)当加速度大小为 时质点已沿圆周运行了几圈
解:
,
&
1-8一艘正在沿直线行驶的快艇,在发动机关闭后,其加速度方向与速度方向相反,大小与速度平方成正比,即 ,式中 为正常数。试证明快艇在关闭发动机后又行驶 距离时的速度为 ,式中 是发动机关闭瞬时的速度。
解:
,
1-9一飞轮的转速在5s内由900rev/min均匀地减到800rev/min。求:(1)飞轮的角加速度;(2)在此5s内飞轮的总转数;(3)再经几秒飞轮将停止转动。
解: ,即
~
1-5一质点在 平面内运动,运动方程为 (SI)。(1)求质点运动的轨道方程并画出运动轨道;(2)计算1s末和2s末质点的瞬时速度和瞬时加速度;(3)在什么时刻质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直这时,它们的 、 分量各为多少(4)在什么时刻质点离原点最近算出这一距离。
解: , ,
(1) ,
消t,得轨道方程: ,
其曲线为开口向下的抛物线,如右图。
(2) ,
,
(3) ,
*
解得: ,
时, , , ,
时, , , ,
以上物理量均为国际单位。
(4)
令 ,解得
1-6一物体沿 轴运动,其加速度和位置的关系满足 (SI)。物体在 处的速度为10 m/s,求物体的速度和位置的关系。
大学物理第1章习题解答(全)ppt课件

23 23 t t 0 3 3
1-24 一质点在半径为0.10m 的圆周上运动, 3 2 4 t 其角位置为 ,式中 的单位为 rad , t的单位为s。求: (1)在 t=2.0s时质点的法向加速度和切向 加速度。 (2)当切向加速度的大小恰等于总加速度大 小的一半时, 值为多少? (3)t为多少时,法向加速度和切向加速度 相等? d 2 3 得: 12 t 2 4 t 解 (1)由 dt
(2)加速度的大小和方向。 解:(1)速度的分量式为 dx dy v 10 60 t v 15 40 t x y dt dt
v ( t ) v v 10 60 t 15 40 t
2 2 x y 2 2
v ( t ) v v 10 60 t 15 40 t
解 (1)由参数方程
x 2 . 0 t , y 19 . 0 2 . 0 t
2
消去t得质点的轨迹方程:
y 19 . 0 0 . 50 x
(2)
2
t1 1 .0 s
t2 2 .0 s
r r r 2 1 v 2 . 0 i 6 . 0 j t t t 2 1
dv d 2 2 2 a (v v ) 3 . 58 m s tt 1 x y dt dt
a a a 1 . 79 m s n
2 2 t
2
(4)
t 1 . 0 s时质点的速度大小为
2 2 1 v v v 4 . 47 m s x y
2
a a a 72 . 1 m s
设 a与 x 轴正向的夹角为
(完整版)大学物理课后习题答案详解

r r r r r r rr、⎰ dt⎰0 dx = ⎰ v e⎰v v1122v v d tv v d tvg 2 g h d tdt [v 2 + ( g t ) 2 ] 12 (v 2 + 2 g h ) 12第一章质点运动学1、(习题 1.1):一质点在 xOy 平面内运动,运动函数为 x = 2 t, y = 4 t 2 - 8 。
(1)求质点 的轨道方程;(2)求 t = 1 s 和 t = 2 s 时质点的位置、速度和加速度。
解:(1)由 x=2t 得,y=4t 2-8可得: r y=x 2-8r 即轨道曲线(2)质点的位置 : r = 2ti + (4t 2 - 8) jr r rr r 由 v = d r / d t 则速度: v = 2i + 8tjr r rr 由 a = d v / d t 则加速度: a = 8 jrr r r r r r r 则当 t=1s 时,有 r = 2i - 4 j , v = 2i + 8 j , a = 8 j r当 t=2s 时,有r = 4i + 8 j , v = 2i +16 j , a = 8 j 2 (习题 1.2): 质点沿 x 在轴正向运动,加速度 a = -kv , k 为常数.设从原点出发时速度为 v ,求运动方程 x = x(t ) .解:dv = -kvdt v1 v 0 vd v = ⎰ t - k dt 0v = v e - k tdx x= v e -k t0 t0 -k t d t x = v0 (1 - e -k t )k3、一质点沿 x 轴运动,其加速度为 a = 4 t (SI),已知 t = 0 时,质点位于 x 0=10 m 处,初速 度 v 0 = 0.试求其位置和时间的关系式.解:a = d v /d t = 4 td v = 4 t d tv 0d v = ⎰t 4t d t v = 2 t 2v = d x /d t = 2 t 2⎰x d x = ⎰t 2t 2 d t x = 2 t 3 /3+10 (SI)x4、一质量为 m 的小球在高度 h 处以初速度 v 水平抛出,求:(1)小球的运动方程;(2)小球在落地之前的轨迹方程; d r d v d v (3)落地前瞬时小球的 ,,.d td td t解:(1)x = v t式(1)v v v y = h - gt 2 式(2)r (t ) = v t i + (h - gt 2 ) j0 (2)联立式(1)、式(2)得y = h -vd r(3) = v i - gt j而落地所用时间t =0 gx 22v 22hgvd r所以 = v i - 2gh jvd vdv g 2t= - g j v = v 2 + v 2 = v 2 + (-gt) 2= =x y 0 0vv v d rv d v 2) v = [(2t )2+ 4] 2 = 2(t 2+ 1)2t t 2 + 1, V a = a - a = m + M m + Mvg gvv v 5、 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r = t 2i + 2tj ,式中 r 的单位为 m , 的单位为 s .求:(1)任一时刻的速度和加速度;(2)任一时刻的切向加速度和法向加速度。
大学物理习题答案第一章

[习题解答]1-3 如题1-3图所示,汽车从A地出发,向北行驶60km到达B地,然后向东行驶60km到达C 地,最后向东北行驶50km到达D地。
求汽车行驶的总路程和总位移。
解汽车行驶的总路程为;汽车的总位移的大小为r =位移的方向沿东北方向,与方向一致。
1-4 现有一矢量R是时间t的函数,问与在一般情况下是否相等?为什么?解与在一般情况下是不相等的。
因为前者是对矢量R的绝对值(大小或长度)求导,表示矢量R的大小随时间的变化率;而后者是对矢量R的大小和方向两者同时求导,再取绝对值,表示矢量R 大小随时间的变化和矢量R方向随时间的变化两部分的绝对值。
如果矢量R方向不变只是大小变化,那么这两个表示式是相等的。
1-5 一质点沿直线L运动,其位置与时间的关系为r = 6t 2 2t 3 ,r和t的单位分别是m 和s。
求:(1)第二秒内的平均速度;(2)第三秒末和第四秒末的速度;(3)第三秒末和第四秒末的加速度。
解取直线L的正方向为x轴,以下所求得的速度和加速度,若为正值,表示该速度或加速度沿x轴的正方向,若为负值表示,该速度或加速度沿x轴的反方向。
(1)第二秒内的平均速度(2)第三秒末的速度因为,将t = 3 s 代入,就求得第三秒末的速度,为v3 = 18 m s1;用同样的方法可以求得第四秒末的速度,为v4 = 48 m s1;(3)第三秒末的加速度因为,将t = 3 s 代入,就求得第三秒末的加速度,为a3 = 24 m s2;用同样的方法可以求得第四秒末的加速度,为v4 = 36 m s2 .1-6 一质点作直线运动,速度和加速度的大小分别为和,试证明:(1) v d v = a d s;(2)当a为常量时,式v 2 = v02 + 2a (s s0 )成立。
解(1);(2)对上式积分,等号左边为,,于是得,即.1-7 质点沿直线运动,在经过时间t后它离该直线上某定点O的距离s满足关系式:s= (t1)2 (t2),s和t的单位分别是m和s。
大学物理第一章习题参考答案

θ
+
v = vmax / 2
(B) (D)
v = 3v max / 2
v0 r A
O
v = 2v max / 2 v = v max / 2
o
t=0
解:如图画出已知所对应矢量 A,可知 A 与 x 轴正向的夹角 为 θ = 60 ,则根据简谐运动与旋转矢量的对应关系可得
7.5 x(cm)
v = ωA sin θ = 3v max / 2
4. 一弹簧振子作简谐振动,总能量为 E1 ,如果简谐振动振幅增加为原来的两倍,重物的 质量增加为原来的四倍,则它的总能量 E 变为 [ D ] (A) E1 /4 (B) E1 /2 解:原来的弹簧振子的总能量 E1 = (C) 2 E1 (D) 4 E1
1 1 2 2 2 kA1 = m1ω1 A1 ,振动增加为 A2 = 2 A1 ,质量增 2 2
1 π 3
。
解: 由矢量图可知,x1 和 x2 反相,合成振动的振幅
A = A1 − A2 = 0.05 − 0.03 = 0.02(m) ,初相 ϕ = ϕ1 =
四、计算题: 1.一定滑轮的半径为 R,转动惯量为 J,其上挂一轻绳,绳的一端 系一质量为 m 的物体,另一端与一固定的轻弹簧相连,如图所示。 设弹簧的倔强系数为 k, 绳与滑轮间无滑动,且忽略摩擦力及空气的 阻力。现将物体 m 从平衡位置拉下一微小距离后放手,证明物体作 简谐振动,并求出其角频率。 解:取如图 x 坐标,平衡位置为坐标原点,向下为正方向。 m 在平衡位置,弹簧伸长 x0, 则有 mg = kx0 ……………………(1) 现将 m 从平衡位置向下拉一微小距离 x, m 和滑轮 M 受力如图所示。 由牛顿定律和转动定律列方程, mg − T1 = ma ………………… (2)
大学物理课后习题答案(高教版 共三册)

由 得则
7、在xy平面内有一运动质点,其运动学方程为:(SI) 则t时刻其速度为多少?其切向加速度的大小为多少?该质点运动的轨 迹是什么? 解:(1)
(2)速率: (3)两式平方后相加,, 轨迹为一半径为10m的圆。
8、一条河在某一段直线岸边有A、B两个码头,相距 1km ,甲、乙两人 需要从码头A到码头B,再立即由B返回。甲划船前去,船相对河水的速 度 4km/h,而乙沿岸步行,步行速度也为 4km/h ,如河水流速为 2km/h ,方向从A到B,试推算甲比乙晚多少分钟回到码头A? 解:由A到B船对地的速度大小:
2、质点在一直线上运动,其坐标与时间有如下关系: (SI) (A 为常 数),则在任意时刻 t 质点的加速度为多少?什么时刻质点的速度为零? 解:(1)
(SI) (2)令
有 得 (SBiblioteka ) (K=0,1,2……)3、一质点沿X 方向运动,其加速度随时间变化关系为:a=3+2t (SI), 如果初始时质点的速度 为 5m/s ,则当 t 为 3s 时,质点的速度为多少? 解:由
由B到A船对地的速度大小: 甲由A到B再回到A所需时间: 乙由A到B再回到A所需时间:
所以甲比乙晚十分钟回到码头A 。
9、轮船在水上以相对于水的速度航行,水流速度为,人相对于甲板以 速度行走。如人相对于岸静止,则、和的关系是怎样的? 解:
即 的关系为:
第一章 运动学
1、质点的运动方程为 (SI),则在t 由 0 至 4s 的时间间隔内,质点的位 移大小为多少?在 t 由0 到 4s 的时间间隔内质点走过的路程为多少? 解:本题质点在x方向作直线运动
(1) t1=0时,=0 t2=4(s) 时, =(m) ∴位移大小(m) (2 ) 令 得t=3 (s ) 即t=3 (s )时,质点拐弯沿x轴负向运动,则0~4(s)内质点走过 的路程:
大学物理第一章课后习题答案

第一章质点运动学1.1一质点沿y 方向运动,它在任意时刻t 的位置由式1052+=t y 给出,式中t 以s 计,y 以m 计算下列各段时间内质点的平均速度大小:(1)2s 到3s (2)2s 到2.1s (3)2s 到2.001s (4)2s 到2.0001s 解:(1)令质点的始末时刻为s t 21=,s t 32=,则质点的平均速度大小为:{}sm sm t t y y /25)23(]10)2(5[10)3(5221212=−+−+=−−=υ(2)令质点的始末时刻为s t 21=,s t 1.22=,则质点的平均速度大小为:{}sm sm t t y y /5.20)21.2(]10)2(5[10)1.2(5221211=−+−+=−−=υ(3)令质点的始末时刻为s t 21=,s t 001.22=,则质点的平均速度大小为:{}sm smt t y y /005.20)2001.2(]10)2(5[10)001.2(5221212=−+−+=−−=υ(4)令质点的始末时刻为s t 21=,s t 0001.22=,则质点的平均速度大小为:sm smt t y y /0005.20)20001.2(]10)2(510)0001.2(5[221212=−−−+=−−=υ1.2一质点沿Ox 轴运动,其运动方程为2653t t x +−=;式中t 以s 计,x 以m 计,试求:(1)质点的初始位置和初始速度;(2)质点在任一时刻的速度和加速度;(3)质点做什么运动;(4)做出t x −图和t −υ图;(5)质点做匀加速直线运动吗?解:(1)设质点初始时刻00=t ,则质点的初始位置为:mm x 3]06053[20=×+×−=即质点的初始位置在Ox 轴正方向3m 处。
因为质点的速度为:tdt dx125+−==υ所以质点的初始速度为:220/5/)0125(s m s m dt dxt −=×+−===υ质点的初始速度大小为2/5s m ,方向沿Ox 轴负方向。
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习题1
1.1选择题
(1)一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r
的端点处,其速度大小为
(
)(A)
dt
dr (B)
dt
r d (C)
dt
r d || (D)
22)()(
dt
dy dt dx +答案:(D)。
(2)一质点作直线运动,某时刻的瞬时速度s m v /2=,瞬时加速度
2
/2s m a -=,则一秒钟后质点的速度
(
)
(A)等于零(B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。
答案:(D)。
(3)一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动,每t 秒转一圈,在2t 时间间隔中,其平均速度大小和平均速率大小分别为()
(A)t R t R ππ2,2(B)t
R
π2,0(C)0,0(D)0,2t
R
π答案:(B)。
(4)质点作曲线运动,r
表示位置矢量,v 表示速度,a 表示加速度,S 表示
路程,τa 表示切向加速度,下列表达式中,
(
)
①a t = d /d v ,②v =t r d /d ,
③v =t S d /d ,
④τa t =d /d v
.
(A)只有①、④是对的.(B)只有②、④是对的.(C)只有②是对的.(D)只有③是对的.答案:(D)。
(5)一质点在平面上作一般曲线运动,其瞬时速度为v
,瞬时速率为υ,某一
时间内的平均速度为v
,平均速率为v ,它们之间的关系必定有:
(
)(A)v
v v,v == (B)v v v,v =≠ (C)v
v v,v ≠≠ (D)v
v v,v ≠= 答案:(D)。
1.2填空题
(1)一质点,以1-⋅s m π的匀速率作半径为5m 的圆周运动,则该质点在5s 内,位移的大小是
;经过的路程是。
答案:10m;5πm。
(2)一质点沿x 方向运动,其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI),如果初
始时刻质点的速度v 0为5m ·s -1
,则当t 为3s 时,质点的速度v=。
答案:23m·s -1
.
(3)一质点从静止出发沿半径R=1m 的圆周运动,其角加速度随时间t 的变化规律是α=12t 2-6t (SI),则质点的角速度ω=__________________;切向加速度τa =_________________.
答案:4t 3-3t 2
(rad/s),
12t 2
-6t (m/s 2
)
(4)一质点作直线运动,其坐标x 与时间t 的关系曲线如题1.2(4)图所示.则该质点在第___秒瞬时速度为零;在第秒至第秒间速度与加速度同方向.
题1.2(4)图
答案:3,
36;
(5)一质点其速率表示式为v s =+12
,则在任一位置处其切向加速度a τ为。
答案:)
1(22
s s +1.3
下面几个质点运动学方程,哪个是匀变速直线运动?
(1)x=4t-3;(2)x=-4t 3+3t 2+6;(3)x=-2t 2+8t+4;(4)x=2/t 2
-4/t。
给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度,并说明该时刻运动是加速的还是减速的。
(x 单位为m,t 单位为s)
解:匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。
加速度又是位移对时间的两阶导数。
于是可得(3)为匀变速直线运动。
其速度和加速度表达式分别为
22484
dx
v t dt d x a dt
=
=+==t=3s 时的速度和加速度分别为v =20m/s,a =4m/s 2。
因加速度为正所以是加速的。
1.4在以下几种运动中,质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零?哪些不为零?
(1)匀速直线运动;(2)匀速曲线运动;(3)变速直线运动;(4)变速曲线运动。
解:(1)质点作匀速直线运动时,其切向加速度、法向加速度及加速度均为零;(2)质点作匀速曲线运动时,其切向加速度为零,法向加速度和加速度均不为零;(3)质点作变速直线运动时,其法向加速度为零,切向加速度和加速度均不为零;(4)质点作变速曲线运动时,其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。
1.5一质点沿x 轴作直线运动,t 时刻的坐标为x =4.5t 2–2t 3(SI).试求:
(1)第2秒内的平均速度;(2)第2秒末的瞬时速度;(3)第2秒内的路程.解:(1)
5.0/-==∆∆t x v m/s
(2)
v =d x /d t =9t -6t 2
v (2)=-6m/s
(3)由v =9t -6t 2
可得:当t<1.5s 时,v>0;当t>1.5s 时,v<0.
所以S =|x (1.5)-x (1)|+|x (2)-x (1.5)|=2.25m
1.6两辆车A 和B,在笔直的公路上同向行使,它们在同一起始线上同时出发,
并且由出发点开始计时,行使的距离x(m)与行使的时间t(s)的函数关系式:A 为x A =4t+t 2
,B 为x B =2t 2
+2t 3
,则它们刚离开出发点时,行使在前面的一辆车是
哪辆车?并分别求出出发后两辆车行使距离相同的时刻和出发后B 车相对A 车速度为零的时刻?
解:(1)因为v A =dx A /dt=4+2t,v B =dx B /dt=4t+6t 2,即A 车的初速不为零,所以A 车在前。
(2)令x A =x B,即4t+t 2=2t 2+2t 3整理,得
2t 2+t-4=0解此方程,得t=1.19s
(3)B 车相对A 车速度为零的时刻,即v A =v B,4+2t=4t+6t 2整理,得3t 2+t-2=0解此方程,得t=0.67s
1.7质点P 在水平面内沿一半径为R =2m 的圆轨道转动.转动的角速度与时间t 的函数关系为2kt =ω(k 为常量).已知s t 2=时,质点P 的速度值为32m/s.试求1=t s 时,质点P 的速度与加速度的大小.解:根据已知条件确定常量k
()
2
22/rad 4//s Rt t k ===v ω24t =ω,
2
4Rt R ==ωv t=1s 时,
v =4Rt 2=8m/s
2s /168/m Rt dt d a ===v τ2
2s /32/m R a n ==v ()
8.352
/12
2=+=n
a a a τm/s
2
1.8一石头从空中由静止下落,由于空气阻力,石头并非作自由落体运动。
现已知加速度a=A-Bv,式中A、B 为常量。
试求石头的速度随时间的变化关系。
解:根据加速度
Bv A t v a -==d d 可得
dt Bv
A v
=-d 由初始条件,两边定积分dt
Bv A v
t v ⎰⎰=-00d 可得
)1(A
Bt e B v --=1.9质点沿x 轴运动,其加速度和位置的关系为a =2+62x ,a 的单位为2s m -⋅,
x 的单位为m.质点在x =0处,速度为101s m -⋅,试求质点在任何坐标处的速度
值.解:
∵
x v v t x x v t v a d d d d d d d d ===
分离变量:2d (26)d v v adx x x ==+两边积分得
c x x v ++=32
222
1由题知,0=x 时,100=v ,∴50=c ∴
1
3s m 252-⋅++=x x v 1.10已知一质点作直线运动,其加速度为a =4+3t 2s m -⋅,开始运动时,x =5m,v =0,求该质点在t =10s 时的速度和位置.
解:∵
t t v a 34d d +==分离变量,得t t v d )34(d +=积分,得
1
22
3
4c t t v ++=由题知,0=t ,00=v ,∴01=c 故2
2
3
4t t v +=又因为2
234d d t t t x v +==分离变量,t
t t x d )2
3
4(d 2+=积分得
2
3221
2c t t x ++=由题知0=t ,50=x ,∴52=c 故
5
2
1
232++=t t x 所以s 10=t 时
m
7055102
1
102s m 1901023
10432101210=+⨯+⨯=⋅=⨯+
⨯=-x v
1.11一质点沿半径为1m的圆周运动,运动方程为θ=2+33t,式中θ以弧度计,t以秒计,求:(1)t=2s时,质点的切向和法向加速度;(2)当加速度的
上法,得
5012=v 1
h km -⋅方向南偏东o 87.36.。