高二数学函数的单调性与导数测试题

选修2-21.3.1函数的单调性与导数

一、选择题

1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()

A．b2－4ac>0B．b>0，c>0

C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0

[答案] D

[解析]∵a>0，f(x)为增函数，

∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，

∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.

2．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是() A．(－∞，2) B．(0,3)

C．(1,4) D．(2，＋∞)

[答案] D

[解析]考查导数的简单应用．

f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，

令f′(x)>0，解得x>2，故选D.

3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()

A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]

C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞)

[答案] B

[解析]令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．

4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)

的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )

[答案] C

[解析] 当0

∴f ′(x )<0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数

当x >1时xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A 、B 、D 故选C.

5．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π20和⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π

[答案] A

[解析] y ′＝x cos x ，当－π

时， cos x <0，∴y ′＝x cos x >0，

当0

时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0. 6．下列命题成立的是( )

A ．若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )>0

B ．若在(a ，b )内对任何x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )上是增函数

C ．若f (x )在(a ，b )内是单调函数，则f ′(x )必存在

D ．若f ′(x )在(a ，b )上都存在，则f (x )必为单调函数

[答案] B

[解析] 若f (x )在(a ，b )内是增函数，则f ′(x )≥0，故A 错；f (x )在(a ，b )内是单调函数与f ′(x )是否存在无必然联系，故C 错；f (x )＝2在(a ，b )上的导数为f ′(x )＝0存在，但f (x )无单调性，故D 错．

7．(2007·福建理，11)已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )

A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0

B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0

C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0

D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0

[答案] B

[解析] f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0.

8．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a

A ．af (a )≤f (b )

B ．bf (b )≤f (a )

C ．af (b )≤bf (a )

D ．bf (a )≤af (b )

[答案] C [解析] ∵xf ′(x )＋f (x )≤0，且x >0，f (x )≥0，

∴f ′(x )≤－f (x )x

，即f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 又0＜a ＜b ，∴af (b )≤bf (a )．

9．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )

A ．f (0)＋f (2)<2f (1)

B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)

C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)

D ．f (0)＋f (2)>2f (1)

[答案] C

[解析] 由(x －1)f ′(x )≥0得f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f (x )恒为常数，

故f (0)＋f (2)≥2f (1)．故应选C.

10．(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图像大致为

( )

[答案] A

[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.