平面向量表示的夹角

rr
设r3a.重r、要b都结是论非: 零向量,则
a b
rr a •(2a) r
_____arar__2•__br__(_1_)0__|__ar_. |_2_
.
| ar |r____a__•_ar___r.
|(a3)•b | ___≤_ | a || b | .
我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应 的坐标来运算,那么怎样用
一.复习引入新课:
r 1.r平面向量r数量r 积的含义:
a •b ___|_a__||_b_|_c_o_s_θ____ .
r r2.平r面r向量数量积的运算率.
(1)a •rb br • a...r......r...交r换率 r (2)(r a)r•b r (ra •rb ) r a •r (b )......"结合率" (3)(a b ) • c a • c b • c ............分配率
(1) 2；（2）17；（3）－3.
例题讲解
例1已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断 △ABC的形状,并给出证明.
AB 2 1,3 2 1,1
向量的数量 积是否为零,
AC 2 1,3 2 1,1 是判断相应 的两条线段
AB• AC 1313 0 或直线是否 垂直的重要
a和b的坐标表示 a b呢？
在直角坐标系中，已知两个非零向量a = （x1，y1），
b = （x2，y2）， 如何用a 与b的坐标表示a b
单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
① i i __1___ ②i j ___0___ j i 0 ③ j j _____1_ ④
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1, y1 , x2, y2 , 那么 a x1 x2 2 y1 y2 2 . 即平面内两点间的距离公式．
例 1:已a知 ＝(1,√3b)， ＝(– 2,2√3 ), 求a| |,b| |
a
√ ＝ 12＋(√3 )2＝2,
|ab|
√ b ＝ (– 2)2＋(2√3 )2 ＝4,
证明:AB (2 1,3 2) (1,1)
y
AC (2 1,5 2) (3,3) C(-2,5)
AB AC 1 (3) 1 3 0
B(2,3)
AB AC
三角形ABC 是直角三角形.
A(1,2)
x 0
例3、在ABC中，设AB=(2,3),AC=(1,k),
且ABC是直角三角形，求k的值.
终点坐标为b(
且b 起点坐标为( x, （3_x_),1_45则_，15_）_
1,
2)
例 2：已知a＝(5, 0)，b＝(–3.2, 2.4), 求证：(a＋b)⊥b .
证明： ∴
∵(a＋b)·b＝a·b＋b2 ＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42
＝0 (a＋b)⊥b
尝试：已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a·b； (2) (a＋2b)·(a－b)； (3) |a|2－4a·b.
_____Y
B(x2，y2)
∵a = x1 i + y1 j ，b = x2 i + y2 j
b
a b x1i y1 jx2i y2 j
j
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j2 O i
x1x2 y1 y2
A（x1,y1）
a
X
1、平面向量数量积的坐标表示
AB AC
方法之一
∴ △ABC是直角三角形
例1 .已知a (1, x),b （-3，1） (1)当x为何值时，2a＋b与a 2b平行？ (2)当x为何值时，2a＋b与a 2b垂直？
（1） 1 3
（2） 3或 3 2
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
a b (3, 3)
| a b | 32 ( 3)2 12 2 3
3、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b的夹角为（0 180），
则 cos a b
ab
设a （x1, y1), b (x2 , y2 ),且a与b夹角为，
(0 180 )则cos
x1x2 y1 y2
.
x12 y12 x22 y22
2、向量的模和两点间的距离公式
2
(1)a a a 或 a a a；
(1)向量的模
2
设a (x, y), 则 a x2 y2 ,或 a x2 y2；
（2）两点间的距离公式
设A（x1, y1)、B(x2 , y2 ),
则
AB （x1 x2 )2 （y1 y2 )2
(1).设a x, y ,则 a x2 y2 用于计算向量的模
在坐标平面xoy内，已知 a ＝(x1，y1)，b ＝ (x2，y2)，则
a b x1x2 y1y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
例 1:已知a ＝(1,√3b)， ＝(– 2,2√3 ),求a ·b
解aa：ab((1·b,2)＝c,b)1× (((–_3练21_,)3习＋_,1则_：)√2,6c)3×(2√3,34＝), 4;
其中 x12 y12 0，x22 y22 0.
向量夹角公式的坐标式：
a ＝(x1，y1b)， ＝ (x2，y2)，则
cos
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
例 1:已知a＝(1，√3 )，b＝(– 2，2√3 ),
求a与b的夹角θ.
cosθ ＝
a·b ＝ 4 a b 2×4
解：当A = 90时，ABAC=0, ∴2×1+3×k=0
∴k =
2 3
当B = 90时， AB BC= 0，
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k = 11
3
当C = 90时， AC BC = 0，
∴1 + k(k3) = 0 ∴k = 3 13 2
综上所述 k 3 或 11 或 3 13
＝1 2
,
∴ θ ＝60º
4、两向量垂直的坐标表示
垂直 a b a b 0
设a （x1, y1), b ( x2 , y2 ), 则 a b x1x2 y1 y2 0
a b与 垂直：a ＝(x1，y1b)， ＝ (x2，y2)，则
a
b
ab
0
x1x2
y1 y2
0
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练习：a
(3,4), b a,