用函数单调性定义证明

用函数单调性定义证明

例1、用函数单调性定义证明:

(1)为常数)在上是增函数.

(2)在上是减函数.

分析：虽然两个函数均为含有字母系数的函数，但字母对于函数的单调性并没有影响，故无须讨论.

证明: (1)设是上的任意两个实数，且，

则

=

由得，由得， .

，，即 .

于是即 .

在上是增函数.

(2) 设是上的任意两个实数，且，

则

由得，由得

.又

， .

于是

即

.

在 上是减函数.

小结：由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关，与常数 无关.若函数解析式是分式，通常变形时需要通分，将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号.

根据单调性确定参数

例1、函数

在

上是减函数，求 的取值集合.

分析：首先需要对 前面的系数进行分类讨论，确定函数的类型，再做进一步研究. 解：当 时，函数此时为

，是常数函数，在

上不

具备增减性. 当

时， 为一次函数，若在 上是减函数，则有

，解得

.故所求 的取值集合为

.

小结：此题虽比较简单，但渗透了对分类讨论的认识与使用.

例1、 设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a ，求a 的取值范围，使函数)(x f 在

区间[]+∞,0上是单调函数．

分析：由于函数的单调性不易直接判断，而且含有字母系数，求解过程中需要讨论字母的范围，因此可以从单调性定义出发，从定义求解释一种基本的方法，不可忽视．

解：

在[]+∞,0上任取1x ，2x ，使得21x x <

)()(21x f x f -

)(11212

221x x a x x --+-+=

)(1

12122

212

2

21x x a x x x x --+++-=

)1

1)(

(22

21

2121a x x x x x x -++++-=

（Ⅰ）当1≥a 时，因为11

122

21

21<++++x x x x ，

01

122

21

21<-++++a x x x x ，又

021<-x x ，

所以0)()(21>-x f x f ，即)()(21x f x f >

所以当1≥a 时，函数)(x f 在区间[]+∞,0上是单调递减函数 （Ⅱ）当10<

212a

a

x -=

，满足1)(1=x f ，1)(2=x f ，即)()(21x f x f =，所以函数)(x f 在区间[]+∞,0上不是单调函数．

综上，当且仅当1≥a 时，函数)(x f 在区间[]+∞,0上是单调递减函数． 当10<

小结：求解函数的单调性常用方法是将函数通过换元转化为熟悉函数，利用函数的性质求解，对于不熟悉的函数通常通过单调性的定义研究，还可以通过图象观察．