(完整)高数下练习题
高数下册试题及答案
高数下册试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3D. 3x^2 - 3x答案：A2. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 若函数f(x) = e^x，则f'(x)等于：A. e^xB. e^(-x)C. x * e^xD. 1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知曲线y = x^2 + 2x + 1，求该曲线在x = 1处的切线斜率。
答案：42. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。
答案：1/x3. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
答案：1/34. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15，求f'(x)。
答案：3x^2 - 12x + 9三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值。
答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 11/3。
计算f''(x) = 6x - 12，可以判断x = 1处为极大值点，x = 11/3处为极小值点。
极大值为f(1) = 0，极小值为f(11/3) = -2/27。
2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2 - 2x + 1) dx。
答案：首先求原函数F(x) = x^3 - x^2 + x。
大学高数下册试题及答案
大学高数下册试题及答案《高等数学》测试题一一、选择题1．设有直线及平面，则直线A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交. 2．二元函数在点处A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝A．； B．；C．D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝A．7；B．；C．；D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式A．；B．；C．；D．. 二、填空题1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则0 ；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数； 5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 . 三、设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解：方程两边取全微分，则解出从而四、已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：，从而五、计算累次积分）. 解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解：先二后一比较方便，七．计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解：由对称性从而八、计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、设二阶连续可导函数，适合，求．解：由已知即十一、求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。
令，则由推出，的坐标为附加题：1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2．求幂级数的收敛区间及和函数. 解：从而收敛区间为，3．将展成以为周期的傅立叶级数. 解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。
大学高等数学下考试题库(附答案)
大学高等数学下考试题库(附答案)一、填空题（每题2分，共20分）1. 设函数f(x)在区间I上单调递增，若a < b，则必有__________。
【答案】f(a) < f(b)2. 函数y = e^x在区间（-∞，+∞）上的最小值为__________。
【答案】03. 设函数f(x) = x^3 - 6x + 9，则f'(x) =__________。
【答案】3x^2 - 64. 设矩阵A = [a_{ij}]，则矩阵A的行列式det(A) = __________。
【答案】a_{11}a_{22}...a_{nn} -a_{11}a_{23}...a_{n2} + a_{12}a_{21}...a_{n3} - ... + (-1)^(n+1)a_{1n}a_{21}...a_{n1}5. 向量组α = (α1, α2, α3)和β = (β1, β2, β3)垂直的条件是__________。
【答案】α1β1 + α2β2 + α3β3 = 06. 设线性方程组Ax = b的解集为N，则N是__________。
【答案】向量空间7. 若函数f(x)在区间（a，b）上连续，且f(a) = f(b)，则函数f(x)在区间（a，b）上必有零点，此结论称为__________。
【答案】零点定理8. 设函数f(x)在区间I上单调递减，若a < b，则必有__________。
【答案】f(a) > f(b)9. 设函数f(x) = ln(x)，则f''(x) =__________。
【答案】1/x10. 设矩阵A = [a_{ij}]，则矩阵A的逆矩阵A^-1 = __________。
【答案】(1/det(A))[c_{ij}]，其中c_{ij} = (-1)^(i+j)det(A)/a_{ii}a_{jj}二、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数在区间（0，1）上单调递增的是__________。
高数下试题及答案解析
高数下试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：函数f(x)=x^2-4x+3可以因式分解为f(x)=(x-1)(x-3)，因此有两个零点x=1和x=3。
2. 极限lim(x→0) (1+x)^(1/x)等于（）。
A. 0B. 1C. eD. -e答案：C解析：根据极限的定义，lim(x→0) (1+x)^(1/x)等于自然对数的底数e。
3. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的导数为（）。
A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C解析：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，然后将x=1代入得到f'(1)=3(1)^2-6(1)=-3，因此答案为C。
4. 曲线y=x^2+2x-3在点(1,0)处的切线斜率为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：首先求导数y'=2x+2，然后将x=1代入得到y'(1)=2(1)+2=4，因此答案为D。
5. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为（）。
A. πB. 2πC. π/2D. 1答案：B解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可以化简为f(x)=√2sin(x+π/4)，因此周期为2π。
6. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调增区间为（）。
A. (-∞, 1)∪(3, +∞)B. (1, 3)C. (-∞, 1)∪(3, +∞)D. (1, +∞)答案：B解析：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)>0，解得x<1或x>3，因此单调增区间为(1, 3)。
7. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为（）。
A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：B解析：首先求导数f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2，因此极值点为x=2。
高数下试题及答案
高数下试题及答案一、选择题1. 道函数f(x)在x=2处连续，则f(x)满足的条件是（）A. f(2)=1B. f(2)=2C. f(2^+)=f(2^-)D. f(2^+)>f(2^-)2. 设函数f(x)=log₁₀x，则f(1000)等于（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 设函数f(x)=e^(-x), g(x)=x^2，则f(x)在[0,∞)上单调递（）。
A. 递增B. 递减C. 既增又减D. 既减又增4. H(x)为曲线y=x/(x+1)在点P(x,y)处的切线，若x的取值范围为(-∞,-1)，则k为正数满足H'(x)≤k，则k的取值范围是（）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5. 设f(x)为定义域为[x₁,x₂]的函数，若f'(x)>0，则函数f(x)在( )上单调递增。
A. (x₁,x₂)B. [x₁,x₂]C. (x₁,∞)D. (-∞,x₂)二、计算题1. 求一个点P(x,y)，使得点P到直线y=3x+7的距离最小，并求出最小距离。
2. 计算∫(x³+1)/x² dx3. 已知函数f(x)=e^x，求f'(x)4. 求函数f(x)=sin(3x)的不定积分5. 设函数y=f(x)满足方程y''+2y'+y=sin(x)，且满足初值条件y(0)=0，y'(0)=1，求f(x)的表达式。
三、解答题1. 证明函数f(x)=1/x 在区间(0,∞)上是严格递减的。
2. 求不定积分∫sin^2(x) dx3. 已知函数y=f(x)满足微分方程y''-4y'+4y=0，且满足初值条件y(0)=1，y'(0)=2，求f(x)的表达式。
4. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明至少存在一个点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)+f(ξ)=0。
高等数学下册试题(题库)及参考答案
高等数学下册试题库一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9…解 AB ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，|AB |=5)1(20222=-++.2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .—4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ）A ）2πB ）4π C ）3π D ）π 解 由公式（6-21）有21112)1(211)1(1221cos 2222222121=++⋅-++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=n n n n α，因此，所求夹角321arccos πα==．5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 【解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有⎩⎨⎧=+-=+020D B A D A解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程01=-+y x6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。
高等数学下册试题及答案解析
高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20013cos sin dr r d d 。
《高等数学(下)》试题及参考答案
《高等数学（下）》习题答案一、单选题1、向量、垂直，则条件：向量、的数量积是（B）A充分非必要条件B充分且必要条件C必要非充分条件D既非充分又非必要条件2、当x→0时，y=ln(1+x)与下列那个函数不是等价的（C）Ay=x By=sinx Cy=1-cosx Dy=e^x-13、如果在有界闭区域上连续，则在该域上（C）A只能取得一个最大值B只能取得一个最小值C至少存在一个最大值和最小值D至多存在一个最大值和一个最小值4、函数f(x)在点x0极限存在是函数在该点连续的（A）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件5、向量与向量平行，则条件：其向量积是（B）A充分非必要条件B充分且必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件6、当x→0时,下列变量中（D）为无穷小量Aln∣x∣ Bsin1/x Ccotx De^(-1/x^2)7、为正项级数，设，则当时，级数（C）A发散 B收敛 C不定 D绝对收敛8、设f(x)=2^x-1，则当x→0时,f(x)是x的（D）。
A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无穷9、已知向量，，，求向量在轴上的投影及在轴上的分量（A）A27，51 B25，27 C25，51 D27，2510、函数f(x)在点x0极限存在是函数在该点连续的（A）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件11、下面哪个是二次曲面中椭圆柱面的表达式（D）A B C D12、曲线y=x/(x+2)的渐进线为(D)Ax=-2 By=1 Cx=0 Dx=-2,y=113、向量、的夹角是，则向量、的数量积是（A）A BC D14、当x→0时,函数(x²-1)/(x-1)的极限 (D)A等于2 B等于0 C为∞ D不存在但不为∞15、平面上的一个方向向量，平面上的一个方向向量，若与垂直，则（C）A BC D16、设φ(x)=(1-x)/(1+x)，ψ(x)=1-³√x则当x→0时（D）Aφ与ψ为等价无穷小 Bφ是比ψ为较高阶的无穷小Cφ是比ψ为较低阶的无穷小 Dφ与ψ是同价无穷小17、在面上求一个垂直于向量，且与等长的向量（D）A B C D18、当x→0时，1/（ax²+bx+c）～1/(x+1)，则a,b,c一定为（B）Aa=b=c=1 Ba=0,b=1,c为任意常数 Ca=0,b,c为任意常数 Da,b,c为任意常数19、对于复合函数有，，则（B）A B C D20、y=1/(a^2+x^2)在区间[-a,a]上应用罗尔定理, 结论中的点ξ=(B).A0 B2 C3/2 D321、设是矩形：，则（A）A B C D22、对于函数的每一个驻点，令，，，若，，则函数（A）A有极大值 B有极小值 C没有极值 D不定23、若无穷级数收敛，且收敛，则称称无穷级数（D）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛24、交错级数，满足，且，则级数（B）A发散 B收敛 C不定 D绝对收敛25、若无穷级数收敛，而发散，则称称无穷级数（C）A发散B收敛 C条件收敛 D绝对收敛26、微分方程的通解是（B）A B C D27、改变常数项无穷级数中的有限项，级数的敛散性将会（B）A受到影响 B不受影响 C变为收敛 D变为发散28、设直线与平面平行，则等于（A）A2 B6 C8 D1029、曲线的方向角、与，则函数关于的方向导数（D）A BC D30、常数项级数收敛，则（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛31、为正项级数，若存在正整数，当时，，而收敛，则（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛32、下面哪个是二次曲面中椭圆抛物面的表达式（A）A B C D33、已知向量垂直于向量和，且满足于，求（B）A B C D34、平面上的一个方向向量，直线上的一个方向向量，若与垂直，则（B）A B C D35、下面哪个是二次曲面中双曲柱面的表达式（C）A B C D36、若为无穷级数的次部分和，且存在，则称（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛37、已知向量两两相互垂直，且求（C）A1 B2 C4 D838、曲线y=e^x-e^(-x)的凹区间是(B)A(-∞,0) B(0,+∞) C(-∞,1) D(-∞,+∞)39、下面哪个是二次曲面中双曲抛物面的表达式（B）A B C D40、向量与轴与轴构成等角，与轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是的方向（C）A BC D41、下面哪个是二次曲面中单叶双曲面的表达式（A）A BC D42、函数y=3x^2-x^3在区间[1,3]上的最大值为（A）A4 B0 C1 D343、曲线y=lnx在点（A）处的切线平行于直线y=2x-3A(1/2,-1n2) B(1/2,-ln1/2) C(2,ln2) D(2,-ln2)44、若f(x)在x=x0处可导，则∣f(x)∣在x=x0处（C）A可导 B不可导 C连续但未必可导 D不连续45、y=√x-1 在区间[1, 4]上应用拉格朗日定理, 结论中的点ξ=(C).A0 B2 C44078 D346、arcsinx+arccos=(D)A∏ B2∏ C∏/4 D∏/247、函数y=ln(1+x^2)在区间[-1,2]上的最大值为（D）A4 B0 C1 Dln548、函数y=x+√x在区间[0,4]上的最小值为（B）A4 B0 C1 D349、当x→1时，函数(x²-1)/(x-1)*e^[(1/x-1)]的极限 (D)A等于2 B等于0 C为∞ D不存在但不为∞50、函数y=3x^2-x^3在区间[1,3]上的最大值为（A）A4 B0 C1 D3二、判断题1、由及所确定的立体的体积（对）2、y=∣x∣在x=0处不可导（对）3、设，，，且，则（错）4、对于函数f(x)，若f′(x0)=0，则x0是极值点（错）5、二元函数的极小值点是（对）6、若函数f(x)在x0处极限存在，则f(x)在x0处连续（错）7、设是由轴、轴及直线所围城的区域，则的面积为（错）8、函数f(x)在[a,b]在内连续，且f(a)和f(b)异号，则f(x)=0在(a,b)内至少有一个实数根（对）9、若积分区域是，则（对）10、下列平面中过点（1,1,1）的平面是ｘ＝1（对）11、设，其中，，则（对）12、若函数f(x)在x0的左、右极限都存在但不相等，则x0为f(x)的第一类间断点（对）13、函数的定义域是（对）14、对于函数f(x)，若f′(x0)=0，则x0是极值点（错）15、二元函数的两个驻点是，（对）16、y=ln(1-x)/(1+x)是奇函数（对）17、设表示域：，则（错）18、若函数f(x)在x0处连续，则f(x)在x0处极限存在（对）19、设是曲线与所围成，则（对）20、有限个无穷小的和仍然是无穷小（对）21、设，则（错）22、函数在一点的导数就是在一点的微分（错）23、函数在间断（对）24、罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件（对）25、设不全为0的实数使，则三个向量共面（对）26、函数z=xsiny在点（1，∏/4）处的两个偏导数分别为1,1（错）27、微分方程的一个特解应具有的形式是（对）28、设圆心在原点，半径为R，面密度为a=x²+y²的薄板的质量为RA（面积A=∏R²）（错）29、函数的定义域是整个平面（对）30、1/(2+x)的麦克劳林级数是2（错）31、微分方程的通解为（错）32、等比数列的极限一定存在（错）33、设区域，则在极坐标系下（对）34、函数极限是数列极限的特殊情况（错）35、,,则（对）36、sin10^0的近似值为017365（对）37、二元函数的极大值点是（对）38、定义函数极限的前提是该函数需要在定义处的邻域内有意义（对）39、将在直角坐标下的三次积分化为在球坐标下的三次积分，则（对）40、微分是函数增量与自变量增量的比值的极限（错）41、方程x=cos在（0，∏/2）内至少有一实根（错）42、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为1,2（错）43、f〞(x)=0对应的点不一定是曲线的拐点（对）44、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的法平面方程为（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0（对）45、1/x的极限为0（错）46、y=e^(-x^2) 在区间(-∞,0)(1,∞)内分别是单调增加，单调增加（错）47、导数和微分没有任何联系，完全是两个不同的概念（错）48、有限个无穷小的和仍然是无穷小（对）49、求导数与求微分是一样的，所以两者可以相互转化（对）50、在空间直角坐标系中，方程x²+y²=2表示圆柱面（对）。
高等数学下考试题库(附答案)
高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。
高数下册考试卷和答案
高数下册考试卷和答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x答案：B2. 极限lim(x→0) [sin(x)/x]的值是多少？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个积分是发散的？A. ∫(0,1) 1/x dxB. ∫(0,1) x^2 dxC. ∫(0,1) e^x dxD. ∫(0,1) x dx答案：A4. 以下哪个是二阶导数？A. f'(x)B. f''(x)C. f'''(x)D. f(x)答案：B5. 以下哪个是多元函数的偏导数？A. ∂f/∂xB. f'(x)C. ∫f(x) dxD. ∇f答案：A6. 以下哪个是定积分的性质？A. ∫(a,b) f(x) dx = ∫(b,a) f(x) dxB. ∫(a,b) f(x) dx = ∫(a,c) f(x) dx + ∫(c,b) f(x) dxC. ∫(a,b) f(x) dx = ∫(a,b) f(-x) dxD. ∫(a,b) f(x) dx = ∫(a,b) f(a+b-x) dx答案：B7. 以下哪个是泰勒级数展开？A. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ...B. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/3! + ...C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/4! + ...D. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/5! + ...答案：A8. 以下哪个是柯西-施瓦茨不等式？A. (∑i=1^n a_i b_i)^2 ≤ (∑i=1^n a_i^2)(∑i=1^n b_i^2)B. (∑i=1^n a_i^2)(∑i=1^n b_i^2) ≤ (∑i=1^n a_i b_i)^2C. (∑i=1^n a_i b_i)^2 ≥ (∑i=1^n a_i^2)(∑i=1^n b_i^2)D. (∑i=1^n a_i^2)(∑i=1^n b_i^2) ≥ (∑i=1^n a_i b_i)^2答案：A9. 以下哪个是格林定理？A. ∮C (P dx + Q dy) = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dAB. ∮C (P dx + Q dy) = ∬D (∂P/∂x + ∂Q/∂y) dAC. ∮C (P dx + Q dy) = ∬D (∂Q/∂x + ∂P/∂y) dAD. ∮C (P dx + Q dy) = ∬D (∂P/∂x - ∂Q/∂y) dA答案：A10. 以下哪个是斯托克斯定理？A. ∮C (P dx + Q dy + R dz) = ∬S (∂R/∂y - ∂Q/∂z) dy dz + (∂P/∂z - ∂R/∂x) dz dx + (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dx dyB. ∮C (P dx + Q dy + R dz) = ∬S (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dy dz + (∂R/∂y - ∂Q/∂z) dz dx + (∂P/∂z - ∂R/∂x) dx dyC. ∮C (P dx + Q dy + R dz) = ∬S (∂R/∂x - ∂Q/∂z) dy dz + (∂P/∂z - ∂R/∂x) dz dx + (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dx dyD. ∮C (P dx + Q dy + R dz) = ∬S (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dy dz + (∂R/∂y - ∂Q/∂z) dz dx + (∂P/∂z - ∂R/∂x) dx dy答案：A二、填空题（每题3分，共30分）11. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是_________。
高数试题下
高数试题下(总18页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除高数试题一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.设直线1724:121x y z l -+-==-，26,:23,x y l y z -=⎧⎨+=⎩则l 1 与l 2 的夹角为[ ]. （A ）2π；（B ）3π；（C ）4π；（D ）6π. 2.函数 z = xe 2y在点P (1, 0)出沿从P (1, 0)到Q (2, 1)方向的方向导数为[ ]. 2233();();();().2222A B C D -- 3.函数2222221sin ,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0, 0)点[ ].(A ) 偏导数连续；(B ) 偏导数不存在； (C )偏导数存在但不可微； (D )可微但偏导数不连续。
4.积分11220xdx x y x dy -=⎰⎰[ ].1111()()()()341224A B C D 。
5.设是由x 2 + y 2 + z 2 = 1所围成的区域，则三重积分||z e dv Ω=⎰⎰⎰[ ].3()()()()2.22A B C D ππππ；；；二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y – 3z = 2都平行的直线方程是2.设2224,:3,x y z z ⎧++=⎪Γ⎨=⎪⎩则2x ds Γ=⎰3. 满足微分方程初值问题20d (1)d 1 xx y y ex y =⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 的解为y ＝ ．4.设z = ln(1 + x 2 + y 2), 则(1,2)dz =三、（9分）求微分方程4cos y y x x ''+=的通解．四、（9分）求函数f (x , y ) = xy 在闭区域x 2 + y 2 1上的最大值和最小值。
高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下）（一）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xex C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）. A.0 B.1 C.1- D.216.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （ ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB.1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn x n ∑∞=+01的收敛域为（ ）. A.[]1,1- B.[)1,1- C.(]1,1- D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x . 5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=. 《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k 3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ ） A 、,22,22 B 、,2222- C 、22-22- D 、22-,22 5、设x2+y2+z2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）A 、R2AB 、2R2AC 、3R2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L1：x=y=z 与直线L2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
高数下学期期末试题(含答案)3套
高等数学期末考试试卷1一、单项选择题（6×3分）1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( )A.0B.C.D.2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（）A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分又非必要条件3、设函数，则等于（）A. B.C． D.4、二次积分交换次序后为（）A. B.C. D.5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 C.不能确定其敛散性6、设是方程的一个解，若，则在处（）A.某邻域内单调减少B.取极小值C.某邻域内单调增加D.取极大值二、填空题（7×3分）1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝2、设，，那么3、D 为，时，4、设是球面，则＝5、函数展开为的幂级数为6、＝7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分)1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。
2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。
3、计算二重积分，其中4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。
25、求级数的和。
四、综合题(10分)曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。
五、证明题 (6分)设收敛，证明级数绝对收敛。
一、单项选择题（6×3分）1、 A2、 C3、 C4、 B5、 A6、 D二、填空题（7×3分）1、22、3、 4 、5、6、0 7、三、计算题(5×9分)1、解：令则，故2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为：3、解：＝＝＝4、解：令，则当，即在x 轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则＝＝＝5、解：令则，即令，则有＝四、综合题(10分)4解：设曲线上任一点为，则过的切线方程为：在轴上的截距为过的法线方程为：在轴上的截距为依题意有由的任意性，即，得到这是一阶齐次微分方程，变形为： (1)令则，代入（1）得：分离变量得：解得：即为所求的曲线方程。
高等数学下期末试题(七套附答案)
高等数学（下）试卷一一、 填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 （2）已知函数arctany z x =，则zx ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交（2）设是由方程xyz =(1,0,1)-处的dz =（ ）A.dx dy +B.dx ++D.dx （3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D. 22520d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数，则其收敛半径（ ）A. 2B. 1C. 12D.（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（ ）A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分）1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()yL xy x dx x e dy ++-⎰， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面z =与上半球面z =所围成的立体表面的外侧 (10)' 2、（1）判别级数111(1)3n n n n∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 ； （2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝ ；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则=⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ ）；A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D. 2xy z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（ ）；A.2()x ax b e +B.2()x ax b xe +C.2()x ax b ce ++D.2()xax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2222x y z a++=所围成的闭区域, 将dv Ω⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（ ）； A222sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（ ）.B. 1C. 12 D.三．计算题（每题8分，共48分）5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ .7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)xx Ley y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学（下）模拟试卷三一． 填空题（每空3分，共15分）1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃 （C ）无穷 （D ）振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。
高等数学下考试题库及答案
高等数学下考试题库及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x-4的零点个数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C2. 曲线y=e^x与y=ln x的交点个数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-3x+1的单调递增区间是（）。
A. (-∞, +∞)B. (-∞, 1)C. (1, +∞)D. (-∞, 1)∪(1, +∞)答案：C4. 函数f(x)=x^2-4x+3的极小值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1的拐点个数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点是_________。
答案：1和37. 函数f(x)=e^x-x-1的零点是_________。
答案：18. 函数f(x)=x^3-3x+1的极小值点是_________。
答案：19. 函数f(x)=x^2-4x+3的极大值是_________。
答案：010. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1的拐点坐标为_________。
答案：(0,1)和(2,5)三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算定积分∫₀¹(x^2+2x)dx。
解：∫₀¹(x^2+2x)dx = (1/3x^3+x^2)|₀¹ = 1/3+1 = 4/3。
12. 计算二重积分∬D(x^2+y^2)dσ，其中D是由x^2+y^2=1所围成的圆盘。
解：∬D(x^2+y^2)dσ = ∬(0,2π)∫(0,1)(r^2)rdrdθ = (1/3)π。
13. 计算曲线积分∮C(xy)dx+(yz)dy+(zx)dz，其中C为单位圆x^2+y^2=1在xy平面上的投影。
解：∮C(xy)dx+(yz)dy+(zx)dz = ∮(0,2π)(-1/2)sin^2θdθ = π/2。
高等数学下册试卷及答案
高等数学下册试卷及答案高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、z=loga(x+y)的定义域为D={(x,y)|x+y>0}。
2、二重积分∬|x|+|y|≤1 2ln(x+y)dxdy的符号为负。
3、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=1所围图形的面积用二重积分表示为∬(e+1-x)dx dy，其值为e-1.4、设曲线L的参数方程表示为{x=φ(t)。
y=ψ(t)} (α≤t≤β)，则弧长元素ds=√[φ'(t)²+ψ'(t)²]dt。
5、设曲面∑为x+y=9介于z=0及z=3间的部分的外侧，则∫∫∑(x²+y²+1)ds=18√2.6、微分方程y'=x/(y²+1)的通解为y=1/2ln(y²+1)+1/2x²+C。
7、方程y''-4y=tanx的通解为y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-1/2cosxsinx。
8、级数∑n=1∞1/(n(n+1))的和为1.二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数z=f(x,y)在(x,y)处可微的充分条件是（B）f_x'(x,y)，f_y'(x,y)在(x,y)的某邻域内存在。
2、设u=yf(x)+xf(y)，其中f具有二阶连续导数，则x²+y²等于（A）x+y。
3、设Ω：x+y+z≤1.z≥0，则三重积分I=∭ΩzdV等于（D）∫0^1∫0^(1-z)∫0^(1-x-y)zdxdydz。
4、球面x²+y²+z²=16a²与柱面x²+y²=2ax所围成的立体体积V=（C）8∫0^π/2∫0^(2acosθ)∫0^√(16a²-r²)rdzdrdθ。
注：原文章中第一题的符号“>”应该是“≥”，已进行更正。
高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分10）1.点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2（）.A.3B.4C.5D.62.向量ai2jk,b2ij，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC. a,bD.3 a,b43.函数122y2xy的定义域是（）.22xy12y2y22A.x,y1x2B.x,y1x22y2y22C.x,y1x2Dx,y1x24.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.ab0B.ab0C.ab0D.ab0335.函数zxy3xy 的极小值是（）.A.2B.2C.1D.16.设zxsiny，则zy 1, 4＝（）.A.22B.22C.2D.27.若p级数n1 1 pn收敛，则（）.A.p1B.p1C.p1D.p18.幂级数n1nxn的收敛域为（）.A.1,1B1,1C.1,1D.1,19.幂级数nx02n在收敛域内的和函数是（）.1221A.B.C.D.1x2x1x2x 10.微分方程xyylny0的通解为（）.A. xyceB.xyeC.xycxeD. ycxe二.填空题（4分5）1.一平面过点A0,0,3且垂直于直线AB，其中点B2,1,1，则此平面方程为______________________.2.函数zsinxy的全微分是______________________________.3yxy3xy2 3.设zx31，则2zxy_____________________________.1的麦克劳林级数是___________________________.4.2x三.计算题（5分6）zzu sin，而uxy,vxy，求,.1.设zevxyzz2yzxz222.已知隐函数zzx,y由方程x24250确定，求,.xy22 3.计算sinxyd，其中24222 D:xy.D4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.四.应用题（10分2）1.要用铁板做一个体积为23m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？.试卷1参考答案一.选择题CBCADACCBD二.填空题1.2xy2z60.2.cosxyydxxdy.2yy23.6x91.4.n0n1n12nx.11.y2x CCxe1.2三.计算题zxyzxy4.eysinxycosxy，exsinxycosxy.xy5.zx2zx1,zy2zy1.6.22dsind26.7.1633R.8.y3xe2ex.四.应用题5.长、宽、高均为m32时，用料最省.126.yx.3《高数》试卷2（下）一.选择题（3分10）2.点M14,3,1，M27,1,2的距离M1M2（）.A.12B.13C.14D.153.设两平面方程分别为x2y2z10和xy50，则两平面的夹角为（）.A.B.C.D.64324.函数22zarcsinxy的定义域为（）.2y2y22A.x,y0x1B.x,y0x1C. 2y2x,y0xD.2 x,y0x 2y225.点P1,2,1到平面x2y2z50的距离为（）.A.3B.4C.5D.66.函数222z2xy3xy的极大值为（）.A.0B.1C.1D. 1 212.设z 23xyy2zx，则1,2x（）.A.6B.7C.8D.913.若几何级数nar是收敛的，则（）. n0A.r1B.r1C.r1D.r114.幂级数nn1x的收敛域为（）.n0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,115.级数sinnn1n a4 是（）.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定二.填空题（4分5）x3t9.直线l过点A2,2,1且与直线yt 平行，则直线l的方程为__________________________.z12t10.函数xyze的全微分为___________________________.11.曲面242z2xy在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题（5分6）7.设ai2jk,b2j3k，求ab.8.设zz 2zu，而uxcosy,vxsiny，求,.2vuvxyzz3xyz9.已知隐函数zzx,y由x32确定，求,.xy10.如图，求球面2y2z24a22 2x与圆柱面xy2ax（a0）所围的几何体的体积.四.应用题（10分2）16.试用二重积分计算由yx ,y2x 和x4所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题CBABACCDBA. 二.填空题 12.x 2y2z 112 1 . xy13.eydxxdy.14.8x8y z4.15.1n0nx 2n. 16.3 yx. 三.计算题11.8i3j2k.z 2z 333312.3xsinycosycosysiny,2xsinycosysinycosyxsinycosy .xy zyzzxz 13.2,2xxyzyxyz. 14. 3232 a.323 15. 2xxCeyCe21.四.应用题17. 16 3.12xgtvtx.2.002《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2B 、3C 、4D 、54、函数z=xsiny 在点（1，）处的两个偏导数分别为（） 42A 、,22 2,2 B 、,22 2C 、2 22 2D 、2 22 2, 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则2+y 2+z 2=2Rx ，则z x z,分别为（）yA 、x R z yx ,B 、 z z R yxRy ,C 、,D 、 zzzx z R , y z 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为2y 2 x 的薄板的质量为（）（面积A= 2 R ）1A 、R2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、RA22n xn7、级数(1)的收敛半径为（）nn1A 、2B 、1 2C 、1D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、 ( n0 n 1) ( 2n x 2n)!B 、 (1) n1n 2n x (2n)! C 、 n 0 ( 1) n 2n x (2n)!D 、 n 0 ( 1) n ( 2n x 2n 1 1)!二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）___________。
高数下考试题和答案
高数下考试题和答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=0处的导数为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 3答案：B2. 曲线y=x^2+2x-3的拐点坐标为（）。
A. (-1, -2)B. (1, -2)C. (-1, -4)D. (1, 0)答案：A3. 函数y=e^x的不定积分为（）。
A. xe^x + CB. e^x + CC. e^x - x + CD. x^2e^x + C答案：B4. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值为（）。
A. 1/3B. 1/2C. 1/4D. 1/6答案：B5. 函数y=x^2-4x+3的极值点为（）。
A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：B二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值为________。
答案：-17. 计算定积分∫(-1,1) e^(-x^2) dx的值约为________。
答案：1.462658. 函数y=ln(x)的导数为________。
答案：1/x9. 函数y=x^3-3x^2+2x的二阶导数为________。
答案：6x-610. 计算定积分∫(0,π) sin(x) dx的值为________。
答案：2三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算不定积分∫(x^2-2x+1) dx。
解：∫(x^2-2x+1) dx = (1/3)x^3 - x^2 + x + C12. 求函数y=x^3-3x+2在x=1处的切线方程。
解：首先求导数y'=3x^2-3，代入x=1得y'|_{x=1}=0，切线斜率为0。
切点为(1,0)，因此切线方程为y=0。
13. 计算定积分∫(0,2) (x^2-2x+1) dx。
解：∫(0,2) (x^2-2x+1) dx = [(1/3)x^3 - x^2 + x](0,2) = (8/3 - 4 + 2) - (0) = 2/3四、应用题（每题10分，共30分）14. 一个物体从高度h=100米处自由落下，忽略空气阻力，求物体落地时的速度v。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练习题： 一、填空1、设)(32xy xy z ϕ+=，其中有ϕ连续导数，求y zxy x z x ∂∂-∂∂2= . 答案：2y -2、求由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向外侧的单位法向量是 。
答案：)3,2,0(513.已知级数∑∞=1n nu的前n 项部分和()Λ,2,1,13=+=n n nS n ,则此级数的通项n u = . 答案：()13+=n n u n4、L:沿椭圆12222=+b y a x 逆时针方向绕一周，计算⎰--+Ldy y x dx y x )4()23(= 。
答案： ab π3-5、 设f(x)是以π2为周期的周期函数，它在区间],[ππ-上定义为⎩⎨⎧≤<-≤<=0,00,)(x x e x f x ππ，则f(x)的付里叶级数在π=x 收敛于________2πe _______6、设222z y x r ++=，则计算r grad 1= 答案：)(113k z j y i x rr grad ρρρ++-=7、确定常数m,使⎰⎰=+Ddxdy y x m 2)cos(，其中D 是由直线2,2,π===x x y x y 所围成的区域，则m= 。
答案 m=-3 8. 微分方程0152=-'+''y y y 的通解是x xe C e C y 25231+=-二、选择 1、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积S=( B )(A) π3 (B) π2 (C) π5 (D) π222、 ⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x 则dz dx=（ B ）(A )z y z x --； (B )y x z y --; (C )z x z x 24421+--; (D) zx yx -- 3、设f(x,y)连续，⎰⎰⎰⎰-+121202),(),(x xdy y x f dx y x f dx =（ D ）(A) ⎰⎰-222),(yy dx y x f dy (B)⎰⎰-12),(yy dx y x f dy (C)⎰⎰⎰⎰-+12120),(),(yydx y x f dy dx y x f dy (D)⎰⎰-12),(y ydx y x f dy4、设)()(y x y x z -++=ϕφ，则必有（ B ）a) 0=+yy xx z z ; b) 0=-yy xx z z ; c) 0=xy z ; d) 0=+xy xx z z 5、若L 是以)0,0(O ，)0,1(A 和)1,0(B 三点为顶点的三角形的边界，则⎰+Lds y x )(的值等于(C)（A ）21-（B ）221+（C ）21+（D ）2 6、若区域D 由x y x 222=+所围成，则 )()(22=++⎰⎰dxdy y x y x D。
（A ）dxdy x y x D⎰⎰+2)( （B ）⎰⎰+-10112),(yy dx y x f dy（C ）dr r d ⎰⎰+θπθθθcos 2032)sin (cos 2（D ）⎰⎰-+22cos 203)sin (cos ππθθθθdr r d7、设)(x f 有连续的一阶导数，则⎰=+++)2,1()0,0()()()(dy y x f dx y x f（A ）0 （B ）⎰3)(dx x f （C ）dx x f ⎰1)( （D ）)1()3(f f -8、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)sin(),(2xy xy xyy x y x f ，则)()1,0(=x f （A ）0 （B ）2 （C ）不存在 （D ）1 三.1、计算dx edyyx ⎰⎰11022、设),(y x y x yf z -+=，f 具有二阶连续偏导数，求y z∂∂及xy z ∂∂∂2答案：()21f f y f yz-+=∂∂ ()22211211212f f f f y f f xy z--+++=∂∂∂()221121f f y f f -++=3、 求球面03222=-++x z y x 与平面04532=-+-z y x 的交线在点（1，1，1）处的切线及法平面的方程。
答案: 切线方程为,1191161--=-=-z y x 法平面方程为024916=--+z y x 4、求曲面32=+-xy e z z在点)0,2,1(处的切平面与法线方程。
答案：42=+y x ，1221-=-=-z y x 5、设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，计算曲线积分⎰-Lydx xdy 2答案：23π6、设)10(:22≤≤+=∑z y x z 的下侧，求⎰⎰∑-++dxdy z ydxdz xdydz )1(32答案：π27、求()⎰⎰∑+ds z xy 2，其中∑为半球面228y x z --=位于圆柱面422=+y x 内的部分。
答案：()1223128-π8、计算⎰⎰∑γ,ds cos z2其中∑是上半平面：01222>=++z ,z y x ；γ是球面∑的法线与z 轴正向夹成的锐角。
答案：2π 9、求幂级数n x n n n n ∑∞=-+1)2(31的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性. 答案: 收敛域[-3，3）；10、设0>x ，求微分方程()0622=-+dy x y ydx 通解. 答案：通解为322Cy y x += 11.求微分方程y y y y y '='-''22的通解。
答案：)( 1121C y e C e C y xC x C =-=包含12、求⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222222y x y x yx y x y x f 的偏导数，并讨论在点(0,0)处偏导数的连续性。
答案：不连续 13、已知曲面方程为)0,0,0(1>>>=z y x xyz 在曲面上求一点，使其到原点的距离最短并求出最短距离。
答案：（1,1,1）最短距离：3 14、设),()2(xy x g y x f z +-=，其中)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导，求yx z∂∂∂2。
解：2221221)2(2,)2(2g g xy g x y x f z g y g y x f z xy x '+''+''+-''-='+'+-'=。
15．设n ρ是曲面42222=++z y x 在点M(1,1,1)处的外法线向量，求函数32z xy u =在点M 沿方向n ρ的方向导数，并求方向导数的最大值。
解:68}1,2,1{}3,2,1{61},,{},1,2,1{61},2,4,2{}2,4,2{00=⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=∂∂===n z u y u x u n u n z y x n M M ρρϖ, 方向导数的最大值为:14=M gradu . 16． 设)(22y z y z x ϕ=+,求yz∂∂.解 )(2,)()(),(),,(22y zz F y z y z y z F y z y z x z y x F z y ϕϕϕϕ'-='+-=-+=，)(2)()(xzz yzx z yz F F y zzy ϕϕϕ'-'-=-=∂∂ 17、设4:222=++z y x S ，计算dS y x S)(22⎰⎰+。
答案：3128π18、验证dy ye y x x dx xy y x y)128()83(2322++++是某个函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u 。
答案：)1(124),(223+-++=yy e ye y x y x y x u 19、计算曲线积分⎰++-Ly dy x e dx y )()22(2，其中L 是从点O(0,0)到点A(1,0)的上半圆周x y x =+22。
20、设物体占空间区域Ω，Ω是由曲面224y x z --=，22y x z +=围成，试分别用直角坐标、柱面坐标、球面坐标将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为三次积分。
21设)(x f 可微，1)0(=f ，曲线积分dy x x f dx x f x xy I L ]2)([)(122-++=⎰与路径无关。
（1）试求)(x f ;（2）计算dy x x f dx x f x xy I y x ]2)([)(12),()0,0(2-++=⎰的值。
22、判别级数()[]∑∞=-+11231n nn n 的敛散性。
答案：收敛23、证明⎪⎩⎪⎨⎧==≠++==0,00,),(2222y x y x y x xy y x f z 在点(0,0)连续、偏导数存在，但不可微。
24、设曲面h z z y x ≤≤=+∑0,:222. γβαcos ,cos ,cos 是∑的外法线方向余弦，求⎰⎰∑++=ds z y x I )cos cos cos (222γβα 答案：421h π-25、设正向数列{n a }单调减少，且∑+∞=-1)1(n n na 发散，证明级数∑+∞=+1)11(n nn a 收敛 证：由}{n a 单调递减有下界（非负），故极限存在 a a n n =∞→lim则有0>≥a a n （0≠a 否则与∑∞=-1)1(n n na 发散矛盾）≤+∑∞=1)11(n nna ∑∞=+1)11(n n a ， 111<+a由等比级数收敛，由比较判别法原级数收敛。
26、求幂级数∑∞=+11n n x n n在其收敛域1<x 内的和函数()x s 。
答案：()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-∈-+-=000111111x ,,x ,,x ,x ln x x x s 27.函数x y cos =展开成 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx 的幂级数。
28. 计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdv ,其中Ω为曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域. 答案：127π29、求级数∑∞=++⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+21)1ln(ln )1(11ln n n n nn n n n 的和。
答案： 2ln 21lim ==∞→n n s s 30、求二元函数223),(xy y x xy y x f --=的极值.答案： 驻点: ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==11,30,03,00y x y x y x y x )1,1(是极值点，()11,1=f 是极大值. 31、求微分方程02sin =+'+''x y y 满足初始条件1,1='===ππx x y y 的特解。