(完整)高数下练习题

练习题： 一、填空
1、设)(32xy x
y z ϕ+=
，其中有ϕ连续导数，求y z
xy x z x ∂∂-∂∂2= . 答案：2
y -
2、求由曲线⎩
⎨⎧==+012
2322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向外侧
的单位法向量是 。

答案：
)3,2,0(5
1
3.已知级数
∑∞
=1
n n
u
的前n 项部分和()Λ,2,1,1
3=+=
n n n
S n ,则此级数的通项n u = . 答案：()
13
+=
n n u n
4、L:沿椭圆122
22=+b y a x 逆时针方向绕一周，计算⎰--+L
dy y x dx y x )4()23(= 。

答案： ab π3-
5、 设f(x)是以π2为周期的周期函数，它在区间],[ππ-上定义为⎩⎨⎧≤<-≤<=0
,00,)(x x e x f x ππ
，
则f(x)的付里叶级数在π=x 收敛于________2
π
e _______
6、设2
2
2
z y x r ++=，则计算r grad 1= 答案：)(113k z j y i x r
r grad ρ
ρρ++-=
7、确定常数m,使
⎰⎰=+D
dxdy y x m 2)cos(，其中D 是由直线2
,2,π
=
==x x y x y 所围成
的区域，则m= 。

答案 m=-3 8. 微分方程0152=-'+''y y y 的通解是x x
e C e C y 2
5
231+=-
二、选择 1、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积S=( B )
(A) π3 (B) π2 (C) π5 (D) π22
2、 ⎩⎨
⎧=++=++1
02
22z y x z y x 则dz dx
=（ B ）
(A )
z y z x --； (B )y x z y --; (C )z x z x 24421+--; (D) z
x y
x -- 3、设f(x,y)连续，
⎰⎰
⎰⎰
-+1
21
20
2
),(),(x x
dy y x f dx y x f dx =（ D ）
(A) ⎰
⎰-2
22),(y
y dx y x f dy (B)
⎰
⎰
-1
2),(y
y dx y x f dy (C)
⎰⎰
⎰⎰
-+1
21
20
),(),(y
y
dx y x f dy dx y x f dy (D)
⎰⎰
-1
2),(y y
dx y x f dy
4、设)()(y x y x z -++=ϕφ，则必有（ B ）
a) 0=+yy xx z z ; b) 0=-yy xx z z ; c) 0=xy z ; d) 0=+xy xx z z 5、若L 是以)0,0(O ，)0,1(A 和)1,0(B 三点为顶点的三角形的边界，则⎰+L
ds y x )(的值等
于(C)
（A ）21-（B ）
22
1
+（C ）21+（D ）2 6、若区域D 由x y x 22
2
=+所围成，则 )()(22=++⎰⎰
dxdy y x y x D。

（A ）
dxdy x y x D
⎰⎰
+2)( （B ）
⎰⎰
+-10
112
),(y
y dx y x f dy
（C ）dr r d ⎰
⎰
+θ
π
θ
θθcos 20
3
2
)sin (cos 2
（D ）
⎰
⎰
-
+2
2
cos 20
3)sin (cos π
π
θ
θ
θθdr r d
7、设)(x f 有连续的一阶导数，则⎰
=+++)
2,1()
0,0()()()(dy y x f dx y x f
（A ）0 （B ）
⎰3
)(dx x f （C ）dx x f ⎰1
)( （D ）)1()3(f f -
8、设⎪⎩
⎪⎨⎧=≠=0,00
,)sin(),(2xy xy xy
y x y x f ，则)()1,0(=x f （A ）0 （B ）2 （C ）不存在 （D ）1 三.1、计算dx e
dy
y
x ⎰⎰1
10
2
2、设),(y x y x yf z -+=，f 具有二阶连续偏导数，求y z
∂∂及x
y z ∂∂∂2
答案：
()21f f y f y
z
-+=∂∂ ()22211211212f f f f y f f x
y z
--+++=∂∂∂()221121f f y f f -++=
3、 求球面03222=-++x z y x 与平面04532=-+-z y x 的交线在点（1，1，1）处的切线及法平面的方程。

答案: 切线方程为
,1
1
91161--=-=-z y x 法平面方程为024916=--+z y x 4、求曲面32=+-xy e z z
在点)0,2,1(处的切平面与法线方程。

答案：42=+y x ，
1221-=
-=-z y x 5、设L 为正向圆周22
2
=+y x 在第一象限中的部分，计算曲线积分
⎰
-L
ydx xdy 2
答案：
2
3π
6、设)10(:2
2≤≤+=
∑z y x z 的下侧，求
⎰⎰∑
-++dxdy z ydxdz xdydz )1(32
答案：π2
7、求
()⎰⎰∑
+ds z xy 2
，其中∑为半球面228y x z --=
位于圆柱面422=+y x 内的部
分。

答案：()
1223
128-π
8、计算
⎰⎰∑
γ,ds cos z
2
其中∑是上半平面：01222>=++z ,z y x ；γ是球面∑的法线与
z 轴正向夹成的锐角。

答案：
2
π 9、求幂级数
n x n n n n ∑∞
=-+1)
2(31
的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性. 答案: 收敛域[-3，3）；
10、设0>x ，求微分方程()0622
=-+dy x y ydx 通解. 答案：通解为32
2
Cy y x += 11.求微分方程y y y y y '='-''2
2的通解。

答案：)( 1
121C y e C e C y x
C x C =-=包含
12、求⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0
,00,1sin )(),(22222
22
2y x y x y
x y x y x f 的偏导数，并讨论在点(0,0)处偏
导数的连续性。

答案：不连续 13、已知曲面方程为)0,0,0(1>>>=z y x xyz 在曲面上求一点，使其到原点的距离最短
并求出最短距离。

答案：（1,1,1）最短距离：3 14、设),()2(xy x g y x f z +-=，其中)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导，求
y
x z
∂∂∂2。

解：2221221
)2(2,)2(2g g xy g x y x f z g y g y x f z xy x '+''+''+-''-='+'+-'=。

15．设n ρ
是曲面42222=++z y x 在点M(1,1,1)处的外法线向量，求函数32z xy u =在点M 沿方向n ρ
的方向导数，并求方向导数的最大值。

解:6
8
}1,2,1{}3,2,1{61},,{},1,2,1{61},2,4,2{}2,4,2{00=
⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=∂∂===n z u y u x u n u n z y x n M M ρρϖ, 方向导数的最大值为:14=M gradu . 16． 设)(22y z y z x ϕ=+,求y
z
∂∂.
解 )(2,)()(),(),,(22y z
z F y z y z y z F y z y z x z y x F z y ϕϕϕϕ'-='+-=-+=，
)
(2)
()(x
z
z y
z
x z y
z F F y z
z
y ϕϕϕ'-'-=-=∂∂ 17、设4:2
2
2
=++z y x S ，计算
dS y x S
)(22⎰⎰
+。

答案：3
128π
18、验证dy ye y x x dx xy y x y
)128()83(2
3
2
2
++++是某个函数),(y x u 的全微分，并求
),(y x u 。

答案：)1(124),(223+-++=y
y e ye y x y x y x u 19、计算曲线积分⎰
++-L
y dy x e dx y )()22(2
，其中L 是从点O(0,0)到点A(1,0)的上半圆
周x y x =+2
2。

20、设物体占空间区域Ω，Ω是由曲面224y x z --=
，22y x z +=围成，试分别用
直角坐标、柱面坐标、球面坐标将三重积分⎰⎰⎰
Ω
=
dv z y x f I ),,(化为三次积分。

21设)(x f 可微，1)0(=f ，曲线积分dy x x f dx x f x xy I L ]2
)([)(12
2
-++=⎰
与路径无关。

（1）试求)(x f ;（2）计算dy x x f dx x f x xy I y x ]2
)([)(12
)
,()
0,0(2
-++=
⎰
的值。

22、判别级数
()
[
]∑∞
=-+1123
1
n n
n n 的敛散性。

答案：收敛
23、证明⎪⎩
⎪⎨⎧==≠++==0,00,),(2
22
2y x y x y x xy y x f z 在点(0,0)连续、偏导数存在，但不可微。

24、设曲面h z z y x ≤≤=+∑0,:2
2
2
. γβαcos ,cos ,cos 是∑的外法线方向余弦，求
⎰⎰∑
++=ds z y x I )cos cos cos (222γβα 答案：421
h π-
25、设正向数列{n a }单调减少，且
∑+∞=-1
)1(n n n
a 发散，证明级数∑+∞
=+1
)1
1(
n n
n a 收敛 证：由}{n a 单调递减有下界（非负），故极限存在 a a n n =∞
→lim
则有0>≥a a n （0≠a 否则与
∑∞
=-1
)
1(n n n
a 发散矛盾）
≤+∑∞
=1)11(n n
n
a ∑∞
=+1
)11(
n n a ， 111
<+a
由等比级数收敛，由比较判别法原级数收敛。

26、求幂级数
∑∞
=+11
n n x n n
在其收敛域1<x 内的和函数()x s 。

答案：()()()⎪⎩
⎪⎨⎧=≠-∈-+-=000111111
x ,,x ,,x ,x ln x x x s 27.函数
x y cos =展开成 ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-4πx 的幂级数。

28. 计算三重积分
⎰⎰⎰
Ω
zdv ,其中Ω为曲面2
22y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域. 答案：
12
7π
29、求级数
∑
∞=++⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫
⎝⎛+21
)
1ln(ln )1(11ln n n n n
n n n n 的和。

答案： 2
ln 21
lim =
=∞
→n n s s 30、求二元函数2
2
3),(xy y x xy y x f --=的极值.
答案： 驻点: ⎩⎨
⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨
⎧==1
1
,30,03,00y x y x y x y x )1,1(是极值点，()11,1=f 是极大值. 31、求微分方程
02sin =+'+''x y y 满足初始条件1,1='===ππx x y y 的特解。

答案：特解为：x x e e y x 2sin 5
1
2cos 1015323++-=
-π。