(完整)高数下练习题

练习题： 一、填空

1、设)(32xy x

y z ?+=

，其中有?连续导数，求y z

xy x z x ??-??2= . 答案：2

y -

2、求由曲线?

??==+012

2322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向外侧

的单位法向量是 。 答案：

)3,2,0(5

1

3.已知级数

∑∞

=1

n n

u

的前n 项部分和()Λ,2,1,1

3=+=

n n n

S n ,则此级数的通项n u = . 答案：()

13

+=

n n u n

4、L:沿椭圆122

22=+b y a x 逆时针方向绕一周，计算?--+L

dy y x dx y x )4()23(= 。

答案： ab π3-

5、 设f(x)是以π2为周期的周期函数，它在区间],[ππ-上定义为???≤<-≤<=0

,00,)(x x e x f x ππ

，

则f(x)的付里叶级数在π=x 收敛于________2

π

e _______

6、设2

2

2

z y x r ++=，则计算r grad 1= 答案：)(113k z j y i x r

r grad ρ

ρρ++-=

7、确定常数m,使

??=+D

dxdy y x m 2)cos(，其中D 是由直线2

,2,π

=

==x x y x y 所围成

的区域，则m= 。 答案 m=-3 8. 微分方程0152=-'+''y y y 的通解是x x

e C e C y 2

5

231+=-

二、选择 1、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积S=( B )

(A) π3 (B) π2 (C) π5 (D) π22

2、 ??

?=++=++1

02

22z y x z y x 则dz dx

=（ B ）

(A )

z y z x --； (B )y x z y --; (C )z x z x 24421+--; (D) z

x y

x -- 3、设f(x,y)连续，

??

??

-+1

21

20

2

),(),(x x

dy y x f dx y x f dx =（ D ）

(A) ?

?-2

22),(y

y dx y x f dy (B)

?

?

-1

2),(y

y dx y x f dy (C)

??

??

-+1

21

20

),(),(y

y

dx y x f dy dx y x f dy (D)

??

-1

2),(y y

dx y x f dy

4、设)()(y x y x z -++=?φ，则必有（ B ）

a) 0=+yy xx z z ; b) 0=-yy xx z z ; c) 0=xy z ; d) 0=+xy xx z z 5、若L 是以)0,0(O ，)0,1(A 和)1,0(B 三点为顶点的三角形的边界，则?+L

ds y x )(的值等

于(C)

（A ）21-（B ）

22

1

+（C ）21+（D ）2 6、若区域D 由x y x 22

2

=+所围成，则 )()(22=++??

dxdy y x y x D

。

（A ）

dxdy x y x D

??

+2)( （B ）

??

+-10

112

),(y

y dx y x f dy

（C ）dr r d ?

?

+θ

π

θ

θθcos 20

3

2

)sin (cos 2

（D ）

?

?

-

+2

2

cos 20

3)sin (cos π

π

θ

θ

θθdr r d

7、设)(x f 有连续的一阶导数，则?

=+++)

2,1()

0,0()()()(dy y x f dx y x f

（A ）0 （B ）

?3

)(dx x f （C ）dx x f ?1

)( （D ）)1()3(f f -

8、设??

???=≠=0,00

,)sin(),(2xy xy xy

y x y x f ，则)()1,0(=x f （A ）0 （B ）2 （C ）不存在 （D ）1 三.1、计算dx e

dy

y

x ??1

10

2

2、设),(y x y x yf z -+=，f 具有二阶连续偏导数，求y z

??及x

y z ???2

答案：

()21f f y f y

z

-+=?? ()22211211212f f f f y f f x

y z

--+++=???()221121f f y f f -++=

3、 求球面03222=-++x z y x 与平面04532=-+-z y x 的交线在点（1，1，1）处的切线及法平面的方程。 答案: 切线方程为

,1

1

91161--=-=-z y x 法平面方程为024916=--+z y x 4、求曲面32=+-xy e z z

在点)0,2,1(处的切平面与法线方程。 答案：42=+y x ，

1221-=

-=-z y x 5、设L 为正向圆周22

2

=+y x 在第一象限中的部分，计算曲线积分

?

-L

ydx xdy 2

答案：

2

3π

6、设)10(:2

2≤≤+=

∑z y x z 的下侧，求

??∑

-++dxdy z ydxdz xdydz )1(32

答案：π2

7、求

()??∑

+ds z xy 2

，其中∑为半球面228y x z --=

位于圆柱面422=+y x 内的部

分。 答案：()

1223

128-π

8、计算

??∑

γ,ds cos z

2

其中∑是上半平面：01222>=++z ,z y x ；γ是球面∑的法线与

z 轴正向夹成的锐角。 答案：

2

π 9、求幂级数

n x n n n n ∑∞

=-+1)

2(31

的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性. 答案: 收敛域[-3，3）；

10、设0>x ，求微分方程()0622

=-+dy x y ydx 通解. 答案：通解为32

2

Cy y x += 11.求微分方程y y y y y '='-''2

2的通解。 答案：)( 1

121C y e C e C y x

C x C =-=包含

12、求??

???=+≠+++=0

,00,1sin )(),(22222

22

2y x y x y

x y x y x f 的偏导数，并讨论在点(0,0)处偏

导数的连续性。 答案：不连续 13、已知曲面方程为)0,0,0(1>>>=z y x xyz 在曲面上求一点，使其到原点的距离最短

并求出最短距离。 答案：（1,1,1）最短距离：3 14、设),()2(xy x g y x f z +-=，其中)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导，求

y

x z

???2。解：2221221

)2(2,)2(2g g xy g x y x f z g y g y x f z xy x '+''+''+-''-='+'+-'=。 15．设n ρ

是曲面42222=++z y x 在点M(1,1,1)处的外法线向量，求函数32z xy u =在点M 沿方向n ρ

的方向导数，并求方向导数的最大值。

解:6

8

}1,2,1{}3,2,1{61},,{},1,2,1{61},2,4,2{}2,4,2{00=

?=???????=??===n z u y u x u n u n z y x n M M ρρ?, 方向导数的最大值为:14=M gradu . 16． 设)(22y z y z x ?=+,求y

z

??.

解 )(2,)()(),(),,(22y z

z F y z y z y z F y z y z x z y x F z y ????'-='+-=-+=，

)

(2)

()(x

z

z y

z

x z y

z F F y z

z

y ???'-'-=-=?? 17、设4:2

2

2

=++z y x S ，计算

dS y x S

)(22??

+。 答案：3

128π

18、验证dy ye y x x dx xy y x y

)128()83(2

3

2

2

++++是某个函数),(y x u 的全微分，并求

),(y x u 。

答案：)1(124),(223+-++=y

y e ye y x y x y x u 19、计算曲线积分?

++-L

y dy x e dx y )()22(2

，其中L 是从点O(0,0)到点A(1,0)的上半圆

周x y x =+2

2

。

20、设物体占空间区域Ω，Ω是由曲面224y x z --=

，22y x z +=围成，试分别用

直角坐标、柱面坐标、球面坐标将三重积分???

Ω

=

dv z y x f I ),,(化为三次积分。

21设)(x f 可微，1)0(=f ，曲线积分dy x x f dx x f x xy I L ]2

)([)(12

2

-++=?

与路径无关。 （1）试求)(x f ;（2）计算dy x x f dx x f x xy I y x ]2

)([)(12

)

,()

0,0(2

-++=

?

的值。 22、判别级数

()

[

]∑∞

=-+1123

1

n n

n n 的敛散性。 答案：收敛

23、证明??

???==≠++==0,00,),(2

22

2y x y x y x xy y x f z 在点(0,0)连续、偏导数存在，但不可微。

24、设曲面h z z y x ≤≤=+∑0,:2

2

2

. γβαcos ,cos ,cos 是∑的外法线方向余弦，求

??∑

++=ds z y x I )cos cos cos (222γβα 答案：421

h π-

25、设正向数列{n a }单调减少，且

∑+∞=-1

)1(n n n

a 发散，证明级数∑+∞

=+1

)1

1(

n n

n a 收敛 证：由}{n a 单调递减有下界（非负），故极限存在 a a n n =∞

→lim

则有0>≥a a n （0≠a 否则与

∑∞

=-1

)

1(n n n

a 发散矛盾）

≤+∑∞

=1)11(n n

n

a ∑∞

=+1

)11(

n n a ， 111

<+a

由等比级数收敛，由比较判别法原级数收敛。 26、求幂级数

∑∞

=+11

n n x n n

在其收敛域1

???=≠-∈-+-=000111111

x ,,x ,,x ,x ln x x x s 27.函数

x y cos =展开成 ??

? ?

?-4πx 的幂级数。

28. 计算三重积分

???

Ω

zdv ,其中Ω为曲面2

22y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域. 答案：

12

7π

29、求级数

∑

∞=++?????????+???

??+21

)

1ln(ln )1(11ln n n n n

n n n n 的和。 答案： 2

ln 21

lim =

=∞

→n n s s 30、求二元函数2

2

3),(xy y x xy y x f --=的极值.

答案： 驻点: ??

?==???==???==??

?==1

1

,30,03,00y x y x y x y x )1,1(是极值点，()11,1=f 是极大值. 31、求微分方程

02sin =+'+''x y y 满足初始条件1,1='===ππx x y y 的特解。

答案：特解为：x x e e y x 2sin 5

1

2cos 1015323++-=

-π。