二次曲线的理论及其应用 开题报告

二次曲线的理论及其应用开题报告

开题报告

二次曲线的理论及其应用

一、选题的背景、意义

解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求.文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展,思想普遍活跃的时代.机械的广泛使用,促使人们对机械性能进行研究,这需要运动学知识和相应的数学理论;建筑的兴盛、河道和堤坝的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题,这些问题的合理解决需要正确的数学计算;航海事业的发展向天文学,实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法,望远镜与显微镜的发明,提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题.在数学上就需要研究求曲线的切线问题.所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内解决,于是,人们就试图创设变量数学.作为代数与几何相结合的产物――解析几何,也就在这种背景下问世了。

1637年,法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》,这本书的后面有三篇附录,一篇叫《折光学》,一篇叫《流星学》,一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学,就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。笛卡尔的《几何学》共分三卷,第一卷讨论尺规作图;第二卷是曲线的性质;第三卷是立体和“超立体”的作图,但他实际是代数问题,探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的

起点。从笛卡尔的《几何学》中可以看出,笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学,把算术、代数、几何统一起来。他设想,把任何数学问题化为一个代数问题,在把任何代数问题归结到去解一个方程式。为了实现上述的设想,笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发,指出平面上的点和实数对的对应关系。的不同数值可以确定平面上许多不同的点,这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。

解析几何的核心思想是通过坐标把几何问题表示成代数形式,然后通过代数方程来表示和研究曲线.要做到这一点,得有数学自身的条件:一是几何学已出现解决问题的乏力状态;二是代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度。

解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前,就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系;也有人在研究天文、地理的时候,提出了一点位置可由两个“坐标”(经度和纬度)来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。在数学史上,一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一,应该分享这门学科创建的荣誉。费尔马是一个业余从事数学研究的学者,对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和,好静成癖,对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道,他早在笛卡尔发表《几何学》以前,就已写了关于解析几何的小文,就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年,费尔马死后,他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。笛卡尔的《几何学》,作为一本解析几何的书来看,是不完整的,但重要的是引入了新的思想,为开辟数学新园地做出了贡献。恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说:“数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了

数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生了……”

二次曲线是解析几何中重要的一部分。圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆,通过直角坐标系,它们又与二次方程对应,所以,圆锥曲线又叫做二次曲线。

对于圆锥曲线的最早发现,众说纷法。公元前350年,希腊著名学者梅纳克莫斯(公元前4世纪)企图解决当时的著名难题“倍立方问题”(即用直尺和圆规把立方体体积扩大一倍)。他在研究中发现了三种圆锥曲线,即现在所说的椭圆,双曲线,抛物线,并用开始编写几何学的历史。古希腊的塞马力达斯开始解简单方程组。公元前三至前二世纪,古希腊的阿波罗尼发表了八本《圆锥曲线学》,这是较早关于椭圆、抛物线和双曲线的论著。阿波罗尼斯的8卷《圆锥曲线论》以其几乎将圆锥曲线的全部性质网罗殆尽而永垂史册.可以这样说,在解析几何之前的所有研究圆锥曲线的著作中,没有一本达到像《圆锥曲线论》那样的对圆锥曲线研究得如此详尽的程度.但是,像古希腊所有的几何学一样,阿波罗尼斯的几何是一种静态的几何.它既不把曲线看作是一种动点的轨迹,更没有给它以一般的表示方法.这种局限性在16世纪前,并没有引起注意,因为实践没有向几何学提出可能引起麻烦的课题.16世纪以后的情况就不同了.1079年,阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书《代数学》,用圆锥曲线解三次方程。哥白尼(Copernicus,1473-1543)提出日心说,伽利略(Galileo,1564-1642)由物体运动的研究,得出惯性定律和自由落体定律。1615年,德国的开卜勒发表《酒桶的立体几何学》,研究了圆锥曲线旋转体的体积。这些都向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题.地球绕太阳运转的轨道是椭

圆、物体斜抛运动的轨道是抛物线,这些远不是靠建立在用平面截圆锥而得到的椭圆和抛物线的概念所能把握的.几何学要能反映这类运动的轨道的性质,就必须从观点到方法来一个变革,创立起一种建立在运动观点上的几何学.17世纪解析几何的诞生创造了为二次曲线的研究创建了条件.作为点运动轨迹的二次曲线,在引进坐标的基础上显示出更明显的特征,它是二次方程的图形,即它又被命名为二次曲线。

圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一(也是解析几何的基本内容),在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。

我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行,太阳系其他行星也如此,太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度,它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体,按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动,不可能有任何其他的轨道了。因而,圆锥曲线在这种意义上讲,它构成了我们宇宙的基本形式。

我们知道由抛物线绕其轴旋转,可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴,即抛物线的轴。在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点,任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后,都成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。由双曲线绕其虚轴旋转,可以得到单叶双曲面,它又是一种直纹曲面,由两组母直线族组成,各组内母直线互不相交,而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔时,就采取单叶双曲面的体形,既轻巧又坚固。

由此可见,对于圆锥曲线的价值,无论如何也不会估计过高。