系统的记忆性与系统建模

系统的记忆性与系统建模

王晓雨，宋学娜，孟玲清

辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新 (123000)

E-mail ：xiaoyu86.love@

摘 要：基于时间序列的基本知识，本文系统的介绍了时间序列中系统历史行为的动态性即系统的记忆性。时间序列是用历史的观点，通过量的手段揭示所研究现象的动态结构，分析数据之间的联系，进一步更深的了解数据之间的关系，进而对系统加深认识。这不仅是可能的，而且也是合理的，科学的。

关键词：时间序列，系统记忆性，自回归系统，标绘图方法

1. 引言

不论是自然现象，还是社会经济现象，都是一个有规律的辨证发展过程。任何运动都有一定的惯性，这种惯性就表现为系统的动态性即记忆性。所谓动态性，从统计观点来看，就是指系统现在的行为与其历史行为的相关性。体现在时序中，就是观测值之中蕴含着的相关关系，因此，可用相关函数来刻划系统的动态性。从系统的观点来看，动态性就是指系统的记忆性。具体地说，就是在某一时刻进入系统的输入对系统后继行为的影响。如果该输入只影响系统的下一时刻的行为，而对下一时刻以后的行为不发生作用，那么系统就有一阶动态性（或一期记忆性）。以此类推，如果该输入对系统后继n 个时刻的行为都有影响，那么就说该系统具有n 阶动态特性。例如病人服药，药效的作用时间的长短就可被看做系统具有不同阶动态性即记忆性。时间序列是系统历史行为的客观记录，它包含了系统动态特征的全部信息。这些信息，具体地表现为时间序列中观察值之间的统计相关性。因而，人们可以通过研究时间序列中数值上的统计相关关系，来揭示相应系统的动态结构特征及其发展规律。系统的动态性即记忆性如何量化，就可作为时间序列分析的内容，因此时间序列模型即系统建模就是系统记忆性的具体描述，建模过程就是记忆性的量化过程。类推下去，实际生活中许多系统的记忆性均可用此方法建立模型进行描述，进而用此模型推测系统的未来。[1]

2．背景知识

2.1时间序列分析模型概述

所谓时间序列，就是各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间次序排列起来的统计数据。所谓时间序列分析模型，就是揭示时间序列自身的变化规律和相互联系的数学表达式时间序列分析模型分确定性模型和随机模型两大类： ⒈ 确定性时间序列分析模型

对于一个时间序列y y y y n 123,,,,"确定性模型主要有以下几种： ⑴ 滑动平均模型

将平均数

y

y y y N t t t t N =+++−−+11

" t N ≥ (2.1.1)称为时间序列y t 的滑动平均数序

列。该式表达的模型称为滑动平均模型。滑动平均模型的主要作用是消除干扰，显示序列的趋势性变化，并用于趋势预测。

⑵ 加权滑动平均模型

将平均数

y

a y a y a y N tw t t N t N =+++−−−+01111

" t N ≥(2.1.2) 称为时间序列y t 的加权

滑动平均数序列。a a a N 011,,,"−为加权因子，满足 a

N

i

i N =−∑=0

1

1

由(2.1.2)式表达的模型称为

加权滑动平均模型。加权滑动平均模型的主要作用除了消除干扰，显示序列的趋势性变化外，还可以通过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋势预测更加准确。

⑶ 二次滑动平均模型

所谓二次滑动平均是对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均。即

y y y y N t t t t N =

+++−−+11" t N ≥ (2.1.3) 由此构成的序列称为时间序列y t 的二次滑动平均数序列，该式表达的模型称为二次滑动平均模型。

⑷ 指数平滑模型

如果采用此式求得序列的平滑预测值 ( )y

y y y t t t t =+−−−−111α (2.1.4) 则称此预测模型为指数平滑模型，其中α称为平滑常数，01<<α。(2.1.4)也可以写成：

() y

y y t t t =+−−−αα111 (2.1.5)即预测值是前期实际值与预测值的加权和。 如何选择α？一种方法是优选法。按照优选法的规则，选择不同的α，代入模型，计算预测值序列。以实际值与预测值的差的平方和最小为准则，确定α值。

⑸ 二次指数平滑模型

在一次指数平滑模型的基础上再进行指数平滑计算，即构成二次指数平滑模型。同样，还可以构成三次指数平滑模型。不再赘述。 ⒉ 随机时间序列分析模型

随机时间序列分析模型分为3种类型：自回归模型（Auto-regressive Model, AR ）、滑动平均模型(Moving Average Model, MA)和自回归滑动平均模型（Auto-regressive Moving Average Model, ARMA)。

⑴ 自回归模型

若时间序列y t 为它的前期值和随机项的线性函数，可以表示为：

y y y y t t t p t p t =++++−−−ϕϕϕµ1122"(2.1.6)则称该时间序列y t 为自回归序列，该模型为

p 阶自回归模型，记为AR(p)。参数

ϕϕϕ12,,,"p 为自回归参数，是模型的待估参数。随

机项µt 为服从0均值、方差为σµ2

的正态分布，且互相独立的白噪声序列。而且随机项

µt 与y y y t t t p −−−12,,,"不相关。引入滞后算子B ，模型(2.1.6)可以表示为：y By B y B y t t t p p t t =++++ϕϕϕµ122" (2.1.7)其中

By y B y y B y y t t t t p t t p ===−−−122,,,"进一步有()1122−−−−=ϕϕϕµB B B y p p t t

"

(2.1.8) 令

ϕϕϕϕ()()B B B B p p

=−−−−1122"