高等数学(下册)第十二章PPT课件
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高等数学下册第十二章 无穷级数
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
DMU
第一节 常数项级数
定义 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称为无穷级数， 其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和.
xx0
f
(x)
A
xnk
x0
(xnk
x0 )
(k )
f (xnk ) A
例如 lim n2 ((1 1)2n e2 )
n
n
(1 lim
x0
1
)
2 x
x
x2
e2
2 ln(1 1 )
ex x
lim
x0
x2
e2
e (e 2
2 ln(1 1 )2 xx
1)
lim
x0
x2
DMU
第一节 常数项级数
5)两边夹法则
n1
莱布尼茨定理： 如果交错级数 （-1）n-1un满足条件 ：
n1
（1）un un1(n 1, 2,3, );
（2）lim n
un
0,
则级数收敛，且其和s u1 ,
其余项rn的绝对值 rn un1.
DMU
第三节 一般常数项级数的收敛判别法
用莱布尼茨 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或写作 x 1.
又如, 级数
所以级数的收敛域仅为
DMU
级数发散 ;
高数下课件 ch12_7
例3 求微分方程 y′′ + 2 y′ + 3 y = 0 的通解. 解 (1) 特征方程：r 2 + 2r + 3 =0，
(2) 特征根：r =−2 ± 4 − 12 =−1 ± 2i， 2
r1 =−1 + 2i，r2 =−1 − 2i， (3) 原方程的通解为 =y e− x (C1 cos 2 x + C2 sin 2 x).
例5 求微分方程 y(5) + y(4) + 2 y′′′ + 2 y′′ + y′ + y =0 的通解. 解 (1) 特征方程：r 5 + r 4 + 2r 3 + 2r 2 + r + 1
= r4(r + 1) + 2r 2(r + 1) + (r + 1) =(r4 + 2r 2 + 1)(r + 1) = (r 2 + 1)2(r + 1) = 0， (2) 特征根：r = ±i (二重共轭复根)，r = −1，
求二阶常系数齐次方程 y′′ + py′ + qy = 0 通解的步骤： 1. 写出特征方程：r 2 + pr + q =0， 2. 求出特征根 r1, r2， 3. 根据特征根的情况，通解分为三种情况： (i) r1 ≠ r2 ⇒=y C1er1x + C2er2x； (ii) r1 = r2 ⇒ y = (C1 + C2 x)er1x；
例4 求微分方程 y(4) − 2 y′′′ + 5 y′′ = 0 的通解.
解 (1) 特征方程：r 4 − 2r 3 + 5r 2 = r 2(r 2 − 2r + 5=) 0，
高等数学第十二章《常数项》复习 课件
12
例 1 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.(
p
0)
解
设 p 1,
1 np
1, n
则P 级数发散.
y
设 p 1,由图可知
1
np
n dx x n1 p
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
y
1 xp
(
p
1)
1
2 1
dx xp
n dx x n1 p
o 1234
x
13
级数收敛
lim
n
un
0.
证明 s un 则 un sn sn1 ,
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
8
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
2.必要条件不充分.
例如调和级数 1 1 1 1
23
2! 3!
n0 n!
(5) sin x x x3 x5
3! 5!
(1)n
1 (2n1)!
x 2n1
,
x
(,
)
n0
(6) cos x 1 x2 x4
2! 4!
n320
(1)n
1 (2n)!
x2n ,
x
(, )
注意： 把函数展开为幂级数的间接展开法实际上就是转化
函数 转化 展开式已知的新函数
n
有
lim
高等数学第十二章微分方程
2
dy 1 dy y 2 y 2 。这是贝努利方程， 解出 ? ，得 dx x dx
对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如
果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这 时常用的方法和技巧如下： A.熟悉常用的微分公式； B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程； C．变换自变量和因变量（即有时把 y看成自变量，而 考虑
dx 的方程类型）。 dy
一阶微分方程的解题方法流程图如下。
解题方法流程图
求Pdx Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 No Yes
P Q y x
dy 解出 dx = f ( x, y )
No
可分离变 量方程
全微分 方程
齐次方程
dy y ( ) dx x
dy P ( x ) y Q( x ) dx
一阶线性方程
dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
dy y （2）齐次方程： dx x
dy P ( x ) y Q( x ) （3）一阶线性微分方程： dx
dy n （4）伯努利方程： P ( x ) y Q( x ) y ( n 0,1) dx
（5）全微分方程：P ( x , y )dx Q( x , y )dy 满足 ,0
y dy du u x 解：令 u ,于是 y ux , ,上式可化为 x dx dx
du 1 u cos u u x sec u u dx cos u
du sec u , 为可分离变量的方程 即x dx
分离变量 积分得 所以 故原方程的通解为
dx cos udu x sin u ln x ln C
dy 1 dy y 2 y 2 。这是贝努利方程， 解出 ? ，得 dx x dx
对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如
果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这 时常用的方法和技巧如下： A.熟悉常用的微分公式； B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程； C．变换自变量和因变量（即有时把 y看成自变量，而 考虑
dx 的方程类型）。 dy
一阶微分方程的解题方法流程图如下。
解题方法流程图
求Pdx Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 No Yes
P Q y x
dy 解出 dx = f ( x, y )
No
可分离变 量方程
全微分 方程
齐次方程
dy y ( ) dx x
dy P ( x ) y Q( x ) dx
一阶线性方程
dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
dy y （2）齐次方程： dx x
dy P ( x ) y Q( x ) （3）一阶线性微分方程： dx
dy n （4）伯努利方程： P ( x ) y Q( x ) y ( n 0,1) dx
（5）全微分方程：P ( x , y )dx Q( x , y )dy 满足 ,0
y dy du u x 解：令 u ,于是 y ux , ,上式可化为 x dx dx
du 1 u cos u u x sec u u dx cos u
du sec u , 为可分离变量的方程 即x dx
分离变量 积分得 所以 故原方程的通解为
dx cos udu x sin u ln x ln C
高等数学第12章 概率论与数理统计
记作B A
易知：A B, 即事件A与B为互逆事件
高等数学
6. 事件的运算律
1、交换律：A B＝B A，AB＝BA 2、结合律：(A B) C＝A (B C)
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(A B)C＝(AC) (BC)，
(AB) C＝(A C)(B C) 4、对偶(De Morgan)律：
A U B A I B, AB A U B
推广：U Ak I Ak , I U Ak Ak .
k
k
k
k
高等数学
例 甲、乙两人各向目标射击一次，设：
A=甲击中目标，B 乙击中目标
试用A、B的运算关系表示下列事件 ：
A1 目标被击中： A U B A2 两人恰有一人击中目标： AB U AB A3 目标未被击中： AB A4 两人都击中目标： AB
P(A | B) 1 3
高等数学
条件概率计算
P( A | B) P( AB) P(B)
P(B | A) P( AB) P( A)
高等数学
概率的乘法公式
两个事件 ： P( AB) P( A)P(B | A) P(B)P( A | B)
三个事件 ：
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A2 A1 )
高等数学
概率的性质
1） 对于任一事件 A，有 0 剟P(A) 1
2） 0P() 1， P() 0
3） 若 0AB, 则Æ
0P(A U B) P(A) P(B)
推论： 对于任一事件 ，A有 0P(A) 1 P(A)
推广： n个事件A1，A2，L ，An是互不相容的事件组，有
易知：A B, 即事件A与B为互逆事件
高等数学
6. 事件的运算律
1、交换律：A B＝B A，AB＝BA 2、结合律：(A B) C＝A (B C)
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(A B)C＝(AC) (BC)，
(AB) C＝(A C)(B C) 4、对偶(De Morgan)律：
A U B A I B, AB A U B
推广：U Ak I Ak , I U Ak Ak .
k
k
k
k
高等数学
例 甲、乙两人各向目标射击一次，设：
A=甲击中目标，B 乙击中目标
试用A、B的运算关系表示下列事件 ：
A1 目标被击中： A U B A2 两人恰有一人击中目标： AB U AB A3 目标未被击中： AB A4 两人都击中目标： AB
P(A | B) 1 3
高等数学
条件概率计算
P( A | B) P( AB) P(B)
P(B | A) P( AB) P( A)
高等数学
概率的乘法公式
两个事件 ： P( AB) P( A)P(B | A) P(B)P( A | B)
三个事件 ：
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A2 A1 )
高等数学
概率的性质
1） 对于任一事件 A，有 0 剟P(A) 1
2） 0P() 1， P() 0
3） 若 0AB, 则Æ
0P(A U B) P(A) P(B)
推论： 对于任一事件 ，A有 0P(A) 1 P(A)
推广： n个事件A1，A2，L ，An是互不相容的事件组，有
高等数学课件第十二章微分方程127高阶线性微分方程
1恢复 f力 c;x
2阻力 Rdx;
dt
o x
x
Fm,amd2xcxdx,
d2t
dt
d2x2ndxk2x0 物体自由振动的微分方程 d2t dt
若受到铅直F 干 H 扰 si力 np,t
d2x2nd xk2xhsip nt强迫振动的方程 d2t dt
例2 设有一个R 由 、电 自L 阻 感 、电C容 和电E源 串联
证 (y1*y2*)P(x)(y1*y2*)Q(x)(y1*y2*) [y1*P(x)y1* Q(x)y1*] [y2*P(x)y2* Q(x)y2*]f1(x)f2(x).
三、常数变易法
1 齐次线性方程求线性无关特解---降阶法
设y1是方(程 1)的一个非零特解， 令 y2u (x)y1代入(1)式, 得
组成的,其 电中 路 R、L及C为常,电 数源电动势是
t的函:数 EEmsint,这里 Em及也是常 . 数
解 设电路中的电 i(t)流 ,电为 容器
极板上的电荷 q(t量 ),两为极板
Ri
间的电压 uc,自 为感电动E势L. 为L
dq q
di
C
E~
id,tucC,E LLd,t
q q K
且y2 y1
tanx常数 , y C 1 cx o C s 2 sx i.n
推论 如果y1(x),y2(x),, yn(x)是n阶齐次线性方程
y(n) a1(x)y(n1) an1(x)y an(x)y 0 的n个线性无关,的 那解 么,此方程的通解为
y C1y1(x)C2y2(x)Cnyn(x), 其中C1,C2,,Cn为任意常. 数
特别地
若 在 I上 有 y1(x)常 y2(x)
《高等数学(下册)》 第12章
n
0 时， (i ，i )si 的极限即为曲线形构件的质量，即 i 1
n
M
lim 0
i 1
(i
，i )si ．
上述例子是通过“分割、近似、求和、取极限”的方法来计算密度不均匀的曲
线形构件质量，对该过程进行提炼，便可得到对弧长的曲线积分的概念．
12.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质
2．概念与性质
定义 设 L 为 xOy 面内的一条光滑曲线弧，函数 f (x ，y) 在 L 上有界．在 L 上用任
意的 点 M1 ，M2 ， ，Mn1 把曲线弧 L 分 割成 n 个小 弧段，记第 i 个 小弧段的 长度为
si (i 1，2 ， ，n) ，并在 si 上任取一点 (i ，i ) si ，作乘积 f (i ，i )si ，并作和
x y
(t) ， (t) ，(
t
)，
若(t) ， (t) 在[ ， ] 上具有一阶连续导数且不同时为零，则曲线积分 f (x ，y)ds 存在， L
且
f (x ，y)ds f [(t) ， (t)] 2 (t) 2(t)dt ( ) ．
L
（12-1）
由以上定理可知，在计算对弧长的曲线积分时，只要将被积表达式中的 x ，y ，ds 依
12.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质
1．引例——曲线形构件的质量 为了方便理解，曲线形构件可理解为一根弯曲的金属细丝．若曲线形构件为均 匀质体，即其线密度为常数，则构件的质量就等于线密度与构件长度的乘积．若构 件为非均匀质体，则不能直接用上述方法来计算．一般情况下，由于工艺制造的原 因，曲线形构件多为非均匀质体，因此，可认为曲线形构件的线密度是变量．
最后，要取得功 W 的精确值，只需对上述式子求极限即可，即
高等数学第十二章 拉普拉斯变换
第十二章 拉普拉斯变换
第一节 拉氏变换的概念 第二节 拉氏变换的性质 第三节 拉普拉斯逆变换 第四节 拉氏变换应用举例
第一节 拉氏变换的概念
一、拉氏变换的定义 二、常见的拉氏变换
一、拉氏变换的定义
定义 设函数 f ( t ) 当 t 0 时有定义，而且积分
f (t)estdt s 是一个复参量，在积分
二、微分性质
例4 求函数 f (t) t sin kt 的拉氏变换
解 因为 F (s ) L tf(t) L tf(t)
而
L[sinkt]
s2
k k2
故有
L ts in k t L tf( t) F (s ) (s 2 k k 2 ) s ( s 2 2 k k s 2 ) 2
则对于任意非负实数 ，有 L[f(t)]esF(s)
例6 求下列函的拉氏变换.
0, t 0,
1）u(t ) 01,
t , t ;
2） f
(t)
c,
2
c
,
0 t a, a t 3a,
解 1）由 L [u (t )] 1 得 L[u(t)]1es 0
所以 L [ f ( t ) ] L [ c u ( t ) ] L [ c u ( t a ) ] L [ 2 c u ( t 3 a ) ]
cceas 2ce3as
ss
s
c(1eas 2e3as) s
第十二章 拉普拉斯变换
第一节 拉氏变换的概念 第二节 拉氏变换的性质 第三节 拉普拉斯逆变换 第四节 拉氏变换应用举例
推论 若 L[f(t)]F(s)， 则有 L [ f ( n ) ( t ) ] s n F ( s ) s n 1 f ( 0 ) s n 2 f ( 0 ) f ( n 1 ) ( 0 ) 当初值 f(0 ) f(0 ) f(n 1 )(0 ) 0时，有
第一节 拉氏变换的概念 第二节 拉氏变换的性质 第三节 拉普拉斯逆变换 第四节 拉氏变换应用举例
第一节 拉氏变换的概念
一、拉氏变换的定义 二、常见的拉氏变换
一、拉氏变换的定义
定义 设函数 f ( t ) 当 t 0 时有定义，而且积分
f (t)estdt s 是一个复参量，在积分
二、微分性质
例4 求函数 f (t) t sin kt 的拉氏变换
解 因为 F (s ) L tf(t) L tf(t)
而
L[sinkt]
s2
k k2
故有
L ts in k t L tf( t) F (s ) (s 2 k k 2 ) s ( s 2 2 k k s 2 ) 2
则对于任意非负实数 ，有 L[f(t)]esF(s)
例6 求下列函的拉氏变换.
0, t 0,
1）u(t ) 01,
t , t ;
2） f
(t)
c,
2
c
,
0 t a, a t 3a,
解 1）由 L [u (t )] 1 得 L[u(t)]1es 0
所以 L [ f ( t ) ] L [ c u ( t ) ] L [ c u ( t a ) ] L [ 2 c u ( t 3 a ) ]
cceas 2ce3as
ss
s
c(1eas 2e3as) s
第十二章 拉普拉斯变换
第一节 拉氏变换的概念 第二节 拉氏变换的性质 第三节 拉普拉斯逆变换 第四节 拉氏变换应用举例
推论 若 L[f(t)]F(s)， 则有 L [ f ( n ) ( t ) ] s n F ( s ) s n 1 f ( 0 ) s n 2 f ( 0 ) f ( n 1 ) ( 0 ) 当初值 f(0 ) f(0 ) f(n 1 )(0 ) 0时，有
12高等数学课件详细
发散 .
例4.
判别级数
ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n2
n
ln
1
1 n2
lim
n
n
2
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 ln1
n1
1 n2
收敛 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’ALEMBERT
判别法)
设 un 为正项级数, 且 lim n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un1 un
,
则
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(3) 当 1 时, 级数可能收敛可能发散 ;
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
例如, p – 级数
1 n1 n p
:
lim un1 n un
1
lim
.
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
lim (S2n Sn ) 0
n
但
S2n
Sn
1 n 1
1 n2
1 n3
1 n 1 2n 2n 2
矛盾! 所以假设不真 .
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
n1
un 也收敛 ;
n1
vn 也发散 .
n1
例1.
讨论
P
高等数学课件--第十二章 微分方程12-4 一阶线性微分方程
2
解 n 2,令
则原方程化为
z y
1 n
1 y
,
dz dx
z (cos x sin x ),
所以
1 y
2
dx dx z e (sin x cos x )e dx C
e [ (sin x cos x ) e
x
代入原方程 ，得 yf ( v ) dx g ( v )( dv ydx ) 0 ,
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u( x )e
u( x )[ P ( x )]e
,
将 y 和 y 代入原方程得
u ( x )e
P ( x ) dx
Q ( x ),
积分得 u( x ) Q( x )e
P ( x ) dx
dx C ,
0
x
ydx x y ,
y f (x)
P
两边求导得 y y 3 x 2 ,
o
x
x
解此微分方程
y y 3 x
y e
dx
2
C
3x e
2
dx
dx
Ce
x
3 x 6 x 6,
2
由 y |x0 0, 得 C 6,
yf ( x ) dx [ 2 xf ( x ) x ]dy 在右半平面
2
( x 0 )内与路径无关
, 其中 f ( x ) 可导 , 且 f ( 1 ) 1 , 求 f ( x ).
[解答]
4 求下列伯努利方程的通
解 n 2,令
则原方程化为
z y
1 n
1 y
,
dz dx
z (cos x sin x ),
所以
1 y
2
dx dx z e (sin x cos x )e dx C
e [ (sin x cos x ) e
x
代入原方程 ，得 yf ( v ) dx g ( v )( dv ydx ) 0 ,
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u( x )e
u( x )[ P ( x )]e
,
将 y 和 y 代入原方程得
u ( x )e
P ( x ) dx
Q ( x ),
积分得 u( x ) Q( x )e
P ( x ) dx
dx C ,
0
x
ydx x y ,
y f (x)
P
两边求导得 y y 3 x 2 ,
o
x
x
解此微分方程
y y 3 x
y e
dx
2
C
3x e
2
dx
dx
Ce
x
3 x 6 x 6,
2
由 y |x0 0, 得 C 6,
yf ( x ) dx [ 2 xf ( x ) x ]dy 在右半平面
2
( x 0 )内与路径无关
, 其中 f ( x ) 可导 , 且 f ( 1 ) 1 , 求 f ( x ).
[解答]
4 求下列伯努利方程的通
12-XT高等数学微积分十二章全绝对详细市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
d
y x
xdy x2
ydx y2
d arctg
y x
xdy ydx d ln xy
xy
xdx x2
ydy y2
d
1 2
ln(
x
2
y 2 )
xdy x2
ydx y2
d 1 ln 2
x x
y y
可选用积分因子
x
1
y
,
1 x2
,
1 x2 y2
,
x2
1
y2
,
x y2
,
y x2
ydx xdy dx dy 2
x2 y2
d( y)
2 1
x (y
)2
,
x
1 y
x
y
ln 1
x y
ln C ,
x
故方程旳通解为 e x y C x y . x y
例5 求通解 y 1 y2 . 2y
解 方程不显含 x .
令 y P, y P dP , 代入方程，得 dy
dP 1 P 2
2ucos u
x
两边积分
ln(ucos u) ln x2 lnC ,
ucos u C , x2
y yC cos ,
x x x2
所求通解为 xy cos y C. x
4
例2 求通解 xy 2 y 3x3 y3 .
解
原式可化为
y
2
y
3x2
4
y3,
伯努利方程
x
即
4
y3
y
2
1
y3
3x2,
欧拉方程
微分方程解题思绪
高等数学 第十二章 差分方程
于是
y
x
3 x 2
6x
9
原方程通解为 yx C 2x 3 x2 6 x 9.
例3
解
求差分方程 y x1 5
对应齐次方程通解
yx
Yx
3, y0
C 5x
7 的特解．
3
1不是特征方程的根， 设 yx A，
代入方程, 得 A 3，
4
方 程 的 通 解 为y x
3 4
C
5x ,
将y0
7 3
代 入 ， 则C
7 3
3 4
37 12
故 方 程 的 特 解yx
37 12
5x
3 4
.
例4求差分方程 yx1 yx x3 3x2 2x的通解.
解 1是特征方程的根，
这类方程可用另一种较简单的方式求解.
方程左边为y
，右边为
x
x3 3x2 2x x x2 3x 2
xx 1x 2 x3
的解法 的解法
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式
y x1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
注：1为2所对应的一阶常系数齐次线性差分方程.
一、齐次方程
的解法
1.迭 代 法
yx1 ayx 0(a 0为常数)
3 yx yx 1 0，虽然含有三阶差分， 但 实 际 上 是 二 阶 差 分 方程 ，
由于该方程可以化为 yx3 3 yx2 3 yx1 1 0因此它是二阶差分方程， 事实上，作变量代换t x 1，即可写成 yt2 3 yt1 3 yt 1 0.
高等数学第十二章 拉普拉斯变换
结论
L[ f (t )] 11eTs
T f(t)estdt
0
(Re(s) 0)
二、常见的拉氏变换
0, t 0,
定义
设
(t)
1
0 t , 当 0 时， ( t ) 的极限
0 t .
lim (t) (t) 称为狄拉克函数，简称 —函数。 0
例1 求函数 f (t) 1(1eat ) 的拉氏变换. a
解 L[ f (t)] L[1(1eat)]1L[1eat]
a
a
1L[1]1L[eat] aa
1 1 1 as a(sa) s(sa)
二、微分性质
性质 若 L[f(t)]F(s)，则有 L [f(t)] sF (s) F (0 )
2）由
L[tsint] 2s (s21)2
F(s)
得
L [ e 2 tts in t] F [ s ( 2 ) ] F ( s 2 )
2(s2)
2s4
[(s2)21]2 (s24s5)2
五、延迟性质
性质 若 L[f(t)]F(s)，又 t 0 时， f (t) 0 ，
L[sint]ds
0t
0
0s211dsarctans02
例6 解
计算 tet sintdt
0 由本节例4得
F (s)0 tsinte std tL [tsint](s2 2 s1 )2
令 s 1 ，得 tet sintdt 1
第十二章 拉普拉斯变换
第一节 拉氏变换的概念 第二节 拉氏变换的性质 第三节 拉普拉斯逆变换 第四节 拉氏变换应用举例
高等教育出版社《高等数学》同济第六版下册第十二章PPTD12_4函数展开成幂级数
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
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为避免研究余项 , 设此级数的和函数为F ( x) ,1 x 1 则 F ( x) 1 m x m(m 1) x 2
2! F ( x) m 1 m 1 1 F ( x) F ( x)
m
m( m 1) ( m n 1) n! ( m 1) ( m n 1) ( n 1) !
x
n
x
x
n 1
(1 x) F ( x) mF (x), F (0) 1
推导
0
x
dx
0 1 x d x
x
m
ln F ( x) ln F (0) m ln(1 x)
e
(n 1) !
x
n 1
e
x
n
( 在0与x 之间)
故 e 1 x
x
1 2!
x
2
1 3!
x
3
1 n!
x ,
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n
例2. 将
解: f
f
(n)
展开成 x 的幂级数.
( x)
(n )
0, (0) k ( 1) ,
F ( x) (1 x)
推导
目录
上页
下页
返回
结束
由此得
(1 x)
m
1 m x
m( m 1) 2!
x x
n
2
m( m 1) ( m n 1) n!
称为二项展开式 .
说明：
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证 Snu1u2 un
"" un收敛
{Sn}收敛 Sn M
n1
"" Sn M 又 Sn 1Snun 10
{Sn}
nl imSn存在
un收敛 n 1
第二节 正项级数的收敛判别法
2. 正项级数的证明方法
比较法
不 等 式 形 式
极限形式
比值法
根 值 法
第二节 正项级数的收敛判别法
① 比较法 A.不等式形式 0un vn
11 181 9 10 16 16 2 2n112n12 21 n122nn 11 2
(
1
n1 2n 1
21n1) 发散
11 1111 1 1 (3 4 ) (5 6 7 8 ) (2 n 1 2 n 1 )发散
1111 1 234 n
发散
第二节 正项级数的收敛判别法
1.正项级数收敛的充分必要条件：前n 项和 S n 有上界.
n
1aq
其和为
a 1 q
;
因此级数收敛 ,
当q1时, nl im Sn, 因此级数发散 .
第一节 常数项级数
2) 若 q 1,则
当q1时, Snna ,因此级数发散 ;
当q1时 ,级数成为
a a a a ( 1 )n 1 a
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而 lim Sn 不存在 , 因此级数发散.
2 12 13 13 14 14 1 解 考虑加括号后的级数
(1 1 ) (1 1 ) (1 1 )
2 12 1 3 13 1 4 14 1
an
1 n1
1
n1
n
2 1
n2
an
2
n 1
1 n
发散 , 从而原级数发散 .
第一节 常数项级数
例
证明:
111 23
第十二章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
整体概况
+ 概况1
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概况2
+ 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后。
DMU
概况3
+ 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后。
第十二章 无穷级数
第一节 第二节
第一节 常数项级数
③ un收, 敛 vn发 散 (un vn)发散
n 1
n 1
n 1
④ 级数收敛与否与前有限项无关
⑤ 级数收敛 加括弧后收敛
即 u1u2 un 收敛.
则 (u 1u2)(u3u4) 收敛.
注:如果加括弧级数发散 去括弧后发散
第一节 常数项级数
例 判断级数的敛散性:
1 1 1 1 1 1
ank a(k)
3 ) ln ia m nab N , a n b
anb ab anb ab
第一节 常数项级数
4 ) x l im x 0f(x ) A x n k x 0(x n k x 0 )(k )
f (xnk )A
例如 limn2((11)2n e2)
n
n
(11)2x e2 lim x
n
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1时, 等比级数发散 .
第一节 常数项级数
常数项级数的性质 ①级数收敛的必要条件
n 1un收敛 n l im un0
lni mun
0 un
n1
发散
② un, vn收 敛 (un vn)收敛
n 1 n 1
n 1
& kun收敛. n1
第一节 常数项级数
定义 给定一个数列 u 1,u 2,u 3, ,u n, 将各项依
次相加, 简记为 u n , 即
n 1
u n u 1 u 2 u 3 u n
n 1
称为无穷级数， 其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项,
n
级数的前 n 项和 Sn uk u 1 u 2 u 3 u n
2ln(11)
limex x
e2
x0
x2
x0
x2
e (e 2
2ln(11)2 xx
1)
lim
x0
x2
第一节 常数项级数
5)两边夹法则
已an 知 bncn,
l n i m a n a l n i m c n l n i m b n a . 6 ) 单调有界数列
a n ,a n M n l ia m n a , a n ,a nM n l ia m n a .
n1
vn收敛
un收敛
n 1
.
n 1
un发散
发散
n1
vn
证 Tnv1v2 vn, Snu1u2 un
vn收敛
1 n
(调和级数)发散.
证 解法1
假设调和级数收敛
，前n项和为 S
，
n
即Sn
11 2
1, n
lim
n
Sn
S,
lim
n
S2n
S,
则 n l im (S2nSn)0
11
1
S2nSnn 1n2
2n
1 1 1 0 2n 2n 2n
矛盾
11 1 发散
2
n
第一节 常数项级数
解法2
1 1 1 ，111141， 3 4 2 5678 8 2
第一节 常数项级数
例 讨论等比级数 (又称几何级数)
a q n a a q a q 2 a q n (a 0 )
n 0
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解 1) 若 q1, 则部分和
S n a a q a q 2 a q n 1 a
a q 1 q节 常数项级数
常数项级数的概念
引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 32n(n0,1,2, )边形, 设 a0 表示 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 32n 边形面积为
a 0 a1 a2 an n时, 这个和逼近于圆的面积 A . 即 A a 0 a 1 a 2 a n
k 1
称为级数的部分和. 若limSnS存,在 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和.
第一节 常数项级数
记为
S un
n 1
若limSn不存,在 则称无穷级数发散 .
n
当级数收敛时, 称差值
r n S S n u n 1 u n 2
为级数的余项. 显然
nl im rn 0
第三节 第四节 第五节
第六节 第七节 第八节
常数项级数 正项级数的收敛判别法
一般常数项级数的收敛判别法 幂级数 函数的幂级数展开
幂级数的应用 周期函数的傅里叶级数 非周期函数的傅里叶级数
第一节 常数项级数
有关数列的性质
1 ) (N) 0,N当nN, an a
2 ) ln im an a lni m an2k lni m an2k1a