高中数学函数总复习

解：ylg(9a3x)定义域是(,1)
x,1 ，9 a3x 0恒成立 x,1 ，a 3(2x)恒成立。
又 lim3(2x) 3且3(2x) 3 x1－
a 3.
例6、ylg(9a3x)的定义域是(,1]，求 a的取值范围.
解：ylg(9a3x)的定义域是(,1]
x ,1，9 a 3x 0恒成立 x ,1，a 3(2x)恒成立。
例题精讲： 例1、求函数的定义域 y 16x2lgsinx
解：依据题意16x20 （1） sinx0 （2）
由（1）式得4x4 （3） 由（2）式得2kx2k,kZ （4） （3）（4）取交集得定义域[4, )(0, ]
例2、已知f(log2x)的定义域为(1,2]，求 f(2x)的定义域.
解：∵x(1,2] ∴log2x(0,1], ∴2x(0,1] ∴x(,0].
例11、 f x 2x 3, yg(x)的图像与yf1(x1)的图
x1 像关于yx对称，求g(3)的值 .
解：由已知得yg(x)为yf1(x1)的反函数。
由yf1(x1)得f(y)f[f1(x1)]x1 ∴ xf(y)1 ∴g(x)f(x)1
g(3)f3123317
31 2
注意：f(x1)的反函数是f1(x)1而不是f1(x1) .
解法1： y f(x)的图像经过点（0，1） ∴ f(0)1所以y f(x4)图像过(4,1) ∴ f(x4)的反函数的图像必经过（1，4）
解法2： 先求y f(x4)的反函数，得f1(y)f1[f(x4)] ∴ f1(y) x4 ∴ x f1(y)4 习惯上反函数写为yf1(x)4 又∵y f(x)的图像经过点（0，1）， ∴f1(1)0 ∴yf1(x)4过（1，4） ∴ f(x4)的反函数的图像必经过（1，4）
解： ∵ f(4)244 20, ∴ 像20的原象为4.
例2、A{a,b,c,d},B{1,2,3}，A到B的映射有 个，B 到A的映射有___个.
解：a的象为1，2，3中任意一个数，故共有3种选择。 类似的，b，c，d的象也都有3种选择。 所以A到B的映射共有333334个；同理B到A的映射有43个.
3、反函数知识要点 （1）反函数：设A 和B分别是函数yf(x)的定义域和值域，我们
根据这个函数中x、y的关系，把x用y表示，得到x(y)，如果 对于B中的每一个元素y通过x(y)在A中都有唯一的x与之对 应，那么x(y)就表示以y为自变量，数集B到数集A的函数， 称x(y)(yB)为yf(x)(xA)的反函数，记作xf1(y)，习惯上
例3、已知函数
y
kx7 kx2 4kx3
的定义域为R，则k的取
值范围
解：定义域为Rkx24kx30当xR时，恒成立:
(1)当k0时，显然kx24kx30当xR时，恒成立;
(2)当k0时，kx24kx30当xR时恒成立的充要条件是0，
即16k212k0 ，解得 0 k 3
4
综合(1)，(2)得
k
例 1 2 、 已 知 fx2x 2 x1， 求 f 1(1 3)
解 ： 令 1 2x 解 得 2x1
3 2x1
2
x1, f1(1)1 3
例13、已知 y 2x ,x(1,)，求其与其自身的反函
1x
数图像的交点坐标。
解：函数与其自身的反函数的交点必在直线yx上
y
2x 1 x
解得x0或1 ∴交点的坐标（0，0），（1，1）.
x3
x3
x3
y 2
y的值域： y | y 2, y R。
（ 3 ） y lo g 33 2 x x 2
解 ： 令 32xx20得 1x3令 t32xx2由 1x3知 t0,4
又ylog3 32xx2 log3t当 t0,4单 调 递 增
ylog3t,log34 原 函 数 的 值 域 是 ,2log32
例4、f(x)的定义域是xR,且x0, f(x)2f(1)x1，
x
求f(x).
解：已知 f(x)2f(1x)x1（1） 将
1 x
带入（1）得
f (1)2f (x) 11（2）
x
x
联立（1）（2）解得 f (x) 11x 2
3 3x
例5、已知 y3x21(1x0)，求其反函数
解： x[1,0) x2 (0,1]
解：∵|f1(x1)|1 ∴1 f1(x1)1 ∵ f(x)是R上的增函数. ∴f(1) f[f1(x1)]f(1) ∴f(1)xf(1) 又∵ f(x)图像过（1，3），（1，2） ∴f(1)3, f(1) 2 ∴ 2x3 ∴解集为{x| 2x3}.
例10、若函数y f(x)的图像经过点(0，1)，则函数 f(x4)的反函数的图像必经过（ ） A、(1，4) B、(0，1) C、(4，1) D、(1，4)
3、求值域的基本方法：
(1)配方法：主要用于求“二次函数类”值域，
形如 F(x)a[f2(x)bf(x)c]的函数值域问题。
(2)反函数法：利用函数与其反函数定义域与值域的互逆关系，
通过求反函数定义域来求原函数值域,形如
y cxd (a 0) ax b
均可用这种方法，当然这种类型的函数也可以通过分子降次，
例8、已知函数 f x ex ex ，求f 1(x)1的解集。
2
解： f x ex ex f xex ex 易知f ’(x)0
2
2
∴ f(x)在定义域内单调递增 ∴f[f1(x)]f(1)
∴ xf(1) x e 2 1
2e
∴
f1(x)
1的解集为
x
|
x
e2 1 ,
2e
xR
例9、f(x)是R上的增函数，图像过(1，3)，(1，2)， 则|f1(x1)|1的解集为多少?
x21(1,0] y 3x21(1,1] 3
又
y 3x2 1 x2 log3 y1
又 x[1,0) x log3 y1
习惯上，反函数写为 y log3x1,x(13,1]
例6、若函数y f(x)是函数 y11x2 1x0的反
函数，则y f(x)的图形
大致是（ ）
解：原函数过（0，0），（1，1）所以y f(x)过（0，0）， （1，1）故选C .
0
,
3 4
.
例4、已知 f x1x2x，求f(x)，f(x1)，f(x2)
及其定义域。
解： x 11 ∴f(x)的定义域[1,) 对于f(x1)，令x11 ∴x0 ∴f(x1)定义域x0 对于f(x2)，令x21 ∴x1或x1 ∴ f(x1)定义域: ( , 1 ] [1 , ).
例5、ylg(9a3x)的定义域是(,1)，求 a的取值范围.
分离常数来求解.
(3)换元法：主要通过代数或三角代换，把所给的函数转化为易 求值域的函数，形如 yaxb cxd的函数常用此法. (4)利用均值不等式 ab2ab(a,bR)求值域，但要注意等号 成立的条件. (5)利用导数求最值从而求值域. (6)数形结合求值域.
(7)利用判别式求值域，设A 和B分别是函数yf(x)的定义域和 值域，对于yf(x)的值域B，从方程的角度来看就是关于x的方程 在定义域A内有解的y的取值范围，依此可以利用判别式来求值 域。
y x
二、函数的定义域和值域 知识要点
1、求具体函数的定义域 基本思想式从基本初等函数的定义域出发去考虑，如分式分母 不为0，对数真数大于0等。 2、求抽象函数的定义域 (1)已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域; (2)已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域;
(3)已知f[g(x)]的定义域求f[(x)]的定义域 .
例3、(1) f(3x1)4x3,求f(x)
解：设3x1t，则 x t 1 3
所以 f (t)4t 13 即 f (t) 4t 5
3
3
f (x) 4x 5 3
(2 )已 知 f(xx 1)x2 x 212 x,求 f(x).
解 ： f(xx 1 ) x 2 x 21 2 x x 2 x 2 2 x 1 xx 1 2 f (x) x 2 (x 1)
例7、已知函数 y a x 的反函数的对称中心为
xa1
（－1，3），求a的值.
解： y a x 的反函数对称中心为（－1，3）
x a 1
则 y a x 的对称中心（3，－1）
x a 1
又 yax 1 1 xa1 xa1
由图像知xa1,y1为 y a x 的渐近线，
x a 1
(a1,1)为对称中心，∴a13 ∴a2.
当k
1时0
1 k
1，x
1 k
或x
1，
f
(x)定义域x
|
x
1 k
或x
1
例8：求下列函数的值域:
（ 1） yx 12x
解：令t 12x(t 0)x1t2 2
y1t2 t 1t2 t1－1(t1)2 1(t 0)
2
2
22
t 1，y有最大值，ymax 1y,1
（2）y 2x 1 x3
解：
y 2x 1 (2x 6) 5 2 5
a 3(2x) x ,1 min
a 3a取值，3
例7、 ylg(kx1),(kR,k0)求f(x)定义域.
解
：令(kx
1)
x1
0得k(x
1)(x
1)
0
x 1
k
k 0(x 1)(x 1) 0 k
当0
k
1时1 k
1，x
1 k
或x
1，
f
(x)定义域x
|
x
1 k
或x
1
当k 1时(x 1)2 0，x 1， f (x)定义域x | xR且x 1
用x表示自变量，y表示函数，所以yf(x)(xA)的反函数习惯 上写作yf1(x) .
（2）求反函数的方法 确定yf(x)的值域反解出x（用y表示x）用习惯的表示方法 写出解析式及定义域.
（3）yf(x)与yf1(x)图像及性质的联系 a、yf(x)的定义域是yf1(x)的值域，yf(x)的值域是yf1(x)的 定义域 .
（3）一一映射：设A,B是两个集合，f : AB是集合A到集合B的 映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合 B有不同的象，而且集合B中的每一个元素都有原象，那么这 个映射叫做A到B上的一一映射。
2、函数知识要点 （1）函数：设A,B是两个非空数集，那么A到B的映射f : AB叫
做A到B的函数。，记作yf(x)。原象的集合A叫做函数yf(x)的 定义域，像的集合C(CB)叫做函数yf(x)的值域。 （2）函数的三要素：定义域、对应法则、值域. （3）函数的表示方法：图表法、图像法、解析法. （4）相同函数：定义域和对应法则都相同的函数.
b、yf(x)与yf1(x)图像关于直线yx对称; c、 yf(x)与yf1(x)单调性相同; d、yf(x)与yf1(x)或者同为奇函数或者同为非奇非偶函数. （4）函数yf(x)具有反函数的充分条件: yf(x)是单调函数.
例题精讲： 例1、f : NN , f(n)2nn , nN像20的原象是: （A）2 （B）3 （C）4 （D）5
例9、已知x[1,1],yx2ax3的最小值是多少?
解：y x2 ax3的对称轴是x a 2
1当
a 2
1时，f
(x)min
f
(1)
4a
2当1 a 2
1时，f
(x)min
f
( a) 2
a2 4
a2 2
3 3
a2 4
3当 a 2
1时f
(x)min
Baidu Nhomakorabea
f
(1)
4a
谢谢！
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一、映射、函数、反函数
1、映射知识要点 （1）、映射：设A,B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对
于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之 对应，这样的对应关系我们称从集合A到集合B的映射，记作 f : AB. (2)、象与原象：给定一个集合A到集合B的映射，且aA,bB， 如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象， 元素a叫做元素b的原象。