直线的两点式方程(导学案)
直线的点斜式方程 直线的两点式方程 导学案
3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程学习目标：1.正确理解直线方程的点斜式 斜截式的形式特点和适用范围，能利用直线的点斜式 斜截式公式求直线方程；2、掌握直线方程两点式和截距式的发现推导过程，并能运用这两种形式求出直线方程.3.独立思考，合作探究，通过具体实例，学会用点斜式 斜截式,两点式和截距式公式求直线方程的方法；4.了解直线方程的形式特点及适用范围，培养学生辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.学习过程： 同学们，如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？一．自学导引1.（复习）<1>直线的斜率定义是什么？直线的斜率公式是什么？<2>如何确定一条直线？<3>过已知点),(000y x P 的直线有多少条？过点),(000y x P ，斜率为k 的直线有多少条？2、阅读教材第92—93页内容，然后回答问题（点斜式方程）<1>如果已知直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ，设点),y x P （ 是直线l 上不同于点0P 的任意一点，你能求出直线的方程吗？<2>我们由<1>所得的方程是斜率存在的情况，若斜率不存在也就是倾斜角是直角的情况，方程怎么求？倾斜角为零度呢？预习自测：请同学们自学教材例1，并完成教材第95页练习1、2.第95页练习:1.（１） ，（２）(３) ，（４）２．（１）斜率是 ，倾斜角是 .（２）斜率是 ，倾斜角是 .3、阅读教材第94页思考上面的内容，回答问题（斜截式）<3>如果直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为),0(b ，代入直线的点斜式方程，我们能得到什么结论？结论：<3>我们可以得到 .即 ，我们把直线l 与y 轴的交点),0(b 的 坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.我们把这个方程叫做直线的 斜截式方程. 预习自测：①请同学们记住这个结论，并且思考，截距是距离吗？②观察方程b kx y +=，它的形式具有什么特点？k 和b 分别表示什么含义？③请同学们完成教材第95页练习3.第95页练习3：（１） ，（２）4.阅读教材94页例2，回答问题（复习直线垂直、平行的条件）<4>已知直线111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，那么21//l l ，21l l ⊥的条件分别是什么？若反过来，成立吗？ 结论： 212121,//b b k k l l ≠=⇔,12121-=⋅⇔⊥k k l l .（要注意特殊情况，譬如斜率不存在和斜率为零的情况） 预习自测：教材第95页练习4；（１） ，（２）5、阅读教材95—96页内容，结合前边内容，回答问题（两点式）<1>已知直线)),(),,(2121222111y y x x y x P y x P ≠≠，（，求直线21P P 的方程； 结论：<1>当21x x ≠时，所求直线的斜率)/()(1212x x y y k --=，任取),(),,(222111y x P y x P 中的一点，例如取),(111y x P，由点斜式方程，得， ))](/)[(112121x x x x y y y y ---=-（，当12y y ≠时，我们可以把方程写成下列形式：）（）（）（）（121121//x x x x y y y y --=--（这个式子对称、美观）；这个式子是由两点得到的，所以我们把它叫做两点式方程，简称两点式.<2>若点),(),,(222111y x P y x P ，21x x =或21y y =时，直线的方程又该如何表示？ 结论：<2>方程为1x x =或1y y =①请同学们思考一下，两点式运用的时候需注意什么？你能归纳出两点式的适用范围吗？②预习自测：第97页练习：1.（1）___________________6、请结合教材第96页例3，回答下列问题（截距式）<3>已知直线l 与x 轴的交点坐标为)0,(a A ，与y 轴的交点坐标为)0,(b B ，其中（）0,0≠≠b a ，求直线l 的方程.结论：<3>把)0,(a A 、)0,(b B 两点代入直线的两点式方程，可以得到 ，这个方程由x 轴的截距a 和y 轴的截距b 所确定，所以把这个方程叫做直线方程的截距式方程.①请同学们思考一下a 、b 表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？请同学们试着归纳总结一下！②预习自测：教材第97页练习1.<2>_____________________.2.(1)___________________(2)__________________小结： 点斜式方程:____________________ ( )斜截式方程:_____________________ ( )两点式方程:_____________________ ( )截距式方程:______________________( )二：典例分析：例1：已知直线l 的斜率为21，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程.例2：已知三角形的三个顶点 A （-5，0），B （3，-3），C （0，2），求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.例3：求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.三：拓展延伸：1.求与两坐标轴围成的三角形周长为9，且斜率为 34 的直线方程2.已知直线l 经过点P(1，2)，并且点A(2，3)和点 B(4，-5)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程.四：当堂检测：（1）经过点A(-1，2)，且与直线 y=3x+1垂直的直线方程_________________. （2）斜率为-2，且在y轴上的截距为5的直线方程_________________.（3）过点A(7,-4),B(-5,6)的直线方程__________________（4）经过点P(0，5)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程____________.五：小结：（1）知识内容：（2）学习方法：六：作业：1、必做题：习题3.2A组2、3、5、9，10；2、选做题：习题3.2B组1，7，8。
3导学案《直线的两点式截距式及一般式方程》
导学案 《直线的两点式和一般式方程》 【学习目标】 掌握直线方程的两点式、了解直线的截距式的形式特点及适用范围；明确直线方程一般式的形式特征；会把一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；会把点斜式、两点式化为一般式. 【学习过程】 一、课前导学：（不看书，自己回忆上节课学的内容，并填空） 1．直线的点斜式方程．．．．．是__________________；直线的斜截式方程．．．．是__________________． 2．直线过点(2,3)-，斜率是1，则直线方程为 ；直线的倾斜角为60ο，纵截距为3-，则直线方程为 .3．方程()331--=+x y 表示过点______，斜率是______，倾斜角是______，在y 轴上的截距是______的直线.4．已知直线l 经过两点12(1,2),(3,5)P P ,求直线l 的方程.二、新课导学：探究一：设直线l 经过两点),(),,(222111y x P y x P ，其中2121,y y x x ≠≠，则直线l 斜率是什么？结合前面学过的点斜式写出直线l 的点斜式方程. （写完后可对照课本P67，检查自己写的结果是否正确）思考：由一个点和斜率可以确定一条直线的方程，通过对上述问题的解决你能不能想到还有什么条件可以确定一条直线的方程吗？ 考虑后完成下列内容.1、直线两点式方程：方程 表示经过两点),)(,(),,(2121222111y y x x y x P y x P ≠≠的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.方程是由直线上 确定。
（1）、两点式适用范围是什么？（2）、若点),(),,(222111y x P y x P 中有21x x =，或21y y =，此时过这两点的直线方程分别是什么？探究二：已知直线l 与x 轴的交点为)0,(a A ，与y 轴的交点为),0(b B ，其中0,0≠≠b a .求l 的方程.（写出你的解题过程后再对照课本P67页例5，看你写的对不对）直线与x 轴的交点)0,(a 的横坐标a 叫做直线在x 轴的截距，简称横截距；此时直线在y 轴上的截距是b ，简称纵截距.2、直线的截距式方程：方程 由直线l 在两个坐标轴上的截距 确定，所以把此方程叫做直线的截距式方程，简称截距式。
3.2.2直线的两点式方程(导学案)
1．知识与技能：（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围．2．过程与方法：让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．3．情感态度与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；1、过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程_____________________． 它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．2、斜截式方程：b kx y += 理解“截距”与“距离”两个概念的区别.问题1.利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程. （2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线的方程．问题2.能否用直线的两点式方程写出满足下列条件的直线的方程.（1） 过点（1，2）和（1，-1）的直线.（2） 过点（1，2）和（-1,2）的直线.问题3.直线的两点式方程不能表示平面直角坐标系中的哪些直线？问题4.若点),(),,(222111y x P y x P 中有21x x =或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？问题5.已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程．学生问题6.直线的截距式方程不能表示平面直角坐标系中的哪些直线？题型一：已知两点求直线的两点式方程.例1：求过下列两点的直线的两点式方程。
（1）)1,2(1P ，)3,0(2P ． （2）)5,0(A ，)0,5(B ．题型二：根据直线的截距求直线的截距式方程例2：根据下列条件求直线的方程，并画出图形．（1）在x 轴上的截距是2，在y 轴上的截距是3．（2）在x 轴上的截距是-5，在y 轴上的截距是6．变式1：根据下列条件，求直线的方程．（1）过点（0,5），且在两坐标轴上的截距之和为2．（2）过点（5,0），且在两坐标轴上的截距之差为2．题型三：直线的两点式方程的综合应用．例3：已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
《直线的两点式方程》教案与导学案和同步练习
《2.2.2直线的两点式方程》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的两点式方程。
本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式的讨论及变形。
直线方程的两点式可由点斜式导出，若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程。
由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便。
在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式。
解决问题的关键是理解理解直线方程的两点式和截距式的形式特点及适用范围。
教学中应充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础。
发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.掌握直线的两点式方程和截距式方程.B.会选择适当的方程形式求直线方程.C.能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题. 1.数学抽象：直线的两点式方程和截距式方程2.逻辑推理：直线方程之间的关系3.数学运算：用直线的两点式方程与截距式方程求直线方程4.直观想象：截距的几何意义【教学重点】：掌握直线方程的两点式及截距式【教学难点】：会选择适当的方程形式求直线方程【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学我们知道在直角坐标系内确定一条直线的几何要素：点和倾斜角（斜率），即已知直线上的一点和直线的斜率可以确定一条直线，或已知两点也可以确定一条直线。
这样，在直角坐标系中，给定一个点通过对直线几何要素及点斜式方程的回顾，提出问题，让p 0(x 0,y 0)和斜率k,可得出直线方程。
若给定直线上两点p 1(x 1,y 1)p 2(x 2,y 2),你能否得出直线的方程呢?二、探究新知 1．直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义 ________________就是经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1点睛：1.当两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)的直线斜率不存在(x 1=x 2)或斜率为0(y 1=y 2)时,不能用两点式方程表示,即两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.2.对于两点式中的两个点,只要是直线上的两个点即可;另外,两点式方程与这两个点的顺序无关,如直线过点P 1(1,1),P 2(2,3),由两点 式可得y -13-1=x -12-1,也可以写成y -31-3=x -21-2.1. 把由直线上已知的两点坐标得到的直线方程化为整式形式(y-y 1)(x 2-x 1)=(y 2-y 1)(x-x 1),对两点的坐标还有限制条件吗?答案:这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方程.2.已知直线l 过点A(3,1),B(2,0),则直线l 的方程为 . 解析:由两点式,得y -10-1=x -32-3,化简得x-y-2=0. 答案:x-y-2=0二、直线的截距式方程 点睛：直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在x 轴和y 轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 3．在x ，y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( ) A ．x －3＋y 4＝1 B ．x 3＋y－4＝1 C ．x －3－y 4＝1 D ．x 4＋y－3＝1 答案A解析：由截距式方程知直线方程为x －3＋y4＝1.选A. 4.直线xa 2−yb 2=1(ab≠0)在y 轴上的截距是( )A.a 2B.b 2C.-b 2D.|b|答案:C解析:原直线方程化为截距式方程为x 2a 2+y 2-b 2=1,故在y 轴上的截距是-b 2.三、典例解析例1 已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求: (1)BC 边所在的直线方程; (2)BC 边上中线所在的直线方程.思路分析:已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程.解:(1)直线BC 过点B(0,-3),C(-2,1),由两点式方程得y+31+3=x -0-2-0,化简得2x+y+3=0.(2)由中点坐标公式,得BC 的中点D 的坐标为0-22,-3+12,即D(-1,-1).又直线AD 过点A(-4,0),由两点式方程得y+10+1=x+1-4+1,化简得x+3y+4=0.延伸探究例1已知条件不变,求: (1)AC 边所在的直线方程; (2)AC 边上中线所在的直线方程. 解:(1)由两点式方程,得y -01-0=x -(-4)-2-(-4),化简得x-2y+4=0.(2)由中点坐标公式得AC 边的中点E(-3,12),中线BE 所在直线的方程为y -(-3)12-(-3)=x -0-3-0,化简得7x+6y+18=0. 两点式方程的应用用两点式方程写出直线的方程时,要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时,不能用两点式.已知直线上的两点坐标,也可先求出斜率,再利用点斜式写出直线方程.例2过点P(1,3),且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0 C.3x-y=0D.x-3y+8=0思路分析:设出直线的截距式方程,然后利用点P 在直线上以及三角形的面积列出参数所满足的条件,解方程求出参数. 解析:设所求的直线方程为xa +yb =1(a>0,b>0),由于过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6, 因此有{1a+3b =1,12ab =6,解得{a =2,b =6,故所求直线的方程为3x+y-6=0.荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问如何设计才能使开发的面积最大?最大开发面积是多少?思路分析将问题转化为在线段AB 上求一点P,使矩形面积最大,根据图形特征,可建立适当的坐标系,求出AB 的方程.这里设点P 的坐标是关键.解:以BC 所在直线为x 轴,AE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(如图),由已知可得A(0,60),B(90,0), ∴AB 所在直线的方程为x 90+y60=1,即y=60(1-x90).∴y=60-23x.从而可设P(x,60-23x),其中0≤x≤90, ∴所开发部分的面积为S=(300-x)(240-y).故S=(300-x)(240-60+23x)=-23x 2+20x+54 000(0≤x≤90), ∴当x=-202×(-23)=15,且y=60-23×15=50时,S 取最大值为-23×152+20×15+54 000=54 150(m 2). 因此点P 距AE 15 m,距BC 50 m 时所开发的面积最大, 最大面积为54 150 m 2.归纳总结 二次函数最值问题,一方面要看顶点位置,另一方面还要看定义域的范围.结合图形求解,有时并非在顶点处取得最值. 三、达标检测四、小结五、课时练【教学反思】通过本节学习，要求学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程。
直线的两点式方程 导学案 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2.2.2 直线的两点式方程——高二数学人教A 版（2019）选择性必修第一册一、新知自学1.直线的两点式方程：经过两点111()P x y ，，222()P x y ，（其中12x x ≠，12y y ≠）的直线l 的方程为 ，这就是直线的两点式方程，简称 .2.直线的截距式方程：直线l 与x 轴的交点 的横坐标a 叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b . 方程1x y a b+=由直线l 在两条坐标轴上的 确定，则方程 叫做直线的截距式方程，简称截距式.二、问题思考1.用截距式表示直线的方程时应注意哪些问题？2.求直线方程的如何进行选择？三、练习检测1.在x 轴、y 轴上截距分别是2，3-的直线的方程为( )A.3260x y ++=B.3210x y ++=C.3260x y --=D.3210x y -+=2.过点，的直线方程是( )A. B. (1,2)(5,3)215131y x --=--213251y x --=--C. D. 3.（多选）下列说法正确的是( )A.点斜式适用于不垂直于x 轴的任何直线B.斜截式y kx b =+适用于不垂直于x 轴的任何直线C.两点式适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线 D.截距式1x y a b+=适用于不过原点的任何直线 4.过点(1,1)-和(3,9)的直线在x 轴上的截距是___________.5.在中，点，，(0,2)C ，则AC 的中线所在直线的方程是___________.235153y x --=--235223x y --=--()11y y k x x -=-112121y y x x y y x x --=--ABC △(6,0)A -(4,2)B -【答案及解析】一、新知自学1.112121y y x x y y x x --=-- 两点式 2.(0)a ， 截距a 与b1x y a b+= 二、问题思考 1.（1）由已知条件确定横、纵截距.（2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可（此种情形极易遗漏）；若两截距不为零，则代入公式1xa yb +=中，可得所求的直线方程.（3）如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件时，采用截距式求直线方程一定要注意“零截距”的情况.2.（1）已知直线上一点的坐标，可设直线方程的点斜式；（2）已知直线的斜率，可设直线方程的斜截式；（3）已知直线在x 轴，y 轴上的截距，可设直线方程的截距式或斜截式；（4）已知直线上两点的坐标，可设直线方程的两点式，也可先求出斜率，再用直线方程的点斜式求解. 三、练习检测 1.答案：C解析：由题意得，直线的截距式方程为123x y =-，即3260x y --=.故选C. 2.答案：B解析：因为所求直线过点，，所以所求直线方程为.故选B.3.答案：ABC解析：A ，B ，C 均正确，D 中，与坐标轴平行的直线也不能用截距式表示.4.答案：32- (1,2)(5,3)213251y x --=--解析：直线方程为，即.令，得，所以直线在x 轴上的截距为. 5.答案：3720x y ++=解析：AC 的中点(3,1)D -，所以直线BD 的方程为.119131y x -+=-+23y x =+0y =32x =-32-3720x y ++=。
直线两点式方程学案
《3.2.2直线的两点式方程》学案学习目标：1、掌握直线的两点式方程（直线方程的两点式）形式特点及适用范围并解答相关问题；2、在探究运用直线的两点式方程过程中，学会思考并体验获得知识的乐趣.3、积极参与课堂，主动回答问题，小组互帮互助，共同完成目标。
学习重点难点：直线的两点式方程推导过程及解答相关问题. 学习过程： 一、情景再现1.前面我们已经学习了直线的哪几种方程形式？ 点斜式方程： 斜截式方程： 特殊情况下：2.小练习问题1: 过点(2,-3)，斜率是1的直线方程为 ；问题2: 已知直线l 经过两点P1(1,2),P2(3,5),求直线l 方程.二、新知探究思考1：已知两点()112,P x x ，()222,P x y 其中()1212,x x y y ≠≠，求通过这两点的直线方程. 推导过程：结论：（ ） 公式特点：思考2：已知任一直线中的两点坐标，是否可以用两点式写出该直线方程呢？思考3：（1）、()112,P x x ，()222,P x y 中有12x x =，此时这两点的直线方程是什么？ （2）、()112,P x x ，()222,P x y 中有12y y =，此时这两点的直线方程是什么？例1.已知直线l 经过两点P 1（2,2），P 2(6,-2),求直线的方程。
练习1:已知三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2). （1）求AB 边所在直线的方程. （2）求AC 边所在直线的方程.（3）若BC 边上中点记为Ｍ，求中线ＡＭ所在直线的方程。
例2已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0,b)，其中a ≠0,b ≠0，求直线l 的方程.归纳：与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0,b)，其中0,0a b ≠≠的直线l 方程为：1x ya b+=——名称：（ ）思考4：a ，b 表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？ 思考5：直线的截距式方程能表示任意一条直线吗？三、课堂检测1. 过点(3,2)且在两坐标轴上的截距之和为10的直线方程.2.求过点(3,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.3.根据下列条件,求直线的方程,并画出图形： ⑴倾斜角为45˚,在y 轴上的截距为0；⑵在x 轴上的截距为-5,在y 轴上的截距为6； ⑶在x 轴上截距是-3,与y 轴平行； ⑷在y 轴上的截距是4,与x 轴平行.4.思维拓展b表示.kx 可以用y D.经过定点的直线都1表示;by a x 都可以用方程C.不经过原点的直线)表示;y )(y x (x )x )(x y 都可以用方程(y )的点的直线y ,(x P ),y ,(x P B.经过任意两个不同)表示;x k(x y 方程y )的直线都可以用y ,(x A.经过定点P ) 题是(下列四个命题中的真命12112122211100000+==+--=---=-四、课堂小结1.本节课你收获了什么？2.直线的两点式方程是什么？直线的截距式方程是什么？五、目标测试A 组1．设点M(3，4)是线段PQ 的中点，点Q 的坐标是(－1，2)，则点P 的坐标是( ) A.(1,3) B.(7,6) C.(－5,0) D.(3,1) 2．如果直线34x yc +=被两个坐标轴截得的线段长为5,则c 的值为 ( ) A.1 B.－1 C. 15±D.±1 3.过两点()1,1-和()3,9的直线在x 轴上的截距为( )A. 32-B. 23-C. 25 D.2 4.直线2221x ya b-=在x 轴、y 轴上的截距分别是( )A. 22,a b -B. 22,a b ±C. 221,2a b - D.±a, ±b5.经过已知点（1，2），并且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条B 组6．已知△ABC 的顶点是A(0, 5), B(1, –2), C(–6, 4)，则边BC 上的中线所在的直线的方程为 ；以BC 边为底的中位线所在的直线的方程为 。
2.2.2 直线的两点式方程 导学案答案
2.2.2 直线的两点式方程【课前预习】知识点一y-y 1=y 2-y 1x 2-x 1(x-x 1)y -y 1y 2-y 1=x -x 1x 2-x 1诊断分析(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)直线的两点式方程是y -y 1y2-y 1=x -x 1x2-x 1,只有当x 1≠x 2且y 1≠y 2时,才存在两点式方程.(3)能用两点式方程表示的直线必不垂直于坐标轴,从而斜率一定存在,故可用点斜式方程表示.知识点二x a +y b=1诊断分析(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)垂直于坐标轴的直线也不可以用截距式方程表示. (2)截距式方程是两点式方程的特殊形式.(3)这样的直线通常有两条:一条过原点;另一条不过原点,且在x 轴和y 轴上的截距相等. 【课中探究】探究点一例1 解:(1)因为BC 边所在的直线过两点B (5,-4),C (0,-2),所以BC 边所在直线的方程为y -(-4)-2-(-4)=x -50-5,即2x+5y+10=0. (2)设BC 边的中点为M (a ,b ),则a=5+02=52,b=-4+(-2)2=-3,所以M (52,-3),又因为BC 边上的中线所在的直线过点A (-3,2),所以BC 边上的中线所在直线的方程为y -2-3-2=x -(-3)52-(-3),即10x+11y+8=0.变式 (1)B (2)y=23x [解析] (1)经过(5,0),(2,-5)两点的直线的方程为y -0-5-0=x -52-5,整理得5x-3y-25=0.故选B .(2)由题意可知,直线l 过平行四边形ABCD 的中心,BD 的中点坐标为(3,2),又直线l 过原点,所以由两点式可得直线l 的方程为y -02-0=x -03-0,即y=23x.拓展 解:易知点A (3,2)关于x 轴的对称点为A'(3,-2),连接A'B ,由已知可得反射光线所在的直线为直线A'B , 其方程为y -6-2-6=x+13+1,即2x+y-4=0.点B (-1,6)关于x 轴的对称点为B'(-1,-6),连接AB',由已知可得入射光线所在的直线为直线AB',其方程为y+62+6=x+13+1,即2x-y-4=0.故入射光线所在直线的方程为2x-y-4=0,反射光线所在直线的方程为2x+y-4=0.探究点二例2 (1)AC (2)x+2y-2=0或2x+3y-6=0[解析] (1)当直线l 过原点时,2a-3=0,解得a=32,此时直线l 的方程为72x-y=0,直线l 在x 轴上的截距和在y 轴上的截距都等于0,满足题意;当直线l 不过原点,即a ≠32时,依题意可得a ≠-2,直线l 在x 轴上的截距为3-2a a+2,在y 轴上的截距为2a-3,则3-2a a+2=2×(2a-3),解得a=-52或a=32(舍去).综上所述,a 的值为-52或32.故选AC .(2)设直线l 在x 轴上的截距为a ,则在y 轴上的截距为a-1,由题易知a ≠0且a ≠1,所以直线l 的方程为xa +ya -1=1,将点A (6,-2)的坐标代入,解得a=2或a=3,所以直线l 的方程为x+2y-2=0或2x+3y-6=0. (3)解:设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ,b. 当a ≠0且b ≠0时,直线的方程为x a +yb =1,由题可知1a +1b=1,且b=2a ,解得a=32,b=3,此时直线的方程为x 32+y 3=1,即2x+y-3=0.当a=b=0时,设直线的方程为y=kx ,由题可知k=1,此时直线的方程为y=x. 综上所述,所求直线的方程为2x+y-3=0或x-y=0.变式 解:由题意知直线l 不过原点,且直线l 在两坐标轴上的截距都存在,设直线l 的方程为x a +yb =1(a ≠0,b ≠0).由题意得{5a +2b =1,12|a ||b |=92,即{5a +2b =1,ab =9或{5a +2b =1,ab =-9, 解得{a =-152,b =65或{a =3,b =-3,∴直线l 的方程为y=425x+65或y=x-3. 拓展 解:(1)依题意设A (a ,0),B (0,b )(a ,b>0),则直线l 的方程为x a +yb =1,又直线l 过点P (2,1),所以2a +1b =1,所以2a +1b=1≥2√2ab ,可得ab ≥8,当且仅当2a =1b ,即a=4,b=2时取等号,从而S △ABO =12ab ≥4,所以△ABO 面积的最小值为4,△ABO 的面积取得最小值时直线l 的方程为x 4+y2=1.(2)由(1)可得2a +1b =1(a ,b>0),所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b )(2a +1b )=3+a b +2ba ≥3+2√ab ·2ba=3+2√2,当且仅当a b=2ba,即a=2+√2,b=√2+1时取等号,此时直线l 的方程为2+√2+√2+1=1.。
23.直线的两点式方程导学案(解析版)
2.2.2直线的两点式方程导学案【学习目标】1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标【自主学习】知识点一 直线方程的两点式，知识点二 直线方程的截距式知识点三 线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.【合作探究】探究一 直线的两点式方程【例1】已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 解 (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， 由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M (52，－3)，又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.归纳总结：(1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． (3)由直线的两点式方程写出直线的方程．【练习1】若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 【答案】 －2解析 由直线方程的两点式得y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， ∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.探究二 直线的截距式方程【例2-1】过点P (1,3)，且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0 D ．x －3y ＋8＝0【答案】 A解析 设所求的直线方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，由于过点P (1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，因此有⎩⎨⎧1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6，故所求直线的方程为3x ＋y －6＝0，故选A.归纳总结：求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程常设为x a ＋yb ＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值 【例2-2】过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．无数多条 【答案】 B解析 当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ，当截距不为零时，设直线方程为x a ＋yb ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋－1b ＝1，|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－4，即直线方程为x 2＋y 2＝1或x 4＋y－4＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B.归纳总结：如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况【练习2-1】直线l 过点P (43，2)，且与两坐标正半轴围成的三角形周长为12，求直线l 的方程．解 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.【练习2-2】过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数多条 【答案】 B解析 设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入得a ＝5， ∴直线l 的方程为x ＋y ＝5.∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.探究三 直线方程的应用【例3】设直线l 的方程为y ＝(－a －1)x ＋a －2. (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为0， ∴a －2＝0，∴a ＝2，此时直线方程为3x ＋y ＝0；当直线不过原点时，a ≠2，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0，直线方程为x ＋y ＋2＝0.故所求的直线方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)由l 的方程为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1.故所求的a 的取值范围为(－∞，－1]．归纳总结：(1)由直线方程求出直线在两坐标轴上的截距应先分类讨论，再列方程求解． (2)根据斜率和截距的取值列式求解．【练习3】已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程． 解 直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－(－5)＝－38，过点A (－5,0)，∴直线AB 的点斜式方程为y ＝－38(x ＋5)，即所求的斜截式方程为y ＝－38x －158.同理，直线BC 的方程为y －2＝－53x ，即y ＝－53x ＋2.直线AC 的方程为y －2＝25x ，即y ＝25x ＋2.∴直线AB ，BC ，AC 的斜截式方程分别为y ＝－38x －158，y ＝－53x ＋2，y ＝25x ＋2.课后作业A 组 基础题一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示D ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示 【答案】 D解析 斜率有可能不存在，截距也有可能为0，故选D. 2．若直线l 的横截距与纵截距都是负数，则( ) A ．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限 B ．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限 C ．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限 D ．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限 【答案】 B解析 依题意知，直线l 的截距式方程为x －a ＋y－b ＝1(a >0，b >0)，显然直线l 只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B. 3．直线x a 2－yb 2＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b【答案】 B解析 令x ＝0得，y ＝－b 2.4．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0 【答案】 B 解析 因为k AB ＝1－3－5－1＝13， AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.5．过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0C ．x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0 【答案】 B解析 设直线方程为x a ＋y－a ＝1或y ＝kx ，将P (2,3)代入求出a ＝－1或k ＝32.所以所求的直线方程为x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0.6．利用斜二测画法，作出直线AB 的直观图如图所示，若O ′A ′＝O ′B ′＝1，则直线AB 在直角坐标系中的方程为( )A ．x ＋y ＝1B ．x －y ＝1C ．x ＋y2＝1D ．x －y2＝1【答案】 D解析 由斜二测画法可知在直角坐标系中，A (1,0)，B (0，－2)，由两点坐标可得直线方程为x －y2＝1. 7．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【答案】 A解析 两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合． 二、填空题8．已知直线x a ＋y6＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a 的值为________．【答案】 ±2解析 由x a ＋y 6＝1知S ＝12|a |·|6|＝6，所以a ＝±2.9．过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是______． 【答案】 x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝0解析 设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，当a ＝0时，b ＝0，此时直线l 的方程为y x ＝－13，所以x ＋3y ＝0；当a ≠0时，a ＝2b ，此时直线l 的方程为x 2b ＋yb ＝1，代入(3，－1)得x ＋2y －1＝0.10．过(3,0)点且与x 轴垂直的直线方程为________，纵截距为－2且与y 轴垂直的直线方程为________．【答案】 x ＝3 y ＝－211．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是__________________________________________________________． 【答案】 x 2＋y6＝1解析 设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)． 则l 的方程为x 2＋y6＝1.三、解答题12．求经过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程． 解 设所求直线方程为x a ＋yb ＝1.∵直线过点P (－5，－4)， ∴－5a ＋－4b ＝1，①于是得4a ＋5b ＝－ab ，又由已知，得12|a |·|b |＝5，即|ab |＝10.②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.故所求直线方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y－2＝1.即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.13．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程． 解 (1)设C (x 0，y 0)， 则AC 边的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0－22，BC 边的中点为N ⎝⎛⎭⎫x 0＋72，y 0＋32，因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.即C (－5，－3)． (2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.B 组 能力提升一、选择题1.已知直线ax ＋by ＋c ＝0的图象如图所示，则( )A ．若c ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若c ＞0，则a ＜0，b ＞0C ．若c ＜0，则a ＞0，b ＜0D ．若c ＜0，则a ＞0，b ＞0 【答案】D[由ax ＋by ＋c ＝0，得斜率k ＝－a b ，直线在x ，y 轴上的截距分别为－c a ，－cb .由题图，k ＜0，即－a b ＜0，∴ab ＞0.∴－c a ＞0，－cb ＞0，∴ac ＜0，bc ＜0.若c ＜0，则a ＞0，b ＞0；若c＞0，则a ＜0，b ＜0.]2．(多选题)下列说法正确的是( ) A ．不经过原点的直线都可以表示为x a ＋yb＝1B ．若直线与两轴交点分别为A 、B 且AB 的中点为(4,1)则直线l 的方程为x 8＋y2＝1C ．过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为y ＝x 或x ＋y ＝2D ．直线3x －2y ＝4的截距式方程为x 43＋y－2＝1【答案】BCD[A 中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A 错；B 中，AB 的中点为(4,1)，那么A (8,0)，B (0,2)的直线方程为x 8＋y2＝1，故B 对；C 中过原点时，直线为y ＝x ，不过原点时直线为x ＋y ＝2，故C 对；D 中，方程3x －2y ＝4可化为x 43＋y－2＝1，故D 对．]二、填空题3．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________． 【答案】3或－3[设直线方程为4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线与两坐标轴的截距分别是－d 3，－d 4， 依题意得，12×⎪⎪⎪⎪－d 3×⎪⎪⎪⎪－d 4＝6， ∴d ＝±12.故直线在x 轴上的截距为3或－3.]4．若A (2,5)，B (4,1)，则直线AB 的方程为________；设直线AB 与两坐标轴的交点为A 、B 且点P (x ，y )在线段AB 上，则xy 的最大值为________．【答案】2x ＋y －9＝0 818[由两点式得y －15－1＝x －42－4整理为2x ＋y －9＝0.又P (x ，y )在AB 上， ∴x ＞0，y ＞0，∴xy ＝12(2x )·y ≤12⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22＝12⎝⎛⎭⎫922＝818， 所以xy 的最大值为818.] 5．若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l 的方程为________．【答案】 x ＋y ±6＝0，x －y ±6＝0解析 因为直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a ，则直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6， ∴直线方程为x ＋y ±6＝0.若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a ，则纵截距为－a ，故直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y －a ＝0. ∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6， ∴直线方程为x －y ±6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.三、解答题6．已知直线l 过点P (4,1)，(1)若直线l 过点Q (－1,6)，求直线l 的方程；(2)若直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程．[解] (1)l 过点P (4,1)，Q (－1,6)．由两点式可得y －16－1＝x －4－1－4，整理得x ＋y －5＝0，这就是直线l 的方程．(2)当在两轴上的截距均为0时，l 的方程为y ＝14x 即x －4y ＝0. 当直线l 在两轴上的截距均不为零时，根据条件可设为x a ＋y 2a＝1， 把(4,1)代入4a ＋12a＝1， 解得a ＝92. ∴l 的方程为2x ＋y －9＝0.综上可知，直线l 的方程为2x ＋y －9＝0或x －4y ＝0.7．已知直线l ：x －y ＋3＝0，一束光线从点A (1,2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上的一点C ，最后从C 点反射回A 点，求直线BC 的方程．解 作点A 关于x 轴的对称点A 2，则A 2(1，－2)．设点A 关于l ：x －y ＋3＝0的对称点为A 1(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋12－y 0＋22＋3＝0，y 0－2x 0－1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝4， 即A 1点坐标为(－1,4)．由已知条件知点A 1，A 2均在直线BC 上，∴由直线的两点式方程得y －4－2－4＝x ＋11＋1， 即3x ＋y －1＝0.故直线BC 的方程为3x ＋y －1＝0.。
高中数学《直线的两点式方程》导学案
3.2.2直线的两点式方程课前自主预习知识点一 直线的两点式方程知识点二 直线的截距式方程知识点三 线段P 1P 2的中点坐标公式若P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)且线段P 1P 2的中点M的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ □1x ＝x 1＋x 22，□2y ＝y 1＋y 22.1.要注意方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．2.直线的截距式方程为x a ＋y b ＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距．1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)斜率不存在的直线有两点式方程．( )(2)与x 轴平行的直线没有两点式方程．( )(3)过原点的直线没有截距式方程．( )(4)过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程是y －y 1x －x 1＝y 2－y 1x 2－x 1.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)(教材改编，P 97，T 1)过A (1,1)，B (2,3)的直线的两点式方程为________．(2)过C (0,2)，D (－3,0)的直线的截距式方程为_____________________________________________________．(3)已知E (1,5)，F (－1,3)，则线段EF 的中点坐标为________．答案 (1)y －13－1＝x －12－1 (2)x －3＋y 2＝1 (3)(0,4) 3.(教材改编，P 97，T 3)过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( )A.x ＋y ＝5B.x －y ＝5C.x ＋y ＝5或x －4y ＝0D.x －y ＝5或x －4y ＝0答案 C课堂互动探究探究1 直线的两点式方程例1 已知三角形的顶点是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求AC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．解 过点A (－5,0)，C (0,2)的两点式方程为y －02－0＝x －(－5)0－(－5)，整理得2x －5y ＋10＝0，这就是AC 边所在直线的方程．AC 边上的中线是顶点B 与AC 边中点D 连线．设线段AC的中点为D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－5＋02＝－52，y ＝0＋22＝1，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，1.由两点式得直线BD 的方程为y －(－3)1－(－3)＝x －3－52－3，整理可得8x ＋11y ＋9＝0.此即为AC 边上的中线所在直线的方程．[条件探究] △ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)AC 所在直线的方程；(2)BC 边的中线所在直线的方程．解 (1)由直线方程的两点式得y －03－0＝x －(－3)－2－(－3)， 所以AC 所在直线的方程是3x －y ＋9＝0.(2)因为B (2,1)，C (－2,3)，所以线段BC 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，1＋32，即(0,2)，所以BC 边的中线所在直线的方程是y －20－2＝x －0－3－0，整理得2x －3y ＋6＝0. 拓展提升求直线的两点式方程适用范围及注意事项(1)已知不垂直两轴的直线上的两点，便可以利用直线的两点式求其方程，也可以先求斜率，再用点斜式求其方程．(2)由于减法运算的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而致错，错误的原因是没有将实际解题中的数与公式中的字母对应起来造成的，只有深刻理解公式，才能避免类似“低级”错误.【跟踪训练1】 已知△ABC 三个顶点坐标A (2，－1)，B (2，2)，C (4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．解 ∵A (2，－1)，B (2,2)，A ，B 两点横坐标相同，∴直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2.∵A (2，－1)，C (4,1)，∴由直线的两点式方程可得直线AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4，即x －y －3＝0. ∵B (2,2)，C (4,1)，∴由直线的两点式方程可得直线BC 的方程为y －12－1＝x －42－4，即x ＋2y －6＝0. 探究2 直线的截距式方程例2 直线l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的方程．解 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，由已知a ＋b ＝12.①又直线l 过点(－3,4)，∴－3a ＋4b ＝1.② 由①②解得⎩⎨⎧ a ＝9，b ＝3或⎩⎨⎧ a ＝－4，b ＝16.故所求的直线方程为x 9＋y 3＝1或x －4＋y 16＝1， 即x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.[条件探究] 在本例中若改为截距之积为6，又如何求直线l 的方程？解 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，由已知ab ＝6.①又直线l 过点(－3,4)，∴－3a ＋4b ＝1.②由①②解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－32，b ＝－4.故所求直线方程为x 3＋y 2＝1或x －32＋y －4＝1，即2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.拓展提升用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论.【跟踪训练2】 已知直线l 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点且线段AB 的中点为P (4,1)，求直线l 的方程．解 由题意可设A (x,0)，B (0，y )，由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋02＝4，0＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝8，y ＝2，∴A (8,0)，B (0,2)．由直线的截距式方程得l 方程为x 8＋y 2＝1，即x ＋4y －8＝0.探究3 与截距有关的问题例3 已知直线过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程．解 设直线与两坐标轴的交点为(a,0)，(0，b )．(1)当ab ≠0时，直线方程为x a ＋y b ＝1.由点P 在此直线上，有2a ＋3b ＝1，①又由已知得|a |＝|b |，②联立方程①②可得a ＝b ＝5或a ＝－1，b ＝1.所以直线方程为x ＋y －5＝0或x －y ＋1＝0.(2)当a ＝b ＝0时，直线过原点和P (2,3)，易知直线方程为3x －2y ＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋y －5＝0或x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0.拓展提升截距式方程的适用范围(1)在解答本题过程中易出现不考虑截距可能为0而漏解的错误，导致这种错误的原因是对截距的概念理解不深和对截距式方程l 的适用范围把握不准．(2)如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况.【跟踪训练3】 (1)求经过点A (－3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程；(2)求过点A (5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍的直线l 的方程．解 (1)①当直线l 在坐标轴上的截距不为零时，设其方程为x a ＋y －a ＝1.将A (－3,4)代入上式，有－3a ＋4－a＝1，解得a ＝－7，所以所求的直线方程为x －y ＋7＝0.②当直线l 在坐标轴上的截距都为零时，显然可设直线方程为y＝kx ，将点A (－3,4)代入可得k ＝－43，所以此时直线方程为4x ＋3y＝0.综上所述，所求直线方程为x －y ＋7＝0或4x ＋3y ＝0.(2)由题意知，当直线l 在坐标轴上的截距均为零时，直线l 的方程为2x －5y ＝0.当直线l 在坐标轴上的截距不为零时，设直线l 的方程为x 2a ＋y a ＝1，将点(5,2)代入方程得52a ＋2a ＝1，解得a ＝92.∴直线l 的方程为x ＋2y －9＝0.综上，所求直线l 的方程为2x －5y ＝0或x ＋2y －9＝0.探究4 直线方程的综合应用例4 若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l 的方程．解 因为直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.①若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a ，则直线的方程为x a ＋y a ＝1，即x ＋y －a ＝0.∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6，∴直线的方程为x ＋y ±6＝0. ②若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a ，则纵截距为－a ，故直线的方程为x a ＋y －a＝1，即x －y －a ＝0. ∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6，∴直线的方程为x －y ±6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.拓展提升利用截距求面积(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便．(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距的大小，因此，需要进行分类讨论.【跟踪训练4】 已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点A (－3,4)，求直线l 的方程．解 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，则12|3k ＋4|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4k －3＝3，显然k >0时不成立． 解得k 1＝－23，k 2＝－83.所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.1.直线的两点式方程方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1表示经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式．(1)y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)(x 1≠x 2)与y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，显然后者比前者所表示直线的范围缩小了，但后者便于记忆和应用，所以，采用后者作为公式．(2)当直线斜率不存在(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式方程．若x 1＝x 2，y 1≠y 2，则直线的方程为x －x 1＝0；若y 1＝y 2，x 1≠x 2，则直线的方程为y －y 1＝0.(3)在记忆和使用两点式直线方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标．2.直线的截距式方程我们把直线与x 轴交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b .方程xa＋yb＝1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的截距式方程．(1)截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即有两个非零截距，截距式方程不能表示过原点的直线，以及不能表示与坐标轴平行的直线．(2)直线的截距式方程的特征是x项分母对应的是横截距，y项分母对应的是纵截距，中间以“＋”号连接，等式右边为1，如x 2－y3＝－1就不是截距式直线方程．(3)由直线的截距式方程可直接读出直线在x轴和y轴上的截距，同时，截距式在解决与面积有关的问题和作图时使用起来非常方便．(4)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，直线在x 轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标，而不是交点到原点的距离，因此截距a，b可能为正或零，也可能为负．课堂达标自测1.下列语句中正确的是()A.经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B.经过任意两个不同点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示C.不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示D.经过定点的直线都可以用y＝kx＋b表示答案B解析A中直线当斜率不存在时，不能表示，A错；B正确；C 中方程不能表示与坐标轴平行的直线；D中方程不能表示斜率不存在的直线.2.直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有()A.a＝2，b＝5 B．a＝2，b＝－5C.a＝－2，b＝5 D．a＝－2，b＝－5答案B解析令y＝0，则a＝2.令x＝0，则b＝－5，故选B.3.过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为()A.－32B．－23 C.25D．2答案A解析直线的方程为y－91－9＝x－3－1－3，化为截距式为x－32＋y3＝1，则直线在x轴上的截距为－32.4.过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．答案3x＋2y－6＝0解析设直线方程为xa＋yb＝1，则a＋b＝5，且过(0,3)，∴3b＝1，∴b＝3，a＝2，∴所求直线的方程为3x＋2y－6＝0.5.△ABC 的三个顶点A (－4,0)，B (0,2)，C (4，－4)，求这个三角形的三边所在的直线方程．解 k AC ＝－4－04－(－4)＝－12， 由点斜式方程得，直线AC 的方程为y －0＝－12(x ＋4)，即x ＋2y ＋4＝0. ∵A (－4,0)，B (0,2)．由截距式方程得直线AB 的方程为x －4＋y 2＝1，即x －2y ＋4＝0. ∵B (0,2)，C (4，－4)，由两点式方程得直线BC 的方程为y －2－4－2＝x －04－0，即3x ＋2y －4＝0. ∴三边AC ，AB ，BC 所在直线的方程分别为x ＋2y ＋4＝0，x －2y ＋4＝0,3x ＋2y －4＝0.课后课时精练A 级：基础巩固练一、选择题1.下列说法中正确的是( )A.直线的截距式方程可表示除过原点外的所有直线B.x 2－y 3＝1与x 2＋y 3＝－1是直线的截距式方程C.直线的斜截式方程都可以化为截距式D.在x 轴、y 轴上的截距分别是2，－3的直线方程为x 2＋y －3＝1 答案 D解析 因为截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线，所以A 错误．因为方程x 2－y 3＝1与x 2＋y 3＝－1不符合截距式方程的结构特点，所以B 错误．因为斜截式的直线包含截距为0的情况，因此不可以化为截距式，如直线y ＝2x ，所以C 错误．直线在x 轴、y 轴上的截距分别是2，－3，根据直线的截距式方程，可得直线的方程为x 2＋y －3＝1，所以D 正确. 2.过点P (1，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )A.4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条答案 B解析 当直线经过原点时，直线的方程为2x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，设直线的方程为x ＋y ＝a 或x －y ＝b .把(1，－2)代入可得a ＝－1或b ＝3，可得直线方程为x ＋y ＝－1，x －y ＝3.综上：满足条件的直线共有3条，分别是2x ＋y ＝0，x ＋y ＝－1，x －y ＝3.3.直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.12abB.12|ab |C.12abD.12|ab |答案 D解析 令x ＝0，得y ＝1b ；令y ＝0，得x ＝1a .S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1b ＝12|ab |.故选D. 4.两直线x m －y n ＝1与x n －y m ＝1的图象可能是图中的哪一个( )答案 B解析 两直线斜率同号，故选B.5.若3x 1－4y 1－2＝0,3x 2－4y 2－2＝0，则过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线方程是( )A.4x ＋3y －2＝0 B ．3x －4y －2＝0C.4x ＋3y ＋2＝0 D ．3x －4y ＋2＝0答案 B解析 由题意得A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的坐标都满足方程3x －4y －2＝0，所以过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线方程是3x －4y －2＝0.二、填空题6.已知m ∈R ，过定点A 的动直线是x ＋my ＝0，过定点B 的动直线是mx －y －m ＋3＝0，则过点A 和点B 的直线方程是________．答案 y ＝3x解析 易知直线x ＋my ＝0过定点A (0,0)，直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)，则过点A (0,0)和点B (1,3)的直线方程是y ＝3x .7.已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．答案 3解析 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，P (x ，y )在直线AB 上，则x＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3.8.一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B (－1,6)，则入射光线和反射光线所在的直线方程分别为________、________.答案 2x －y －4＝0 2x ＋y －4＝0解析 ∵点A (3,2)关于x 轴的对称点为A ′(3，－2)，∴由两点式可得直线A ′B 的方程为y －6－2－6＝x ＋13＋1，即2x ＋y －4＝0.同理，点B 关于x 轴对称点B ′(－1，－6)，由两点式可得直线AB ′的方程为y －2－6－2＝x －3－1－3， 即2x －y －4＝0.∴入射光线所在直线方程为2x －y －4＝0，反射光线所在直线方程为2x ＋y －4＝0.三、解答题9.在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程．解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋52，y 0－22， BC 边的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋72，y 0＋32， 因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)，所以直线MN 的方程为x 1＋y －52＝1，即5x －2y －5＝0.B 级：能力提升练10.直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程；(2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．解 (1)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12，又因为直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2， 所以43a ＋2b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎨⎧ a 1＝4，b 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎨⎧ a 1＝4，b 1＝3或⎩⎨⎧ a 2＝2，b 2＝6， 所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.。
直线方程的两点式学案
3.2.2 直线的两点式方程【先学自研】 一、预习提纲：预习课本9795P P -，并思考以下问题：1． 在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，如何推导直线的两点式方程？ 2．直线的两点式方程是直线方程的特殊形式，其特殊性是什么？ 3．直线的截距式方程与两点式方程的关系如何，怎样推导? 二、知识梳理：1．若直线l 经过两点()()222111,,,y x P y x P ，且2121,y y x x ≠≠，则直线l 的两点式方程 为 ；当2121,y y x x =≠时，21P P 与x 轴 ，此时直线l 的方程为 ；当2121,y y x x ≠=时，21P P 与x 轴 ，此时直线l 的方程为 。
直线的两点式方程是直线方程的特殊形式，其特殊性在于 。
2．直线l 与x 轴的交点为()0,a ，与y 轴上的交点为()b ,0，则直线l 的截距式方程为 直线的截距式方程是直线两点式方程的特殊形式，其特殊性在于 。
三、基础练习：1.过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线的方程是( )111121212112211211211211...()()()()0.()()()()0y y x x y y x x A B y y x x y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y ----= =---------=-----= 2.直线 x a 2 - yb2 = 1 在y 轴上的截距是_______．3．过()()3,0,1,221-P P 的直线方程为 4．过()()122,3,2,1P P ---的直线方程为 5．过()()5,0,0,521P P 的直线方程为6．在x 轴的截距为-5，在y 轴的截距为6的直线方程为 7．过点()5,0，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程为 8．过点()0,5，且在两坐标轴上的截距之差为2的直线方程为【点拨讲解】例1．（课本496例P ）已知三角形的三个顶点()()()2,0,3,3,0,5C B A --，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
直线的两点式方程 导学案
名校学案，高一数学,必修二，拔高训练,优质学案,专题汇编（附详解）§3.2.2《直线的两点式方程》导学案年级：高一 主备人： 审核人： 编号：一、温故互查复 习1、直线的点斜式方程_________________ 复 习2、直线的斜截式方程_________________问 题1、直线的点斜式方程和斜截式方程的使用条件_____________________问 题2、直线除了用一点和倾斜角（斜率）确定外还常用的还有什么方法______________问 题3、已知直线l 经过)2,1(A ，)5,3(B ，求直线l 的方程 二、设问导读探究1：若直线l 经常两点),(111y x P ，),(222y x P ，21x x ≠，且21y y ≠你能否写出直线l 的方程呢？1. 直线的两点式方程：已知直线上两点),(111y x P ，),(222y x P ，且（21x x ≠，21y y ≠），则通过这两点的直线方程为 ，由于此方程是由直线上 确定，所以把它叫做直线的两点式方程，简称 。
思考：（1）若21x x =，直线l 的方程是什么？（2）若21y y =，直线l 的方程是什么？ （3）该方程还可以怎样书写？说明了什么？（4）哪些直线不能用两点式表示？（5）已知直线经过两点，求直线方程的方法：探究2：已知直线经过)0,1(A ，)2,0(-B ，求直线的方程并画出图象2. 直线的截距式方程：我们把直线与x 轴的交点)0,(a 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，直线与y 轴的交点（0，b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距。
若直线l 与x 轴的交点为)0,(a A ，与y 轴的交点为),0(b B ，其中0≠a ，且0≠b ，则直线l 的方程是 ；该方程由直线在 确定，所以叫做直线的截距式方程，简称 。
思考 ：（1）b a ,表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？（2）哪些直线不能用截距式方程表示？三、自学检测例1. 求过下列直线的方程。
高中数学《直线的两点式方程》导学案
要点二 直线的截距式方程
例2求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
解法一设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为 ＋ ＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴ ＋ ＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线的方程为x＋y－1＝0.
又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
∴|－4k－3|＝ ，解得k＝1或k＝－1或k＝－ .
∴所求直线的方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
跟踪演练2求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．
解由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，
直线l的方程为y＝ x；
当直线l在坐标轴上的截距不为零时，设l的方程为 ＋ ＝1，
将点(5,2)代入方程得 ＋ ＝1，解得a＝ ，
所以直线l的方程为x＋2y－9＝0.
综上知，所求直线l的方程为y＝ x，或x＋2y－9＝0.
要点三 直线的一般式方程
例3根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－ ，经过点A(8，－2)；
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，直线的方程为x－y－7＝0.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上，所求l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
法二显然直x－4)，k≠0.
令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝ .
故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
跟踪演练1(2014·绍兴高一检测)已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
直线的两点式方程学案
3.2.2直线的两点式方程（学案）学习目标1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.重点难点教学重点:直线方程两点式和截距式.教学难点:关于两点式的推导以及斜率k 不存在或斜率0=k 时对两点式方程的讨论及变形.合作学习一、设计问题、创设情境上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点P 1(1,2),P 2(3,5),求直线l 的方程.(2)已知两点()111,y x P ，()222,y x P ()2121,y y x x ≠≠其中，求通过这两点的直线方程. 分析:引导学生：根据已有的知识，在已知两点的坐标，求直线方程，应知道什么条件？能不能把该问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，我们应根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.于是得到已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：由于（2）这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式方程，简称两点式. 注意：（2）式是由（1）式导出的，它们表示的直线范围不同，（1）式中只需21x x ≠，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；（2）式中21x x ≠且21y y ≠，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但（2）式相对于（1）式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成()()()()121121y y x x x x y y --=--，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程.二、信息交流、揭示规律问题2:同学们用的是什么方法求解的直线方程?体现了什么数学思想?分析：直线的点斜式方程；化归转化问题3:若点()111,y x P ，()222,y x P 中有21x x =或21y y =此时这两点的直线方程是什么?分析：问题4:两点式适用于怎样的直线?分析：课堂练习1:课本97页,练习题第1题.三、运用规律、解决问题、引出新知【例1】已知直线l 与x 轴的交点为()0,a A ，与y 轴的交点为()b B ,0，其中0≠a ，0≠b 求直线l 的方程.解析：注意：方程（4）形式对称、美观,其中a 是直线与x 轴交点的横坐标，称a 为直线在x 轴上的截距，简称横截距；b 是直线与y 轴交点的纵坐标，称b 为直线在y 轴上的截距，简称纵截距.因方程（4）是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以我们把方程（4）式叫做直线方程的截距式方程.问题5:题目中所给的条件有什么特点?可以用哪些方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷?分析：给出直线上两点的坐标;可以用点斜式或者两点式;两点式.问题6:方程中的b a ,分别有什么几何意义，它们可以为零吗?如果给这个方程起个名字，可以叫什么？分析：a 是直线的横截距,b 是直线的纵截距;不可以为零,因为它们都在分母上;截距式. 课堂练习2:课本97页,练习题第2题.四、变式演练、深化提高【例2】已知三角形的三个顶点()0,5-A ，()3-3，B ，()2,0C ，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.解析:课堂练习3:课本97页,练习题第3题.五、信息交流、教学相长问题7:两点式方程是根据什么推导出来的?为什么不只用点斜式,而推导两点式呢?两点式方程的应用范围是直线的斜率存在,且不为零,你能将该方程的形式做适当改变后,使得其应用范围更广吗?分析：问题8:截距式方程是根据什么推导出来的?只要直线存在横纵截距,就能用截距式求其方程吗?分析：六、讨论结果、知识小结问题9:(1)到目前为止,我们所学过的直线方程的表达形式有多少种?它们之间有什么关系?(2)要求一条直线的方程,必须知道多少个条件?分析：通过本节学习，要求大家掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.①若21x x ≠且21y y ≠,则直线l 方程为121121x x x x y y y y --=--. ②当21x x =时，直线与x 轴垂直，直线方程为1x x =；当21y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为1y y =.③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为21x x ≠,21y y ≠). ④by a x +=1. ⑤a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.作业1．直线x 2－y 5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为( ) A ．2,5 B ．2，－5C ．－2，－5 D ．－2,5 2．如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋y b＝1，则有( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <03．在y 轴上的截距是－3，且经过A (2，－1)，B (6,1)中点的直线方程为( )A ．x 4＋y 3＝1 B ．x 4－y 3＝1 C ．x 3＋y 4＝1 D ．x 3－y 6＝1 4．过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线方程是( )A ．y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1B ．y －y 1y 2－y 1＝x －x 2x 1－x 2C ．(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0D ．(x 2－x 1)(x －x 1)－(y 2－y 1)(y －y 1)＝05．已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)，N (－3,4)两点的直线上，则m ＝_________.6．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是_________.7.求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；8.已知Rt △ABC 的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C 在原点，直角边AC 在x 轴负方向上，BC 在y 轴正方向上，求斜边AB 所在的直线方程.9.如图,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.10.已知△ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点.（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长;（3）求AB 边的高所在直线方程.。
高一导学案(直线的两点式方程)
必修二 3.2.2直线的两点式方程【学习目标】1、学会利用两点式和截距式求直线的方程，了解直线方程的两点式和截距式的联系．2、通过独立思考、合作探究，感受数学的美，体验学习的快乐.【学习重难点】重点：利用两点式和截距式求直线方程；难点:两点式和截距式的适用范围【学法指导】1、带着问题导学中的问题通读教材P95-97页内容，作好必要的标注和笔记。
预习案一。
问题导学1、直线的两点式方程能表示平面内过任意两点的直线方程吗？2、直线的截距式方程不能表示哪些直线方程？二。
知识梳理1.直线的两点式方程．直线的两点式方程由点斜式方程导出．从两点式方程_______________中，可以看出x1≠x2，y1≠y2，即直线斜率_________(直线方程为x＝x1)或斜率为_____时(直线方程为y＝y1)，不能用两点式．2. 直线的截距式方程．直线的截距式为____________，它是由直线在x 轴和y 轴上的________确定的，其中a 叫做截距，b 叫做截距.3. 中点坐标公式已知点A（x1,y1）和点B(x2,y2)，线段AB的中点坐标为三。
预习自测1、过P1(1,3)，P2(2,4)两点的直线的方程是.2、直线2x－3y＝6在x轴、y轴上的截距分别是()A．3,2 B．－3,2 C．3，－2 D．－3，－23、点A(3,1)关于点B(－5,11)的对称点P的坐标是________．四.我的疑问：探究案合作探究探究1（直线方程的选择）例1：已知三角形的顶点为A(－5,1)，B(2，－2)，C(0,2)（1）求BC 边上的中线AM 所在直线的方程．（2）求BC 边上的中垂线方程（3）求BC 边上的高所在直线的方程探究2（平行与垂直关系的应用）例2：求经过点 A (1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程变式：求经过点 A (1,2)并且在两个坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程探究3（中点公式的应用）例3：过点 P(3,0)作一直线l ，使它被两直线1l ：2x －y －2＝0 和2l ：x ＋y ＋3＝0 所截的线段 AB 以点 P 为中点，求此直线l 的方程．课堂小结：训练案当堂训练1．在x 轴、y 轴上的截距分别是32，－3的直线方程为________________． 2．过P 1(3,2)，P 2(1，－2)两点的直线的斜截式方程是( )A ．y ＝2x －4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝x －4D ．y ＝x ＋43. 已知O(0,0),A(8,0),B(0,5)为矩形的三个顶点，求矩形的两条对角线所在直线方程.4.一条光线从点P(6,4)射出，与x 轴交于点Q(2,0)，经x 轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程.。
2.2.2 直线的两点式方程 导学案正文
2.2.2 直线的两点式方程【学习目标】1.能根据斜率公式导出直线的两点式方程.2.能利用直线的两点式方程及截距的概念,导出直线的截距式方程.3.能描述截距式方程的适用范围,并能依据不同条件合理选择直线方程的形式求解.◆ 知识点一 直线的两点式方程当x 1≠x 2时,经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线的斜率k=y 2-y1x 2-x 1.任取P 1,P 2中的一点,例如,取点P 1(x 1,y 1),由直线的点斜式方程,得 ,当y 2≠y 1时,上式可写为 .这就是经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)的直线的方程,我们把它叫作直线的两点式方程,简称两点式. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知直线过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则直线一定存在两点式方程. ( ) (2)经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2,y 1≠y 2)的直线方程可以是y -y 1y 2-y 1=x -x 1x 2-x 1,也可以是y -y 2y 1-y 2=x -x 2x 1-x 2. ( )(3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.( )◆ 知识点二 直线的截距式方程已知直线l 与x 轴的交点为A (a ,0),与y 轴的交点为B (0,b ),其中a ≠0,b ≠0,将两点A (a ,0),B (0,b )的坐标代入两点式,得y -0b -0=x -a0-a ,即 .此方程由直线l 在两条坐标轴上的截距a 与b 确定,我们把此方程叫作直线的截距式方程,简称截距式.【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程x a +yb =1表示.( )(2)能用截距式方程表示的直线都能用两点式方程表示.( )(3)过除原点外的一个定点,且在两坐标轴上的截距相等的直线有且只有1条.( )◆ 知识点三 直线方程的特殊形式直线方程名称 直线方程形式 适用范围 点斜式 y-y 0=k (x-x 0) 直线存在斜率 斜截式 y=kx+b直线存在斜率 两点式 y -y 1y 2-y 1=x -x 1x 2-x 1 直线不垂直 于坐标轴 截距式x a +y b=1 直线在两坐标轴上都存在截距且都不为0◆探究点一利用两点式求直线方程例1在△ABC中,已知A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2).(1)求BC边所在直线的方程;(2)求BC边上的中线所在直线的方程.变式 (1)经过(5,0),(2,-5)两点的直线的方程为( )A.5x+3y-25=0B.5x-3y-25=0C.3x-5y-25=0D.5x-3y+25=0(2)直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积,若平行四边形的两个顶点为B(1,4),D(5,0),则直线l的方程为.[素养小结](1)由两点式求直线方程的步骤:①设出直线所经过的两点的坐标;②根据题中的条件,列出相关方程,解出点的坐标;③由直线的两点式写出直线方程.(2)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件(两点的连线不平行于坐标轴),若满足,则考虑用两点式求直线方程.拓展一束光线从点A(3,2)发出,经x轴反射后经过点B(-1,6),分别求入射光线和反射光线所在直线的方程.◆探究点二利用截距式求直线方程例2 (1)(多选题)已知直线l:(a+2)x-y+2a-3=0在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍,则a的值可能是( )A.-5B.02C.3D.-22(2)直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A(6,-2),则直线l的方程为.(3)求过点(1,1),且在y轴上的截距为在x轴上的截距2倍的直线的方程.变式求过点Q(5,2),且与两坐标轴围成的三角形的面积是9的直线l的方程.2[素养小结]直线的截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,那么可考虑选用直线的截距式方程,用待定系数法确定其系数即可.(2)选用直线的截距式方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.(3)要注意直线的截距式方程的逆向应用.拓展在平面直角坐标系中,O为坐标原点,过点P(2,1)作直线l分别交x,y轴的正半轴于点A,B.(1)求△ABO面积的最小值及取得最小值时直线l的方程;(2)当|OA|+|OB|取得最小值时,求直线l的方程.。
2.1.2.2直线方程的两点式和一般式-导学案
直线方程的两点式和一般式使用说明：1.用15分钟左右的时间，阅读探究课本的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成教材助读设问及自测练习，学有余力的同学可提前进行探究案。
【学习目标】1、掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；2、了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
【学习重点和难点】学习重点：直线方程的两点式和一般式的概念 学习难点：直线方程的两点式和一般式的应用。
预习案 教材助读1. 已知直线上一点()111,P x y ，和直线的斜率k ，则直线的方程是2. 已知一直线过两点()()1122,;,A x y B x y ，求直线的斜率k= 则此直线的点斜式方程是3.已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 则直线的方程是4.求经过两点(,0)(0,)A a B b ≠;的直线l 的方程（其中ab 0）。
5.什么是直线方程的一般式？6.(,)0P m n Ax By C ++=点在直线上（A 、B 不同时为0），则m 、n 满足什么关系？预习自测1. 求经过下列两点的直线方程()()()()()()(1)3,2,0,3;(2)0,4,4,0;(3)3,2,0,0;A B A B A B --2. 求经过点()4,3-，且斜率为23,求直线的点斜式方程，并化为一般式。
3. 求与直线x-2y=0斜率相等，且过点（2，3）的直线方程，并化为一般式。
4. ()()3,2,1m M -已知点P 在过点和N(-3,4)的直线上，求m 的值。
5. 已知直线l 的方程为340.x y -+=求直线l 的倾斜角。
我的疑惑： 探究案基础知识探究1．()()2,2,2,5l B 已知点A 在直线l 上，求的方程。
2. ()()1,5,2,5l B 已知点A 在直线l 上，求的方程。
由上面两个题你能发现什么呢？综合应用探究3．方程0,Ax By C A B C ++=、、为何值时，方程表示直线：（1）平行于x 轴； （2）平行于y 轴； （3）与x 轴重合； （4）与y 轴重合。
直线的两点式方程
学习内容: 直线的两点式方程学习目标1．探究直线方程的两点式和截距式。
2．理解两点式和截距式是直线方程的特殊形式。
3．初步掌握求直线方程两点式的方法和步骤。
学习过程活动元一：“心动入境”想一想如果已知直线l 经过两点()()111222,,,,P x y P x y 如何求直线l 的方程呢？活动元二：“灵动探究”试一试一．如果直线l 经过两点()()()11122212,,,,P x y P x y x x ≠且则直线l 的斜率k =____________,由直线的点斜式方程得直线l 的方程为：_____________________当___________时，方程可以写成112121y y x x y y x x --=--的形式. 这个方程是由直线上两点确定的，方程________________________叫做直线的两点式方程. 议一议（1）方程()()21112121,y y y y x x x x x x --=-≠-与方程()12121121y y y y x x x x x x --=≠--表示的图形有何区别？（2）方程121121y y y y x x x x --=--和方程112121y y x x y y x x --=--表示同一图形吗？ 活动元三：“互动评说”练一练1:求过(2,1),(3,3)A B -两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式.2.过M(-2,m),N(m,4)的直线的倾斜角为90，则m 的值为( )A.-2B.4C.2D.-4 3．（））两点的直线方程不是，（），，（过26B 13A -263211.A --=+-x y )3(1.B --=-x y 04.=-+y xC 144.=+y x D说一说通过本节课你收获了什么？。
直线的两点式方程
商都高级中学高效课堂导学案年级 . 学科 主备人 审核人 . 编号课题：直线的两点式方程一、 学习目标 ：1理解直线方程的两点式、截距式的形式特点和适用范围；2能正确利用直线的两点式、截距式公式求直线方程；3体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，体会数形结合思想的应用。
学习重点：直线方程的两点式、截距式的形式特点和适用范围；学习难点：利用直线的两点式、截距式公式求直线方程；二、 定向导学 互动展示 当堂反馈自研自探环节课前准备：（预习教材P 95~ P 97，找出疑惑之处并作出标记）复习1：直线过点(2,3)-，斜率是1，则直线方程为 ；直线的倾斜角为60ο，纵截距为3-，则直线方程为 .2．与直线21y x =+垂直且过点(1,2)的直线方程为 .3．方程()331--=+x y 表示过点______，斜率是______，倾斜角是______，在y 轴上的截距是______ 的直线.学习探究：根据标记的具体内容，想一想新知1：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为 1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式。
.问题1：哪些直线不能用两点式表示？问题2：已知直线过(1,0),(0,2)A B -，求直线的方程并画出图象.新知2：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠， 则直线l 的方程1=+by a x 叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距.（教师巡视点拨）自我建构：自主思考，并解决下面的问题：问题3：a ,b 表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？问题4：到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？（教师巡视点拨）合作探究环节交流与分享1、 小对子：对子之间相互检查随堂笔记，根据书写、内容等给出等级评价。
直线的两点式方程
1、利用点斜式解答如下问题：
已知直线 经过两点 ,求直线 的方程.
模式
学案
导学批注
自
学
导
航
第一步：展示目标，自学解疑（15分钟）
通过上述实例，我们知道了两点可以确定一条直线，那么，如下：已知两点 其中 ，求通过这两点的直线方程。
两点式方程：
互
动
冲
浪
第二步：师生置疑，互动探究（10分钟）
探究1：是不是已知任意直线中得两点就能用两点式 写出直线方程呢？
“三段式”课堂教学模式导学案
年级：高二
学科：数学
主备人：
Hale Waihona Puke 授课时数：1课时课题：3.2.2直线的两点式方程
授课人：
授课时间：
学习目标：
（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；
（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围；
（3）让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
探究2：若点 中有 或者 ，此时两点的直线方程是什么？
探究3：如果已知两个点比较特殊，A(a,0),B(0,b)其中（ ），则直线l的方程为：称为：
第三步：展示评价，点拨精讲（10分钟）
巩
固
提
升
第四步：检测巩固，提升目标（5分钟）
安全教育
课间活动不要做危险的游戏，上下楼梯靠右行，不要拥挤。
审批：初审人姓名：中审人姓名：终审人姓名：
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1．知识与技能：（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；
（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围．
2．过程与方法：让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比
较、分析、应用获得新知识的特点．
3．情感态度与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
1． 重点：直线方程两点式．
1、过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程_____________________． 它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
2、斜截式方程：b kx y += 理解“截距”与“距离”两个概念的区别.
问题1.利用点斜式解答如下问题：
（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程.
（2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线的方程．
问题2.能否用直线的两点式方程写出满足下列条件的直线的方程.
（1） 过点（1，2）和（1，-1）的直线.
（2） 过点（1，2）和（-1,2）的直线.
问题3.直线的两点式方程不能表示平面直角坐标系中的哪些直线？
问题4.若点),(),,(222111y x P y x P 中有21
x x =或21y y =，此时这两点的直线方程是什
么？
问题5.已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程．
学生
问题6.直线的截距式方程不能表示平面直角坐标系中的哪些直线？
题型一：已知两点求直线的两点式方程.
例1：求过下列两点的直线的两点式方程。
（1）)1,2(1
P ，)3,0(2P ． （2）)5,0(A ，)0,5(B ．
题型二：根据直线的截距求直线的截距式方程
例2：根据下列条件求直线的方程，并画出图形．
（1）在x 轴上的截距是2，在y 轴上的截距是3．
（2）在x 轴上的截距是-5，在y 轴上的截距是6．
变式1：根据下列条件，求直线的方程．
（1）过点（0,5），且在两坐标轴上的截距之和为2．
（2）过点（5,0），且在两坐标轴上的截距之差为2．
题型三：直线的两点式方程的综合应用．
例3：已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
总结：
）的直线的方程为（ ）
1-=x y A ． 1+=x y B ． 2+-=x y C ． 2--=x y D ．
2．直线122=-b
y a x 在y 轴上的截距是（ ） b A ． 2b B ． 2b C -． b D ±． 3．过两点（-1,1）和（3,9）的直线在x 轴上的截距为（ ）
23-．A 32-．B 5
2．C 2．D 4．过)34(-，P 且在坐标轴上截距相等的直线有（ ）
．
A 1条 ．
B 2条 ．
C 3条 ．
D 4条 5.过点（2,3），且在坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有____________.
6.ABC ∆的顶点是)50(，A 、)21(-，B 、)46(，-C ，求BC 边上的中线所在的直线方程.。