初中数学换元法
初中数学 什么是换元法
初中数学什么是换元法换元法是一种在初中数学中常用的解题方法，特别适用于一些复杂的方程或不等式的求解过程。
通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，可以将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
下面我将为您详细介绍换元法的定义、原理以及应用方法。
一、换元法的定义换元法是指通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解的解题方法。
通过将问题中的变量进行替换，可以改变问题的形式，使其更易于处理。
换元法在解方程、求不等式的最值、证明等问题中都有广泛的应用。
二、换元法的原理换元法的原理是通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式。
新的未知数或代换的选择通常是根据问题的特点和需要来确定的。
通过合理的选择，可以使问题的形式更简单，从而更容易求解。
三、换元法的应用方法换元法的应用方法可以根据具体问题的不同而有所变化。
下面我将分别介绍在解方程、求不等式的最值以及证明中的换元法应用方法。
1. 解方程：a. 对于一元一次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程2x + 3 = 7，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y = 7，进而求得x的值。
b. 对于一元二次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程x^2 + 3x + 2 = 0，可以引入新的未知数y = x + 1，转化为y^2 + 2 = 0，进而求得x的值。
2. 求不等式的最值：a. 对于一元一次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于不等式2x + 3 > 5，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y > 5，进而求得x的取值范围。
b. 对于一元二次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，可以引入新的未知数y = x - 2，转化为y^2 - 1 > 0，进而求得x的取值范围。
因式分解的数学方法
因式分解的数学方法因式分解的数学方法要想能在综合性较强的几何题目中能灵活应用，就必须要熟记啦。
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
店铺为大家整理了数学公式：因式分解的方法，方便大家查阅。
一、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).二、运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。
① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.【例】a+4ab+4b =(a+2b)三、分组分解法把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。
用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。
【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).四、拆项、补项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
初中数学解题技巧-常见的转化方法
初中数学解题技巧:常见的转化方法
初中数学解题技巧:常见的转化方法
（ 1 ）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题 .
（ 2 ）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题 .
（ 3 ）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径 .
（ 4 ）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的 .
（ 5 ）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题 .
（ 6 ）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题 .
（ 7 ）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径
转化与化归的指导思想
（ 1 ）把什么问题进行转化，即化归对象 .
（ 2 ）化归到何处去，即化归目标 . 0
（ 3 ）如何进行化归，即化归方法 .
化归与转化思想是一切数学思想方法的核心 .。
初中数学换元法解析
初中数学换元法解析换元法是数学中的重要方法之一,它往往和消元的思想联系在一起.换元的实质就是“转化”的数学思想,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换.换元的基本方法有:整体换元、局部换元、均值换元、三角换元等.换元法的一般步骤为:设元(或构造元)、换元、求解、回代和检验等。
（1）换元法在整式运算中的应用初中数学问题中,常见的就是整式运算问题.在整式运算中经常会出现相对复杂的题目,这就需要在解题过程中将结构相同的部分看成一个整体,并用新元去替换它,将综合性强的问题转换成普通问题。
【典型例题】【思路分析】从题目中可发现,第一个括号中的式子=1-第四个括号中的式子,第三个括号中的式子=1-第二个括号中的式子.所以我们可以把第四个括号中的式子、第二个括号中的式子整体设元。
【答案解析】设2+3+4+…+999=a,2+3+4+…+998=b,则有a-b=999.所以原式=(1-b)·a-(1-a)b=a-ab-b+ab=a-b=999.【归纳总结】解题之前可以先观察题目,发现并探究相同的式子,然后用字母将相同部分替换,计算相对快捷简便.从此题中还可以发现,每两组括号都会相差999,第三个括号比第一个括号中少了999,第二个括号比第四个括号中多了999.所以还可以这样设元、换元:设1-2-3-…-998=a,2+3+4+…+998=b,则有a+b=1那么原式就变换a·(b+999)-(a-999)b=999(a+b)=999.所以换元方法不止一种,可以灵活选择.（2）换元法在因式分解中的应用初中数学问题中的重要内容之一就是因式分解.用换元法分解因式,它的基本思路就是将多项式中的某一部分用新的变量替换,减少因式项数或者降低次数,同时,让隐含的关系清晰地表现出来,从而使运算过程简明清晰.【典型例题】【思路分析】认真观察题目的结构,可以发现(x-4)(x+1)=x²-3x-4,(x-2)(x-1)=x²-3x+2,它们的二次项、一次项完全相同,这就具备了换元的条件,使用换元法进行降次处理,就使得分解变得简单易行.在设辅助未知数时,方法比较灵活,如可设x²-3x=a,或设x²-3x-4=a等,一般地,设辅助元为x²-3x-4和x²-3x+2的算术平均式比较简捷.【答案解析】（3）换元法在解方程(组)中的应用掌握运用换元法解方程和方程组是初中数学的一个重点要求,而在解高次方程、分式方程、无理方程时,要注意方程的特点,创造运用换元法的条件,往往会简化求解过程.A.高次方程解一元高次方程的基本思想是降次,而换元法是降次的一种基本方法.用换元法解高次方程的思路,与用换元法分解因式的思路一致.【典型例题】【思路分析】这个方程左边的两个因式中都含有x²+3x,于是解此题可设x²+3x+4=y或者x²+3x=y,当然与分解因式类似,也可设两个因式的算术平均式为辅助元,不过此题中算术平均式为x2+3x+9/2,计算并不方便.所以辅助元的选择要根据题意灵活地掌握.【答案解析】B.分式方程运用换元法解分式方程的基本思路是化分式方程为整式方程.【典型例题】【思路分析】【答案解析】C.无理方程运用换元法解无理方程的基本思路是化无理方程为有理方程.【典型例题】【思路分析】当无理方程的有理式部分与无理式部分所含未知数的项的系数成比例(包括相等)时,把无理式部分设为辅助元.此方程组中存在两组这样的关系,所以需设两个辅助元.用换元法解方程或方程组,虽然能把复杂的方程(组)简单化,但用此方法必须验根,因为在换元过程中(特别是分式方程和无理方程)常会出现增根.【答案解析】（4）换元法在证明中的应用换元法在证明中应用广泛,比如一元二次方程根的问题、不等式的证明、几何问题等,证明题利用换元法十分简捷.常采用的方法有增量换元法、均值换元法等.【典型例题】【思路分析】因为b+c=8,所以b和c的均值就是4,所以b和c的值都在4附近,所以可分别给b,c在4的基础上加上一个变量,这两个变量之和应为0,所以为简便起见,一个表示为t,另外一个则为-t.所以设b=4+t,c=4-t.又因为b,c都大于0,所以可以求出t值的取值范围.到此,设辅助元完成,然后代入换元即可.像这样,若某几个变量之和为一定值,则可求出其均值,则这几个变量都在均值这一常量附近变化,此时,可设这几个变量为该均值加上另外几个变量.新加入的变量之和为0,这种换元方法叫作均值换元法.【答案解析】。
初中换元法经典例题
初中换元法经典例题
初中数学中，换元法是解方程的一种常见方法。
下面是一个经典的例题：
例题，解方程 $x^2 + 2x 3 = 0$。
解答，首先，我们观察到这是一个二次方程，可以使用换元法来解决。
我们可以通过引入一个新的变量来进行换元，使得原方程变得更容易解决。
我们可以设 $y = x + 1$，即令 $y$ 代替 $x + 1$。
这样，原方程可以改写为 $y^2 4 = 0$。
接下来，我们可以将方程 $y^2 4 = 0$ 因式分解为 $(y 2)(y + 2) = 0$。
这样，我们得到两个可能的解，$y 2 = 0$ 或 $y + 2 = 0$。
解第一个方程 $y 2 = 0$，我们得到 $y = 2$。
将 $y = 2$ 代入 $y = x + 1$，我们可以得到 $x = 1$。
解第二个方程 $y + 2 = 0$，我们得到 $y = -2$。
将 $y = -
2$ 代入 $y = x + 1$，我们可以得到 $x = -3$。
综上所述，原方程 $x^2 + 2x 3 = 0$ 的解为 $x = 1$ 或 $x
= -3$。
通过这个例题，我们可以看到换元法是一种有效的解方程方法。
通过引入新的变量，我们可以将原方程转化为一个更简单的形式，
从而更容易求解。
初中数学换元法练习
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计 ， 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 和 ．由于 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨 ，而 品种的售价保持不变， ， 两个品种全部售出后总收入将增加 ，求 的值．
25.阅读材料：为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后设 ，则 ，原方程化为 ①，解得 ， ．
当 时， ， ， ；
当 时， ， ， ；
原方程的解是 ， ， ， ．
解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中利用了换元法达到了的目的；
（2）利用材料中的方法解方程： ．
答案
第一部分
1. B
2. C
因为 不小于 ，
所以 ．
13. 或
【解析】 ，
将 两边同除以 得： ，
令 ，则 ，
因式分解得： ，
解得 或 ，
即 的值是 或 ．
14.
【解析】设 ，则方程 可变形为： ，
方程两边同乘 ，整理得 ．
故答案为： ．
15.无解
【解析】设 ， ，则 ．
原方程化为 ．
又 ，
，
，解得 ．
经检验， 是增根．故原方程无解．
7.用换元法解方程 时，如果设 ，则原方程可化为
A. B. C. D.
8.我们知道方程组： 的解是 则方程组 的解是
A. B. C. D.
9.为求 的值，可令 ，则 ，因此 ．仿照以上推理，计算出 的值为
A. B. C. D.
10.在求 的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 倍，于是她设： 然后在 式的两边都乘以 ，得： 得 ，即 ，所以 得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“ ”换成字母“ ”（ 且 ）能否求出 的值?你的答案是
初中数学—换元法
知识点拨【知识提要】1. 方程中变量的换元；2. 三角换元；3. 特殊换元。
【基本题型】1. 解超过二次的方程，或解某些特殊的根式方程；2. 证明某些不等式，或者某些量的取值范围；3. 求某些难以直接求出来表达式的值。
【解题技巧】1. 遇到可以整体代入的时候，可以考虑换元；2. 解特殊的高次方程的时候，可以考虑换元；3. 有时候甚至可以联想三角函数。
快乐热身【热身】已知若有23y x =+成立，则有恒等式2223x x ay by c ++=++成立。
求abc 的值。
【解析】分析 直接用待定系数法会很繁琐。
有没有简单一些的方法呢？解 因为23y x =+，所以32y x -=。
所以，22239232424y y y x x y -⎛⎫++=+=-+ ⎪⎝⎭。
因此，119942432abc ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭。
第五讲 换元法热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 求1111111...++++（无穷多个）的值。
【解析】 分析 连分数化简为分数从最底下开始，但是这个是无限的，应该怎么办呢？解 设原式x =，则11x x=+，也就是说210x x --=。
解得12x +=（负根舍去）。
说明 无限连分数和无限小数一样，都是极限。
关于极限的概念，以后会学到。
【例 2】 解关于x 的一元四次方程：43210x ax bx ax ++-+=。
【解析】 分析 因为方程次数高，所以应当设法降次。
解 观察方程的系数，具有对称的特点，所以应当使用换元法。
显然0x =不是原方程的解，所以除以2x 后得到：2210a x ax b x x ++-+=。
设1y x x=-，则有220y ay b +++=。
248a b ∆=--。
⑴若0∆>，则方程的解为1y =2y =。
代回1y x x =-得到1,2x =，3,4x =。
⑵若0∆=，则方程的解为1,22a y =-，于是有1,34a x -+=，2,44a x -=。
初中数学竞赛专题选讲换元法(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.8）换元法一、内容提要1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等.例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.两边都除以x 2,得a(x 2+21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0.对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1.原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x=y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.二、例题例1. 解方程1112---++x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 例2. 解方程：x 4+(x －4)4=626.解：（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0，两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.） 设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .三、练习解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. =++++)7(27x x x x 35－2x.2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4=16.5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=16.6. x x x x 112+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x . 10. 563964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 13. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x .14. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++01823312y xy y y x y x . 15x xx x =-+-111. 16. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4 .17. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.则a=___,b= ____,c=_____,d=____18. ［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.参考答案 1. 221229 2. ±43±34 3. －25 4. 2,－23,4651± 5.3231-32211， 6. 1 7.21,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==727272722332y x y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==555555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－111.－32,－3512.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10358y x y x 13.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==8228y x y x 14. ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==1031041031041513y x y x y x y x 15. x=251± 16.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y17.设原式=k, k=44218. –2可设2x －21=t, x=21t+41代入[3x+1]。
换元法思想在初中数学教学中的应用研究
换元法思想在初中数学教学中的应用研究摘要：在初中数学中，存在着大量的抽象、复杂的数学难题，有的必须采用换元法才能顺利求解。
初中数学教师要深刻领会换元法思想，灵活地把握“化归”“转化”的思维，激发学生参与学习的积极性，促进学生思考，提高其数学学习水平。
文章对换元法思想在初中数学教学中的应用原则进行了简单分析，探讨了在初中数学教学中应用换元法思想的具体策略，以进一步提升数学教学质量，发展学生的数学综合思维。
关键词：换元法思想；初中数学教学；应用策略换元法思想是初中数学中非常重要的一种思想，它可以减少学生学习的困难，提升学生的逻辑思考能力和解题能力。
新课程为中学数学教育带来了新的发展契机，让换元法的使用范围越来越广，为学生解决问题提供了更快捷的途径，对提高学生的数学综合素质具有重要意义。
然而，在教学实践中仍存在着一些误区，比如有的教师讲解的换元法不够准确，有的教师忽略了换元后新变量的取值范围，有的教师只讲授换元理论而忽略了实践，等等。
在实际教学中，教师应从学生的实际出发，积极培养学生的“转化”“化归”的思维，并通过设计多种形式的数学实践活动，把换元法思想融入课堂教学中，引导学生灵活地解决各种数学问题，增强学生学习的主动性和自觉性，从而加深学生对数学问题的辨证认识。
一、换元法思想在初中数学教学中的应用原则（一）适用性原则换元法在实际运用中有一定的讲究，并非所有的数学问题都适合使用換元法。
有的时候，学生会盲目地进行换元，导致解决问题的效率下降。
在日常的学习中，常采用换元法解决因式分解或不等式证明、求解问题，其基本思想是用新的变量代替原来的变量，从而解决问题。
教师可以运用换元法的思维进行教学，并逐渐将换元法的概念渗透到课堂中，使学生能熟练运用换元法，并能把复杂的问题进行合理的分解、转换，使之变成简单的问题。
随着我国教育的不断深化，中考数学试题的考试范围越来越广，很多题目都可采用换元法解答［1］。
因此，教师应引导学生进行归纳、整合，提升学生的数学学习能力，从而达到素质教育的目标。
初中数学十大思想方法-换元法
解：（用平均值 x x 4 代换） 2
设 y= x－2 ，则 x=y+2.
原方程化为 (y+2)4+(y－2)4=626.
［((y+2)2－(y－2)2)2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0
整理，得 y4+24y2－297=0.
(这是关于 y 的双二次方程).
(y2+33)(y2－9)=0.
3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .
4. (2x2－x－6)4+(2x2－x－8)4=16.
5. (2 5 x 1 1)4+(2 5 x 1 3 )4=16.
6.
x x2 1
x1 =3
2
.
x2
7. 2x4－3x3－x2－3x+2=0.
x 2 y 2 x y 18 8. x 2 y 2 xy 19
则
x2+
1 x2
=y2－2.
原方程化为 2y2+3y－20=0.
5
解得 y=－4；或 y= .
2
由 y=－4 得 x=－2+ 3 ；或 x=－2－ 3 .
由 y=2.5 得
x=2；或 x= 1 . 2
2x 2 5xy 2 y 2 x y 1 0 例 4 解方程组 x 2 4xy y 2 12x 12 y 10 0
形如 ax4－bx3+cx2＋bx+a=0 的方程，其特点是：
与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.
x
2
1
x
2
1
两边都除以 x2, 可化为 a(x2+
换元法解分式方程的四种常见类型
换元法解分式方程的四种常见类型换元法是初中数学非常重要的思想方法，在解分式方程时有着极为广泛的应用，本文根据各个方程自身的结构特点，举例说明换元法解分式方程的四种常见类型，供大家参考.一、直接换元例1 解方程015)1(2)1(2=----x x x x . 解：设y x x =-1，则原方程可化为01522=--y y . 解得 5,321=-=y y .当3-=y 时，31-=-x x ，解得 43=x ； 当5=y 时，51=-x x ，解得 45=x . 经检验，45,4321==x x 是原方程的根. 二、配方换元例2 解方程 1)1(3)1(222=+-+x x xx . 解：原方程配方，得 05)1(3)1(22=-+-+xx x x . 设,1y xx =+则05322=--y y . 解得 25,121=-=y y . 当1-=y 时，,11-=+x x 即012=++x x . 因为0311412<-=⨯⨯-=∆，所以方程012=++x x 无实数根. 当25=y 时，,251=+x x 即02522=+-x x . 解得 21,221==x x . 经检验，21,221==x x 是原方程的根. 三、倒数换元例3 解方程031)1(21122=-+++++x x x x . 解：设y x x =++112，则原方程可化为032=-+y y .去分母，整理，得0232=+-y y ，解得 2,121==y y . 当1=y 时，1112=++x x ，即02=-x x . 解得 1,021==x x .当2=y 时，2112=++x x ，即0122=--x x . 解得 21,2143-=+=x x .经检验，,1,021==x x 21,2143-=+=x x 都是原方程的根.四、变形换元例4 解方程12222422=+-+-x x x x . 解：原方程可变形为05222)22(222=-+-++-x x x x . 设y x x =+-222，则原方程可化为0522=-+y y . 去分母，整理，得02522=+-y y .解得 21,221==y y . 当2=y 时，2222=+-x x ，即022=-x x .解得 21,021==x x . 当21=y 时，21222=+-x x ，即03242=+-x x . 因为044344)2(2<-=⨯⨯--=∆，所以方程03242=+-x x 无实数根. 经检验，21,021==x x 是原方程的根.。
初中数学《换元法》讲义及练习
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】计算：1111111111 (1)()(1)()2424624624 ++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a+++=，111246b++=，则：原式11 ()()66a b a b=-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b=-11166=⨯=【答案】1 6【巩固】11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a=++，则原式化简为：1111(1555a a a a+(+)(+)-+)=【答案】1 5【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a++=；739458358947b+=，原式378378207207a b a b⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b=-⨯=⨯=【答案】9例题精讲教学目标换元法【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2007年，希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
换元法在初中数学解题中的应用
换元法在初中数学解题中的应用赖振华(福建省平和县文峰中学㊀３６３７００)摘㊀要:换元法是初中数学解题中最为重要的㊁常见的方法ꎬ巧妙借助换元法对初中数学问题进行转化和化归等ꎬ进而使得问题解答更加简单明了.本论文以初中数学为研究对象ꎬ对换元法在初中数学解题中具体应用进行了详细的研究和分析.关键词:初中数学ꎻ换元法ꎻ解题ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１７－００１３－０２㊀㊀在初中数学新课程标准中明确提出ꎬ初中数学的学习首要目标就要求学生在学习的过程中ꎬ获得必备的数学基础知识㊁数学基本技能等ꎬ并对最基本的数学概念㊁数学结论的本质等进行理解ꎬ进而充分体会初中数学中所蕴含的数学思想和数学方法等.因此ꎬ在初中数学教学中ꎬ必须要充分借助 换元法 以提升学生的解题效率.㊀㊀一㊁换元法概述换元法又称之为辅助元素法㊁变量代换法ꎬ主要是将某一个式子看做成一个整体ꎬ并用另一个变量去代替它.换元的实质就是转化ꎬ是用一种变数形式对另一种变数的形式进行取代ꎬ进而使得问题得到了有效的简化.可以说ꎬ在使用换元法这一方法对初中数学问题进行解答的时候ꎬ其关键就在于合适地选择出 新元 ꎬ并将其引入到数学问题中进行适当的代换ꎬ进而找到数学问题的解题思路.具体来说ꎬ在使用换元法解决数学问题的时候ꎬ其解题的步骤就是:换元 求解 回代 检验.具体来说ꎬ最为基本的换元方法主要有三种:(１)局部换元:又被称之为整体换元.主要是在已知或者未知的过程中ꎬ某一个代数式出现了几次.在解题的时候ꎬ就可以利用某一个字母对其进行代替ꎬ进而将数学问题进行简化.甚至有的时候ꎬ在进行局部换元的时候ꎬ必须要将数学问题进行变形之后ꎬ才能借助这一方式进行解决.例如ꎬ在解不等式:４ｘ＋２ｘ－２ȡ０的时候ꎬ就可以采用局部换元的形式进行ꎬ先设２ｘ＝ｔ(ｔ>０)ꎬ在这种情况下ꎬ就可以将不等式进行简化ꎬ进而使得学生更加方便求解.(２)三角换元:该换元方法主要应用在去根号㊁变换为三角形式进行求解的过程中ꎬ在进行换元的时候ꎬ主要是利用已知代数式中与三角知识中的联系点进行换元.例如ꎬ在求函数ｙ＝ｘ＋１－ｘ的值域的时候ꎬ学生在对其进行解决的时候ꎬ就可以借助三角换元的形式ꎬ将这一函数进行转化ꎬ使其成为学生熟悉的三角函数问题.学生在对本道题进行分析的时候ꎬ发现ｘɪ[０ꎬ１]ꎬ随之就可以将其与三角函数进行联系ꎬ设ｘ＝ｓｉｎ２αꎬαɪ(０ꎬπ/２).通过换元转化ꎬ复杂的函数问题瞬间就变得简单了ꎬ更加易于学生求解.(３)均值换元:主要是在对某些数学问题进行解答的过程中ꎬ两个未知量的和是已知ꎬ这种时候在对其进行解答的过程中ꎬ就可以将这两个未知量用他们的均值㊁一个新的变量进行表示ꎬ进而将复杂的数学问题变得更加简单.例如ꎬ在求解ｘ＋ｙ＝Ｓ类型的数学问题时ꎬ就可以采用均值换元的方式ꎬ设ｘ＝Ｓ/２＋ｔꎬｙ＝Ｓ/２－ｔ之后再对数学问题进行解答.总而言之ꎬ在对数学问题进行解决的过程中ꎬ换元法是最为常用的数学解题方式.通过换元法的应用ꎬ使得整个数学运算更加简便ꎬ进一步提升了学生的解题效率.㊀㊀二㊁换元法在初中数学解题中的具体应用１.在因式分解中的应用在初中数学知识体系中ꎬ多项式的因式分解历来是教学㊁考试的重点.就因式分解这一部分的内容来说ꎬ虽然总体难度不是特别大ꎬ但是涉及到的基础知识却非常多.例如:加减乘除㊁平方㊁代数式等ꎬ学生在进行该部分数学问题的解决过程中ꎬ必须要对因式分解与整式乘法之间的关系ꎬ并对新旧知识之间的比较进行探索ꎬ进而掌握因式分解的主要方法.而在进行因式分解问题解答的过程中ꎬ换元法则是学生最为常用的方法ꎬ并深得学生的青睐.具体来说ꎬ换元法在因式分解中应用的时候ꎬ首先应将原代数式中的某个部分ꎬ用新元对其进行代替ꎬ以达到减少因式项数的目的ꎬ进而使得问题变得更加简单.例如ꎬ在解方程１ｘ２＋４ｘ＋６＋１ｘ２＋４ｘ－１０＋１ｘ２＋４ｘ＋１６＝０的时候ꎬ就可以采用换元法的方式ꎬ设ｘ２＋４ｘ－１０＝ｔꎬ则该因式就会变为１ｔ＋１６＋１ｔ＋１ｔ＋２６＝０ꎬ在这种情况下ꎬ这一复杂的数学问题就变得更加简单ꎬ便于了学生的解决.２.在解方程组问题中的应用方程组也是初中数学中最为重要的内容ꎬ在对这部分数学问题进行解答的时候ꎬ学生只有明确找出未知条件㊁已知条件两者的关系ꎬ或者将方程组中所隐蔽的已知条件之间的关系进行明确的时候ꎬ才能将新知识进行转化ꎬ使其成为旧知识ꎬ进而对其进行有效的解决.而在这一过程中ꎬ则离不开换元法的应用.例如ꎬ在对２ｘ２－６ｘ－１＋３ｘ２－３ｘ＋２＝０这一方程进行解答的时候ꎬ多数学生都对其无从下手.面对这一情况ꎬ就可以引导学生采用换元的方式进行解答ꎬ将这一无理方程进行转化ꎬ促使其成为有理方程.具体来说ꎬ在换元的时候ꎬ可设ｘ２－３ｘ＋２＝ｙꎬ通过这一换元ꎬ整个方程式就变为２ｙ２＋３ｙ－５＝０ꎬ进而学生就可以充分借助所学的旧知识对其进行求解.３.在整式运算中的应用在初中数学学习中ꎬ整式运算是学生最为常见的运算问题ꎬ同时整式运算也相对比较复杂.许多学生面对这一问题ꎬ常常无从下手ꎬ不知道如何对其进行解决.据此ꎬ教师在引导学生对其进行解答的时候ꎬ可充分借助换元法的形式ꎬ将相同的部分看做一个整体ꎬ并利用新元对其进行替代ꎬ进而这一复杂的问题进行转换ꎬ使其成为一个简单的数学问题.例如ꎬ在对(１－２－３－ －９９８)(２＋３＋４＋ ＋９９９)－(１－２－３－ －９９９)(２＋３＋４＋ ＋９９８)这一整式进行运算的时候ꎬ就可以充分借助换元法ꎬ将(２＋３＋４＋ ＋９９９)设置为ａꎬ将(２＋３＋４＋ ＋９９８)设为ｂꎬ那么该整式运算就会简化为(１－ｂ)ａ－(１－ａ)ｂꎬ进而使得整个整式运算更加简单.综上所述ꎬ在初中数学学习中ꎬ学生经常会遇到比较复杂的数学问题ꎬ如果直接按照原始的方式对其进行求解ꎬ不仅使得数学问题变得十分棘手ꎬ并且致使学生在对数学问题进行解决的过程中ꎬ常常出现无从下手㊁频频出现错误等现象.因此ꎬ在指导学生对这些数学问题进行解决的过程中ꎬ就可以引导学生充分借助换元法的方式ꎬ将复杂的数学问题进行简化ꎬ进而促使学生对其进行顺利解决.㊀㊀参考文献:[１]卢春松.浅析换元法在初中数学解题中的应用[Ｊ].数理化学习(初中版)ꎬ２０１４(１０):７２＋７４.[２]刘道明.换元法在初中数学解题中的探究[Ｊ].数理化解题研究(初中版)ꎬ２０１３(１２):１７－１７.[３]李素珍.换元法在中学数学解题中应用[Ｊ].信息教研周刊ꎬ２０１４(６):６０－６１.[责任编辑:李㊀璟]创客教育在中学数学课堂教学中的实践与反思张方成(江苏省南通市陈桥中学㊀２２６０００)摘㊀要:创客教育的出现给初中数学教学带来了巨大的变革.创客教育可以有效激发学生的数学学习兴趣ꎬ保证学生可以通过自主或合作的方式完成知识的学习ꎬ另外ꎬ创客教育还可以有效培养学生跨学科解决问题的能力ꎬ进一步提高学生团队合作的能力.关键词:创客教育ꎻ中学数学ꎻ课堂教学ꎻ实践ꎻ反思中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１７－００１４－０２㊀㊀一㊁什么是创客教育创客来源于英国文化ꎬ其本意主要是指以兴趣作为指导ꎬ积极努力地采取有效的方法将创想变为现实的人.随着教育观念的转变ꎬ创客教育也开始向着美国先进的教育理念: ＳＴＥＡＭ 教育方向转变ꎬ该教育理念其实就是Ｓ科学㊁Ｔ技术㊁Ｅ工程㊁Ａ艺术㊁Ｍ数学.在开展创客教育的过程中ꎬ教师应该组织学生根据共同合作学习的项目以小组或者团队的形式进行学习ꎬ在学习过程中充分利用互联网以及工程技术等资源ꎬ进一步实现项目研究的目标.这种新型的学习模式的提出更加符合我国当前的教育方针ꎬ另外ꎬ这种学习模式的应用可以有效提升学生的团队合作能力以及跨学科学习的能力.㊀㊀二㊁洞识验证数学事实㊀创客教育触发数学猜想㊀㊀１.由隐及显学生逻辑思维水平虽然和天生的因素有一定的关。
换元法在因式分解中的应用
换元法在因式分解中的应用
换元法是中学数学中一种重要的解题方法，属于非常规思维，带有试探性、不规则性及创造性．用换元法解题，不蹈常规，见解独特，是培养学生创造性思维能力的重要手段。
因式分解是初中数学的重要内容之一，是多项式乘法的逆运算，在代数式的化简、求值、解方程等领域中都有着广泛、直接的应用。
但当一个多项式的项数、字母较多，次数较高或还含有代数式乘积的项时，结构复杂，容易造成思路混乱，这时可对多项式中某些相同的部分设辅助元代换，达到减少项数、降低次数，便于分解因式。
把复杂、繁难的问题变得简单、容易的目的。
举例简解如下。
一、整体换元
例1因式分解
解：设，原式
例2若是方程的两根。
因式分解
解：因为是方程的两根，所以
设，原式
但
同理
所以原式
二、局部换元
例3因式分解
解：设
原式
例4因式分解
解：设，原式
三、局部分解后，重组再换元
例5因式分解
解：原式
原式
例6因式分解
解：原式
设，原式
注：这里分解后重组的目的是为了寻找整体或局部换元的可能。
四、多元换元
例7因式分解
解：设
原式
例8因式分解
解：设
原式
例9因式分解
解：设注意到
所以原式
注：类似例7、8、9等，不能展开，否则将不堪繁琐，难以继续分解。
由上述数例可知，比较复杂的多项式因式分解，需综合应用多种分解方法，而换元法是一种行之有效的手段，在换元分解结束后，必需把原代换的代数式代换回来，恢复成原字母的分解式。
初中数学重点梳理：换元法
换元法 知识定位很多时候，我们遇到的问题直观比较复杂，在这种情况下把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
知识梳理知识梳理1：换元法在因式分解中的运用利用换元法分解因式，就是将多项式中的某一部分用一个新字母（元）来代替，进行变量替换，将问题转化，从而起到化繁为简、化隐为显、化难为易的作用。
知识梳理2：换元法在解方程中的运用换元法在解方程中是一种常用的方法，特别是解特殊方程中经常能产生事半功倍的 效果，下面介绍解特殊方程时应用换元法的几种常见的方法。
例题精讲【试题来源】【题目】分解因式：()()a a a a a 22216112++-++【答案】【解析】直接换元设a m 21+=，则原式=+-+()()m a m a a 6122=-+=--=+-+-=-+-m am a m a m a a a a a a a a 22222256231213311()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b b c c a ----24 【答案】【解析】双元换元设b c m c a n -=-=，则a b m n -=-+()，原式=-+-[()]m n mn 24=-=---=+-()[()()]()m n b c c a a b c 2222【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b ab a b ab +-+-+-2212【答案】【解析】和积换元设a b m ab n +==，原式=--+-()()()m n m n 2212=---+=--=+--=--()()()()()()m n m n m n a b ab a b 22222211111【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()ab a b ab a b --+---1222 【答案】【解析】和差换元设a b ab m n +-=+22--=-a b m n则m ab n a b ab =-=+--11， 原式=-+-m m n m n 2()()=--=m m n n 2222()=+--=--()()()a b ab a b 111222【知识点】换元法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：a a a 42200320022003+++【答案】【解析】常值换元设2003=m ，则20021=-m ，原式=++-+a ma m a m 421()=-+++()()a a m a a 421=++-+=++-+()()()()a a a a m a a a a 2222112003【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()()()()x m x m x m x m m +++++2344 【答案】【解析】均值换元 原式=+++++()()x mx m x mx m m 222245456 设n x mx m x mx m =+++++1254562222[()()] =++x mx m 2255则原式=-++()()n m n m m 224==++n x mx m 222255()【知识点】换元法 【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】分解因式：291492432a a a a -+-+【答案】【解析】倒数换元 原式=-+-+a a a a a 222291492()=+-++a a a a a 222219114[()()] 设a a m +=1，则原式=--+a m m 2222914[()]=-+=--a m m a m m 2222910225()()()=+-+-=-+-+=---a a a a a a a a a a a a 222212225212521221()()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b b c c a abc ++++【答案】【解析】变形后换元原式=++-++-++-+()()()a b c c a b c a a b c b abc设a b c m ++=，则原式=---+()()()m c m a m b abc =-+++++-+=-+++=++++m a b c m ab bc ca m abc abcm m m ab bc ca mab bc ca a b c 3232()()()()()·【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()()()a a a 212472----【答案】【解析】整体换元原式=+----[()()][()()]a a a a 141272 =---+-()()a a a a 22343272设a a m 232-+=，则原式=--()m m 672=--=-+=-+--++=+--+m m m m a a a a a a a a 222267212632123262538()()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()12323+++-m m m m【答案】【解析】局部换元设12++=m m a ，则原式=+-()a m m 323 =++-=++-=++-=++-=++++++a am m m a am m m a am m m aa a m m m m m m m m m 23632333233343223422121211()()()()()【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程：x 4+(x －4)4=626.【答案】x=5；或x=－1.【解析】（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .【答案】x=－2+3；x=－2－3； x=2；或x=21. 【解析】∵这是个倒数方程，且知x ≠0， 两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25.由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x 【答案】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x . 【解析】（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】 【题目】解方程=++++)7(27x x x x 35－2x. 【答案】【解析】7=x x t ++则原式变为2t 420t +-=，解得t = -7 或 6【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程(16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2. 【答案】【解析】可以换元令16x 2－9 = a ，9x 2－16 = b ，25x 2－25 = a + b 则原式变为 ()222a ab b a b++=+化简得ab = 0即【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程(2115-+x )4+(2315-+x )4=16.【答案】1，3【解析】【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程x x x x 112+++=223.【答案】无实数解【解析】x x x x 112+++=223 即111x x x x +++=223.令1x x + = t原方程变为1t t +=223.【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程组【答案】【解析】【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2， 那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.【答案】-2【解析】【知识点】换元法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】4【试题来源】 【题目】解方程1112---++x x x =x. 【答案】45 【解析】设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x . 原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3。
初中数学换元法
初中数学换元法数学中的换元法指通过一个一次或多次函数变换将原方程转化成更易解的方程的方法。
它在初中数学中主要应用于简化复杂的代数式和解方程，主要有以下几种类型。
1. 代数式的化简当出现一次多项式和一个二次多项式相乘时，可以使用一个新的变量，将二次项的系数给去掉。
例如：x^2 + 6x = (x+3)^2-92. 解一元一次方程组对于一元一次方程组，也可以使用换元法进行求解，通过将其中一个方程的某一变量项代入到另一个方程中，从而消去一部分未知数。
例如：\begin{cases} x-y=3\\ 2x+y=7\end{cases}，可将第一个方程中的 y 用 3-x 表示，代入第二个方程，得到 x=2，进而求出 y=-1。
3. 解一元二次方程对于一元二次方程，可以通过变换将其化为一元一次方程。
例如：x^2-5x+4=0，令 x=y-\dfrac{b}{2a}，代入原方程即可求解 y，再通过还原变量得到 x。
4. 解三角函数方程对于某些三角函数方程，可以通过一些简单的代数变换将其转化为其他类型的方程，例如：\sin^2 x - \sin x -2=0，令 y=\sin x，则原方程变为 y^2-y-2=(y+1)(y-2)=0，解得 y=-1 或 y=2，进而求出 x。
5. 解根式方程对于一些含有根式的方程，可以通过换元法将其化为一元二次方程，例如：\sqrt{2x+5}-\sqrt{x+1}=1，令 y=\sqrt{x+1}，则原方程变为\sqrt{2y^2+3}-y=1，化为 2y^2-2y-2=0，解得 y=1+\sqrt{2} 或y=1-\sqrt{2}，进而求出 x。
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家庭作业
轴 从 左 至 右 依 次 交 于 A， B 两 点 ，与 y 轴 交 于 点 C，经 过 点 B 的 直 线 y= ﹣ x+b 与 抛 物 线
的 另 一 交 点 为 D．（ 1） 若 点 D 的 横 坐 标 为 ﹣ 5 ， 求 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ； （ 2 ）若 在 第 一 象 限 内 的 抛 物 线 上 有 点 P，使 得 以 A， B， P 为 顶 点 的 三 角 形 与 △ ABC 相 似 ， 求 k 的值； （ 3 ） 在 （ 1 ） 的 条 件 下 ， 设 F 为 线 段 BD 上 一 点 （ 不 含 端 点 ）， 连 接 AF， 一 动 点 M 从 点 A 出 发 ， 沿 线 段 AF 以 每 秒 1 个 单 位 的 速 度 运 动 到 F ， 再 沿 线 段 FD 以 每 秒 2 个 单 位 的 速 度 运 动到 D 后 停 止 ， 当 点 F 的 坐 标 是 多 少 时 ，点 M在 整个 运 动 过程 中 用 时最 少 ？
A.
2
y
8y
7
0；
2
B. y
8y
7
0；
2
C. y
8y
7
2
0 ； D. y
8y
7
0.
2
学如逆水行舟，不进则退。
2、 若 实 数 x 、 y 、 z 满 足 x y 5, xy y z 2 9 ， 则 x 2 y 3z
。
◆目标训练五：
1、 已 知 a(a 4) b2 2b 5 ， 则 a b 的 值 等 于 （ ab
1、 求 方 程 x
2 10 3x 的 实 数 解 。
x2 2 x
3
2、 a1 ， a2 ， L ,a2004 都 是 正 数 ， 如 果 M (a1 a2 L a2003)( a2 a3 L a2004 ) ，
N ( a1 a2 L a2004 )( a2 a3 L a2003 ) ， 那 么 M 、 N 的 大 小 关 系 是 （
◆目标训练二：
① 先 化 简 ， 再 求 值 ： (a 2 2 2a 1) 2 2(a2 2 2a 1) 3 ， 其 中 a 3 2 。
1
学如逆水行舟，不进则退。
② 已 知 x 2 x 1 0 ， 求 代 数 式 x 3 2 x 2 2002 的 值 。
② 、 解 方 程 x21 x22x1。x
★ 3、 在 方 程 、 不 等 式 中 的 运 用
③ 、 2009 x2 (2009 2 1)x 2009
★ 2、 在 代 数 式 的 计 算 、 化 简 中 的 运 用
1、 如 果 a b c 0 ， 1
1
1
0 ， 求 ： ( a 1) 2 (b 2) 2 (c 3)2 的 值 。
a1 b 2 c 3
◆ 目 标 训 练 一 ： 分 解 因 式 ： ① （ x2 x 1 ） （ x 2 x 2 ） -12
4
3 、 抛 物 线 ： y x2 4x (b 1) 2 过 点 （ a,-4) 和 点 （ -a,m), 则 m=
★ 挑 战 压 轴 题 :1. 已 知 ： 等 边 三 角 形 ABC （ 1 ） 如 图 1 ， P 为 等 边 △ ABC 外 一 点 ， 且
∠ BPC=120 ° ． 试 猜 想 线 段 BP 、 PC 、 AP 之 间 的 数 量 关 系 ， 并 证 明 你 的 猜 想 ； （ 2 ） 如 图 2 ， P 为 等 边 △ ABC 内 一 点 ， 且 ∠ APD=12°0 ． 求 证 ： PA+PD+PC ＞ BD ．
A. 3 ;
1
B. ;
3
C. 3 ;
）
1
D. .
3
2、 若 实 数 x 、 y 满 足 x2 y 2 4x 2 y 5 0 ， 求
x y 的值 。
3y 2 x
目 标 训 练 六 ： 1 、 代 数 式 2 x 2 4 xy 5 y2 4 x 2 y 5 可 取 得 的 最 小 值 是
2、 当 x
时 ， 分 式 6x2 12x 10 取 得 最 小 值 是 x2 2x 2
）
A、 有 两 个 不相 等 的 实 数 根 C、没有实 数根
B、有两 个相等 的实数根 D、不能确定
3、 分 解 因 式 : 4x2 4x y2 4y 3
◆目标训练三：
① 用 换 元 法 解 方 程 x2
2x
7 x2 2x
8时 ， 若 设 x2
2x
y则原 方程 可化为关于 y的整式
方程是 （
）
◆ 目 标 训 练 四 ： 1、 分 解 因 式 ： x4 7x 2 1
）
A、 M N
B、 M N
C、 M N
D、 不确定的
★ 【配方法 的运用 】：
1 、已 知 代 数 式 A 9 _____ 4 a 2 ，在 横 线 上 添 加 一 个 单 项 式 ，使 A 成 为 完 全 平 方 式 ，则
添加 的单项式是
。
2 、 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2 (m 1)x m 3 0 的 根 的 情 况 是 （
3、 若 x 2 xy y 14, y 2 xy x 28 ， 求 x y 的 值 。 4、 若 a b 2 a 1 4 b 2 3 c 3 c 5 ， 求 a b c的 值 。
2
3
学如逆水行舟，不进则退。
★ 挑 战 压 轴 题 :2. 如 图 ， 已 知 抛 物 线 y= （ x+2 ）（ x ﹣ 4 ）（ k 为 常 数 ， 且 k＞ 0） 与 x
学如逆水行舟，不进则退。
初三数学 换元法、配方法专题讲座
★★ 【典例精析与运用】
分 解 因 式 ： 1 、 （ x 4 x 2 4 ） （ x 4 x 2 3 ） + 10
分 解 因 式 ： 2 、 （ x 1 ） （ x 2 ） （ x 3 ） （ x 4 ） +1
② 、 ( x 1) ( x 2) ( x 6) ( x 3) x 2
1 、 已 知 ： a 10000 ， b
9999 ，
求
：
2
a
2
b
2ab
6a
6b
9的值 。
2 、 分 解 因 式 ： ( x y)( x y 2xy ) ( xy 1)( xy 1)
3 、 实 数 x,y 满 足 ： x 2 y 2 4 xy 2 y ， 则 x+y 的 值 是 多 少 ？ 2
4、实数 a, b, c满足 a2 2b 7,b2 2c 1, c2 6a 17 .求： a b c的值。