一元一次方程知识点完整版(供参考)
一元一次方程知识点总结和例题讲解
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一元一次方程知识点及题型一、方程的有关概念1. 方程:含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程:只含有一个未知数(元)x ,未知数x 的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程. 3.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.注:⑴ 方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵ 方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论. 二、等式的性质三、移项法则:把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项. 四、去括号法则 五、解方程的一般步骤1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ,得到方程的解x=ba ).六.列一元一次方程解应用题的一般步骤(1)审题:弄清题意.(2)找出等量关系:找出能够表示本题含义的相等关系.(3)设出未知数,列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,•然后利用已找出的等量关系列出方程.(4)解方程:解所列的方程,求出未知数的值.(5)检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,•是否符合实际,写出答案 【基础与提高】 一.选择题1.下列各式中,是方程的个数为( )(1)﹣4﹣3=﹣7;(2)3x ﹣5=2x+1;(3)2x+6;(4)x ﹣y=v ;(4)a+b >3;(5)a 2+a ﹣6=0. A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2.下列说法正确的是( ) A . 如果ac=bc ,那么a=b B . 如果,那么a=bC .如果a=b ,那么D . 如果,那么x=﹣2y3.若关于x 的方程mx m ﹣2﹣m+3=0是一元一次方程,则这个方程的解是( ) A .x =0 B .x =3 C . x =﹣3D .x =24.方程(m+1)x|m|+1=0是关于x的一元一次方程,则m()A.m=±1 B.m=1 C.m=﹣1 D.m≠﹣15.若关于x的方程nx n﹣1+n﹣4=0是一元一次方程,则这个方程的解是()A.x=﹣1 B.x=1 C.x=﹣4 D.x=46.已知x=3是关于x的方程x+m=2x﹣1的解,则(m+1)2的值是()A.1B.9C.0D.47.已知x=﹣6是方程2x﹣6=ax的解,则代数式的值是()A.4B.3C.2D.18.设P=2x﹣1,Q=4﹣3x,则5P﹣6Q=7时,x的值应为()A.B.C.D.﹣9.服装店同时销售两种商品,销售价都是100元,结果一种赔了20%,另一种赚了20%,那么在这次销售中,该服装店()A.总体上是赚了B.总体上是赔了C.总体上不赔不赚D.没法判断是赚了还是赔了10.如图是一个长方形试管架,在a cm长的木条上钻了4个圆孔,每个孔的直径为2cm,则x等于()A.cm B.cm C.cm D.cm11.关于x的方程(k﹣3)x﹣1=0的解是x=﹣1,那么k的值是()A.k≠3 B.k=﹣2 C.k=﹣4 D.k=212.江苏卫视《一站到底》栏目中,有一期的题目如图,两个天平都保持平衡,则三个球体的重量等于()个正方体的重量.A.2B.3C.4D.513.已知方程2x+k=5的解为正整数,则k所能取的正整数值为()A.1B.1或3 C.3D.2或314.小芳同学解关于x的一元一次方程﹣时,发现有个数模糊看不清楚,聪明的小芳翻看了书后的答案,知道这个方程的解是3.于是她很快补上了这个数.她补的这个数是()A.B.3C.8D.915.若代数式3x﹣7和6x+13互为相反数,则x的值为()A.B.C.D.16.按下面的程序计算,若开始输入的值x为正数,最后输出的结果为656,则满足条件的x的不同值最多有()A.2个B.3个C.4个D.5个二.填空题17.一件衣服先按成本提高50%标价,再以8折(标价的80%)出售,结果获利28元.若设这件衣服的成本是x元,根据题意,可得到的方程是_________.18.图1是边长为30cm的正方形纸板,裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子,已知该长方体的宽是高的2倍,则它的体积是_________cm3.19.已知与的值相等时,x=_________.20.若x=﹣1是关于x方程ax+b=1的根,则代数式(a﹣b)2011的值是_________.21.某人用24000元买进甲、乙两种股票,在甲股票升值15%,乙股票下跌10%时卖出,共获利1350元,则此人买甲股票的钱比买乙股票的钱多_________元.22如果要由等式m﹙a+1﹚=x﹙a+1﹚得到m=x,需要满足的条件是_________.23.关于x的方程(a﹣1)x2+x+a2﹣4=0是一元一次方程,则方程的解为_________.24.关于x的方程(m+2)x=6解为自然数,当m为整数时,则m的值为_________.25.已知m+n=2008(m﹣n),则=_________.三计算题解方程:(1)3(x﹣1)﹣2(2x+1)=12;(2)(3).(4)﹣=.(5).(6)(7).(8)﹣=3.(9)(10)四.解答题1.若x=2是方程ax-1=3的解,求a的值2.方程x+2=5与方程ax-3=9的解相等 求a 的值3.为何值时,关于的方程4231x m x -=-的解是23x x m =-的解的2倍?4.已知,2x =是方程12()23m x x --=的解,求代数式2(62)m m -+的值.5.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少?6.一批货物,甲把原价降低10元卖出,用售价的10%做积累,乙把原价降低20元,用售价的20%做积累,若两种积累一样多,则这批货物的原售价是多少?7.某商店开张,为了吸引顾客,所有商品一律按八折优惠出售,已知某种皮鞋进价60元一双,八折出售后商家获利润率为40%,问这种皮鞋标价是多少元?优惠价是多少元?8.某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨,准备加工上市销售.该公司的加工能力是:每天可以精加工6吨或粗加工16吨,现计划用15天完成加工任务,该公司应安排几天精加工,几天粗加工?9.今年“六•一”儿童节,张红用8.8元钱购买了甲、乙两种礼物,甲礼物每件1.2元,乙礼物每件0.8元,其中甲礼物比乙礼物少1件,问甲、乙两种礼物各买了多少件?10.小明和小东两人练习跑步,都从甲地出发跑到乙地,小明每分钟跑250米,小东每分钟跑200米,小明让小东先出发3分钟之后再出发,结果两人同时到达乙地,求甲、乙两地之间的路程是多少米?11.某船从A地顺流而下到达B地,然后逆流返回,到达A、B两地之间的C地,一共航行了7小时,已知此船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时。
一元一次方程知识点总结(供参考)
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一元一次方程方程的有关概念夯实基础一.等式用等号(“=”)来表示相等关系的式子叫做等式。
温馨提示①等式能够是数字算式,能够是公式、方程,也能够是运算律、运算法那么等,因此等式能够表示不同的意义。
②不能将等式与代数式混淆,等式含有等号,是表示两个式子的“相等关系”,而代数式不含等号,它只能作为等式的一边。
如x x 2735-=+才是等式。
二.等式的性质性质1:等式两边同时加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
即若是b a =,那么c b c a ±=±。
性质2:等式两边同时乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
即若是b a =,那么bc ac =;若是b a =()0≠c ,那么cbc a =。
温馨提示①等式类似天平,当天平两头放有相同质量的物体时,天平处于平稳状态。
假设在天平的两头各加(或减)相同质量的物体,那么天平仍处于平稳状态。
因此运用等式性质1时,当等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式时,才能保证所得的结果仍是等式,应专门注意“都”和“同一个”。
如31=+x ,左侧加2,右边也加2,那么有2321+=++x 。
②运用等式的性质2时,等式两边不能同除以0,因为0不能作除数或分母。
③等式性质的延伸:a.对称性:等式左、右两边互换,所得结果仍是等式,即若是b a =,那么a b =。
b.传递性:若是c b b a ==,,那么c a =(也叫等量代换)。
例1:用适当的数或整式填空,使所得的结果仍为等式,并说明依照等式哪一条性质,和如何变形取得的。
(1)若是51134=-x ,那么+=534x ;(2)若是c by ax -=+,那么+-=c ax ;(3)若是4334=-t ,那么=t 。
三.方程含有未知数的等式叫做方程。
温馨提示方程有两层含义:①方程必需是一个等式,即是用等号连接而成的式子。
②方程中必有一个待确信的数,即未知的字母,那个字母确实是未知数。
一元一次方程(知识点完整版)
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第三章:一元一次方程本章板块⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧程实际问题与一元一次方方程的解解方程等式的基本性质定义一元一次方程.5.4.3.2.1 知识梳理【知识点一:方程的定义】方程:含有未知数的等式就叫做方程.注意未知数的理解,n m x ,,等,都可以作为未知数。
题型:判断给出的代数式、等式是否为方程 方法:定义法例1、判定下列式子中,哪些是方程?(1)4=+y x (2)2>x (3)642=+(4)92=x (5)211=x【知识点二:一元一次方程的定义】一元一次方程:①只含有一个未知数(元);②并且未知数的次数都是1(次); ③这样的整式方程叫做一元一次方程。
题型一:判断给出的代数式、等式是否为一元一次方程 方法:定义法例2、判定下列哪些是一元一次方程?0)(22=+-x x x ,712=+x π,0=x ,1=+y x ,31=+xx ,x x 3+,3=a题型二:形如一元一次方程,求参数的值方法:2x 的系数为0;x 的次数等于1;x 的系数不能为0. 例3、如果()051=+-mx m 是关于x 的一元一次方程,求m 的值例4、若方程()05122=+--ax x a 是关于x 的一元一次方程,求a 的值【知识点三:等式的基本性质】等式的性质1:等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍相等.即:若a=b ,则a ±c=b ±c等式的性质2:等式两边同时乘以同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.即:若b a =,则bc ac =;若b a =,0≠c 且cb c a = 例5、运用等式性质进行的变形,不正确的是( )A 、如果a=b,那么a —c=b-cB 、如果a=b,那么a+c=b+cC 、如果a=b ,那么cbc a = D 、如果a=b,那么ac=bc 【知识点四:解方程】方程的一般式是:()00≠=+a b ax 题型一:不含参数,求一元一次方程的解例7、解方程284=-练习1、()()()35123452+--=-+-x x x x练习2、14.01.05.06.01.02.0=+--x x 练习3、x =+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+221413223题型二:解方程的题中,有相同的含x 的代数式方法:利用整体思想解方程,将相同的代数式用另一个字母来表示,从而先将方程化简,并求值。
一元一次方程(知识点+练习)
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专题复习:《一元一次方程》【知识链接】★知识点一:方程(一元一次方程)的概念1、什么是方程方程和等式的区别是什么方程:方程是含有的等式,方程等式,但等式方程。
2.什么是一元一次方程它的标准形式和最简形式是什么(1)一元一次方程:只含有个未知数(),且未知数的次数都是,等号两边都是,这样的方程叫做一元一次方程。
(2)一元一次方程的标准(一般)形式是:ax+b=0 (其中,a、b都是常数,且a≠0)(3)一元一次方程的最简形式是:ax=b (其中,a、b都是常数,且a≠0)★知识点二:方程的解与解方程1. 什么是方程的解,什么是解方程方程的解:是指能使方程左右两边都相等的未知数的.解方程:是指求方程解的。
★知识点三:等式的基本性质等式的性质1:等式的两边同时加(或减)(),结果仍相等。
即:如果a=b,那么a±c=b;等式的性质2:等式的两边同时乘,或除以数,结果仍相等。
即:如果a=b,那么ac=bc;或如果a=b,那么a bc c(c≠)等式的对称性:如果a=b,那么b=a;等式的传递性:如果a=b, b=c,那么a=;等式的基本性质的作用:是等式恒等变形的理论依据.★知识点五:一元一次方程的应用列一元一次方程解应用题的一般步骤:1. 审题:通过读题,弄清题意(提取已知量和未知量等信息);2. 找等量关系:用文字表示出包含题目相关数量关系的等量关系;(关键)(1) 条件等量关系(认真分析,积累经验,仔细感悟)(2) 固有等量关系(如s=vt 等)(识记);3. 设未知数:选设一个未知量(可以是直接或间接未知量,还可以是辅助元)4. 列方程:用代数式表示出等量关系中的相关量;5. 解方程: 仔细解出方程;6. 检验:看是否是原方程的解,再看是否符合实际意义;7. 回答:完整回答题目中的问题.【考点解析】考点一 考查一元一次方程的概念例1 下列是一元一次方程的是()A .0127=+yB.082=+y x C .03=z D.3232x x -=+例2. 已知关于x 的方程021)1(||=+-k x k 是一元一次方程,则k 的值为()C.±1D. 0变式练习:1. 如果2345m x -=-是关于x 的一元一次方程,那么m= ;2. 021)2(2=+++kx x k 是一元一次方程,则k = ;3. 如果234x kx -=+是关于x 的一元一次方程,那么k = ;考点二 考查一元一次方程解的概念例3 已知关于x 的方程4x-3m=2的解是x=m ,则m 的值是变式练习:4. 若方程234k x -=与24x =的解相同,则k=5. 下列是关于x 的方程ax b =的解的说法,错误的是()A.方程ax b =有唯一解B.当0a ≠时,方程ax b =有唯一解C.当0,0a b =≠时,方程ax b =无解D.当0,0a b ==时,方程ax b =有无数个解6. 小明在做解方程作业时,不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚,被污染的方-=-y y 21212,怎么办呢小明想了一想便翻看了书后的答案,此方程的解是35-=y .这个常数应是( )A .1B .2C .3D .4考点三 考查等式的基本性质例4 下列运用等式的性质对等式进行的变形中,正确的是 ( )A.若x y =,则33x y -=-B. 若x y =,则kx ky =C. 若x y =,则x y a a = D. 若x y m m=,则23x y =变式练习:7.把方程762+=-y y 变形为672+=-y y ,这种变形叫 ,根据是 。
数学中的一元一次方程知识点
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数学中的一元一次方程知识点一元一次方程是数学中的基础概念,也是初等代数中的重要内容。
它在解决实际问题和建立数学模型时起到了关键的作用。
本文将介绍一元一次方程的基本定义、性质和求解方法。
1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指一个变量的一次方程,形式通常为ax + b = 0,其中a和b是已知的常数,而x是未知数。
一元一次方程的问题通常是要求解未知数的值。
2. 一元一次方程的性质一元一次方程具有以下几个性质:- 一元一次方程只有一个未知数。
- 方程中的系数和常数可以是任意实数,但未知数通常是实数。
- 方程中的系数不能同时为零,即a ≠ 0。
- 一元一次方程的解通常是唯一的,也就是只有一个解或无解。
3. 一元一次方程的求解方法解一元一次方程的常用方法有以下几种:- 原始解法:通过移项和消元的方式,将方程变形为x = 数字的形式,得到方程的解。
- 代入法:将已知的解代入方程,验证解是否满足方程的等式关系。
- 叠减法:通过两个方程相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程,从而求解未知数的值。
- 等价方程法:通过变形,将原方程转化为一个等价的方程,使得求解过程更简单。
4. 一元一次方程在实际问题中的应用一元一次方程在实际问题中有广泛的应用,比如:- 财务问题:计算投资回报率、利润分配等问题时,通常可以建立一元一次方程来求解。
- 几何问题:用一元一次方程可以计算图形的面积、周长、对角线长度等。
- 物理问题:用一元一次方程可以描述速度、加速度、力等物理量之间的关系。
总结:一元一次方程是数学中的重要概念,它帮助我们解决实际问题,建立数学模型,以及理解数学中的基本性质和求解方法。
通过掌握一元一次方程的知识,我们可以更好地理解和应用数学,提高解决问题的能力。
一元一次方程(专题详解)(解析版)
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一元一次方程专题详解专题03 一元一次方程专题详解 (1)3.1从算式到方程 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 方程和一元一次方程的概念 (2)知识点2 方程的解与解方程 (3)知识点3 等式的性质 (4)二、典型题型 (5)题型1 依题意列方程 (5)题型2 运用等式的性质解方程 (6)三、难点题型 (7)题型1 利用定义求待定字母的值 (7)3.2解一元一次方程-合并同类项和移项 (8)知识框架 (8)一、基础知识点 (8)知识点1 合并同类项解一元一次方程 (8)知识点2 移项解一元一次方程 (9)二、典型题型 (10)题型1 一元一次方程的简单应用 (10)3.3解一元一次方程-去括号与去分母 (11)知识框架 (11)一、基础知识点 (11)知识点1 去括号 (11)知识点2 去分母 (12)二、典型题型 (13)题型1 去括号技巧 (13)题型2 转化变形解方程 (15)题型3 解分子分母中含有小数系数的方程 (16)三、难点题型 (18)题型1 待定系数法 (18)题型2 同解问题 (18)题型3 含参数的一元一次方程 (19)题型4 利用解的情况求参数的值 (20)题型5 整体考虑 (21)3.4实际问题与一元一次方程 (21)一、基础知识点 (21)知识点1 列方程解应用题的合理性 (21)知识点2 建立书写模型常见的数量关系 (22)知识点3 分析数量关系的常用方法 (23)二、典型例题 (24)3.1从算式到方程知识框架一、基础知识点知识点1 方程和一元一次方程的概念1) 方程:含有未知数的等式。
例:3x=5y+2;100x=200;3x 2+2y=3等2)一元一次方程:只含有一个未知数(元,隐含未知数系数不为0),未知数的次数是1(次),等号两边都是整式(整式:未知数的积,而非商)的方程。
如何判断一元一次方程:①整式方程;②只含有一个未知数,且未知数 的系数不为0;③未知数的次数为1. 例:3112=+x ;3112=+x ;3m-2n=5;3m=5;6x 2-12=0 例1.下列各式中,那些是等式?那些是方程?①3x-6;②3-5=-2;③x+2y=8;④x+2≠3;⑤x-x1=2; ⑥y=10;⑦3y 2+2y=0;⑧3a<-5a ;⑨3x 2+2x-1=0;⑩213m m y =-+ 【答案】是方程的有:③、⑤、⑥、⑦、⑨、⑩方程需满足2个条件:1)含有未知数;2)是等式。
七年级上一元一次方程题型及知识点总结
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七年级上一元一次方程题型及知识点总结一元一次方程题型及知识点总结一、知识点1.等式:用“=”号连接而成的式子叫等式。
2.等式的性质:等式性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;等式性质2:等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,所得结果仍是等式。
3.方程:含未知数的等式,叫方程。
4.方程的解:使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;注意:“方程的解就能代入”!5.移项:改变符号后,把方程的项从一边移到另一边叫移项。
移项的依据是等式性质1.6.一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。
7.一元一次方程的标准形式:ax+b=0(x是未知数,a、b 是已知数,且a≠0)。
8.一元一次方程解法的一般步骤:化简方程——分数基本性质去分母——同乘(不漏乘)最简公分母去括号——注意符号变化移项——变号合并同类项——合并后注意符号系数化为1——未知数细数是几就除以几二、典型例题:例1:解下列方程:1) 2x+1=10x+13y-15y+17y+12) x-1=4/-4/1.55x-0.813) (x-3)/(4+11)=2/(3-x)4) 0.5x^2+0.2x-41=2.3x5) 233.0-26.3x=1+(6)-x课堂练1】解方程:1) 3x-2=5x+32) 2x-3/4=1/2-3x/8巩固练:一、选择题1、下列方程中是一元一次方程的是()A、x-y=2005.B、3x-2004.C、x^2+x=1.D、2=32、方程1-(2x-4)/(x-2)=-7/36去分母得()A.1-2(2x-4)=-(x-7)B.6-2(2x-4)=-x-7C.6-2(2x-4)=-(x-7)D.以上答案均不对3、代数式x-(x-1)/3的值等于1时,x的值是().A)3(B)1(C)-3(D)-14、方程2-(3x-7)/(x^2+17)=4/45去分母得(。
一元一次方程笔记整理
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一元一次方程笔记整理摘要:一、一元一次方程的定义和基本概念1.一元一次方程的定义2.方程中各部分的名称3.解方程的基本方法二、一元一次方程的解法1.移项法2.合并同类项法3.系数化为1 法三、一元一次方程的应用1.实际问题中的应用2.行程问题中的应用3.工程问题中的应用四、一元一次方程的检验1.代入法检验2.带回原方程检验正文:一、一元一次方程的定义和基本概念一元一次方程是指形如ax+b=0 的方程,其中a 和b 是已知数,x 是未知数。
在解一元一次方程时,我们需要将方程移项,使未知数x 的项单独出现在等式的一边,从而求得x 的值。
方程中各部分的名称包括:未知数(x)、系数(a 和b)、常数项(b)和等式(=)。
解一元一次方程的基本方法有移项法、合并同类项法和系数化为1 法。
这些方法各有特点,适用于不同类型的方程。
二、一元一次方程的解法1.移项法:通过加减法操作,将方程中的未知数项移到等式的一边,从而求得未知数的值。
2.合并同类项法:将方程中的同类项合并,简化方程,然后通过移项求解未知数。
3.系数化为1 法:通过除以系数,将方程的系数化为1,从而简化方程并求解未知数。
三、一元一次方程的应用一元一次方程在实际问题中有广泛的应用,例如在商品销售、工程建设和行程规划等方面。
通过建立一元一次方程,我们可以更直观地理解问题,并求解未知数,为实际问题的解决提供依据。
四、一元一次方程的检验在求解一元一次方程后,我们通常需要检验求得的解是否符合原方程。
检验方法有代入法检验和带回原方程检验。
1.代入法检验:将求得的解代入原方程,看是否能使方程成立。
2.带回原方程检验:将求得的解带回原方程,进行加减乘除等运算,看是否能得到原方程。
一元一次方程知识点及经典例题
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一元一次方程知识点及经典例题一、知识要点梳理知识点一:方程和方程的解1.方程:含有未知数的等式叫方程。
注意:a.必须是等式b.必须含有未知数。
易错点:(1).方程式等式,但等式不一定是方程;(2).方程中的未知数可以用x表示,也可以用其他字母表示;(3).方程中可以含多个未知数。
考法:判断是不是方程:例:下列式子:(1).8-7=1+0(2).1、一元一次方程:一元一次方程的标准形式是:ax+b=0(其中x是未知数,a,b是已知数,且a≠0)。
要点诠释:一元一次方程须满足下列三个条件:1)只含有一个未知数;2)未知数的次数是1次;3)整式方程。
2、方程的解:判断一个数是否是某方程的解:将其代入方程两边,看两边是否相等。
知识点二:一元一次方程的解法1、方程的同解原理(也叫等式的基本性质)等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
如果a=b,那么a+c=b+c;(c为一个数或一个式子)。
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(且c≠0),那么a/c=b/c。
要点诠释:分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数,分数的值不变。
即:(其中m≠0)特别须注意:分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数(特别是分母中的小数)化为整数,如方程:-=1.6,将其化为:-=1.6.方程的右边没有变化,这要与“去分母”区别开。
2、解一元一次方程的一般步骤:解一元一次方程的一般步骤:1.变形步骤具体方法变形根据注意事项1.不能漏乘不含分母的项;去分母公倍数2.掉分母后,如果分子是多项式,则要加括号2.合并同类项1.分配律应满足分配到每一项去先去小括号,再乘法分配律、去括号2.注意符号,特别是去掉括号3.移项要变号;一般把含有未知数的项移动到方程左边,其余项移到右边4.合并同类项时,把同类项的同系数相加,字母与字母的指数不变5.未知数的系数a,成“ax=b”的形式6.方程两边同除以未知数的系数a,分子、分母不能颠倒。
一元一次方程归纳总结
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一元一次方程只含有一个未知数(即“元”),并且未知数的最高次数为1(即“次”)的整式方程叫做一元一次方程(英文名:linear equation with one unknown)。
一元一次方程的标准形式(即所有一元一次方程经整理都能得到的形式)是ax+b=0(a,b为常数,x为未知数,且a≠0)。
求根公式:x=-b/a。
一、基本信息标准形式一元一次方程的标准形式(即所有一元一次方程经整理都能得到的形式)是ax+b=0(a,b为常数,x为未知数,且a≠0)。
其中a是未知数的系数,b是常数,x是未知数。
未知数一般设为x,y,z。
方程特点(1)该方程为整式方程。
(2)该方程有且只含有一个未知数。
(3)该方程中未知数的最高次数是1。
满足以上三点的方程,就是一元一次方程。
判断方法要判断一个方程是否为一元一次方程,先看它是否为整式方程。
若是,再对它进行整理。
如果能整理为 ax+b=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元一次方程。
里面要有等号,且分母里不含未知数。
变形公式ax=-b(a,b为常数,x为未知数,且a≠0)求根公式通常解法去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。
两种类型(1)总量等于各分量之和。
将未知数放在等号左边,常数放在右边。
如:x+2x+3x=6。
(2)等式两边都含未知数。
如:300x+400=400x,40x+20=60x。
方程举例2a=4a-63b=-1x=1都是一元一次方程。
方程起源“方程”一词来源于中国古算术书《九章算术》。
在这本著作中,已经列出了一元一次方程。
法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。
在19世纪以前,方程一直是代数的核心内容。
主要用途一元一次方程通常可用于做应用题,如工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、球赛积分表问题、电话(水表、电表)计费问题、数字问题等。
[2]二、补充说明合并同类项(1)依据:乘法分配律(2)把未知数相同且其次数也相同的项合并成一项;常数计算后合并成一项(3)合并时次数不变,只是系数相加减。
初中一元一次方程知识点归纳
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初中一元一次方程知识点归纳
初中一元一次方程知识点归纳如下:
1. 一元一次方程的定义:一元一次方程是指方程中只有一个变量,且变量的最高次数为1的方程。
2. 方程的基本形式:一元一次方程的基本形式为ax+b=0,其
中a和b是已知实数,且a≠0。
3. 解方程的步骤:解一元一次方程的步骤主要包括去括号、合并同类项、移项、合并同类项、化简等。
4. 解方程的性质:一元一次方程的解具有唯一性,即要么无解,要么有唯一解。
5. 方程的解表示形式:一元一次方程的解有三种表示形式,即唯一解、无解和无穷多解。
6. 解方程的方法:解一元一次方程的方法主要包括正向代入、逆向代入、等式交换等。
7. 使用方程解实际问题:一元一次方程可以应用于实际问题中,通过建立方程并解方程可以求解实际问题。
8. 方程的应用领域:一元一次方程在代数、几何、物理等领域中都有广泛的应用。
9. 方程的相关概念:一元一次方程与方程的根、方程的系数、方程的次数等相关概念有着密切的联系。
10. 方程的扩展:一元一次方程是一元线性方程的特殊情况,线性方程还有更高次数的形式,如二次方程、三次方程等。
一元一次方程所有知识点
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一元一次方程所有知识点一、一元一次方程的概念。
1. 定义。
- 只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程。
- 例如:2x + 3=5x - 1是一元一次方程,它只含有一个未知数x,x的次数是1,等号两边2x + 3和5x-1都是整式。
- 一般形式:ax + b = 0(a≠0),其中a是未知数x的系数,b是常数项。
2. 方程的解。
- 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
- 例如:对于方程2x+3 = 7,当x = 2时,左边=2×2 + 3=4 + 3 = 7,右边=7,所以x = 2就是方程2x+3 = 7的解。
二、一元一次方程的解法。
1. 移项。
- 把方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项。
- 例如:在方程2x+3 = 5x - 1中,为了求解x,我们将5x移到左边变为-5x,3移到右边变为-3,得到2x-5x=-1 - 3。
- 移项的依据是等式的基本性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
2. 合并同类项。
- 将方程中含有相同字母且相同字母的指数也相同的项合并在一起。
- 例如:在2x-5x=-1 - 3中,2x-5x=-3x,-1-3 = -4,方程变为-3x=-4。
3. 系数化为1。
- 在方程ax = b(a≠0)的形式下,将方程两边同时除以a,得到x=(b)/(a)。
- 例如:对于方程-3x=-4,两边同时除以-3,得到x=(4)/(3)。
三、一元一次方程的应用。
1. 行程问题。
- 基本公式:路程=速度×时间。
- 相遇问题:两者路程之和等于总路程。
例如:甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行,甲的速度是v_1,乙的速度是v_2,经过t小时相遇,AB两地间的距离s=(v_1 + v_2)t。
- 追及问题:两者路程之差等于初始距离。
例如:甲、乙两人同向而行,甲的速度是v_1,乙的速度是v_2(v_1>v_2),开始时甲、乙相距s_0,经过t小时甲追上乙,则s_0=(v_1 - v_2)t。
一元一次方程知识点
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一元一次方程知识点
一元一次方程是指形式为ax + b = 0的方程,其中a和b是已
知实数,x是未知数。
以下是一元一次方程的关键知识点:
1. 方程的解:一元一次方程的解是使方程成立的数值。
解是方
程的根,可以通过解方程找到使方程成立的x的值。
2. 方程的系数:方程中的参数a和b是方程的系数。
它们是已知实数,决定方程的形式和解的特性。
系数a不能为0,否则方程将不再是一元一次方程。
3. 等式性质:一元一次方程中的等式性质成立。
即,方程两边同时加减、乘除一个数,仍保持相等。
通过利用等式性质,可以进行方程的
化简、合并同类项等操作。
4. 方程求解方法:解一元一次方程的常用方法有逆运算法和代入法。
逆运算法指通过逆向运算将方程转化为x = 某个数的形式,得到唯一解。
代入法指先假设一个解,将其代入方程,验证是否满足等式,若
满足则是方程的解。
5. 图形表示:一元一次方程可以通过图形来表示。
由于一元一次方程
的图像是一条直线,所以方程的解对应于直线与x轴的交点。
掌握了一元一次方程的相关知识,可以解决与实际问题有关的线
性关系的计算和分析,如求未知数的值、确定两个变量之间的关系等。
一元一次方程的知识
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一元一次方程的知识一、一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数,且未知数的次数为1的方程。
其一般形式为 ax + b = 0 (a ≠ 0)。
二、方程的解和解方程1. 解方程:通过对方程进行变形,使未知数能够消除,从而得到方程的解。
2. 解的检验:将得到的解代入原方程进行验证,确保解是有效的。
三、方程的根的性质1. 零根:当 a = 0 时,方程有无数多个解,称为零根。
2. 唯一根:当 a ≠ 0 时,方程有唯一一个解。
3. 根的性质:方程的解满足 ax + b = 0 的形式,其中 x 为解,a 和 b 为方程的系数。
四、方程的移项和合并同类项1. 移项:将方程中的项进行左右移动,使其符合标准形式。
2. 合并同类项:将方程中相同或相似的项合并在一起,简化方程。
五、方程的系数和常数项1. 系数:未知数前面的数字因数。
在一元一次方程中,只有一个系数和一个常数项。
2. 常数项:未知数以外的数字因数。
在一元一次方程中,只有一个常数项。
六、方程的等价变形1. 等价变形:通过对方程进行变形,使其满足某种特定形式,而不改变其真实含义。
2. 等式的基本性质:等式两边同加、同减、同乘、同除一个不为零的数,等式不变。
七、对方程进行判断的方法1. 判断是否为等式:首先判断给定的式子是否为等式。
只有等式才有可能是方程。
2. 判断是否为一元一次方程:如果一个等式只含有一个未知数,并且未知数的次数为1,那么它就是一元一次方程。
3. 判断是否为有效方程:根据题目要求,判断给定的方程是否符合条件。
例如,检查方程的系数和常数项是否满足特定条件。
4. 解的存在性判断:通过观察方程的系数和常数项,可以判断解的存在性。
例如,如果方程的系数为正数,则解为负数或零;如果系数为负数,则解为正数或零。
5. 解的唯一性判断:根据方程的系数和常数项,可以判断解的唯一性。
如果方程的系数不为零,则解唯一;如果系数为零,则解不唯一。
八、一元一次方程的应用一元一次方程在现实生活中有着广泛的应用,如购物时的找零问题、速度与时间的关系、距离与速度的关系等。
初一上册数学知识点之一元一次方程
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初一上册数学知识点之一元一次方程1.通过处理实际问题,让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步;2.初步学会如何查找问题中的相等关系,列出方程,了解方程的概念;3.培养学生猎取信息,分析问题,处理问题的能力。
二、重点从实际问题中查找相等关系;建立列方程解决实际问题的思想方法,学会合并同类项,会解ax+bx= c类型的一元一次方程。
三、难点从实际问题中查找相等关系;分析实际问题中的差不多量和未知量,找出相等关系,列出方程,使学生逐步建立列方程解决实际问题的思想方法。
四、知识框架五、知识点、概念总结1.一元一次方程:只含有一个未知数,同时未知数的次数是1,同时含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。
2.一元一次方程的标准形式:ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a 0)。
3.条件:一元一次方程必须同时满足4个条件:(1)它是等式;(2)分母中不含有未知数;(3)未知数最高次项为1;(4)含未知数的项的系数不为0.4.等式的性质:等式的性质一:等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式,等式仍旧成立。
等式的性质二:等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),等式仍旧成立。
等式的性质三:等式两边同时乘方(或开方),等式仍旧成立。
解方程差不多上依据等式的这三个性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减同一个数,等式仍旧成立。
5.合并同类项(1)依据:乘法分配律(2)把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项;常数运算后合并成一项(3)合并时次数不变,只是系数相加减。
6.移项(1)含有未知数的项变号后都移到方程左边,把不含未知数的项移到右边。
(2)依据:等式的性质(3)把方程一边某项移到另一边时,一定要变号。
7.一元一次方程解法的一样步骤:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
一样解法:(1)去分母:在方程两边都乘以各分母的最小公倍数;(2)去括号:先去小括号,再去中括号,最后去大括号;(记住如括号外有减号的话一定要变号)(3)移项:把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边;移项要变号(4)合并同类项:把方程化成ax=b(a0)的形式;(5)系数化成1:在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=b /a.8.同解方程假如两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程。
一元一次方程知识点归纳(初中数学)
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方程的意义要点一、方程的有关概念1.定义:含有未知数的等式叫做方程.要点诠释:判断一个式子是不是方程,只需看两点:一.是等式;二.是含有未知数. 2.方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解. 要点诠释:判断一个数(或一组数)是否是某方程的解,只需看两点:①它(或它们)是方程中未知数的值;②将它(或它们)分别代入方程的左边和右边,若左边等于右边,则它们是方程的解,否则不是.3.解方程:求方程的解的过程叫做解方程.4.方程的两个特征:(1).方程是等式;(2).方程中必须含有字母(或未知数).要点二、一元一次方程的有关概念定义:只含有一个未知数(元),并且未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程. 要点诠释: “元”是指未知数,“次”是指未知数的次数,一元一次方程满足条件: ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数.要点三、等式的性质1.等式的概念:用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2.等式的性质:等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.即: 如果a=b ,那么a±c=b±c (c 为一个数或一个式子) .等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.即:如果a=b ,那么ac=bc ;如果a=b (c ≠0),那么cbc a . 要点诠释:(1)根据等式的两条性质,对等式进行变形,等式两边必须同时进行完全相同的变形; (2) 等式性质1中,强调的是整式,如果在等式两边同加的不是整式,那么变形后的等式不一定成立,如x =0中,两边加上x 1得x +x 1=x1,这个等式不成立; (3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时,这个除数不能为零.一元一次方程的解法要点一、解一元一次方程的一般步骤要点诠释:(1)解方程时,表中有些变形步骤可能用不到,而且也不一定要按照自上而下的顺序,有些步骤可以合并简化.(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行,也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. (3)当方程中含有小数或分数形式的分母时,一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母,注意去分母的依据是等式的性质,而分母化整的依据是分数的性质,两者不要混淆.要点二、解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去,使之成为一般的一元一次方程,化去绝对值的依据是绝对值的意义.要点诠释:此类问题一般先把方程化为c b ax =+的形式,再分类讨论:(1)当c<0时,无解;(2)当c=0时,原方程化为:ax+b=0;(3)当c>0时,原方程可化为:ax+b=c 或ax+b=-c .2.含字母的一元一次方程:此类方程一般先化为最简形式ax =b ,再分三种情况分类讨论: (1)当a ≠0时,abx =;(2)当a =0,b =0时,x 为任意有理数;(3)当a =0,b≠0时,方程无解.实际问题与一元一次方程知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为:问题方程解答.由此可得解决此类 题的一般步骤为:审、设、列、解、检验、答. 要点诠释:(1)“审”是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系,寻找等量关系;(2)“设”就是设未知数,一般求什么就设什么为x ,但有时也可以间接设未知数; (3)“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量,列出方程,同时注意方程两边是同一类量,单位要统一;(4)“解”就是解方程,求出未知数的值;(5)“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时,及时指出,舍去即可;(6)“答”就是写出答案,注意单位要写清楚.知识点二、常见列方程解应用题的几种类型1.和、差、倍、分问题(1)基本量及关系:增长量=原有量×增长率,现有量=原有量+增长量,现有量=原有量-降低量.(2)寻找相等关系:抓住关键词列方程,常见的关键词有:多、少、和、差、不足、剩余以及倍,增长率等. 2.行程问题(1)三个基本量间的关系: 路程=速度×时间 (2)基本类型有:①相遇问题(或相向问题):①.基本量及关系:相遇路程=速度和×相遇时间①.寻找相等关系:甲走的路程+乙走的路程=两地距离. ①追及问题:①.基本量及关系:追及路程=速度差×追及时间①.寻找相等关系:第一, 同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;第二, 第二,同时不同地出发:前者走的路程+两者相距距离=追者走的−−−→分析抽象−−−→求解检验路程.①航行问题:①.基本量及关系:顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度, 顺水速度-逆水速度=2×水速;①.寻找相等关系:抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,并且还常常借助画草图来分析. 3.工程问题如果题目没有明确指明总工作量,一般把总工作量设为1.基本关系式: (1)总工作量=工作效率×工作时间; (2)总工作量=各单位工作量之和. 4.调配问题寻找相等关系的方法:抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑. 5.利润问题 (1) (2) 标价=成本(或进价)×(1+利润率) (3) 实际售价=标价×打折率(4) 利润=售价-成本(或进价)=成本×利润率注意:“商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;当右边为负时,就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售. 6.存贷款问题(1)利息=本金×利率×期数(2)本息和(本利和)=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×(1+利率×期数) (3)实得利息=利息-利息税 (4)利息税=利息×利息税率 (5)年利率=月利率×12 (6)月利率=年利率×=100% 利润利润率进价1217.数字问题已知各数位上的数字,写出两位数,三位数等这类问题一般设间接未知数,例如:若一个两位数的个位数字为a,十位数字为b,则这个两位数可以表示为10b+a.8.方案问题选择设计方案的一般步骤:(1)运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.(2)用特殊值试探法选择方案,取小于(或大于)一元一次方程解的值,比较两种方案的优劣性后下结论.。
一元一次方程知识点总结

一元一次方程知识点总结一、等式与方程1.等式:(1)定义:含有等号的式子叫做等式.(2)性质:①等式两边同时加上(或减去)同一个整式,等式的值不变.若a b=那么a c b c+=+②等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式,等式的值不变.若a b=那么有ac bc=或a c b c÷=÷(0c≠)③对称性:若a b=,则b a=.④传递性:若a b=,b c=则a c=.(3)拓展:①等式两边取相反数,结果仍相等.如果a b=,那么a b-=-②等式两边不等于0时,两边取倒数,结果仍相等.如果0a b=≠,那么11 a b =③等式的性质是解方程的基础,很多解方程的方法都要运用到等式的性质.如移项,运用了等式的性质①;去分母,运用了等式的性质②.④运用等式的性质,涉及除法运算时,要注意转换后除数不能为0,否则无意义.2.方程:(1)定义:含有未知数的等式叫做方程.(2)说明:①方程中一定有含一个或一个以上未知数,且方程是等式,两者缺一不可.②未知数:通常设x、y、z为未知数,也可以设别的字母,全部小写字母都可以.未知数称为元,有几个未知数就叫几元方程.一道题中设两个方程时,它们的未知数不能一样!③“次”:方程中次的概念和整式的“次”的概念相似.指的是含有未知数的项中,未知数次数最高的项对应的次数,也就是方程的次数.未知数次数最高是几就叫几次方程.④方程有整式方程和分式方程.整式方程:方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程.分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.二、一元一次方程1.一元一次方程的概念:(1)定义:只含有一个未知数(元)且未知数的指数是1(次)的整式方程叫做一元一次方程.(2)一般形式:0ax b+=(a,b为常数,x为未知数,且0a≠).(3)注意:①该方程为整式方程.②该方程有且只含有一个未知数.③该方程中未知数的最高次数是1.④化简后未知数的系数不为0.如:212x x-=,它不是一元一次方程.⑤未知数在分母中时,它的次数不能看成是1次.如13xx+=,它不是一元一次方程.2.一元一次方程的解法:(1)方程的解:能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解,一般写作:“?x=”的形式.(2)解方程:求出方程的解的过程,也可以说是求方程中未知数的值的过程,叫解方程.(3)移项:①定义:从方程等号的一边移到等号另一边,这样的变形叫做移项.②说明:Ⅰ移项的标准:看是否跨过等号,跨过“=”号才称为移项;移项一定改变符号,不移项的不变.Ⅱ移项的依据:移项实际上就是对方程两边进行同时加减,根据是等式的性质①.Ⅲ移项的原则:移项时一般把含未知数的项向左移,常数项往右移,使左边对含未知数的项合并,右边对常数项合并,方便求解.(4)解一元一次方程的一般步骤及根据:①去分母——等式的性质②②去括号——分配律③移项——等式的性质①④合并——合并同类项法则⑤系数化为1——等式的性质②⑥检验——把方程的解分别代入方程的左右边看求得的值是否相等(在草纸上)(5)一般方法:①去分母,程两边同时乘各分母的最小公倍数.②去括号,一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号.但顺序有时可依据情况而定使计算简便,本质就是根据乘法分配律.③移项,方程中含有未知数的项移到方程的另一边,其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号.(一般都是把未知数移到一起)④合并同类项,合并的是系数,将原方程化为ax b=(0a≠)的形式.⑤系数化1,两边都乘以未知数的系数的倒数.⑥检验,用代入法,在草稿纸上算.(6)注意:(对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握,更要观察所求方程的形式、特点,灵活变化解题步骤)①分母是小数时,根据分数的基本性质,把分母转化为整数,局部变形;②去分母时,方程两边各项都乘各分母的最小公倍数,Ⅰ此时不含分母的项切勿漏乘,即每一项都要乘Ⅱ分数线相当于括号,去分母后分子各项应加括号(整体思想);③去括号时,不要漏乘括号内的项,不要弄错符号;④移项时,切记要变号,不要丢项,有时先合并再移项,以免丢项;⑤系数化为1时,方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数,不要弄错符号(打草稿认真计算);⑥不要生搬硬套解方程的步骤,具体问题具体分析,找到最佳解法;⑦分数、小数运算时不能嫌麻烦,不要跳步,一步步仔细算.(7)补充:分数的基本性质:与等式基本性质②不同.分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为0的数或除以同一个不为0的数,分数的值不变.3.一元一次方程的应用:(1)解决实际应用题的策略:①审题:就是多读题,读懂题,读的时候一定沉下心去,不能慌不要急躁,要细,一个字一个字的精读,要慢,边读边思考.找到已知条件,未知条件,找到数量关系和等量关系,可以用笔在题目中标注下来重要信息和数量关系,审题往往伴随下个步骤.②设出适当未知数,往往问什么设什么,有时也间接设未知数,然后用未知数通过关系表示出其他相关的量.③找出等量关系,用符号语言表示就是列出方程.(2)分析问题方法:①文字关系分析法,找关键字词句分析实际问题中的数量关系②表格分析法,借助表格分析分析实际问题中的数量关系③示意图分析法,通过画图帮助分析实际问题中的数量关系(3)设未知量方法:一个应用题,往往涉及到几个未知量,为了利用一元一次方程来解应用题,我们总是设其中一个未知量为x,并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量,然后列出方程.①设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题,与其它量关系多,好表示其它量,好表示等量关系;②有直接设未知量和间接设未知量,还有不常见的辅助设未知量.(4)找等量关系的方法:“等量关系”特指数量间的相等关系,是数量关系中的一种.数学题目中常含有多种等量关系,如果要求用方程解答时,就需找出题中的等量关系.①标关键词语,抓住关键句子确定等量关系.(比如多,少,倍,分,共)解题时只要找出这种关键语句,正确理解关键语句的含义,就能确定等量关系.②紧扣基本公式,利用基本关系确定等量关系就是根据常见的数量关系确定等量关系.(比如体积公式,单价×数量=总价,单产量×数量=总产量,速度×时间=路程,工效×时间=工作总量等.这些常见的基本数量关系,就是等量关系)③通过问题中不变的量,相等的量确定等量关系.就是用不同的方法表示同一个量,从而建立等量关系.④借助线段图确定等量关系。
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第三章:一元一次方程
本章板块 知识梳理
【知识点一:方程的定义】
方程:含有未知数的等式就叫做方程。
注意未知数的理解,n m x ,,等,都可以作为未知数。
题型:判断给出的代数式、等式是否为方程 方法:定义法
例1、判定下列式子中,哪些是方程?
(1)4=+y x (2)2>x (3)642=+(4)92
=x (5)2
11=x 【知识点二:一元一次方程的定义】
一元一次方程:①只含有一个未知数(元);
②并且未知数的次数都是1(次);
③这样的整式方程叫做一元一次方程。
题型一:判断给出的代数式、等式是否为一元一次方程 方法:定义法
例2、判定下列哪些是一元一次方程?
0)(22=+-x x x ,
712
=+x π
,0=x ,1=+y x ,31
=+
x
x ,x x 3+,3=a 题型二:形如一元一次方程,求参数的值
方法:2
x 的系数为0;x 的次数等于1;x 的系数不能为0。
例3、如果()051=+-m
x
m 是关于x 的一元一次方程,求m 的值
例4、若方程()05122
=+--ax x a 是关于x 的一元一次方程,求a 的值
【知识点三:等式的基本性质】
等式的性质1:等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍相等。
即:若a=b ,则a ±c=b ±c
等式的性质2:等式两边同时乘以同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
即:若b a =,则bc ac =;若b a =,0≠c 且
c
b c a = 例5、运用等式性质进行的变形,不正确的是( )
A 、如果a=b ,那么a-c=b-c
B 、如果a=b ,那么a+c=b+c
C 、如果a=b ,那么
c
b
c a = D 、如果a=b ,那么ac=bc 【知识点四:解方程】
方程的一般式是:()00≠=+a b ax 题型一:不含参数,求一元一次方程的解
例7、解方程
2
84=- 练习1、()()()35123452+--=-+-x x x x
练习2、
14.01.05.06.01.02.0=+--x x 练习3、x =+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+221413223
题型二:解方程的题中,有相同的含x 的代数式
方法:利用整体思想解方程,将相同的代数式用另一个字母来表示,从而先将方程化简,并求值。
再将得到的值与该代数式相等,求解原未知数。
例8、
()()046
1253122212=++++++x x x 思路点拨:因为含有x 的项均在“12+x ”中,所以我们可以将作为“12+x ”一个整体,先求出整体的值,进而再求x 的值。
题型三:方程含参数,分析方程解的情况
方法:分情况讨论,①0≠a 时,方程有唯一解a
b x =; ②0,
0==b a 时,方程有无穷解; ③0,
0≠=b a 时,方程无解。
例9、探讨关于x 的方程03=-++x b ax 解的情况 【知识点五:方程的解】
方程的解:使方程左右两边值相等的未知数的值,叫做方程的解。
题型一:问x 的值是否是方程的解
方法:将x 的值代入方程的左、右两边,看等式是否成立。
⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=)
0()0(0
)0(||a a a a a a 例10、检验5=x 和5-=x 是不是方程
23
1
2-=-x x 的解 题型二:给出的方程含参数,已知解,求参数
方法:将解代入原方程,从而得到关于参数的方程,解方程求参数 例11、若3-=x 是方程()524=--+x k x k 的解,求k 的值
题型三:方程中含参数,但在解方程过程中将式子中某一项看错了,从而得到错误的解,求参数的值
方法:将错误的解代入错误的方程中,等式仍然成立,从而得到关于参数的正确方程,解方程求参数
例12、小张在解关于x 的方程1523=-x a 时,误将x 2-看成x 2得到的解为3=x ,请你求出原来方程的解。
题型四:给出的两个方程中,其中一个方程含参数,并且题目写出“方程有相同解”或者“这个方程的解同时也满足另一个方程”。
要求参数的值或者含参数代数式的值
方法:求出其中一个不含参的方程的解,并将这个解代入到另一个方程中,从而得到关于参数的方程,解方程求参数即可
例13、若方程()x x 32123-=-和关于x 的方程1226-=-x k 有相同的解,求k 的值 题型五:解方程的题中,方程含绝对值
方法:根据绝对值的代数意义:分情况讨论。
例14、62=+x x
题型六:方程中含绝对值,探讨方程解的个数
方法:根据绝对值的代数意义去绝对值,再根据一元一次方程的步骤解方程。
例15、求423=-+x x 的解的个数
【知识点六:实际应用与一元一次方程】 列一元一次方程解应用题的一般步骤:
(1)审题,分析题中已知什么,未知什么,明确各量之间的关系,寻找等量关系; (2)设未知数,一般求什么就设什么为x ,有时也可间接设未知数;
(3)列方程,把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来,列出方程; (4)解方程
(5)检验,看方程的解是否符合题意; (6)作答。
题型一:和、差、倍、分问题
例15、小明暑期读了一本名著,这本名著一共有950页,已知他读了的是没读过的三倍,问小明还有多少页书没读? 题型二:调配问题
例16、有两个工程队,甲工程队有32人,乙工程队有28人,如果是甲工程队的人数是工程队人数的2倍,需从乙工程队抽调多少人到甲工程队? 题型三:行程问题(四种) 1.相遇问题
路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快行距+慢行距=原距
例17、甲、乙两人从相距500米的A 、B 两地分别出发,4小时后两人相遇,已知甲的速度是乙的速度的两倍,求甲、乙两人的速度 2.追及问题
2.1行程中追及问题:快行距-慢行距=原距
例18、甲分钟跑240米,乙每分钟跑200米,乙比甲先跑30分钟,问何时甲能追上乙? 2.2时钟追及问题:整个钟面为360度,上面有12个大格,每个大格为30度;60个小格,每个小格为6度。
分针速度:每分钟走1小格,每分钟走6度 时针速度:每分钟走
1
12
小格,每分钟走0.5度 例18、在6点和7点之间,什么时刻时钟的分针和时针重合? 3.环形跑道
例19、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步,甲分钟跑240米,乙每分钟跑200米,二人同时同地同向出发,几分钟后二人相遇?若背向跑,几分钟后相遇? 4.航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2
例20、一艘船在两个码头之间航行,水流的速度是3千米/时,顺水航行需要2小时,逆水航行需要3小时,求两码头之间的距离。
题型四:打折利润问题 利润=售价-成本 %100-%100⨯=⨯=
成本
成本
售价成本利润利润率 例21、某商店开张为吸引顾客,所有商品一律按八折优惠出售,已知某种旅游鞋每双进价
为60元,八折出售后,商家所获利润率为40%。
问这种鞋的标价是多少元?优惠价是多少? 题型五:工程问题
工作总量=工作效率×工作时间
例22、一项工程,甲单独做要10天完成,乙单独做要15天完成,两人合做4天后,剩下的部分由乙单独做,还需要几天完成? 题型六:数字问题
例23、若一个两位数十位上数字与个位上数字之和为8,把这个两位数减去36后,得到的结果恰好是这个两个位数对调之后组成的数,求原来的两位数是多少? 题型七:年龄问题
例24、甲比乙大15岁,5年前甲的年龄是乙的两倍,那么乙现在的年龄是多少岁? 本章总结:
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