运筹学实验1答案
运筹学
目录试验一（习题1.1）试验二（例题1.1）试验三（习题1.2）试验四（习题3.1）试验五（习题3.2）试验六（习题3.6）试验七（习题4.1）试验八（习题4.2）试验九（习题4.5）试验十（习题5.1）试验一（习题1.1）一、问题的提出某工厂利用甲、乙、丙三种原料，生产A、B、C、D四种产品。
每月可供应应该厂原料甲600吨、乙500吨、丙300吨。
生产1吨不同产品所消耗的原料数量及可获得的利润如表1-4所示。
问：工厂每月应如何安排生产计划，才能使总利润最大？表1-4 三种原来生产四种产品的有关数据二、线性规划模型解（1）决策变量。
本问题的决策变量是两种产品A、产品B、产品C、产品D、的每月产量，可设：x1表示产品A的产量；x2表示产品B的产量；x3表示产品C的产量；x4表示产品D的产量。
（2）目标函数。
本问题的目标是四种产品的总利润。
由于产品A、产品B、产品C和产品D单位利润分别为200元、250元、300元和400元，所以，每月总利润z可表示为：z=200x1+250x2+300x3+400x4。
（元）（3）约束条件。
本问题的约束条件共有四个。
第一个约束条件是原料甲的供应量限制，生产产品A需要原料甲1吨；生产产品B需要原料甲1吨；生产产品C需要原料甲2吨：生产产品D需要原料甲2吨，所以生产x1吨产品A、x2吨产品B、x3吨产品C和x4吨产品D所需的原料为x1+x2+2x3+2x4。
由题意，原料甲每月原料供应量为600吨。
由此可得第一个约束条件：x1+x2+2x3+2x4<=600第二个约束条件是原料甲的供应量限制，生产产品A需要原料乙0吨；生产产品B需要原料乙1吨；生产产品C需要原料乙1吨：生产产品D需要原料乙3吨，所以生产x1吨产品A、x2吨产品B、x3吨产品C和x4吨产品D所需的原料为 x2+x3+3x4。
由题意，原料甲每月原料供应量为500吨。
由此可得第一个约束条件：x2+x3+3x4<=500第三个约束条件是原料甲的供应量限制，生产产品A需要原料丙0吨；生产产品B需要原料丙2吨；生产产品C需要原料丙1吨：生产产品D需要原料丙0吨，所以生产x1吨产品A、x2吨产品B、x3吨产品C和x4吨产品D所需的原料为x1+2x2+x3。
运筹学部分课后习题集解答1
,.运筹学部分课后习题解答用图解法求解线性规划问题min z=2x 1 3x 24x 1 6 x 26a ）2 x 2 4s..t 4x 1 x 1, x 2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集 MABCN ，且可知线段 BA 上的点都为最优解，即该问题有无量多最优解，这时的最优值为z min =233 0 32用图解法和纯真形法求解线性规划问题max z=10x 15x 2a ）3x 1 4x 295x 1 2 x 2 8st..x 1, x 2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集 OABCO ，且可知 B 点为最优值点，3x 1 4x 2x 1 1T93 ，即最优解为 x *3即2 x 2 8x 21,5x 1 22这时的最优值为 z max =10 1 53 352 2,.纯真形法：原问题化成标准型为max z=10x15x23x1 4 x2x39st.. 5x12x2x48x1 , x2 , x3 , x40c j10500C B X B b x1x2x3x40x3934100x48[5]201C j Z j105000x321/50[14/5]1-3/510x18/512/501/5C j Z j010-25x23/2015/14-3/1410x1110-1/72/7C j Z j00-5/14-25/14,.1,3T1015335因此有 x*, zmax222已知线性规划问题：max z 2 x14x2x3 x4x13x2x482x1x26x2x3x46x1x2x39x1 , x2 , x3, x40求: (1)写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X*(2,2,4,0) ，试依据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：min w8 y1 6 y26 y3 9 y4y1 2 y2y423y1y2y3y44y3y41y1y31y1, y2 , y3 , y40（2 ）由原问题最优解为X*(2,2,4,0) ，依据互补废弛性得：y1 2 y2y423 y1y2y3y44y3y41把 X *(2,2,4,0)代入原线性规划问题的拘束中得第四个拘束取严格不等号，即22489y40y1 2 y22进而有3y1y2y34y31,.得 y143, y2, y3 1, y45543因此对偶问题的最优解为 y*(,,1,0)T，最优值为w min1655考虑以下线性规划问题：min z 60x140x280x33x12x2x324x1x23x342x12x22x33x1, x2 , x30（ 1）写出其对偶问题；（2 ）用对偶纯真形法求解原问题；解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：max w 2y1 4 y23y33y1 4 y2 2 y3602 y1 y22y340y13y22y380y1, y2 , y30（2 ）在原问题加入三个废弛变量x4 , x5 , x6把该线性规划问题化为标准型：max z60x140 x280x33x12x2x3x424x1x23x3x542 x12x22x3x63x j0, jL,6 1,c j-60-40-80000 C B X B b x1x2x3x4x5x6 0x4-2-3-2-1100 0x5-4[-4]-1-30100x6-3-2-2-2001C j Z j-60-40-800000x410-5/45/41-1/12080x1111/43/40-1/400x6-10[-3/2]-1/20-1/21C j Z j0-25-350-1500x411/6005/311/3-5/6 80x15/6102/30-1/31/6 40x22/3011/301/3-2/3 C j Z j00-80/30-20/3-50/3x*( 5,2,0) T , z max60540280 023063633某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、资料等相关数据见下表。
运筹学习题答案(1)
第一章 线性规划及单纯形法（作业）1.4 分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
（1）Max z=2x 1+x 2St.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,24261553212121x x x x x x 解：①图解法：由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解为直线⎩⎨⎧=+=+242615532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。
Max z =33/4. ② 单纯形法：将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4St. ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535421421321x x x x x x x x x x其约束条件系数矩阵增广矩阵为：P 1 P 2 P 3 P 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到T 优解，代入目标函数得Max z=33/4.1.7 分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。
（3）Min z=4x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x(2) 两阶段法： Min ω=y 1+y 2St.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x第二阶段，将表中y 1,y 2去掉，目标函数回归到Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析（作业）2.7给出线性规划问题：Max z=2x 1+4x 2+x 3+x 4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤++)4,3,2,1(096628332143221421j x x x x x x x x x x x x j要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
运筹学部分课后习题集解答1
运筹学部分课后习题解答P47 1.1用图解法求解线性规划问题min z=2x 3x 2 4为 6x 2 6 a )s.t 4x i 2x 24X i ,X 2 0解：由图1可知，该问题的可行域为凸集 MABCN ，且可知线段BA 上的点3都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为Z m i n =2 3 * 3 0 3P47 1.3用图解法和单纯形法求解线性规划问题max z=10x.| 5x 23x 1 4x 2 9 s.t 5x 1 2x>8x 1, x> 0解：由图1可OABCO ，且可知B 点为最优值点,小 3x-| 4x 29 即125x 1 2x 28x 1X 213，即最优解为x * 21,3v1图1单纯形法:原问题化成标准型为max z=10x15x23\ 4x2 x39 s.t 5\ 2x2 x48X i,X2,X3,X40P78 2.4已知线性规划问题:max z 2X | 4x 2 x 3 x-i 3X 2 X 4 82为 x 26 x 2 x 3 x 4 6 x | x 2 x 39XiXX, x 4求：(1)写出其对偶问题；(2)已知原问题最优解为X * (2,2,4,0)，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
解：(1)该线性规划问题的对偶问题为：min w 8y 1 6y 2 6y 3 9y 4y 1 2y 2 y 4 2 3y 1 y 2 y 3 y 4 4 y 3 y 4 1y 1y 31%,丫2”3,丫4(2)由原问题最优解为X * (224,0)，根据互补松弛性得：y 1 2y 2 y 4 2 3y 1 y 2 y w 4y a y 4 1把X *(2,2,4,0)代入原线性规划问题的约束中得第四个约束取严格不等号, 即 2 2 48 9 y 4 0 y 1 2y 22从而有3y 1 y 2 y 34所以有x *13,zmax 10 1 5I35 "2X 4y a 1/曰 4 3 “门得y i 、目2 ,y3 i,y4 05 5所以对偶问题的最优解为y* （-,3,1,0）T，最优值为W min 165 5P79 2.7考虑如下线性规划问题:（1）写出其对偶问题；min z 60为40x2 80x33为2x2x3 24x1 X2 3x3 42x1 2x2 2x3 3捲必，怡0（2 ）用对偶单纯形法求解原问解：（1）该线性规划问题的对偶问题为：max w 2y1 4y2 3y33y i 4y2 2y3 602y1 y2 2y3 40 >y1 3y2 2y3 80 ,y1,y2,y3 0（2）在原问题加入三个松弛变量X4,X5,X6把该线性规划问题化为标准型max z 6 0x140X280x3x12x2X3 X4 24为x3x3 x 42x-| 2x22X3 X6 3X j 0,j 1L ,6* 52max 56 3 6 3 3P81 2.12某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表。
运筹学答案(1,2章)
1.1解（1）用图1-1中的阴影部分分为此线性规划问题的可行域，目标函数123z x x =+，即21133z x x =-+是斜率为13-的一族平行线，易知123,0x x ==为可行解，由线性规划的性质知，其最值在可行域的顶点取得，将直线1233x x +=沿其法线方向逐渐向上平移，直至A 点，A 点坐标为(2,4)。
所以 max 23414z =+⨯= 此线性规划问题有唯一最优解。
（2）用图1-2中的阴影部分分为此线性规划问题的可行域，目标函数121.5z x x =+，即212233x x z =-+是斜率为23-的一族平行线，易知123,0x x ==为可行解，由线性规划的性质知，其最值在可行域的顶点取得。
将直线121.53x x +=沿其法线方向逐渐向下平移，直至B 点，B 点坐标为31(,)22。
所以 319max 1.5224z =+⨯= 此线性规划问题有唯一最优解。
（3）用图1-3中的阴影部分分为此线性规划问题的可行域，目标函数1222z x x =+，即212zx x =-+是斜率为1-的一族平行线，易知120,0x x ==为可行解。
在将直线12220x x +=沿其法线方向逐渐向上平移的过程中发现：目标函数的值可以增加到无穷大，故此线性规划问题为无界解。
（4）如图1-4所示，此问题的可行域为空集，故此线性规划问题无可行解。
1.4 (2)解法一：图解法图中的阴影部分为此线性规划问题的可行域，目标函数1225z x x =+，即21255z x x =-+是斜率为25-的一族平行线，易知120,0x x ==为可行解，将直线12250x x +=沿其法线方向逐渐向上平移，直至B 点，B 点坐标为（2，6）。
所以 m a x22563z =⨯+⨯=解法2：单纯形法将上述问题化为标准型如下：12345max 25000z x x x x x =++++132412512345 + =4 212..3x 2 =18,,,,0x x x x s t x x x x x x x ⎧⎪+=⎪⎨++⎪⎪≥⎩下面用单纯形法进行计算，见下表：表的最终结果表明：最优解(2,6,2,0,0)TX=目标函数最优值m a x34z=迭代第一步得(1)(0,0,4,12,18)TX=表示图中原点。
运筹学1至6章习题参考答案
-0.25
1
1.5
2
C(j)-Z(j)
-1.75
0
0
1.25
0
-12.5
X1
-3
1
0
2
-1
0
2
M
X2
-5
0
1
-0.5
0.5
0
2
4
X5
0
0
0
-1.5
[0.5]
1
0
0
C(j)-Z(j)
0
0
3.5
-0.5
0
-16
X1
-3
1
0
-1
0
2
2
X2
-5
0
1
1
0
-1
2
X4
0
0
0
-3
1
2
0
C(j)-Z(j)
0
0
2
0
1
【解】设xj、yj（j＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为
（1）
（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第7～11个约束右端常数200改为0，第12个约束“≤200”改为“＝－200”。
1.4某投资人现有下列四种投资机会,三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：
0
0
0
R. H. S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
0
-1
2
3
1
0
0
4
M
X5
0
[4]
运筹学实验一
运筹学实验：线性规划问题一、实验目的1、学习建立数学模型2、熟练运用计算软件求得模型最优解二、实验内容案例一：1.13、某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g 蛋白质、30g 矿物质、100mg 维生素。
现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg 营养成分含量及单价如表1-20所示。
表1-20饲料 蛋白质（g ） 矿物质（g ） 维生素（mg ） 价格（元/kg ） 1 2 3 4 5 3 2 1 6 18 1 0.5 0.2 2 0.5 0.5 1.0 0.2 2 0.8 0.2 0.7 0.4 0.30.8 要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。
解：建立线性规划模型设x i 表示第i 中饲料数量 i=1,2,3,4,5Minz=0.2x 1+0.7x 2+0.4x 3+0.3x 4+0.8x 53x 1+2x 2+x 3+6x 4+18x 5>=700x 1+0.5x 2+0.2x 3+2x 4+0.5x 5>=30S.t. 0.5x 1+x 2+0.2x 3+2x 4+0.8x 5>=100x i >=0(i=1,2,3,4,5)运算截图如下所示：结果如下所示：案例二：1.18、宏银公司承诺为某建设项目从2003年起的4年中每年初分别提供以下数额贷款：2003年——100万元，2004年——150万元，2005年——120万元，2006年——110万元。
以上贷款资金均需于2002年底前筹集齐。
但为了充分发挥这笔资金的作用，在满足每年贷款额情况下，可将多余资金分别用于下列投资项目：（1）、于2003年初购买A种债券，期限3年，到期后本息合计为投资额的140%，但限购60万元；（2）、于2003年初购买B种债券，期限2年，到期后本息合计为投资额的125%，且限购90万元；（3）、于2004年初购买C种债券，期限2年，到期后本息合计为投资额的130%，但限购50万元；（4）、于每年年初将任意数额的资金存放于银行，年息4%，于每年年底取出。
运筹学(第五版) 习题答案
1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
（1）min z=-3 +4 -2 +5
4 - +2 - =-2
+ +3 - 14
-2 +3 - +2 2
， ， 0， 无约束
（2）max
0 (i=1…n; k=1,…,m)
（1）解：设z=- , = - , , 0
标准型：
从行差额或者列差额中找出最大的选择它所在的行或者列中的最小元素丙列中的最小元素为3由此可以确定产地的产品应先供应丙的需要而产地的产量等于丙地的销量故在2丙处填入0同时将运价表中的丙列和第二行的数字划去得到
运筹学习题答案
第一章（39页）
1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
初始单纯形表：
-M
-M
…
-M
…
…
…
b
…
…
…
…
-M
1
1
0
…
0
1
1
…
…
0
0
…
0
-M
1
0
1
…
0
0
…
…
0
0
…
0
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
-M
1
0
0
…
1
0
0
…
0
…
1
1
…
1
-s
nM
(完整word版)运筹学课后习题答案林齐宁版本北邮出版社
No .1 线性规划1、某织带厂生产A 、B 两种纱线和C 、D 两种纱带，纱带由专门纱线加工而成。
这四种产品的产值、成本、加工工时等资料列表如下： 产品 项目ABCD单位产值 (元) 168 140 1050 406 单位成本 (元) 42 28 350 140 单位纺纱用时 (h) 3 2 10 4 单位织带用时 (h)20.5工厂有供纺纱的总工时7200h ，织带的总工时1200h 。
(1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最大；(2) 如果组织这次生产具有一次性的投入20万元，模型有什么变化？对模型的解是否有影响？ 解：(1)设A 的产量为x 1，B 的产量为x 2，C 的产量为x 3，D 的产量为x 4，则有线性规划模型如下：max f (x )=(16842)x 1 +(14028)x 2 +(1050350)x 3 +(406140)x 4=126 x 1 +112 x 2 +700 x 3 +266 x 4s.t. ⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤+≤+++4,3,2,1 ,012005.02 720041023434321i x x x x x x x i(2)如果组织这次生产有一次性的投入20万元，由于与产品的生产量无关，故上述模型只需要在目标函数中减去一个常数20万，因此可知对模型的解没有影响。
2、将下列线性规划化为极大化的标准形式解：将约束条件中的第一行的右端项变为正值，并添加松弛变量x 4，在第二行添加人工变量x 5，将第三行约束的绝对值号打开，变为两个不等式，分别添加松弛变量x 6, x 7，并令x x x 333='-''，则有max[f (x )]= {2 x 13 x 2 5('-''x x 33)+0 x 4M x 5+0 x 6 +0 x 7}s.t. 0,,,,,,,13 55719 13 55719 16 9976 5 7654332173321633215332143321≥'''=+''+'-+-=+''-'+-=+''+'-+-=+''-'+--⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±≥≤+-=-+--≥-+++=不限321321321321321 ,0,13|5719|169765 ..532)(m in x x x x x x x x x x x x t s x x x x f3、用单纯形法解下面的线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++-≤++-≤-+++= ,0,,4205.021********* ..352)(max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x x f 解：在约束行1,2,3分别添加x 4, x 5, x 6松弛变量，有初始基础可行解和单纯形法迭代步骤如下：C j1 12 z jC j2 1/3 1/6 11/6 1/6 z j5/6 5/6 C j3/5 1/1011/107/20z j11/20 C jz j11/ 29/811/8答：最优解为x1 =244.375, x2 =0, x3 =123.125, 剩余变量x6 =847.1875；最优解的目标函数值为858.125。
运筹学习题答案(第一章)
c
x1
j
1
1 0
0 0
-2/14 10/35 -5/14d+2/14c 3/14d-10/14c
School of Management
page 13 15 June 2013
运筹学教程
第一章习题解答
当c/d在3/10到5/2之间时最优解为图中的A点；当 c/d大于5/2且c大于等于0时最优解为图中的B点；当c/d 小于3/10且d大于0时最优解为图中的C点；当c/d大于 5/2且c小于等于0时或当c/d小于3/10且d小于0时最优解 为图中的原点。
x1 0 0 0
x2 3 0 0
基可行解 x3 x4 x5 0 0 3.5 1.5 0 0 3 8 5
x6 0 0 0
Z 3 3 0
0.75
page 9 15 June 2013
0
0
0
2
2.25
2.25
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
min Z 5 x 1 2 x 2 3 x 3 2 x 4 (2) x1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 7 st 2 x 1 2 x 2 x 3 2 x 4 3 x j 0 , ( j 1, 4 )
该题是无穷多最优解。 最优解之一： x1 9 5 , x2 4 5 , x3 0, Z 6
page 19 15 June 2013
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运筹学教程
第一章习题解答
max Z 4 x 1 x 2 3 x1 x 2 3 4 x1 3 x 2 x 3 6 st x 2 x2 x4 4 1 x j 0（ j 1, , 4） ,
运筹学习题答案
运筹学习题答案第⼀章习题1.思考题（1）微分学求极值的⽅法为什么不适⽤于线性规划的求解？（2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把⼀般的线性规划化为标准形式？（3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？（4）什么是线性规划的可⾏解，基本解，基可⾏解？引⼊基本解和基可⾏解有什么作⽤？（5）对于任意基可⾏解，为什么必须把⽬标函数⽤⾮基变量表⽰出来？什么是检验数？它有什么作⽤？如何计算检验数？（6）确定换出变量的法则是什么？违背这⼀法则，会发⽣什么问题？（7）如何进⾏换基迭代运算？（8）⼤M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？（9）松弛变量与⼈⼯变量有什么区别？试从定义和处理⽅式两⽅⾯分析。
（10）如何判定线性规划有唯⼀最优解，⽆穷多最优解和⽆最优解？为什么？2.建⽴下列问题的线性规划模型：（1）某⼚⽣产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所⽰：润最⼤的模型。
（2）某公司打算利⽤具有下列成分（见表1-19）的合⾦配制⼀种新型合⾦100公⽄，新合⾦含铅，锌，锡的⽐例为3：2：5。
如何安排配⽅，使成本最低？（3）某医院每天各时间段⾄少需要配备护理⼈员数量见表1-20。
表1-20假定每⼈上班后连续⼯作8⼩时，试建⽴使总⼈数最少的计划安排模型。
能否利⽤初等数学的视察法，求出它的最优解？（4）某⼯地需要30套三⾓架，其结构尺⼨如图1-6所⽰。
仓库现有长6.5⽶的钢材。
如何下料，使消耗的钢材最少？图1-63. ⽤图解法求下列线性规划的最优解：≥≤+-≥+≥++=0,425.134 12 64 min )1(2121212121x x x x x x x x x x z≥≤+≥+-≤++=0,82 5 1032 44 max )2(2121212121x x x x x x x x x x z≥≤≤-≤+-≤++=0,6 054 422232 96 max )3(21221212121x x x x x x x x x x x z≥≤+-≥++=0,1 1234 3 max )4(21212121x x x x x x x x z4. 把下列线性规划化为标准形式：≥≤=-++-≥-+≤-+-+-=⽆约束432143213214313210,,01 32 212 min )1(x x x x x x x x x x x x x x x x x z≤≤≥+-≤++=⽆约束211212121,02182 32 max )2(x x x x x x x x x z5. 判定下列集合是否凸集：（1）R 1=｛(x 1,x 2)|x 12+2x 22≤2｝（2）R 2=｛(x 1,x 2)|x 12－2x 2+3≥0,x 2≥0,|x 1|≤1｝（3）R 3=｛(x 1,x 2)|x 1x 2≥1,x 1≥1,x 2≥0｝6. 求出下列线性规划的所有基本解，并指出其中的基可⾏解和最优解。
运筹学1至6章习题参考答案
0
2
11/8
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-3/4
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X4
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M
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0.181818
C(j)-Z(j)
0
0
0
0
-9/16
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37/4
X3进基、X2出基，得到另一个基本最优解。
C(j)
3
2
-0.125
6重油
7残油
辛烷值
80
115
105
蒸汽压：公斤／平方厘米
1.0
1.5
0.6
0.05
每天供应数量(桶)
2000
1000
1500
1200
1000
1000
800
问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。
解设xij为第i（i＝1,2,3,4）种成品油配第j(j=1,2,…,7)种半成品油的数量（桶）。
10
-5
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* Big M
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X1
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25
C(j)-Z(j)
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-11
-1
运筹学习题答案(第一章)
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第一章习题解答
对下述线性规划问题找出所有基解， 1.3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪 些是基可行解，并确定最优解。 些是基可行解，并确定最优解。
max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x − 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 − x 6 = 0 x j ≥ 0（ j = 1, L , 6） ,
page 6 9 April 2011
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第一章习题解答
(2) min st x 1 Z = 2 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x1 + x 2 + x 3 = 4 − 2 x1 + x 2 − x 3 ≤ 6 ≤ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 无约束
page 12 9 April 2011
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第一章习题解答
l.5 上题 中，若目标函数变为 上题(1)中 若目标函数变为max Z = cx1 + dx2， 讨论c,d的值如何变化 的值如何变化， 讨论 的值如何变化，使该问题可行域的每个顶点依 次使目标函数达到最优。 次使目标函数达到最优。 得到最终单纯形表如下： 解：得到最终单纯形表如下： Cj→ CB d c 基 x2 x1 σj
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运筹学1至6章习题参考答案
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* Big M
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M
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A3
M
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C(j)-Z(j)
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M
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X4
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M
C(j)-Z(j)
-43
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0
0
-17
3
因为λ7＝3>0并且ai7<0(i=1,2,3)，故原问题具有无界解，即无最优解。
(3)
【解】
C(j)
3
2
-0.125
0
-3
1
6
0.75
C(j)-Z(j)
物流运筹学习题及答案1题目线性规划基本性质
习题一1.1试述LP模型的要素、组成部分及特征。
判断下述模型是否LP模型并简述理由。
(式中x,y为变量；O为参数;a,b,c,d,e为常数。
)(1)max Z=2X∣-X2-3X3X1÷X2+X3=13x i-x2+5X3≤82x1-4X2+3X3≥5x1>O,x2≤O(2)minZ=π⅛*=!EaikXkNbi,i=1,2…,ms∙t∙IA=I[x k≥0Λ=1,2...»w(3)minZ=ZaiXi+»凶∕=l√=ιx i≤c i,i=1,2,...,znS.t.<y j≤d j J≈∖,2,...n%十%≥%∙〃4))maxz=7C.X i JJj=∣EaijXj≤b i+d iΘ,/=1,2,...,∕n5)t.；=1Xj≥OJ=1,2,...«1.2试建立下列问题的数学模型：(1)设备配购问题某农场要购买一批拖拉机以完成每年三季的工作量：春种330公顷，受管130公顷，秋收470公顷。
可供选择的拖拉机型号、单台投资额及工作能力如下表所示。
问配购哪几种拖拉机各几台，才能完成上述每年工作量且使总投资最小？(2)物资调运问题问应如何调运，才能既满足城市用煤需求，又使运输的总费用最少？（3）食谱问题某疗养院营养师要为某类病人拟订本周菜单。
可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成分的数量，以及这类病人每周所需另外为了口味的需求，规定一周内所用的卷心菜不多于2份，其它蔬菜不多于4份。
若病人每周需14份蔬菜,问选用每种蔬菜各多少份？（4）下料问题某钢筋车间要用一批长度为10米的钢筋下料制作长度为三米的钢筋90根和长度为四米的钢筋60根，问怎样下料最省？用图解法求解卜.列LP问题：（1）min Z=6XI+4X22x1+X2≥1s.t.3x1+4X2≥1.5x1>O,x2≥O(2)maxz=2.5x1+x23x1+5x2≤155.t.<5x l+2X2≤IOx1≥O,x2≥O(3)maxz=2xι+2x2X∣—X?≥-1-0.5x1+x2≤2x1≥O,x2≥O(4)maxz=Xι+χ2Λ1-x2≥O s.t.∙3x∣—x9≤—3x1≥O,x2≥O(5)minz=2x∣-10x2X1-X2≥O5)t.x1-5X2≥-5x1≥O,x2≥O6))minZ=-IOxi-IIx23x1+4X2≤105x l÷2Λ2≤8s.t.X I-2X2≤2x1≥O,x2≥O1.4把L3题的(3)-(6)化成标准形.1.5把下列LP问题化成标准形。
运筹学上机实验(1)参考答案汇总
一、利用工具栏中的“规划求解”求解如下线性规划问题1.1某工厂可以生产产品A 和产品B 两种产品。
生产单位产品A 和B 所需要的机时、人工工时的由下表给出。
这两种产品在市场上是畅销产品。
该工厂经理要制订季度的生产计划，其目标产品A 产品B 资源总量机器（时）8 6 120人工（时）5 10 100产品售价（元）500 8001.2 该工厂根据产品A 和产品B 的销售和竞争对手的策略，调整了两种产品的售价。
产品A 1.2 由于某些原因，该工厂面临产品原料供应的问题。
因此，工厂要全面考虑各种产品所需材料的资源数量及可用资源的总量、产品的售价等因素。
有关信息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量机器（时）8 6 120人工（时）5 10 100原材料(公斤 8 11 130产品售价（元）500 8001.3 随着企业改革的不断深化，该企业的经理的管理思想产生了变化，由原来的追求销售额1.3 随着企业改革的不断深化，该企业的经理的管理思想产生了变化，由原来的追求销售额要考虑资源的成本。
工厂的各种产品所需要的机时、人工工时、原材料的资源数量及可用和各种资源的价格等因素。
有关信息在下表中给出。
产品A 产品B 资源总量资源价格（元／单位）机器（时）8 6 120５人工（时）5 10 10020原材料(公斤 11 8 130 1产品售价（元）500 8001.4 学习了MBA 课程后，该企业的经理明白了产品的成本包括变动成本和固定成本。
如果生1000元的固定成本，如果生产产品B ，工厂要花费800元的固定成本。
假设其它情况不变，请利润最大化的生产方案。
提示：设x1,x2分别为产品A 、B 的生产量，引入变量y1,y2做为控制变量，分别表示生产A 、只取0或1的变量，1为生产，0为不生产），控制方法见下列线性规划模型（如：x1≤My1，相牵制，A 生产时，x1>0,y1就必须为1，目标函数中才能扣除成本，否则y1为0，x1就为0了，max z =600x 1+400x 2-{(6x 1+8x2⨯5+(10x 1+5x 2⨯20+(11x 1+8x 2⨯1}-1000⎧6x 1+8x 2≤120⎪10x +5x≤10012⎪⎪⎪11x 1+8x 2≤130⎨⎪x 1≤My 1⎪x 2≤My 2⎪⎪y 1, y 2为0或1⎩x 1, x 2, y 1, y 2≥0注：其中M 代表任意大的数，可用一很大数代替例题例题1.6 1.7 通过求解例假设，该原材料在市场上容易买到，是买方市场。
运筹学实验
实验一：线性规划注：以下四个题目任选一个来写实验报告，其他三道作为参考。
题目1：生产计划问题某企业生产3种产品甲、乙、丙，产品所需的主要原料为A、B两种，每单位原料A可生产产品甲、乙、丙的底座为别为12、18、16个；每个产品甲、乙、丙需要原料B分别为13kg、8kg、10kg，设备生产用时分别为10.5、12.5、8台时，每个产品的利润分别为1450元、1650元、1300元。
按月计划，可提供的原料A为20个单位，原料B为350kg，设备正常的月工作时间为3000台时。
建立实现总利润最高的数学模型并求解。
题目2：投资问题某公司受人委托，准备用120万元投资A和B两种基金，其中A基金的单位投资额为50元，年回报率为10%，B基金的单位投资额为100元，年回报率为4%。
委托人要求在每年的年回报金额至少达到6万元的基础上要求投资风险最小。
据测定每单位A基金的投资风险指数为8，每单位B基金的投资风险指数为3，风险指数越大表面投资风险越大。
委托人要求至少在基金B中的投资额不少于30万元。
（1）为了使总的投资风险指数最小，该公司在基金A和B中各投资多少单位？这时每年的回报金额是多少？（2）为了使总的投资回报金额最大，应该如何投资？这时投资风险指数是多少？题目3：配料问题某化工厂根据一项合同要为用户生产一种用甲、乙两种原料混合配置而成的特殊产品。
甲、乙两种原料都含有A、B、C三种化学成分，其含量（％）是：甲为12，2，3；乙为3，3，15。
按合同规定，产品中三种化学成分的含量（％）不得低于4，2，5。
甲、乙原料成本为每千克3，2元。
厂方希望总成本达到最某咨询公司，受厂商的委托，对新上市的一种新产品进行消费者反应的调查。
该公司采用了挨户调查的方法，委托他们调查的厂商以及该公司的市场研究专家对该调查提出下列几点要求：（1）至少调查2000户人家；（2）在晚上调查的户数和白天调查的户数相等；（3）至少调查700户有孩子的家庭；（4）至少调查450户无孩子的家庭。
运筹学第1-7答案
第1——3章 课后作业答案习题1.3）答案不唯一。
不再给出标准答案。
4）化为标准型：（1）设''''22444,x x x x x =-=-, （2）设''''22333,x x x x x =-=-, 则原问题化为标准型为： 则原问题化为标准型为：''''12344''''123445'123''''123445max 237..2358,,,,,0Z x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =-++-⎧-++-+=⎪---=⎨⎪≥⎩ ''''1233''''12334''''12335'12''''123345max 52262335..100Z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =---+⎧--++=⎪++--=⎪⎨-=⎪⎪≥⎩，，，，， 5).用图解法求解：(1)可行域是A(0,2),B(0,0),C(6,0),D(2/3,8/3)为顶点的凸四边形,目标函数在C 点取得最优目标函数值-6. (3)可行域是无界区域,原问题没有＂有限最优解＂. (5)可行域是空集,原问题没有解. 6) 用基本解的定义求解（1）①当111B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，得基本解（0,0,4,6,18），也是基本可行解。
②当1113B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦时，得基本解（6,0，-2,6,0）③当1112B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦时，得基本解（0,9,4，-3,0）④1112B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦时，得基本解（0,6，4,0,6），也是基本可行解⑤1113B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦时，得基本解（4,0,0,6,6），也是基本可行解 ⑥11132B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦时，得基本解（2,6,2,0,0），是基本可行解、最优解 ⑦11132B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦时，得基本解（4,3,0,3,0），也是基本可行解⑧11321B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦时，得基本解（4,6，0,0，-6）用单纯形法求解：.(1) 原问题化为标准型为： (4) 原问题化为：12132412512345max 3546..32180Z x x x x x x s t x x x x x x x x =++=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪≥⎩，，，， 12612341235236123456max 322451..1,0Z x x Mx x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =+-+-+=⎧⎪-++=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩，，，， 最优解为(2,6,2,0,0)，最优目标函数值为36. 用大M 法，得最优解为(0,2,3,0,0,0)，最优目标函数4.用表格单纯形法求解过程如下: 用表格单纯形法求解过程如下:j c 3 5 0 0 0 j c 3 2 0 0 0 -MB C B X b j x 1x 2x 3x 4x 5x B C B X b j x 1x 2x 3x 4x 5x 6x0 3x 4 1 0 1 0 0 0 4x 5 2 4 -1 1 0 0 5/24x 6 0 ○1 0 1 0 0 5x 1 ○1 -1 1 0 1 0 1/1 05x 18 3 2 0 0 1 -M 6x 1 0 -1 1 0 0 1-Z 0 3 5 0 0 0 -Z M 3 2-M M 0 0 0 0 3x 4 1 0 1 0 0 0 4x 3 0 6 -3 1 -2 0 52x 6 0 1 0 1 0 3 1x 1 1 -1 1 0 1 0 15x 6 ○3 0 0 -2 1 -M 6x 1 0 -1 ① 0 0 1 1 -Z -30 3 0 0 -5 0 -Z M-3 0 5-M M-3 0 -3 0 0 3x 2 0 0 1 2/3 -1/3 0 4x 6 0 ③ 0 1 -2 3 5 2x 6 0 1 0 1 0 3 1x 0 1 0 0 0 1 -1 31x 2 1 0 0 -2/3 1/3 0 3x 1 0 -1 1 0 0 1-Z -36 0 -5 0 -8 -1 -Z 0 0 2 0 0 -3 -M+3得最优解为(2,6,2,0,0,0)，最优目标函数为36. 2 2x 2 0 1 0 1/3 -2/3 1 7).(1)j c 5 20 25 0 0 0B C B X b j x 1x 2x 3x 4x 5x 6x4x 40 2 1 0 1 0 0 0 5x 30 0 2 1 0 1 0 06x 15 3 0 -1/2 0 0 1 -Z 0 5 20 25 0 0 0(2) 123124235136123456max 52025240230..13152,,,,,0Z x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =++++=⎧⎪++=⎪⎪⎨-+=⎪⎪≥⎪⎩ 7).(3)最优解为(10,0,30,20,0,0);最优值为800. 习题2.1） .（2）1231312123123min 2352324..2230W y y y y y y y s t y y y y =+++≥⎧⎪-+≤-⎪⎨+-=⎪⎪≤≥⎩，y 0，y（4）123132312123max 31082122..323W y y y y y y y s t y y y =+++≥⎧⎪+=⎪⎨+≤-⎪⎪≥≤⎩，y 0，y 符号不限3 1x 0 1 0 0 0 1 -1 03x 3 0 -1 1 0 0 1-Z -4 0 0 0 0 -2/3 -5/3 -M+1 得最优解为(0,2,3,0,0,0)，最优目标函数为4. 以下是习题2：3） （1）先把原问题化为标准型，并在2个约束等式两边分别乘以-1，然后列表求解。
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运筹学
一、素材：北方化工厂月生产计划安排
根据经营现状和目标，合理制定生产计划并有效组织生产，使一个企业提高效益的核心。
特别是对于一个化工厂而言，由于其原料品种多，生产工艺复杂，原材料和产成品存储费用较高，并有一定的危险性，对其生产计划作出合理安排就显得尤为重要。
现要求对北方化工厂的生产计划作出合理安排。
有关数据
1、生产概况
北方化工厂现有职工120人，其中生产工人105人，该厂主要设备是2套提取生产线，每套生产线容量为800kg，至少需要10人看管，该厂每天24小时连续生产，节假日不停机，从原料投入到成品出线平均需要10小时，成品率约为60%，该厂只有4t卡车1辆，可供原材料运输。
2、产品结构及有关资料
该厂目前的产品可分为5类，所用原料15种，根据厂方提供的资料，经整理得表1-1。
3、供销情况
（1）根据现有运输条件，原料3从外地购入，每月只能购入1车。
（2）根据前几个月的购销情况，产品1和产品3应占总产量的70%，产品2的产量最好不要超过总产量的5%，产品1的产量不要低于产品3与产品4产量之和。
二、建模思路
分析：
设：Xi为产品i=（1、2、3……5）的月生产量，Pi为产品的产品价格，Cj为原料j（j=1……
15）的原料价格，ａji为原料j在产品i中的含量。
总利润=总收入-总成本
目标函数：
整理得：maxZ=4.44X1+6.09X2+5.30X3+26.95X4+6.95X5
约束条件：
①2套提取生产线，每套容量为800kg，每天24小时连续连续生产，原料投入到成品出线
平均需要10小时，成品率约为60%。
X1+X2+X3+X4+X5=(30×24×800×2×60%)/10
②原料3从外地购入，每月只能购入1车，4吨卡车1辆。
9.4%X1+5.4%X2+4.5%X3+1.7%X4+8.6%X5≤4000
③产品1和产品3应占总产量的70%
X1+X3=70%(X1+X2+X3+X4+X5)
④产品2的产量最好不要超过总产量的5%
X2≤5%（X1+X2+X3+X4+X5）
⑤产品1的产量不要低于产品3与产品4的产量之和。
X1≥X3+X4
三、约束条件
目标函数：maxZ= 4.44X1+6.09X2+5.30X3+26.95X4+6.95X5
约束条件：
X1+X2+X3+X4+X5=(30×24×800×2×60%)/10
9.4%X1+5.4%X2+4.5%X3+1.7%X4+8.6%X5≤4000
X1+X3=70%(X1+X2+X3+X4+X5)
X2≤5%（X1+X2+X3+X4+X5）
X1≥X3+X4
X1,X2,X3,X4,X5≥0
四、求解方法
打开管理运筹学软件，打开软件……选择线性规划……新建……输入数据……解决……输出结果
五、输出结果
六、数据分析。