人教版高中数学版必修4试题 2-4-2平面向量数量积的坐标表示

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高中数学必修四课时作业1：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、基础过关1．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )A ．－12B ．－6C ．6D ．12[答案] D[解析] 由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a·b＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为() A ．－17 B.17C ．－16 D.16[答案] A[解析] 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.3．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3B ．2 3C ．4D ．12[答案] B[解析] a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 [答案] D[解析] 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②由①②解得x ＝－79，y ＝－73. 5．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4B.π6C.π4D.3π4[答案] C[解析] 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a ＋b )·(a －b )＝9，|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∵0≤α≤π，∴α＝π4. 6．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.[答案] 1[解析] a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.7．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529. 二、能力提升已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1[答案] B[解析] 因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)．因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3. 已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C. －322D ．－3152[答案] A[解析] AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52 ＝1552＝322. 10．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.[答案] (－4,8)[解析] 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b ＝－4a ＝(－4,8)．11．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132. 故所求k 的值为－23或113或3±132.12．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋m b，若c与d的夹角为45°，求实数m的值．解∵a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，∴c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d＝a＋m b＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，∴c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m.又∵|c|＝1，|d|＝(1－2m)2＋(2－3m)2，∴cos 45°＝c·d|c||d|＝2－3m(1－2m)2＋(2－3m)2＝22.化简得5m2－8m＋3＝0，解得m＝1或m＝35.三、探究与拓展已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0， ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。

人教版高中数学必修4试题平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

数学·必修4(人教A 版)2．4 平面向量的数量积2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角基础提升1．设m ，n 是两个非零向量，m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则以下不等式与m ⊥n 等价的个数有( )①m ·n ＝0；②x 1·x 2＝－y 1y 2；③|m ＋n |＝|m －n |；④|m ＋n |＝m 2＋n 2.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：D2．已知a ＝()2，－2，b ＝()－1，0，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A.13 B ．－13 C ．－16 D.16答案：A3．已知向量a ＝()1，－1，b ＝()－1，x ，若a ＋b 与2b －a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2答案：C4．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．解析：由于a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，所以|b |＝2，a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，所以a 在b 方向上的射影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a ·b |b |＝52. 答案：525．已知a ＝()4，2，则与a 垂直的单位向量坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255或⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，2556．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.答案： 3 2巩固提高7．已知△ABC 的三个顶点分别为A ()2，5，B ()5，2，C ()10，7，判断三角形的形状．解析：由A ⎝⎛⎭⎫2，5，B ⎝⎛⎭⎫5，2，C ⎝⎛⎭⎫10，7得BA →＝⎝⎛⎭⎫－3，3，BC →＝⎝⎛⎭⎫5，5，∴BA →·BC →＝0.∴∠B ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．8．已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝()1，0，e 2＝()0，1.(1)求a ·b ；(2)求||a ＋b ；(3)求a 与b 的夹角的余弦值．解析：(1)由e 1＝⎝⎛⎭⎫1，0，e 2＝⎝⎛⎭⎫0，1得a ＝3e 1－2e 2＝⎝⎛⎭⎫3，－2，b ＝4e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫4，1，∴a ·b ＝12－2＝10.(2)a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫7，－1，∴⎪⎪⎪⎪a ＋b ＝5 2.(3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b ||a ||b ＝1013×17＝10221221.9．已知向量a ＝()1，2，b ＝()x ，1，(1)当x 为何值时，使()a ＋2b ∥()2a －b ？(2)当x 为何值时，使()a ＋2b ⊥()2a －b ？解析：由a ＝⎝⎛⎭⎫1，2，b ＝⎝⎛⎭⎫x ，1，得 a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1，4，2a －b ＝⎝⎛⎭⎫2－x ，3.(1)∵⎝⎛⎭⎫a ＋2b ∥⎝⎛⎭⎫2a －b ，∴3⎝⎛⎭⎫2x ＋1－4⎝⎛⎭⎫2－x ＝0，解得x ＝12.(2)∵⎝⎛⎭⎫a ＋2b ⊥⎝⎛⎭⎫2a －b ，∴⎝⎛⎭⎫2x ＋1(2－x )＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝72.10．已知三个点A ()2，1，B ()3，2，D ()－1，4.(1)求证：AB→⊥AD →；(1)证明：由A ()2，1，B ()3，2，D ()－1，4，得AB→＝()1，1，AD →＝()－3，3，又AB →·AD→＝1×()－3＋1×3＝0， ∴AB→⊥AD →.(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值．(2)解析：∵四边形ABCD 为矩形，且AB ⊥AD ，∴AD→＝BC →. 设点C ⎝⎛⎭⎫x ，y ，则⎝⎛⎭⎫－3，3＝⎝⎛⎭⎫x －3，y －2，∴⎩⎨⎧ －3＝x －3，3＝y －2， ∴⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝5.∴点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，5.又AC →＝⎝⎛⎭⎫－2，4，BD →＝⎝⎛⎭⎫－4，2， ∴AC →·BD →＝8＋8＝16，而⎪⎪⎪⎪AC →＝25，⎪⎪⎪⎪BD →＝25，设AC→与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →⎪⎪⎪⎪AC →⎪⎪⎪⎪BD →＝1625×25＝45.。

高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角练习新人教A版必修4(2021年

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2。

4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角题号1234567891011得分答案一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．已知向量a＝(3,1)，b＝（－1,3），那么（)A．a⊥b B．a∥bC．a〉b D．|a|〉|b｜2．若向量错误!＝（3，－1），n＝(2，1)，且n·错误!＝7，那么n·错误!等于( ) A．－2 B．0C．－2或2 D．23．已知点A(－1，1）,B(1，2），C（－2，－1），D（3，4)，则向量错误!在错误!方向上的投影为( ）A。

322B.错误!C．－错误! D．－错误!4．已知向量a＝（2，1)，b＝(－1，k）,若a⊥(2a－b)，则k等于( ）A．6 B．－6C．12 D．－125．设点A(4，2）,B(a，8)，C(2,a）,O为坐标原点．若四边形OABC是平行四边形，则向量错误!与错误!之间的夹角为（）A。

π3B.错误!C.错误! D。

错误!6．已知向量a＝（3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b等于( ) A。

人教版高中数学必修四 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角作业

[A.基础达标]1．已知向量a ＝(－1，x )，b ＝(1，x )，若2b －a 与a 垂直，则|a |＝( )A ．1 B. 2C ．2D ．4解析：选C.由题意得，2b －a ＝2(1，x )－(－1，x )＝(3，x )，∵(2b －a )⊥a ，∴－1×3＋x 2＝0，即x 2＝3，∴|a |＝－2＋3＝2.2．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，点P 在x 轴上，且使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标为( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C.设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，所以AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10，当x ＝3时，AP →·BP →取最小值，故P (3,0)，故选C.3．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且满足：|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则a·b ＋b·c＋c·a 的值为( )A ．4 B.72C ．－4D ．－72解析：选C.在△ABC 中，∵|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，∴△ABC 为直角三角形，且BC ⊥BA ，以BA ，BC 为x ，y 轴建立坐标系，则B (0,0)，A (3，0)，C (0,1)，∴a ＝BC →＝(0,1)，b ＝CA →＝(3，－1)，c ＝AB →＝(－3，0)，∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－1－3＋0＝－4.4．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A.AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，|CD →|＝52，故AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322. 5．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析：选C.AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝0，故AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的对角线互相垂直，面积S ＝12·|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 6．已知a ＝(0,1)，b ＝(1,1)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值是________．解析：由(a ＋λb )⊥a ，得(a ＋λb )·a ＝0，即(λ，1＋λ)·(0,1)＝0，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1.答案：－17．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3，5)，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：由于a 与b 的夹角为锐角，∴a·b ＞0，且a 与b 不共线同向．由a·b ＞0⇒－3λ＋10＞0，解得λ＜103.当向量a 与b 共线时，得5λ＝－6，得λ＝－65，因此λ的取值范围是λ＜103且λ≠－65. 答案：{λ|λ＜103且λ≠－65} 8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为________．解析：a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5，设c ＝(x ，y )，而(a ＋b )·c ＝52， ∴x ＋2y ＝－52. 又∵a·c ＝x ＋2y ，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a·c |a |·|c |＝－525＝－12.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.答案：120°9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)．(1)求a ＋b 与a －b 的夹角；(2)若a ⊥(a ＋λb )，求实数λ的值．解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，∴a ＋b ＝(－2,6)，a －b ＝(4，－2)，∴cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝－2，，－40×20＝－2040×20＝－22. 又∵〈a ＋b ，a －b 〉∈[0，π]，∴〈a ＋b ，a －b 〉＝3π4. (2)当a ⊥(a ＋λb )时，a ·(a ＋λb )＝0，∴(1,2)·(1－3λ，2＋4λ)＝0，则1－3λ＋4＋8λ＝0，∴λ＝－1.10．平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点M (x ，y )为直线OP 上的一动点．(1)用只含y 的代数式表示OM →的坐标；(2)求MA →·MB →的最小值，并写出此时OM →的坐标．解：(1)设OM →＝(x ，y )，因为点M 在直线OP 上，所以向量OM →与OP →共线．又OP →＝(2,1)，则x －2y ＝0，即x ＝2y ，所以OM →＝(2y ，y )．(2)因为MA →＝OA →－OM →＝(1－2y,7－y )，MB →＝OB →－OM →＝(5－2y,1－y )，所以MA →·MB →＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8，所以当y ＝2时，MA →·MB →取最小值－8，此时OM →＝(4,2)．[B.能力提升]1．已知a ＝(5,4)，b ＝(3,2)，则与2a －3b 平行的单位向量为( )A ．(55，255) B ．(55，255)或(－55，－255) C ．(55，－255)或(－55，255) D ．(－55，－255) 解析：选 B.可知2a －3b ＝(1,2)，设所求的向量的坐标为(x ，y )，根据题意有⎩⎨⎧2x ＝y ，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝55，y ＝255或⎩⎨⎧ x ＝－55，y ＝－255，故选B.2．如图是函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象，则OB →·BA →等于( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2 解析：选B.令tan(π4x －π2)＝1，结合图象可得x ＝3，即B (3,1)．令tan(π4x －π2)＝0，结合图象可得x ＝2，即A (2,0)，从而OB →＝(3,1)，BA →＝(－1，－1)，OB →·BA →＝－4，故选B.3．若a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________．解析：因为a ∥b ，所以x ＝4，所以b ＝(4，－2)，所以a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )．因为(a ＋b )⊥(b －c )，所以(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，所以y ＝－4，故向量MN →＝(－8,8)，|MN →|＝8 2.答案：8 24．已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________.解析：由题意可建立如图所示的坐标系，可得A (2,0)，B (0，2)，P (23，43)或P (43，23)，所以可得CP →＝(23，43)或CP →＝(43，23)，CA →＝(2,0)，CB →＝(0,2)，所以CA →＋CB →＝(2,0)＋(0,2)＝(2,2)，所以CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝(23，43)·(2,2)＝4或CP →·(CB →＋CA →)＝(43，23)·(2,2)＝4.答案：45．已知向量a ＝(2,0)，b ＝(1,4)．(1)求|a ＋b |的值；(2)若向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值；(3)若向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，求k 的取值范围．解：(1)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴a ＋b ＝(3,4)，则|a ＋b |＝5.(2)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴k a ＋b ＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(4,8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b平行，所以8(2k ＋1)＝16，则k ＝12. (3)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴k a ＋b ＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(4,8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＋＋32＞0k ≠12，解得k ＞－92或k ≠12. 6．(选做题)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解：设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)．∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，即2x ＋y －3＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1， ∴|AD →|＝－2＋＋2＝5，即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1)．。

人教A版高中数学必修四2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角牛老师

所以a·b＝(x1i＋y1 j)·(x2i＋y2 j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1 j·i＋ y1y2 j2＝ x1x2＋y1y2 ，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是( )
A．23
B．7
C．－23
D．－7
[答案] D
设a＝(2,1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角θ为锐角．求λ的取值集合．
[答案] {λ|λ>－12，且λ≠2}
[解析]
Байду номын сангаас
cosθ＝|aa|··b|b|＝
2λ＋1 5· λ2＋1
∵θ为锐角，有0<cosθ<1，
∴0<
2λ＋1 5· λ2＋1<1.
∴22λλ＋＋11<>0，5· λ2＋1，
解得λ>－12， λ≠2.
解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)， ∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)， a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)． ∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3 ＝－15.
命题方向2 求向量的夹角
(1)已知a＝(1， 3)，b＝( 3＋1， 3－1)，求a与b 的夹角；
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。

高中数学必修四 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角习题1 新人教A版必修4

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直解析：|a |＝1，|b |＝22，故A 不正确；又a ·b ＝12，所以B 不正确；显然C 不正确；a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，又12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＝0，所以(a －b )⊥b .故选D.答案：D2．a ＝(－4,3)，b ＝(5,6)，则3|a |2－4a ·b 等于( )A ．23B ．57C ．63D ．83解析：3|a |2－4a ·b ＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.答案：D3．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝，－3，2·32＝0，则A ＝π2，故选B.答案：B4．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( )A. 5B.10C ．5D ．25解析：|a ＋b |＝52⇒a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，条件代入得|b |＝5.选C.答案：C5．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为________．解析：|a |＝13，|b |＝65，a ·b ＝13，设a 与b 的夹角为θ，由cos θ＝1313×65＝55， ∴a 在b 方向的投影为|a |cos θ＝13×55＝655. 答案：655 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为______．解析：BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．∵∠C ＝90°，即AC →⊥BC →，∴2(2－k )＋3×2＝0，k ＝5.答案：57．已知向量AB →＝(4,0)，AC →＝(2,2)，则AC →与BC →的夹角的大小为________．解析：BC →＝AC →－AB →＝(2,2)－(4,0)＝(－2,2)，所以AC →·BC →＝2×(－2)＋2×2＝0.所以AC →⊥BC →.即AC →与BC →的夹角为90°.答案：90°8．已知a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)．(1)若θ为2a ＋b 与a －b 的夹角，求θ的值．(2)若2a ＋b 与k a －b 垂直，求k 的值．解：(1)因为a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，所以2a ＋b ＝(3,3)，a －b ＝(0,3)．所以cos θ＝a ＋b a －b |2a ＋b ||a －b |＝9318＝22. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. (2)k a －b ＝(k －1,2k ＋1)，依题意(3,3)·(k －1,2k ＋1)＝0，所以3k －3＋6k ＋3＝0.所以k ＝0.9．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则|a ＋b |的取值范围是( )A ．[0， 2 ]B ．[0， 2 ]C ．[1,2]D ．[2，2]解析：|a ＋b |＝＋cos θ2＋θ2 ＝2＋2cos θ. ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴cos θ∈[0,1]． ∴|a ＋b |∈[2，2]．答案：D10．已知a ＝(2,1)与b ＝(1,2)，要使|a ＋t b |最小，则实数t 的值为________．解析：a ＋t b ＝(2＋t,1＋2t )，∴|a ＋t b |＝t ＋2＋t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －452＋95. ∴当t ＝45时，|a ＋t b |有最小值355. 答案：4511．已知点A (1,2)和B (4，－1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ACB ＝90°？若不能，请说明理由；若能，求出C 点的坐标．解：假设存在点C (0，y )，使∠ACB ＝90°，则AC →⊥BC →.∵AC →＝(－1，y －2)，BC →＝(－4，y ＋1)，AC →⊥BC →，∴AC →·BC →＝4＋(y －2)(y ＋1)＝0.∴y 2－y ＋2＝0.而在方程y 2－y ＋2＝0中，Δ＜0，∴方程无实数解．故不存在满足条件的点C .12．平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点Q 为直线OP 上的一个动点．(1)当QA →·QB →取最小值时，求OQ →的坐标；(2)当点Q 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB 的值．解：(1)设OQ →＝(x ，y )．∵点Q 在直线OP →上，∴向量OQ →与OP →共线．又OP →＝(2,1)，∴x ＝2y .∴OQ →＝(2y ，y )．又QA →＝OA →－OQ →＝(1－2y,7－y )，QB →＝OB →－OQ →＝(5－2y,1－y )，∴QA →·QB →＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y ) ＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8.故当y ＝2时，QA →·QB →有最小值－8，此时OQ →＝(4,2)．(2)由(1)知QA →＝(－3,5)，QB →＝(1，－1)， QA →·QB →＝－8，|QA →|＝34，|QB →|＝2，∴cos ∠AQB ＝QA →·QB →|QA →||QB →|＝－41717.。

高中数学必修4单元配套练习试题2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及参考答案解析

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角姓名:___________班级:______________________1.已知向量()1,n =a ,()1,n =-b ,若2-a b 与b 垂直,则a 等于( )A.1 C.2 D.42.已知1=a ,()0,2=b ,且1⋅=a b ,则向量a 与b 夹角的大小为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π23.已知向量()1,2=a ,()2,3=-b .若向量c 满足()+c a b ,()⊥+c a b ,则c 等于( ) A.77,93⎛⎫⎪⎝⎭ B.77,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.77,39⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.77,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭4.已知向量a ＝(x,1),b ＝(1,－2),且a ⊥b ,则|a +b |＝( )5.已知a ＝(－3,2),b ＝(－1,0),向量λa ＋b 与a －2b 垂直,则实数λ的值为( ) A.－17 B.17 C.－16 D.166.设()()3,1,,3a b x ==-,且a ⊥b ,则向量a b -与b 的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°7.已知向量a ＝(－2,－1),b ＝(λ,1),则a 与b 的夹角θ为钝角时,λ的取值范围为( )A.12λ＞B.12λ<-C.12λ>-且λ≠2 D.无法确定 8.若向量a ＝(1,2),b ＝(1,－1),则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A.－π4 B.π6 C.π4 D.3π49.已知向量a ＝(1,2),b ＝(1,1)且a 与a +λb 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是 _________.10.与平面向量a ＝(－13,－23)垂直的单位向量的坐标为______ . 11.已知向量a ＝(2,1),b ＝(－1,2),若a ,b 在向量c 上的投影相等,且(c －a )⋅(c －b )＝－52,则向量c 的坐标为_______ .12.已知(2,1),(1,7),(5,1),OP OA OB ===设M 是直线OP 上一点,O 是坐标原点. (1)求MA MB ⋅取最小值时的OM ; (2)对于(1)中的点M ,求AMB ∠的余弦值. 13.设a ＝(－1,1),b ＝(4,3),c ＝(5,－2), (1)求证a 与b 不共线,并求a 与b 的夹角的余弦值; (2)求c 在a 方向上的投影.14.已知向量()()1,3,2,0a b ==-. (1)求a b -;(2)求向量a b -与a 的夹角;(3)当t ∈[－1,1]时,求a tb -的取值范围.参考答案1.C【解析】由题意得()20-⋅=a b b ,则220⋅-=a b b ,∴()()222110n n --+=,23n =.∴2==a ,故选C.考点:向量的模. 2.C【解析】∵1=a ,()0,2=b ,且1⋅=a b ,∴1cos ,2⋅===a b a b a b , ∴向量a 与b 夹角的大小为π3,故选C. 考点:向量的夹角. 3.D【解析】设c ＝(x,y),由(c ＋a)∥b 有－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0,① 由c ⊥(a ＋b)有3x －y ＝0,② 联立①②有x ＝－79,y ＝－73, 则c ＝77,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故选D. 考点:平面向量数量积的坐标运算. 4.B【解析】由题意可得a b ⋅＝(x,1)⋅(1,－2)＝x －2＝0,解得x ＝2.则a +b ＝(x+1,－1)＝(3,－1),可得|a +b |故选 B.考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系,向量的模. 5.A【解析】由a ＝(－3,2),b ＝(－1,0),知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ),a －2b ＝(－1,2). 又(λa ＋b)·(a －2b)＝0,∴3λ＋1＋4λ＝0,∴λ＝－17,故选A. 考点:平面向量数量积的坐标运算. 6.D【解析】∵a ⊥b ,∴a b ⋅＝x －3＝0,解得x ∴a b -＝(0,4),∴(a b -)⋅b ＝－12,|a b -|＝4,b =设向量a b -与b 的夹角为θ,则cos θ＝()242a b b a b b-⋅==-⨯-,∴θ＝150°.考点:数量积表示两个向量的夹角.7.C【解析】∵a 与b 的夹角θ为钝角,∴a b ⋅＝－2λ－1＜0,解得λ＞12-, 又当λ＝2时,满足向量a ∥b ,且反向,此时向量的夹角为180°, 不是钝角,故λ的取值范围为λ＞12-,且λ≠2.故选C. 考点:数量积表示两个向量的夹角. 8.C【解析】()()23,3,0,3a b a b +=-=,所以2223332,3a b a b +=+=-=,设2a b+与a b-的夹角为θ[]()0,πθ∈,则()()2cos 232a b a b a b a bθ+⋅-===+-,[]0,πθ∈,∴π4θ=.故C 正确. 考点:平面向量的数量积. 9.()5,00,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】∵a ＝(1,2),b ＝(1,1),∴a +λb ＝(1+λ,2+λ),∵a 与a +λb 的夹角为锐角,∴a ⋅(a +λb )＞0,且a 与a +λb 不共线, ∴1×(1+λ)+2×(2+λ)＞0,且1×(2+λ)－2×(1+λ)≠0, 解得λ＞53-且λ≠0,故答案为λ＞53-且λ≠0. 考点:数量积表示两个向量的夹角. 10.55⎛-⎝⎭或55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】设与向量a 垂直的单位向量为b ＝(x,y),则x 2+y 2＝1. ∵平面向量a ＝(－13,－23)与b 垂直,∴a b ⋅＝()122,,03333x y x y ⎛⎫--⋅=--= ⎪⎝⎭,化简得x+2y ＝0.联立得221,20,x y x y ⎧+=⎨+=⎩解得,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴b＝,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或b＝,55⎛- ⎝⎭.考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系. 11.(12,32) 【解析】设向量c 的坐标为(x,y),∵a ,b 在向量c 上的投影相等,∴a cbc c c⋅⋅=,即a cbc ⋅=⋅,∴()0c a b ⋅-=,即(x,y)⋅(3,－1)＝3x －y ＝0,即3y x =,①∵(c －a )⋅(c －b )＝－52,∴(x －2,y －1)⋅(x+1,y －2)＝－52, ∴(x －2)(x+1)+(y －1)(y －2)＝－52.② 将y ＝3x 代入②得,4x 2－4x+1＝0,即(2x －1)2＝0,解得x ＝12,则y ＝32, 即向量c 的坐标为(12,32).考点:平面向量的数量积坐标表示. 12.(1)(4,2)(2)17-【解析】(1)设(,)M x y ,则(,)OM x y =,由题意可知//OM OP , 又(2,1),OP =所以20x y -=,即2x y =,所以(2,)M y y ,则()()2212,752,1520125(2)8.MA MB y y y y y y y ⋅=--⋅--=-+=--当2y =时,MA MB ⋅取得最小值,此时(4,2)M ,即(4,2)OM =.(2)3,51,1cos MA MB AMB MA MB-⋅-⋅∠===. 考点:平面向量数量积的坐标运算,模,夹角. 13.(1)10-(2)【解析】(1)∵a ＝(－1,1),b ＝(4,3),且－1×3≠1×4,∴a 与b 不共线, 又a ⋅b ＝－1×4+1×3＝－1,|a |,|b |＝5, ∴cos ＜a ,b ＞＝1052a b a b⋅==-.(2)∵a ⋅c ＝－1×5+1×(－2)＝－7, ∴c 在a方向上的投影为2a c a⋅=＝考点:数量积表示两个向量的夹角,向量的投影. 14.(1)π6(3)[]3,12 【解析】(1)因为向量()()1,3,2,0a b ==-, 所以()()(1,32,0a b -=--=,23a b -=.(2)因为()6a b a -⋅=,所以()()cos,243a b a a b aa b a-⋅-===-, 所以向量a b -与a 的夹角为π6. (3)因为22222a tb a t b ta b -=+-⋅＝4t 2+4t+4＝4212t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+3,所以当t ∈[－1,1]时,最小值是3,最大值是12. 所以a tb -的取值范围是[3,12].考点:数量积表示两个向量的夹角,向量的模.。

人教版高中数学必修四2.4平面向量的数量积2.4.2含答案

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时目标 1.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________. 即两个向量的数量积等于________________． 2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔________________. 3．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝________________.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝________________________. 4．向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________.一、选择题1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．123．已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－16654．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．256．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17 B.17 C ．－16 D.16题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________. 8．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________. 9．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______． 10．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．三、解答题11．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .12．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．能力提升13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12变动时，a 的范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)14．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角答案知识梳理1．x 1x 2＋y 1y 2 相应坐标乘积的和 2．x 1x 2＋y 1y 2＝03．(1)x 21＋y 21 (2)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 4.a·b|a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22作业设计1．C [由(2a －b )·b ＝0，则2a ·b －|b |2＝0， ∴2(n 2－1)－(1＋n 2)＝0，n 2＝3. ∴|a |＝1＋n 2＝2.故选C.] 2．B [a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.]3．C [∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)，∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13，∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝1665.]4．D [设c ＝(x ，y )，由(c ＋a )∥b 有－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，① 由c ⊥(a ＋b )有3x －y ＝0，②联立①②有x ＝－79，y ＝－73，则c ＝(－79，－73)，故选D.]5．C [∵|a ＋b |＝52， ∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2， ∴|b |＝5.]6．A [由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.]7．1解析 a －2b ＝(1，3)， (a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1. 8．(－4,8)解析由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4， ∴b ＝－4a ＝(－4,8)． 9.655解析设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32(－4)2＋72＝55，故a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13×55＝655.或直接根据a·b|b |计算a 在b 方向上的投影．10.⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞) 解析由题意cos α＝a·b|a||b |＝－2λ－15·λ2＋1，∵90°<α<180°，∴－1<cos α<0，∴－1<－2λ－15·λ2＋1<0，∴⎩⎨⎧－2λ－1<0，－2λ－1>－5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ>－12，(2λ＋1)2<5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2，∴λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)． 11．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0， a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0， (a·b )c ＝10×(2，－1)＝(20，－10)．12．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16， |AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0，∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.13．C[已知OA →＝(1,1)，即A (1,1)如图所示，当点B 位于B 1和B 2时，a 与b 夹角为π12，即∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，此时，∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)，又a 与b 夹角不为零，故a ≠1，由图易知a 的范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)．]14．－2解析建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)， ∴MA →＝(0,1)，MB →＝(－3，－2)．∴MA →·MB →＝－2.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

人教版高中数学必修4课后强化作业 2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

基础巩固一、选择题1．已知a ＝(0,1)，b ＝(2，－1)，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2[答案] B[解析] ∵a ＝(0,1)，b ＝(2，－1)，∴a ·b ＝(0,1)·(2，－1)＝0×2＋1×(－1)＝－1.2．已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形[答案] A[解析] AC →＝(－3,3)，AB →＝(1,1)，AC →·AB →＝0. 3．已知向量a ＝(－5,6)，b ＝(6,5)，则a 与b ( ) A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向[答案] A[解析] ∵－5×6＋6×5＝0，∴a ⊥b .4．(2013聊城模拟)已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( )A. 5B.10 C ．5 D ．25[答案] C[解析] ∵a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50＝a 2＋2a ·b ＋b 2，可得|b |＝5.5．(2013·全国大纲理)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1[答案] B[解析] 本题考查数量积的运算，向量垂直的条件． m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1) ∵(m ＋n )⊥(m －n )∴(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0 ∴λ＝－3.6．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋x b 与b 垂直，则实数x 的值为( )A.233B.323 C ．2 D ．－25[答案] D[解析] 由于向量a ＋x b 与b 垂直，则(a ＋x b )·b ＝0，所以a ·b ＋x b 2＝0，则6－4＋5x ＝0，解得x ＝－25.二、填空题7．已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝________. [答案] 2[解析] 因为a ＋b ＝(－1，3)，所以|a ＋b |＝(－1)2＋(3)2＝2.8．a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则2|a|2－3a·b＝________.[答案]44[解析]∵a＝(－4,3)，∴2|a|2＝2×((－4)2＋32)2＝50.a·b＝－4×1＋3×2＝2.∴2|a|2－3a·b＝50－3×2＝44.三、解答题9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若k a＋b与a－3b垂直，求k的值．[解析]k a＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又k a＋b与a－3b垂直，故(k a＋b)·(a－3b)＝0.即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19.10．已知a＝(3，1)，b＝(2,23)．(1)求a·b；(2)求a与b的夹角θ.[解析](1)a·b＝23＋23＝4 3.(2)cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22＝433＋1·4＋12＝32，又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.。

人教版高中数学必修42. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(结)

2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角命题方向1 数量积的坐标运算例1. 已知向量a ∥b ，b ＝(1,2)，|a ·b |＝10.(1)求向量a 的坐标．(2)若a 、b 同向，c ＝(2，－1)，求(b ·c )·a ，(a ·b )·c .[分析] 解答本题可根据a 与b 共线设出a 的坐标，再利用已知条件构建方程(组)求得a 的坐标，进而进行求解．[解析] (1)设a ＝(x ，y )，∴a ·b ＝x ＋2y .∵a ∥b ，∴y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，|x ＋2y |＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4. ∴a ＝(2,4)或a ＝(－2，－4)．(2)∵a 、b 同向，∴a ＝(2,4)．∴(b ·c )·a ＝[1×2＋2×(－1)]·a ＝0·a ＝0.命题方向2 求向量的夹角例2. (1)已知a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，求a 与b 的夹角；(2)已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,5)，求证△ABC 是锐角三角形．[分析] (1)分别求出a ·b ，|a |，|b |，代入夹角公式求解；(2)△ABC 是锐角三角形，即三个内角都是锐角，分别求出相应向量夹角的余弦值，确定该三角形三个内角的余弦值均大于0即可．[解析] (1)解：由a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，得a ·b ＝3＋1＋3×(3－1)＝4，|a |＝2，|b |＝2 2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝22，又0≤θ≤π，所以θ＝π4. (2)证明：由条件得AB →＝(1,1)，BC →＝(－4,3)，CA ＝(3，－4)，因为AB →·BC →＝－4＋3＝－1<0，所以AB →、BC →的夹角是钝角，从而∠ABC 为锐角．同理∠BCA ，∠BAC 也为锐角，所以△ABC 是锐角三角形．命题方向3 利用平行、垂直求参数例3. 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．[分析] 本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论，讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性．[解析] 当∠A ＝90°时，AB →·AC →＝0，∴2×1＋3×k ＝0.∴k ＝－23. 当∠B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0.∴k ＝113. 当∠C ＝90°时，AC →·BC →＝0，∴－1＋k (k －3)＝0.∴k ＝3±132. 综上所述：k ＝－23或113或3±132.命题方向4 已知夹角求参数例4 设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围．[分析] θ为钝角，则cos θ<0.[解析] 由cos θ<0得x <85，因为a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ，所以a 与b 反向，θ＝π，故x <85且x ≠－52.。

人教A版高中数学必修四 2-4-2平面向量数量积的坐标表

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（检测教师版）时间:40分钟总分：60分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ⊥b ，则x 的值是( )A ．±2B ．0C ．－2D ．2 答案：B解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，即4x ＋x ＝0，解得x ＝0，故选B.2．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( )A. 3 B ．3 C ．－ 3 D ．－3 答案：D解析：向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－62＝－3.选D.3．已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 的值为( )A ．－92B ．0C ．3 D.152答案：C解析：∵2a －3b ＝(2k －3，－6)．又(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0，即(2k －3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.4．若A (1,2)，B (2,3)，C (－3,5)，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不等边三角形答案：C解析：∵A (1,2)，B (2,3)，C (－3,5)，∴AB →＝(1,1)，AC →＝(－4,3)，cos A ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝－＋1×32×25＝－15 2＜0，∴∠A 为钝角，△ABC 为钝角三角形．5．若向量a ＝(x ＋1,2) 和向量b ＝(1，－1)平行，则|a ＋b |＝( )A.10B.102C. 2D.22答案：C解析：由题意得，－(x ＋1)－2×1＝0得x ＝－3.故a ＋b ＝(－1,1)．∴|a ＋b |＝－2＋－2＝ 26．如图，在等腰直角三角形AOB 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，设P 为垂线上任意一点，OP →＝p ，则p ·(b －a )＝( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案：A解析：因为在等腰直角三角形AOB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OA ＝OB ＝1，所以|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0.由题意，可设OP →＝－14(b －a )＋λ·12(b ＋a )，λ∈R ，所以p ·(b －a )＝－14(b －a )·(b －a )＋λ2(b ＋a )·(b －a )＝－14(b －a )2＋λ2(|b |2－|a |2)＝－14(|a |2＋|b |2－2a ·b )＝－14(1＋1－0)＝－12.二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．已知点A (4,0)，B (0,3)，OC ⊥AB 于点C ，O 为坐标原点，则OA →·OC →＝________.答案：14425解析：设点C 的坐标为(x ，y )，因为OC ⊥AB 于点C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧OC →·AB →＝0AC →∥AB→，即⎩⎪⎨⎪⎧x ，y－4，＝－4x ＋3y ＝03x ＋4y －12＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3625y ＝4825，∴OA →·OC →＝4x ＝14425.8．若平面向量a ＝(log 2x ，－1)，b ＝(log 2x,2＋log 2x )，则满足a ·b <0的实数x 的取值集合为________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <4 解析：由题意可得(log 2x )2－log 2x －2<0⇒(log 2x ＋1)(log 2x －2)<0，所以－1<log 2x <2，所以12<x <4. 三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．已知O 为坐标原点，OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，则在线段OC 上是否存在点M ，使得MA →⊥MB →？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)， ∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．∵MA →⊥MB →，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴OM →＝(2,1)或OM →＝⎝⎛⎭⎫225，115.∴存在M (2,1)或M ⎝⎛⎭⎫225，115满足题意． 10．已知平面向量a ＝(sin α，1)，b ＝(1，cos α)，－π2<α<π2.(1)若a ⊥b ，求α； (2)求|a ＋b |的最大值．解：(1)由已知，得a ·b ＝0，即sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－1.∵－π2<α<π2，∴α＝－π4.(2)由已知得|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝sin 2α＋1＋cos 2α＋1＋2(sin α＋cos α)＝3＋22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. ∵－π2<α<π2，∴－π4<α＋π4<3π4，∴－22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1，即1<|a ＋b |2≤3＋22， ∴1<|a ＋b |≤1＋2，即|a ＋b |的最大值为1＋ 2.。

人教新课标A版高一数学《必修4》2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

②
cos 联立解之：
1 3 sin ， 2 2 1 3 sin 或 cos 2 ， 2
3 1 1 3 b1 , 或b2 , 2 2 2 2
课堂练习
（1）已知 a 3 ， b 1,2 且 a // b ，求 a .
于它们对应坐标的乘积之和；
（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角
度、方程、及垂直问题.
谢谢大家！
S
θ
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角. 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念.
探究点1
平面向量的数量积
ab cos | a || b |
a b a b cos
a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
a b ba 1 ．运算律： a b a b a b 2．
证明：∵ AB 2 1,3 2 1,1
AC 2 1,5 2 3,2
∴
AB AC 1 3 1 3 0
ABC 是直角三角形.
拓展提升：
例3．求 a 3 1, 3 1 与向量的夹角为 45 的单位向量．
第二章平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
学习目标
1．了解平面向量数量积的运算
2．学会平面向量数量积的坐标表示
复习回顾
夹角的范围
数量积性质
0
a b a b cos
a· a=|a|2
或 a aa
（简写 a2 = |a|2）
(1) a · b= b ·a 运算律
3 6 3 6 a , 或a , 5 5 5 5

2020-2021学年数学人教A版必修4课件：课时作业 2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、

D．－1665
解析：设 b＝(x，y)，则 2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，
所以86＋＋xy＝＝31，8，解得xy＝＝－125，，故 b＝(－5,12)，
所以
a，b ＝|aa|·|bb|＝1665.故选 C.
5．已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量 c 满足(c＋a)∥b，
＝cosα－12，sinα＋
23·cosα＋12，sinα－
3 2
＝cosα－12cosα＋12＋sinα＋
23·sinα－
3 2
＝cos2α－14＋sin2α－34＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)由|a|＝1，|b|＝1，且| 3a＋b|＝|a－ 3b|，
平方得( 3a＋b)2＝(a－ 3b)2，
(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量M→N的模为 8 2 .
解析：∵a∥b，∴2×(－2)－(－1)×x＝0，解得 x＝4，∴b＝(4，－2)， ∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)． ∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，即 6－3(－2－y)＝0，解得 y＝－4， ∴M→N＝(y－x，x－y)＝(－8,8)，∴|M→N|＝8 2.
解：(1)由题设知A→B＝(3,5)，A→C＝(－1,1)，则A→B＋A→C＝(2,6)，A→B－A→C＝(4,4)，所以|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2. 故两条对角线的长分别为 2 10、4 2. (2)由题设知O→C＝(－2，－1)， A→B－tO→C＝(3＋2t,5＋t)．由(A→B－tO→C)·O→C＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而 2a2－2b2＋4 3a·b＝0，

高一数学(人教A版)必修4能力提升：2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

→→
→→
AP OA BP OB
O(0,0)、P(x，y)是坐标平面内一点，满足 · ≤0， · ≥0，则
→→ OB AB
· 的最小值为________．
[答案] 3
→→ AP OA [解析] ∵ · ＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，
∴x≤1，∴－x≥－1， →→ BP OB
∵ · ＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，
b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)， ∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，
|a＋b|＝ 4＋12＋3－12＝ 25＋4＝ 29.
(2)由 a·b＝|a||b|cosθ，
a·b
1
2
∴cosθ＝|a||b|＝ 2 × 5＝10.
12．已知 a＝(1,0)，b＝(0,1)，当 k 为整数时，向量 m＝ka＋b
c＝ta＋(1－t)b，若 b·c＝0，则 t＝________.
[答案] 2
[解析] ∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
1
∴a·b＝2，|b|2＝1，
1
1
∵b·c＝ta·b＋(1－t)b＝2t＋(1－t)＝1－2t＝0，∴t＝2.
9．(2011～2012·金华十校)△ABO 三顶点坐标为 A(1,0)、B(0,2)、
能力提升
一、选择题
1．(2013 内蒙古包头一中)已知 a、b 均为单位向量，它们的夹
角为 60°，那么|a＋3b|＝( )
A. 7 C. 13
B. 10 D．4
[答案] C
1 [解析] 易知|a|＝1，|b|＝1，a·b＝2， ∴|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝13， ∴|a＋3b|＝ 13.

人教A版高中数学必修四课后训练{2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角}.docx

课后训练1．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量a ＝(2,4),3a ＋2b ＝(4,8)，则a ·b ＝( )A ．－10B ．10C ．－20D ．203．向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A B ．．104．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222||||||PA PB PC +＝( )A ．2B ．4C ．5D ．105．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3),2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．865-C ．1665D ．1665- 6．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝__________． 7．已知a ＝(1,0)，|b |＝1，c ＝(0，－1)满足3a ＋k b ＋7c ＝0，则实数k 的值为__________． 8．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则 (1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________． 9．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)． (1)若λa －2b 与a 垂直，求λ的值； (2)若a －2k b 与a ＋b 平行，求k 的值． 10．已知点A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)(其中0＜α＜π)，O 为坐标原点，若|OA u u u r ＋OC u u u r |，求OB uuu r 与OC u u u r 的夹角．参考答案1答案：D 解析：∵a ＋b 与a 共线，∴a ＋b ＝λa ，即(1＋2，k ＋2)＝λ(1，k )．由3,2,k k λλ=⎧⎨+=⎩解得3,1.k λ=⎧⎨=⎩故a ＝(1,1)，则a ·b ＝1×2＋1×2＝4．2答案：A 解析：由已知a 2＝|a |2＝20，∴a ·(3a ＋2b )＝3a 2＋2a ·b ＝60＋2a ·b ＝40，∴a ·b ＝－10．3答案：B 解析：由a ⊥c ，b ∥c 得240,24,x y -=⎧⎨=-解得2,2,x y =⎧⎨=-⎩∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |4答案：D 解析：由已知以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，不妨设点A 坐标为(4,0)，点B 坐标为(0,4)，则点D 的坐标为(2,2)，点P 坐标为(1,1)． ∴PA u u u r ＝(3，－1)，PB u u u r ＝(－1,3)，PC uuu r ＝(－1，－1)，∴222||||1010||2PA PB PC ++=＝10． 5答案：C 解析：由题可知，设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以可以解得x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，从而cos 〈a ，b 〉＝16||||65⋅=a b a b ．6答案：解析：∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝6，∴c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，∴|c |＝7答案：解析：k b ＝－3a －7c ＝－3(1,0)－7(0，－1)＝(－3,7)．∴|k b |＝|k |·|b |=．∵|b |＝1，∴k =．8答案：(1)⎝⎭ (2)5- 解析：(1)因为2a ＋b ＝(3,1)，所以与2a ＋b 同向的单位向量的坐标为，即1010⎛ ⎝⎭． (2)b －3a ＝(－2,1)，设向量b －3a 与向量a 的夹角为θ，则cos θ＝(3)|3|||-⋅==-b a a b a a ． 9答案：解：(1)∵a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，∴λa －2b ＝(λ，λ)－(4，－6)＝(λ－4，λ＋6)．∵(λa －2b )⊥a ，∴(λa －2b )·a ＝0，∴λ－4＋λ＋6＝0，∴λ＝－1．(2)∵a －2k b ＝(1,1)－(4k ，－6k )＝(1－4k,1＋6k )，a ＋b ＝(3，－2)，且(a －2k b )∥(a ＋b )，∴－2(1－4k )－3(1＋6k )＝0，∴12k =-． 10答案：解：由已知得OA u u u r ＋OC u u u r ＝(2＋cos α，sin α)．∵|OA u u u r ＋OC u u u r |∴(2＋cos α)2＋sin 2α＝7．即4＋4cos α＋cos 2α＋sin 2α＝7．∴cos α＝12，又α∈(0，π)，∴sin α＝2．∴OC u u u r ＝1,22⎛ ⎝⎭，又OB uuu r ＝(0,2)．∴cos ∠BOC ＝||||OB OC OB OC ⋅＝2， ∴∠BOC ＝π6．故OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为π6．。

高中数学必修四课时作业3：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、基础过关1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于() A ．2 3 B. 3C ．0D ．－ 3[答案] B[解析] ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ，又a ·b ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为() A ．－17 B.17C ．－16 D.16[答案] A[解析] 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.3．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3C ．4D ．12[答案] B[解析] a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于() A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73[答案] D[解析] 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②由①②解得x ＝－79，y ＝－73.5．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6C.π4D.3π4[答案] C[解析] 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a ＋b )·(a －b )＝9，|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∵0≤α≤π，∴α＝π4.6．设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是________．[答案] x <85且x ≠－52[解析] ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b|a ||b |<0，即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85.∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ，∴a 与b 反向，即θ＝π.故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－52.7．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525.(2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529.二、能力提升8．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于() A ．－4 B ．－3C ．－2D ．－1[答案] B[解析] 因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)．因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.9．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152C. －322 D ．－3152[答案] A[解析] AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52 ＝1552＝322. 10．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.[答案] 2[解析] 因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c |b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.11．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132. 故所求k 的值为－23或113或3±132. 12．设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 的夹角为45°，求实数m 的值．解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )，∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m .又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2， ∴cos 45°＝c ·d |c ||d |＝2－3m (1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35. 三、探究与拓展13．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0， ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。