天一大联考2021届高中毕业班理科数学阶段性测试试题(二)
河南省天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试二理科数学试题
∴ ，
∴ 与 所成角的余弦值为 .
故选：B
点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.
对于D选项，特称命题的否定，需要该存在量词为全称量词，并否定结论，正确.
故选D
3．C
【解析】
若 ，由 可得 ,故A错误；
若 ， ，则 ，但 ，故B错误；
由 可得： ,若 则 ，所以D错误；
故选：C
4．A
【解析】
.
故选：A
5图），平移直线 ，易知直线经过可行域上的点 ， 取得最大值为1.
故选：B
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
6．C
河南省天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试二理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．下列叙述正确的是（ ）
A．若 ，则
B．方程 表示的曲线是椭圆
8．B
【解析】
由 可得 ， .由 可得 ，整理可得 ，解得： 或 （舍去），
天一大联考2020-2021学年高三阶段性测试(二)数学试题(含答案解析)
试卷类型:断高两版天一大联考2020-2021学年高中毕业班阶段性测试（二）考生注炼；1 .茶黑前,考生务必将由己的姓名、得生号附将在试总和答题卡上，畀将考生号备沙马格贴在卷题卡上 妁指定拉工.2 .回答选株越时，选出毋小题答第后,用能比把茶题卡对应始口的冬拿标号涂黑•如£改动，用他戌擦 干号后,再选涂其他答案标号.叫等非选舞题时，将答案写在芥题卡上・将在本试落上无效・3 .才被结束后，将本试落和在会卡L 外交囱.一,余项洁播超:本题共8小第，每小22 s 分，共40分.在每小册给出的四个洁项中■只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 A 二卜12-»<8| ,B = {3]>51,财 4U& = A.（5,8）B.（2,8）C. [2f ♦«）D.（ -8,8）2・若发数中铝f 网周=3 .已知i 。
」是公差为-2的等差数列.且5 ,明，勾成等比数列J1，1 A. -1 B.3C.250.494 .已知△48C 是边长为2的等边三角形•其中M 为8c 边的中点，乙招C 的平分线交线段AM 于点M 则AM •前之 A.B. -5C 一 本D, -14 3 w5 .若函数式*） = cos x-^sin x #（ -a,a ）上有最大值,用。
的取值苞陶足A,信，fB.侍“） C 信用D.（普）6 .已知定义在R 上的儡函数/“）在（-,0）上单词递增，明 A./（2--） vf （l 崛6）（人岫 y ） BH2"*） </（1% </0叫6） C0吗6） <42"号）y ） D,/Q 隰6> /） <式2 +）7在三梭他/ -88中,AC =。
,点E 是4）的中点，则“平面雨口平面月CD”是“月6 = 6。
”的A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C,充要条件D.既不充分也不必要条件8 .已知定义在R 上的曲数/（"满足/"） =4 -/（2 -G,若函数Y 与函数了 =〃幻的图象的交点为 .（*（ ,夕J,（孙必），…■（&，九），则工（与*7*）= A. nB.争C.3nt>.6n二、多项选择题;本题共4小题,将小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分,9 .将函数y = 86 2名的图象上所有点向左平移上个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数y 二人动 的图绝容★启用前象，则⑷的图象的对称轴方程为刀二-泰+竽(A w Z)B J0)的图象的对称中心坐标为(竽+赤0)a W为C.汽乃的单调递增区间为［-碧+。
2024届天一大联考顶尖联盟高三阶段性测试(二)理数试题及答案
绝密★启用前试卷类型：老教材版2024届高中毕业班第二次考试理科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()1i 35i z -=+，则z 的共轭复数z =（ ）A ．44i +B ．44i -C ．14i -+D ．14i--2．已知集合{}{}21log 3,25A x x B x x x *=∈≤<=<≥N 或，则()A B =R ð（）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}2,3,4D ．{}2,3,4,53．已知向量()()()3,4,2,,2,1a b m c =-=-= ，若()a b c +⊥，则m =（ ）A ．2-B ．2C ．6-D ．64．设函数()21f x x =+，数列{}n a ，{}n b 满足()(),n n a f n f b n ==，则2a =（ ）A ．7bB ．9bC ．11bD ．13b 5．记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，分别以,,a b c 为边长的正三角形的面积依次为123,,S S S ，且123S S S --=，则A =（ ）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π6．通过验血诊断某疾病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为()01p p <<，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为()01q q <<，现对2名未患病者和1名患病者进行验血，每人的诊断结果互不影响，则诊断结果均为阴性的概率为（）A ．()21p q -B ．()21p q -C ．()21p q -D ．()21p q -7．斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（ ）A ．144B ．120C ．108D ．968．函数()21log xf x x -=的单调递增区间为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭c ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭9．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可以视为由圆锥SO 和圆柱1OO 组合而成，点,M N在圆锥SO 的底面圆周上，且SMN △MSN ∠=，圆锥SO 的侧面积为，圆柱1OO 的母线长为3，则该几何体的体积为（）A ．403πB ．443πC ．523πD ．563π10．已知函数()sin 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上除顶点外的一点，123PF PF =，且1260F PF ∠>︒，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎫⎪⎭ B ．⎫⎪⎪⎭C ．()1,2D ．)12．已知01a <<，若函数()ln e x f x a a x =-有两个不同的零点，则a 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆2221(3)9x y m m+=>的离心率为12，则m =______．14．已知,x y 满足约束条件30,35030,x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是______．15．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4AB AA ==，平面α与棱1111,,,AA BB CC DD 分别交于点,,,M E N F ，其中,E F 分别是11,BB DD 的中点，且1AC ME ⊥，则1A M =______．16．已知0,,,222x y πππ⎛⎫⎛⎫∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()()tan tan 4sin2x y x y x ++-=，则cos cos x y 的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的22⨯列联表：更关注保暖性能更关注款式设计合计女性16080240男性12040160合计280120400（Ⅰ）是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异？（Ⅱ）若从这400人中按男女比例用分层抽样的方法抽取5人进行采访，再从这5人中任选2人赠送羽线服，记X 为抽取的2人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望．附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()20P K k ≥0.100.050.0100k 2.7063.8416.63518．（12分）如图，矩形ABCF 与梯形FCDE 所在的平面垂直，,,1DE CF EF FC AF EF DE ⊥===∥，2,AB P =为（Ⅰ）求证：平面EPF ⊥平面DPC ；（Ⅱ）求二面角B CD P --的余弦值．19．（12分）在数列{}n a 中，已知()112242,4n n a a n n a -=-+≥=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}24n nn a ⋅-的前n 项和．20．（12分）已知()4,4M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的一点，F 为C 的焦点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求MOF △的面积；（Ⅱ）若,A B 为C 上的两个动点，直线MA 与MB 的斜率之积恒等于2-，作,MN AB N ⊥为垂足，证明：存在定点Q ，使得NQ 为定值．21．（12分）已知函数()e x f x x =．（Ⅰ）若存在唯一的负整数0x ，使得()()001f x m x <-，求m 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，当()1,x ∈-+∞时，()()213ln 8a x af x ++≥，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，已知直线2cos ,:sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴交于点P ，与y轴正半轴交于点Q ，且OPQ △．（Ⅱ）若l 与曲线22:1C x y -=交于,A B 两点，求11PA PB+的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()f x x a x b =++-．（Ⅰ）当2,3a b ==时，求不等式()6f x ≥的解集；（Ⅱ）设0,1a b >>，若()f x 的最小值为2，求111a b +-的最小值．理科数学（老教材版）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．答案 D命题意图 本题考查复数的基本概念和运算．解析 35i14i 1iz +==-+-，故14i z =--．2．答案 C命题意图 本题考查集合的运算．解析 因为{}{}[)*2R 1log 32,3,4,5,6,7,2,5A x x B =∈≤<==N ð，所以(){}R 2,3,4A B = ð．3．答案 B命题意图 本题考查平面向量的数量积．解析 ()1,4a b m +=- ，因为()a b c +⊥，所以240m +-=，得2m =．4．答案 C命题意图 本题考查数列的概念与性质．解析 由题意知()121,12n n a n b n =+=-，可知2115a b ==．5．答案 C命题意图 本题考恒三角形的面积公式和余弦定理．解析 由题意得222123,,S S S ===，则222123S S S --=--=，所以222a b c bc --=，故2221cos 22b c a A bc +-==-，又0A π<<，所以23A π=．6．答案 A命题意图 本题考查概率的计算．解析 未患病者的诊断结果为阴性的概率为1p -，患病者的诊断结果为阴性的概率为q ，所以对2名未患病者和1名患病者进行验血，诊断结果均为阴性的概率为()21p q -．7．答案 A命题意图 本题考查排列与组合的应用．解析 先排数字2，3，5，8，有44A 种排法，4个数字形成5个空当．第一类：若两个1相邻，则从可选择的3个空当中选出一个放入两个1，有3种排法；第二类：若两个1也不相邻，则从可选择的3个空当中选出两个分别放入数字1，有3种排法．所以密码个数为()4433144A ⨯+=．命题意图 本题考查函数的单调性．解析 由10x x ->，得01x <<，所以()f x 的定义域为()0,1．设()2211log log 1x g x x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，易得()g x 在()0,1上单调递减．当11x x ->，即102x <<时，()0g x >，此时()()f x g x =单调递减，当101x x -<<，即112x <<时，()0g x <，此时()()f x g x =-单调递增，所以()f x 的单调递增区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．9．答案 B命题意图 本题考查圆柱与圆锥的结构特征．解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则SMN △的面积为11sin 22SM SN MSN l l ⨯∠=⨯=解得l =因为圆锥SO的侧面积为rl r π==，所以2,2r SO ===．故该几何体的体积为144434233V V V πππ=+=⨯+⨯⨯=圆柱圆锥．10．答案 D命题意图 本题考查三角函数的图象与性质．解析 令()0f x =，得sin 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=±- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又222333x x πππ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以只能是()2233x x k k πππ⎛⎫⎛⎫++-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，得()4k x k π=∈Z ，在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，有,0,44ππ-共3个零点．11．答案 A命题意图 本题考查双曲线的性质．解析设2112(0),3,PF m m PF m F PF θ=>=∠=，显然60180θ︒<<︒，则12F F ===所以C 的离心率121222F F c c e a a PF PF ====-由于60180θ︒<<︒，所以1cos 1,2θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，的取值范围是⎫⎪⎭．命题意图 本题考查函数的零点、导数的几何意义．解析 ()f x 有两个不同的零点，等价于曲线ln xy a a =与e y x =有两个不同的交点，当0x >时，ln 0,e 0x a a x <>，二者不可能有交点，只需考虑0x <时的情况．设()ln x g x a a =，若1ea =，则()1e xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知曲线1e xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与直线e y x =在点()1,e --处相切；若10e a <<，当0x <时，1,ln 1e xxa a ⎛⎫><- ⎪⎝⎭，所以1ln e xx x a a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以曲线()y g x =与直线e y x =没有交点；若11e a <<，则1e,ln 1a a <>-，所以()ln 11e a g a a-=>->-，曲线()y g x =与直线e y x =有两个交点．综上可得，满足条件的a 的取值范围是1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案 命题意图 本题考查椭圆的性质．解析 因为3m >12=，解得m =．14．答案 3-命题意图 本题考查简单的线性规划问题．解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，直线20x y z +-=过点()3,0-时z 取得最小值，且min 303z =-+=-．15．答案 3命题意图 本题考查空间位置关系的判断以及相关计算．解析 因为平面α经过棱11,BB DD 的中点，所以四边形MENF 为菱形，且易证1AC EF ⊥．又因为1AC ME ⊥，所以1AC ⊥平面MENF ，所以1AC MN ⊥，且MN 经过1AC 的中点．在矩形11A ACC 中利用三角形相似可计算得13A M =．16．答案12命题意图 本题考查三角恒等变换的应用．解析 由题意知()()()()()()()()()()sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y +-+-+-++=+-+-()()sin 24sin 2cos cos xx x y x y ==+-，由题意知sin20x ≠，因此()()1cos cos 4x y x y +-=．所以()()11cos cos cos cos 22x y x y x y =++-≥=⎡⎤⎣⎦，当且仅当()()1cos cos 2x y x y +=-=，即,03x y π==时等号成立．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．命题意图 本题考查独立性检验和超几何分布的相关计算．解析 （Ⅰ）因为22003.17563K ==≈，因为3.175 3.841<，所以没有95%的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异．（Ⅱ）选出的男性人数为16052400⨯=，选出的女性人数为24053400⨯=，由题意可得X 的所有可能取值为0，1，2，()()()21122233222555C 1C C 3C 30,1,2C 10C 5C 10P X P X P X =========，故X 的分布列为X 012P11035310所以X 的数学期望()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=．18．命题意图 本题考查面面垂直的证明以及二面角的计算．解析 （Ⅰ）因为EF FC ⊥，平面EFCD ⊥平面ABCF ，所以EF ⊥平面ABCF ，又因为PC ⊂平面ABCF ，所以EF PC ⊥．在矩形ABCF 中，1,2,AF AB P ==为AB 的中点，所以2FP CP FC ===，根据勾股定理可得FP PC ⊥．因为EF FP F = ，所以PC ⊥平面EPF ，所以平面EPF ⊥平面DPC ．（Ⅱ）以F 为坐标原点，,,FA FC FE 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,1,1,0,2,0,1,2,0,1,1,0D C B P ．所以()()()0,1,1,1,0,1,1,1,1DC DP DB =-=-=-．设平面DPC 的法向量为(),,n x y z = ，由0,0,n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,0,y z x z -=⎧⎨-=⎩令1y =，则()1,1,1n =．同理可得平面BCD 的一个法向量为()0,1,1m =．设二面角B CD P --的平面角为θ，故cos m n m nθ⋅=== ，即二面角B CD P --．19．命题意图 本题考查递推关系与等比数列的性质，以及错位相减法的应用．解析 （Ⅰ）因为()12242n n a a n n -=-+≥，所以()()122212n n a n a n n --=--≥⎡⎤⎣⎦．所以{}2n a n -是首项为2，公比为2的等比数列．所以22nn a n -=，即22nn a n =+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知1242nnn n a n +⋅-=⋅．设前n 项和为n T ，则23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，345221222322n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，两式相减可得()223412221222222212n n n n n T n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯-()222242124n n n n n +++=--⨯=--，所以()2124n n T n +=-+．20．命题意图 本题考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系．解析 （Ⅰ）由题可得168p =，解得2p =，所以()110,1,14222MOF M F S OF y ==⨯⨯=△．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知C 的方程为24y x =．由题意可知直线AB 不与x 轴平行，设直线AB 的方程为221212,,,,44y y x my b A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则124y y ≠±．联立方程得2,4,x my b y x =+⎧⎨=⎩整理可得2440y my b --=，则2Δ16160m b =+>，且124y y m +=①，124y y b =-②．121144444MA y k y y -==+-，同理可得244MB k y =+．由题意得1244244MA MB k k y y ⨯=⨯=-++，即()12124240y y y y +++=，将①②代入可得164240m b -+=，即46b m =+．故直线AB 的方程可化为46x my m =++，即()64x m y -=+，直线AB 过定点()6,4D -．因为MN AB ⊥于点N ，所以点N 在以MD 为直径的圆上，故存在MD 的中点Q ，即()5,0Q ，使得2MD NQ ==，为定值．21．命题意图 本题考查利用导数研究函数性质．解析 （Ⅰ）()()1e x f x x +'=，可得()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．令()()1h x m x =-，作出()f x 与()h x 的大致图象如图所示，因为存在唯一的负整数0x ，使得()()00f x h x <，则01x =-，故()()()()11,22,f h f h ⎧-<-⎪⎨-≥-⎪⎩即2213e2e m ≤<，故m 的取值范围为221,3e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．（Ⅱ）根据题意，()()213ln 8a x af x ++≥对()1,x ∈-+∞恒成立，等价于()e ln 12ln 3ln23x ax x a -+≥--对()1,x ∈-+∞恒成立．令()()e ln 1,1x F x ax x x =-+>-，则有()()1e e 1x x F x a x x =+-+'，令()()()1e e ,11x x G x F x a x x x =-+'=+>-，则()()212e 0(1)x G x a x x =++>+'，所以()F x '在()1,-+∞上单调递增，又1x →-时，(),F x x →-∞'→+∞时，()F x '→+∞，从而存在唯一的()01,x ∈-+∞，使得()00F x '=，即()00001e e 01x x a x x +-=+，可得()()000201,ln 2ln 11e x a a x x x ==-+-+，当()01,x x ∈-时，()()0,F x F x '<在()01,x -上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,F x F x '>在()0,x +∞上单调递增，故()()()0000e ln 1x F x F x ax x ≥=-+，故原不等式恒成立只需()()()00000020e ln 122ln 13ln231e x x x x x x x ⋅-+≥-+---⎡⎤⎣⎦+，即()()000203ln 123ln2301x x x x +++++≥+．构造函数()()23ln 123ln23,1(1)x H x x x x x =+++++>-+，可得()2331335422(1)1(1)x x x H x x x x -++=++=+'+++，当1x >-时，令()2354u x x x =++，因为Δ2548230=-=-<，从而可得()0H x '>在()1,x ∈-+∞时恒成立，又102H ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()0H x ≥的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．又因为()00ln 2ln 1a x x =-+-，令()()2ln 1v x x x =-+-，易得()v x 在定义域内单调递减，所以111ln 2ln 1ln4222a ⎛⎫≤--++=+ ⎪⎝⎭，所以1ln42e a +≤=故a的取值范围为(．22．命题意图 本题考查方程的互化、直线的参数方程的应用．解析 （Ⅰ）由l 的参数方程可知()2,0P -，由题意知11222OPQ S OP OQ OQ ==⨯=△，所以OQ =，即Q ⎛ ⎝，所以l=，所以6πα=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2,:12x l y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入221x y -=，得到260t -+=．设,A B 对应的参数分别为12,t t，则121260t t t t +==>，故121211t t PA PB t t ++==23．命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及性质．解析 （Ⅰ）将2,3a b ==代入()6f x ≥，得236x x ++-≥，等价于2,126,x x ≤-⎧⎨-≥⎩或23,56,x -<<⎧⎨≥⎩或3,216,x x ≥⎧⎨-≥⎩得52x ≤-或无解或72x ≥．所以不等式()6f x ≥的解集为57,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ．（Ⅱ）()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+，因为()f x 的最小值为2，且0,1a b >>，所以2a b +=．()1111111a b a b a b ⎛⎫+=++- ⎪--⎝⎭12241b a a b -=++≥+=-，当且仅当11b a a b -=-，即1a b =-，也即13,22a b ==时取等号，所以111a b +-的最小值为4．。
河南省天一大联考2020-2021学年高二上学期阶段性测试(二)数学(理)试题
【分析】
根据含量词的命题的否定，即可求出答案.
【详解】
命题“ ， ”的否定为：
， ，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了含量词命题的否定，属于容易题.
4．B
【分析】
根据指数函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可．
【详解】
是增函数，需满足 ，
“函数 是增函数”是“ ”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
化简集合A，求A，B交集即可.
【详解】
， ，
所以 .
故选：A
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法以及集合的运算,属于容易题.
2．C
【分析】
根据不等式的性质，结合条件分析，即可求出答案.
【详解】
由不等式性质知，当 时，
有 ， ， ， 成立，
故选：C.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质及对数函数、指数函数的单调性，属于容易题.
A．1B． C．2D．
7．在 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 且 ，则 （）
A． B． C． D．
8．已知抛物线 的焦点为F，准线为l，点 在抛物线C上， 与直线l相切于点E，且 ，则 的半径为（）
A． B． C．2D．
9．设椭圆 与双曲线 有公共焦点，过它们的右焦点F作x轴的垂线与曲线 ， 在第一象限分别交于点M，N，若 （O为坐标原点），则 与 的离心率之比为（）
A． B． C． D．
10．如图，在三棱锥 中， 平面ABC， ， ， .以点B为原点，分别以 ， ， 的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和PBC的法向量分别为 和 ，则下面选项中正确的是（）
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(二)理科数学试题
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（二）理科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.1.已知全集{}1,3,5,7U =，集合{}1,3A =，{}3,5B =,则U()A B ⋃=( )A. {}3B. {}7C. {}3,7D. {}1,3,5【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A 与B 的并集，再根据补集的定义即可求出． 【详解】∵全集U ＝{1，3，5，7}，集合A ＝{1，3}，B ＝{5，3}， ∴A∪B＝{1,3,5}， ∴U()A B ⋃={7}，故选B ．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2.复数(12)1i i i++的虚部为（ ）A. 12-B.32C. 12i -D. 32-【答案】B 【解析】 【分析】复数的分式展开化简,然后利用复数的分子分母都乘分母的共轭复数化简为a bi +的形式即可得出结果.【详解】()()(12)-2(-2)(1-)1313==1111222i i i i i i i i i i i +-+==-++++-,所以虚部为32. 故选:B.【点睛】本题考查复数的乘除运算在化简复数中的应用,考查复数的虚部的概念,考查学生对概念的理解,难度容易.3.已知3log a e =，ln3b =，21()3c -=则（ ） A. a b c << B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】借助指数和对数的性质即可判断,,a b c 与0和1直接的大小关系,即可得出结果. 【详解】33log log 31a e =<=,ln3ln 1b e =>=且2ln3ln 2b e =<=,2-1221()(3)3==3=9c --=a b c ∴<<.故选:A.【点睛】本题考查对数值和指数值大小比较,是基础题,解题时要注意认真审题,注意对数函数和指数函数性质的灵活运用.4.在国家各类与消费有关的统计数据中社会消费品零售总额是表现国内消费需求最直接的数据，社会消费品零售总额是国民经济各行业直接售给城乡居民和社会集团的消费品总额，是反映各行业通过多种商品流通渠道向城乡居民和社会集团供应的生活消费品总量，是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标.如图所示为我国2010-2019年社会消费品零售总额和同比增长率的统计图.根据统计图分析，下列说法错误的是（ ）A. 从2010年到2019年社会消费品零售总额逐年上升B. 从2015年到2019年社会消费品零售总额平均超过30万亿元C. 从2010年到2013年社会消费品零售总额同比增长率波动性较大D. 从2010年到2019年社会消费品零售总额同比增长率连年下降 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计图表中数据依次判断各个选项即可得到结果.【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确,对于D, 从2010年到2019年社会消费品零售总额同比增长率,先上升后下降,所以错误. 故选:D.【点睛】本题考查了统计图的应用,从图表中准确获取信息是关键,属于简单题.5.函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A. B.C. D.【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6.衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，则该数列第16项为（ ） A. 152 B. 134 C. 128 D. 102【答案】C 【解析】 【分析】根据数据找出规律,依次写出来即可.【详解】前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,偶数项分别为2,8,18,32,50,…,可得偶数项的通项公式: 222n a n =.所以该数列第16项为21628=128a =⨯.故选:C.【点睛】本题考查了数列递推关系、通项公式、归纳法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 7.二项式251(1)()x x x+-的展开式中含x 的项的系数是（ ） A. 6- B. 10- C. 10 D.–14【答案】B 【解析】 【分析】由于225552111(1)()()()x x x x x xxx+---=+,及251()x x-展开式的通项可知,只需满足则103=1r -,即可计算出结果.【详解】二项式251()x x-展开式的通项为()521031551(1)rrrr r rr T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()r N ∈, 225552111(1)()()()x x x x x x x x+---=+,r N ∈,∴1030r -≠,只需103=1r -即可.∴二项式251(1)()x x x+-的展开式中含x 的项的系数533()101C -=-.故选:B.【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式及指定项的系数的性质,熟练掌握公式是解题的关键,属于基础题.8.德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式计算π的近似值（其中P 表示π的近似值）”.若输入8n =，输出的结果P 可以表示为（ ）A. 11114(1)35711P =-+-+-B. 11114(1)35713P =-+-++C. 11114(1)35715P =-+-+-D. 11114(1)35717P =-+-++【答案】C 【解析】 【分析】根据已知程序框图依次代入计算,即可得出输出结果. 【详解】第1次循环:1,2S i ==;第2次循环:11,33S i =-=； 第3次循环: 111,435S i =-+=;…第8次循环: 1111135715S =-+-+⋯-,9i = 此时满足判定条件,输出结果111144135715P S ⎛⎫==-+-+⋯- ⎪⎝⎭. 故选:C【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,得到程序框图的计算功能是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题9.已知椭圆2222:1(0)x y W a b b a +=>>的离心率为3，两点()0,0A 、()2,0B .若椭圆W 上存在点C ，使得ABC 为正三角形，则椭圆W 方程为（ ）A. 22113y x +=B. 22311010x y +=C. 22126x y +=D. 22123x y +=【答案】C 【解析】 【分析】根据已知ABC 为正三角形求出点C 坐标代入椭圆方程,根据性质即可求出226,=2a b =,得出结果.【详解】由点()0,0A 、()2,0B 且ABC 为正三角形解得(1,C ,因为点C 在椭圆上,代入可得:22131b a +=，因为c e a ==,222a b c =+,所以223a b ,代入22131b a+=，即可解得226=2a b =，,故椭圆方程为22126x y +=. 故选:C.【点睛】本题考查椭圆性质,考查已知离心率求椭圆标准方程,难度一般.10.对任意闭区间Ⅰ，用I M 表示函数cos y x =在I 上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M =，则a 的值为（ ） A.56π或1312π B.3πC.76π D.3π或56π 【答案】D 【解析】 【分析】分a 在不同的区间进行讨论,得出符合条件的a 的值即可. 【详解】由题意得: [][]0,,22a a a M M =当[0,][,2]0,,2[0,],1,cos 2a a a a a M M a ππ⎡⎤∈∈==⎢⎥⎣⎦,可得1=2cos a ,3a π=; 当[0,][,2],,2[,2],1,cos 2, 2a a a a a M M a ππππ⎡⎤∈∈==⎢⎥⎣⎦可得 12cos2a =,523a π=,56a π= 当[0,][,2]3,,2[2,3],1, 1 2a a a a a M M ππππ⎡⎤∈∈==⎢⎥⎣⎦,不满足[][]0,,22a a a M M =;当[0,][,2]3,,1,1, 2a a a a M M π⎡⎤∈+∞==⎢⎥⎣⎦不满足[][]0,,22a a a M M =. 所以a 的值为3π或56π. 故选:D .【点睛】本题主要考查余弦函数的性质,分类讨论是解题的关键,难度较难.11.在ABC 中，已知4AB AC ⋅=，3BC =，M 、N 分别是BC 边上的三等分点，则AM AN ⋅的值是()A .5B.214C. 6D. 8【答案】C 【解析】 【分析】取BC 边的中点O ，由向量加法的三角形法则，把数量积转化为22||4AO OB -=，再由条件求得OB ，则AO 可求，把AM •AN 转化为|AO |2﹣|OM |2，再由已知求得12OM =，则答案可求． 【详解】如图，设BC 的中点为O ，由4AB AC ⋅=，得()()()()22||4AO OB AO OC AO OB AO OB AO OB +⋅+=+⋅-=-=， ∵3BC =，∴29||4OB =，由此可得：225||4AO =， 而()()()()AM AN AO OM AO ON AO OM AO OM ⋅=+⋅+=+⋅-=|AO |2﹣|OM |2，由已知12OM =， ∴|AO |2﹣|OM |2251644=-=， ∴AM AN ⋅=6． 故选C ．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题．12.在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2AD =，11AA =，M 为线段AD （不含端点）上的动点，过B 、M 、1D 的平面截长方体1111ABCD A B C D -所得截面记为Ω，设Ω在该长方体的六个面上的正投影的面积之和为S ，则S 可能的值为（ ） A. 9 B. 10C. 12D. 18【答案】C 【解析】 【分析】由截面性质可知截面Ω即为平行四边形平面1MBND ,设()0,2AM x x =∈，,依次求出在六个面的投影,即可得出结果.【详解】由面面平行的性质可知,过B 、M 、1D 的平面截长方体1111ABCD A B C D -所得截面即为平面1MBND ,则1//BN MD ,1//BM ND ,设AM x =，()0,2x ∈ 平面1MBND 在面1DC 的正投影面积为31=3⨯,同理在面1AB 的正投影面积为31=3⨯, 平面1MBND 在面AC 的正投影面积为()32x ⨯-,同理在面11A C 的正投影面积为()32x ⨯-, 平面1MBND 在面1BC 的正投影面积为1=x x ⨯,同理在面1AD 的正投影面积为x ,()3362-=18-4S x x x x =++++02x <<()=18-410,18S x ∴∈.故选:C.【点睛】本题考查面面平行的性质,考查正投影定义,考查面积公式,难度一般.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若112a =，246a a =，则4S =________. 【答案】152【解析】 【分析】设公比为q ,由246a a =,化简可得24a q =.又341a a q =⋅.可解得q ,代入求和公式即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,由246a a =,得222444,a a q a q =∴=.又332411,a a q a q q =⋅∴⋅=.且112a =. 2q ∴=.由等比数列求和公式可知()44112152122S ⨯-==-.故答案为: 152. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算,考查学生的运算求解能力,属于基础题. 14.曲线()ln 2f x x x =-在点()()00,x f x 处的切线经过原点，则0x =__________. 【答案】e 【解析】 【分析】 求导得1()2f x x'=-,则斜率为()0012k f x x '==-,写出切线方程,切线经过原点()0,0代入化简即可得出结果.【详解】1()2f x x'=-,所以切线斜率为()0012k f x x '==-,所以切线方程为()()00001ln 22y x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=--,切线经过原点()0,0代入切线方程得()()000010ln 202x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=--, 即0ln 1x =,解得0e x =.故答案为:e .【点睛】本题主要考查导数的运算及其几何意义,意在考查考生的运算求解能力.15.投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为12，复审的稿件能通过评审的概率为14，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为__________. 【答案】38【解析】 【分析】1篇稿件被录用分为两种情况:（1）稿件通过了两位初审专家；（2）稿件通过了一位初审专家，也通过了复审专家.分别对求解两种情况的概率，再对两种情况的概率求和即可。
2021届全国天一大联考新高考模拟考试数学(理科)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟考试理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|1},{|0}A x x B x x ≤==<，则()RA B ⋃=（ ）A. {|1}x x ≥B. {|1}x x >C. {|1x x <-或01}x ≤< D . {|1x x ≤-或01}x <≤【答案】B 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再求A 与B 的并集，然后再求补集即可. 【详解】因为2{|1}={|11}A x x x x =-≤≤，{|0}B x x =<，所以={|1}A B x x ≤，所以(){|1}RA B x x =>.故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.在等比数列{}n a 中，363,6a a ==，则9a =（ ） A.19B.112C. 9D. 12【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质计算可得；【详解】解：因为等比数列的性质，369,,a a a 成等比数列，即9623a a a =⋅，所以392636312a a a =÷=÷=.故选：D【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题. 3.设复数() ,z x yi x R y =+∈，下列说法正确的是（ ） A. z 的虚部是yi ; B. 22||z z =；C. 若0x =，则复数z 为纯虚数;D. 若z 满足|1|z i -=，则z 在复平面内对应点(),x y 的轨迹是圆. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的相关概念一一判断即可；【详解】解：z 的实部为x ，虚部为y 所以故A 错；2222i z x y xy =++，222||z x y =+，所以B 错；当00x y ==，时，z 为实数，所以C 错；由|1|z i -=得||1x yi i +-=，|(1)|1x y i ∴+-=，22(1)1x y ∴+-=，所以D 对. 故选：D【点睛】本题考查复数的相关概念的理解，属于基础题.4.树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（ ） A. 8种 B. 9种C. 12种D. 14种【答案】D【解析】 【分析】采用采用间接法，任意选有4615C =种，都是男生有1种，进而可得结果. 【详解】任意选有4615C =种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.故选：D.【点睛】本题考查分类计数原理，考查间接法求选法数，属于基础题目. 5.若sin 831πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 29-B.29C. 79-D.79【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式可化简求得结果.【详解】227sin 2sin 2cos 212sin 14424899πππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=-++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C .【点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角公式求值的问题，考查基础公式的应用.6.田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛.在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的概率是（ ） A. 0.832 B. 0.920C. 0.960D. 0.992【答案】D 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式求出三次试跳都没成功的概率，由对立事件的概率公式可得其获得冠军的概率；【详解】解：三次试跳都没成功的概率为30.2=0.008，所以他获得冠军的概率是10.0080.992-=. 故选：D【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题.7.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，()ln ln 2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. a c b <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性比较a 、b 、c 与0和1的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】555log 1log 2log 5<<，则01a <<，0.50.5log 0.2log 0.51b =>=，ln1ln 2ln e <<，即0ln 21<<，()ln ln 2ln10c ∴=<=.因此，c a b <<. 故选：D.【点睛】本题考查对数式的大小比较，一般利用对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.8.已知直线a 和平面α、β有如下关系：①αβ⊥；②//αβ；③a β⊥；④//a α.则下列命题为真的是（ ）A. ①③⇒④B. ①④⇒③C. ③④⇒①D. ②③⇒④【答案】C 【解析】 【分析】利用面面垂直的性质可判断A 选项的正误；由空间中线面位置关系可判断B 选项的正误；利用线面垂直的判定定理和线面平行的性质定理可判断C 选项的正误；利用面面平行的性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由①③可知，//a α或a α⊂，A 错； 对于B 选项，由①④可知，a 与β的位置关系不确定，B 错； 对于C 选项，过直线a 作平面γ，使得b γα⋂=，//a α，则//a b ，a β⊥，b β∴⊥，b α⊂，αβ∴⊥，C 对；对于D 选项，由②③可知，a α⊥，D 错. 故选：C.【点睛】本题考查空间中有关线面位置关系命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.9.如图，为测量某公园内湖岸边,A B 两处的距离，一无人机在空中P 点处测得,A B 的俯角分别为,αβ，此时无人机的高度为h ，则AB 的距离为（ ）A. ()222cos 11sin si s n s n in i hβααβαβ-+- B. ()222cos 11sin si s n s n in i hβααβαβ-++C. ()222cos 11cos co c s c s os o h βααβαβ-+- D. ()222cos 11cos co c s c s os o hβααβαβ-++【答案】A 【解析】 【分析】设点P 在AB 上的投影为O ，在Rt △POB 中，可得sin hPB β=，再结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得AB ，得到答案.【详解】如图所示，设点P 在AB 上的投影为O ，在Rt △POB 中，可得sin hPB β=， 由正弦定理得sin()sin AB PBαβα=-，所以sin()sin()=sin sin sin PB h AB αβαβαβα⋅-⋅-=222222sin ()(sin cos cos sin )sin sin sin sin h h αβαβαββαβα--= 222222sin cos cos sin 2sin cos cos sin =sin sin h αβαβαβαββα+- 2222cos cos 2cos cos =sin sin sin sin h αββααβαβ+-22221sin 1sin 2cos cos =sin sin sin sin h αββααβαβ--+-22112cos cos 2sin sin sin sin h βααβαβ=+--22112sin sin 2cos cos sin sin sin sin h αβαβαβαβ+=+- 22112cos()sin sin sin sin h αβαβαβ-=+-故选：A.【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中结合图象把实际问题转化为数学问题，合理利用正弦定理求解是解答的关键，注重考查了推理与运算能力.10.过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A B 、两点，若3AF BF =，O 为坐标原点，则AFOF=（ ） A.43B.34C. 4D.54【答案】A 【解析】 【分析】画出图像,分别作,A B 关于准线的垂线,再根据平面几何的性质与抛物线的定义求解即可.【详解】如图,作分别作,A B 关于准线的垂线,垂足分别为,D E ,直线AB 交准线于C .过A 作BE 的垂线交BE 于G ,准线与y 轴交于H .则根据抛物线的定义有,AF AD BF BE ==.设AF AD t ==,3BF BE t ==,故2BG t =,4AB t =,故1cos 2BG ABG AB ∠==. 故26BC BE t ==,故FH 是CBE △边BE 的中位线,故113244OF FH BE t ===.故4334AFt t OF==.故选：A【点睛】本题主要考查了利用平面几何中的比例关系与抛物线的定义求解线段比例的问题,需要根据题意作出对应的辅助线,利用边角关系求解,属于中档题.11.函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中的圆C 与()f x 的图象交于M 、N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）①函数()f x 的图象关于点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称;②函数()f x 11,26--⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增; ③圆C 的面积为3136π. A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B 【解析】 分析】先求出函数()y f x =的解析式，验证403f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可判断①的正误；利用正弦函数的单调性可判断②的正误；求出圆C 的半径，利用圆的面积可判断③的正误.【详解】由圆对称性，正弦函数的对称性得1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭为函数()y f x =的一个对称中心，所以周期112136T ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，22T πωπ∴==，又函数()y f x =的图象过点1,06⎛⎫-⎪⎝⎭，则1sin 063f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数()y f x =在16x =-附近单调递增，所以，()23k k Z πϕπ-=∈，可取3πϕ=.所以，()i 2s n 3x f x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 084s =33in 3f ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，所以①对； 当1126x -<<-时，22033x πππ-<+<，所以，函数()y f x =在区间11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，所以②错；当0x =时，得点M 的坐标为⎛ ⎝⎭，所以圆的半径为MC ==，则圆的面积为3136π，所以③对. 故选：B.【点睛】本题考查利用正弦函数的基本性质求解析式，同时也考查了正弦型函数的对称性和单调性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 12.函数()()2R mxmx f x ee x mx m -=++∈-的图象在点()()()()1111,,,A xf x B x f x --处两条切线的交点0(P x ，0)y 一定满足（ ） A. 00x = B. 0x m = C. 00y = D. 0y m =【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()()2R mxmx f x ee x mx m -=++∈-，求导，然后利用导数的几何意义，分别写出在点()()()()1111,,,A x f x B x f x --处的切线方程，再联立求解即可.【详解】因为函数()()2R mxmx f x ee x mx m -=++∈-，所以()2mx mxf x me mex m -'=-+-， 所以()11112-'=-+-mx mx f x me me x m ()11112-'-=---mx mx f x me me x m所以()()112111R -=++∈-mx mx f x ee x mx m ，()()112111+R --=++∈mx mxf x e e x mx m又因为在点()()()()1111,,,A x f x B x f x --处的切线方程分别为：()()()()()()111111,y f x f x x x y f x f x x x ''-=---=-+，联立消去y 得：()()1111211112+---+--++-mx mx mx mx me me x m x x e e x mx ，()()111121111+2--=--++-++mx mx mx mx me me x m x x e e x mx .解得0x =. 故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及直线的交点，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为______． 【答案】y x =± 【解析】 【分析】根据离心率公式和双曲线的,,a b c 的关系进行求解【详解】由题知：2222⎧==⎪⇒=⎨⎪=+⎩c e a b ac a b，双曲线的渐近线方程为y x =± 故答案为y x =±【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质 14.执行如图所示的程序框图，若输入[]1,3t ∈-，则输出s 的取值范围是____________.【答案】[0,1] 【解析】 【分析】分别在[)1,1t ∈-和[]1,3t ∈两种情况下，根据指数函数和对数函数的单调性求得值域，取并集得到所求的取值范围.【详解】当[)1,1t ∈-时，1t s e -=，1t s e -=在[)1,1-上单调递增，)2,1s e -⎡∴∈⎣；当[]1,3t ∈时，3log s t =，3log s t =在[]1,3上单调递增，[]0,1s ∴∈；综上所述：输出的[]0,1s ∈. 故答案为：[]0,1.【点睛】本题以程序框图为载体考查了指数函数和对数函数值域的求解问题，关键是能够通过分类讨论得到函数的单调性，进而确定所求值域.15.已知向量()0,1,||7,1,AB AC AB BC ==⋅=则ABC ∆面积为____________.【答案】2【解析】 【分析】根据()0,1=AB ，1AB BC ⋅=，可得||cos 1-=BC B ，再由||7=AC ，利用余弦定理可解得||BC ，cos B ，进而得到sin B ，然后代入1sin 2=ABCS BA BC B 求解. 【详解】因为()0,1=AB ， 所以||1=AB ，又因为||||cos()1π⋅=⋅-=AB BC AB BC B ， 所以||cos 1-=BC B ，由余弦定理得222||||||2||||cos =+-⋅⋅AC AB BC AB BC B ， 所以||2BC =， 则1cos 2B =-， 因为 0180<<︒B ，所以120B =︒，sin B =，所以面积为1133sin 122222==⨯⨯⨯=ABCSBA BC B . 故答案为：32【点睛】本题主要考查平面向量与解三角形，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是棱1,BC CC 的中点，则二面角C AM N --的余弦值为_________；若动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动，且1PA //平面AMN ，则线段1PA 的长度范围是_________.【答案】 (1). 23 (2). 32[,5] 【解析】 【分析】延长AM 交DC 于点Q ，过C 作AM 垂线CG ，垂足为G ，连接NG ，则∠NGC 为二面角C AM N --的平面角，计算可得结果；取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连结1A E ，1A F ，EF ，取EF 中点O ，连结1A O ，推导出平面//AMN 平面1A EF ，从而点P 的轨迹是线段EF ，由此能求出1PA 的长度范围． 【详解】延长AM 交DC 于点Q ，过C 作AM 垂线CG ，垂足为G ，连接NG ，则∠NGC 为二面角C AM N --的平面角， 计算得25CG =，22535()155NG =+=，所以25352cos 553NGC ∠=÷= 取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连接1A E ，1A F ，EF ，取EF 中点O ，连接1A O ，点M ，N 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点， 1//AM A E ∴，//MN EF ， AMM N M =，1A EEF E =，∴平面//AMN 平面1A EF ，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ，2211215A E A F ==+22112=+=EF ，1AO EF ∴⊥， ∴当P 与O 重合时，1PA 的长度取最小值221232(5)()2A O =-=，当P 与E （或)F 重合时，1PA 的长度取最大值为115A E A F ==． 1PA ∴的长度范围为325]． 故答案为：23；325] 【点睛】本题考查二面角余弦值的求法和线段长度的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17.已知数列{}n a 是等比数列，且公比q 不等于1，数列{}n b 满足2n bn a =.（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）若12a =，32432a a a =+，求数列211log n n b a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）1n nS n =+ 【解析】 【分析】（1）根据对数运算法则和等比数列定义可证得12log n n b b q +=-，由此证得结论； （2）利用等比数列通项公式可构造方程求得q ，进而整理得到211log n n b a +，采用裂项相消法可求得结果.【详解】（1）已知数列{}n b 满足2n b n a =，则2log n n b a =，1121222log log log log n n n n n na b b a a q a +++∴-=-==， ∴数列{}n b 为等差数列.（2）由12a =，32432a a a =+可得：23642q q q =+，解得：2q或1q =（舍），2n n a ∴=，则2log n n b a n ==，()211111log 11n n b a n n n n +==-++∴，11111111223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等差数列的证明、裂项相消法求解数列的前n 项和问题，涉及到等比数列通项公式的应用；求和问题的处理关键是能够根据通项公式的形式进行准确裂项，进而前后相消求得结果.18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//,90B AB C AD D ︒∠=，点E 为PB 的中点，且224CD AD AB ===，点F 在CD 上，且13DF FC =.（1）求证：EF //平面PAD ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =且PA PD ⊥，求直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）277【解析】 【分析】（1）如图所示，取PA 的中点M ，连结DM 、EM ，所以根据线面平行的判定定理即可证明；（2）取AD 中点N ，BC 中点H ，连结PN 、NH ，以N 为原点，NA 方向为x 轴，NH 方向为y 轴，NP 方向为z 轴，建立空间坐标系，找到平面PBF 的一个法向量n ，求出直线PA 向量n 所成夹角的余弦值，即可求直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值.【详解】（1）如图所示，取PA 的中点M ，连结DM 、EM ，因为点E 为PB 的中点，且224CD AD AB ===，所以//EM AB 且112EM AB ==， 因为13DF FC =，所以411==DF DC ，所以1==EM DF ， 又因为//AB DC ，所以//EM DF ，所以四边形EMDF 为平行四边形，所以//EF DM ，又DM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ；（2）取AD 中点N ，BC 中点H ，连结PN 、NH ， 因为PA PD =，所以PNAD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PN平面ABCD ，又//,90B AB C AD D ︒∠=，所以AD NH ⊥，以N 为原点，NA 方向为x 轴，NH 方向为y 轴，NP 方向为z 轴，建立空间坐标系， 所以()0,0,1P ，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,1,0F -，在平面PBF 中()1,2,1=--BP ，()2,1,0=--BF ，()=1,0,1PA -,设在平面PBF 的法向量为(),,n x y z =，所以00BP n BF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，2020x y z x y --+=⎧⎨--=⎩，令1x =，则法向量()1,2,3n =--，又()1,0,1PA =-， 设直线PA 与平面PBF 所成角为α， 所以||27sin |cos ,|||||214α⋅=<>===⋅⋅PA n PA n PA n ，即直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值为27.【点睛】本题主要考查线面平行的判定，和线面所成角的求法，解题的关键是会用法向量的方法求线面角的正弦值.19.已知椭圆22:12x C y +=与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于B 、D 两点.（1）求过A 、B 、D 三点的圆E 的方程；（2）若O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 和（1）中的圆E 分别相切于点P 和点Q （P 、Q 不重合），求直线OP 与直线EQ 的斜率之积.【答案】（1）22948x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭；（2）24. 【解析】 【分析】（1）求出A 、B 、D 三点的坐标，求得圆心E 的坐标，进而求出圆E 的半径，由此可求得圆E 的方程； （2）设直线l 的方程为y kx m =+（k 存在且0k ≠），将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，由0∆=可得2212m k =+，由直线l 与圆E相切可得出22889k m =-+，进而可得出2221241k m =-=，求出直线OP 与直线EQ 的斜率，进而可求得结果. 【详解】（1）由题意可得)A、()0,1B -、()0,1D ，则圆心E 在x 轴上，设点(),0E m ，由BE AE =，可得)221m m +=，解得m =，圆E的半径为AE =. 因此，圆E的方程为2298x y ⎛+= ⎝⎭； （2）由题意：可设l 的方程为y kx m =+（k 存在且0k ≠）， 与椭圆C 联立消去y 可得()222124220kxkmx m +++-=，由直线l 与椭圆C 相切，可设切点为()00,P x y ，由()()222216421120k m m k∆=-⨯-+=，可得2212m k =+，解得02k x m =-，01y m=， 由圆E 与直线l4=，可得22889k m =-+.因此由222212889m k k m ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，可得2221241k m =-=， 直线OP 的斜率为12OP k k =-，直线EQ 的斜率1EQ k k=-， 综上：22421OP EQ k k k =⋅=. 【点睛】本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线斜率之积的计算，考查计算能力，属于中等题.20.武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员检测，彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有()*1000n N ∈份血液样本，有以下两种检验方式：方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验1k次)；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次. 假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立. （1）设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列；（2）设0.1p =. 试比较方案②中，k 分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数)【答案】（1）分布列见解析；（2）2k =，总次数为690次；3k =，总次数为604次；4k =，次数总为594次；减少406次 【解析】 【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，可得1q p =-，再由相互独立事件的概率求法可得k 个人呈阴性反应的概率为kq ，呈阳性反应的概率为1k q -，随机变量1,1X k k=+即可得出分布列. （2）由（1）的分布列可求出数学期望，然后令2,3,4k =求出期望即可求解. 【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-.所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为kq ，呈阳性反应的概率为1kq -， 依题意可知1,1X k k=+， 所以X 的分布列为：1111k kX k k Pq q +- （2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为:()()111111k k k E X q q k k k q ⎛⎫=++⋅-=-+ ⎪⎝⎭⋅ 所以当2k =时, ()210.910.692E X =-+=， 此时1000人需要化验的总次数为690次，3k =()31,0.910.60433E X =-+≈，此时1000人需要化验的总次数为604次，4k =时, ()410.910.59394E X =-+=，此时1000人需要化验的次数总为594次，即2k =时化验次数最多，3k =时次数居中，4k =时化验次数最少. 而采用方案①则需化验1000次，故在这三种分组情况下，相比方案①, 当4k =时化验次数最多可以平均减少1000-594=406次.【点睛】本题考查了两点分布的分布列、数学期望，考查了考生分析问题、解决问题的能力，属于中档题. 21.已知函数()2ln 2,xe f x a x e R a =-∈ （1）若函数()f x 在2ex =处有最大值，求a 的值； （2）当a e ≤时，判断()f x 的零点个数，并说明理由.【答案】（1）a e =；（2）当0a e ≤<时，函数()f x 无零点；当0a <或a e =时，函数()f x 只有一个零点. 【解析】 【分析】（1）根据函数最值点可确定02e f ⎛⎫'=⎪⎝⎭，从而求得a ；代入a 的值验证后满足题意，可得到结果；（2）令()()ln 0tg t a a t e t =+->，将问题转化为()g t 零点个数的求解问题；分别在0a =、0a <和0a e <≤三种情况下，根据导函数得到原函数的单调性，结合零点存在定理和函数的最值可确定零点的个数.【详解】（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()22xe af x e x e'=-，()f x 在2e x =处取得最大值，2202e af e⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，解得：a e =. 当a e =时，()2ln 2xef x e x e =-，()22xe ef x e x e'=-，()22240xe ef x e x e''∴=--<，()f x '∴在()0,∞+上单调递减，又02e f ⎛⎫'=⎪⎝⎭，则0,2e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,2e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；()f x ∴在0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()max 2e f x f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，满足题意；综上所述：a e =. （2）令2x t e=，()()ln 0tg t a a t e t =+->，则()g t 与()f x 的零点个数相等， ①当0a =时(),0,tg t e =-<即()20x ef x e =-<，∴函数()f x 的零点个数为0；②当0a <时, ()0ta g t e t'=-<，()g t ∴在()0,∞+上为减函数， 即函数()g t 至多有一个零点，即()f x 至多有一个零点.当10e a t e-<<时，1ln ln 1ea e a a t a a e a a e a -⎛⎫⎛⎫+>+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ln t a a t e +∴>，即()0g t >，又()01g a e =-<，∴函数()g t 有且只有一个零点，即函数()f x 有且只有一个零点；③当0a e <≤时，令()0g t '=，即t a te =，令()()0th t te t =>，则()()10ttth t e te t e '=+=+>()t h t te ∴=在()0,∞+上为增函数，又()1h e =，故存在(]00,1t ∈，使得()00g t '=，即00t ae t =. 由以上可知：当00t t <<时，()0g t '>，()g t 为增函数；当0t t >时，()0g t '<，()g t 为减函数；()()0000max 0ln ln t ag t g t a a t e a a t t ∴==+-=+-，(]00,1t ∈， 令()ln aF t a a t t=+-，(]0,1t ∈， 则()20a aF t t t'=+>，()F t ∴在(]0,1上为增函数， 则()()10F t F ∴≤=，即()()max0g t ≤，当且仅当1t =，a e =时等号成立，由以上可知：当a e =时，()g t 有且只有一个零点，即()f x 有且只有一个零点；当0a e <<时，()g t 无零点，即()f x 无零点；综上所述：当0a e ≤<时，函数()f x 无零点；当0a <或a e =时，函数()f x 只有一个零点.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数的最值求解参数值、利用导数研究函数零点个数的问题；函数零点个数的求解关键是能够通过换元法将问题转化为新函数零点个数的求解，进而通过分类讨论的方式，结合函数单调性、零点存在定理和函数最值来确定零点个数，属于较难题.(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上且满足||||8,OA OB ⋅=点B 的轨迹为2C .（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）设点M 的极坐标为32,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求ABM ∆面积的最小值. 【答案】（1）1C ：2cos ρθ=，2C ：cos 4ρθ=； （2）2. 【解析】 【分析】（1）消去参数，求得曲线1C 的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线1C 的极坐标方程，再结合题设条件，即可求得曲线2C 的极坐标方程；（2）由2OM =,求得OBM OAM ABM S S S ∆∆∆=-，求得ABM ∆面积的表达式，即可求解. 【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，消去参数，可得普通方程为()2211x y -+=，即2220x y x +-=，又由cos ,sin x y ρθρθ==，代入可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 设点B 的极坐标为(,)ρθ，点A 点的极坐标为00(,)ρθ， 则0000,,2cos ,OB OA ρρρθθθ====， 因为||||8OA OB ⋅=，所以08ρρ⋅=，即82cos θρ=，即cos 4ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.（2）由题意，可得2OM =, 则2211||||242cos 42cos 22ABM B OBM O M A A S S S OM x x θθ∆∆∆=⋅-=⋅⋅=-=--， 即242cos ABM S θ∆=-， 当2cos 1θ=，可得ABM S ∆的最小值为2.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.23.已知函数()|23||23|.f x x x =-++（1）解不等式()8f x ≤；（2）设x ∈R 时，()f x 的最小值为M .若实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222a b c ++的最小值.【答案】（1）{|22}x x -≤；（2）6【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论求解不等式；（2）利用绝对值三角不等式求得6M =，利用柯西不等式求解最值.【详解】（1）322x x ⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩或332268x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或322x x ⎧⎪⎨⎪≤⎩∴{|22}x x -≤，（2）∵()()()|2323|66x x x f M --+=∴=()()()2222222112236,a b c a b c ++++++= 当且仅当22a b c ==时“=”成立，所以2226,a b c ++所以最小值为6.【点睛】此题考查解绝对值不等式，利用零点分段讨论求解，利用绝对值三角不等式求解最值，结合柯西不等式求最值，需要注意考虑等号成立的条件.。
2021年10月天一大联考阶段二高三数学(理)试题
天一大联考2021—2021学年高中毕业班阶段性测试（二）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知向量()()()2,3,6,a b m m R =-=-∈，若a b ⊥，则m =A. 4-B. 4C. 3-D.32.函数()ln 3f x x x =+-的零点位于区间A. ()0,1B. ()1,2C.()2,3D.()3,43.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5633,28a S S ==，则3a = A. 19 B. 13C. 3D. 9 4.将函数()()3sin 5f x x ϕ=+的图象向右平移4π个单位后关于y 轴对称，则ϕ的值可以是 A. 32π B. 34π- C. 54π D.4π- 5.已知0m n >>，则下列说法错误的是 A. 1122log log m n < B.11m n n m >++> D. 2211m n m n >++ 6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6234,3S a a ==，则10a =A. 3-B. 3C. -6D. 67.已知函数()5f x x =-，若2,2a b <->，则“()()f a f b >”是“0a b +<”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知函数()311,2021,01x x f x x x ⎧⎛⎫+-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪+⎩，若关于x 的方程()()20f x k x -+=有3个实数根，则实数k 的取值范围是 A. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()0,1 D.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭9.已知43sin ,,252πααπ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，若()sin 2cos αββ+=，则()tan αβ+= A. 613 B. 136 C. 613- D.136- 10.已知实数,x y 满足1310x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，若z mx y =+的最大值为10，则m =11.已知数列{}n a 满足111,121n n n a a a a +=-=-++，其前n 项和为n S ，则下列说法正确的个数为①数列{}n a 为等差数列；②23n n a -=；③133.2n n S --= A. 0 B. 1 C. 2 D. 312.已知(),0,m n ∈+∞，若2m m n=+，则当224222m n m n +--取得最小值时，m n += A. 2 B. 4 C. 6 D. 8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.不等式22990x x -+>的解集为 .14.已知实数()113,1,,84a b ⎛⎫∈-∈ ⎪⎝⎭，则a b 的取值范围为 . 15.若函数()21ln f x mx x x=--在()1,+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是 . 16.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若()cos 2sin 2b C a c B π⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，且b =，记h 为AC 边上的高，则h 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知数列{}n a 的首项为11a =，且()()121.n n a a n N *+=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若122log 3n n a b ++⎛⎫=⎪⎝⎭，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c，且a D =在线段AC 上，4DBC π∠=. （1）若BCD ∆的面积为24，求CD 的长；（2）若0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan 3c A ==，求CD 的长.19. 已知向量()()22cos ,sin ,2sin ,.a x x b x m ==（1）若4m =，求函数()f x a b =⋅的单调递减区间；（2）若向量,a b 满足2,0,0,52a b x π⎛⎫⎛⎫-=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求m 的值.20. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为312n n S -=，等差数列{}n b 的前5项和为30，,714.b =5633,28a S S == （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .21. 已知函数()21.2x f x e x =- （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知点()1,0M ，曲线()Y f x =在点()()000,11P x y x -≤≤处的切线l 与直线1x =交于点N ， 求OMN ∆（O 为坐标原点）的面积最小时0x 的值，并求出面积的最小值.22. 已知函数()()1ln 1,1,1.f x x x m x e e ⎛⎫=-++∈++ ⎪⎝⎭（1）若1m =，求曲线()y f x =在()()2,2f 处的切线方程；（2）探究函数()()F x xf x =的极值点的情况，并说明理由.。